Title: integrale generalisee
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: On considère l’intégrale suivante : \({I = \int_{0}^{+ \infty} \, e^{-7t} \, dt}\).

On a : \[ I = \dfrac{n}{p}\]

où \(n\) et \(p\) sont des entiers relatifs tels que la fraction \(\dfrac{n}{p}\) soit irréductible.

- Entrer la valeur de l’entier relatif \[n\] dans la case suivante : [...]
- Entrer la valeur de l’entier relatif \[p\] dans la case suivante : [...]
A: 1; 7
Feedback: Remarque : on constate que la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \(t \mapsto e^{-7t}\) est continue sur \([0,+\infty [\). On a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in [0, + \infty [, \int_{0}^{ x} \, e^{-7t} \, dt & = & \left[ -\dfrac{1}{7} \, e^{-7i} \right]^{x}_ {0} \\ & = & -\dfrac{1}{7} \, e^{-7x} - \left ( -\dfrac{1}{7} \, e^{0} \right ) \\ & = & -\dfrac{1}{7} \, e^{-7x} + \dfrac{1}{7} \end{eqnarray*}\] De plus comme $_{x+ } { - , e^{-7x} } = 0 $ on en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to + \infty} { \; \int_{0}^{ x} \, e^{-7t} \, dt } & = & \dfrac{1}{7} \end{eqnarray*}\] Donc l’intégrale \(I\) converge et \[ I = \dfrac{1}{7}\]

Q: On considère l’intégrale suivante : \({I = \int_{0}^{+ \infty} \, \dfrac{1}{1 + t^{2}} \, dt}\).

On a : \[ I = \dfrac{n}{p}\pi \]

où \(n\) et \(p\) sont des entiers naturels tels que la fraction \(\dfrac{n}{p}\) soit irréductible.

Entrer la valeur de l’entier relatif \(n\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \(p\) dans la case suivante : [...]
A: 1; 2
Feedback: Remarque : on constate que la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \[t \mapsto \dfrac{1}{1+t^{2}}\] est continue sur \([0,+\infty [\). On a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in [0, + \infty [, \int_{0}^{ x} \, \dfrac{1}{1+t^{2}} \, dt & = & \left[ \mbox{Arctan} \, t \right ]^{x}_ {0} \\ & = & \mbox{Arctan} \, x - \mbox{Arctan} \, 0 \\ & = & \mbox{Arctan} \, x - 0 \end{eqnarray*}\] De plus comme $ { _{x+ } { , x } = }$ on en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to + \infty} { \; \int_{0}^{ x} \, \dfrac{1}{ 1 + t^{2}} \, dt } & = & \dfrac{\pi}{2} \end{eqnarray*}\] Donc l’intégrale \(I\) converge et \[{ \int_{0}^{+ \infty} \, \dfrac{1}{1 + t^{2}} \, dt = \dfrac{\pi}{2} }\]

Q: On considère l’intégrale suivante : \({I = \int_{1}^{+ \infty} \, \dfrac{1}{t \sqrt t} \, dt}\).

On a : \[ I = n\]

où \(n\) est un entier naturel.

Donner la valeur de l’entier naturel \(n\) :
A: 2
Feedback: Remarque : on constate que la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \[t \mapsto \dfrac{1}{t \sqrt t}\] est continue sur \([1,+\infty [\). On a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in [1, + \infty [, \int_{1}^{ x} \, \dfrac{1}{t \sqrt t} \, dt & = &\int_{1}^{ x} \, \dfrac{1}{t^{\frac{3}{2}}} \, dt \\ & = &\int_{1}^{ x} \, t^{-\frac{3}{2}} \, dt \\ & = & \left [ \frac {1}{- \frac{3}{2} + 1} t^{- \frac{3}{2} + 1 } \right ]^{x}_ {1} \\ & = & \dfrac{1}{-\frac{1}{2}} \left ( x^{- \frac{3}{2} + 1 } - 1^{- \frac{3}{2} + 1 } \right ) \\ & = & -2 \left ( x^{- \frac{1}{2} } - 1 \right ) \\ & = & 2 - 2\dfrac{1}{\sqrt x} \end{eqnarray*}\] De plus comme \({ \lim_{x\to + \infty } {2\dfrac{1}{\sqrt x} } = 0 }\) on en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to + \infty} { \; \int_{1}^{ x} \, \dfrac{1}{t \sqrt t} \, dt } & = & 2 \end{eqnarray*}\] Donc l’intégrale \(I\) converge et \(\int_{1}^{+ \infty} \, \dfrac{1}{t \sqrt t} \, dt = 2\)

