Title: Rappels - Fonction exponentielle et logarithme
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Fonctions réelles

Références de rappels de cours : fonction exponentielle

Fonction exponentielle

Pour un aperçu en vidéo https://youtu.be/-LCGPvcmbrw

Définition
Il existe une unique fonction \(f\) dérivable sur  \(\mathbb R\) telle que :

\(f(0)=1 \; \) et \( \; \displaystyle \forall x \in \mathbb R \; \; f'(x)=f(x) \)

Cette fonction est appelée fonction exponentielle et est notée \(exp(x)\) ou \( \displaystyle e^{x} \).
On appelle constante de Neper ou nombre d'Euler la constante : \( \displaystyle e= exp(e)= e^1  \simeq 2,718\).

Corolaire
La fonction \(exp\) est continue et dérivable sur \(\mathbb R\) et sa dérivée est elle-même : \( exp'(x) = exp(x) \).

Si l'on considère une fonction \(u\) dérivable alors \( exp(u(x))' = u' \displaystyle \times exp(x) \)   que l'on note aussi \( \displaystyle e^{u'} = u' \displaystyle \times e^u \).

Tableau de variation

Limites

- \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} exp(x) = 0 \)
- \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} exp(x) = +\infty\)

Représentation graphique

Propriétés algébriques et fonctionnelles

Pour tous \(x, y\) réels et \(n \in \mathbb Z \) :
\( exp(0) = 1 \) | \(e^0 = 1 \)
\( exp(x+y) = exp(x) \times exp(y)  \; \; \; \; \; \) | \(e^{x+y} = e^x \times e^y \)
\( exp(x-y) = \displaystyle \frac{exp(x)}{exp(y)} \) | \(e^{x-y} = \displaystyle \frac{e^x}{e^y} \)
\( exp(x)^y = exp(xy) \) | \((e^{x})^y = e^{xy} \)
\( exp(nx) = (exp(x))^n \) | \(e^{nx} = (e^{x})^n \)

Exercice 1 - Fonction usuelle exponentielle

Quelle est la forme simplifiée de l'expression \( 1 − e^{−x} \)  avec \( x \) réel ?

- \( \displaystyle \frac{e^x-1}{e^{−x}} \)
Feedback: Réessayez, en commençant par \( e^{-x} =\frac{1}{e^x} \) puis en ramenant au même dénominateur.
- \( \displaystyle \frac{e^x+1}{e^{−x}} \)
Feedback: Réessayez, en commençant par \( e^{-x} =\frac{1}{e^x} \) puis en ramenant au même dénominateur.
- \( \displaystyle \frac{e^x-1}{e^{x}} \)
Feedback: Bravo !

Références de rappels de cours : fonction logarithme

Fonction logarithme

Pour un aperçu en vidéo  https://youtu.be/at2kz-v6KL4

Définition
\( \begin{array}{lcccl}
\text{ La fonction } f \;  : &  ]0, +\infty[ & \rightarrow & \displaystyle \mathbb R & \text{est continue sur} ]0, +\infty[.\\
& x &  \mapsto & \frac{1}{x}\end{array} \)

Elle admet une unique primitive s'annulant en 1. Cette primitive est, par définition, la fonction logarithme népérien notée \( ln \).

Proposition
Pour \( (x,y) \in \left( \displaystyle\mathbb R^*_+\right)^2 \) on a : \( ln(xy)=ln(x) + ln (y) \).
En particulier on a : \( ln(\frac{1}{x})=-ln(x)\)
Et pour tout \( n \in  \displaystyle\mathbb   Z , \; \; ln(x^n) = nln(x) \).

Limites
La fonction \( ln \) est strictement croissante sur \(  ]0, +\infty[ \). Elle vérifie :
- \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow 0} ln(x) = -\infty \)
- \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} exp(x) = +\infty\)

Théorème
La fonction \( ln \) est strictement croissante sur \(  ]0, +\infty[ \). Elle vérifie :
- Pour \( x \in \displaystyle \mathbb R \) on a : \( ln(exp(x))=x \).
- Pour \( y > 0 \) on a : \( exp(ln(y))=y \).

Représentation graphique

Fonction logarithme décimal

Définition
On définit le logarithme décimal par :

\(  \displaystyle \begin{array}{ll}
\forall x \in \mathbb R, & log(x) = \frac{ln(x)}{ln(10)} \end{array} \)

Proposition
Toutes les propriétés du logarithme népérien sont conservées , sauf que cette fois on a :
- \( \displaystyle log 10=1 \)
- \(\displaystyle \forall x\in \mathbb R, \; log(10^x) = x\).

La fonction inverse du logarithme est donc la fonction \( x \mapsto 10^x \) définie sur \( \mathbb R \).

Groupe

On considère la fonction \(f\) définie par la formule \(f(x)=ln(2x+3)+2x\).
Faites-en l'étude sur papier libre, puis répondez aux questions suivantes.

Exercice logarithme - Question 1

On considère la fonction \(f\) définie par la formule \(f(x)=ln(2x+3)+2x\).
Faites-en l'étude sur papier libre, puis répondez aux quatre questions suivantes.

Question 1 : A quelle valeur \( x \) doit être supérieur pour que \( f(x) \)soit définie ?

- -1.5
Feedback: Bravo ! \( f(x) \) est définie si et seulement si : \( x > -3/2 \).

Exercice logarithme - Question 2

Soit la fonction \(f\) définie par la formule \(f(x)=ln(2x+3)+2x\).

Question 2 : l'ensemble de définition de \( f  \) est \( D=   [ -3/2 ; +\infty [ \).

- Faux
Feedback: \( ln \) n'est pas défini en 0, le domaine de définition de \( f \) est donc \( D= ] -3/2 ; +\infty [ \)..
- Vrai
Feedback: \( ln \) n'est pas défini en 0, le domaine de définition de \( f \) est donc \( D= ] -3/2 ; +\infty [ \)..

Exercice logarithme - Question 3

Soit la fonction \(f\) définie par la formule \(f(x)=ln(2x+3)+2x\).

Question 3  :  Pour tout réel \( x  \) appartenant à \( D  \), on peut écrire   \( f′(x) = \frac{n(x)}{d(x)}\) avec :

- Bravo ! en effet la dérivée est égale à : \( f'(x) = \frac{4 \times (x+2) }{ 2x + 3} \).
- Recalculez la dérivée : \( f'(x) = \frac{4 \times (x+2) }{ 2x + 3} \).
- \( n(x) \)
Feedback: 4 * (x+2)
- \( d(x) \)
Feedback: 2x + 3

Exercice logarithme - Question 4

Soit la fonction \(f\) définie par la formule \(f(x)=ln(2x+3)+2x\).

Question 4 : Des variations de la fonction \( f \) on déduit que \( f \) est croissante sur \( D \).

- Vrai
Feedback: Bravo ! En effet, pour \( x \in D \) , comme \( d(x)=2x+3 \) est strictement positif, \( f′(x) \) est du signe de \( n(x) \). Donc, sur l'ensemble \( D \), on obtient que \( f′(x) \) est toujours positive. On déduit que \( f \) est croissante sur \( D \).
- Faux
Feedback: Pour \( x \in D \) , comme \( d(x)=2x+3 \) est strictement positif, \( f′(x) \) est du signe de \( n(x) \). Donc, sur l'ensemble \( D \), on obtient que \( f′(x) \) est toujours positive. Il fallait donc en déduire que \( f \) est croissante sur \( D \).

Fin de la leçon sur les fonctions Exponentielle et Logarithme

La leçon est terminée. Vous pouvez à présent vous entraîner avec le quizz !