Title: Binome Newton
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: Calculer la somme suivante : \(S = \sum_{k=0}^{6}C^{k}_{6}(-1)^k\).
A: 0
Feedback: 0 Justification : \(S = (-1+1)^{6}\) par la formule du binôme de Newton.

Q: Calculer la somme suivante : \(S = \sum_{k=0}^{3}C^{k}_{3}2^k\).
A: 27
Feedback: \(27\) Justification : \(S = (2+1)^{3}\) par la formule du binôme de Newton.

Q: Calculer la somme suivante : \(S = \sum_{k=1}^{6}C^{k}_{6}\).
A: 63
Feedback: \(63\) Justification : \(S = (1+1)^{6}-1\) par la formule du binôme de Newton.

Q: Quel est le coefficient de \(x^{1}\) dans le développement limité de \((1+x)^{13}\) ?
A: 479001600
Feedback: \(479001600\) Justification : \(S = (1+x)^{13}=\sum_{k=0}^{13}C^{k}^{13}x^k\) par la formule du binôme de Newton. Ce terme vaut donc \(C^{1}_{13}\)

Q: Quel est le coefficient de \(x^{4}\) dans le développement limité de \((2+x)^{8}\) ?
A: 384
Feedback: \(384\) Justification : \(S = (2+x)^{8}=\sum_{k=0}^{8}C^{k}^{8}x^k\times 2^{8-k}\) par la formule du binôme de Newton. Ce terme vaut donc \(C^{4}_{8}\times 2^{8-4}\)

Q: Quel est le terme constant du polynôme \((1+524x)^{97}\) ?
A: 1
Feedback: 1 Justification : \(S = (1+524x)^{97}=\sum_{k=0}^{97}C^{k}^{97}(524x)^k\) par la formule du binôme de Newton. Ce terme vaut donc \(C^{0}_{97}=1\)

Q: Calculer la somme suivante : \(S = \sum_{k=0}^{7}C^{k}_{7}\frac{1}{3^{k-7}}\).
A: 16384
Feedback: 16384 Justification : \(S = \sum_{k=0}^{7}C^{k}_{7}3^{-k}=\sum_{k=0}^{7}C^{k}_{7}3^{7-k}=(1+3)^7\) par la formule du binôme de Newton.

Q: Quel est le coefficient de \(x^{3}y^{7}\) dans le développement limité de \((x-y)^{10}\) ?
A: 120
Feedback: \(120\) Justification : \(S = (x-y)^{10}=\sum_{k=0}^{10}C^{k}^{10}x^k\times (-y)^{10-k}\) par la formule du binôme de Newton. Ce terme est donc atteint pour \(k=3\) et vaut \(C^{3}_{10}\times(-1)^{10-3}\)

Q: Quel est le coefficient de \(x^{2}y^{3}\) dans le développement limité de \((2x+3y)^{5}\) ?
A: 1080
Feedback: \(1080\) Justification : \(S = (2x+3y)^{5}=\sum_{k=0}^{5}C^{k}^{5}(2x)^k\times (3y)^{5-k}\) par la formule du binôme de Newton. Ce terme est donc atteint pour \(k=2\) et vaut \(C^{2}_{5}\times(2)^{2}\times (3)^3\)

Q: Y-a-t-il un terme en $$x^{8}y^{16}$$ dans le développement limité de $$(x+y)^{30}$$ ?
- Vrai
- Faux
A: Faux
Feedback: Par la formule du binôme de Newton : $$(x+y)^{30}=\sum_{k=0}^{30}C_{30}^kx^ky^{30-k}$$. Un terme en $$x^8y^q$$ correspondrait donc à $$k=8$$ et nécéssairement $$q=30-8=22\neq 16$$.