Title: Exercice 1 - Binôme de Newton
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Nombres et Géométrie

Question 1

Soit $$n$$ un entier supérieur à $$1$$ et soit $$k$$ un entier de $$\{0,\ldots,n\}$$. Montrer que :

$$C_n^k\times k=n\times C^{k-1}_{n-1}$$

Correction question 1

$$C^k_n\times k=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n\times(n-1)!}{k!(n-1)!}\times k=n\times \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-1-(k-1))!}=n\times C^{k-1}_{n-1}$$

Question 2

En déduire la valeur de $$S=\sum_{k=0}^{n}C^k_n \times k$$

Correction question 2

$$S=\sum_{k=0}^n C^{k}_n \times k =\sum_{k=1}^n C^{k}_n \times k$$

En effet pour $$k=0$$ le terme est nul. Par la question 1 on a donc :

$$S=\sum_{k=1}^n C^{k-1}_{n-1} \times n=n \times \sum_{k=1}^n C^{k-1}_{n-1}$$

par linéarité de la somme. On fait le changement d'indice $$j=k-1$$ :

$$S=n\times \sum_{k=0}^{n-1} C^{j}_{n-1}$$

d'où par la formule du Binôme de Newton avec $$a=b=1$$ :

$$S=n\times (1+1)^{n-1}=n2^{n-1}$$