Title: Exercice 2 - Binôme de Newton
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Nombres et Géométrie

Question 1

Soit $$P$$ la fonction polynomiale suivante : $$P(x)=(x+1)^n-(x-1)^n$$ avec $$n$$ un entier positif. A l'aide de la formule du binôme écrire $$P$$ sous la forme $$P=\sum_k a_k x^k$$

Correction question 1

La formule du binôme donne :

$$P(x)=\sum_{k=0}^n C^k_n x^k \times 1^{n-k} - P(x)=\sum_{k=0}^n C^k_n x^k \times (-1)^{n-k} $$

donc en regroupant :

$$P(x)=\sum_{k=0}^n C^k_n (1- (-1))^{n-k} x^k$$

Question 2

En déduire le degré de $$P$$ (c'est-à-dire son terme de plus haut degré) et son coefficient dominant (c'est-à-dire le coefficient associé).

Correction question 2

Le coefficient de degré $$n$$ de $$P$$ vaut :

$$C^n_n(1-(-1)^{n-n})=1\times 0=0$$

Le coefficient de degré $$n-1$$ de $$P$$ vaut :

$$C^{n-1}_n(1-(-1)^{n-(n-1)})=n\times 2=2n$$

Ainsi $$P$$ est de degré $$n$$ et de coefficient dominant $$2n$$