Title: Loi continue
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: On considère la fonction \(f\) définie sur \([0,1]\) par \(f(x)=ax^4\) et nulle ailleurs.

Quelle valeur de \(a\) faut-il choisir pour que \(f\) soit une densité de probabilité ?
A: 5
Feedback: On calcule \[\int_0^1ax^4dx=a\left[\dfrac 15x^5\right]_0^1=\dfrac a5\]. Pour que cette intégrale vaille 1, il faut choisir \(a=5\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie sur \([0,\pi]\) par \(f(x)=\sin x\) et nulle ailleurs.

Quelle valeur de \(a\) faut-il choisir pour que \(f\) soit une densité de probabilité ?
A: 0.5
Feedback: On calcule \[\int_0^\pi a\sin xdx=a\left[-\cos x\right]_0^\pi=2a\]. Pour que cette intégrale vaille 1, il faut choisir \(a=\dfrac 12\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie sur \([0,+\infty[\) par $f(x)=3(-3x) $ et nulle ailleurs.

Quelle valeur de \(a\) faut-il choisir pour que \(f\) soit une densité de probabilité ?
A: 3
Feedback: On calcule \[\int_0^\infty a\exp(-3x)dx=a\left[-\dfrac 13\exp(-3x)\right]_0^\infty=\dfrac a3\]. Pour que cette intégrale vaille 1, il faut choisir \(a=3\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie sur \([0,2]\) par $f(x)=ax^3 $ et nulle ailleurs.

Quelle valeur de \(a\) faut-il choisir pour que \(f\) soit une densité de probabilité ?
A: 0.25
Feedback: On calcule \[\int_0^2 ax^3dx=a\left[\dfrac 14x^4]_0^2=4 a\]. Pour que cette intégrale vaille 1, il faut choisir \(a=\dfrac 14\).

Q: On considère la fonction \(X\) de densité \(f\) définie sur \([0,1]\) par \(f(x)=5x^4\) et nulle ailleurs.

Calculez l’espérance de \(X\) (précision de 0.001) ?
A: 0.833
Feedback: On calcule \[\int_0^1 5x\timesx^4dx=a\left[\dfrac 5{6}x^6\right]_0^1=\dfrac 56\].

Q: On considère la variable \[X\] de densité \(f\) définie sur \([0,\pi]\) par \(f(x)=\dfrac 12\sin x\) et nulle ailleurs.

Calculez l’espérance de \(X\) (précision de 0.001) ?
A: 1.57
Feedback: On calcule \[\int_0^\pi \dfrac 12x\sin xdx=a\left[-\dfrac 12x\cos x\right]_0^\pi+\int_0^\pi\cos xdx=\dfrac \pi 2+0\].

Q: On considère la variable de densité fonction \(f\) définie sur \([0,+\infty]\) par \(f(x)=4\exp(-4x)\) et nulle ailleurs.

Calculez l’espérance de \(X\) (précision de 0.01) ?
A: 0.25
Feedback: On calcule \[\int_0^\infty 4x\exp(-4x)dx=\left[- x\exp(-4x)\right]_0^\infty+\int_0^\infty \exp(-4x)dx=0+\left[-\dfrac 14\exp(-4x)\right]_0^\infty=\dfrac 14\].

Q: On considère la variable \(X\) de densité \(f\) définie sur \([0,2]\) par $f(x)=14x^3 $ et nulle ailleurs.

Calculez l’espérance de \(X\) (précision de 0.01) ?
A: 1.6
Feedback: On calcule \[\int_0^2 \dfra 14x\times x^3dx=\left[\dfra 1{20}x^5]_0^2=\dfrac {32}{20}\dfrac {8}{5} \].

Q: On considère la fonction \(X\) de densité \(f\) définie sur \([0,1]\) par \(f(x)=5x^4\) et nulle ailleurs.

Calculez la variance de \(X\) (précision de 0.001) ?
A: 0.02
Feedback: On calcule \[E(X)=\int_0^1x\times 5x^4dx=\left[\dfrac 5{6}x^6\right]_0^1=\dfrac 5{6}\]. \[E(X^2)=\int_0^1x^2\times 5x^4dx=\left[\dfrac 5{7}x^7\right]_0^1=\dfrac 5{7}\]. $$Var(X)=E(X^2)-(E(X))2=5{7}-=5{252}

Q: On considère la variable \[X\] de densité \(f\) définie sur \([0,\pi]\) par \(f(x)=\dfrac 12\sin x\) et nulle ailleurs.

Calculez la variance de \(X\) (précision de 0.01) ?
A: 0.47
Feedback: On calcule \[E(X)=\int_0^\pi \dfrac 12x\sin xdx=\left[-\dfrac 12x\cos x\right]_0^\pi+\dfrac 12\int_0^\pi\cos xdx=\dfrac \pi 2+0\]. \[\begin{eqnarray*} E(X^2)=\int_0^\pi \dfrac 12x^2\sin xdx&=&\left[-\dfrac 12x^2\cos x\right]_0^\pi+\int_0^\pi x\cos xdx &=&\dfrac {\pi^2}2 +\left[x\sin x\right]_0^\pi-\int_0^\pi \sin xdx &=&\dfrac {\pi^2}2 +0+\left[\cos x\right]_0^\pi &=&\dfrac {\pi^2}2 -2 \end{eqnarray*}\] \[Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\dfrac {\pi^2}2 -2-\dfrac {\pi^2}{4}=\dfrac {\pi^2}{4}-2 \].

Q: On considère la variable de densité fonction \(f\) définie sur \([0,+\infty]\) par \(f(x)=4\exp(-4x)\) et nulle ailleurs.

Calculez la variance de \(X\) (précision de 0.0001) ?
A: 0.0625
Feedback: On calcule \[E(X)=\int_0^\infty 4x\exp(-4x)dx=\left[- x\exp(-4x)\right]_0^\infty+\int_0^\infty \exp(-4x)dx=0+\left[-\dfrac 14\exp(-4x)\right]_0^\infty=\dfrac 14\]. \[\begin{eqnarray*} E(X^2)=\int_0^\infty 4x^2\exp(-4x)dx&=&\left[-x^2\exp(-4x)\right]_0^\infty+\int_0^\infty 2x\exp(-4x)dx &=&0+\dfrac 18. \end{eqnarray*}\] \[Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\dfrac 18 -\dfrac 1{16}= \dfrac 1{16} \].

Q: On considère la variable \(X\) de densité \(f\) définie sur \([0,2]\) par $f(x)=14x^3 $ et nulle ailleurs.

Calculez la variance de \(X\) (précision de 0.001) ?
A: 0.107
Feedback: On calcule \[E(X)=\int_0^2 \dfra 14x\times x^3dx=\left[\dfra 1{20}x^5]_0^2=\dfrac {8}{5} \]. \[E(X^2)=\int_0^2 \dfra 14x^2\times x^3dx=\left[\dfra 1{24}x^6]_0^2=\dfrac {8}{3} \]. \[Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\dfrac 83 -\dfrac {64}{25}= \dfrac{200-192} {75} =\dfrac 8 {75} \].