Title: Rappels Intégration par partie
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Continuité, Dérivation, Intégration

Références de rappels de cours

Intégration

Soit $$u$$ et $$v$$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $$[a;b]$$.
Alors $$\int_a^bu(t)v'(t)\ dt=\left[u(t)v(t)\right]_a^b\ -\ \int_a^bu'(t)v(t)\ dt$$.
Cette formule est une conséquence de la formule de dérivation des produits : voir cette vidéo.
Elle sert à intégrer le produit de deux fonctions en choisissant d'interpréter une des deux fonctions comme une dérivée.
Remarque :
Il est important de bien connaître les primitives et dérivées usuelles pour faire un bon choix : on retrouve une nouvelle intégrale dans le second membre de l'égalité et il faut qu'elle soit plus simple que l'originale.

Exemple :
Soit $$f(x)=xe^{x}$$.
On veut calculer $$I=\int_0^1te^t\ dt$$.
On choisit $$u(x)=x$$ et $$v'(x)=e^{x}$$.
On a donc $$u'(x)=1$$ et $$v(x)=e^{x}$$.
En appliquant la formule, on obtient
$$I=\int_0^1f(t)\ dt=\int_0^1 u(t)v'(t)\ dt=\left[u(t)v(t)\right]_0^1\ -\ \int_0^1u'(t)v(t)\ dt=\left[te^{t}
\right]_0^1\ -\ \int_0^1 e^t\ dt=e\ -\ \int_0^1 e^t\ dt$$.
On a donc une nouvelle intégrale à calculer mais elle est plus simple : comme la primitive de $$e^x$$ est connue et égale à $$e^x$$, on déduit que $$\int_0^1 e^t\ dt=\left[e^{t}\right]_0^1=e-1$$.
Donc $$I=e-(e-1)=1$$.

Ex 1 - Question 1

Soit la fonction $$f$$  définie sur $$\mathbb R$$ par $$f(x)=x\cos x$$.

Calculez l'intégrale $$I=\int_0^{\pi/2}f(t)dt$$ puis vérifiez votre réponse.

Ex 1 - Réponse à la question 1

L'intégrale $$\displaystyle\int_0^{\pi/2}t\cos t \ dt$$ est égale à $$=\displaystyle \frac \pi 2$$.

Explication :

On choisit $$u(x)=x$$ et $$v'(x)=\cos x$$.
On a donc $$u'(x)=1$$ et $$v(x)=\sin x$$.
En appliquant la formule, on obtient :
$$\displaystyle I=\int_0^{\pi/2}t\cos t\ dt=\left[t\sin t\right]_0^{\pi/2}\ -\ \int_0^{\pi/2} \sin t\ dt=\frac \pi 2\ -\ \int_0^{\pi/2} \sin t\ dt$$.
On a donc une nouvelle intégrale à calculer mais elle est plus simple : comme la primitive de $$\sin$$ est connue et égale à $$\cos$$, on déduit que $$\int_0^{\pi/2} \sin t\ dt=\left[\cos t\right]_0^{\pi/2}=-1$$.
Donc $$I=\displaystyle \frac \pi 2+1$$.

Ex 1 - Question 2

Soit la fonction $$f$$  définie sur $$\mathbb R$$ par $$f(x)=2\sin(x)$$.

Calculez l'intégrale $$I=\int_0^{\pi/2}f(t)dt$$ puis vérifiez votre réponse.

Ex 1 - Réponse à la question 2

L'intégrale $$\int_0^{\pi/2}2\sin t \ dt$$ est égale à $$2$$.

Explication :

Une primitive de $$2\sin x$$ est $$F(x)= -2 \cos x$$.

On a donc $$\int_0^{\pi/2}2\sin t \ dt=F(\pi/2)-F(0)=-2 (\cos\pi/2-\cos 0)=2$$.

Ex 1 - Question 3

Soit la fonction $$f$$  définie sur $$\mathbb R$$ par $$f(x)=\cos(3x)+\sin x$$.

Calculez l'intégrale $$I=\int_0^{\pi/2}f(t)dt$$ puis vérifiez votre réponse.

Ex 1 - Réponse à la question 3

L'intégrale $$\int_0^{\pi/2}\cos 3t+\sin t \ dt$$ est égale à $$\displaystyle \frac 23$$.

Explication :
D'après la question 1, $$\int_0^{\pi/2}\cos 3t \ dt=\displaystyle-\frac 13$$.
D'après la question 2, $$\int_0^{\pi/2}2\sin t dt= 2$$. Par linéarité,  $$\int_0^{\pi/2}\sin t\ dt=\displaystyle \frac 12\int_0^{\pi/2}2\sin t= 1$$.
Par linéarité, il suffit de sommer ces deux intégrales pour obtenir le résultat.

Ex 2 - Question 1

On considère la fonction $$f(x)=e^{3x}$$.

Calculez l'intégrale $$I=\int_0^{2}f(t)dt$$ puis vérifiez votre réponse.

Ex 2 - Réponse à la question 1

L'intégrale $$\int_0^{2}e^{3t} \ dt$$ vaut $$\displaystyle \frac 13(e^6-1)$$.

Explication :

Une primitive de $$e^{3x}$$ est $$F(x)=\displaystyle \frac1 3 e^{3t}$$.

On a donc $$\int_0^{2}e^{3t} \ dt=F(2)-F(0)=\displaystyle \frac 1 3 (e^6-1)$$.

Ex2 - Question 2

Soit la fonction $$f$$  définie sur $$\mathbb R$$ par $$f(x)=\displaystyle \frac 1 {\sqrt x}$$.

Calculez l'intégrale $$I=\int_0^{2}f(t)dt$$ puis vérifiez votre réponse.

Ex2- réponse à la question 2

L'intégrale $$\displaystyle\int_0^{2}\frac 1 {\sqrt x}\ dt$$ est égale à $$=\displaystyle \frac 1 {\sqrt 2}$$.

Explication :

Une primitive de $$\displaystyle\frac 1 {\sqrt x}$$ est $F(x)=\displaystyle \frac1 2 \sqrt x.

On a donc $$\displaystyle\frac 1 {\sqrt x}=\int_0^{2}\frac 1 {\sqrt t} \ dt=F(2)-F(0)=\displaystyle \frac 1 2 (\sqrt 2-0)=\frac 1 {\sqrt 2}$$.

Remarque : la fonction $$f$$ n'est pas définie en $$0$$, mais son intégrale existe quand même car sa primitive $$F$$ est définie en $$0$$.

Ex 2 - Question 3

Soit la fonction $$f$$  définie sur $$\mathbb R$$ par $$f(x)=\ln(x)$$.

Calculez l'intégrale $$I=\int_0^{3}f(t)dt$$ puis vérifiez votre réponse.

Ex2 - Réponse à la question 3

L'intégrale $$\displaystyle\int_0^{2} {\ln x}\ dt$$ n'est pas définie.

Explication :

Une primitive de $$ \ln x$$ est $$F(x)=\displaystyle \frac 1  x$$.

Comme $$F$$ n'est pas continue en $$0$$, et a une limite égale à $$\infty$$, on ne peut pas calculer cette intégrale à l'aide d'une primitive. On peut montrer que l'aire sous la courbe tend vers $$-\infty$$ quand on s'approche de la valeur 0. Ce type de  problème sera étudié dans le chapitre Intégrales impropres.