Cours MI et LDD STAPS (mercredi 10h30-12h30)
Résumé de section
-
Cours du jeudi 5 septembre.
Les pages 1 à la moitié de la page 10 ont été traitées (partie I-a).- Théorème sur la construction de l'ensemble des nombres réels.
- Définitions d'ensemble et d'éléments d'un ensemble.
- Définition de la réunion de deux ensembles.
- Définition de l'intersection de deux ensembles.
- Définition d'assertions équivalentes.
- Définition de la négation d'une assertion.
- Définition du quantificateur universel et du quantificateur existentiel.
- Proposition sur la négation d'une phrase quantifiée.
- Définitions de la différence de deux ensembles et du complémentaire d'un ensemble.
- Corollaire donnant des propriétés sur les nombres réels.
- Démonstration de ce corollaire. Méthode pour démontrer une implication, une équivalence et démonstration par l'absurde.
- Question flash de calcul littéral.
Cours du mercredi 11 septembre.
Les pages 10 à 16 et le début de la page 17 ont été traitées.- Définitions des relations "plus petit ou égal" et "strictement plus petit".
- Proposition : la relation inférieure ou égale est réflexive, antisymétrique, transitive et totale.
- Démonstration de la réflexivité et de l'antisymétrie.
- Proposition : compatibilité entre la relation "strictement inférieur" et les opérations sur les nombres réels.
- Démonstration de la compatibilité entre la relation "strictement inférieur" et le produit par un réel strictement positif.
- Proposition : addition de deux inégalités.
- Démonstration de cette proposition et mise en évidence de l'implication.
- Définitions de majorant, minorant, maximum et minimum d'une partie.
- Définition de la valeur absolue d'un nombre réel.
- Proposition : propriétés de la valeur absolue.
- Démonstration de l'inégalité triangulaire 1 et de l'équivalence |x| = 0 si et seulement si x = 0.
- Définition de la distance entre deux réels.
- Proposition : lien entre une inégalité avec une valeur absolue et un encadrement.
- Définition de la borne supérieure d'une partie.
- Remarque : caractérisation de la borne supérieure permettant de faire les exemples.
- Définition de la borne inférieure d'une partie.
- Proposition : existence d'une borne supérieure dans le cas où le maximum existe.
- Théorème : propriété de la borne supérieure.
- Question flash sur le calcul fractionnaire.
Cours du mercredi 18 septembre.
La fin du chapitre 1 a été traitée. Les pages 1 à 6 du chapitre 2 ont été traitées.- Définition de la droite réelle achevée.
- Proposition : toute partie de la droite réelle achevée admet une borne supérieure et une borne inférieure.
- Définition des intervalles de R.
- Proposition : caractérisation des intervalles.
- Théorème d'existence de l'ensemble des nombres complexes.
- Définitions de la partie réelle d'un nombre complexe, de la partie imaginaire et de l'écriture algébrique.
- Définitions de l'affixe et de l'image.
- Définition du conjugué d'un nombre complexe.
- Proposition : propriétés du conjugué.
- Démonstration de la formule faisant le lien entre la partie réelle et le conjugué d'un nombre complexe, de l'expression du conjugué du conjugué et de la caractérisation de l'appartenance à l'ensemble des nombres réels avec le conjugué.
- Proposition : le conjugué et les opérations sur l'ensemble des nombres complexes.
- Démonstration de la propriété sur la somme.
- Proposition : le produit d'un nombre complexe par son conjugué est un nombre réel positif.
- Définition du module d'un nombre complexe.
- Proposition : propriétés du module.
- Démonstration de l'équivalence entre |z| = 0 et z=0, de la propriété sur le module du conjugué d'un nombre complexe et de l'inégalité entre la valeur absolue de la partie réelle d'un nombre complexe et son module.
- Question flash sur la résolution d'équations du second degré.
Cours du mercredi 25 septembre.
Les pages 7 à 11 du chapitre 2 ont été traitées.- Démonstration de l'inégalité triangulaire 1 et du fait que le module d'un produit de deux nombres complexes est égal au produit des modules des nombres complexes.
- Définition de l'ensemble des nombres complexes de module 1.
- Proposition : l'ensemble des nombres complexes de module 1 est stable par multiplication et par inverse.
- Définition de la notation pour le nombre complexe cos(a)+i sin(a) avec a un réel.