Q: On considère l’intégrale suivante : \({I = \int_{0}^{1} \, \dfrac{1}{\sqrt {1 - t^{2}}} \, dt}\).

On a : \[ I = \dfrac{n}{p}\pi \]

où \(n\) et \(p\) sont des entiers naturels tels que la fraction \(\dfrac{n}{p}\) soit irréductible.

- Entrer la valeur de l’entier relatif \(n\) dans la case suivante : [...]
- Entrer la valeur de l’entier relatif \(p\) dans la case suivante : [...]
A: 1; 2
Feedback: Remarque : on constate que la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \(t \mapsto \dfrac{1}{\sqrt {1 - t^{2}}}\) est continue sur \([0,1 [\). On a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in [0, 1[, \int_{0}^{ x} \, \dfrac{1}{\sqrt {1 - t^{2}}} \, dt & = & \left[ \mbox{Arcsin} \, t \right ]^{x}_ {0} \\ & = & \mbox{Arcsin} \, x - \mbox{Arcsin} \, 0 \\ & = & \mbox{Arcsin} \, x - 0 \end{eqnarray*}\] De plus comme $ { _{x1^{-} } { , x } = , 1 }$ on en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1^{=}} { \; \int_{0}^{ x} \, \dfrac{1}{\sqrt {1 - t^{2}}} \, dt } & = & \dfrac{\pi}{2} \end{eqnarray*}\] Donc l’intégrale \(I\) converge et \[ \D{ \int_{0}^{1} \,\dfrac{1}{\sqrt {1 - t^{2}}} \, dt = \dfrac{\pi}{2} }\]

Q: On considère l’intégrale suivante : \({I = \int_{0}^{+ \infty} \, \dfrac{t}{1 + t^{2}} \, dt}\).
- \(I = 1\).
- \(I = \ln 2\).
- \(I = 0\).
- L’intégrale \(I\) diverge.
A: L’intégrale \(I\) diverge.
Feedback: Remarque : on constate que la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \(t \mapsto \dfrac{t}{1+t^{2}}\) est continue sur \([0,+\infty [\). On a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in [0, + \infty [, \int_{0}^{ x} \, \dfrac{t}{1+t^{2}} \, dt & = & \left[ \ln \left ( \left |1 + t^{2} \right | \right ) \right ]^{x}_ {0} \\ & = & \ln \left ( \left |1 + x^{2} \right | \right ) - \ln \left ( \left |1 + 0^{2} \right | \right ) \\ & = & \ln \left ( 1 + x^{2} \right ) - \ln 1 \\ & = & \ln \left ( 1 + x^{2} \right ) \end{eqnarray*}\] De plus comme \(\lim_{x\to + \infty } { \ln \left ( 1 + x^{2} \right ) } = +\infty\) on en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to + \infty} { \; \int_{0}^{ x} \, \dfrac{t}{ 1 + t^{2}} \, dt } & = & +\infty \end{eqnarray*}\] Donc l’intégrale \(I\) diverge.

Q: On considère l’intégrale suivante : \({I = \int_{0}^{1} \, \dfrac{1}{\sqrt t} \, dt}\).

