Title: Nombre derive
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb R\) vers \(\mathbb R\) par \(x\longrightarrow x\sqrt{x}\)
- La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).
- \(f'(0) = 0\).
- \(f'(0) = 1\).
A: \(f'(0) = 0\).
Feedback: \[\begin{align*}\lim_{x \to 0}{\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} =& { \lim_{x \to 0} {\frac{ x\sqrt{x}-0}{x-0}} }\\ =& { \lim_{x \to 0}{\sqrt{x}} }\\ 0. \end{align*}\]

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb R\) vers \(\mathbb R\) par \(x\longrightarrow x^{2}|x|\)
- La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).
- \(f'(0) = 0\).
- \(f'(0) = 1\).
A: \(f'(0) = 0\).
Feedback: \[\begin{align} \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = & \lim_{x \to 0} {\frac{x^{2}|x| -0}{x-0} }\\ = & \lim_{x \to 0}{x|x|} \\ = & 0. \end{align}\]

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb R\) vers \(\mathbb R\) par \(x\longrightarrow \sqrt{x} \cos{x}\)
- La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).
- \(f'(0) = \pi\).
- \(f'(0) = 0\).
A: La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).
Feedback: \[\begin{align} \lim_{x \to 0} {\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} = & { \lim_{x \to 0} {\frac{ \sqrt{x}\cos{x}-0}{x-0}} }\\ = & { \lim_{x \to 0}{\frac{\cos{x}}{\sqrt{x}} }}\\ = & +\infty. \end{align}\]

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb R\) vers \(\mathbb R\) par \(x\longrightarrow x\lfloor x \rfloor\)
- La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).
- \(f'(0) = -1\).
- \(f'(0) = 0\).
A: La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).
Feedback: \[\begin{align} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = & \frac{x\lfloor x \rfloor -0}{x-0} \\ = & \lfloor x \rfloor. \end{align}\] d’où \[\begin{align} \lim_{{x\to 0} , \ {x>0} } {\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} = & \lim_{{x\to 0} , \ {x>0} } {\lfloor x \rfloor } \\ = & 0. \end{align}\] et \[\begin{align} \lim_{{x\to 0} , \ {x < 0} } \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = & \lim_{{x\to 0} , \ {x < 0} } {\lfloor x \rfloor } \\ = & -1. \end{align}\] donc \[\begin{align} \lim_{{x\to 0} , \ {x<0} } {\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} \e & \lim_{{x\to 0} , \ {x <0} } {\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} \end{align}\] On