Title: Rappels Limite en un point a
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Continuité, Dérivation, Intégration

Limite d'une fonction en un point

Pour une fonction $$f$$, on peut calculer sa limite en un point de son domaine de définition $$D_f$$  ou sur le bord de celui-ci.

Pour $$a$$ un tel point, on notera $$\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)$$ la limite de $$f$$ en $$a$$.

Si $$a\in D_f$$, on a $$\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)=f(a)$$. Si $$a\not\in D_f$$, la limite $$\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)$$ sera définie comme la valeur dont les $$f(x)$$ s'approchent pour tout $$x\in D_f$$ aussi proche que souhaité de $$a$$. Cette limite n'est pas nécessairement définie.

La limite peut être infinie. On notera alors $$\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)=+\infty$$ ou $$\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)=-\infty$$.

Exercice

Quelle est la limite  $$\lim\limits_{x\rightarrow 0} x^3$$ ?

- 0
Feedback: Il suffit d'évaluer la fonction en 0.
- 1
Feedback: Il suffit d'évaluer la fonction en 0.

Limites à gauche ou à droite.

Parfois, lorsque la limite de la fonction $$f$$ en $$a$$ n'est pas définie, cela peut être dû au fait que le comportement est différent suivant que l'on tende vers $$a$$ par valeurs supérieures ou inférieures.

Dans le premier cas, on parlera de limite à droite  qui sera notée $$\lim\limits_{x \rightarrow a^+}f(x)$$ et dans le second de limite à gauche qui sera notée $$\lim\limits_{x \rightarrow a^-}f(x)$$.

Limite à gauche ou à droite

La limite de $$\lim\limits_{x\rightarrow 0} 1/x^3$$ est indéfinie car $$x^3$$ tend vers 0 par valeurs pouvant être positives ou négatives.

Ainsi on peut calculer $$\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} 1/x^3$$ . Combien vaut cette limite (on notera +inf pour $$+\infty$$, -inf pour $$-\infty$$) ?

- +inf
Feedback: On a $$\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x^3=0^+$$ (on tend vers 0 par valeurs supérieures). Par conséquent, $$\lim\limits_{x\rightarrow 0} 1/x^3=+\infty$$.