On a : \(I = n\),

où \(n\) est un entier naturel. Donner la valeur de \(n\) :
A: 2
Feedback: Remarque : on constate que la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \(t \mapsto \dfrac{1}{ \sqrt t}\) est continue sur \(]0,1]\). On a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in ]0,1], \int_{x}^{1} \, \dfrac{1}{ \sqrt t} \, dt & = &\int_{x}^{ 1} \, \dfrac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \, dt \\ & = &\int_{x}^{ 1} \, t^{-\frac{1}{2}} \, dt \\ & = & \left [ \frac {1}{- \frac{1}{2} + 1} t^{- \frac{1}{2} + 1 } \right ]^{1}_ {x}\\ & = & \dfrac{1}{\frac{1}{2}} \left ( 1^{- \frac{1}{2} + 1 } - x^{- \frac{1}{2} + 1 } \right ) \\ & = & 2 \left ( 1^{ \frac{1}{2} } - x^{ \frac{1}{2} } \right ) \\ & = & 2 - 2\sqrt x \end{eqnarray*}\] De plus comme \({ \lim_{x\to 0^{+} } {2 \sqrt x } = 0 }\) on en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^{+}} { \; \int_{x}^{ 1} \, \dfrac{1}{ \sqrt t} \, dt } & = & 2 \end{eqnarray*}\] Donc l’intégrale \(I\) converge et \({ \int_{0}^{1} \, \dfrac{1}{ \sqrt t} \, dt = 2 }\)

Q: On considère l’intégrale suivante : \({I = \int_{-1}^{0} \, \dfrac{1}{\sqrt {1 - t^{2}}} \, dt}\).

On a : \[ I = \dfrac{n}{p}\pi \]

où \(n\) et \(p\) sont des entiers naturels tels que la fraction \(\dfrac{n}{p}\) soit irréductible.

Entrer la valeur de l’entier relatif \(n\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \(p\) dans la case suivante : [...]
A: 1; 2
Feedback: Remarque : on constate que la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \(t \mapsto \dfrac{1}{\sqrt {1 - t^{2}}}\) est continue sur \(]-1,0]\). On a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in ]-1,0], \int_{x}^{0} \, \dfrac{1}{\sqrt {1 - t^{2}} } \, dt & = & \left[ \mbox{Arcsin} \, t \right ]^{0}_ {x} \\ & = & \mbox{Arcsin} \, 0 - \mbox{Arcsin} \, x \\ & = & 0 - \mbox{Arcsin} \, x \end{eqnarray*}\] De plus comme \({ \lim_{x\to -1^{+} } { \mbox{Arcsin} \, x } = \mbox{Arcsin} \, (-1) }\) on en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -1^{+}} { \; \int_{x}^{ 1} \, \dfrac{1}{\sqrt {1 - t^{2}}} \, dt } & = & \dfrac{\pi}{2} \end{eqnarray*}\] Donc l’intégrale \(I\) converge et \[{ \int_{-1}^{0} \,\dfrac{1}{\sqrt {1 - t^{2}}} \, dt = \dfrac{\pi}{2} }\]

Q: On considère l’intégrale suivante : \({I = \int_{1}^{e} \, \dfrac{1}{t \ln t } \, dt}\).
- \(I = -3\).
- \(I = e\).
- \(I = 0\).
- L’intégrale \(I\) diverge.
A: L’intégrale \(I\) diverge.
Feedback: Remarque : on constate que la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \(t\mapsto \dfrac{1}{t \ln t}\) est continue sur \(]1,e]\). On a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in ]1,e ] \int_{x}^{ e} \, \dfrac{1}{t \ln t} \, dt & = & \left [ \ln \left ( |\ln t | \right ) \right ]^{e}_ {x} \\ & = & \ln \left ( |\ln e | \right ) - \ln \left ( |\ln x | \right ) \\ & = & \ln 1 - \ln ( \ln x) \\ & = & - \ln ( \ln x) \end{eqnarray*}\] De plus comme \({ \lim_{x\to 1^{+} } {\ln ( \ln x) } = - \infty }\) on en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1^{+}} { \; \int_{x}^{ e} \, \dfrac{1}{t \ln t} \, dt } & = & + \infty \end{eqnarray*}\] Donc l’intégrale \(I\) diverge.

