Title: Ressource - Nombres Complexes et trigonométrie
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Nombres et Géométrie

Complexes - Trigonométrie

H- Ecriture trigonométrie

Définition 7. Soit $$z = a+ib$$ un nombre complexe de module $$r$$ et d’argument $$\theta$$. On a vu que $$z$$ admet une unique écriture algébrique et une unique écriture exponentielle. On peut montrer que $$z$$ admet également une écriture trigonométrique (unique modulo $$2\pi$$) de la forme suivante : $$z = r(cos(\theta) + i sin(\theta))$$.

Propriété. Le complexe $$z = a + ib$$ a pour forme exponentielle $$r e^{i\theta}$$ si et seulement si :
- $$r=\sqrt{a^2+b^2}$$,
- $$cos(\theta)=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ et $$sin(\theta)=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$.

Complexes - Formule de Moivre

Formule de Moivre :  En bref et en vidéo avec Maths et Tiques

Ressources vidéo de Maths et Tiques

I- Formule de Moivre

Définition 8. Soit $$n$$ un entier positif, soit $$\theta$$ un réel, la formule suivante est vérifiée : $$(e^{i\theta})^n=e^{i\, n\theta}$$
ou de façon équivalente : $$(cos(\theta) + i sin(\theta))^n = cos(n\theta) + i sin(n\theta)$$.

Complexes - Formule d'Euler

Formule d'Euler :  En bref et en vidéo avec Maths et Tiques

Ressources vidéo de Maths et Tiques

J- Formule d'Euler

Définition 9. Soit $$\theta$$ un réel, les quantités sinus et cosinus peuvent également être définies de la manière suivante a formule suivante :
- $$cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$$,
- $$sin(\theta)=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$$.

Ces deux formules, en particulier, sont très utiles pour calculer des primitives de fonctions de la forme $$cos(x)^n$$ et $$sin(x)^n$$ en les exprimant sous la forme de combinaisons linéaires de fonctions de la forme $$cos(px)$$ ou $$sin(px)$$ avec $$p$$ un entier inférieur à $$n$$. Ce procédé s’appelle la linéarisation, il utilise la formule du binôme de Newton.

Exemple : linéariser $$cos(\theta)^3$$. Solution :
$$\begin{array}{ccll} cos(\theta)^3 & = & (\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2})^3& \\ & = & \frac{1}{8} \times \sum_{k=0}^3 \, C_3^k \, (e^{i\theta})^k \, (e^{-i\theta})^{3-k} &\text{(Formule du binôme de Newton)}\\ & = & \frac{1}{8} \times \sum_{k=0}^3 \, C_3^k \, (e^{ik\theta}) \, (e^{-i(3-k)\theta}) &\text{(Formule de Moivre)}\\ & = & \frac{1}{8} \times + \left( e^{3i\theta} + 3 e^{i\theta} + 3 e^{-i\theta} + e^{-3i\theta} \right)&\\ & = & \frac{1}{4} \times \frac{ e^{3i\theta} + e^{-3i\theta} }{2} + \frac{3}{4} \times \frac{ e^{i\theta} + e^{-i\theta} }{2} &\\ & = & \frac{1}{4} \times cos(3\theta)+ \frac{3}{4} \times sin(\theta) & \text{(Formule d'Euler)}\\ \end{array}$$

Nombres Complexes et trigonométrie - Exercice 1

Quelle est la forme exponentielle du nombre complexe $$z=\frac{cos(\frac{\pi}{3})+ i sin(\frac{\pi}{3})}{cos(\frac{\pi}{5})+ i sin(\frac{\pi}{5})}$$ ?

- $$z=e^{\frac{2i\pi}{15}}$$
Feedback: BRAVO ! En effet, $$z = \frac{e^{\frac{i\pi}{3}}}{e^{\frac{i\pi}{5}}} = e^{i(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{5})}=e^{\frac{2i\pi}{15}}$$.
- $$z=e^{\frac{i\pi}{15}}$$
Feedback: Revoyez la leçon ! En effet, $$z = \frac{e^{\frac{i\pi}{3}}}{e^{\frac{i\pi}{5}}} = e^{i(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{5})}=e^{\frac{2i\pi}{15}}$$.
- $$z=e^{\frac{8i\pi}{15}}$$
Feedback: Revoyez la leçon ! En effet, $$z = \frac{e^{\frac{i\pi}{3}}}{e^{\frac{i\pi}{5}}} = e^{i(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{5})}=e^{\frac{2i\pi}{15}}$$.
- $$z=e^{\frac{-i\pi}{2}}$$
Feedback: Revoyez la leçon ! En effet, $$z = \frac{e^{\frac{i\pi}{3}}}{e^{\frac{i\pi}{5}}} = e^{i(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{5})}=e^{\frac{2i\pi}{15}}$$.

Nombres Complexes et trigonométrie - Exercice 2

La linéarisation de l'expression $$sin(2\theta)\, cos(3\theta)$$ est égale à :

- $$\frac{1}{2} \left( sin(5\theta) - sin(\theta)\right)$$
Feedback: BRAVO ! $$sin(2\theta)\, cos(3\theta) = \frac{e^{2i\theta}-e^{-2i\theta}}{2i} \times \frac{e^{3i\theta}+e^{-3i\theta}}{2}$$ (Formule d'Euler) $$= \frac{1}{4i} \left( e^{5i\theta}+e^{-i\theta}-e^{i\theta}-e^{-5i\theta}\right) $$ $$ =\frac{1}{2} \left( \frac{e^{5i\theta}-e^{-5i\theta}}{2i} -\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\right) $$ $$= \frac{1}{2} \left( sin(5\theta) -sin(\theta)\right) $$
- $$\frac{1}{2} \left( sin(5\theta) + sin(\theta)\right)$$
Feedback: Revoyez la leçon ! $$sin(2\theta)\, cos(3\theta) = \frac{e^{2i\theta}-e^{-2i\theta}}{2i} \times \frac{e^{3i\theta}+e^{-3i\theta}}{2}$$ (Formule d'Euler) $$= \frac{1}{4i} \left( e^{5i\theta}+e^{-i\theta}-e^{i\theta}-e^{-5i\theta}\right) $$ $$ =\frac{1}{2} \left( \frac{e^{5i\theta}-e^{-5i\theta}}{2i} -\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\right) $$ $$= \frac{1}{2} \left( sin(5\theta) -sin(\theta)\right) $$
- $$\frac{1}{2} \left( sin(5\theta) + cos(\theta)\right)$$
Feedback: Revoyez la leçon ! $$sin(2\theta)\, cos(3\theta) = \frac{e^{2i\theta}-e^{-2i\theta}}{2i} \times \frac{e^{3i\theta}+e^{-3i\theta}}{2}$$ (Formule d'Euler) $$= \frac{1}{4i} \left( e^{5i\theta}+e^{-i\theta}-e^{i\theta}-e^{-5i\theta}\right) $$ $$ =\frac{1}{2} \left( \frac{e^{5i\theta}-e^{-5i\theta}}{2i} -\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\right) $$ $$= \frac{1}{2} \left( sin(5\theta) -sin(\theta)\right) $$
- $$\frac{1}{2} sin(5\theta) $$
Feedback: Revoyez la leçon ! $$sin(2\theta)\, cos(3\theta) = \frac{e^{2i\theta}-e^{-2i\theta}}{2i} \times \frac{e^{3i\theta}+e^{-3i\theta}}{2}$$ (Formule d'Euler)