Title: Fonctions bornees
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(x\mapsto x - \lfloor x \rfloor\)

Déterminer deux entiers naturels consécutifs \(a\) et \(b\) tels que :

\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad a \leq f(x) \leq b\]

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 0; 1
Feedback: Par définition la partie entière d’un réel \(x\) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à \(x\) on a donc : \[\forall x \in \mathbb{R},\quad \lfloor x \rfloor + 1 > x \geq \lfloor x \rfloor\] On en déduit que : \[\forall x \in \mathbb{R},\quad x \geq \lfloor x \rfloor\] d’où \[\forall x \in \mathbb{R},\quad 0 \leq x- \lfloor x \rfloor \qquad (*)\] De même comme on a : \[\forall x \in \mathbb{R},\quad \lfloor x \rfloor + 1 > x\] il vient : \[\forall x \in \mathbb{R},\quad 1 > x -\lfloor x \rfloor\] d’où \[\forall x \in \mathbb{R},\quad x - \lfloor x \rfloor \leq 1 \qquad (**)\] D’après \((*)\) et \((**)\) on obtient : \[\forall x \in \mathbb{R},\quad 0 \leq x - \lfloor x \rfloor \leq 1\]

Q: On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(x\mapsto 5x - 3 \sqrt x\).

En utilisant la méthode de reconstruction déterminer les entiers relatifs \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) et \(e\) tels que :

\(\forall x \in [3,5],\ a +e \sqrt b \leq f(x) \leq c + e \sqrt d\)

1. Entrer la valeur de l’entier relatif \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier relatif \(b\) dans la case suivante : [...]
3. Entrer la valeur de l’entier relatif \(c\) dans la case suivante : [...]
4. Entrer la valeur de l’entier relatif \(d\) dans la case suivante : [...]
5. Entrer la valeur de l’entier relatif \(e\) dans la case suivante : [...]
A: 15; 5; 25; 3; -3
Feedback: On a : \[\forall x \in [3,5],\ 3 \leq x \leq 5\] d’où \[5 \times 3 \leq 5 \times x \leq 5 \times 5\] et enfin \[15 \leq 5x \leq 25 \quad (1)\] De même on a : \[\forall x \in [3,5],\ 3 \leq x \leq 5\] d’où \[\sqrt 3 \leq \sqrt x \leq \sqrt 5\] donc \[3\sqrt 3 \leq 3 \sqrt x \leq 3 \sqrt 5\] et enfin \[-3 \sqrt 5 \leq -3 \sqrt x \leq -3 \sqrt 3 (2)\] En additionnant membre à membre \((1)\) et \((2)\) on obtient : \[\forall x \in [3,5],\ 15 -3 \sqrt 5 \leq 5 x -3 \sqrt x \leq 25 -3 \sqrt 3\] C’est à dire : \[\forall x \in [3,5],\ 15 -3 \sqrt 5 \leq f(x) \leq 25 -3 \sqrt 3\]

Q: On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(x\mapsto 1 + e^{-x^{2}}\).

Déterminer deux entiers naturels consécutifs \(a\) et \(b\) tels que :

\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad a \leq f(x) \leq b\]

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 1; 2
Feedback: On a : \[\forall x \in \mathbb{R},\quad 0 \leq e^{-x^{2}}\] donc : \[\forall x \in \mathbb{R},\quad 1 \leq 1 + e^{-x^{2}} \quad (*)\] Par ailleurs on a aussi : \[\forall x \in \mathbb{R},\quad -x^{2} \leq 0\] Par croissance de la fonction exp sur \(\mathbb{R}\) il vient : \[\forall x \in \mathbb{R},\quad e^{ -x^{2} } \leq e^{0}\] Soit enfin : \[\forall x \in \mathbb{R},\quad 1 + e^{ -x^{2} } \leq 2 \quad (**)\] D’après \((*)\) et \((**)\) on obtient : \[\forall x \in \mathbb{R},\quad 1 \leq f(x) \leq 2\]

Q: On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par\[x\mapsto -2x - 3 + 4 x^{2}\]

En utilisant la méthode de reconstruction, déterminer les entiers relatifs \(a\) et \(b\) tels que :

\[\forall x \in [1,6],\ a \leq f(x) \leq b\]

