Title: Variables aléatoires 2996
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Probabilités et Statistiques

Introduction et définitions

Définitions :

            1) On dira qu’un phénomène est aléatoire si on ne peut prédire avec certitude, avant son observation, le résultat qui surviendra.

Exemple:

On peut définir l'ensemble des résultats possibles lorsqu'on lance un dé à six faces. Cet ensemble est : {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Par contre, on ne peut pas prévoir avec certitude le résultat d'un lancé avant qu'il n'ait été réalisé. On est donc en présence d'un phénomène aléatoire.

           2) Le dispositif permettant d’observer un phénomène aléatoire est appelé expérience aléatoire.

Le lancé de dé est appelé expérience aléatoire.

           3) L’univers (noté Ω) est l’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire.

Dans le cas du lancé de dé, l'univers Ω est {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

           4) Un événement A sera un sous-ensemble de l’univers Ω.

Par exemple A = {1, 5} est un événement.

          5) On appellera événement élémentaire un événement ne comportant qu'un seul élément. Le nombre d'événements élémentaires correspond au cardinal de l'univers Ω.

Les événements élémentaires pour le lancé de dé sont: {1], {2}, {3}, {4}, {5}, {6}.

           6) On dira qu’un événement A est réalisé, si le résultat de l’expérience aléatoire appartient à A; sinon il n’est pas réalisé.

Soit A ={1, 5}, A sera réalisé si le résultat du lancé de dé est 1 ou 5. Dans tous les autres cas, A ne sera pas réalisé.

          7) On dira qu'un événement est impossible s'il ne contient aucun événement de Ω

          8) On dira qu'un événement est certain s'il contient tous les événements élémentaires de Ω

         9) On dira que deux événements sont incompatibles s'ils correspondent à deux parties disjointes de Ω

Soient A 1 = { 1 , 5 } et A 2 = { 3 , 4 }, ces deux événements sont incompatibles A 1 ∩ A 2 = ∅

          10) On appellera classe d’événements E toute classe de sous ensembles de Ω telle que :

                        - tous les résultats élémentaires appartiennent à E

                        - Ω et ∅ appartiennent à E

                        - l’événement A et son contraire A ¯ appartiennent à E

                        - la classe E possède de plus certaines propriétés relatives aux opérations d’intersection et de réunion de ses éléments dont les résultats doivent lui appartenir.

         11) Si Ω est non vide, et si E est une classe d'événements, on appellera mesure de probabilité P, définie sur le couple (Ω, E), appelé espace probabilisable, toute application de E dans ℝ, vérifiant:

                            - ∀ A ∈ E , 0 ≤ P ( A ) ≤ 1

                            -  P ( Ω ) = 1

                            -  Pour toute suite dénombrable d'événements mutuellement exclusifs, A 1, A 2, ..., c'est à dire d'événements incompatibles deux à deux (A i ∩ A j = ∅, pour tout i et tout j avec i ≠ j), on a:

                                                                                  P ( ∪ i = 1 ∞ A i ) = ∑ i = 1 ∞ P ( A i )

Propriétés

Propriétés

           1) En règle générale, si A 1 et A 2 sont deux événements, on a:

                                                      P ( A 1 ∪ A 2 ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) - P ( A 1 ∩ A 2 )

           2) Axiome des probabilités totales

                            Soient A 1 et A 2 sont deux événements incompatibles, alors :

                                                  P ( A 1 ou A 2 ) = P ( A 1 ∪ A 2 ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 )

                           Cet axiome se généralise à k événements, A 1 , . . . , A k, incompatibles et s’écrit :

                                                 P ( A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ∪ A k ) = ∑ i = 1 k P ( A i )

            3) Axiome des probabilités composées

                         Si A 1et A 2sont deux événements et si A 1et A 2 ne sont pas incompatibles. Si ces deux événements sont indépendants relativement à la probabilité P, alors :

                                                 P ( A 1 et A 2 ) = P ( A 1 ∩ A 2 ) = P ( A 1 ) * P ( A 2 )

                          Cet axiome se généralise à k événements, A 1 , . . . , A k, indépendants et s’écrit :

                                                P ( A 1 ∩ A 2 ∩ . . . ∩ A k ) = ∏ i = 1 k P ( A i )

             4) Probabilité conditionnelle (probabilité de A 1_ sachant A 2)

                          Si A 1_ et A 2 sont deux événements, la probabilité que A 1 se réalise sachant A 2 est définie par :

                                                        P ( A 1 / A 2 ) = P ( A 1 ∩ A 2 ) P ( A 2 )

