Title: Loi Binomiale
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

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Q: Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n = 5 et p=0.4.

Compléter le tableau suivant à 10^-2 près.

i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5
P(X=i) | [...] | [...] | [...] | [...] | [...] | [...]
A: 0.08; 0.26; 0.35; 0.23; 0.08; 0.01

Q: Soit X une variable aléatoire suivant une loi Binomiale de paramètres n=10 et p=0.3.

Donnez les valeurs de l'Espérance de X et de la Variance de X.

E(X) = [...]

Var(X) = [...]
A: 3; 2.1

Q: Soit X une variable aléatoire suivant une loi Binomiale de paramètres n et p.

Dans les différents cas suivants, déterminez la valeur de p à 10^-2 près.

n | E(x) | p
5 | 2.3 | [...]
10 | 7.8 | [...]
15 | 8.4 | [...]
20 | 12.4 | [...]
25 | 9 | [...]
A: 0.46; 0.78; 0.56; 0.62; 0.36

Q: Soit X une variable aléatoire suivant une loi Binomiale de paramètres n et P.

Dans les cas  suivants, et sachant que  p ≤ 0 . 5, déterminez la valeur de p à 10^-2 près.

n | Var(X) | p
5 | 0.8 | [...]
10 | 2.5 | [...]
15 | 3.7 | [...]
20 | 2 | [...]
25 | 5 | [...]
A: 0.2; 0.5; 0.44; 0.11; 0.28

Q: Soit un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6.

On lance ce dé 10 fois. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de fois où l'on a obtenu un résultat pair sur ces 10 lancers.

Peut-on considérer que la variable X suit une loi Binomiale?

Réponse     [...]

Soit Y qui représente la somme des points obtenus lors de ces 10 lancers.

Peut-on considérer que la variable Y suit une loi Binomiale?

Réponse     [...]

Une urne contient 3 boules blanches et 12 boules noires, toutes indiscernables au toucher. On tire successivement et avec remise 3 boules de l’urne.

Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de boules blanches à l'issue de ces trois tirages.

Peut-on considérer que la variable X suit une loi Binomiale?

Réponse     [...]
A: OUI; NON; OUI
If partly right: Votre réponse est partiellement correcte.
If wrong: Votre réponse est incorrecte.

Q: Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p.

En utilisant les informations suivantes, donnez la valeur de p à 10^-2 près.

n | P(X=n) | p
5 | 0.5 | [...]
10 | 0.01 | [...]
5 | 0.02 | [...]
A: 0.87; 0.63; 0.46

Q: La variable aléatoire X suit une loi Binomiale B(n , p). Pour ces deux questions, choisir l'une des options possibles :

Son espérance mathématique E(X) est égale à : [...]

Sa variance mathématique  V(X) est égale à : [...]
Also offered: Vrai; Faux; p; p(1-p); 0; 0
A: np; np(1-p)
If partly right: Attention, une variable de Bernoulli ne peux prendre que deux états.
If wrong: Votre réponse est incorrecte. Attention, une variable de Bernoulli ne peux prendre que deux états.

Q: Des biologistes étudient deux plantes dont le gène de couleur est Cg. La probailité que ces plantes donnent naissance à une plante dont le gène de couleur est gg est égale à 0.25. On suppose que les nouveaux plants héritent de manière indépendante du gène de couleur. La probabilité que sur 6 plants produits,  1 possède le gène gg est égal à :
- (25 // 1)0 .(25)^(1)0 .(75)^(24)
- (6 // 1)0 .(25)^(1)0 .(75)^(5)
- 0 .(25)^(1)0 .(75)^(5)
- 0 .(25)^(1)0 .(75)^(24)
A: (6 // 1)0 .(25)^(1)0 .(75)^(5)
If partly right: Votre réponse est partiellement correcte.
If wrong: Votre réponse est incorrecte.

Q: Un questionnaire à choix multiples est composé de 10 questions numérotées de 1 à 10. Pour chacune d'elles, il est proposé 4 réponses possibles dont une seule est correcte. Un candidat répond entièrement au hasard à ce QCM en cochant pour chaque question l'une des 4 réponses données.