Q: On considère l’intégrale suivante : \({I = \int_{0}^{1} \, \dfrac{ \cos t}{\sin t } \, dt}\).
- \(I = -3\).
- \(I = \pi\).
- \(I = 0\).
- L’intégrale \(I\) diverge.
A: L’intégrale \(I\) diverge.
Feedback: Remarque : on constate que la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \(t\mapsto \dfrac{\cos t}{ \sin t}\) est continue sur \(]0,1]\). On a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in ]10,1 ] \int_{x}^{ 1} \, \dfrac{\cos t}{ \sin t} \, dt & = & \left [ \ln \left ( |\sin t | \right ) \right ]^{1}_ {x} \\ & = & \ln \left ( |\sin 1 | \right ) - \ln \left ( |\sin x | \right ) \\ \end{eqnarray*}\] De plus comme \({ \lim_{x\to 0^{+} } { \ln \left ( |\sin x | \right ) } = - \infty }\) on en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^{+}} { \; \int_{x}^{ 1} \, \dfrac{ \cos t}{ \sin t} \, dt } & = & + \infty \end{eqnarray*}\] Donc l’intégrale \(I\) diverge.

Q: On considère l’intégrale suivante : \({I = \int_{0}^{3} \ \frac {1}{t^{2}} \, e^{- \frac{1}{t}} \, dt }\).
- \(I = -3\).
- \(I = 1 - e^{3}\).
- \(I = \frac{1}{ e^{\frac{1}{3}} }\).
- L’intégrale \(I\) diverge.
A: \(I = \frac{1}{ e^{\frac{1}{3}} }\).
Feedback: Remarque : on constate que la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \(t \mapsto \frac {1}{t^{2}} \, e^{- \frac{1}{t}}\) est continue sur \(]0,3]\). On a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in ]0, 3], \int_{x}^{ 3} \, \frac {1}{t^{2}} \, e^{- \frac{1}{t}} \, dt & = & \left [ e^{- \frac{1}{t}} \right]^{3}_ {x} \\ & = & e^{- \frac{1}{3}} - e^{- \frac{1}{x}} \\ \end{eqnarray*}\] De plus comme $ { _{x0^{+}} { e^{- } } = 0 }$ on en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^{+}} { \; \int_{x}^{ 3} \, \frac {1}{t^{2}} \, e^{- \frac{1}{t} } \, dt } & = & e^{-\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}\] Donc l’intégrale \(I\) converge et \[ I = e^{-\frac{1}{3}}\]

Q: On considère l’intégrale suivante : \({I = \int_{- \infty}^{0} \, e^{3t} \, dt}\).

On a : \[ I = \dfrac{n}{p}\]

où \(n\) et \(p\) sont des entiers relatifs tels que la fraction \(\dfrac{n}{p}\) soit irréductible.

Entrer la valeur de l’entier relatif \(n\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \(p\) dans la case suivante : [...]
A: 1; 3
Feedback: Remarque : on constate que la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \(t \mapsto e^{3t}\) est continue sur \(]-\infty,0]\). On a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in ]-\infty,0], \int_{x}^{ 0} \, e^{3t} \, dt & = & \left[ \dfrac{1}{3} \, e^{3i} \right]^{0}_ {x} \\ & = & \dfrac{1}{3} \, e^{0} - \left ( \dfrac{1}{3} \, e^{3x} \right ) \\ & = & \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3} \, e^{3x} \end{eqnarray*}\] De plus comme \({ \lim_{x\to - \infty } { \dfrac{1}{3} \, e^{3x} } = 0 }\) on en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to - \infty} { \; \int_{x}^{ 0} \, e^{3t} \, dt } & = & \dfrac{1}{3} \end{eqnarray*}\] Donc l’intégrale \(I\) converge et \[ I = \dfrac{1}{3}\]

Q: On considère l’intégrale suivante : \({I = \int_{- \infty}^{+ \infty} \, e^{-|t|} \, dt}\).

