Title: Equation lineaire ordre 2
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: Soit l’équation différentielle :

\(y"-2y'-8y =0\).
- La solution générale est \(y(x)=k_1e^{-4x}+k_2e^{-2x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)=k_1e^{4x}+k_2e^{-2x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)=e^{4k_1x}+k_2e^{-2k_2x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)=k_1e^{4x}+k_2e^{2x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
A: La solution générale est \(y(x)=k_1e^{4x}+k_2e^{-2x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
Feedback: Le polynôme caractéristique de l’équation est \(x^2-2x-8=0\). Son discriminant est \(4+32=36\). Les racines sont \(r_1=4\) et \(r_2=-2\). La solution générale est \(y(x)=k_1e^{4x}+k_2e^{-2x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.

Q: Soit l’équation différentielle :

\(2y"+3y'+y =0\).
- La solution générale est \(y(x)=k_1e^{x}+k_2e^{-\frac x2}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)=e^{k_1x}+k_2e^{\frac {k_2x}2}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)=k_1e^{-x}+k_2e^{2x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)=k_1e^{x}+k_2e^{\frac x2}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
A: La solution générale est \(y(x)=k_1e^{x}+k_2e^{\frac x2}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
Feedback: Le polynôme caractéristique de l’équation est \(2x^2+3x+1=0\). Son discriminant est \(9-8=1\). Les racines sont \(r_1=1\) et \(r_2=\dfrac 12\). La solution générale est \(y(x)=k_1e^{x}+k_2e^{\frac x2}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.

Q: Soit l’équation différentielle :

\(y"-2y'+y =0\).
- La solution générale est \(y(x)=k_1e^{x}+k_2e^{-x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)=k_1e^{x}+k_2xe^{ x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)=k_1e^{-x}+k_2e^{2x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)=k_1e^{x}+k_2e^{-x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
A: La solution générale est \(y(x)=k_1e^{x}+k_2xe^{ x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
Feedback: Le polynôme caractéristique de l’équation est \(x^2+2x+1=(x-1)^20\). La racine double est \(r_1=1\). La solution générale est \(y(x)=k_1e^{x}+k_2xe^{ x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.

Q: Soit l’équation différentielle :

\(y"+4y'+4y =0\).
- La solution générale est \(y(x)=k_1e^{-2x}+k_2xe^{ -2x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)=e^{k_1x}+xe^{k_2 x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)=k_1e^{-x}+k_2xe^{ -x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)=k_1e^{-2x}+k_2e^{ 2x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
A: La solution générale est \(y(x)=k_1e^{-2x}+k_2xe^{ -2x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
Feedback: Le polynôme caractéristique de l’équation est \(x^2+4x+4=(x+2)^2=0\). La racine double est \(r_1=-2\). La solution générale est \(y(x)=k_1e^{-2x}+k_2xe^{ -2x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.

Q: Soit l’équation différentielle :

\(y"-5y'+7 =0\).
- La solution générale est \(y(x)=e^{\dfrac{5x}2}(k_1\cos\left(\dfrac {\sqrt 3 x}2\right)+k_2\sin\left(\dfrac {\sqrt 3 x}2\right)\right)\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)=k_1e^{5x}+k_2e^{ -5x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)=e^{5x}(k_1\cos\left(\dfrac {\sqrt 3 x}2\right)+k_2\cos\left(\dfrac {\sqrt 3 x}2\right)\right)\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)=e^{\dfrac{5x}2}(k_1\cos\left(\dfrac {\sqrt 3 x}2\right)+k_2\cos\left(-\dfrac {\sqrt 3 x}2\right)\right)\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
A: La solution générale est \(y(x)=e^{\dfrac{5x}2}(k_1\cos\left(\dfrac {\sqrt 3 x}2\right)+k_2\sin\left(\dfrac {\sqrt 3 x}2\right)\right)\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
Feedback: Le polynôme caractéristique de l’équation est \(x^2-5x+7=0\). Son discriminant est \(25-28=-3\). Les racines sont \(r_1=\dfrac {5+i\sqrt 3}2\) et \(r_2=\dfrac {5-i\sqrt 3}2\). La partie réelle de la racine donne l’exposant de l’exponentielle. La partie imaginaire donne le coefficient de l’argument des fonctions sinus et cosinus. La solution générale est \(y(x)=e^{\dfrac{5x}2}(k_1\cos\left(\dfrac {\sqrt 3 x}2\right)+k_2\sin\left(\dfrac {\sqrt 3 x}2\right)\right)\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.

Q: Soit l’équation différentielle :

\(3y"+6y'+4y =0\).
- La solution générale est \(y(x)=e^{x}(k_1\cos\left(\dfrac x {\sqrt 3 }\right)+k_2\sin\left(\dfrac x{\sqrt 3 }\right)\right)\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)=e^{-x}(k_1\cos\left( \sqrt 3x \right)+k_2\sin\left(\sqrt 3x \right)\right)\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)=e^{-x}(k_1\cos\left(\dfrac x {\sqrt 3 }\right)+k_2\sin\left(\dfrac x{\sqrt 3 }\right\right))\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)=e^{-x}(k_1\cos\left( \sqrt {3 x}\right)+k_2\sin\left(\sqrt {3 x}\right)\right)\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
A: La solution générale est \(y(x)=e^{-x}(k_1\cos\left(\dfrac x {\sqrt 3 }\right)+k_2\sin\left(\dfrac x{\sqrt 3 }\right\right))\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
Feedback: Le polynôme caractéristique de l’équation est \(3x^2+6x+4=0\). Son discriminant est \(36-48=-12\). Les racines sont \(r_1=\dfrac {-6+i\sqrt {12} }6=-1+\dfrac i {\sqrt 3 }\) et \(r_2=-1+\dfrac i {\sqrt 3 }\). La partie réelle de la racine donne l’exposant de l’exponentielle. La partie imaginaire donne le coefficient de l’argument des fonctions sinus et cosinus. La solution générale est \(y(x)=e^{-x}(k_1\cos\left(\dfrac x {\sqrt 3 }\right)+k_2\sin\left(\dfrac x{\sqrt 3 }\right)\right)\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.

