Title: diagonalisation
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: On considère la matrice \(M\) définie sur \(\mathbb R\) par \[M=\left[\begin{array} {ccc} 2& 0 &0 \\ 1& 1& 2\\ 0 &0 &-1 \end{array} \right]\]

Calculer \(P\) et la matrice \(D\) correspondant à la diagonalisation de \(M\). On rangera les valeurs propres de la plus grande à la plus petite. Il existe plusieurs solutions pour \(P\). Mais il n’en existe qu’une respectant les coefficients déjà inscrits dans la réponse.

\[P=\left[\begin{array} {ccc} 1& a&b\\ c& 1& 1\\ d &e& f \end{array} \right]\]

Entrez la valeur de \(a\) : [...]

Entrez la valeur de \(b\) : [...]

Entrez la valeur de \(c\) : [...]

Entrez la valeur de \(d\) : [...]

Entrez la valeur de \(e\) : [...]

Entrez la valeur de \(f\) : [...]

\[D=\left[\begin{array} {ccc} g & 0 & 0\\ 0 &h& 0\\ 0 &0 & i \end{array} \right]\]

Entrez la valeur de \(g\) : [...]

Entrez la valeur de \(h\) : [...]

Entrez la valeur de \(i\) : [...]
A: 0; 0; 1; 0; 0; -1; 2; 1; -1
Feedback: Le déterminant de \(M-xI\) est \(\phi(x)=(2-x)(1-x)(-1-x)\). Donc les valeurs propres sont \(2\), \(1\) et \(-1\). Le vecteur propre \(U1\) pour la valeur propre \(2\) correspond à la première colonne de \(P\). Ses coordonnées (x,y,z) sont solution de \[ \left\{\begin{array} {rcl} 2x&=& 2x\\ x+y+2z&=&2y\\ -z&=&2 z \end{array} \right. \] D’après la première colonne de la matrice \(P\), on choisit \(x=1\), donc \[U1=\left[\begin{array} {c} 1\\ 1\\ 0 \end{array} \right]\] Le vecteur propre \(U2\) pour la valeur propre \(1\) correspond à la deuxième colonne de \(P\). Ses coordonnées (x,y,z) sont solution de \[ \left\{\begin{array} {rcl} 2x&=& x\\ x+y+2z&=&y\\ -z&=& z \end{array} \right. \] D’après la deuxième colonne de la matrice \(P\), on choisit \(y=1\), donc \[U2=\left[\begin{array} {c} 0\\ 1 \\ 0 \end{array} \right]\] Le vecteur propre pour \(-1\) est solution de \[ \left\{\begin{array} {rcl} 2x&=& -x\\ x+y+2z&=&-y\\ -z&=& -z \end{array} \right. \] D’après la troisième colonne de la matrice \(P\), on choisit \(y=1\), donc \[U3=\left[\begin{array} {c} 0\\ 1\\ -1 \end{array} \right]\] \[P=\left[\begin{array} {ccc} 1& 0& 0\\ 1& 1& 1\\ 0 &0 & -1 \end{array} \right]\]

Q: On considère la matrice \(M\) définie sur \(\mathbb R\) par \[M=\left[\begin{array} {ccc} 8& 0 &0 \\ 3 &3 &1 \\ -3&1 &3 \end{array} \right]\]

Calculer \(P\) et la matrice \(D\) correspondant à la diagonalisation de \(M\). On rangera les valeurs propres de la plus grande à la plus petite. Il existe plusieurs solutions pour \(P\). Mais il n’en existe qu’une respectant les coefficients déjà inscrits dans la réponse.

\[P=\left[\begin{array} {ccc} 2& a&b\\ c& 1& d\\ d &e& -1 \end{array} \right]\]

Entrez la valeur de \(a\) : [...]

Entrez la valeur de \(b\) : [...]

Entrez la valeur de \(c\) : [...]

Entrez la valeur de \(d\) : [...]

Entrez la valeur de \(e\) : [...]

