Title: Rappels - Fonction croissante et décroissante
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Fonctions réelles

Rappels de cours

Fonction bornée

Définition
Une fonction \(f\) est bornée sur un intervalle \(I\) si et seulement si il existe deux réels \(m\) et \(M\) tels que
\[\forall x \in I, \ m\leq f(x)\leq M\]
Il existe plusieurs choix pour \(m\) et \(M\). On dit que \(m\) est une borne minimale de \(f\) sur \(I\) et que \(M\) est une borne maximale de \(f\) sur \(I\).

Exemple de  fonction bornée :
\(f\) définie par \(f(x)=x^2\) est bornée sur \([-2;2]\) par \(m=0\) et \(M=4\).

Propriétés

La somme de deux fonctions bornées sur un intervalle \(I\) est bornée est bornée sur l'intervalle \(I\) :
Si \(\forall x \in I, \ m_1\leq f(x)\leq M_1\) et \(\forall x \in I, \ m_2\leq g(x)\leq M_2\), alors
\[\forall x \in I, \ m_1+m_2\leq f(x)+g(x)\leq M_1+M_2\]

Le produit de deux fonctions bornées sur un intervalle \(I\) est bornée est borné sur l'intervalle \(I\) :
Si \(\forall x \in I, \ m_1\leq f(x)\leq M_1\) et \(\forall x \in I, \ m_2\leq g(x)\leq M_2\), alors
\[\forall x \in I, \ m\leq f(x)+g(x)\leq M,\]
où \(m\) est le minimum des quatre nombres \(m_1m_2\), \(m_1M_2\),  \(M_1m_2\) et \(M_1M_2\) et \(M\) est le maximum de ces nombres.
Remarque : si toutes les bornes sont positives, on a simplement  \(m=m_1m_2\) et \(M=M_1M_2\).

L'inverse d'une fonction bornée par \(m\) et \(M\) sur un intervalle \(I\)  est bornée sur \(I\) et si \(m\) et \(M\) sont de même signe
Si \(\forall x \in I, \ 0<m\leq f(x)\leq M\) , alors
\[\forall x \in I, \dfrac 1  M\leq \dfrac 1 {f(x)}\leq \dfrac 1 m,\]

Méthode de construction des bornes

Pour calculer les bornes d'une fonction définie par une formule on construit progressivement les bornes en utilisant les propriétés précédentes.

Ex 1 - Question 1

Déterminer les deux entiers naturels impairs et consécutifs \(a\) et  \(b\) tels que :
 \[ \forall x \in [8,9]       \  a     \   \leq   \  2x -5   \  \leq \  b \]

Ex 1 - Réponse à la question 1

On a :  \[ \forall x \in [9,9], \  \ 8 \   \leq  \  x \  \leq \ 9  \   \]    d'où  \[  \   \ \  2 \times  8 \  \leq  \  2 \times  x \  \leq  \  2 \times  9 \ \ \]    soit  \[     16  \  \leq  \   2x  \  \leq \   18   \]   d'où  \[    16 -5 \  \leq  \   2x -  5 \  \leq \ 18 -5   \   \  \]    et enfin  \[  \    11   \  \leq  \   2x -  5   \  \leq \ 13 \   \  \; \quad (1)  \]

Ex 1 - Question 2

Déterminer les entiers naturels \(a\) et  \(b\) consécutifs tels que :
\[    \forall x \in [8,9], \    \  a \sqrt a   \   \leq \ \sqrt x \  \leq  \   b   \]

Ex 1 - Réponse à la question 2

On a : \[\forall x \in [8,9] ,\    \   8    \   \leq  \  x \  \leq \ 9   \]
  d'où  \[    \sqrt 8 \   \leq \  \sqrt x \  \leq  \ \sqrt 9    \]
  d'où  \[   \sqrt {4 \times 2 } \   \leq \  \sqrt x \  \leq  \ 3    \]
   d'où  \[  2 \sqrt 2 \   \leq \  \sqrt x \  \leq  \ 3    \qquad  (2)  \]

Ex 1 - Question 3

En utilisant les deux encadrements  précédents, déterminer les entiers relatifs \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\)  tels que :
\[    \forall x \in [8,9],   \ \  a  \   \leq \   2x - 5 -3 \sqrt x \  \leq  \   b  + c \sqrt d    \]

Ex 1 - Réponse à la question 3

D'après l'encadrement \((2)\), il vient :
  \[ \forall x \in [8,9], \   \  (-2) \times 3 \   \leq \  (-2) \times \sqrt x \  \leq  \ (-2) \times 2 \sqrt 2    \]
   d'où  \[    -6 \   \leq \ -2  \sqrt x \  \leq  \ -4 \sqrt 2    \   \quad (3)  \]
En  additionnant membre à membre les encadrements \((1)\)  et \((3)\)  on obtient : \[\forall x \in [8,9],   \ \  11 - 6  \   \leq \  2 x  - 5  - 2 \sqrt x \  \leq  \ 13 - 4 \sqrt 2  \ \ \]  C'est à dire : \[    \forall x \in [8,9] ,   \ \  5  \   \leq \  f(x) \  \leq  \ 13 - 4 \sqrt 2  \ \ \]

Ex 2 - Question 1

On considère la fonction \(f\)  définie sur \(\mathbb R\) par
\[x\mapsto  \dfrac{3 +\sin ^{2}x}{2+ x^{2}}\]
Déterminer deux entiers naturels consécutifs \(a\) et \(b\) tels que :
\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad   a \leq 3 +\sin ^{2}x   \leq b \]

Ex 2 - Réponse à la question 1

On a :
\[  \forall x \in  \mathbb{R},   \ \   -1 \   \leq  \ \sin x  \  \leq \ 1  \   \ \]
   d'où  \[  \     0    \  \leq  \   \sin ^{2}x   \  \leq  \ 1  \  \  \]
   et enfin  \[  \     3    \  \leq  \   3 + \sin ^{2}x   \  \leq  \ 4   \ \quad (1)   \]

Ex 2 - Question 2

Déterminer deux entiers naturels pairs consécutifs \(a\) et \(b\) tels que :
\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad   a \leq  \dfrac{1}{2+ x^{2} }  \leq \dfrac{1}{b}\]

Ex 2 - Réponse à la question 2

On a :\[\forall x \in \mathbb{R },  \ \   2    \   \leq  \   2 + x^{2 }\   \    \   \ \]    d'où  \[  \  \dfrac{1}{2 + x^{2} }\   \leq \ \dfrac{1}{2 } \   \   \ \ \] On en déduit que :\[    \forall x \in \mathbb{R },\ \     0 \   \leq  \ \dfrac{1}{ 2 + x^{2}}    \  \leq \ \dfrac{1}{2} \        \qquad (2) \]

Exercice 2 - Question 3

Pour \(f\) tel que \[f(x)=  \dfrac{3 +\sin ^{2}x}{2+ x^{2}},\] Déterminer deux entiers naturels pairs consécutifs \(a\) et \(b\) tels que :
\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad   a \leq  f(x)  \leq b \]

Exercice 2 - Réponse à la question 3

En multipliant membre à membre \((1)\)  et \((2)\)  on obtient :
  \[  \forall x \in \mathbb{R},   \ \  0 \   \leq \  (3 + \sin ^2 x) . \dfrac{1}{2 + x ^{2}}\  \leq  \ 4 \times \dfrac{1}{2} \ \ \]
C'est à dire :
\[    \forall x \in  \mathbb{R},   \ \  0 \   \leq \ f(x) \  \leq  \   2 \ \ \]