Title: Rappels Intégration fonctions usuelles
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Continuité, Dérivation, Intégration

Références de rappels de cours

Primitive

Une fonction $F$ est une primitive d'une fonction $$f$$ sur un intervalle si et seulement si $$F$$ est dérivable et la fonction dérivée de $$F$$ est $$f$$ sur cet intervalle.
Sur un même intervalle, la différence entre deux fonctions primitives de $$f$$ est toujours une constante.

Liste de primitives :

Vous trouverez une liste de primitives de fonctions usuelles dans la première page de ce Formulaire d'intégration.

Calcul d'une intégrale sur un intervalle à l'aide d'une primitive

Soit un intervalle $$[a;b]$$, $$f$$ une fonction définie sur cet intervalle  et $$F$$ une primitive de $$f$$ définie sur cet intervalle.
Alors l'intégrale de $$f$$ sur l'intervalle existe et
$$\int_a^b f(t)dt=F(b)-F(a)$$.

La différence aux bornes $$F(b)-F(a)$$ sera souvent notée $$\left[F(t)\right]_a^b$$ dans les exercices.

Propriétés de l'intégration.

Linéarité
Soit deux fonctions $$u$$ et $$v$$  et $$c$$ un nombre réel. Soit $$f$$ la fonction somme définie par $$f(x)=u(x)+v(x)$$.
Alors $$\int_a^b f(t)dt=\int_a^b u(t)dt+\int_a^b v(t)dt$$.

Soit $$g$$ la fonction définie par $$g(x)=c\ u(x)$$.
Alors $$\int_a^b g(t)dt=c \ \int_a^b u(t)dt$$.

Exemples :
 Soit $$f(x)=u(x)+ v(x)$$ avec $$u(x)=x^3$$ et $$v(x)= \sin x$$. La primitive de $$u$$ est définie par $$U(x) =\displaystyle \frac 1 4 x^4$$ et la primitive de $$v$$ est définie par $$V(x)=-\cos x$$.
On a :
$$\int_0^2 u(t)dt=\displaystyle \left[\frac 1 4 x^4\right]_0^2= \frac 1 4 (2^4-0)=4$$
et
$$\int_0^2 v(t)dt=\displaystyle \left[ -\cos x\right]_0^2=-\cos 2+\cos 0$$.
donc $$\int_0^2 f(t)dt=4-\cos 2+1$$.

Soit $$g(x)= 7x^3=7u(x)$$
alors $$\int_0^2 g(t)dt=7 \int_0^2 g(t)dt =7\times 4=28$$.

Ex 1 - Question 1

Soit la fonction $$f$$  définie sur $$\mathbb R$$ par $$f(x)=\cos(3x)$$.

Calculez l'intégrale $$I=\int_0^{\pi/2}f(t)dt$$ puis vérifiez votre réponse.

Ex 1 - Réponse à la question 1

L'intégrale $$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos 3t \ dt$$ est égale à $$=\displaystyle-\frac 13$$.

Explication :

Une primitive de $$\cos 3x$$ est $$F(x)=\displaystyle \frac1 3 \sin 3x$$.

On a donc $$\int_0^{\pi/2}\cos 3t \ dt=F(\pi/2)-F(0)=\displaystyle \frac 1 3 (\sin 3\pi/2-\sin 0)=-\frac 13$$.

Ex 1 - Question 2

Soit la fonction $$f$$  définie sur $$\mathbb R$$ par $$f(x)=2\sin(x)$$.

Calculez l'intégrale $$I=\int_0^{\pi/2}f(t)dt$$ puis vérifiez votre réponse.

Ex 1 - Réponse à la question 2

L'intégrale $$\int_0^{\pi/2}2\sin t \ dt$$ est égale à $$2$$.

Explication :

Une primitive de $$2\sin x$$ est $$F(x)= -2 \cos x$$.

On a donc $$\int_0^{\pi/2}2\sin t \ dt=F(\pi/2)-F(0)=-2 (\cos\pi/2-\cos 0)=2$$.

Ex 1 - Question 3

Soit la fonction $$f$$  définie sur $$\mathbb R$$ par $$f(x)=\cos(3x)+\sin x$$.

Calculez l'intégrale $$I=\int_0^{\pi/2}f(t)dt$$ puis vérifiez votre réponse.

Ex 1 - Réponse à la question 3

L'intégrale $$\int_0^{\pi/2}\cos 3t+\sin t \ dt$$ est égale à $$\displaystyle \frac 23$$.

Explication :
D'après la question 1, $$\int_0^{\pi/2}\cos 3t \ dt=\displaystyle-\frac 13$$.
D'après la question 2, $$\int_0^{\pi/2}2\sin t dt= 2$$. Par linéarité,  $$\int_0^{\pi/2}\sin t\ dt=\displaystyle \frac 12\int_0^{\pi/2}2\sin t= 1$$.
Par linéarité, il suffit de sommer ces deux intégrales pour obtenir le résultat.

Ex 2 - Question 1

On considère la fonction $$f(x)=e^{3x}$$.

Calculez l'intégrale $$I=\int_0^{2}f(t)dt$$ puis vérifiez votre réponse.

Ex 2 - Réponse à la question 1

L'intégrale $$\int_0^{2}e^{3t} \ dt$$ vaut $$\displaystyle \frac 13(e^6-1)$$.

Explication :

Une primitive de $$e^{3x}$$ est $$F(x)=\displaystyle \frac1 3 e^{3t}$$.

On a donc $$\int_0^{2}e^{3t} \ dt=F(2)-F(0)=\displaystyle \frac 1 3 (e^6-1)$$.

Ex2 - Question 2

Soit la fonction $$f$$  définie sur $$\mathbb R$$ par $$f(x)=\displaystyle \frac 1 {\sqrt x}$$.

Calculez l'intégrale $$I=\int_0^{2}f(t)dt$$ puis vérifiez votre réponse.

Ex2- réponse à la question 2

L'intégrale $$\displaystyle\int_0^{2}\frac 1 {\sqrt x}\ dt$$ est égale à $$2 {\sqrt 2}$$.

Explication :

Une primitive de $$\displaystyle\frac 1 {\sqrt x}$$ est $$F(x)=2 \sqrt x$$.

On a donc $$\displaystyle\frac 1 {\sqrt x}=\int_0^{2}\frac 1 {\sqrt t} \ dt=F(2)-F(0)=\2\sqrt 2$$.

Remarque : la fonction $$f$$ n'est pas définie en $$0$$, mais son intégrale existe quand même car sa primitive $$F$$ est définie en $$0$$.

Ex 2 - Question 3

Soit la fonction $$f$$  définie sur $$\mathbb R$$ par $$f(x)=\ln(x)$$.

Calculez l'intégrale $$I=\int_0^{3}f(t)dt$$ puis vérifiez votre réponse.

Ex2 - Réponse à la question 3

L'intégrale $$\displaystyle\int_0^{2} {\ln x}\ dt$$ n'est pas définie.

Explication :

Une primitive de $$ \ln x$$ est $$F(x)=\displaystyle \frac 1  x$$.

Comme $$F$$ n'est pas continue en $$0$$, et a une limite égale à $$\infty$$, on ne peut pas calculer cette intégrale à l'aide d'une primitive. On peut montrer que l'aire sous la courbe tend vers $$-\infty$$ quand on s'approche de la valeur 0. Ce type de  problème sera étudié dans le chapitre Intégrales impropres.