Title: Ressources : variations et limites d'une fonction rationnelle
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Fonctions réelles

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Exercice 1

Soit $$F(x)=\frac{x^2+2x+3}{(x-1)(x-2)(x-3)}$$ une fonction rationnelle définie sur $$\mathbb{R}-\{1,2,3\}$$.

Quelle est la limite de $$F(x)$$ quand $$x$$ tend vers $$+\infty ?$$

Quelle est la limite de $$F(x)$$ quand $$x$$ tend vers $$1 ?$$

Correction Exercice 1

Soit $$F(x)=\frac{x^2+2x+3}{(x-1)(x-2)(x-3)}$$ une fonction rationnelle définie sur $$\mathbb{R}-\{1,2,3\}$$.

Quelle est la limite de $$F(x)$$ quand $$x$$ tend vers $$+\infty ?$$

$$F$$ est de degré strictement négatif donc la limite est nulle.

Quelle est la limite de $$F(x)$$ quand $$x$$ tend vers $$1 ?$$

On écrit $$F(x)=\frac{P(x)}{(x-1)Q_1(x)}$$. Alors $$\frac{P(1)}{Q(1)}=3$$ est strictement positif et le degré du pôle $$1$$ est impair donc la limite est $$+\infty$$ quand $$x$$ tend vers $$1$$ par valeur supérieure et $$-\infty$$ quand $$x$$ tend vers $$1$$ par valeur inférieure.

Exercice 2

Soit $$F(x)=\frac{2x^2+x+1}{x^2+2x+1}$$

Donner les racines et les pôles de $$F$$.

Donner les limites de $$F$$ en les bornes de son ensemble de définition.

Étudier les variations de $$F$$

Correction Exercice 2

Soit $$F(x)=\frac{2x^2+x+1}{x^2+2x+1}$$

Donner les racines et les pôles de $$F$$ dans $$\mathbb{R}$$.

$$F$$ n'admet pas de racine réelle. Son pôle est $$-1$$ d'ordre $$2$$.

Donner les limites de $$F$$ en les bornes de son ensemble de définition.

$$F$$ est de degré nul, sa limite en $$+\infty$$ (respectivement $$-\infty$$) est donc le quotient de ses termes dominants soit $$\frac{2}{1}=2$$.

Limite en $$-1$$ : on écrit $$F(x)=\frac{P}{(X+1)Q_1}$$, on a alors $$\frac{P(-1)}{Q_1(-1)}=2>0$$ et le pôle est d'ordre pair donc la limite quand $$x$$ tend vers $$-1$$ est $$+\infty$$ .

Étudier les variations de $$F$$

On dérive $$F$$ :

$$F'(x)=\frac{(4x+1)(x^2+2x+1)-(2x^2+x+1)(2x+2)}{(x^2+2x+1)^2}=\frac{3x^2+2x-1}{(x^2+2x+1)^2}=\frac{(x+1)(x-1/3)}{(x^2+2x+1)^2}=\frac{x-1/3}{(x^2+2x+1)(x+2)}$$

Ainsi $$F$$ d'admet qu'un seul changement de signe sur son ensemble de définition : en $$1/3$$.

En résumé : sur $$]-\infty,-1[$$ elle est croissante, prenant les valeurs $$]2,+\infty[$$. Elle n'est pas définie en $$-1$$. Puis sur $$]-1,+\infty[$$ elle est d'abord décroissante jusque $$1/3$$ puis croissante.