Title: Loi discrete
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: On considère un ensemble \(\Omega=\{1,2,3\}\). On définit \(P(X=1)=\dfrac 12\), \(P(X=2)=\dfrac 14\) et \(P(X=3)=\dfrac 13\).
A: F
Feedback: A partir de ces données, on a \(P(\Omega)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=13/12>1.\) Ce n’est pas possible de définir une probabilité à partir de ces données

Q: On considère un ensemble \(\Omega=\{1,2,3\}\). On définit \(P(X=1)=\dfrac 12\), \(P(X=2)=\dfrac 14\) et \(P(X=3)=\dfrac 14\).

Ces données définissent-elle une loi de probabilité sur \(\Omega\) (V pour Vrai, F pour Faux) ?
A: V
Feedback: A partir de ces données, on a \(P(\Omega)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1.\) Il est possible de définir une probabilité à partir de ces données.

Q: On considère un ensemble \(\Omega=\{1,2,3\}\). On définit \(P(X=1)=\dfrac 12\), \(P(X=2)=\dfrac 16\) et \(P(X=3)=\dfrac 14\).

Ces données définissent-elle une loi de probabilité sur \(\Omega\) (V pour Vrai, F pour Faux) ?
A: F
Feedback: A partir de ces données, on a \(P(\Omega)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=11/12<1.\) Il n’est pas possible de définir une probabilité à partir de ces données.

Q: On considère un ensemble \(\Omega=\{1,2,3\}\). On définit \(P(X=1)=\dfrac 12\), \(P(X=2)=\dfrac 16\).

Ces données définissent-elle une loi de probabilité sur \(\Omega\) (V pour Vrai, F pour Faux) ?
A: V
Feedback: A partir de ces données, on peut obtenir \(P(\Omega)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1\) en choisissant \(P(X=3)=\dfrac 13\). Il est possible de définir une probabilité à partir de ces données.

Q: On considère \(\Omega=\mathbb N\). On choisit \(0<q<1\) et on définit \(P(X=n)=(1-q)q^n\). Ce choix définit-il une loi de probabilité sur \(\mathbb N\) ?
A: V
Feedback: A partir de ces données, on peut obtenir \(P(\Omega)=\sum_{k=0}^\infty P(X=k)=(1-q)\sum_{k=0}^\infty q^k=(1-q)\dfrac 1{1-q}=1\). Il est possible de définir une probabilité à partir de ces données.

Q: On considère \(\Omega=\mathbb N\). On choisit \(0<q<1\) et on définit \(P(X=n)=q^n\). Ce choix définit-il une loi de probabilité sur \(\mathbb N\) ?
A: V
Feedback: A partir de ces données, on peut obtenir \(P(\Omega)=\sum_{k=0}^\infty P(X=k)=\sum_{k=0}^\infty q^k=\dfrac 1{1-q}>1\). Il n’est pas possible de définir une probabilité à partir de ces données.

Q: On considère une variable \(X\) de loi de probabilité équiprobable sur \[\Omega=\{1,2,3,4,5\}\]. Calculer l’espérance de \(X\) :
A: 3
Feedback: L’espérance de \(X\) est égale à \[E(X)=\sum_{k=1}^5kP(X=k)=\dfrac 15\sum_{k=1}^5k=\dfrac 15\dfrac {6\times 5}2=3\]. Dans une probabilité équiprobable, l’espérance est le point milieu des valeurs, c’est à dire 3.

Q: On considère une variable \(X\) de loi de probabilité équiprobable sur \[\Omega=\{1,2,3,4,5\}\]. Calculer la variance de \(X\) :
A: 2
Feedback: Pour une loi de probabilité équiprobable, l’espérance E(X) est égale au point milieu des valeurs : E(X)=3. La variance de \(X\) est égale à \[Var(X)=\sum_{k=1}^5(k-E(X))^2P(X=k)=\dfrac 15\sum_{k=1}^5(k-3)^2=\dfrac 15(4+1+0+1+4)=\dfrac 2\].

Q: On considère une variable \(X\) de loi de probabilité équiprobable sur \[\Omega=\{-1,1\}\]. Calculer l’espérance de \(X\) :
A: 0
Feedback: L’espérance de \(X\) est égale à \[E(X)=-1\times P(X=-1)+1\times P(X=1)=\dfrac 12(-1+1)=0\]. Dans une probabilité équiprobable, l’espérance est le point milieu des valeurs, c’est à dire 0.

Q: On considère une variable \(X\) de loi de probabilité équiprobable sur \[\Omega=\{-1,1\}\]. Calculer la variance de \(X\) :
A: 1
Feedback: Pour une loi de probabilité équiprobable, l’espérance E(X) est égale au point milieu des valeurs : E(X)=0. La variance de \(X\) est égale à \[Var(X)=(-1)^2P(X=-1)+1^2P(X=1)-(E(X))^2=\dfrac 12(1+1)=1\].

Q: On considère une variable \(X\) de loi de probabilité équiprobable sur \[\Omega=\{0,1\}\]. Calculer l’espérance de \(X\) :
A: 0
Feedback: L’espérance de \(X\) est égale à \[E(X)=0\times P(X=0)+1\times P(X=1)=\dfrac 12(0+1)=1/2\]. Dans une probabilité équiprobable, l’espérance est le point milieu des valeurs, c’est à dire 0.

Q: On considère une variable \(X\) de loi de probabilité équiprobable sur \[\Omega=\{-1,1\}\]. Calculer la variance de \(X\) (précision 0.01) :
A: 0.25
Feedback: Pour une loi de probabilité équiprobable, l’espérance E(X) est égale au point milieu des valeurs : E(X)=12. La variance de \(X\) est égale à \[Var(X)=(0)^2P(X=0)+1^2P(X=1)-(E(X))^2=\dfrac 12(1+1)-\dfrac 14=\dfrac 14\].