Title: Rappels Calcul d'angles en radian
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Nombres et Géométrie

Références et rappels de cours

Relation entre cosinus et sinus

Pour tout angle \(\theta\), on a \(\cos^2 \theta +\sin^2 \theta=1.

Cosinus et sinus d'angles associés

Soit \(\theta\) et \(\theta'\) deux angles de signes opposés :   \(\theta'=-\theta\) ou \(\theta'=2\pi-\theta\). Alors \(\cos \theta'=\cos \theta\)  et \(\sin \theta'=-\sin \theta\).
Soit \(\theta\) et \(\theta'\) deux angles supplémentaires :   \(\theta'=\pi-\theta\) . Alors \(\cos \theta'=-\cos \theta\)  et \(\sin \theta'=-\sin \theta\).
Soit \(\theta\) et \(\theta'\) deux angles complémentaires :   \(\theta'=\pi/2-\theta\) . Alors \(\cos \theta'=\sin \theta\)  et \(\sin \theta'=\cos  \theta\).

Cosinus et sinus de l'angle double

Pour tout angle \(\theta\), on a
\(\cos 2 \theta =\cos^2 \theta-\sin^2 \theta=2\cos^2 \theta-1=1-2\sin^2 \theta\).
\(\sin 2 \theta =2\cos \theta\sin \theta\).

Cosinus et sinus de l'angle moitié

Pour tout angle \(0\leq\theta\leq \pi\), on a
\(\cos  \theta /2=\sqrt{\dfrac {1+\cos \theta }2}\).
\(\sin  \theta /2=\sqrt{\dfrac {1-\cos \theta }2}\).

Cosinus et sinus d'une somme

Pour tout angle \(\theta \) et \(\theta' \), on a
\(\cos  \theta +\theta'=\cos \theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta'\)
\(\sin \theta+\theta'=\cos \theta\sin\theta'+\sin\theta\cos\theta'\)

Cosinus et sinus à connaître par coeur

\(\cos 0=1\) ; \(\sin 0=0\)
\(\cos \pi=-1\) ; \(\sin \pi=0\)
\(\cos \pi/2=0\) ; \(\sin \pi/2=1\)

\(\cos \pi/4=\sin \pi/4=\dfrac 1{\sqrt 2}\)

\(\cos \pi/3=\sin \pi/6=\dfrac 1{2}\)
\(\cos \pi/6=\sin \pi/3=\dfrac {\sqrt 3}2\)

Ex 1 - Question 1

On considère une  fonction \(f\) dérivable sur \(I\)  et on considère un point \(x_0\) intérieur à \(I\).

Rappeler le développement de Taylor de \(f\) à l'ordre 1 en \(x_0\).

Ex 1 - Réponse à la question 1

Le développement de Taylor de \(f(x)\) à l'ordre 1 s'écrit :

\[f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+(x-x_0)r(x)\]

où \(r(x\) est une fonction qui tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(x_0\).

Ex 1 - Question 2

On suppose que \(f'(x_0)\) est strictement positif. On considère un sous-intervalle \(J\) qui contient \(x_0\).

Montrer que \(J\) contient un \(x_1>x_0\) tel que \(f(x_1)>f(x_0)\).
En déduire que \(f\) n'atteint pas un maximum en \(x_0\).

Montrer que \(J\) contient un \(x_2<x_0\) tel que \(f(x_2)<f(x_0)\).
En déduire que \(f\) n'atteint pas un minimum en \(x_0\).

Ex 1 - Réponse à la question 2

On utilise le développement de Taylor.
Puisque \(r(x)\) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(x_0\), on peut trouver \(a\) tel que pour tout \(x\in [x_0,a]\) , \(-f'(x_0)/2\leq r(x)\leq f'(x_0)/2\).
On choisit un \(x_1\) appartenant à \(J\) et à  \( [x_0,a]\). Alors
\[f'(x_0)+r(x_1)\geq f'(x_0)-f'(x_0)/2>f'(x_0)/2\]
Le  développement de Taylor donne
\[f(x_1)=f(x_0)+(x_1-x_0)(f'(x_0)+r(x_1))>f(x_0)+(x_1-x_0)f'(x_0)/2>f(x_0)\]
Donc \(f(x_1)\) est supérieur strictement à  \(f(x_0)\).

