Title: Développements limités usuels
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: Calculer la limite en \(0\) de (à une précision de \(10^{-2}\))

1. \(\frac{\sin(x)-x}{x^3}\) [...]
A: -0.1667
Feedback: Le développement limité de \(\sin(x)\) en \(0\) à l’ordre 3 donne : \(\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\). Ainsi \(\frac{\sin(x)-x}{x^3}=\frac{x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)-x}{x^3}=\frac{-\frac{x^3}{6}+o(x^3)}{x^3}=-\frac16+o(1)\). Donc la limite est \(-1/6\). 1. \(-1/6\)

Q: Quel est le développement limité en \(0\) à l’ordre 2 de \((2+x)^3\) ?
- \(8+12x+6x^2+o(x^2)\)
- \(8+3x+6x^2+o(x^2)\)
- \(8+3x+3x^2+o(x^2)\)
- \(8+\frac32 x+\frac34x^2+o(x^2)\)
A: \(8+12x+6x^2+o(x^2)\)
Feedback: On a \((2+x)^3=2^3\cdot(1+\frac x2)^3\). Le développement limité à l’ordre 2 en \(0\) de \(y\mapsto (1+y)^3\) est \((1+y)^3=1+3y+\frac{3\cdot2}2y^2+o(y^2)\). Ainsi en remplaçant \(y=\frac x 2\), on a \((2+x)^3=2^3\cdot(1+\frac x2)^3=8\cdot\left(1+3\frac x2+\frac{3\cdot2}{2}\left(\frac x2\right)^2+o(x^2)\right)=8+12x+6x^2+o(x^2)\). Remarquons que ce développement limité peut être retrouvé simplement en faisant le développement limité de \((2+x)^3\) et en négligeant le terme \(x^3\).

Q: Calculer la limite en \(1\) de (à une précision de \(10^{-2}\))

1. \(\frac{\log(x)}{x-1}\) [...]
A: 1
Feedback: On pose \(h=x-1\) afin de se retrouver avec un développement limité en \(0\). Ainsi \(\frac{\log(x)}{x-1}=\frac{\log(1+h)}{h}=\frac{h+o(h)}{h}=1+o(h)\). Par conséquent, la limite est \(1\). 1. \(1\)

Q: Calculer la limite en \(0\) de (à une précision de \(10^{-2}\))

1. \(\frac{\log(1+x^2)}{2x}\) [...]
A: 0
Feedback: En faisant le développement limité en \(0\) du numérateur, on obtient : \(log(1+x^2)=x^2+o(x^2)\). Ainsi \(\frac{\log(1+x^2)}{2x}=\frac{x^2+o(x^2)}{2x}=\frac x2+o(x)\). Donc pour \(x\rightarrow 0\), la limite est \(0\). 1. \(0\)

Q: Calculer la limite en \(0\) de (à une précision de \(10^{-2}\))

1. \(\frac{\sqrt{4+x}-2}{x}\) [...]
A: 0.25
Feedback: On a \(\sqrt{4+x}=2\cdot\sqrt{1+\frac x4}=2\cdot(1+\frac12 \frac x4+o(x))=2+\frac x 4+o(x)\). Par conséquent, \(\frac{\sqrt{4+x}-2}{x}=\frac{\frac x4+o(x)}{x}=\frac14+o(1)\). La limite est donc \(1/4\). 1. \(1/4\)

Q: Calculer la limite en \(0\) de (à une précision de \(10^{-2}\))

1. \(\frac{\sin(x/2)}{4x}\) [...]
A: 0.125
Feedback: Le développement limité de \(\sin(x/2)\) en \(0\) à l’ordre 1 donne : \(\sin(x/2)=x/2+o(x)\). Ainsi \(\frac{\sin(x/2)}{4x}=\frac{x/2+o(x)}{4x}=\frac18+o(1)\). Donc la limite est \(1/8\). 1. \(1/8\)

Q: Calculer la limite en \(0\) de (à une précision de \(10^{-2}\))

1. \(\frac{\exp(x/2)-1-\log(1-x)}{x}\) [...]
A: 1.5
Feedback: Nous faisons les développements limités à l’ordre \(1\) en \(0\) : \(\exp(x/2)=1+x/2+o(x)\) et \(\log(1-x)=-x+o(x)\). Ainsi \(\frac{\exp(x/2)-1-\log(1-x)}{x}=\frac{x/2+x+o(x)}{x}=\frac32+o(1).\) 1. \(3/2\)

Q: Calculer la limite en \(0\) de (à une précision de \(10^{-2}\))

1. \(\frac{\sqrt{1+x}-\exp(x/2)}{x}\) [...]
A: 0
Feedback: Nous faisons les développements limités à l’ordre \(2\) en \(0\) : \(\exp(x/2)=1+\frac x2+\frac12\cdot\frac{x^2}4+o(x^2)\) et \(\sqrt{1+x}=1+\frac12 x+\frac 12\cdot\left(\frac{-1}2\right)\cdot\frac{x^2}{2}+o(x^2)\). Ainsi \(\frac{\sqrt{1+x}-\exp(x/2)}{x}=\frac{1+\frac12 x-\frac18x^2-1-\frac x2-\frac {x^2}8+o(x^2)}{x}=-\frac28 x+o(x)\). La limite est donc 0 pour \(x\rightarrow 0\). 1. \(0\)

