Title: Rappels - Séries entières
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Continuité, Dérivation, Intégration

Séries entières

Les séries entières sont des fonctions très régulières définies par une formule polynomiale de degré infini.

Définition

On choisit une suite infinie de coefficient $$(a_k)_{k\in \mathbb N}$$. On définit une fonction réelle $$f$$ par la série :

$$f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k.$$

La fonction $$f$$ étant définie par une série, elle est correctement définie lorsque la série converge. L'ensemble de définition de $$f$$ contient toujours un intervalle ouvert :  $$D_f=]-R,R[$$ où $$R$$ est un nombre réel ou l'infini. Ce nombre $$R$$ s'appelle le rayon de convergence de la série entière.

Remarque : La série converge parfois pour les points du bord de l'intervalle. Par exemple, on a toujours convergence pour $$x=0$$ avec  $$f(0)=a_0$$même quand $$R=0$$.

Caractérisation  du rayon de convergence

Soit $$r_k=\dfrac{|a_k|}{|a_{k+1}|}$$.
Si $$r_k$$ tend vers une limite finie ou infinie $$R$$, alors $$R$$ est le rayon de convergence de la série.
Si à partir d'un rang $$K$$,  pour $$k\geq K$$, $$r_k$$ reste inférieur à une valeur $$M$$, alors $$M\leq R$$.

Propriétés

Opérations
Soit $$f$$ et $$g$$  deux fonctions définies par les séries entières de coefficient $$(a_k)$$ et $$(b_k)$$.
La somme   $$f+g$$ a pour coefficients $$a_k+b_k$$.
Le produit $$fg$$ a pour coefficients $$(a\star b)_k$$ selon la même règle (produit de convolution de deux suites) que le produit de polynômes :
 $$(a\star b)_k=\sum_{i=0}^ka_ib_{k-i}$$.
L'inverse de $$f$$ est une série entière s'il existe un intervalle centré en $$0$$ où $$f$$ ne s'annule pas. Le calcul des coefficients de l'inverse est difficile et passe par une méthode de composition.
La composée de $$f$$ et $$g$$ aux points où elle existe est une série entière. Ses coefficients doivent être calculés successivement par substitution.

Dérivation
Sur son intervalle de définition, la fonction $$f$$ est  dérivable. Sa dérivée est  une série entière de même rayon de convergence dont les coefficients sont obtenus par la règle de dérivation des fonctions polynômes :

$$f'(x)=\sum_{k=1}^\infty ka_kx^{k-1}=\sum_{k'=0}^\infty b_{k'}x^{k'}.$$

Les coefficients de la série entière de la fonction dérivée sont donc $$b_k=(k+1)a_{k+1}$$. On remarque que $$f'(0)=b_0=a_1$$.

La fonction $$f'$$ étant définie par une série entière analogue à $$f$$, on peut la dériver également et obtenir la dérivée seconde comme une série entière. On peut donc dériver indéfiniment une fonction définie par une série entière.

$$f^{(n)}(x)=\sum_{k=n}^\infty k(k-1)\cdots (k-n+1)a_nx^{k-n}=\sum_{k'=0}^\infty c_{k'}x^{k'}.$$

Les coefficients de la série entière de la fonction dérivée $$n$$-ième sont donc $$c_k=(k+1)\cdots (k+n)a_{k+n}$$. On remarque que $$f^{(n)}(0)=c_0=n!a_n$$.

On peut donc écrire tous les coefficients $$a_k$$ de la série définissant $$f$$ à partir  des valeurs des dérivées successives en $$0$$ :

$$a_k=\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}$$.

Intégration
Sur son intervalle de définition, la fonction est continue donc intégrable et sa primitive est  une série entière de même rayon de convergence dont les coefficients sont obtenus par la règle de dérivation des fonctions polynômes :

$$\int_0^xf(t)dt=d_0+\sum_0^\infty \dfrac{a_n}{n+1}x^{n+1}=\sum_0^\infty d_nx^{n}.$$

Les coefficients de la série entière de la fonction primitive sont donc une constante $$d_0$$ quelconque et pour $$n\neq 0$$, $$d_n=\dfrac{a_{n-1}}n$$.

Développement limité et formule de Taylor
La formule de Taylor à l'ordre $$n$$ en $$0$$ détermine le polynôme d'ordre $$n$$ qui approxime au mieux la fonction $$f$$ en $$0$$. D'après la relation entre coefficients et dérivées successives en $$0$$ :

$$f(x)=\sum_{k=0}^\infty \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k.$$

La formule de Taylor Young à l'ordre $$n$$ en $$0$$  est obtenue simplement en tronquant la série après le terme d'indice $$n$$.
$$f(x)=\sum_{k=0}^n\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+o(x^n).$$

La formule de Taylor Young à l'ordre $$n$$ en $$x_0$$  a exactement la même forme : elle est obtenue simplement en tronquant la série après le terme d'indice $$n$$.
$$f(x)=\sum_{k=0}^n\dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n).$$

Les fonctions exprimables en séries entières ont donc des développements limités à tous les ordres $$n$$.