Dans tout intervalle \(J\) contenant \(x_0\), il existe un point \(x_1\) dont l'image par \(f(x_1)\) est strictement supérieure à \(f(x_0)\), donc \(f\) n'atteint pas de maximum local en \(x_0\).

On raisonne de la même façon pour les valeurs plus petites que \(x_0\).
Puisque \(r(x)\) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(x_0\), on peut trouver \(b\) tel que pour tout \(x\in [b,x_0]\) , \(-f'(x_0)/2\leq r(x)\leq f'(x_0)/2\).
On choisit un \(x_2\) appartenant à \(J\) et à  \( [b,x_0]\). Alors
\[f'(x_0)+r(x_2)\geq f'(x_0)-f'(x_0)/2>f'(x_0)/2\]
Comme \(x_2-x_0<0\), on a
\[(x_2-x_0)(f'(x_0)+r(x_2))<(x_2-x_0)f'(x_0)/2<0\]
Le  développement de Taylor donne
\[f(x_2)=f(x_0)+(x_2-x_0)(f'(x_0)+r(x_2))<f(x_0)+(x_2-x_0)f'(x_0)/2<f(x_0)\]
Donc \(f(x_2)\) est inférieur strictement à  \(f(x_0)\).

Dans tout intervalle \(J\) contenant \(x_0\), il existe un point \(x_2\) dont l'image  \(f(x_2)\) est strictement inférieure à \(f(x_0)\), donc \(f\) n'atteint pas de minimum local en \(x_0\).

Ce raisonnement long consiste  à constater que le graphe de \(f\) se comporte comme sa tangente qui a une pente positive.

Ex 1 - Question 3

On suppose que \(f'(x_0)\) est strictement négatif. On considère un sous-intervalle \(J\) qui contient \(x_0\).

Montrer que \(J\) contient un \(x_1>x_0\) tel que \(f(x_1)<f(x_0)\).
En déduire que \(f\) n'atteint pas un minimum en \(x_0\).

Montrer que \(J\) contient un \(x_2<x_0\) tel que \(f(x_2)>f(x_0)\).
En déduire que \(f\) n'atteint pas un maximum en \(x_0\).

Ex 1 - Réponse à la question 3

On peut reproduire le raisonnement précédent en faisant bien attention dans les inégalité car \(f'(x_0)\) est négatif.

On peut également utiliser l'astuce suivante : on considère la fonction \(g=-f\). On a \(g'(x_0)>0\). Donc \(g\) n'admet pas de minimum local en \(x_0\). Alors \(f\) n'admet pas de maximum local en \(x_0\). De même, \(g\) n'admet pas de maximum local en \(x_0\), donc \(f\) n'admet pas de minimum local en \(x_0\).

Dans ce cas, le graphe de \(f\) a une tangente négative en \(x_0\).

Ex 2 - Question 1

On considère une  fonction \(f\) dérivable deux fois sur \(I\)  et on considère un point \(x_0\) intérieur à \(I\). On suppose maintenant que \(f'(x_0)=0\).

Rappeler le développement de Taylor de \(f\) à l'ordre 2 en \(x_0\).

Ex 2 - Réponse à la question 1

Le développement de Taylor de \(f(x)\) à l'ordre 2 s'écrit :
\[f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+\dfrac{(x-x_0)^2}2f"(x_0)+(x-x_0)^2r(x)\]
où \(r(x)\) est une fonction qui tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(x_0\).

Comme \(f'(x_0)=0\), on a :
\[f(x)=f(x_0)+\dfrac{(x-x_0)^2}2f"(x_0)+(x-x_0)^2r(x)\]

Ex2 - Question 2

On suppose que \(f"(x_0)\) est strictement positif. Montrer que \(f\) atteint un minimum local en \(x_0\).

Ex2- réponse à la question 2

On utilise le développement de Taylor.

Puisque \(r(x)\) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(x_0\), on peut trouver un intervalle \(J\) tel que pour tout \(x\in J\) , \(-\dfrac{f"(x_0)}4\leq r(x)\leq \dfrac{f"(x_0)}4\).
On choisit un \(x\) appartenant à \(J\). Alors
\[\dfrac{f"(x_0)}2+r(x)\geq \dfrac{f"(x_0)}2-\dfrac{f"(x_0)}4>\dfrac{f"(x_0)}4\]
Le  développement de Taylor donne
\[f(x)=f(x_0)+(x-x_0)^2(\dfrac{f"(x_0)}2+r(x))>(x-x_0)^2\dfrac{f"(x_0)}4>f(x_0)\]
Donc \(f(x)\) est supérieur strictement à  \(f(x_0)\).

