Title: Trigonometrie
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: On rappelle que \(\cos \pi/6=\dfrac {\sqrt 3}2\). Déterminez la valeur de \(\cos(\pi/12)\).
- \(1-\sqrt 3\)
- \(\dfrac 12 \sqrt{2+\sqrt 3}\)
- \(\dfrac{2+\sqrt 2}4\)
- \(\dfrac 12 \sqrt{\sqrt 3-2}\)
- \(\dfrac 1{\sqrt 3}\)
A: \(\dfrac 12 \sqrt{2+\sqrt 3}\)
Feedback: D’après les formules de l’angle moitié, \(\cos^2 \pi/12=\dfrac 12 \left(1+\dfrac {\sqrt 3}2\right)=\dfrac 14 \left(2+ \sqrt 3\right)\).

Q: On rappelle que \(\cos \pi/6=\dfrac {\sqrt 3}2\). Déterminez la valeur de \(\sin(\pi/12)\).
- \(1-\sqrt 3\)
- \(\dfrac{2+\sqrt 3}4\)
- \(\dfrac 12 \sqrt{\sqrt 3-2}\)
- \(\dfrac 12 \sqrt{2-\sqrt 3}\)
- $12 $
A: \(\dfrac 12 \sqrt{2-\sqrt 3}\)
Feedback: D’après les formules de l’angle moitié, \(\sin^2 \pi/12=\dfrac 12 \left(1-\dfrac {\sqrt 3}2\right)=\dfrac 14 \left(2- {\sqrt 3}\right)\)

Q: On rappelle que \(\cos \pi/4=\dfrac 1 {\sqrt 2}\). Déterminez la valeur de \(\cos(\pi/8)\).
- \(1-\sqrt 2\)
- \(\dfrac 12 \sqrt{1+\sqrt 2}\)
- \(\dfrac{2+\sqrt 2}4\)
- \(\dfrac 12 \sqrt{\sqrt 2-1}\)
- \(\dfrac 1{\sqrt 2}\)
A: \(\dfrac 12 \sqrt{1+\sqrt 2}\)
Feedback: D’après les formules de l’angle moitié, \(\cos^2 \pi/8=\dfrac 12 \left(1+\dfrac 1 {\sqrt 2}\right)=\dfrac 14 \left(1+ {\sqrt 2}\right)\).

Q: On rappelle que \(\cos \pi/4=\dfrac 1 {\sqrt 2}\). Déterminez la valeur de \(\cos(\pi/8)\).
- \(1-\sqrt 2\)
- \(\dfrac 12 \sqrt{1+\sqrt 2}\)
- \(\dfrac{2+\sqrt 2}4\)
- \(\dfrac 12 \sqrt{\sqrt 2-1}\)
- \(\dfrac 1{\sqrt 2}\)
A: \(\dfrac 12 \sqrt{\sqrt 2-1}\)
Feedback: D’après les formules de l’angle moitié \(\sin^2 \pi/8=\dfrac 12 \left(1-\dfrac 1 {\sqrt 2}\right)=\dfrac 14 \left({\sqrt 2}-1\right)\).

Q: On rappelle que \(\cos 2\pi/5=\dfrac {\sqrt 5-1}4\). Déterminez la valeur de \(\cos(\pi/5)\).
- \(1-\sqrt 5\)
- \(\dfrac 12 \sqrt{\dfrac {3+\sqrt 5} 2}\)
- \(\dfrac{2+\sqrt 5}4\)
- \(\dfrac 12 \sqrt{\sqrt 5-3}\)
- \(\dfrac 1{1+\sqrt 5}\)
A: \(\dfrac 12 \sqrt{\dfrac {3+\sqrt 5} 2}\)
Feedback: D’après les formules de l’angle moitié, \(\cos^2 \pi/5=\dfrac 12 \left(1+\dfrac {\sqrt 5-1}4\right)=\dfrac 18 \left(3+ {\sqrt 5}\right)\). Remarque: dans les tables, on trouve \(\cos \pi/5=\dfrac {1+\sqrt 5}4\). Cette expression plus simple est obtenue en remarquant que \[\dfrac {3+\sqrt 5}8=\dfrac {6+2\sqrt 5}16=\dfrac {5+2\sqrt 5+1}16=\dfrac {(1+\sqrt 5)^2}16\]

Q: On rappelle que \(\cos 2\pi/5=\dfrac {\sqrt 5-1}4\). Déterminez la valeur de \(\sin(\pi/5)\).
- \(1-\sqrt 5\)
- \(\dfrac 12 \sqrt{\dfrac {3+\sqrt 5} 2}\)
- \(\dfrac 12 \sqrt{\dfrac {5-\sqrt 5} 2}\)
- \(\dfrac{2+\sqrt 5}4\)
- \(\dfrac 12 \sqrt{\dfrac{\sqrt 5-3}2}\)
- \(\dfrac 1{3+\sqrt 5}\)
A: \(\dfrac 12 \sqrt{\dfrac {5-\sqrt 5} 2}\)
Feedback: D’après les formules de l’angle moitié, \(\sin^2 \pi/5=\dfrac 12 \left(1-\dfrac {\sqrt 5-1}4)=\dfrac 18 \left(5-\sqrt 5\right)\).

