Title: Ressources - Définition et partie entière
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Fonctions réelles

Supports

Un support écrit pour définir les fractions rationnelles et leur premières propriétés.

ou

Un lien vidéo pour définir les fractions rationnelles : https://www.youtube.com/watch?v=wf-eEQPBX0Y

Exercice 1

Soit $$F$$ la fraction rationnelle $$F(X)=\frac{X^5+X^4+1}{(X-1)^3(X+1)^2}=\frac{P(X)}{Q(X)}$$

Quelles sont pôles et les racines de $$F$$ dans $$\mathbb{R}$$ ?

Quel est le degré de $$F$$ ?

$$F$$ est-elle écrite sous forme irréductible ?

Donner la partie entière de $$F$$.

Correction Exercice 1

Rappel : $$F(X)=\frac{X^6+X^4+1}{(X-1)^3(X+1)^2}=\frac{P(X)}{Q(X)}$$

Quelles sont les pôles et les racines de $$F$$ sur $$\mathbb{R}$$ ?

Les racines réelles de $$F$$ sont celles de $$P(X)=X^5+X^4+1$$. Ce polynôme n'admet pas de racine réelle (il est toujours supérieur à $$1$$).

Les pôles réels de $$F$$ sont les racines de $$Q(X)=(X-1)^3(X+1)^2$$ c'est-à-dire $$1$$ qui est d'ordre $$3$$ et $$-1$$ qui est d'ordre $$2$$.

Quel est le degré de $$F$$ ?

$$deg(F)=deg(P)-deq(Q)=6-5=1$$.

$$F$$ est-elle écrite sous forme irréductible ?

$$P$$ et $$Q$$ n'admettent pas de racine commune donc $$F$$ est écrite sous forme irréductible.

Quelle est la partie entière de $$F$$ ?

On écrit la division euclidienne de $$P$$ par $$Q$$ : $$Q(X)=X^5-X^4+3X^3+2X-1$$.

On obtient $$P(X)=Q(X)\times (X-1)+Reste$$. La partie entière de $$F$$ est donc $$X-1$$.

Exercice 2

Soit $$F(X)=\frac{X^3+X^2-X-1}{X^2-1}$$

Mettre $$F$$ sous forme irréductible.

Quelles sont les pôles de $$F$$ et leurs ordres ?

Calculer la partie entière de $$F$$

Correction Exercice 2

Mettre $$F$$ sous forme irréductible.

Le numérateur a pour racines $$-1$$ d'ordre $$1$$ et $$1$$ d'ordre $$2$$. Le dénominateur a pour racines simples $$1$$ et $$-2$$. En simplifiant par $$X-1$$ on obtient donc une forme irréductible de $$F$$ : $$F(X)=\frac{(X-1)(X+1)}{X+2}$$.

Quels sont les racines et pôles de $$F$$ ?

A partir de la forme irréductible on obtient deux racines simples $$1$$ et $$-1$$ et un pôle simple, $$-2$$.

Donner la partie entière de $$F$$.

On écrit la division euclidienne de $$(X-1)(X+1)$$ par $$X+2$$ : $$(X-1)(X+1)=X^2-1=(X-2)\times(X+2)+3$$. La partie entière de $$F$$ vaut donc $$X-2$$.