Entrez la valeur de \(f\) : [...]

\[D=\left[\begin{array} {ccc} g & 0 & 0\\ 0 &h& 0\\ 0 &0 & i \end{array} \right]\]

Entrez la valeur de \(g\) : [...]

Entrez la valeur de \(h\) : [...]

Entrez la valeur de \(i\) : [...]
A: 0; 0; 1; 1; -1; 1; 8; 4; 2
Feedback: En développant selon la première ligne, le déterminant de \(M-tI\) est \(\phi(t)=(8-t)((3-t)^2-1)=(8-t)(4-t)(2-t)\). Donc les valeurs propres sont \(8\), \(4\) et \(2\). Donc Le vecteur propre \(U1\) pour la valeur propre \(8\) correspond à la première colonne de \(P\). Ses coordonnées (x,y,z) sont solution de \[ \left\{\begin{array} {rcl} 8x&=& 8x\\ 3x+3y+z&=&8y\\ -3x+y+3z&=& 8 z \end{array} \right. \] D’après la première colonne de la matrice \(P\), on choisit \(x=2\), donc \[ \left\{\begin{array} {rcl} -5y+z&=&-6\\ y-5z&=& 6 \end{array} \right. \] Soit \(y=1\) et \(z=-1\). \[U1=\left[\begin{array} {c} 2\\ 1\\ -1 \end{array} \right]\] Le vecteur propre \(U2\) pour la valeur propre \(4\) correspond à la deuxième colonne de \(P\). Ses coordonnées (x,y,z) sont solutions de \[ \left\{\begin{array} {rcl} 8x&=& 4x\\ 3x+3y+z&=&4y\\ -3x+y+3z&=& 4z \end{array} \right. \] D’après la deuxième colonne de la matrice \(P\), on choisit \(y=1\), donc \[ \left\{\begin{array} {rcl} 4x&=& 0\\ 3x+z&=&1\\ -3x+-z&=& -1 \end{array} \right. \] Soit \(x=0\) et \(z=1\). \[U2=\left[\begin{array} {c} 0 \\ 1\\ 1 \end{array} \right]\] Le vecteur propre \(U3\) pour la valeur propre \(2\) correspond à la troisième colonne de \(P\). Ses coordonnées (x,y,z) sont solutions de \[ \left\{\begin{array} {rcl} 8x&=& 2x\\ 3x+3y+z&=&2y\\ -3x+y+3z&=& 2 z \end{array} \right. \] D’après la troisième colonne de la matrice \(P\), on choisit \(z=-1\), donc \[ \left\{\begin{array} {rcl} 6x&=& 0\\ 3x+y&=&1\\ -3x+y&=& 1 \end{array} \right. \] Soit \(x=0\) et \(y=1\). \[U3=\left[\begin{array} {c} 0\\ 1\\ -1 \end{array} \right]\] Donc \[P=\left[\begin{array} {ccc} 2& 0& 0\\ 1& 1& 1\\ -1 &1 & -1 \end{array} \right]\]

Q: On considère la matrice \(M\) définie sur \(\mathbb R\) par \[M=\left[\begin{array} {ccc} 4& 0 &0 \\ 4 &1 &1 \\ -4 &1 &1 \end{array} \right]\]

Calculer \(P\) et la matrice \(D\) correspondant à la diagonalisation de \(M\). On rangera les valeurs propres de la plus grande à la plus petite. Il existe plusieurs solutions pour \(P\). Mais il n’en existe qu’une respectant les coefficients déjà inscrits dans la réponse.

\[P=\left[\begin{array} {ccc} 1& a&b\\ c& 1& d\\ e & f&-1 \end{array} \right]\]

Entrez la valeur de \(a\) : [...]

Entrez la valeur de \(b\) : [...]

Entrez la valeur de \(c\) : [...]

Entrez la valeur de \(d\) : [...]

Entrez la valeur de \(e\) : [...]

Entrez la valeur de \(f\) : [...]

\[D=\left[\begin{array} {ccc} g & 0 & 0\\ 0 &h& 0\\ 0 &0 & i \end{array} \right]\]

Entrez la valeur de \(g\) : [...]

