Title: Ressource opérations vectorielles
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Algèbre linéaire

Références de rappels de cours

Espace vectoriel \(\mathbb {R}^n\)

L'ensemble \(\mathbb {R}^n\) est l'ensemble des \(n\)-uplets de réels \((x_1,\ldots,x_n)\).
Cet ensemble est doté de deux opérations :
- Une addition interne terme à terme :
\[(x_1,\ldots,x_n)+(y_1,\ldots,y_n)=(x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n).\]
- Une multiplication (notée \(\cdot\)) externe par un réel \(a\) :
\[a\cdot(x_1,\ldots,x_n)=(a x_1,\ldots, a x_n).\]

Ces deux opérations font de l'ensemble \(\mathbb {R}^n\) un espace vectoriel. Les \(n\)-uplets sont appelés vecteurs et notés généralement avec une flèche au dessus : \(\vec x\). Dans une multiplication externe, on écrit toujours le réel en premier.

Lorsqu'on utilise les deux opérations, on obtient des expressions qui peuvent toujours se simplfier sous la forme \(a_1\cdot\vec {x_1}+\cdots+ a_k\cdot\vec {x_k}\). Une telle expression est appelée combinaison linéaire des vecteurs \(\vec {x_1},\cdots,\vec {x_k}\) à coefficients \(a_1,\cdots,a_k\). La notion de combinaison linéaire sert à caractériser rapidement les espaces vectoriels.

Sous-espace vectoriel

Un sous ensemble \(F\) de \(\mathbb {R}^n\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb {R}^n\) si et seulement si
- il n'est pas vide (il contient au moins le \(n\)-uplet dont toutes les composantes sont nulles).
- toute combinaison linéaire de deux vecteurs de \(F\) est un élément de \(F\). On dit que \(F\) est stable par combinaison linéaire.

Note : pour une définition théorique complète d'un espace vectoriel réel, vous pouvez consulter ce document.

Ex 1 - Question 1

On note \(\vec 0\) le vecteur de \(\mathbb{R}^n\) dont tous les éléments sont des \(0\).
Soit \(\vec x=(x_1,\ldots,x_n)\).

Montrer que \(\vec x +\vec 0=\vec x\).

Ex 1 - Réponse à la question 1

On a :
\[\vec x+\vec 0=(x_1,\ldots,x_n)+(0,\ldots,0)=(x_1+0,\ldots,x_n+0)=(x_1,\ldots,x_n)=\vec x.\]

Note : de la même manière, on montrerait :
\[\vec 0+\vec x=\vec x.\]
On a donc \(\vec 0+\vec x=\vec x+\vec 0=\vec x\). On dit que \(\vec 0\) est élément neutre pour l'addition des vecteurs. L'existence d'un élément neutre est une des huit conditions nécessaires dans un espace vectoriel.

Ex 1 - Question 2

Soit \(\vec x=(x_1,\ldots,x_n)\). Déterminer \(\vec y=(y_1,\ldots,y_n)\), tel que \(\vec x+\vec y=\vec 0.\)

Ex 1 - Réponse à la question 2

Si \(\vec x+\vec y=\vec 0\), nécessairement  \((x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n)=(0,\ldots,0)\). On voit que \(\vec y=(-x_1,\ldots,-x_n)\) convient.

Note : \(\vec y\) est appelé symétrique de \(\vec x\). L'existence d'un symétrique pour chaque vecteur est  nécessaire dans un espace vectoriel. Par analogie avec l'addition de nombre, on note \(-\vec x\) le symétrique de \(\vec x\).

Ex 1 - Question 3

Soit \(\vec x=(x_1,\ldots,x_n)\).
- Montrer que \(0\cdot\vec x=\vec 0\).
- Montrer que \(1\cdot\vec x=\vec x\).
- Montrer que \((-1)\cdot\vec x=-\vec x\).