Ce raisonnement  consiste juste à constater que le graphe de \(f\) se comporte comme une parabole d'axe orienté vers le haut.

Ex 2- question 3

On suppose que \(f"(x_0)\) est strictement négatif. Montrer que \(f\) atteint un maximum local en \(x_0\).

Ex 2- Réponse à la question 3

On peut refaire le raisonnement précédent.
On peut également considérer \(g=-f\). On a \(g"(x_0)>0\), donc \(g\) atteint un minimum local en \(x_0\). Alors \(f\) atteint un maximum local en \(x_0\).

Ex 2 - Question 4

On suppose maintenant que \(f"(x_0)=0\) et que \(f\) est trois fois dérivable. On suppose que \(f^{(3)}(x_0)>0\). Montrer que \(f\) n'admet pas d'extrémum local en \(x_0\).

Ex 2 - réponse à la question 4

On utilise le développement de Taylor à l'ordre 3.
\[f(x)=f(x_0)+\dfrac{(x_1-x_0)^3}6f^{(3)}(x_0)+(x_1-x_0)^3r(x_1)\].
Soit \(J\) un intervalle contenant \(x_0\).
Puisque \(r(x)\) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(x_0\), on peut trouver \(a\) tel que pour tout \(x\in [x_0,a]\) , \(-\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{12}\leq r(x)\leq \dfrac{f^{(3)}(x_0)}{12}\).
On choisit un \(x_1\) appartenant à \(J\) et à  \( [x_0,a]\). Alors
\[\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{6}+r(x_1)\geq \dfrac{f^{(3)}(x_0)}{6}-\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{12}>\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{12}\]
Le  développement de Taylor donne
\[f(x_1)=f(x_0)+(x_1-x_0)^3\left(\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{6}+r(x_1)\right)>f(x_0)+(x_1-x_0)^3\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{12}>f(x_0)\]
Donc \f(x_1)\) est supérieur strictement à  \f(x_0)\).

Dans tout intervalle \(J\) contenant \(x_0\), il existe un point \(x_1\) dont l'image par \(f(x_1)\) est strictement supérieure à \(f(x_0)\), donc \(f\) n'atteint pas de maximum local en \(x_0\).

On raisonne de la même façon pour les valeurs plus petites que \(x_0\).
Puisque \(r(x)\) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(x_0\), on peut trouver \(b\) tel que pour tout \(x\in [b,x_0]\) , \(-\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{12}\leq r(x)\leq \dfrac{f^{(3)}(x_0)}{12}\).
On choisit un \(x_2\) appartenant à \(J\) et à  \( [b,x_0]\). Alors
\[\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{6}+r(x_2)\geq \dfrac{f^{(3)}(x_0)}{6}-\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{12}>\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{12}\]
Comme \(x_2-x_0<0), on a
\[(x_2-x_0)^3\right(\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{6}+r(x_2)\left)<(x_2-x_0)^3\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{12}<0\]
Le  développement de Taylor donne
\[f(x_2)<f(x_0)+(x_2-x_0)^3\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{12}<f(x_0)\]
Donc \f(x_2)\) est inférieur strictement à  \f(x_0)\).

Dans tout intervalle \(J\) contenant \(x_0\), il existe un point \(x_2\) dont l'image par \(f(x_2)\) est strictement inférieure à \(f(x_0)\), donc \(f\) n'atteint pas de minimum local en \(x_0\).

Dans ce cas, le graphe a une tangente de pente nulle ; la fonction est localement croissante et le graphe traverse cette tangente.

Remarque :
Le cas \(\dfrac{f^{(3)}(x_0)}<0\) se traite en utilisant la fonction \(g=-f\). Il n'y a donc pas d'extremum atteint en \(x_0\) dans ce cas non plus.
Si \(\dfrac{f^{(3)}(x_0)}=0\) et que la dérivée d'ordre 4 existe et est non nulle, alors il y a un minimum local quand cette dérivée est positive et un maximum local quand elle est négative.
On peut continuer ainsi à dériver pour trouver la première dérivée non nulle. Si son ordre est pair, une dérivé positive implique un minimum local, une dérivée négative un maximum local. Si sonordre est impair, il n'y a pas d'extrémum et la fonction est localement monotone.