Title: Ressource - Nombres Complexes - Définitions
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Nombres et Géométrie

Complexes - Définition

Qu'est-ce qu'un nombre complexe :  En bref et en vidéo de la Khan Academy

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A- Définitions

Définition 1. On admettra qu'un nombre complexe $$z$$ s'écrit de manière unique $$a+ib$$ où $$a$$ et $$b$$ sont des nombres réels et $$i$$ est un nombre complexe vérifiant $$i^2=-1$$ . On dit alors que le nombre réel $$a$$ est la partie réelle de $$z$$ et le nombre réel $$b$$ est sa partie imaginaire .

On note $$\Re(z) = a$$ et $$\Im(z) =b$$.

Définition 2. Deux nombres complexes sont égaux si leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont égales.

B-Opérations

Soit $$(a;b) \in \mathbb{R}^2$$  et $$(a';b') \in \mathbb{R}^2$$ . L'addition et la multiplication de deux nombres complexes $$z = a + ib$$ et $$z' = a' + ib'$$ sont définies par :
$$z + z' = (a + a') + i(b + b')$$;
$$z.z' = (a.a' -b.b') + i(a.b' + a'.b)$$;
et ont les mêmes propriétés que dans $$\mathbb{R}$$. Mais attention, pas de relation d'ordre compatible avec les opérations sur $$\mathbb{C}$$ : on ne peut pas parler du signe d'un nombre complexe !

Complexes - Conjugué

Conjugué d'un nombre complexe :  En bref et en vidéo de la Khan AcademyRessources vidéo de la Khan Academy
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C- Conjugué

Définition 3. Soit $$(a;b) \in \mathbb{R}^2$$ et $$z = a + ib$$. Le nombre complexe $$a - ib$$ est dit le conjugué de $$z$$ et est noté $$\overline{z}$$.

Propriétés. Pour tout nombre complexe $$z$$, on a $$\overline{\overline{z}}=z$$, $$z+\overline{z}=2\Re(z)$$ et $$z-\overline{z}=2i\Im(z)$$ .

Complexes - Définition - Exercice 1

Quelle est la partie réelle du nombre complexe $$z=(2+i)^2$$ ?

- 1
Feedback: (2 + i )² = 4 + 4i + i² = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i La partie réelle de ce nombre complexe est donc 3.
- 2
Feedback: (2 + i )² = 4 + 4i + i² = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i La partie réelle de ce nombre complexe est donc 3.
- 3
Feedback: (2 + i )² = 4 + 4i + i² = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i Bravo ! la partie réelle de ce nombre complexe est donc bien 3.
- 4
Feedback: (2 + i )² = 4 + 4i + i² = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i La partie réelle de ce nombre complexe est donc 3.

Complexes - Conjugué - Exercice 2

Quelles sont les solutions de l'équation complexe $$(2i+\overline{z})(z+i(3-z))=0$$ ?

- $$-2i$$
Feedback: Attention à la notion de conjugué. Les solutions sont : $$z=2i$$ et $$z=\frac{-3i}{1-i}=\frac{3-3i}{2}$$.
- $$2i$$
Feedback: Les solutions sont : $$z=2i$$ et $$z=\frac{-3i}{1-i}=\frac{3-3i}{2}$$.
- $$\frac{-3}{1-i}$$
Feedback: Les solutions sont : $$z=2i$$ et $$z=\frac{-3i}{1-i}=\frac{3-3i}{2}$$.
- $$\frac{-3i}{1-i}$$
Feedback: Les solutions sont : $$z=2i$$ et $$z=\frac{-3i}{1-i}=\frac{3-3i}{2}$$.
- $$\frac{3-3i}{2}$$
Feedback: Les solutions sont : $$z=2i$$ et $$z=\frac{-3i}{1-i}=\frac{3-3i}{2}$$.