Title: Rappels - Composition des fonctions
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Fonctions réelles

Rappels de cours

Composition de deux fonctions

Définition
Soient deux fonctions réelles \(f\) et \(g\) et leurs ensembles de définition \(D_f\) et \(D_g\).
On remarque que si \(x\) appartient à \(D_f\), \(f(x)\) existe et est un nombre réel ; si \(f(x)\in D_g\), on peut calculer l'image de \(f(x)\) par \(g\). On obtient le nombre \(g(f(x))\). En deux étapes, on a  associé à \(x\) le nombre \(g(f(x))\).
Cette association définit une nouvelle application appelée composition de \(g\) avec \(f\), notée \(g\circ f\).

Attention : dans \(g\circ f\), c'est la fonction \(f\) qui est appliquée en premier, comme dans l'expression \(g(f(x))\).

Exemple de composées de fonctions :
Soit \(f\) définie par \(f(x)=x^2\) et \(g\) définie par \(g(x)=x+1\)
\((g\circ f)(x)=g(f(x))=f(x)+1=x^2+1\).
\((f\circ g)(x)=f(g(x))=g(x)^2=(x+1)^2\).

Propriétés

- Les composées \(g\circ f\) et \(f\circ g\) sont pratiquement toujours différentes.
- L'ensemble de définition de la composée \(g\circ f\) est inclus dans \(D_f\), mais il peut être strictement plus petit, car il faut vérifier que \(f(x)\) appartient à \(D_g\).
- On peut composer plus de deux fonctions, l'ordre dans lequel on calcule les composées ne change pas le résultat (attention, on ne change pas l'ordre des fonctions que l'on compose) :
Soit \(f\), \(g\) et \(h\) trois fonctions. On définit \(k=g\circ f\) et \(l=h \circ g\).
Alors
  - \((h\circ(g\circ f))(x)=(h\circ k)(x)=h(k(x))=h(g(f(x)))\);
  - \(((h \circ g)\circ f)(x)=(l\circ f)(x)=l(f(x))=h(g(f(x)))\).
On écrira donc \(h\circ g\circ f\) sans parenthèse puisque les deux façons de calculer donne le même résultat.

Ex 1 - Question 1

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=1+ x\). Déterminer \(f\circ f\).

Ex 1 - Réponse à la question 1

L'ensemble de définition de la fonction \(f\) est \(\mathbb R\) donc il n'y a pas de restriction à la définition de la composée et l'ensemble de définition de la fonction \(f\circ f\) est \(\mathbb R\).
On a :
\((f\circ  f)(x)=f(1+x)=1+(1+x)=2+x\).

Ex 1 - Question 2

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=1+ x\) et \(g\) définie sur \(\mathbb R\) par \(g(x)=\sqrt x\).

Déterminer \(g\circ f\).

Déterminer \(f\circ g\).

Ex 1 - Réponse à la question 2

L'ensemble de définition de \(f\) est \(\mathbb R\). L'ensemble de définition de la fonction \(g\) est \(\mathbb R^+\).
L'ensemble de définition de \(g\circ f\) est formé des \(x\) tels que \(f(x)\) est définie et appartient à \(D_g\),
donc la composée \(g\circ f\) est définie si et seulement si \(f(x)\) est positive, soit lorsque \(x\geq -1\) . Donc l'ensemble de définition de \(g\circ f\) est \([-1,+\infty[\).
On a :
\((g\circ  f)(x)=\sqrt{1+x}\).

L'ensemble de définition de \(f\circ g\) est formé des \(x\) tels que \(g(x)\) est définie et appartient à \(D_f\), donc la composée \(f\circ g\) est définie si et seulement si \(x\) est positif . Donc l'ensemble de définition de \(f\circ g\) est \(\mathbb R^+\).
On a :
\((f\circ  g)(x)=1+g(x)=1+\sqrt x\).

Les deux composées sont différentes par l'ensemble de définition et la formule de calcul.

Ex 1 - Question 3

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=1+ x\) et \(g\) définie sur \(\mathbb R\) par \(g(x)=\dfrac 1 x\).