Fonctions usuelles

La plupart des fonctions usuelles infiniment dérivables sont exprimables sous forme de série entières :

Fonctions exponentielles et trigonométriques :
$$\exp(x)=\sum_{k=0}^\infty \dfrac 1 {k!} x^k, \ R=+\infty.$$
$$\cos x=\sum_{k=0}^\infty \dfrac {(-1)^{k}} {2k!} x^{2k}, \ R=+\infty.$$
$$\sin x=\sum_{k=0}^\infty \dfrac {(-1)^{k}} {(2k+1)!} x^{2k+1}, \ R=+\infty.$$
$$\arcsin x =\sum_{k=0}^\infty \dfrac {(2k-1)!} {2^{2k}(k!)^2(2k+1} x^{2k+1}, \ R=1.$$
$$\arctan x =\sum_{k=0}^\infty \dfrac {(-1)^{k}} {2k+1} x^{2k+1}, \ R=1.$$

Fonction puissance, pour $$\alpha $$ réel
$$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\sum_{k=2}^\infty \dfrac {\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k)} {k!}x^k, \ R=1.$$
En particulier, pour $$\alpha=-1$$ :
$$\dfrac 1{1+x}=\sum_{k=0}^\infty (-1)^kx^k, \ R=1.$$
$$\dfrac 1{1-x}=\sum_{k=0}^\infty x^k, \ R=1$$ (série géométrique).

Logarithme
$$log(1+x)=\sum_{k=1}^\infty \dfrac {(-1)^{k+1}} {k}x^k, \ R=1.$$
$$log(1-x)=\sum_{k=1}^\infty \dfrac {-1} {k}x^k, \ R=1.$$

Exercice 1 -Question 1

Soit $$f(x)$$ la fonction définie sur $$]-1,1[$$ par  $$f(x)=\dfrac1{1+x^2}$$.

Calculer le développement en série entière de $$f$$.

Exercice 1 - Réponse à la question 1

On remarque que $$f(x)$$ est la composition de $$ g(x) =\dfrac 1{1+x}$$ et de $$ h(x) =x^2$$, deux fonctions développable en série entière ($$h$$ est un polynôme).
Pour calculer une composition on substitue simplement $$h(x)$$ à $$x$$ dans le développement de $$g$$ :

$$f(x)=\sum _{k=0}^\infty (-1)^kh(x)^{k}=\sum _{k=0}^\infty (-1)^kx^{2k}$$.

Exercice 1 - Question 2

Déduire de la question précédente le développement en série entière de la fonction $$\arctan$$.

Exercice 2 - Réponse à la question 2

La dérivée de la fonction $$\arctan$$ est la fonction $$f$$; pour calculer la série entière de $$\arctan$$, il suffit d'intégrer terme par terme la série entière de $$f$$ :

$$f(x) = \sum_{x=0}^\infty(-1)^kx^{2k}.$$

$$\arctan(x)=C +\sum_{x=0}^\infty\dfrac{(-1)^k}{2k+1}x^{2k+1}.$$

Pour calculer la constante, on se rappelle que $$C=\arctan(0)=0$$.

Exercice 2 - Question 1

Les développements en série entière qui convergent pour un réel $$x\in ]-R;R[$$ convergent également pour un complexe $$z$$  de module $$|z|\in [0;R[$$. On peut utiliser le développement de l'exponentielle réelle pour calculer l'exponentielle complexe.

Calculer le développement en série entière de $$e^{i\theta}$$ pour $$\theta$$ réel.

Exercice 2 - Réponse à la question 1

On  substitue $$i\theta$$ à $$x$$ dans le développement :

$$e^{i\theta}=\sum_{k=0}^\infty\dfrac{(i\theta)^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty\dfrac{(i\theta)^k}{k!}.$$

Exercice 2 - Question 2

A partir du développement précédent, déterminer le développement de $$\cos x$$ et de $$\sin x$$.

