Title: Rappels Tableau de variations
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Continuité, Dérivation, Intégration

Références et rappels de cours

Sens de variation d'une fonction et signe de la dérivée

Soit $$f$$ une fonction dérivable sur un intervalle $$I$$ ; on a :

$$f$$ est constante sur $$I$$ si et seulement si la dérivée $$f'$$ est nulle sur $$I$$.
$$f$$ est croissante  sur $$I$$ si et seulement si la dérivée $$f'$$ est positive sur $$I$$.
$$f$$ est  décroissante  sur $$I$$ si et seulement si la dérivée $$f'$$ est négative sur $$I$$.

Stricte monotonie

Si la dérivée ne s'annule pas, alors la fonction est strictement monotone (c'est à dire strictement croissante ou strictement décroissante.
Si la dérivée $$f'$$ est strictement positive sur $$I$$ alors la fonction $$f$$ est strictement croissante sur $$I$$
Si la dérivée $$f'$$ est strictement négative sur $$I$$ alors la fonction $$f$$ est strictement décroissante sur $$I$$.

Si les points où la dérivée s'annule sont isolés et que le signe ne change pas, la fonction est également strictement monotone.
Si la dérivée $$f'$$ est positive sur $$I$$ et si l'ensemble des réels de $$I$$ qui annulent la dérivée ne contient pas un intervalle  alors la fonction $$f$$ est strictement croissante sur $$I$$.
Si la dérivée $$f'$$ est négative sur $$I$$ et si l'ensemble des réels de $$I$$ qui annulent la dérivée ne contient pas un intervalle  alors la fonction $$f$$ est strictement décroissante sur $$I$$.

Attention : ces conclusions ne sont valables que si la fonction est continue sur l'ensemble de l'intervalle. S'il existe un point où la fonction est discontinue, il faut couper l'intervalle en ce point et examiner la situation sur les deux sous-intervalles.

Ex 1 - Question 1

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(x\mapsto  \left ( 2x- 3 \right)  e^{ x^{2}}\)

 La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on a  :

\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad f'(x) = \left ( ax^{2}  + bx + c \right )  .e^{ x^{2}}\]

où \(a\), \(b\),  et \(c\) sont  entiers relatifs.

Calculer \(a\), \(b\),  et \(c\) et vérifiez votre réponse.

Ex 1 - Réponse à la question 1

On a \(\ a=-6\), \(\ b=22\ \) et \(\ c=40\).

Explication

La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme  polynôme et on a    :
                 \begin{eqnarray*}
                                       \forall x \in \mathbb{R} \quad  f'(x)  &= &  -6x^{2}  + 22x + 40 \\
                            & = &  2 \left ( -3x^{2} + 11x + 20 \right ) \\
                 \end{eqnarray*}

Ex 1 - Question 2

On a le tableau de signe suivant :

             \[   \begin{array}{|c| cc  ccc  cc|}
                \hline
                       x     & -\infty   & \qquad    &A & \qquad    &B & \qquad     & + \infty         \\ \hline
                       f'(x)  &            &    sg(1)    & 0  & sg(2)      &0 &     sg(3)      &      \\
             \hline
                 \end{array}\]

où \(\ A\) et\(\ B\ \) sont des nombres et \(sg(\ )\) désigne le signe de \(f'(x)\) sur l'ensemble considéré.
Calculez \(\ A\) et \(\ B\ \)  et les signes de la fonction \(f'\) dans les trois intervalles.

Ex 1 - Réponse à la question 2

Le signe de \(f'(x)\) est donné par celui  du trinôme \(-3x^{2} + 11x + 20\ \) qui a pour discriminant \(361 = 19^{2}\), il admet donc deux racines \(-\dfrac{4}{3}\) et \(5\).

         On obtient le tableau de signe suivant :

        \[    \begin{array}{|c| cc  ccc  cc|}
                \hline
                       x     & -\infty   & \qquad    &-\dfrac{4}{3}  & \qquad    &5  & \qquad     & + \infty         \\ \hline
                       f'(x)  &            &    -    & 0  & +      &0 &    -      &      \\  \hline
                 \end{array}\]

Ex 1 - Question 3

On a le tableau de variations de \(f\):

     \[     \begin{array}{|c| cc  ccc  cc|}
                \hline
                       x     & -\infty   & \qquad    &-\dfrac{4}{3}  & \qquad    &5  & \qquad     & + \infty         \\ \hline
                      f  &            &    sv(1)    &   & sv(2)      & &     sv(3)      &      \\  \hline
                 \end{array}\]

où \(sv()\) désigne le sens de variation sur l'ensemble considéré.