L’intégrale \(I\) converge. Donnez la valeur de \(I\) :
A: 2
Feedback: Remarque : on constate que la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \(t \mapsto e^{-|t|}\) est continue sur \(]-\infty,+ \infty[\). On a dans un premier temps : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in ]-\infty,0], \int_{x}^{ 0} \, e^{- |t|} \, dt & = & \int_{x}^{ 0} \, e^{-(-t)} \, dt \\ & = & \int_{x}^{ 0} \, e^{t} \, dt \\ & = & \left[ e^{i} \right]^{0}_ {x} \\ & = & e^{0} - e^{x}\\ & = & 1- e^{x}\\ \end{eqnarray*}\] De plus comme \({ \lim_{x\to - \infty } { e^{x} } = 0 }\) on en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to - \infty} { \; \int_{x}^{ 0} \, e^{-|t|} \, dt } & = & 1 \end{eqnarray*}\] Donc l’intégrale \({I_{1} = \int_{- \infty}^{0} \, e^{-|t|} \, dt}\) converge et : \[\begin{eqnarray*} I_{1} & = & \int_{- \infty}^{0} \, e^{-|t|} \, dt \\ & = & 1 \end{eqnarray*}\] Par ailleurs on a aussi ; \[\begin{eqnarray*} \forall x \in [0 ,+ \infty,[, \int_{0}^{ x} \, e^{- |t|} \, dt & = & \int_{0}^{ x} \, e^{-t} \, dt \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt } & = & \left[ - e^{- i} \right]^{x}_ {0} \\ & = & - e^{-x} - (- e^{0} ) \\ & = & - e^{-x} + 1 \\ \end{eqnarray*}\] De plus comme \({ \lim_{x\to + \infty } { e^{-x} } = 0 }\) on en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to + \infty} { \; \int_{0}^{ x} \, e^{-|t|} \, dt } & = & 1 \end{eqnarray*}\] Donc l’intégrale \({I_{2} = \int_{0}^{+ \infty} \, e^{-|t|} \, dt}\) converge et : \[\begin{eqnarray*} I_{2} & = & \int_{0}^{+ \infty} \, e^{-|t|} \, dt \\ & = & 1 \end{eqnarray*}\] Il existe donc un réel \(c\), à savoir \(c = 0\), tels que les intégrales \({ \int_{- \infty}^{c} \, e^{-|t|} \, dt}\) et \({\int_{c}^{+ \infty} \, e^{-|t|} \, dt}\) convergent, on en déduit alors que l’intégrale \({ \int_{-\infty}^{+ \infty} \, e^{-|t|} \, dt}\) converge et on a : \[{ \int_{-\infty}^{+ \infty} \, e^{-|t|} \, dt = \int_{-\infty}^{c} \, e^{-|t|} \, dt + \int_{c}^{+ \infty} \, e^{-|t|} \, dt }\] On obtient enfin : \[\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{+ \infty} \, e^{-|t|} \, dt & = & 1 + 1\\ & = & 2 \end{eqnarray*}\]

Q: On considère l’intégrale suivante : \({I = \int_{- \infty}^{+ \infty} \, te^{-t^{2}} \, dt}\).