La variable aléatoire X correspondant à une bonne réponse donnée par hasard pour l'une des questions suit une loi  [...] dont l'espérance est égale à :  [...].

On désigne à présent par X la variable aléatoire indiquant le numéro de la première question pour laquelle le candidat a donné la bonne réponse (on pose la valeur 11 si toutes les réponses sont fausses). Les valeurs que peuvent prendre la variable X sont comprises dans l'intervalle : [...] (l'indiquer sous la forme min:max).

La probabilité que la première réponse correcte soit la question 2, P(X=2), est égale à [...].

Peut-on affirmer que la variable X suit une loi binomiale ? [...].

On décide d'attribuer au candidat, un point par réponse exacte. Soit Y la variable aléatoire associant la note obtenue par un candidat ayant rempli le QCM en répondant au hasard. Y suit une loi binomiale de paramètres n=[...]. et p=[...]..
A: Bernoulli; 0.25; 1:11; 0.1875; Oui; 10; 0.25
Gap 1 offers: Bernoulli; Binomiale
Gap 5 offers: Oui; Non

Q: Un questionnaire à choix multiples est composé de 10 questions numérotées de 1 à 10. Pour chacune d'elles, il est proposé 4 réponses possibles dont une seule est correcte. Un candidat répond au hasard à ce QCM en cochant pour chaque question, l'une des 4 réponses données. La variable aléatoire correspondant à une bonne réponse donnée par hasard pour l'une des questions suit une loi  [...] dont l'espérance est égale à : [...]. La probabilité d'avoir 10 bonnes réponses données par hasard est-elle égale à $$0.5$$ ? [...].

On désigne à présent par X, la variable aléatoire indiquant le numéro de la première question où le candidat a répondu de façon exacte (on convient que X prend la valeur 11 si toutes les réponses sont fausses). La plus petite valeur que peut  prendre X est égale à [...]; La plus grande valeur que peut  prendre X est égale à [...].

La probabilité que P(X=2) est-elle égale à $$0.25^2 0.75^8$$ ? [...].

La variable X suit-elle une loi binomiale ? [...].

On décide d'attribuer un point par réponse exacte. Soit Y la variable aléatoire associant aux réponses la note sur 10 qui en résulte. La variable Y suit une loi binomiale de paramètres n=[...] et p=[...]. La probabilité que le candidat obtienne la moyenne est  égale à : [...] (précision de $$10^{-2}$$).
A: de Bernoulli; 0.25; Faux; 1; 11; ~Vrai / Faux; Faux; 10; 0.25; 0.06
Gap 1 offers: de Bernoulli; Binomiale
Gap 3 offers: Vrai; Faux
Gap 6 offers: ~Vrai; Faux
Gap 7 offers: Vrai; Faux

Q: Un réseau météorologique expérimental est installé en zone rurale. Il est composé de 20 stations réparties dans la région. Chaque matin, un opérateur local transmet par téléphone la température minimale journalière de sa station vers un bureau central qui l’enregistre. On estime que la probabilité qu’une mesure soit incorrecte ou mal transmise est égale à p pour chaque mesure quel que soit l’opérateur.

Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire associée à l’événement  "la mesure n°i est incorrecte" ? [...]

Quelle est celle associée au nombre de mesures incorrectes enregistrées par jour ?

[...]

Sachant que la probabilité qu’une mesure i soit incorrecte est égale à 0.005, calculer avec une précision de \(10^{-3}\) près :

1. la probabilité qu’il n’y ait aucune mesure incorrecte sur les 20 mesures enregistrées chaque jour : [...]
2. la probabilité que le nombre d’enregistrements ne comporte pas de mesure incorrecte parmi 7 jours consécutifs : [...].
A: Bernoulli; Binomiale; 0.905; 0.496
Gap 1 offers: Bernoulli; Binomiale
Gap 2 offers: Bernoulli; Binomiale