Complexes - Ecriture exponentielle


E- Nombres complexes de module 1


Définition 6. Soit \theta un réel. On définit l'exponentielle complexe e^{i\theta} ou exp(i\theta) comme l'unique nombre complexe d'écriture algébrique : e^{i\theta}=cos(\theta)+i \; sin(\theta).

Il s’agit de l’affixe du point M situé sur le cercle trigonométrique et tel que \vec{OM} forme un angle avec l’axe réel. En particulier le module de e^{i\theta} est 1 et \theta est un de ses arguments.

Réciproquement tous les nombres complexes de module 1 s’écrivent sous la forme d’une exponentielle complexe.

L’exponentielle complexe est une écriture pratique car ses propriétés sont les mêmes que celle de l’exponentielle réelle.

Propriétés. Si \theta, \theta_1, \theta_2 sont des réels et n un entier positif :
  • e^{i\theta_1} \; x \; e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1+\theta_2)},
  • \frac{e^{i\theta_1} }{e^{i\theta_2}} =e^{i(\theta_1-\theta_2)},
  • (e^{i\theta})^n=e^{i n \theta}.

Ces propriétés se visualisent aisément sur le cercle trigonométrique. En particulier on note les valeurs remarquables suivantes :
  • e^{i\pi}  = -1,
  • e^{2i\pi}  = e^0=1,
  • e^{i\frac{\pi}{2}}  = i.

F- Ecriture exponentielle d'un nombre complexe


Définition 7. Soit (a;b) \in \mathbb{R}^2 et z = a + ib. Si r est le module de z et \theta un de ses arguments, on peut montrer que z admet une écriture exponentielle (unique modulo \; 2\pi) de la forme suivante : z=r\, e^{i\theta}.

Cette écriture facilite grandement les calculs de produits et de puissance puisque l'on peut alors appliquer les propriétés de l'exponentielle complexe.