Title: Ressource - Nombres Complexes - Module, argument et écriture exponentielle
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Nombres et Géométrie

Complexes - Module et argument

Module, argument et écriture exponentielle :  En bref et en vidéo de la Khan Academy

Ressources vidéo de la Khan Academy

C- Module et argument

Définition 4. Soit $$(a;b) \in \mathbb{R}^2$$ et $$z = a + ib$$. Le module de $$z$$, noté $$\mid z \mid$$, est défini par : $$\mid z \mid=\sqrt{a^2 + b^2} $$.

Si $$z$$ est l’affixe d’un vecteur $$\vec{AB}$$, son module est la longueur du segment $$[AB]$$.

Propriétés. Si $$z, z_1, z_2$$ sont des complexes et $$n$$ un entier positif :
- $$\mid z_1 z_2 \mid=\mid z_1    \mid \mid z_2 \mid$$,
- $$\mid \frac{z_1}{z_2} \mid=\frac{\mid z_1    \mid}{\mid z_2 \mid}$$,
- $$\mid z^n\mid=\mid z\mid^n$$.

Définition 5. Un argument d'un nombre complexe $$z$$ non nul est l'angle entre l'axe des abscisses et le vecteur dont il est l'affixe. Il existe un unique $$\theta$$ dans $$[0,2\pi[$$ tel que $$\theta$$ soit l'argument de $$z$$. Tous les réels de la forme $$\theta+2k\pi$$ avec $$k$$ un entier relatif sont alors des arguments de $$z$$.

Propriétés. Si $$z, z_1, z_2$$ sont des complexes et $$n$$ un entier positif :
- $$arg(-z)=arg(z)+\pi \; modulo \; 2\pi$$,
- $$arg(\overline{z}=arg(z) \; modulo \; 2\pi$$.

Complexes - Ecriture exponentielle

E- Nombres complexes de module 1

Définition 6. Soit $$\theta$$ un réel. On définit l'exponentielle complexe $$e^{i\theta}$$ ou $$ exp(i\theta)$$ comme l'unique nombre complexe d'écriture algébrique : $$e^{i\theta}=cos(\theta)+i \; sin(\theta)$$.

Il s’agit de l’affixe du point $$M$$ situé sur le cercle trigonométrique et tel que $$\vec{OM}$$ forme un angle avec l’axe réel. En particulier le module de $$e^{i\theta}$$ est $$1$$ et $$\theta$$ est un de ses arguments.

Réciproquement tous les nombres complexes de module $$1$$ s’écrivent sous la forme d’une exponentielle complexe.

L’exponentielle complexe est une écriture pratique car ses propriétés sont les mêmes que celle de l’exponentielle réelle.

Propriétés. Si $$\theta, \theta_1, \theta_2$$ sont des réels et $$n$$ un entier positif :
- $$e^{i\theta_1} \; x \; e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1+\theta_2)}$$,
- $$\frac{e^{i\theta_1} }{e^{i\theta_2}} =e^{i(\theta_1-\theta_2)}$$,
- $$(e^{i\theta})^n=e^{i n \theta}$$.

Ces propriétés se visualisent aisément sur le cercle trigonométrique. En particulier on note les valeurs remarquables suivantes :
- $$e^{i\pi}  = -1$$,
- $$e^{2i\pi}  = e^0=1$$,
- $$e^{i\frac{\pi}{2}}  = i$$.

F- Ecriture exponentielle d'un nombre complexe

Définition 7. Soit $$(a;b) \in \mathbb{R}^2$$ et $$z = a + ib$$. Si $$r$$ est le module de $$z$$ et $$\theta$$ un de ses arguments, on peut montrer que $$z$$ admet une écriture exponentielle (unique $$ modulo \; 2\pi$$) de la forme suivante : $$z=r\, e^{i\theta}$$.

Cette écriture facilite grandement les calculs de produits et de puissance puisque l'on peut alors appliquer les propriétés de l'exponentielle complexe.

Complexes - Module, argument et écriture exponentielle - Exercice 1

Quel est  la forme trigonométrique de $$z=3+3i$$ ?