- Proposition
: l'ensemble des nombres complexes de module 1 est égal à l'ensemble
des nombres complexes de la forme cos(a) + i sin(a) avec a un réel.
- Démonstration de cette proposition à l'aide de deux inclusions.
- Proposition : propriétés de calculs pour les nombres complexes de la forme cos(a) + i sin(a) avec a un réel.
- Démonstration de deux de ces propriétés.
- Proposition : formules d'Euler.
- Démonstration de la formule d'Euler pour le cosinus.
- Proposition : formule de Moivre.
- Démonstration de cette proposition.
- Évaluation sur le chapitre 1.
Cours du mercredi 9 octobre.
La fin du chapitre 2 a été traitée.- Définition d'un argument d'un nombre complexe.
- Proposition : détermination de l'ensemble des arguments d'un nombre complexe.
- Définition d'une forme trigonométrique d'un nombre complexe.
- Proposition : argument et opérations sur les nombres complexes.
- Définition de la racine carrée d'un nombre complexe.
- Proposition : tout nombre complexe non nul admet deux racines carrées distinctes et expression de ces racines carrées lorsque le nombre complexe est donné sous forme trigonométrique.
- Méthode pour déterminer les racines carrées d'un nombre complexe donné sous forme algébrique.
- Proposition : résolution des équations du second degré à coefficients dans C.
- Démonstration de cette proposition.
- Définition d'une racine n-ième d'un nombre complexe.
- Proposition : détermination des racines n-ièmes de l'unité.
- Démonstration de cette proposition à l'aide de deux inclusions.
- Proposition : détermination des racines n-ièmes d'un nombre complexe donné sous forme algébrique.
- Question flash sur la détermination de la limite de suites.
Cours du mercredi 16 octobre.
Les pages 1 à la moitié de la page 7 ont été traitées.- Définition de suite numérique à valeurs réelles.
- Définitions de suite majorée, suite minorée et de suite bornée.
- Définitions de suite croissante, suite décroissante et suite monotone.
- Définition de suite stationnaire.
- Définition d'une suite qui tend vers un réel l et de la limite réelle d'une suite.
- Définitions de suite convergente et de suite divergente.
- Proposition : unicité de la limite.
- Démonstration de cette proposition à l'aide de la définition de limite.
- Proposition : une suite convergente est bornée.
- Démonstration de cette proposition à l'aide de la définition de suite convergente et de celle de suite bornée.
- Proposition : le produit d'une suite bornée par une suite tendant vers 0 tend vers 0 et lien entre la convergence d'une suite et la convergence de sa valeur absolue.
- Démonstration de la première assertion de cette proposition.
- Proposition : une suite bornée à partir d'un certain rang par une suite tendant vers 0 tend vers 0.
- Question flash sur le théorème de convergence monotone.
Cours du mercredi 6 novembre.
Les pages 7 à 17 ont été traitées.- Définitions de suite tendant vers l'infini.
- Proposition : unicité de la limite.
- Proposition : opérations sur les limites (somme, multiplication par un réel, produit).
- Démonstration dans le cas de la somme de deux suites convergeant vers des réels.
- Proposition : limite de l'inverse d'une suite convergeant vers un réel non nul.
- Proposition : limite de l'inverse d'une suite convergeant vers l'infini.
- Proposition : limite de l'inverse d'une suite convergeant vers 0 et dont les termes sont strictement positifs à partir d'un certain rang.
- Proposition : comparaison de limites.
- Démonstration de cette proposition.
- Théorème des gendarmes.
- Version infinie du théorème des gendarmes.
- Démonstration de cette proposition dans le cas où les limites sont + infini.
- Théorème de convergence monotone.
- Définition de suite numérique à valeurs complexes.
- Définition de suite complexe bornée.
- Proposition : caractérisation d'une suite complexe bornée.
- Définitions de suite arithmétique et de suite géométrique avec une raison complexe.
- Proposition : limite de la suite (q^n) avec q complexe.
- Définition de suite arithmético-géométrique.
- Définition de suite récurrente linéaire d'ordre deux.
- Proposition : expression du terme général d'une suite récurrente linéaire d'ordre deux.
- Question flash sur la détermination de limites de fonctions.
Cours du mercredi 13 novembre.
La fin du chapitre 3 a été traitée. Les pages 1 à la moitié de la page 12 du chapitre 4 ont été traitées.- Proposition : caractérisation séquentielle de la borne supérieure.
- Définitions de fonction, d'ensemble de définition, d'image, d'antécédent.
