FMA_3EL09_TP - Quelques fondamentaux de topologie et probabilités

Cette UE intersemestre se situe dans la continuité des cours MDI103 et MDI104. Les principaux objectifs sont :

• Analyse : La topologie générale des espaces métriques et notamment la  notion de compacité. L’un des buts sera de démontrer le théorème d’Ascoli qui caractérise les parties compactes de l’ensemble des fonctions continues. On étudiera également les conséquences du théorème de Baire sur les opérateurs entre espaces de Banach. La notion de dualité, qui généralise le produit scalaire vu en MDI103, sera aussi étudiée. Enfin, si l’on dispose d’assez de temps, on fera une présentation de résultats classiques en analyse qui se déduisent de l’axiome du choix (théorème de Hahn Banach sur la séparabilité entre ensembles convexes et théorème Thykonov sur la compacité, qui permet ensuite de démontrer la compacité de boules de topologies faibles en refaisant le lien avec la notion de dualité).
• Probabilités : Le cours portera de manière générale sur la convergence des mesures.

On montre que l'ensemble des mesures de proba sur un espace métrique (complet séparable) est un espace métrique.

On caractérise les compacts de cet espace (théorème de Prokhorov).

A titre de conséquence, on établit le théorème central limite (admis en MDI104, il serait démontré dans ce cours), et on construit la mesure de Wiener (c'est à dire le mouvement Brownien). Cette partie du cours s’appuira sur des résultats d’analyse (première partie)