                         avec P ( A 2 ) ≠ 0

Variables aléatoires quantitatives

Notion de variable aléatoire

  Dans un certain nombre de situation, on ne s'intéresse pas directement au résultat de l'expérience aléatoire, mais à une fonction de ce résultat. Par exemple, si on considère le lancé d'un dé non truqué, on peut juste s'intéresser à l'événement : obtenir un nombre pair. Le résultat d'un lancé de dé est à valeurs dans Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }, les seuls cas où l'on obtient un nombre pair est {2, 4, 6}. Si on code par 1 le résultat du lancé correspondant à un nombre pair et par 0 les autres résultats, je peux définir une fonction X appelée variable aléatoire définie par:

X ( ω ) = 1 si ω ∈ { 2 , 4 , 6 } X ( ω ) = 0 si ω ∈ { 1 , 3 , 5 }

Définition

   - Etant donné un univers Ω, une variable aléatoire quantitative X est une application de Ω dans ℝ, définie par:

X : ω ∈ Ω → X ( ω ) = x ∈ ℝ

   Si X prend un nombre fini ou dénombrable de valeurs, on parlera de variable aléatoire discrète, sinon X sera une variable aléatoire continue.

Fonction de répartition

   - On appelle fonction de répartition de la variable aléatoire X la fonction F définie par:

                                           F ( x ) = P ( X ≤ x )

Fonction de masse

   - Si X est une variable aléatoire discrète, on appellera fonction de masse la fonction P définie par :

P ( x ) = P ( X = x )

Densité de probabilité

  - Si X est une variable aléatoire continue, on appellera densité de probabilité la fonction f définie par :

f ( x ) = dF ( x ) dx

et on a alors :

F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∫ - ∞ x f ( u ) d u

Les moments d’une distribution de probabilité

         Espérance mathématique

                 - Si X est une variable aléatoire discrète à valeurs dans {x_1, x_2, x_3, ...}, on définit son espérance mathématique, notée E ( X ),  par :

E ( X ) = ∑ i x i * P ( X = x i )

                   - Si X est une variable aléatoire continue, on définit son espérance mathématique, notée E ( X ),  par :

E ( X ) = ∫ - ∞ + ∞ u * f ( u ) d u

         Moment d'ordre k
                On appellera moment d'ordre k, l'espérance de X k, définie par:

                    - Si X est une variable aléatoire discrète à valeurs dans {x_1, x_2, x_3, ...} : E ( X k ) = ∑ x i k i * P ( X = x i )
                   - Si X est une variable aléatoire continue : E ( X k ) = ∫ - ∞ + ∞ u k * f ( u ) d u

         Moment centré d'ordre k

               On appellera moment centré d’ordre k la quantité : E X - E ( X ) k

               On appellera variance d’une variable aléatoire X, notée Var ( X ), son moment centré d’ordre 2. On peut alors montrer que :

                                                                      Var ( X ) = E X - E ( X ) 2 = E ( X 2 ) - E ( X ) 2

Propriétés

              1) Soient α et β deux constantes réelles, soit X une variable aléatoire, alors on a :

                                                                         E ( α X + β ) = α E ( X ) + β

                                                                        Var ( α X + β ) = α 2 Va r ( X )

               2) Si X et Y sont deux variables aléatoires alors :

                                                                         E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y )

                    Si de plus ces deux variables aléatoires sont indépendantes, alors :

                                                                        Var ( X + Y ) = Var ( X ) + Var ( Y )

Jeu de la roulette européenne

Le jeu de la roulette européenne comporte 37 numéros allant de 0 à 36.

Un joueur décide de miser 1€ sur un seul numéro.

Si ce numéro sort, il remporte 35 fois sa mise, sinon il perd sa mise.

Soit X la variable aléatoire qui représente le gain du joueur.

Quelles valeurs peut prendre la variable X (plusieurs choix possibles)?

- -1
Feedback: Réponse correcte
- 35
Feedback: Réponse correcte
- 2
Feedback: Réponse fausse
- 5
Feedback: Réponse fausse
- 12
Feedback: Réponse fausse

Univers

On s'intéresse au résultat du lancé de deux pièces non truquées.

Cette affirmation est-elle vraie, indépendamment de l'ordre d'apparition des résultats du lancé de chaque pièce?

L'univers Ω est : {(P,P); (P,F); (F,F)}.

- Vrai
Feedback: Réponse correcte
- Faux
Feedback: Réponse incorrecte. L'ensemble des résultats possibles correspond bien à Ω