Title: Rappels Continuité en un point
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Continuité, Dérivation, Intégration

Références de rappels de cours

Définition de la continuité d'une fonction \(f\) en un point \(x_{0}\).

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant  un point \(x_{0}\), on dit que la fonction \(f\) est continue au point \(x_{0}\) si la fonction \(f(x)\) admet \(f(x_0)\) comme  limite \(f(x_0)\) lorsque \(x\) tend vers \(x_{0}\).

\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_{0}}  {f(x) } & = &  f \left ( x_{0} \right ) \end{eqnarray*}

Définition de la continuité à droite d'une fonction \(f\) en un point \(x_{0}\).

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle  contenant  un point \([x_{0},b[\), on dit que la fonction \(f\) est continue à droite au point \(x_{0}\) si la fonction \(f(x)\) admet  \(f(x_0)\) comme  limite à droite  lorsque \(x\) tend vers \(x_{0}\).

\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_{0}^{+}}  {f(x) } & = &  f \left ( x_{0} \right ) \end{eqnarray*}

Définition de la continuité à gauche d'une fonction \(f\) en un point \(x_{0}\).

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle  \(]a,x_{0}]\), on dit que la fonction \(f\) est continue à gauche au point \(x_{0}\) si la fonction \(f(x)\) admet  \(f(x_0)\) comme  limite à gauche  lorsque \(x\) tend vers \(x_{0}\).

\begin{eqnarray*}\lim_{x\to x_{0}^{-}}  {f(x) } & = &  f \left ( x_{0} \right ) \end{eqnarray*}

Propriété

La fonction \(f\) est continue en  \(x_{0}\) si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en  \(x_{0}\).

Ex 1 - Question 1

On considère la fonction \(f \) définie sur \(\mathbb R \) par

\[x  \mapsto \lfloor x^{2}\rfloor\]

Déterminer un entier naturel  \(n \) non nul  tel que  la fonction \(f \) soit constante sur \(]-n,n[ \).

Ex 1 - Réponse à la question 1

On a :  \(\forall x \in ]-1,1[, \quad    1 > x^{2}  \geq 0\)

d'où    \(\forall x \in ]-1,1[, \quad    x^{2}  \in ]-1,1[ \) ,

on peut donc en déduire que :

\[\quad \forall x \in ]-1,1[, \quad   \lfloor x^{2}\rfloor  =0\]

Donc \(n=1\)  convient.

Ex 1 - Question 2

Déterminer la limite \(l \) suivante :
 \begin{eqnarray*}  \lim_{x\to 0} {f(x) } & = &  l  \end{eqnarray*}

Ex 1 - Réponse à la question 2

La fonction étant constante sur  l'intervalle \(]-1,1]\), on obtient  :
 \begin{eqnarray*}     \lim_{x\to 0} {f(x) } & = &   \lim_{x\to 0} {  \lfloor x^{2} \rfloor }  \\& = &  0 \end{eqnarray*}

 Donc \(l=0\).

Ex 1 - Question 3

La fonction \(f \)est-elle continue en \(0 \) ?

Ex 1 - Réponse à la question 3

D'après la question précédente, on  a

         \begin{eqnarray*}   \lim_{x\to 0} {f(x) }=0  \end{eqnarray*}

 Comme \quad \(f(0) =0 \), la fonction \(f \)est continue en \(0 \).

Ex 2 - Question 1

Soit \(a \) un réel fixé, on considère la fonction \[f_{a}\] définie sur \[\mathbb R\] par

             \[x  \mapsto        \left \{\begin{array}{ccc} x + 3  & \mbox{si}   & x \in \, ]-\infty , 1[    \\  x^{2} + a      & \mbox{si}   & x \in \, [1 , +\infty [ \\ \end{array} \right .\]

Déterminer la limite \(l \) suivante :

 \begin{eqnarray*}              \lim_{x\to 1^{-}} { f_{a}(x) } & = &  l \end{eqnarray*}

Ex2 - Réponse à la question 1

Remarque : Soit \(D_{f_{a}} \)l'ensemble  de définition de la fonction \(f_{a} \), on a : \(D_{f_{a}} = \mathbb{R} \).

On a :
\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1^{-}} {f_{a}(x) } & = &   \lim_{x\to 1^{-}} {x +3 }  \\& = &  4 \\& = &  l \qquad  \qquad \quad    (1) \end{eqnarray*}

Ex2 - Question 2

La fonction \(f_{a} \)est-elle continue à droite en \(1 \) ?

Ex2 - Réponse à la question 2

On a  :
\begin{eqnarray*}   \lim_{x\to 1^{+}} {f_{a}(x) } & = &   \lim_{x\to 1^{+}} {x^{2} + a }\\     & = &  1 + a  (2)\\   & = &  f_{a}(1)\end{eqnarray*}
La fonction \(f_{a} \)  est donc continue  à droite en \(1 \).

Ex2 - Question 3

Déterminer la valeur du  réel  \(a\) pour laquelle la fonction \(f_{a} \) est continue en \(1 \).

Ex 2 - Réponse à la question 3

La fonction \(f \) est continue en \(1 \) si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en \(1 \) c'est à dire :

\[ \lim_{x\to 1^{-}} {f_{a}(x) } = \lim_{x\to 1^{+}} {f_{a}(x) }\]

ce qui, d'après \((1) \)et \((2) \), équivaut à  :

\[4  =   a+1  \]

c'est à dire pour \( a = 3.\)