en déduit que la fonction \(x \mapsto \frac{f(x)-f(0)}{x-0}\) n’admet pas de limite lorsque \(x\) tend vers \(0\), donc la fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb R\) vers \(\mathbb R\) par \(x\longrightarrow (x-1) \sqrt{\frac{1-x^{2}}{x^{2} + 3}}\) où \(\lfloor x \rfloor\) désigne le plus grand entier relatif inférieur ou égal à \(x\).
- \(f'(1) = 0\).
- \(f'(-1) = 0\).
- La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(-1\).
A: \(f'(1) = 0\).; La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(-1\).
Feedback: Soit \(D_{f}\) l’ensemble de définition de \(f\) on a : \(D_{f}= \{ x \in \mathbb{R}, \frac{1-x^2}{x^2 + 3} \ge 0 \right \}\) $D_{f}= { x , 1 -x^{2} 0 } $ \(D_{f}= [-1,1 ] .\) On a : \[\begin{align} \lim_{x \to 1} {\frac{f(x)-f(1)}{x- 1} } = & { \lim_{x \to 1} {\frac{(x-1) \sqrt{\frac{1-x^{2}}{x^{2} + 3}} -0}{x- 1}} }\\ = & { \lim_{x \to 1} {\sqrt{\frac{1-x^{2}}{x^{2} + 3}} } }\\ = & 0. \end{align}\] Donc \(f\) est dérivable en \(1\) et \(f'(1) = 0\). Par ailleurs on a aussi : \[\begin{align} \lim_{x \to -1} {\frac{f(x)-f(-1)}{x- (-1)} } = & { \lim_{x \to -1} {\frac{(x-1) \sqrt{\frac{1-x^{2}}{x^{2} + 3}} -0}{x+ 1}} }\\ = & { \lim_{x \to -1} {\frac{(x-1) \left (\sqrt{\frac{1-x^{2}}{x^{2} + 3}} \right )^{2}}{(x+ 1) \sqrt{\frac{1-x^{2}}{x^{2} + 3}} }} }\\ = & { \lim_{x \to -1} {\frac{(x-1) \left (\frac{1-x^{2}}{x^{2} + 3} \right )}{(x+ 1) \sqrt{\frac{1-x^{2}}{x^{2} + 3}} }} }\\ = & { \lim_{x \to -1} {\frac{(x-1) \left (\frac{(1-x)(1+x)}{x^{2} + 3} \right )}{(x+ 1) \sqrt{\frac{1-x^{2}}{x^{2} + 3}} }} }\\ = & { \lim_{x \to -1} {\frac{ \frac{(x-1)(1-x)} {x^{2} + 3} } { \sqrt{\frac{1-x^{2}}{x^{2} + 3} } } } }\\ = & - \infty. \end{align}\] Donc \(f\) n’est pas dérivable en \(-1\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb R\) vers \(\mathbb R\) par \(x\longrightarrow \sqrt{x-a}\).
- La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(a\).
- \(f'(a) = 0\).
- \(f'(a) = \frac{1}{2\sqrt{a}}\).
A: La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(a\).
Feedback: \[\begin{align} \lim_{x \to a} {\frac{f(x)-f(a)}{x-a}} = & \lim_{x \to a}\frac{ \sqrt{x-a} - 0}{x-a} \\ = & \lim_{x \to a} \frac{ \left ( \sqrt{x-a} \right )^{2} }{(x-a)\sqrt {x-a} }\\ = & \lim_{x \to a} \frac{ x-a} {(x-a)\sqrt {x-a} \\ = & \lim_{x \to a} \frac{ 1}{\sqrt {x-a} } \\ = & + \infty \end{align}\]

