Title: Limite d'une fonction en l'infini
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \sin(x)\) : [...]
A: indef / indef
Feedback: La fonction \(x\mapsto\sin(x)\) oscille entre \(-1\) et \(1\) avec une périodicité de \(2\pi\) ainsi elle n’admet pas de limite en \(+\infty\). 1. indéfinie

Q: Calculer les limites (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{0.001x^5+5x^2+7}{x^4+10x^3+6}\) : [...]
2. \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{0.001x^5+5x^2+7}{x^4+10x^3+6}\) : [...]
A: -inf / -inf; +inf / +inf
Feedback: La fonction \(x\mapsto\frac{0.001x^5+5x^2+7}{x^4+10x^3+6}\) est une fraction rationnelle. Pour \(x\rightarrow-\infty\) ou \(x\rightarrow+\infty\) il suffit de s’intéresser au rapport entre les termes dominants du numérateur et du dénominateur, c’est-à-dire \(\frac{0.001x^5}{x^4}=0.001x\). Donc \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{0.001x^5+5x^2+7}{x^4+10x^3+6}=-\infty\) \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{0.001x^5+5x^2+7}{x^4+10x^3+6}=+\infty.\) 1. \(-\infty\) 2. \(+\infty\)

Q: Calculer les limites (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{x^6+5x^2+7}{10x^4+10x^3+6}\) : [...]
2. \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^6+5x^2+7}{10x^4+10x^3+6}\) : [...]
A: +inf / +inf; +inf / +inf
Feedback: La fonction \(x\mapsto\frac{x^6+5x^2+7}{10x^4+10x^3+6}\) est une fraction rationnelle. Pour \(x\rightarrow-\infty\) ou \(x\rightarrow+\infty\) il suffit de s’intéresser au rapport entre les termes dominants du numérateur et du dénominateur, c’est-à-dire \(\frac{x^6}{10x^4}=0.1x^2\). Donc \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{x^6+5x^2+7}{10x^4+10x^3+6}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^6+5x^2+7}{10x^4+10x^3+6}=+\infty.\) 1. \(+\infty\) 2. \(+\infty\)

Q: Calculer les limites (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{-4x^2+5x+7}{x^5-3x^2}\) : [...]
2. \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{-4x^2+5x+7}{x^5-3x^2}\) : [...]
A: 0; 0
Feedback: La fonction \(x\mapsto\frac{-4x^2+5x+7}{x^5-3x^2}\) est une fraction rationnelle. Pour \(x\rightarrow-\infty\) ou \(x\rightarrow+\infty\) il suffit de s’intéresser au rapport entre les termes dominants du numérateur et du dénominateur, c’est-à-dire \(\frac{-4x^2}{x^5}=-4/x^3\). Donc \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{-4x^2+5x+7}{x^5-3x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{-4x^2+5x+7}{x^5-3x^2}=0.\) 1. 0 2. 0

Q: Calculer les limites (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{x+2}{x^2+2}\) : [...]
2. \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{x+2}{x^2+2}\) : [...]
A: 0; 0
Feedback: La fonction \(x\mapsto\frac{x+2}{x^2+2}\) est une fraction rationnelle. Pour \(x\rightarrow-\infty\) ou \(x\rightarrow+\infty\) il suffit de s’intéresser au rapport entre les termes dominants du numérateur et du dénominateur, c’est-à-dire \(\frac{x}{x^2}=1/x\). Donc \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{x+2}{x^2+2}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{x+2}{x^2+2}=0.\) 1. 0 2. 0

Q: Calculer les limites (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{x+3}{x+5}\) : [...]
2. \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{x+3}{x+5}\) : [...]
A: 1; 1
Feedback: La fonction \(x\mapsto\frac{x+3}{x+5}\) est une fraction rationnelle. Pour \(x\rightarrow-\infty\) ou \(x\rightarrow+\infty\) il suffit de s’intéresser au rapport entre les termes dominants du numérateur et du dénominateur, c’est-à-dire \(\frac{x}{x}=1\). Donc \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{x+3}{x+5}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{x+3}{x+5}=1.\) 1. 1 2. 1

Q: Calculer les limites (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{6x^7-3x^6-5x^4}{x^7-5}\) : [...]
2. \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{6x^7-3x^6-5x^4}{x^7-5}\) : [...]
A: 6; 6
Feedback: La fonction \(x\mapsto\frac{6x^7-3x^6-5x^4}{x^7-5}\) est une fraction rationnelle. Pour \(x\rightarrow-\infty\) ou \(x\rightarrow+\infty\) il suffit de s’intéresser au rapport entre les termes dominants du numérateur et du dénominateur, c’est-à-dire \(\frac{6x^7}{x^7}=6\). Donc \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{6x^7-3x^6-5x^4}{x^7-5}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{6x^7-3x^6-5x^4}{x^7-5}=6.\) 1. 6 2. 6

Q: Quelle est la limite \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} 2-x\) ?
- \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} 2-x=-\infty\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} 2-x=0\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} 2-x=+\infty\)
- indéfinie
A: \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} 2-x=-\infty\)
Feedback: La fonction \(x\mapsto2-x\) est un polynôme en \(x\) de terme dominant \(-x\). Donc cette fonction tend vers \(-\infty\) pour \(x\rightarrow+\infty\).

