Title: Quiz
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

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Q: Soient \(X_1, \ldots, X_n\),  n variables aléatoires indépendantes de loi normale d'espérance \(\mu\) et de variance \(\sigma^2\). Pour chacune des propositions indiquer si l'assertion est correcte ou non.

\(\sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \mathcal{\Chi}^2(n)\) : [...]

\(\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 \sim \mathcal{\Chi}^2(n)\) : [...]

\(\sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2 \sim \mathcal{\Chi}^2(n)\) : [...]

\(\sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2 \sim \mathcal{\Chi}^2(n-1)\)  : [...]
A: FALSE; FALSE; TRUE; FALSE

Q: Soient \(X_1, \ldots, X_n\),   n variables aléatoires indépendantes de loi normale centrée réduite et \(Y\) une variable aléatoire de loi normale d'espérance \(\mu\) et de variance \(\sigma^2\), indépendante de \(X_1, \ldots, X_n\).  Pour chacune des propositions indiquer si l'assertion est correcte ou non.

$$\frac{Y}{ \sum_{i=1}^n  X_i^2} \sim \mathcal{\chi}^2(n)$$ : [...]

$$\frac{Y}{ \sum_{i=1}^n  X_i^2} \sim \mathcal{T}(n)$$ : [...]

$$\frac{Y}{ \sum_{i=1}^n  X_i^2} \sim \mathcal{F}(1, n)$$ : [...]
Also offered: TRUE
A: FALSE; FALSE; FALSE

Q: Soient \(X_1, \ldots, X_n\),   n variables aléatoires indépendantes de loi normale d'espérance \(\mu\) et de variance \(\sigma^2\) et \(Y_1, \ldots, Y_m\), m variables aléatoires indépendantes de loi normale d'espérance \(\nu\) et de variance \(\tau^2\)  indépendantes de \(X_1, \ldots, X_n\).  Pour chacune des propositions indiquer si l'assertion est correcte ou non.

$$\sqrt{m} \frac{Y-\nu}{ \sigma \sqrt{\sum_{i=1}^n  X_i^2}} \sim \mathcal{T}(n)$$ : [...]

$$\sqrt{n} \frac{Y-\nu}{ \tau \sqrt{\sum_{i=1}^n  X_i^2}} \sim \mathcal{T}(n)$$ : [...]
A: FALSE; TRUE

Q: Soient \(X_1, \ldots, X_n\),   n variables aléatoires indépendantes de loi normale centrée réduite et \(Y\) une variable aléatoire de loi normale d'espérance \(\mu\) et de variance \(\sigma^2\), indépendante de \(X_1, \ldots, X_n\).  Pour chacune des propositions indiquer si l'assertion est correcte ou non.

$$\sqrt{n} \frac{Y-\mu}{ \sigma \sqrt{\sum_{i=1}^n  X_i^2}} \sim mathcal{T}(n)$$ : [...]

$$\frac{Y-\mu}{ \sigma \sqrt{\sum_{i=1}^n  X_i^2}} \sim \mathcal{T}(n-1)$$ : [...]

$$\sqrt{n} \frac{Y-\mu}{ \sqrt{\sum_{i=1}^n  X_i^2}} \sim \mathcal{T}(n-1)$$ : [...]

$$\sqrt{n} \frac{Y-\mu}{ \sigma \sqrt{\sum_{i=1}^n  X_i^2}} \sim \mathcal{T}(n)$$ : [...]
A: TRUE; FALSE; FALSE; FALSE

Q: Soient \(X_1, \ldots, X_n\),   n variables aléatoires indépendantes de loi normale d'espérance \(\mu\) et de variance \(\sigma^2\) et \(Y_1, \ldots, Y_m\), m variables aléatoires indépendantes de loi normale d'espérance \(\nu\) et de variance \(\tau^2\)  indépendantes de \(X_1, \ldots, X_n\).  Pour chacune des propositions indiquer si l'assertion est correcte ou non.

$$\frac{\sum_{i=1}^m  (Y_i-\nu)^2  }{\tau^2 m} \frac{\sigma^2 n}{\sum_{i=1}^n  (X_i-\mu)^2 } \sim \mathcal{F}(m,n)$$ : [...]

$$\frac{\sum_{i=1}^m  Y_i^2  }{\tau^2 m} \frac{\sigma^2 n}{\sum_{i=1}^n  X_i^2 } \sim \mathcal{F}(m,n)$$ : [...]

$$\frac{\sum_{i=1}^m  Y_i^2  }{\sum_{i=1}^n  X_i^2 } \sim \mathcal{F}(m,n)$$ : [...]
A: TRUE; FALSE; FALSE

Q: On note \(U\) une variable aléatoire qui suit une loi du Chi2 à 5 degrés de liberté  et  \(V\) une variable aléatoire qui suit une loi du Chi2 à 7 degrés de liberté. On s'intéresse à la loi de \(U+V.\)

Quelle hypothèse doit on faire pour caractériser la loi de \(U+V\) ? [...]

Dans le cas où cette hypothèse est vérifiée, quell est la loi de \(U+V\) ? : [...]
Also offered: On ne peut jamais connâitre la loi de U+V; U et V sont de même loi; U = - V; un chi2 à 7 degrés de liberté; Une loi de Fisher à 5 et 7 degrés de liberté
A: U et V sont indépendantes; Un chi2 à 12 degrés de liberté

Q: Soit \(X\) une variable aléatoire de Fisher à 5 et 12 degrés de liberté. [...]
Also offered: X est une variable quantitative discrète; X est une variable qualitative
A: X est une variable quantitative continue

Q: On note \(U\) une variable aléatoire qui suit une loi du Chi2 à 7 degrés de liberté  et  \(V\) une variable aléatoire qui suit une loi du Chi2 à 5 degrés de liberté. On s'intéresse à la loi de \(U+V\).

Quelle hypothèse doit on faire pour caractériser la loi de \(U+V\) ? [...]

Dans le cas où cette hypothèse est vérifiée, quell est la loi de \(U-V\) ?  [...]
Also offered: On ne peut jamais connâitre la loi de U-V; U et V sont de même loi; U = - V; un chi2 à 7 degrés de liberté; Une loi de Fisher à 5 et 7 degrés de liberté; un chi2 à 2 degrés de liberté; On ne connait pas la loi
A: U et V sont indépendantes; Un chi2 à 12 degrés de liberté

Q: Soit \(X\) une variable aléatoire de Student à \(\nu\) degrés de liberté. [...]
Also offered: X est une variable quantitative discrète; X est une variable qualitative
A: X est une variable quantitative continue

Q: Soit \(X\) une variable aléatoire du $$\chi^2$ à $$\nu$$ degrés de liberté. [...]
Also offered: X est une variable quantitative discrète; X est une variable qualitative
A: X est une variable quantitative continue