- $$z=3 \sqrt{2} \; e^{i\frac{\pi}{4}}$$
Feedback: BRAVO ! Le module de $$z$$ est $$3 \sqrt{2}$$. On peut donc écrire : $$z=3 \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\,\frac{1}{\sqrt{2}})$$ $$=3 \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\,\frac{\sqrt{2}}{2})$$ $$=3 \sqrt{2}(cos(\frac{\pi}{4})+ i \, sin(\frac{\pi}{4}))$$ $$=3 \sqrt{2} \; e^{i\frac{\pi}{4}}$$
- $$z=3 \sqrt{2} \; e^{i\frac{\pi}{2}}$$
Feedback: Revoyez la leçon ! Le module de $$z$$ est $$3 \sqrt{2}$$. On peut donc écrire : $$z=3 \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\,\frac{1}{\sqrt{2}})$$ <br> $$=3 \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\,\frac{\sqrt{2}}{2})$$ <br> $$=3 \sqrt{2}(cos(\frac{\pi}{4})+ i \, sin(\frac{\pi}{4}))$$ <br> $$=3 \sqrt{2} \; e^{i\frac{\pi}{4}}$$<br></p>
- $$z= \sqrt{6} \; e^{i\frac{\pi}{2}}$$
Feedback: Revoyez la leçon ! Le module de $$z$$ est $$3 \sqrt{2}$$. On peut donc écrire : $$z=3 \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\,\frac{1}{\sqrt{2}})$$ <br> $$=3 \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\,\frac{\sqrt{2}}{2})$$ <br> $$=3 \sqrt{2}(cos(\frac{\pi}{4})+ i \, sin(\frac{\pi}{4}))$$ <br> $$=3 \sqrt{2} \; e^{i\frac{\pi}{4}}$$<br></p>
- $$z= \sqrt{6} \; e^{i\frac{\pi}{4}}$$
Feedback: Revoyez la leçon ! Le module de $$z$$ est $$3 \sqrt{2}$$. On peut donc écrire : $$z=3 \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\,\frac{1}{\sqrt{2}})$$ <br> $$=3 \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\,\frac{\sqrt{2}}{2})$$ <br> $$=3 \sqrt{2}(cos(\frac{\pi}{4})+ i \, sin(\frac{\pi}{4}))$$ <br> $$=3 \sqrt{2} \; e^{i\frac{\pi}{4}}$$<br></p>

Complexes - Module, argument et écriture exponentielle - Exercice 2

Si $$z_1=3\sqrt{2}e^{i\, \frac{\pi}{4}}$$ et $$z_2=\sqrt{2}e^{-i\, \frac{5\pi}{6}}$$, alors le quotient $$\frac{z_1}{z_2}$$ est égal à :

- $$3\sqrt{2}e^{i\, \frac{7\pi}{12}}$$
Feedback: Attention, refaites votre calcul ! $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{3\sqrt{2}e^{i\, \frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}e^{-i\, \frac{5\pi}{6}}}$$ $$=3e^{i\, [\frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{6}]}$$ $$=3e^{i\, \frac{13\pi}{12}}$$
- $$3e^{-2i \pi}$$
Feedback: Attention, refaites votre calcul ! $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{3\sqrt{2}e^{i\, \frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}e^{-i\, \frac{5\pi}{6}}}$$ $$=3e^{i\, [\frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{6}]}$$ $$=3e^{i\, \frac{13\pi}{12}}$$
- $$3\sqrt{2}e^{i\, \frac{13\pi}{12}}$$
Feedback: Attention, refaites votre calcul ! $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{3\sqrt{2}e^{i\, \frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}e^{-i\, \frac{5\pi}{6}}}$$ $$=3e^{i\, [\frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{6}]}$$ $$=3e^{i\, \frac{13\pi}{12}}$$
- $$3e^{i\, \frac{13\pi}{12}}$$
Feedback: BRAVO ! $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{3\sqrt{2}e^{i\, \frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}e^{-i\, \frac{5\pi}{6}}}$$ $$=3e^{i\, [\frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{6}]}$$ $$=3e^{i\, \frac{13\pi}{12}}$$