Complexes - Trigonométrie

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H- Ecriture trigonométrie


Définition 7. Soit z = a+ib un nombre complexe de module r et d’argument \theta. On a vu que z admet une unique écriture algébrique et une unique écriture exponentielle. On peut montrer que z admet également une écriture trigonométrique (unique modulo 2\pi) de la forme suivante : z = r(cos(\theta) + i sin(\theta)).

Propriété. Le complexe z = a + ib a pour forme exponentielle r e^{i\theta} si et seulement si :
  • r=\sqrt{a^2+b^2},
  • cos(\theta)=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} et sin(\theta)=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}.