Déterminer \(g\circ f\).

Déterminer \(f\circ g\).

Ex 1 - Réponse à la question 3

L'ensemble de définition de \(f\) est \(\mathbb R\). L'ensemble de définition de la fonction \(g\) est \(\mathbb R^*\).

L'ensemble de définition de \(g\circ f\) est formé des \(x\) tels que \(f(x)\) est définie et appartient à \(D_g\),
donc la composée \(g\circ f\) est définie si et seulement si \(f(x)\) est non nulle, soit lorsque \(x\neq -1\) . Donc l'ensemble de définition de \(g\circ f\) est \({\mathbb R}\setminus {-1}\).
On a :
\((g\circ  f)(x)=g(1+x)=\dfrac 1{1+x}\).

L'ensemble de définition de \(f\circ g\) est formé des \(x\) tels que \(g(x)\) est définie et appartient à \(D_f\), donc la composée \(f\circ g\) est définie si et seulement si \(x\) est non nul . Donc l'ensemble de définition de \(f\circ g\) est \(\mathbb R^*\).
On a :
\((f\circ  g)(x)=f\left(\dfrac 1 x\right)=1+\dfrac 1 x=\dfrac  {x+1}x\).

Les deux composées sont différentes par l'ensemble de définition et la formule de calcul.

Ex 2 - Question 1

On considère la fonction \(f\)  définie sur \(\mathbb R\) par
\[x\mapsto  \dfrac{3 +\sin ^{2}x}{2}\]

Ecrire la fonction \(f\) comme la composition de trois fonctions.

Ex 2 - Réponse à la question 1

Pour trouver les fonctions, on regarde les transformations successives de x dans la formule :
On calcule un sinus, puis on calcule un carré, puis on calcule une fraction.
Soit \(g\) la fonction sinus, \(h\) la fonction  définie par \(h(x)=x^2\) et \(k\) la fonction définie par \(k(x)=\dfrac{1+x}2\).

On a \(g(x) = \sin x\), \(h(g(x)) = \sin^2 x\) et \(k((h(g(x)))=\dfrac{1+\sin^2 x}2=f(x)\).

Donc \(f=k\circ h\circ g\).

Ex 2 - Question 2

Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\dfrac{1}{2+ (x-2)^{2} } \).

Ecrire \(f\) comme la composée de trois fonctions.

Ex 2 - Réponse à la question 2

Pour trouver les fonctions, on regarde les transformations successives de \(x\) dans la formule :
On soustrait \(2\) à \(x\), puis on calcule un carré, puis on calcule une fraction.
Soit \(g\) la fonction définie par \(g(x)=x-2\), \(h\) la fonction  définie par \(h(x)=x^2\) et \(k\) la fonction définie par \(k(x)=\dfrac1 {2+x}\).

On a \(g(x) =  x-2\), \(h(g(x)) = (x-2)^2 \) et \(k((h(g(x)))=\dfrac 1{2+(x-2)^2}=f(x)\).

Donc \(f=k\circ h\circ g\).

Exercice 2 - Question 3

Soit \(f\) définie par \(f(x)=  \dfrac{3 +x}{2+ x}\).

Déterminer trois fonctions telles que \(f\) est la composée de ces trois fonctions.

Exercice 2 - Réponse à la question 3

On ne peut pas écrire \(f\) comme composée de trois fonctions : elle n'est pas obtenue comme transformée successive de \(x\), car \(x\) apparait à deux endroits différents dans la formule.

On écrit \(f(x)=\dfrac {3+x}{2+x}=\dfrac {1+2+x}{2+x}=\dfrac {1}{2+x}+1.\)

Soit \(g\) la fonction définie par \(g(x)=2+x\), \(h\) la fonction  définie par \(h(x)=\dfrac1 {x}\) et \(k\) la fonction définie par \(k(x)=x+1\).

On a \(g(x) = 2+ x\), \(h(g(x)) =\dfrac 1 {2+ x} \) et \(k((h(g(x)))= \dfrac 1 {2+ x}+1\).

Donc \(f=k\circ h\circ g\).