Title: Exercice 2 - Déterminants
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Algèbre linéaire

Question 1

On considère la matrice carrée de taille 4 :

$$A=\left(\begin{array}{4} 1&3&2&0\\ 1&-1&-3&0\\ 1&4&-2&1\\ 0&2&1&0 \end{array}\right)$$.

Quelle ligne ou quelle colonne de $$A$$ est-il le plus judicieux de considérer pour calculer le déterminant de $$A$$ ? Pourquoi ?

Réponse 1

Il est plus judicieux de considérer la quatrième colonne de $$A$$, car cette colonne contient 3 zéros (sur 4 éléments). En développant par rapport à cette colonne, le calcul du déterminant de $$A$$ se trouvera à partir d'un seul calcul de déterminant de taille 3, celui de la sous-matrice carrée de taille 3 pour laquelle on a enlevé la troisième ligne et la quatrième colonne de $$A$$.

Question 2

Donner $$B$$, la sous-matrice carrée de taille 3 pour laquelle on a enlevé la troisième ligne et la quatrième colonne de $$A$$.

Réponse 2

$$B=\left(\begin{array}{3} 1&3&2\\ 1&-1&-3\\ 0&2&1 \end{array}\right)$$.

Question 3

Calculer $$|B|$$.

Réponse 3

Il est plus judicieux de calculer $$|B|$$ en développant par rapport à la première colonne ou par rapport à la troisième ligne (un zéro dans chacun des cas). En développant par rapport à la première colonne, on trouve :

$$|B|=(+1)\times 1 \times \left|\begin{array}{2} -1&-3\\ 2&1\end{array}\right|+(-1)\times 1 \times \left|\begin{array}{2} 3&2\\ 2&1\end{array}\right|+0=6$$.

Question 4

Calculer  $$|A|$$.

Réponse 4

En développant par rapport à la quatrième colonne, on a donc $$|A|=(-1)\times 1\times |B|=-6$$.