L’intégrale \(I\) converge. Donnez la valeur de \(I\) :
A: 0
Feedback: Remarque : on constate que la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \(t \mapsto te^{-t^{2}}\) est continue sur \(]-\infty,+ \infty[\). On a dans un premier temps : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in ]-\infty,0], \int_{x}^{ 0} \, te^{-t^{2}} \, dt & = & \left[ - \dfrac {1}{2} e^{-t^{2}} \right]^{0}_ {x} \\ & = & - \dfrac {1}{2} e^{-0^{2}} - \left (- \dfrac {1}{2} e^{-x^{2}} \right) \\ & = & \dfrac {1}{2} e^{-x^{2}} -1 \end{eqnarray*}\] De plus comme \({\lim_{x\to - \infty } { e^{-x^{2}} } = 0 }\) on en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to - \infty} { \; \int_{x}^{ 0} \, te^{-t^{2}} \, dt } & = & -1 \end{eqnarray*}\] Donc l’intégrale \({I_{1} = \int_{- \infty}^{0} \, te^{-t^{2}} \, dt}\) converge et : \[\begin{eqnarray*} I_{1} & = & \int_{- \infty}^{0} \, te^{-t^{2}} \, dt \\ & = & -1 \end{eqnarray*}\] Par ailleurs on a aussi ; \[\begin{eqnarray*} \forall x \in [0 ,+ \infty[, \int_{0}^{ x} \, te^{-t^{2}} \, dt & = & \left[ - \dfrac {1}{2} e^{-t^{2}} \right]^{x}_ {0} \\ & = & - \dfrac {1}{2} e^{-x^{2}} - \left (- \dfrac {1}{2} e^{-x^{0}} \right) \\ & = &1 - \dfrac {1}{2} e^{-x^{2}} \end{eqnarray*}\] De plus comme \({\lim_{x\to + \infty } { e^{-x^{2}} } = 0 }\) on en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to + \infty} { \; \int_{0}^{ x} \, te^{-t^{2}} \, dt } & = & 1 \end{eqnarray*}\] Donc l’intégrale \({I_{2} = \int_{0}^{+ \infty} \, te^{-t^{2}} \, dt}\) converge et : \[\begin{eqnarray*} I_{2} & = & \int_{0}^{+ \infty} \, te^{-t^{2}} \, dt \\ & = & 1 \end{eqnarray*}\] Il existe donc un réel \(c\), à savoir \(c = 0\), tels que les intégrales \({ \int_{- \infty}^{c} \, te^{-t^{2}} \, dt}\) et \({\int_{c}^{+ \infty} \, te^{-t^{2}} \, dt}\) convergent, on en déduit alors que l’intégrale \({ \int_{-\infty}^{+ \infty} \, te^{-t^{2}} \, dt}\) converge et on a : \[{ \int_{-\infty}^{+ \infty} \, te^{-t^{2}} \, dt = \int_{-\infty}^{c} \, te^{-t^{2}} \, dt + \int_{c}^{+ \infty} \, te^{-t^{2}} \, dt }\] On obtient enfin : \[\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{+ \infty} \, te^{-t^{2}} \, dt & = & - 1 + 1\\ & = & 0 \end{eqnarray*}\]

Q: On considère l’intégrale suivante : \({I = \int_{- \infty}^{+ \infty} \, \dfrac{1}{1+t^{2}} \, dt}\).

L’intégrale \(I\) converge et \[ I = n \pi\]