1. Entrer la valeur de l’entier relatif \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier relatif \(b\) dans la case suivante : [...]
A: -11; 139
Feedback: On a : \[\forall x \in [1,6],\ \ 1 \leq x \leq 6\] d’où \[2 \times 1 \leq 2 \times x \leq 2 \times 6\] soit \[2 \leq 2x \leq 12\] donc \[-12 \leq - 2x \leq -2\] d’où \[-12 -3 \leq -2x -3 \leq -2 -3\] et enfin \[-15 \leq -2x -3 \leq -5 \; \quad (1)\] De même on a : \[\forall x \in [1,6],\ \ 1 \leq x \leq 6\] d’où \[1^{2} \leq x^{2} \leq 6^{2}\] donc \[4 \times 1^{2} \leq 4 x^{2} \leq 4 \times 6^{2}\] et enfin \[4 \leq 4 x^{2} \leq 144 \quad \qquad \qquad (2)\] En additionnant membre à membre \((1)\) et \((2)\) on obtient : \[\forall x \in [1,6],\ \ - 15 + 4 \leq - 2 x -3 +4 x^{2} \leq -5 + 144\] C’est à dire : \[\forall x \in [1,6],\ \ -11 \leq f(x) \leq 139\]

Q: On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par

\[x\mapsto \dfrac{\cos ^{2}x}{1+ x^{2}}\]

Déterminer deux entiers naturels consécutifs \(a\) et \(b\) tels que :

\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad a \leq f(x) \leq b\]

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 0; 1
Feedback: On a : \[\forall x \in \mathbb{R},\quad -1 \leq \cos x \leq 1\] d’où \[0 \leq \cos ^{2}x \leq 1 \quad (1)\] Par ailleurs on a : \[\forall x \in \mathbb{R},\quad 1 \leq 1 + x^{2}\] d’où \[\dfrac{1}{1 + x^{2}} \leq 1.\] On en déduit que : \[\forall x \in \mathbb{R},\quad 0 \leq \dfrac{1}{ 1 + x^{2} } \leq 1 \qquad (2)\] En multipliant membre à membre \((1)\) et \((2)\) on obtient : \[\forall x \in \mathbb{R},\quad 0 \leq (\cos ^{2} x) . \dfrac{1}{1 + x ^{2}} \leq 1\] C’est à dire : \[\forall x \in \mathbb{R},\quad 0 \leq f(x) \leq 1.\]

Q: On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par

\[x\mapsto \dfrac{2x -4 + 2 \cos x}{ 3x^{2} -x + 5 }\]

En utilisant la méthode de reconstruction déterminer les entiers naturels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que :

\[\forall x \in [3 , 6],\ \quad a \leq f(x) \leq \dfrac{b}{c}\]

où la fraction \(\dfrac{b}{c}\) est irréductible.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
3. Entrer la valeur de l’entier naturel \(c\) dans la case suivante [...]
A: 0; 5; 13
Feedback: Remarque . Le trinôme \(3x^{2} -x + 5\) admettant -59 comme discriminant il ne possède pas de racine dans \(\mathbb{R}\) donc la fonction \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\). On a : \[\forall x \in [3,6],\ -1 \leq \cos x \leq 1\] d’où \[-2 \leq 2 \cos x \leq 2 \quad \quad \qquad (1)\] On a : \[\forall x \in [3,6],\ 3 \leq x \leq 6\] d’où \[2 \times 3 \leq 2 \times x \leq 2 \times 6\] soit \[6 \leq 2x \leq 12\] d’où \[6 - 4 \leq 2x -4 \leq 12 -4\] et enfin \[2 \leq 2x -4 \leq 8 \qquad (2)\] En additionnant membre à membre \((1)\) et \((2)\) on obtient : \[\forall x \in [3,6],\ 0 \leq 2 x -4 + 2 \cos x \leq 10 \quad(*)\] On a aussi : \[\forall x \in [3,6],\ 3 \leq x \leq 6\] d’où \[3^{2} \leq x^{2} \leq 6^{2}\] donc \[3 \times 3^{2} \leq 3 x^{2} \leq 3 \times 6^{2}\] et enfin \[27 \leq 3 x^{2} \leq 108 \quad \quad (3)\] Par ailleurs : \[\forall x \in [3,6],\ 3 \leq x \leq 6\] d’où \[-6 \leq -x \leq -3\] d’où \[-6 + 5 \leq -x + 5 \leq -3 + 5\] et enfin \[-1 \leq -x + 5 \leq 2 \quad (4)\] En additionnant membre à membre \((3)\) et \((4)\) on obtient : \[\forall x \in [3,6],\ 26 \leq 3 x^{2} -x + 5 \leq 110\] On en déduit que : \[\forall x \in [3,6],\ \dfrac{1}{110} \leq \dfrac{1}{3 x^{2} -x + 5} \leq \dfrac{1}{26}\quad (**)\] En multipliant membre à membre \((*)\) et \((**)\) on obtient : \[\forall x \in [3,6],\ 0 . \dfrac{1}{110} \leq ( 2 x -4 + 2 \cos x ) . \dfrac{1}{3x ^{2} -x +5} \leq 10 . \dfrac{1}{26}\] C’est à dire : \[\forall x \in [3,6],\ 0 \leq f(x) \leq \dfrac{5}{13}\]