- Définition de la courbe représentative d'une fonction.
- Définition de la restriction d'une fonction.
- Définition du prolongement d'une fonction.
- Définitions d'image directe, d'ensemble d'arrivée, d'image réciproque.
- Définitions de la somme, du produit, du quotient et de la composée de deux fonctions.
- Définition d'une fonction inférieure ou égale à une autre fonction.
- Définitions de fonction majorée, fonction minorée, fonction bornée.
- Définitions de fonction croissante, fonction strictement croissante, fonction décroissante, fonction strictement décroissante, fonction monotone, fonction strictement monotone.
- Définitions de fonction paire, fonction impaire.
- Définitions de fonction périodique, de la période d'une fonction.
- Définition de limite d'une fonction lorsque la limite est réelle et lorsque la variable tend vers un réel.
- Définitions de limite d'une fonction lorsque la limite est infinie et lorsque la variable tend vers un réel.
- Question flash sur la continuité de fonctions.
Cours du mercredi 20 novembre.
Les pages 12 à la moitié de la page 23 du chapitre 4 ont été traitées.- Définitions de limite infini d'une fonction quand x tend vers un réel ou l'infini.
- Proposition : unicité de la limite.
- Démonstration de cette proposition.
- Proposition : une fonction qui admet une limite réelle en un point est bornée au voisinage de ce point.
- Démonstration de cette proposition.
- Proposition : somme, produit, quotient de limites.
- Proposition : composition de limites.
- Proposition : comparaison de limites et théorème des gendarmes.
- Proposition : caractérisation séquentielle de la limite.
- Démonstration de cette proposition à l'aide de deux implications et d'une contraposée.
- Définitions de limite à gauche et de limite à droite d'une fonction en un réel.
- Proposition : caractérisation de l'existence d'une limite en un point à l'aide des limites à gauche et à droite.
- Définition d'asymptote verticale.
- Définition d'asymptote horizontale.
- Définition d'asymptote oblique.
- Remarque sur comment déterminer l'équation d'une asymptote oblique.
- Définitions de fonction continue en un point et de fonction continue sur un intervalle.
- Question flash sur la détermination de dérivée.
Cours du mercredi 27 novembre.
Les pages 24 à la moitié de la page 34 ont été traitées.- Proposition : une fonction continue en un point et qui ne s'annule pas en ce point, ne s'annule pas sur un voisinage du point.
- Démonstration de cette proposition.
- Proposition : opérations sur les fonctions continues (somme, produit par un réel, produit, inverse).
- Proposition : composée de fonctions continues.
- Définitions : fonction prolongeable par continuité en un point, prolongement par continuité d'une fonction.
- Proposition : caractérisation séquentielle de la continuité.
- Théorème des valeurs intermédiaires.
- Démonstration de ce théorème au niveau L1.
- Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires permettant de déterminer si une fonction s'annule en un point.
- Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
- Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : l'image d'un segment par une fonction continue est un segment, une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.
- Définitions de fonction dérivable en un point et du nombre dérivé.
- Proposition : lien entre la dérivabilité en un point et l'équation de la tangente.
- Proposition : une fonction dérivable en un point est continue en ce point.
- Démonstration de cette proposition.
- Remarque sur la réciproque de cette proposition.
- Évaluation sur le chapitre 3.
Cours du mercredi 4 décembre.
La fin du chapitre 4 a été traitée.- Définitions de fonction dérivable sur un intervalle et de la dérivée d'une fonction.
- Tableau des dérivées des fonctions usuelles.
- Définition des fonctions de classe D^k.
- Définitions des fonction de classe C^k et de classe C infini.
- Proposition : opérations sur les fonctions dérivables (somme, produit, inverse, quotient).
- Démonstration dans le cas du produit.
- Proposition : composée de fonctions dérivables.
- Démonstration de la proposition.
- Proposition : formule de Leibniz.
- Définitions de maximum local, de minimum local et d'extremum local.
- Proposition : si f admet un extremum local en un point à l'intérieur de son ensemble de définition, alors la dérivée en ce point s'annule.
- Démonstration de cette proposition.
- Théorème de Rolle.
- Démonstration du théorème.
- Théorème des accroissements finis.
- Inégalité des accroissements finis.
- Corollaire sur le lien entre les variations d'une fonction et le signe de sa dérivée.
- Plan d'étude d'une fonction.
- Question flash de révision sur le chapitre 1.