Title: Inverse d’une matrice
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

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Q: L'inverse d'une matrice qui n'est pas carrée n'est pas définie.
- Vrai
- Faux
A: Vrai

Q: L'inverse d'une matrice carrée peut ne pas être définie.
- Vrai
- Faux
A: Vrai

Q: On considère une matrice $$A$$ inversible. L'inverse de la transposée de $$A$$, $$(A^T)^{-1}$$ :
- est égale à $$(A^{-1})^T$$
- peut ne pas être définie
- est égale à $$A^{-1}$$
- est égale à $$A$$
- est égale à $$-A^{-1}$$
- est égale à $$-\text{com}(A)$$
- est égale à $$\text{com}(A)$$
- est égale à $$\text{com}(A)^T$$
- aucune des autres propositions n'est correcte
A: est égale à $$(A^{-1})^T$$

Q: On considère deux matrices $$A$$ et $$B$$ inversibles. La matrice $$(AB)^{-1}$$ :
- peut ne pas être définie
- est égale à $$A^{-1}B^{-1}$$
- est égale à $$B^{-1}A^{-1}$$
- est égale à $$(\text{com}(A)\text{com}(B))^T/(\text{det}(A)\text{det}(B))$$
- est égale à $$\text{com}(A)^T/\text{det}(B)$$
- est égale à $$\text{com}(B)^T/\text{det}(A)$$
- aucune des autres propositions n'est correcte
- est égale à $$\text{com}(A)^T\text{com}(B)^T/(\text{det}(A)\text{det}(B))$$
A: peut ne pas être définie; est égale à $$B^{-1}A^{-1}$$; est égale à $$(\text{com}(A)\text{com}(B))^T/(\text{det}(A)\text{det}(B))$$

Q: On considère trois matrices $$A$$, $$B$$ et $$C$$ inversibles de taille $$n$$. La matrice $$(ABC)^{-1}$$ :
- peut ne pas être définie
- est égale à $$A^{-1}B^{-1}C^{-1}$$
- est égale à $$C^{-1}B^{-1}A^{-1}$$
- est égale à $$A^{-1}C^{-1}B^{-1}$$
- aucune des autres propositions n'est correcte
A: est égale à $$C^{-1}B^{-1}A^{-1}$$

Q: On considère une matrice $$A$$ inversible. Le déterminant de $$A^{-1}$$ est :
- nul
- non défini
- égal à $$|A|$$
- égal à $$-|A|$$
- égal à $$1/|A|$$
- égal à $$\text{trace}(A)$$
- égal à $$-\text{trace}(A)$$
- égal à $$1/\text{trace}(A)$$
- aucune des autres propositions n'est correcte
A: égal à $$1/|A|$$

Q: Il est toujours possible de mettre un système à $$3$$ équations et $$3$$ inconnues sous la forme d'une équation matricelle $$AX=B$$.
- Vrai
- Faux
A: Faux

Q: On considère un système à 2 équations et 2 inconnues :

$$\left\{\begin{array}{ll}ax+by=c\\ dx+ey=f\end{array}\right.$$

les inconnues sont notées $$x$$ et $$y$$, les coefficients $$a,b,c,d,e,f$$ étant connus. On met le système sous la forme matricielle $$AX=B$$ avec $$X=\left(\begin{array}{ll}x\\ y\end{array}\right)$$. On suppose que le système admet au moins une solution.

Dans ce cas, la matrice $$A$$ est inversible.
- Vrai
- Faux
A: Faux

Q: L'inverse de la matrice $$A=\left(\begin{array}{ll}1&2\\ 0&-1\end{array}\right)$$ :
- n'est pas définie
- est égale à $$\left(\begin{array}{ll}1&2\\ 0&-1\end{array}\right)$$
- est égale à $$\left(\begin{array}{ll}2&1\\ 0&-1\end{array}\right)$$
- est égale à $$\left(\begin{array}{ll}1&2\\ -1&0\end{array}\right)$$
- est égale à $$\left(\begin{array}{ll}1&0\\ 2&-1\end{array}\right)$$
- est égale à $$\left(\begin{array}{ll}-1&2\\ 0&1\end{array}\right)$$
- est égale à $$\left(\begin{array}{ll}0&2\\ 1&-1\end{array}\right)$$
- est égale à $$\left(\begin{array}{ll}1&-1\\ 0&2\end{array}\right)$$
- est égale à $$\left(\begin{array}{ll}1&0\\ -1&2\end{array}\right)$$
- aucune des autres propositions n'est correcte
A: est égale à $$\left(\begin{array}{ll}1&2\\ 0&-1\end{array}\right)$$

Q: La matrice $$A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&2&1\\2&-1&1\end{array}\right)$$ est inversible.
- Vrai
- Faux
A: Vrai