où \(n\) et un entier relatif. Donner la valeur de \(n\).
A: 1
Feedback: Remarque : on constate que la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \(t \mapsto \dfrac{1}{1+t^{2}}\) est continue sur \(]-\infty,+ \infty[\). On a dans un premier temps : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in ]- \infty, 0], \int_{x}^{ 0} \, \dfrac{1}{1+t^{2}} \, dt & = & \left[ \mbox{Arctan} \, t \right ]^{0}_ {x} \\ & = & \mbox{Arctan} \, 0 - \mbox{Arctan} \, x \\ & = & 0 - \mbox{Arctan} \, x \end{eqnarray*}\] De plus comme \({ \lim_{x\to - \infty } { \mbox{Arctan} \, x } = - \dfrac{\pi}{2} }\) on en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to - \infty} { \; \int_{x}^{ 0} \, \dfrac{1}{ 1 + t^{2}} \, dt } & = & \dfrac{\pi}{2} \end{eqnarray*}\] Donc l’intégrale \({ I_{1} = \int_{-\infty}^{0} \, \dfrac{1}{1 + t^{2}} \, dt}\) converge et : \[\begin{eqnarray*} I_{1} & = & \int_{-\infty}^{0} \, \dfrac{1}{1 + t^{2}} \, dt \\ & = & \dfrac{\pi}{2} \end{eqnarray*}\] Par ailleurs on a aussi ; \[\begin{eqnarray*} \forall x \in [0, + \infty [, \int_{0}^{ x} \, \dfrac{1}{1 + t^{2}} \, dt & = & \left[ \mbox{Arctan} \, t \right ]^{x}_ {0} \\ & = & \mbox{Arctan} \, x - \mbox{Arctan} \, 0 \\ & = & \mbox{Arctan} \, x - 0 \end{eqnarray*}\] De plus comme $ { _{x+ } { , x } = }$ on en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to + \infty} { \; \int_{0}^{ x} \, \dfrac{1}{ 1 + t^{2}} \, dt } & = & \dfrac{\pi}{2} \end{eqnarray*}\] Donc l’intégrale \({ I_{2} = \int_{0}^{+ \infty} \, \dfrac{1}{1 + t^{2}} \, dt}\) converge et : \[\begin{eqnarray*} I_{2} & = & \int_{0}^{+ \infty} \, \dfrac{1}{1 + t^{2}} \, dt \\ & = & \dfrac{\pi}{2} \end{eqnarray*}\] Il existe donc un réel \(c\), à savoir \(c = 0\), tels que les intégrales \({ \int_{- \infty}^{c} \, \dfrac{1}{1 + t^{2}} \, dt}\) et \({\int_{c}^{+ \infty} \, \dfrac{1}{1 + t^{2}} \, dt}\) convergent, on en déduit alors que l’intégrale \({ \int_{-\infty}^{+ \infty} \, \dfrac{1}{1 + t^{2}} \, dt}\) converge et on a : \[{ \int_{-\infty}^{+ \infty} \, \dfrac{1}{1 + t^{2}} \, dt = \int_{-\infty}^{c} \, \dfrac{1}{1 + t^{2}} \, dt + \int_{c}^{+ \infty} \, \dfrac{1}{1 + t^{2}} \, dt }\] On obtient enfin : \[\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{+ \infty} \, \dfrac{1}{1 + t^{2}} \, dt & = & \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{2} \\ & = & \pi \end{eqnarray*}\]

Q: On considère l’intégrale suivante : \({I = \int_{0}^{+ \infty} \, \dfrac{t}{t^{2}} \, dt}\).
- \(I = 1\).
- \(I = 2\).
- \(I = \dfrac {1}{2}\).
- L’intégrale \(I\) diverge.
A: L’intégrale \(I\) diverge.
Feedback: Remarque : on constate que la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(t \mapsto \dfrac{t}{t^{2}}\) est continue sur \(]0,+\infty [\). Soit \(c\) un réel fixé de \(]0,+\infty [\),. on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in ]0,c], \int_{x}^{ c} \, \dfrac{t}{t^{2}} \, dt & = & \left[ -\dfrac{1}{t} \right ]^{c}_ {x} \\ & = & -\dfrac{1}{c} - \left (- \dfrac{1}{x} \right ) \\ & = & \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{c} \\ \end{eqnarray*}\] De plus comme \({ \lim_{x\to 0^{+} } { \dfrac{1}{x} } = +\infty }\) on en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^{+}} { \; \int_{x}^{c } \, \dfrac{t}{ t^{2}} \, dt } & = & +\infty \end{eqnarray*}\] Donc l’intégrale \({I = \int_{0}^{c} \, \dfrac{t}{t^{2}} \, dt}\) diverge et par conséquent l’intégrale \({I = \int_{0}^{+ \infty} \, \dfrac{t}{t^{2}} \, dt}\) diverge aussi.