Q: Quelle est la limite \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{2}{x^2-5}\) ?
- \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{2}{x^2-5}=-\infty\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{2}{x^2-5}=0\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{2}{x^2-5}x=+\infty\)
- indéfinie
A: \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{2}{x^2-5}=0\)
Feedback: La fonction \(x\mapsto \frac{2}{x^2-5}\) est l’inverse d’un polynôme en \(x\) de terme dominant \(x^2\). Donc cette fonction tend vers \(0\) pour \(x\rightarrow+\infty\).

Q: Quelle est la limite \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{2x}{x^2-7x+3}\) ?
- \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{2}{x^2-5}=-\infty\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{2}{x^2-5}=0\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{2}{x^2-5}x=+\infty\)
- indéfinie
A: \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{2}{x^2-5}=0\)
Feedback: La fonction \(x\mapsto \frac{2x}{x^2-7x+3}\) est une fraction rationnelle. Le rapport des termes dominants du numérateur et dénominateur est \(2x/x^2=2/x\). Ainsi la limite est \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{2x}{x^2-7x+3}=0\).

Q: Quelle est la limite \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{2x^2+1}{x-5}\) ?
- \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{2}{x^2-5}=-\infty\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{2}{x^2-5}=0\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{2}{x^2-5}x=+\infty\)
- indéfinie
A: \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{2}{x^2-5}=-\infty\)
Feedback: La fonction \(x\mapsto \frac{2x^2+1}{x-5}\) est une fraction rationnelle. Le rapport des termes dominants du numérateur et dénominateur est \(2x^2/x=2x\). Ainsi la limite est \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{2x^2+1}{x-5}=-\infty\).

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \cos(2\pi x)\) : [...]
A: indef / indef
Feedback: La fonction \(x\mapsto\cos(2\pi x)\) oscille entre \(-1\) et \(1\) avec une périodicité de \(1\) ainsi elle n’admet pas de limite en \(+\infty\). 1. indéfinie

Q: Calculer les limites (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} (x+5)^3\) : [...]
2. \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} (x+5)^3\) : [...]
A: -inf / -inf; +inf / +inf
Feedback: La fonction \(x\mapsto(x+5)^3\) est un polynôme dont le terme dominant (\(x^3\)) est de degré impair avec un coefficient positif ainsi la limite en \(-\infty\) est \(-\infty\) et la limite en \(+\infty\) est \(+\infty\). 1. \(-\infty\) 2. \(+\infty\)

Q: Calculer les limites (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} -x^5+2x^2-50\) : [...]
2. \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} -x^5+2x^2-50\) : [...]
A: +inf / +inf; -inf / -inf
Feedback: La fonction \(x\mapsto-x^5+2x^2-50\) est un polynôme dont le terme dominant (\(-x^5\)) est de degré impair avec un coefficient négatif ainsi la limite en \(-\infty\) est \(+\infty\) et la limite en \(+\infty\) est \(-\infty\). 1. \(+\infty\) 2. \(-\infty\)

Q: Calculer les limites (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} (x-3)^2\) : [...]
2. \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} (x-3)^2\) : [...]
A: +inf / +inf; +inf / +inf
Feedback: La fonction \(x\mapsto(x-3)^2\) est un polynôme dont le terme dominant (\(x^2\)) est de degré pair avec un coefficient positif ainsi les limites en \(-\infty\) et en \(+\infty\) sont égales à \(+\infty\). 1. \(+\infty\) 2. \(+\infty\)

Q: Calculer les limites (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} -2x^4+3x-1\) : [...]
2. \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} -2x^4+3x-1\) : [...]
A: -inf / -inf; -inf / -inf
Feedback: La fonction \(x\mapsto-2x^4+3x-1\) est un polynôme dont le terme dominant (\(-2x^4\)) est de degré impair avec un coefficient négatif ainsi la limite en \(-\infty\) est \(+\infty\) et la limite en \(+\infty\) est \(-\infty\). 1. \(-\infty\) 2. \(-\infty\)

Q: Calculer les limites (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{-2x^4-7x-1}\) : [...]
2. \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{-2x^4-7x-1}\) : [...]
A: 0; 0
Feedback: La fonction \(x\mapsto\frac{1}{-2x^4-7x-1}\) est l’inverse d’un polynôme qui tend en valeur absolue vers l’infini pour \(x\rightarrow+\infty\) ou \(x\rightarrow-\infty\). Ainsi \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{-2x^4-7x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{-2x^4-7x-1}=0\) 1. 0 2. 0

Q: Calculer les limites (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{-3}{2x^5}\) : [...]
2. \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{-3}{2x^5}\) : [...]
A: 0; 0
Feedback: La fonction \(x\mapsto\frac{-3}{2x^5}\) est l’inverse d’un polynôme qui tend en valeur absolue vers l’infini pour \(x\rightarrow+\infty\) ou \(x\rightarrow-\infty\). Ainsi \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{-3}{2x^5}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{-3}{2x^5}=0\) 1. 0 2. 0

Q: Calculer les limites (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{-4x^2+5x+7}{2x^2+9}\) : [...]
2. \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{-4x^2+5x+7}{2x^2+9}\) : [...]
A: -2; -2
Feedback: La fonction \(x\mapsto\frac{-4x^2+5x+7}{2x^2+9}\) est une fraction rationnelle. Pour \(x\rightarrow-\infty\) ou \(x\rightarrow+\infty\) il suffit de s’intéresser au rapport entre les termes dominants du numérateur et du dénominateur, c’est-à-dire \(\frac{-4x^2}{2x^2}=-2\). Donc \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{-4x^2+5x+7}{2x^2+9}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{-4x^2+5x+7}{2x^2+9}=-2.\) 1. -2 2. -2