Title: Rappels Propriétés de la dérivation
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Continuité, Dérivation, Intégration

Références de rappels de cours

Dérivées usuelles :

Vous trouverez les fonctions dérivées des fonctions les plus courante dans le Formulaire de dérivation

Propriétés de la dérivation.

Linéarité
Soit deux fonctions $$u$$ et $$v$$  et $$a$$ un nombre réel.

Soit $$f$$ la fonction somme définie par $$f(x)=u(x)+v(x)$$. La dérivée de $$f$$ est définie par : $$f'(x)=u'(x)+v'(x)$$.

Soit $$g$$ la fonction définie par $$g(x)=au(x)$$. La dérivée de $$g$$ est définie par $$g'(x)=au'(x)$$.

Exemple :
 $$f(x)=x^3+\sin x=u(x)+ v(x)$$ avec $$u(x)=x^3$$ et $$v(x)= \sin x$$.
On a $$u'(x)=3x^2$$ et $$v'(x)= \cos x$$ donc $$f'(x)=u'(x)+v'(x)= 3x^2+ \cos x$$.
$$g(x)= 4x^3=4u(x)$$ alors $$g'(x)=4\times 3x^2$$

Dérivée d'une fonction $$f(ax)$$
Soit une fonction  $$w$$. Soit $$f$$ la fonction  définie par $$f(x)=w(ax)$$.
La dérivée de $$f$$ est définie par : $$f'(x)=a\ w(ax)$$.

Exemple :
$$f(x)=  \sin 3x$$.
On a  $$f(x)=u(3x)$$ avec $$u(x)=\sin x$$ et $$f'(x)=3\cos 3x$$.

Ex 1 - Question 1

Soit la fonction $$f$$  définie sur $$\mathbb R$$ par $$f(x)=\cos(3x)$$.

Calculez la dérivée $$f'$$  de $$f$$ puis vérifiez votre réponse.

Ex 1 - Réponse à la question 1

La fonction dérivée de  $$f(x) =\cos(3x)$$  est $$f'(x)=- 3 \sin(3x)$$.

Explication :

On a $$f(x)=g(ax)$$ pour $$a=3$$ et $$g(x)=\cos(x)$$. On a  $$g'(x)=-\sin(x)$$. Donc $$f'(x)=3.(-\sin(3x))=- 3 \sin(3x)$$.

Ex 1 - Question 2

Soit la fonction $$f$$  définie sur $$\mathbb R$$ par $$f(x)=2\sin(x)$$.

Calculez la dérivée $$f'$$  de $$f$$ puis vérifiez votre réponse.

Ex 1 - Réponse à la question 2

La fonction dérivée de  $$f(x) =2\sin(x)$$  est $$f'(x)=2 \cos(x)$$.

Explication :

On a $$f(x)=ag(x)$$ pour $$a=2$$ et $$g(x)=\sin(x)$$. On a  $$g'(x)=\cos(x)$$. Donc $$f'(x)=2.\cos(x)$$.

Ex 1 - Question 3

On considère $$f(x)= \cos(2x)+\sin(3x)$$.

Calculez la dérivée $$f'$$ de $$f$$ et vérifiez votre réponse.

Ex 1 - Réponse à la question 3

La fonction dérivée de  $$f(x)= \cos(x)+\sin(x)$$ est $$f'(x)=- \sin(x)+\cos(x)$$.

Explication :

La dérivée d'une somme de fonction est la somme des dérivées des fonctions.

Ex 1 - Question 4

On considère la fonction $$f(x)= 2\cos(x)+\sin(5x)$$.

Calculez la dérivée $$f'$$ de $$f$$ et vérifiez votre réponse.

Ex 1 - Réponse à la question 4

La dérivée de la fonction $$f(x)= 2\cos(x)+\sin(5x)$$ est $$f'(x)= -2\sin(x)+5\cos(5x)$$.

Explication
d'après les questions précédentes la dérivée de $$2\cos(x)$$ est $$-2\sin(x)$$ et celle de $$\sin(5x)$$ est $$5\cos(5x)$$. On somme alors ces deux dérivées.

Ex 2 - Question 1

On considère la fonction $$f(x)=e^{3x}$$.

Calculez la dérivée $$f'$$ de $$f$$ et vérifiez votre réponse.

Ex 2 - Réponse à la question 1

La dérivée de $$f(x)=e^{3x}$$ est $$f'(x)=3e^{3x}$$

Explication

La fonction $$f(x) =g(ax)$$ avec   $$a=3$$ et $$g(x)=e^x$$.

Donc $$f'(x)=3.e^{3x}$$.

Ex2 - Question 2

On considère la fonction $$f(x)=\log(2x)$$.

Calculez la dérivée $$f'$$ de $$f$$ et vérifiez votre calcul.

Ex2- réponse à la question 2

La dérivée de la fonction$$f(x)=\log(2x)$$ est $$f'(x)=\frac 1 x$$.

Explication :

On a $$f(x)=g(ax)$$ avec $$a=2$$ et $$g(x)=\log(x)$$.  Donc $$f'(x)=2.\frac 1 {2x}=\frac 1 x$$.

On peut également remarquer que $$f(x)=\log(2x)=\log(x)+\log(2)$$ donc que $$\log(2x)$$ et $$\log(x)$$ ont la même dérivée, puisque la dérivée de la constante $\log(2)$ est nulle.