Title: Exercice 2 - Sommes, produits
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Nombres et Géométrie

Question 1

Soient les deux sommes suivantes :

$$S_1=\sum_{i=4}^{12}(2i+3\theta)$$

$$S_2=\sum_{j=4}^{12}(4j+5k+1)$$

En effectuant un changement de variable dans une des sommes écrire la quantité $$S=S_1+S_2$$ avec une écriture ne contenant qu'une seule somme.

Correction question 1

$$S=\sum_{i=4}^{12}(2i+3\theta)+\sum_{j=4}^{12}(4j+5k+1)$$

La première somme porte sur l'indice $$i$$, la deuxième somme porte sur l'indice $$j$$ mais c'est un indice muet, on peut le remplacer par un indice $$i$$ :

$$S=\sum_{i=4}^{12}(2i+3\theta)+\sum_{i=4}^{12}(4i+5k+1)$$

$$S=\sum{i=4}^{12}(6i+5k+3\theta+1)$$

$$k$$ et $$\theta$$ sont ici des constantes.

Question 2

$$S=\sum{i=4}^{12}(6i+5k+3\theta+1)$$

En utilisant une relation de Chasles, calculer $$S$$

Correction question 2

$$S=\sum{i=4}^{12}(6i+5k+3\theta+1)$$

Par linéarité :

$$S=6\sum{i=4}^{12}i+\sum_{i=4}^{12}(5k+3\theta+1)=6\sum{i=4}^{12}i+(5k+3\theta+1)\times(12-4+1)$$

Par Chasles :

$$S=6\sum{i=1}^{12}i-6\sum{i=1}^{3}1+9(5k+3\theta+1)$$

par somme usuelle :

$$S=6\frac{12\times 13}{2}-6\frac{3\times 4}{2}+9(5k+3\theta+1)$$

et finalement :

$$S=504+9(5k+3\theta+1)$$