Q: On rappelle que \(\cos \pi/5=\dfrac {1+\sqrt 5}4\). Déterminez la valeur de \(\cos(\pi/10)\).
- \(1-\sqrt 5\)
- \(\dfrac 12 \sqrt{\dfrac {5+\sqrt 5} 2}\)
- \(\dfrac{2+\sqrt 5}4\)
- \(\dfrac 12 \sqrt{\sqrt 5-5}\)
- \(\dfrac 1{5+\sqrt 5}\)
A: \(\dfrac 12 \sqrt{\dfrac {5+\sqrt 5} 2}\)
Feedback: D’après les formules de l’angle moitié, \(\cos^2 \pi/5=\dfrac 12 \left(1+\dfrac {1+\sqrt 5}4\right)=\dfrac 18 \left(5+ {\sqrt 5}\right)\).

Q: On rappelle que \(\cos \pi/5=\dfrac {1+\sqrt 5}4\). Déterminez la valeur de \(\sin(\pi/10)\).
- \(1-\sqrt 5\)
- \(\dfrac 12 \sqrt{\dfrac {3+\sqrt 5} 2}\)
- \(\dfrac 12 \sqrt{\dfrac {3-\sqrt 5} 2}\)
- \(\dfrac{2+\sqrt 5}4\)
- \(\dfrac 12 \sqrt{\dfrac{\sqrt 5-3}2}\)
- \(\dfrac 1{3+\sqrt 5}\)
A: \(\dfrac 12 \sqrt{\dfrac {3-\sqrt 5} 2}\)
Feedback: D’après les formules de l’angle moitié, \(\sin^2 \pi/5=\dfrac 12 \left(1-\dfrac {1+\sqrt 5}4)=\dfrac 18 \left(3-\sqrt 5\right)\). Remarque: dans les tables, on trouve \(\sin \pi/5=\dfrac 1{1+\sqrt 5}=\dfrac {\sqrt 5-1}4\). Cette expression plus simple est obtenue en remarquant que \[\dfrac {3-\sqrt 5}8=\dfrac {6-2\sqrt 5}16=\dfrac {5-2\sqrt 5+1}16=\dfrac {(\sqrt 5-1)^2}16\].

Q: Déterminez la valeur de \(\sin(\pi/12)\).
- \(1-\sqrt 5\)
- \(\dfrac 12 \sqrt{\dfrac {1} 2}\)
- \(\dfrac 12 \sqrt{\dfrac {3-\sqrt 5} 2}\)
- \(\dfrac {\sqrt 3}4\)
- \(\dfrac 12 \dfrac{\sqrt 3-1}{\sqrt{2}}\)
- \(\dfrac 1{3+\sqrt 5}\)
A: \(\dfrac 12 \dfrac{\sqrt 3-1}{\sqrt{2}}\)
Feedback: On remarque que \(\pi/12 =\pi/3-\pi/4\). On utilise la formule du sinus d’une somme. \(\sin \pi/12= \cos \pi/3 \sin -\pi/4+\cos -\pi/4 \sin \pi/3=-\cos \pi/3 \sin \pi/4+\cos \pi/4 \sin \pi/3=-\dfrac 12\dfrac1{\sqrt 2}+\dfrac1{\sqrt 2}\dfrac {\sqrt 3}2=\dfrac {\sqrt 3-1}{2\sqrt 2}\).

Q: Déterminez la valeur de \(\cos \pi/12\).
- \(1-\sqrt 5\)
- \(\dfrac 12 \sqrt{\dfrac {1} 2}\)
- \(\dfrac 12 \dfrac{\sqrt 3-1}{\sqrt{2}}\)
- \(\dfrac {\sqrt 3}4\)
- \(\dfrac 12 \dfrac{\sqrt 3+1}{\sqrt{2}}\)
- \(\dfrac 1{3+\sqrt 5}\)
A: \(\dfrac 12 \dfrac{\sqrt 3+1}{\sqrt{2}}\)
Feedback: On remarque que \(\pi/12 =\pi/3-\pi/4\). On utilise la formule du sinus d’une somme. \(\cos \pi/12= \cos \pi/3\cos -\pi/4 -\sin \pi/3 \sin -\pi/4=\cos \pi/3 \cos \pi/4 +\sin \pi/3 \sin \pi/4=\dfrac {\sqrt 3}2\dfrac 12\dfrac1{\sqrt 2}=\dfrac {\sqrt 3+1}{2\sqrt 2}\).