Q: Soit \(a\) un réel non nul, on considère une fonction \(f\) dérivable en \(a\). On note \(L = \lim_{x\to a}\frac{f^{2}(x)-f^{2}(a)}{x^{3}-a^{3}}.\)

Calculer la valeur de la limite \(L\) sous la forme \(\frac{p}{q} . \frac{f'(a)f(a) }{a^{n}}\) où \(p\), \(q\) et \(n\) sont des entiers naturels, la fraction \(\frac{p}{q}\) étant irréductible.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(p\) : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(q\) : [...]
3. Entrer la valeur de l’entier naturel\(n\) : [...]
A: 2; 4; 2
Feedback: \[\begin{align} \lim_{x\to a}\frac{f^{2}(x)-f^{2}(a)}{x^{3}-a^{3}} = & \lim_{x\to a}\frac { \left(f(x)-f(a) \right ) ( f(x)+f(a)) }{ (x-a) \left (x^{2} + ax + a^{2} \right ) } \\ = & \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a) } { (x - a )} . \frac{f(x) + f(a)}{\left (x^{2} + ax + a^{2} \right)}\\ = & f'(a) .\frac{2f(a)}{3a^{2}}. \end{align}\]

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb R\) vers \(\mathbb R\) par \(x\longrightarrow x \sqrt {\left ( 1 +x^{2} \right ) (1-x)^{2} }\)
- La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(1\).
- \(f'(1) = 2\).
- \(f'(1) = 1\).
A: La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(1\).
Feedback: \[\begin{align}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = &\frac{ x \sqrt {\left ( 1 +x^{2} \right )(1-x)^{2}}-0}{x-1} \\ = & \frac{ x \sqrt {\left ( 1 +x^{2} \right ) }\sqrt{ (1-x)^{2} }}{x-1} \\ = & \frac{ x \sqrt {\left ( 1 +x^{2} \right ) } |1-x| } {x-1} \\ \end{align}\] et \[\begin{align} \lim_{{x\to 1} , \ {x>1} } {\frac{f(x)-f(1)}{x-1}} = & \lim_{{x\to 1} , \ {x>1} } {\frac{ x \sqrt {\left ( 1 +x^{2} \right ) }(- (1-x)) } {x-1}} \\ = & \lim_{{x\to 1} , \ {x>1} } { x \sqrt {\left ( 1 +x^{2} \right ) } } \\ = & \sqrt{2} \end{align}\] donc \[ \lim_{{x\to 1} , \{x < 1}}{\frac{f(x)-f(1)}{x-1}} \e \lim_{{x\to 1} , \ {x>1} } {\frac{f(x)-f(1)}{x-1}} . \] On en déduit que la fonction \(x \mapsto \frac{f(x)-f(1)}{x-1}\) n’admet pas de limite lorsque \(x\) tend vers \(1\), donc la fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(1\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb R\) vers \(\mathbb R\) par \(x\longrightarrow xe^{|x-2| }\)
- La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(2\).
- \(f'(2) = 2e\).
- \(f'(2) = 0\).
A: La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(2\).
Feedback: \[\begin{align} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = & \frac{ x e^{|x-2| } - 2} {x-2} \\ = &\frac{ (x -2)e^{|x-2| } + 2e^{|x-2|}-2} {x-2} \\ = & \frac{ (x -2)e^{|x-2| } } {x-2} + \frac{ 2e^{|x-2|}-2} {x-2} \\ = & e^{|x-2| } + 2 \, \frac{ e^{|x-2|}-1} {x-2} \\ \end{align}\] d’où comme \({ \lim_{u \to 0}{\frac{e^{u} - 1}{u} } = 1},\) on a: \[\begin{align} \lim_{{x\to 2} , \ {x<2} } {\frac{f(x)-f(2)}{x-2}} & = & \lim_{{x\to 2} , \ {x<2} } { \left ( e^{-(x-2) } + 2 \, \frac{ e^{-(x-2)}-1} {x-2} \right ) } \\ = & \lim_{{x\to 2} , \ {x<2} } { \left ( e^{-(x-2) }- 2 \,\frac{ e^{-(x-2)}-1} {-(x-2)} \right } \\ = & 1- 2 \\ = & -1 \end{align}\] et \[\begin{align} \lim_{{x\to 2} , \ {x>2} } {\frac{f(x)-f(2)}{x-2}} = & \lim_{{x\to 2} , \ {x>2} } { \left ( e^{(x-2) } + 2 \, \frac{ e^{(x-2)}-1} {x-2} \right ) } \\ = & 1+2 \\ = & 3 \end{align}\] donc \[\lim_{{x\to 2} , \ {x<2} } {\frac{f(x)-f(2)}{x-2}} \e \lim_{{x\to 2} , \ {x>2} } {\frac{f(x)-f(2)}{x-2}} .\] On en déduit que la fonction $ x $ n’admet pas de limite lorsque \(x\) tend vers \(2\), donc la fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(2\).

Q: Sot \(a\) un réel non nul, on considère une fonction \(f\) dérivable en \(a\).

On note \[L = \lim_{x\to a}{ \frac{f(x)-f(a)}{x^{ 4}-a^{4}}. f(x)}.\]

Calculer la valeur de la limite \(L\) sous la forme \(\frac{p}{q} . \frac{f'(a)f(a) }{a^{n}}\) où \(p\), \(q\) et \(n\) sont des entiers naturels, la fraction \(\frac{p}{q}\) étant irréductible.