Q: On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par

\[x\mapsto \left ( 2x^{2} +14 - 3 \sin (7x - \pi) \right ) \left ( \sqrt x+2x^{3}\right)\]

En utilisant la méthode de reconstruction déterminer les entiers naturels \(a\) et \(b\) tels que :

\[\forall x \in [1 , 9], \quad a \leq f(x) \leq b\]

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 39; 261519
Feedback: On a : \[\forall x \in [1,9],\ -1 \leq \sin (7x - \pi) \leq 1\] d’où \[3 \times -1 \leq 3 \sin (7x - \pi) \leq 3 \times 1\] et enfin \[-3 \leq -3 \sin (7x - \pi) \leq 3 \qquad (1)\] On a aussi : \[\forall x \in [1,9],\ 1 \leq x \leq 9\] d’où \[1^{2} \leq x^{2} \leq 9^{2}\] donc \[2 \times 1^{2} \leq 2 x^{2} \leq 2 \times 9^{2}\] soit \[2 \leq 2 x^{2} \leq 162\] et enfin \[16 \leq 2 x^{2} + 14 \leq 176 \quad \qquad \qquad (2)\] En additionnant membre à membre \((1)\) et \((2)\) on obtient : \[\forall x \in [1,9],\ 13 \leq ( 2x^{2} +14 - 3 \sin (7x - \pi) \leq 179 (*)\] Par ailleurs : \[\forall x \in [1,9],\ 1 \leq x \leq 9\] d’où \[1^{3} \leq x^{3} \leq 9^{3}\] donc \[2 \times 1^{3} \leq 2 x^{3} \leq 2 \times 9^{3}\] et enfin \[2 \leq 2 x^{3} \leq 1458 \qquad \quad (3)\] De même on a : \[\forall x \in [1,9],\ 1 \leq x \leq 9\] d’où \[\sqrt 1 \leq \sqrt x \leq \sqrt 9\] donc \[1 \leq \sqrt x \leq 3 \qquad \qquad \qquad (4)\] En additionnant membre à membre \((3)\) et \((4)\) on obtient : \[\forall x \in [1,9],\ 3 \leq \sqrt x + 2x^{3} \leq 1461 (**)\] En multipliant membre à membre \((*)\) et \((**)\) on obtient : \[\forall x \in [1,9],\ 13 \times 3 \leq \left ( 2x^{2} +14 - 3 \sin (7x - \pi) \right ) \left ( \sqrt x+2x^{3} \right) \leq 179 \times 1461\] C’est à dire : \[\forall x \in [1,9],\ 39 \leq f(x) \leq 261519\]

Q: On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par

\[x\mapsto \dfrac{|x|}{2+ |x|}\]

Déterminer deux entiers naturels pairs consécutifs \(a\) et \(b\) tels que :

\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad a \leq f(x) \leq \dfrac{1}{b}\]

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 0; 2
Feedback: On a tout d’abord : \[\forall x \in [-1,1],\ -1 \leq x \leq 1\] d’où \[0 \leq |x| \leq 1 \quad (1)\] et donc : \[\forall x \in [-1,1],\ 2 \leq 2 + |x| \leq 3\] d’où \[\dfrac{1}{3} \leq \dfrac{1} {2 + |x| } \leq \dfrac{1}{2}\quad (2)\] En multipliant membre à membre \((1)\) et \((2)\) on obtient : \[\forall x \in [-1,1],\ 0 \leq |x| . \dfrac{1}{2 + |x| } \leq 1 . \dfrac{1}{2}\] C’est à dire : \[\forall x \in [-1,1],\ 0 \leq f(x) \leq \dfrac{1}{2}\]

