Title: Ressource - Aires et volumes
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Nombres et Géométrie

Supports

Une fiche pratique pour les aires et volumes de base :

https://www.letudiant.fr/boite-a-docs/document/formulaire-aires-et-volumes-3121.html

Exercice 1

Un système de chauffage peut être modélisé par $$3$$ cylindres de rayon $$5$$m et de hauteur $$12$$m. Un deuxième système de chauffage, de volume équivalent, est quant à lui composé de $$4$$ cylindres de rayon $$y$$ et de hauteur $$8$$m. Afin de minimiser les pertes d'énergie on souhaite conserver le système présentant l'aire la plus faible.

1. Quel est le volume commun aux deux systèmes ?
2. En déduire la valeur de $$y$$.
3. Calculer l'aire des deux systèmes et décider lequel conserver.

Correction Exercice 1

On calcule le volume à l'aide des valeurs du premier système : $$V=3\times\pi\times Rayon^2\times Hauteur=3\times\pi\times5^2\times12=2826m^3$$.

En calculant le volume du deuxième système qui doit être identique au premier on identifie $$y$$ : $$V=4\times\pi\times y^2\times 8=2826m^3$$ donc $$y=\sqrt{\frac{2826}{4\times\pi\times 8}}=5.3$$.

$$Aire1=3\times 2\pi \times Rayon \times Hauteur=3\times 2\pi\times 5\times 12=1130.4 m^2$$.

$$Aire2=4\times 2\pi \times Rayon \times Hauteur=4\times 2\pi\times 5.3\times 8=1065m^2$$.

On choisit le deuxième système.

Exercice 2

On souhaite comparer le volume de trois tentes :

La première peut être modélisée comme un demi-cylindre de rayon $$1.5$$m et de hauteur $$2.5m$$  (couché à plat).

La seconde est un tipi (donc un cône) de rayon $$2.5m$$ et de hauteur $$2m$$.

La troisième est une tente classique, triangulaire, dont la base est un rectangle de $$2.5m$$ sur $$3$$ et de hauteur $$1.5$$m.

Correction Exercice 2

Volume tente 1 : la moitié d'un cylindre

$$V1=1/2\times \pi R^2 H= 1/2\times \pi \times 1.5^2 \times 2.5 = 8.8 m^3$$

Volume tente 2 : cône

$$V2=1/3 \times \pi R^2 H = 1/3 \times \pi \times 2^2\times 2 =8.37m^2$$

Volume tente 3  : peut être vu comme un demi pavé droit

$$V3=1/2\times Largeur\times Longueur\times Hauteur=1/2\times 2.5\times 3\times 1.5=5.62m^2$$