Title: Rappels - Parité
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Fonctions réelles

Rappels de cours

Parité d'une fonction

Fonction paire
Une fonction est paire si et seulement si
- L'ensemble de définition \(D_f\) est symétrique au sens que si \(x\in D_f\) alors  \(-x\in D_f\).
- Pour tout \(x\in D_f\), \(f(-x)=f(x)\).

Fonction impaire
Une fonction est paire si et seulement si
- L'ensemble de définition \(D_f\) est symétrique au sens que si \(x\in D_f\) alors  \(-x\in D_f\).
- Pour tout \(x\in D_f\), \(f(-x)=-f(x)\).

Symétrie du graphe

Fonction paire
Une fonction est paire si et seulement si son graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Fonction impaire
Une fonction est impaire si et seulement si son graphe est symétrique par rapport au point $O$.

Exemple
Exemple de graphe d'une  fonction paire :

Exemple de graphe d'une  fonction impaire :

Ex 1 - Question 1

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=\sin 2x\).

Déterminer si cette fonction est paire ou impaire.

Ex 1 - Réponse à la question 1

L'ensemble de définition de la fonction est bien symétrique. Soit \(x\) un réel fixé, on calcule \(f(-x)\).

\(f(-x)=\sin (-2x)=-\sin (2x)= -f(x) \).

Donc \(f\) est une fonction impaire.

Ex 1 - Question 2

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=\cos 2x\).

Déterminer si cette fonction est paire ou impaire.

Ex 1 - Réponse à la question 2

L'ensemble de définition de la fonction est bien symétrique. Soit \(x\) un réel fixé, on calcule \(f(-x)\).

\(f(-x)=\cos(-2x)=\cos (2x)= f(x) \).

Donc \(f\) est une fonction paire.

Ex 1 - Question 3

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=\sin(\pi/2-3x)\). Cette fonction est-elle paire? Est-elle impaire?

Ex 1 - Réponse à la question 3

La fonction \(f\) est paire.

Explication :
Pour tout réel \(x\), \(f(x)=\cos (3x)\) par la relation des angles supplémentaires.
On sait alors que \(f(-x)=\cos (-3x)=\cos (3x)=f(x)\), donc la fonction est paire.

Ex 2 - Question 1

On considère la fonction \(\tan\) sur l'intervalle \( [-\pi/2;\pi/2]\).

En utilisant la parité des fonctions \(\sin\) et \(\cos\), montrez que \(\tan\) est impaire.

Ex 2 - Réponse à la question 1

Lintervalle de définition est bien symétrique. On calcule \(\tan(-x)\) :

\[  \tan(-x)=\dfrac {\sin(-x)}{\cos(-x)}=\dfrac {-\sin(x)}{\cos(x)}=-\tan(x) \]

Donc la fonction \(\tan\) est impaire.

Ex 2 - Question 2

La fonction dont le graphe est donné ci dessous est-elle paire ? est-elle impaire ?

Ex 2 - Réponse à la question 2

Le graphe n'est pas symétrique par rapport à l'axe des abscisses, donc la fonction n'est pas paire.
Il n'est pas symétrique par rapport au point \( (0,0)\) donc  la fonction n'est pas impaire.