Entrer la valeur de l’entier naturel \(p\) :

Entrer la valeur de l’entier naturel \(q\) :

Entrer la valeur de l’entier naturel \(n\) :

1. [...]
2. [...]
3. [...]
A: 1; 4; 3
Feedback: \[\begin{align} \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x^{4}-a^{4}}.f(x) = & { \lim_{x\to a}\frac { \left(f(x) - f(a) \right ) ( f(x)) }{ \left (x^{2}-a^{2} \right ) \left (x^{2} + a^{2} \right ) } }\\ = & { \lim_{x\to a}\frac { \left(f(x) - f(a) \right ) ( f(x)) }{(x-a)(x+a) \left (x^{2} + a^{2} \right ) } }\\ = & { \lim_{x \to a}{ \frac{f(x)-f(a) } { (x - a )} . \frac{f(x) }{ (x+a) \left (x^{2} + a^{2} \right ) } } }\\ = & f'(a) .\frac{f(a)}{ 4a^{3}}. \end{align}\]

Q: On considère la fonction \(f\) définie sur\(\mathbb{R}\) par \(f(x)={frac { xe^{x}} { 4 + |x|} }\)
- La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).
- \(f'(0) = e\).
- \(f'(0) = \frac{1}{4}\).
A: \(f'(0) = \frac{1}{4}\).
Feedback: \[\begin{align*} \lim_{x \to 0} {\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} = & \lim_{x \to 0} {\frac{ \frac { xe^{x}} { 4 + |x|}-0}{x-0}} \\ = & { \lim_{x \to 0} {\frac{ \frac { xe^{x}} { 4 + |x|}}{x}} } \\ = & { \lim_{x \to 0} { \frac { e^{x}} { 4 + |x| } } } \\ = &\frac{1}{4}. \end{align*}\]

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb R\) vers \(\mathbb R\) par \(x\longrightarrow{(x-1) \sqrt {\left ( 1 +x^{2} \right ) x^{2} }}\)
- La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).
- \(f'(1) = \sqrt{2}\).
- \(f'(0) = 0\).
A: La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).; \(f'(1) = \sqrt{2}\).
Feedback: \[ \begin{align*} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = & \frac{ (x-1) \sqrt {\left ( 1 +x^{2} \right ) x^{2} } -0}{x-0} \\ = & \frac{ (x-1) |x| \sqrt {\left ( 1 +x^{2} \right ) } }{x}. \\ \end{align*}\] d’où \[ \begin{align*} \lim_{{x\to 0} , \ {x>0} } {\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} = & \lim_{{x\to 0} , \ {x>0} } { \frac{ (x-1) |x| \sqrt {\left ( 1 +x^{2} \right ) } }{x} } \\ = & \lim_{{x\to 0} , \ {x>0} } { \frac{ (x-1) x \sqrt {\left ( 1 +x^{2} \right ) } }{x} } \\ = & \lim_{{x\to 0} , \ {x>0} } { (x-1) \sqrt {\left ( 1 +x^{2} \right ) } } \\ = & -1. \end{align*}\] et \[ \begin{align*} \lim_{{x\to 0} , \ {x<0} } {\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} = & \lim_{{x\to 0} , \ {x>0} } { \frac{ (x-1) |x| \sqrt {\left ( 1 +x^{2} \right ) } }{x} } \\ = & \lim_{{x\to 0} , \ {x>0} } { \frac{ (x-1) (-x) \sqrt {\left ( 1 +x^{2} \right ) } }{x} } \\ = & \lim_{{x\to 0} , \ {x>0} } { -(x-1) \sqrt {\left ( 1 +x^{2} \right ) } } \\ = & 1. \end{align*}\] donc \[\begin{align*} \lim_{{x\to 0} , \ {x<0} } {\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} & \e & \lim_{{x\to 0} , \ {x>0} } {\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} \end{align*}\] On en déduit que la fonction $ x $ n’admet pas de limite lorsque \(x\) tend vers \(0\), donc la fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(0\). Par ailleurs on a : \[\begin{align*} \lim_{x \to 1} {\frac{f(x)-f(1)}{x- 1} } = & { \lim_{x \to 1} { \frac { (x-1) \sqrt {\left ( 1 +x^{2} \right ) x^{2} }}{x-1}} } \\ = & { \lim_{x \to 1} {\sqrt {\left ( 1 +x^{2} \right ) x^{2} }} }\\ = & \sqrt{2}. \end{align*}\] Donc \(f\) est dérivable en \(1\) et \(f'(1) = \sqrt{2}\).