Q: Soit l’équation différentielle :

\(y"+6y'+2y =0\).
- La solution générale est \(y(x)= k_1e^{(-3x}+k_2e^{-\sqrt 7x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)= e^{(-3k_1+\sqrt 7k_2)x}+e^{(-3k_1-\sqrt 7k_2x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)= k_1e^{(-3+\sqrt 7)x}+k_2xe^{(-3+\sqrt 7)x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)= k_1e^{(-3+\sqrt 7)x}+k_2e^{(-3-\sqrt 7)x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
A: La solution générale est \(y(x)= k_1e^{(-3+\sqrt 7)x}+k_2e^{(-3-\sqrt 7)x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
Feedback: Le polynôme caractéristique de l’équation est \(x^2+6x+2=0\). Son discriminant est \(36-8=28\). Les racines sont \(r_1=\dfrac {-6+\sqrt {28} }2=-3+\sqrt 7\) et \(r_2=-3-\sqrt 7\). La solution générale est \(y(x)= k_1e^{(-3+\sqrt 7)x}+k_2e^{(-3-\sqrt 7)x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.

Q: Soit l’équation différentielle :

\(y"+2y'+2y =0\).
- La solution générale est \(y(x)=e^{-x}(k_1\cos\left(-x\right)+k_2\sin\left(-x\right)\right)\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)=e^{x}(k_1\cos\left(x\right)+k_2\sin\left(x\right)\right)\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)=e^{-x}(k_1\cos\left(x\right)+k_2\sin\left(x\right)\right)\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)=e^{-x}(k_1\cos\left(2x\right)+k_2\sin\left(2x\right)\right)\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
A: La solution générale est \(y(x)=e^{-x}(k_1\cos\left(x\right)+k_2\sin\left(x\right)\right)\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
Feedback: Le polynôme caractéristique de l’équation est \(x^2+2x+2=0\). Son discriminant est \(4-8=-4\). Les racines sont \(r_1=\dfrac {-2+2i }2=-1+i\) et \(r_2=-1-i\). La solution générale est \(y(x)=e^{-x}(k_1\cos\left(x\right)+k_2\sin\left(x\right)\right)\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.

Q: Soit l’équation différentielle :

\(y"+3y'+3y =0\).
- La solution générale est \(y(x)=e^{-3x}\left(k_1\cos\left(\dfrac {\sqrt 3 }2x\right)+k_2\sin\left(\dfrac {\sqrt 3 }2x\right)\right)\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)=e^{-frac {-3x }2}\left(k_1\cos\left( \sqrt 3 x\right)+k_2\sin\left(\sqrt 3 x\right)\right)\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)=e^{-frac {-3x }2}\left(k_1\cos\left(\dfrac {\sqrt 3 }2x\right)+k_2\sin\left(\dfrac {\sqrt 3 }2x\right)\right)\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)=e^{-frac {-3x }2}\left(k_1\cos\left(-\dfrac {\sqrt 3 }2x\right)+k_2\sin\left(-\dfrac{\sqrt 3 }2x\right)\right)\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
A: La solution générale est \(y(x)=e^{-frac {-3x }2}\left(k_1\cos\left(\dfrac {\sqrt 3 }2x\right)+k_2\sin\left(\dfrac {\sqrt 3 }2x\right)\right)\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
Feedback: Le polynôme caractéristique de l’équation est \(x^2+3x+3=0\). Son discriminant est \(9-12=-3\). Les racines sont \(r_1=\dfrac {-3+i\sqrt {3} }2\) et \(r_2=\dfrac {-3-i\sqrt {3} }2\). La solution générale est \(y(x)=e^{-frac {-3x }2}\left(k_1\cos\left(\dfrac {\sqrt 3 }2x\right)+k_2\sin\left(\dfrac {\sqrt 3 }2x\right)\right)\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.

Q: Soit l’équation différentielle :

\(y"+5y'+4y =0\).
- La solution générale est \(y(x)= k_1e^{x}+k_2e^{-4x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)= k_1e^{-x}+k_2e^{-4x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)= e^{-k_1x}+e^{-4k_2x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
- La solution générale est \(y(x)= k_1e^{-x}+k_2e^{4x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
A: La solution générale est \(y(x)= k_1e^{-x}+k_2e^{-4x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.
Feedback: Le polynôme caractéristique de l’équation est \(x^2+5x+4=0\). Son discriminant est \(25-16=9\). Les racines sont \(r_1=\dfrac {-5+ {3} }2=-1\) et \(r_2=\dfrac {-5- {3} }2=-4\). La solution générale est \(y(x)= k_1e^{-x}+k_2e^{-4x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) constantes réelles.