Déterminez le sens de variation dans chaque intervalle.

Ex 1 - Réponse à la question 3

Du tableau de signe précédent, on déduit le tableau de variation :

               \(     \begin{array}{|c| cc  ccc  cc|}
                \hline
                       x     & -\infty   & \qquad    &-\dfrac{4}{3}  & \qquad    &5  & \qquad     & + \infty         \\ \hline
                       f  &            &    \searrow   &   &  \nearrow      & &    \searrow      &      \\  \hline
                 \end{array}\)

Ex 2 - Question 1

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(x\mapsto  -2x^{3} + 11x^{2} + 40x + 1\)

 La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on a  :

\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad f'(x) =  ax^{2}  + bx + c \]

où \(a\), \(b\),  et \(c\) sont  entiers relatifs.

Calculer \(a\), \(b\),  et \(c\) et vérifiez votre réponse.

Ex 2 - Réponse à la question 1

La fonction \(f\) est définie pour tout réel d'où  :  \(D_{f}= \mathbb{R}\).

La fonction \(f\) est dérivable sur \(D_{f}\) comme  produit et composée de fonctions dérivables  et on a    :

                 \begin{eqnarray*}
                                       \forall x \in D_{f} \quad  f'(x)  &= &   2 .e^{ x^{2}}  + (2x-3) 2x.e^{x^{2}}  \\
                                & = &  \left ( 4x^{2} -6x +2 \right )  .e^{ x^{2}}   \\
                              & = & 2 \left ( 2x^{2} - 3x  +1 \right )  .e^{ x^{2}}   \\
                 \end{eqnarray*}

Ex2 - Question 2

On a le tableau de signe suivant :

               \[    \begin{array}{|c| cc  ccc  cc|}
                \hline
                       x     & -\infty   & \qquad    &A  & \qquad    &B  & \qquad     & + \infty         \\ \hline
                       f'(x)  &            &    sg(1)    & 0  & sg(2)      &0 &     sg(3)      &      \\  \hline
                 \end{array}\]

où \(A\\) et \(B\ \) sont des nombres et \(sg()\) désigne le signe de \(f'(x)\) sur l'ensemble considéré.
Calculez \(A\\) et \(B\ \)  et les signes dans les trois intervalles.

Ex2- réponse à la question 2

Le signe de \(f'(x)\) étant déterminé par celui du trinôme \(2x^{2} -3x + 1\) dont le discriminant est égal à \(1\) et qui admet  \(\dfrac{1}{2}\) et \(1\) comme racines ; on en déduit le tableau de signe suivant :

               \[     \begin{array}{|c| ccccc cc   cc|}
                \hline
                              x                             &- \infty   &             &                      & \dfrac{1}{2}  &                    &       & 1    &  & + \infty              \\ \hline
                  f^{\prime }\left( x\right)       &             &      & +                   &       0  &                 &-  &        0      &+ &                 \\ \hline
                 \end{array}\]

Ex 2- question 3

On a le tableau de variations de \(f\):

         \begin{array}{|c| cc  ccc  cc|}
                \hline
                       x     & -\infty   & \qquad    &\dfrac{A}{B}  & \qquad    &C  & \qquad     & + \infty         \\ \hline
                      f  &            &    sv(1)    &   & sv(2)      & &     sv(3)      &      \\  \hline
                 \end{array}
où \(sv( \quad)\) désigne le sens de variation sur l'ensemble considéré.

Ex 2- Réponse à la question 3

On en déduit le tableau de variations suivant :

               \[    \begin{array}{|c| ccccc cc   cc|}
                \hline
      x       &- \infty   &    &      & \dfrac{1}{2}  &       &       & 1   &  & + \infty              \\
                \hline
f^{\prime }\left( x\right)       &             &      &+     &       0  &    &-  &        0      &+  &              \\
\hline
               &    &    &      &       -2 e^{\frac{1}{4}}&        &      & &      &         + \infty        \\
      f    &                 &  &\nearrow        &            &  & \searrow   &                &\nearrow &           \\
                    &    - \infty      &         &            &         &                &     &-e &   &           \\ \hline
              \end{array}\]