Q: Calculer la limite en \(0^+\) de (à une précision de \(10^{-2}\))

1. \(\big(1+x\big)^{\frac1x}\) [...]
A: 2.718
Feedback: On a \(\big(1+x\big)^{\frac1x}=\exp\left(\frac1x\cdot\log (1+x)\right)\). Le développement limité de \(\log(1+x)\) en \(0\) à l’ordre 1 donne : \(\log(1+x)=x+o(x)\). Ainsi \(\exp\left(\frac1x\cdot\log (1+x)\right)=\exp\left( \frac1x\big(x+o(x)\big) \right)=\exp(1+o(1))\). Donc la limite est \(e\approx 2.718\). 1. \(e\approx 2.718\)

Q: Calculer la limite en \(0\) de (à une précision de \(10^{-2}\))

1. \(\frac{\exp(x)-1}{2x}\) [...]
A: 0.5
Feedback: On a le développement limité \(\exp(x)=1+x+o(x)\). Ainsi \(\frac{\exp(x)-1}{2x}=\frac{1+x+o(x)-1}{2x}=1/2+o(1)\). 1. \(1/2\)

Q: Calculer la limite en \(0\) de (à une précision de \(10^{-2}\))

1. \(\frac{\sin(2x)}{5x}\) [...]
A: 0.4
Feedback: On a le développement limité \(\sin(2x)=2x+o(x)\). Ainsi \(\frac{\sin(2x)}{5x}=\frac{2x+o(x)}{5x}=\frac25+o(1)\). 1. \(2/5\)

Q: Calculer la limite en \(0\) de (à une précision de \(10^{-2}\))

1. \(\frac{1+\log(1+x)-\exp(x)}{x^2}\) [...]
A: -1
Feedback: En utilisant les développements limités au second ordre de : \(\log(1+x)=x-x^2/2+o(x)\) et \(\exp(x)=1+x+x^2/2+o(x)\). On obtient : \(\frac{1+\log(1+x)-\exp(x)}{x^2}=\frac{1+x-x^2/2-1-x-x^2/2+o(x^2)}{x^2}=-1+o(1).\) 1. \(-1\)

Q: Calculer la limite en \(0\) de (à une précision de \(10^{-2}\))

1. \(\frac{\sqrt{1+3x}-\sqrt{1-5x}}{x}\) [...]
A: 4
Feedback: En utilisant les développements limités au second ordre de : \(\sqrt{1+3x}=1+3x/2+o(x)\) et \(\sqrt{1-5x}=1-5x/2+o(x)\). On obtient : \(\frac{\sqrt{1+3x}-\sqrt{1-5x}}{x}=\frac{1+3x/2 -(1-5x/2)+o(x)}{x}=4+o(1).\) 1. \(4\)

Q: Calculer la limite en \(0\) de (à une précision de \(10^{-2}\))

1. \(\frac{\frac{5}{x/2+1}-5\log(1+4x)}{x}\) [...]
A: 22.5
Feedback: En utilisant les développements limités au premier ordre de : \(\frac{5}{x/2+1}=5\cdot\frac{1}{1+x/2}=5(1-x/2+o(x))=5-5/2\cdot x+o(x)\) \(5\log(1+4x)=5(1+4x+o(x))=5+20x+o(x)\). On obtient alors: \(\frac{\frac{5}{x/2+1}-5\log(1+4x)}{x}=\frac{5-5/2x-5-20x+o(x)}{x}=-45/2 +o(1)\). 1. \(22.5\)

Q: Quel est le développement limité en \(1\) à l’ordre 1 de \(\sqrt{x}\) ?
- \(\frac12+\frac12x+o(x-1)\)
- \(1+\frac12x+o(x-1)\)
- \(\frac12x+o(x-1)\)
A: \(\frac12+\frac12x+o(x-1)\)
Feedback: On connaît le développement limité de \(h\mapsto\sqrt{1+h}\) en \(0\). Posons \(h=x-1\). Ainsi \(\sqrt{x}=\sqrt{1+h}=1+\frac12h+o(h)=1+\frac12(x-1)+o(x-1)=\frac12+\frac12x+o(x-1)\).

Q: Quel est le développement limité en \(0\) à l’ordre 2 de \(\exp(\frac12x)\) ?
- \(1+\frac12x+\frac18x^2+o(x^2)\)
- \(1+\frac12x+\frac14x^2+o(x^2)\)
- \(1+\frac12x+\frac12x^2+o(x^2)\)
A: \(1+\frac12x+\frac18x^2+o(x^2)\)
Feedback: Le développement limité de \(y\mapsto \exp(y)\) en \(0\) à l’ordre \(2\) est \(\exp(y)=1y+\frac12y^2+o(y^2)\). En remplaçant \(y=\frac12x\), on obtient donc \(\exp(\frac12x)=1+\frac12x+\frac18x^2+o(x^2)\).