Ex 1 - Réponse à la question 3

On effectue les calculs en appliquant la définition de la multiplication externe :
\[0\cdot\vec x=(0\times x_1,\ldots,0\times x_n)=(0,\ldots,0)=\vec 0.\]
\[1\cdot\vec x=(1\times x_1,\ldots,1\times x_n)=(x_1,\ldots,x_n)=\vec x.\]
\[(-1)\cdot\vec x=((-1)\times x_1,\ldots,(-1)\times x_n)=(-x_1,\ldots,-x_n)=-\vec x.\]

Ex1 - Question 4

Montrer que si \(a\cdot \vec x=\vec 0\), alors \(a=0\) ou \(\vec x=\vec 0\).

Ex 1 - Réponse à la question 4

Soit \(a\) et \(\vec x\) tel que \(a\cdot \vec x=\cdot 0\). Alors pour tous les \(x_i\), \(a\times x_i=0\).
Si  \(\vec x=\vec 0\), la propriété est vraie.
Si \(\vec x\neq \vec 0\), un des nombres $x_j$ du \(n\)-uplet est non nul et \(a\times x_j=0\). Donc \(a=0\).

Exercice 2 - Question 1

Soit \(\vec x=(1,0,2)\) et \(\vec y=(1,1,0)\). Soit \(V\) l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de \(\vec x\) et \(\vec y\). Montrer que \(V\) est un sous-espace de vectoriel de \(\mathbb{R}^3\).

Exercice 2 - Réponse à la question 1

Soit \(\vec{u}\)  et \(\vec{v}\) deux éléments de \(F\). Chacun est donc une combinaison linéaire de \(\vec x\) et \(\vec y\) : \(\vec {u}=a\vec x + b\vec y\) et \(\vec v=c\vec x+d\vec y\).

On montre que toute combinaison linéaire de \(\vec{u}\)  et \(\vec{v}\) appartient à \(F\).

Soit \(s\) et \(t\) deux réels et soit \(\vec w=s\vec{u}+t\vec{v}\) la combinaison linéaire correspondante. On a

\[\vec w=s(a\vec x + b\vec y)+t(c\vec x + d\vec y)\]

En réordonnant et rassemblant selon \(\vec x\) et \(\vec y\) :

\[\vec w=(sa+tb)\vec x + (sc+td)\vec y.\]

Donc \(\vec v\) est une combinaison linéaire de \(\vec x\) et \(\vec y\). Ce vecteur appartient donc  à \(F\).

\(F\) est stable par combinaison linéaire donc \(F\) est un sous espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\).

Note : la preuve n'utilise pas les valeurs des vecteurs\(\vec x\) ou \(\vec y\), ni le fait qu'il s'agisse de \(\mathbb{R}^3\). On démontre de façon générale que si on choisit un ensemble fini de vecteurs d'un espace vectoriel \(E\) et on définit le sous-ensemble \(F\) de toutes leurs combinaisons linéaires, on obtient un sous espace vectoriel de l'espace \(E\).

Ex2 - question 2

On se place dans \(\mathbb{R}^3\). On considère l'ensemble \(F\) de tous les triplets \((x_1,x_2,x_3)\) tels que \(2x_1-x_2-x_3=0\). Montrer que \(F\) est un sous espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\).

Ex2 - Réponse à la question 2

Soit \(\vec x=(x_1,x_2,x_3)\) et \(\vec y=(y_1,y_2,y_3)\) deux éléments de $F$. Soit \(a\) et \(b\) deux réels. Soit \(\vec v=a\cdot\vec x+b\cdot\vec y\).

\[\vec v=(ax_1+by_1,ax_2+by_2,ax_3+by_3).\]

On calcule :

\[2(ax_1+by_1)-(ax_2+by_2)-(ax_3+by_3)=a(2x_1-x_2-x_3)+b(2y_1-y_2-y_3)=0.\]

Donc \[\vec v\) appartient à\(F\). \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\).