Exercice 2 - Réponse à la question 2

$$e^{i\theta}=\sum_{k=0}^\infty\dfrac{i^k\theta^k}{k!}.$$

On peut simplifier $$i^k$$ en séparant les termes correspondant aux indices pairs $$k=2p$$ qui sont des termes réels des termes correspondant aux indices impairs $$k=2p+1$$ qui sont des termes imaginaires.

$$\begin{eqnarray}e^{i\theta}&=&\sum_{p=0}^\infty\dfrac{i^{2p}\theta^{2p}}{(2p)!}+\sum_{p=0}^\infty\dfrac{i^{2p+1}\theta^{2p+1}}{(2p+1)!}\\&=&\sum_{p=0}^\infty\dfrac{(-1)^{p}\theta^{2p}}{(2p)!}+\sum_{p=0}^\infty\dfrac{i(-1)^{p}\theta^{2p+1}}{(2p+1)!}.\end{eqnarray}$$

En comparant avec la formule $$e^{i\theta}=\cos \theta +i\sin\theta,$$

$$\cos \theta=\sum_{p=0}^\infty\dfrac{(-1)^{p}\theta^{2p}}{(2p)!}.$$

$$\sin \theta=\sum_{p=0}^\infty\dfrac{(-1)^{p}\theta^{2p+1}}{(2p+1)!}.$$

Exercice 2- Question 3

La fonction $$\dfrac{1}{\cos x}$$ est développable en série entière avec $$R=\pi/2$$.

Pour calculer le développement de $$\dfrac{1}{\cos x}$$, on écrit $$\cos x=1+g(x)$$ avec $$g(x)=\sum_{k=1}^\infty \dfrac {(-1)^k}{(2k)!}x^k$$ et on compose le développement de $$h(x)=\dfrac 1{1+x}$$ avec celui de $$g(x)$$.

Justifier cette méthode de calcul pour $$x\in ]-\sqrt 2,\sqrt 2[$$

Calculer le développement de $$\dfrac{1}{\cos x}$$ jusqu'à l'ordre $$5$$.

Exercice 2- Réponse à la question 3

On a $$g(x)=-\dfrac {x^2}{2}+\dfrac {x^4}{24}+o(x^5)$$.

Pour composer les développements, il faut que $$g(x)$$ soit dans l'intervalle de convergence de $$h$$.

Comme $$g(x)$$ est définie par une série à signes alternés, elle est de norme plus petite que son premier terme  : $$g(x)\leq \dfrac {x^2}2=O(x^2)$$ (remarque : ça ne suffit pas pour dire qu'elle est de norme inférieure à 1).

On sait que $$g(x)=\cos x-1$$ . Donc pour $$x\in]0;\frac \pi 2[ $$, on a $$g(x)\in]-1;0[$$ donc dans l'intervalle de convergence de la série de $$h$$. Pour $$x\in]-\frac \pi 2;0[ $$, on a $$g(x)=g(-x)$$ avec $$-x\in]0;\frac \pi 2[ $$ donc dans l'intervalle de convergence de la série de $$h$$.

Comme $$g(x)$$ est définie par une série à signes alternés, elle est de norme plus petite que son premier terme  : $$g(x)\leq \dfrac {x^2}2=O(x^2)$$ (remarque : ça ne suffit pas pour dire qu'elle est de norme inférieure à 1).

$$\dfrac 1 {1+g(x)}=1-g(x)+g^2(x)+O(g^3(x))=1-g(x)+g^2(x)+o(x^5)$$ car $$g^3(x)=O(x^6)$$

On a $$g^2(x)=\dfrac {x^4}{4}+o(x^5)$$. Donc

$$\begin{eqnarray}\dfrac 1 {\cos x}&=&\dfrac 1 {1+g(x)}=1+\dfrac {x^2}{2}-\dfrac {x^4}{24}+\dfrac {x^4}{4}+o(x^5)\\&=&\dfrac 1 {1+g(x)}=1+\dfrac {x^2}{2}+\dfrac {5x^4}{24}+o(x^5)\end{eqnarray}$$.

Exercice 2 - Question 4

Utiliser la question précédente pour calculer le développement de  $$\tan$$ à l'ordre 5.

Exercice 2 - Réponse à la question 4

$$\dfrac 1 {\cos x}=1+\dfrac {x^2}{2}+\dfrac {5x^4}{24}+o(x^5)$$.

$$ \sin x=x-\dfrac {x^3}{6}+\dfrac {x^5}{120}+o(x^5)$$.

En multipliant et ordonnant les termes de ces développements on obtient :

$$\begin{eqnarray}\tan x &=&(x-\dfrac {x^3}{6}+\dfrac {x^5}{120}+o(x^5))(1+\dfrac {x^2}{2}+\dfrac {5x^4}{24}+o(x^5))\\&=&x-\dfrac {x^3}{6}+\dfrac {x^3}{2}-\dfrac {x^5}{120}-\dfrac {x^5}{12}+\dfrac {5x^5}{24}+o(x^5)\\&=&x+\dfrac {x^3}{3}+\dfrac {2x^5}{15}+o(x^5)\end{eqnarray}$$.