Q: Soit \(a\) un réel fixé, on considère les fonction \(f_{a}\) définies sur \(\mathbb R\) par : \[f_{a}={x|x-a|}\].

On suppose que \(a = 1\).

Donnez la valeur de \(f_1'(2)\) : [...]

Donnez la valeur de \(f_1'(0)\) : [...]

La fonction \(f_{1}\) est-elle dérivable en \(1\) ? Répondez par V ou F : [...]

On suppose que \(a = 0\).

Donnez la valeur de \(f_0'(2)\) : [...]

Montrez que \(f_0\) est dérivable en \(0\) et donnez la valeur de \(f_1'(0)\) : [...]
A: 3; 0; F / f; 4; 0 / 0
Feedback: \[\begin{align*} \lim_{x \to 2 } {\frac{f_{1}(x)-f_{1}(2)}{x-2}} = & { \lim_{x \to 2} {\frac{ x(x-1) - 2}{x-2}} }\\ = & { \lim_{{x \to 2} {\frac{ (x^2-x-2)}{x-2}} }\\ = & { \lim_{{x \to 2} {\frac{ (x+1)(x-2)}{x-2}} }\\ = & { \lim_{{x \to 2} {x+1} }\\ = &3. \end{align*}\] \[\begin{align*} \lim_{x \to 0 } {\frac{f_{1}(x)-f_{1}(0)}{x-0}} = & { \lim_{x \to 0} {\frac{ x(1-x) - 0}{x}} }\\ = & { \lim_{{x \to a} {+1-x} }\\ = &1. \end{align*}\] \[\begin{align} \lim_{{x \to 1} , \ {x<1} } {\frac{f_{1}(x)-f_{1}(1)}{x-1}} = & { \lim_{{x \to 1} , \ {x<1}}{\frac{ x|x-1| - 0}{x-1}} }\\ = & { \lim_{{x \to 1} , \ {x<1}}{\frac{ -x(x-1)}{x-1}} }\\ = & { \lim_{{x \to 1} , \ {x<1}}{-x} }\\ = &-1. \end{align}\] \[\begin{align} \lim_{{x \to 1} , \ {x>1} } {\frac{f_{1}(x)-f_{1}(1)}{x-1}} = & { \lim_{{x \to 1} , \ {x>1}}{\frac{ x|x-1| - 0}{x-1}} }\\ = & { \lim_{{x \to 1} , \ {x>1}}{\frac{ x(x-1)}{x-1}} }\\ = & { \lim_{{x \to 1} , \ {x>1}} x }\\ = & 1. \\ \end{align}\] donc \[ \begin{align} \lim_{{x\to 1} , \ {x<1} } {\frac{f_{1}(x)-f_{1}(1)} {x-1} } & \e & \lim_{{x\to 1} , \ {x>1} } {\frac{f_{1 }(x)-f_{1}(1)} {x-1} } . \end{align}\] On en déduit que la fonction $ x $ n’admet pas de limite lorsque \(x\) tend vers \(1\), donc la fonction \(f_{1}\) n’est pas dérivable en \(1\). Par ailleurs si \(a = 0\) on a : \[\begin{align} \lim_{x \to 0} {\frac{f_{0}(x)-f_{0}(0)}{x-0}} = & { \lim_{x \to 0} {\frac{ x|x| - 0}{x}} }\\ = & { \lim_{{x \to 0} , \ {x<1}}{|x|} }\\ = &0. \end{align}\] donc la fonction \(f_{ 0}\) est dérivable en \(0\) et de plus \(f'_{0}(0) = 0\).