Q: On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par

\[x\mapsto \sqrt{x+1} - \sqrt{x}\]

Déterminer deux entiers naturels pairs consécutifs \(a\) et \(b\) tels que :

\[\forall x \in [1,+\infty[, \quad a \leq f(x) \leq \dfrac{1}{b}\]

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 0; 2
Feedback: On a tout d’abord : \[\forall x \in [1,+\infty[ 1 \leq x \leq x + 1\] d’où \[\sqrt 1 \leq \sqrt x \leq \sqrt {x + 1 }\] et enfin \[0 \leq \sqrt {x + 1 } - \sqrt x\] Par ailleurs en utilisant l’expression conjuguée, il vient : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in [1,+\infty[, \quad \sqrt {x + 1 } - \sqrt x = \dfrac{(\sqrt {x + 1 } - \sqrt x )(\sqrt {x + 1 } + \sqrt x ) } {\sqrt {x + 1 } + \sqrt x }\\ = \dfrac{ \left ( \sqrt {x + 1 } \right ) ^{2} -( \sqrt x )^{2} }{\sqrt {x + 1 } + \sqrt x }\\ = \dfrac{ (x + 1) - x }{\sqrt {x + 1 } + \sqrt x }\\ = \dfrac{ 1 }{\sqrt {x + 1 } + \sqrt x } \end{eqnarray*}\] Puisque \(\forall x \in [1, +\infty[ \quad 2 \sqrt x \leq \sqrt {x + 1 } + \sqrt x\) on obtient : \[\forall x \in [1,+\infty[,\quad 0 \leq \dfrac{ 1 }{\sqrt {x + 1 } + \sqrt x } \leq \dfrac{ 1 }{2 \sqrt x }\] Et comme on a : $x [1, +[ 2 2 x $ on en déduit que : \[\forall x \in [1,+\infty[,\quad 0 \leq \dfrac{ 1 }{\sqrt {x + 1 } + \sqrt x } \leq \dfrac{ 1 }{2 }\] Soit enfin : \[\forall x \in [1,+\infty[,\quad 0 \leq f(x) \leq \dfrac{ 1 }{2 }\]

Q: On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par

\[x\mapsto \left ( 3x^{2} -6x + 25 \right ) \left ( -3\sqrt x + \dfrac{1}{2}x \right)\]

En utilisant la méthode de reconstruction déterminer les entiers relatifs \(a\) et \(b\) tels que : \[\forall x \in [1 , 4], \quad a \leq f(x) \leq b\]

1. Entrer la valeur de l’entier relatif\[a\] dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier relatifl\[b\] dans la case suivante : [...]
A: -374; -5
Feedback: On a : \[\forall x \in [1,4],\ 1 \leq x \leq 4\] d’où \[1^{2} \leq x^{2} \leq 4^{2}\] donc \[3 \times 1^{2} \leq 3 x^{2} \leq 3 \times 4^{2}\] soit \[3 \leq 3 x^{2} \leq 48 \; \quad \qquad \qquad (1)\] On a aussi : \[\forall x \in [1,4],\ 1 \leq x \leq 4\] d’où \[6 \times 1 \leq 6 x \leq 6 \times 4\] donc \[6 \leq 6x \leq 24\] soit \[-24 \leq -6x \leq -6\] et donc \[-24 +26 \leq -6x + 26 \leq -6 + 26\] et enfin \[2 \leq -6x + 26 \leq 20 \quad (2)\] En additionnant membre à membre \((1)\) et \((2)\) on obtient : \[\forall x \in [1,4],\ 5 \leq 3x^{2} -6x +25 \leq 68 \quad (*)\] Par ailleurs : \[\forall x \in [1,4],\ 1 \leq x \leq 4\] d’où \[\sqrt 1 \leq \sqrt x \leq \sqrt 4\] donc \[1 \leq \sqrt x \leq 2\] et enfin \[-6 \leq -3 \sqrt x \leq -3 \qquad \qquad \; \quad (3)\] De même on a : \[\forall x \in [1,4],\ 1 \leq x \leq 4\] d’où \[\dfrac{1}{2} \times 1 \leq \dfrac{1}{2} x \leq \dfrac{1}{2} \times 4\] donc \[\dfrac{1}{2} \leq \dfrac{1}{2} x \leq 2 \qquad \qquad \quad (4)\] En additionnant membre à membre \((3)\) et \((4)\) on obtient : \[\forall x \in [1,4],\ -\dfrac{11}{2} \leq -3 \sqrt x + \dfrac{1}{2} x \leq -1\] d’où \[1 \leq - \left (- 3 \sqrt x + \dfrac{1}{2} x \right ) \leq \dfrac{11}{2} \quad (**)\] En multipliant membre à membre \((*)\) et \((**)\) on obtient : \[\forall x \in [1,4],\ 5 \times 1 \leq \left ( 3x^{2} -6x + 25 \right ) \left ( - \left (- 3 \sqrt x + \dfrac{1}{2} x \right ) \right ) \leq 68 \times \dfrac{11}{2}\] d’où \[- 34 \times 11 \leq - \left ( 3x^{2} -6x + 25 \right ) \left ( - \left (- 3 \sqrt x + \dfrac{1}{2} x \right ) \right ) \leq -5\] et enfin \[- 374 \leq \left ( 3x^{2} -6x + 25 \right ) \left ( - 3 \sqrt x + \dfrac{1}{2} x \right ) \leq - 5\] C’est à dire : \[\forall x \in [1,4],\ -374 \leq f(x) \leq -5\]

