Title: Rappels Loi et processus de Poisson
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Probabilités et Statistiques

Introduction et Définitions

Loi de Poisson

Définition :

On dira que \(X\) suit une loi de Poisson, \(X\) ~ \(Po(\lambda)\) avec \(\lambda >0\) si et seulement si :
\[P(X=k)=\dfrac {\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\]

Moments :

Si \(X\) est une variable aléatoire de loi \(Po(\lambda)\), on a : \(E(X)=\lambda\) et \(V(X)=\lambda\).

Propriétés :

Si \(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives \(Po(\lambda_1)\) et \(Po(\lambda_2)\), alors la variable aléatoire \(Z=X+Y\) suit une loi de Poisson de paramètre \(\lambda_1+\lambda_2\).

On peut inversement diviser une variable de Poisson en deux variables de Poisson  indépendantes :

Soit \(Z\) une variable aléatoire de loi \(Po(\lambda)\). On effectue un tirage de cette loi. Si \(Z=n\), on tire \(X\) selon une loi binomiale de paramètre \((n,p)\) et on définit \(Y=n-X\).

Alors \(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives \(Po(\lambda p)\) et \(Po(\lambda (1-p))\).

Exposé sur la loi de Poisson :  Video

Processus de Poisson homogène

La loi de Poisson est souvent utilisée pour modéliser le nombre d'occurrences d'un événement sur une unité d'espace ou de temps.
Ce modèle correspond à un tirage aléatoire de points sur l'ensemble de la droite réelle. On se fixe un paramètre \(\rho\) qui correspond à la fréquence des occurrences, c'est à dire au nombre d'occurrences par unité de temps. Les règles du tirage sont :
- Sur un intervalle de durée \(T\) le nombre d'occurrences est une variable aléatoire de Poisson de paramètre \(\lambda=\rho T\). Le nombre moyen d'occurrences est donc proportionnel à la durée d'observation.
- Sur deux intervalles de temps disjoints \(I\) et \(J\), les deux variables de Poisson décrivant le nombre d'occurrences sont indépendantes.

Ces deux règles définissent un processus de Poisson homogène.

Processus de Poisson homogène et loi exponentielle

Propriété : Si les occurrences sont tirées selon un processus de Poisson homogène, alors le temps d'attente entre deux occurrences successives suit une loi exponentielle.

Processus de Poisson homogène et loi uniforme

Pour simuler le processus de Poisson d'intensité \(\rho\) sur un intervalle de temps \([t_1,t_2]\) :
- on tire une variable de Poisson de paramètre \(\rho(t_2-t_1)\). La valeur obtenue \(N\) est le nombre d'occurrences dans l'intervalle.
- on tire la position de chacune des \(N\) occurrences selon une loi uniforme sur l'intervalle et indépendamment les unes des autres. Les occurrences sont donc réparties sur tout l'intervalle, mais pas réparties régulièrement : les occurrences étant choisis indépendamment, elles peuvent tomber proches les unes des autres.

Propriété : Le processus obtenu par cette méthode a exactement la même loi que  le processus  de Poisson de paramètre \({\rho }\).

Processus de Poisson et effacement selon une loi de Bernoulli

Soit un processus de Poisson d'intensité \(\rho\) sur un intervalle de temps \([t_1,t_2]\). On effectue un tirage de ce processus. Pour chacun des points obtenus, on tire de façon indépendante une variable de Bernoulli de probabilité \(p\). On ne garde que les points correspondants à un succès du tirage de Bernoulli correspondant et on efface les autres.

Propriété : Le processus obtenu  est un processus  de Poisson de paramètre \(p\times \rho \).

Remarque : Cette méthode utilise la méthode pour diviser une variable de Poisson en deux variables de Poisson indépendantes. Le processus des points effacés est également un processus de Poisson de paramètre \((1-p)\times \rho \). Les deux processus sont indépendants.

Processus de Poisson et loi binomiale

Supposons qu'on doive répartir des points de manière aléatoire sur un intervalle de longueur \(T\) avec un nombre moyen de point \(\rho T\)  à respecter : une méthode consiste à découper l'intervalle en \(n\) intervalles très petits et à tirer pour chacun de ces intervalles la présence ou absence d'un point  suivant une loi de Bernoulli de paramètre \(p\), de façon indépendante pour chacun des intervalles. Pour que le nombre moyen de points soit respecté, il faut que l'espérance de la somme des \(n\) variables de Bernoulli soit égal à \(\rho T\). On doit choisit \(p=\dfrac {\rho T}n\). Le nombre de points sur l'intervalle est la somme des variables de Bernoulli donc ce nombre suit une loi binomiale de paramètres \(n,p\)

Propriété : Si \(n\) tend vers l'infini, la loi binomiale de paramètres \(\left(n,\dfrac {\rho T}n\right)\) tend vers la loi de Poisson de paramètre \({\rho T}\). Le processus final de positions des points suit un processus de Poisson de paramètre \(\lambda\).

Cette méthode intuitive de distribution de points au hasard donne le processus de Poisson défini précédemment lorsqu'on prend des intervalles infiniment petits.

Application de la loi de Poisson

Exemple :

On considère que les éruptions du Vésuve susceptibles de provoquer des dommages majeurs suivent une loi de Poisson, où le nombre $$X$$ d’éruptions sur un intervalle de temps $$t$$ suit une loi de Poisson de paramètre $$\mu t$$. Pour les éruptions les plus dangereuses, on donne $$\mu=0.0003$$. Quelle est la probabilité d’observer au moins une éruption de ce type :

1. durant le siècle à venir ?
2. durant le millénaire à venir ?

Les distributions de probabilité de ces deux variables aléatoires discrètes sont présentées dans la figure suivante.

Distributions de probabilité pour Po(0.03) et Po(0.3)

Utilisation de la loi de Poisson :

On dira en pratique qu'un événement est rare, si pour un nombre $$n$$ d'observations élevé ($$n\geq50$$), le nombre d'apparitions de cet événement est faible ($$np\leq5$$).

Si $$X$$ représente le nombre d'apparitions de cet événement pour l'échantillon considéré, alors $$X$$ suivra une loi de Poisson de paramètre $$\lambda=np$$.

Exercice 1 - Question 1

Processus de Poisson et loi exponentielle

On estime que le nombre $$Y$$ d’alertes au feu signalées dans une caserne de pompiers suit un processus de Poisson de paramètre $$\rho=3,2$$ par jour.

Quelle est la probabilité  qu’il y ait plus d’une alerte sur la journée ?

Exercice 1 - Réponse à la question 1

La probabilité d'avoir plus d'une alerte est complémentaire de la probabilité que la variable de Poisson vaille \(0\), qui vaut  \(e^{-3.2}=0.041\).

La probabilité d'avoir plus d'une alerte est de \(1-e^{-3.2}=0.959\).

Exercice 1 - Question 2

Quelle est la probabilité que deux alertes se produisent entre midi et 14 heure  ?

Exercice 1 - Réponse à la question 2

Le nombre d'alerte dans un créneau de deux heures suit une loi de Poisson. Son paramètre est proportionnel à la durée du créneau. Pour un jour, le paramètre vaut \(3.2\). Pour deux heures, il vaut donc \(\lambda=3.2/12=4/15\).

La probabilité qu'il y ait deux alertes est donc \(P=\dfrac {\lambda^2}{2}e^{-\lambda}=\dfrac {8}{225}e^{-4/15}=0.027\).