Q: On considère une fonction \(f\) définie et bornée sur une partie \(I\) de \(\mathbb R\) et une fonction \(g\) définie et bornée sur une partie \(I\) de \(\mathbb R\).

On envisage la proposition suivante :

La fonction \(f-g\) est bornée sur \(I\).

Si la propriété précédente est vraie entrer la lettre “v” sinon entrer la lettre “f” dans la case suivante : [...]
A: v / v
Feedback: Par définition il existe des réels \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) tels que ; \[\forall x \in I,\quad A \leq f(x) \leq B \qquad \qquad (1)\] et \[C \leq g(x) \leq D\] d’où \[\forall x \in I,\quad - D \leq - g(x) \leq -C \qquad (2)\] En additionnant membre à membre \((1)\) et \((2)\) on obtient : \[\forall x \in I,\quad A - D \leq f(x) - g(x) \leq B - C\] Ce qui prouve que la fonction \(f-g\) est bornée sur \(I\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(x\mapsto x^{2}\).

On envisage la proposition suivante :

La fonction \(f\) est bornée sur \([2, +\infty [\).

Si la propriété précédente est vraie entrer la lettre “v” sinon entrer la lettre “f” dans la case suivante : [...]
A: f / f
Feedback: On remarque tout d’abord que : \(\forall x \in [2,+ \infty [, \quad x^{2} \geq 4 \qquad (*)\). On en déduit que \(f\) est minorée sur \([2,+ \infty [\). On montre que la fonction \(f\) n’est pas majorée sur \([2,+ \infty [\) en raisonnant par l’absurde. Supposons que \(f\) soit majorée sur \([2,+ \infty [\), il existe alors un réel \(M\) tel que : \[\forall x \in [2,+ \infty [, \quad f(x) \leq M \quad (H).\] Puisque \(f(2) = 4\) d’après \((*)\) on en déduit que si \(M\) existe alors on a : \(M \geq 4\) On pose par exemple : \(x_{0} = M+1\). On a alors : \(x_{0}\in [2,+ \infty [\) et \(f \left ( x_{0}\right ) = (M + 1)^{2}.\) d’où : \(x_{0}\in [2,+ \infty [\) et \(f \left ( x_{0}\right ) = M^{2} + 2 M + 1\) et donc : \(x_{0}\in [2,+ \infty [\) et \(f \left ( x_{0}\right ) > M\) Ce qui est contraire à l’hypothèse (H), on en déduit donc qu’il n’existe pas de réel \(M\) tel que : \(\forall x \in [2,+ \infty [, \quad f(x) \leq M.\) Ce qui prouve que la fonction \(f\) n’est pas majorée sur \([2, + \infty [\). Bilan : la fonction \(f\) n’est pas bornée sur \([2, + \infty [\).

Q: Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs tels que \(b > a\), on considère une fonction \(f\) définie et bornée sur \([a,b]\).

On considère la fonction \(\varphi\) définie sur \([a,b]\) par

\[\varphi(x)= f(x) + \dfrac{1}{x}\]

On envisage la proposition suivante :

La fonction \(\varphi\) est bornée sur \([a,b]\).

Si la propriété précédente est vraie entrer la lettre “v” sinon entrer la lettre “f” dans la case suivante : [...]
A: v / v
Feedback: Par définition il existe des réels \(A\) et \(B\) tels que ; \[\forall x \in [a,b],\ A \leq f(x) \leq B \qquad \qquad (1)\] Par ailleurs la fonction \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) étant décroissante sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) il vient : \[\forall x \in [a,b],\ \dfrac{1}{b} \leq \dfrac{1}{x} \leq \dfrac{1}{a} \qquad \qquad \qquad (2)\] En additionnant membre à membre \((1)\) et \((2)\) on obtient : \[\forall x \in [a,b],\ A + \dfrac{1}{b} \leq f(x) + \dfrac{1}{x} \leq B + \dfrac{1}{a}\] Soit : \[\forall x \in [a,b],\ A + \dfrac{1}{b} \leq \varphi (x) \leq B + \dfrac{1}{a}\] Ce qui prouve que la fonction \(\varphi\) est bornée sur \(I\).

Q: Soit \(a\) un réel strictement positif on considère une fonction \(f\) définie et croissante sur \([-a,a]\).

On considère la fonction\[\varphi\] définie sur\[[-a,a]\] par \[x\mapsto f(x) + x^{2}\]

On envisage la proposition suivante :

La fonction \(\varphi\) est bornée sur \([-a,a]\).

Si la propriété précédente est vraie entrer la lettre “v” sinon entrer la lettre “f” dans la case suivante : [...]
A: v / v
Feedback: Par définition la fonction \(f\) étant croissante sur \([a,b]\) ; \[\forall x \in [-a,a],\ f(-a) \leq f(x) \leq f(a) \qquad \qquad (1)\] Par ailleurs on a : \[\forall x \in [-a,a],\ -a \leq x \leq a\] d’où \[0 \leq x^{2} \leq a^{2} \qquad \qquad \qquad \qquad (2)\] En additionnant membre à membre \((1)\) et \((2)\) on obtient : \[\forall x \in [-a,a],\ f(-a) \leq f(x) + x^{2} \leq f(a) + a^{2}\] Soit : \[\forall x \in [-a,a],\ f(-a) \leq \varphi (x) \leq f(a) + a^{2}\] Ce qui prouve que la fonction \(\varphi\) est bornée sur \(I\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[x\mapsto 2\sqrt x - \dfrac{4}{x } - 5 \sin (\cos x)\]

Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs tels que \(b > a\) on envisage la proposition suivante :

La fonction \(f\) est bornée sur \([a,b]\).

Si la propriété précédente est vraie entrer la lettre “v” sinon entrer la lettre “f” dans la case suivante : [...]
A: v / v
Feedback: Puisque $ b>a>0$ on a : \[\forall x \in [a,b],\ a \leq x \leq b\] d’où \[\sqrt a \leq \sqrt x \leq \sqrt b\] donc \[2 \sqrt a \leq 2 \sqrt x \leq 2 \sqrt b \quad \qquad \qquad \quad (1)\] On a aussi : \[\forall x \in [a,b],\ a \leq x \leq b\] d’où \[\dfrac{1}{b} \leq \dfrac{1}{x} \leq \dfrac{1}{a}\] et enfin \[-\dfrac{4}{a} \leq - \dfrac{4}{x} \leq - \dfrac{4}{b} \; \qquad \quad \qquad \qquad (2).\] Par ailleurs on a aussi ; \[\forall x \in [a,b],\ -1 \leq \sin (\cos x ) \leq 1\] d’où \[5 \times -1 \leq 5 \sin (\cos x) \leq 5 \times 1\] et enfin \[-5 \leq -5 \sin (\cos x) \leq 5 \quad (3).\] En additionnant membre à membre \((1)\), \((2)\) et \((3)\) on obtient : \[\forall x \in [a,b],\ 2 \sqrt a - \dfrac{4}{a} -5 \leq 2 \sqrt x - \dfrac{4}{x} -5 \sin (\cos x) \leq 2 \sqrt b - \dfrac{4}{b} + 5\] C’est à dire : \[\forall x \in [a,b],\ 2 \sqrt a - \dfrac{4}{a} -5 \leq f(x) \leq 2 \sqrt b - \dfrac{4}{b} + 5\] Ce qui prouve que la fonction \(f\) est bornée sur \([a,b]\).