Entrez la valeur de \(h\) : [...]

Entrez la valeur de \(i\) : [...]
A: 0; 0; 1; 1; -1; 1; 4; 2; 0
Feedback: En développant selon la première ligne, le déterminant de \(M-tI\) est \(\phi(t)=(4-t)((1-t)^2-1)=(4-t)(2-t)(-t)\). Donc les valeurs propres sont \(4\), \(2\) et \(0\). Donc \[D=\left[\begin{array} {ccc} 4 & 0 & 0\\ 0 &2& 0\\ 0 &0 & 0 \end{array} \right]\] Le vecteur propre \(U1\) pour la valeur propre \(8\) correspond à la première colonne de \(P\). Ses coordonnées (x,y,z) sont solution de \[ \left\{\begin{array} {rcl} 4x&=& 4x\\ 4x+y+z&=&4y\\ -4x+y+z&=& 4z \end{array} \right. \] D’après la première colonne de la matrice \(P\), on choisit \(x=1\), donc \[ \left\{\begin{array} {rcl} 4x&=&4x -3y+z&=&-4\\ y-3z&=& 4 \end{array} \right. \] Soit \(y=1\) et \(z=-1\). \[U1=\left[\begin{array} {c} 2\\ 1\\ -1 \end{array} \right]\] Le vecteur propre \(U2\) pour la valeur propre \(2\) correspond à la deuxième colonne de \(P\). Ses coordonnées (x,y,z) sont solution de \[ \left[\begin{array} {rcl} 4x&=& 2x\\ 4x+y+z&=&2y\\ -4x+y+z&=&2z \end{array} \right] \] D’après la deuxième colonne de la matrice \(P\), on choisit \(y=1\), donc \[ \left\{\begin{array} {rcl} 2x&=& 0\\ 4x+z&=&1\\ -4x-z&=& -1 \end{array} \right. \] Soit \(x=0\) et \(z=1\). \[U2=\left[\begin{array} {c} 0 \\ 1\\ 1 \end{array} \right]\] Le vecteur propre \(U3\) pour la valeur propre \(0\) correspond à la troisième colonne de \(P\). Ses coordonnées (x,y,z) sont solutions de \[ \left\{\begin{array} {rcl} 4x&=& 0\\ 4x+y+z&=&0\\ -4x+y+z&=&0 \end{array} \right. \] D’après la troisième colonne de la matrice \(P\), on choisit \(z=-1\), donc \[ \left\{\begin{array} {rcl} 4x&=& 0\\ 4x+y&=&1\\ -4x+y&=& 1 \end{array} \right. \] Soit \(x=0\) et \(y=1\). \[U3=\left[\begin{array} {c} 0\\ 1\\ -1 \end{array} \right]\] Donc \[P=\left[\begin{array} {ccc} 2& 0& 0\\ 1& 1& 1\\ -1 &1 & -1 \end{array} \right]\]

Q: On considère la matrice \(M\) définie sur \(\mathbb R\) par \[M=\left[\begin{array} {ccc} 3&-1 &0 \\ -1 &3 &0 \\ 5& -1& -2 \end{array} \right]\]

Calculer \(P\) et la matrice \(D\) correspondant à la diagonalisation de \(M\). On rangera les valeurs propres de la plus grande à la plus petite. Il existe plusieurs solutions pour \(P\). Mais il n’en existe qu’une respectant les coefficients déjà inscrits dans la réponse.P

\[P=\left[\begin{array} {ccc} -1& a&b\\ c& 1& d\\ e& f&-1 \end{array} \right]\]

Entrez la valeur de \(a\) : [...]

Entrez la valeur de \(b\) : [...]

Entrez la valeur de \(c\) : [...]

Entrez la valeur de \(d\) : [...]

Entrez la valeur de \(e\) : [...]

Entrez la valeur de \(f\) : [...]

\[D=\left[\begin{array} {ccc} g & 0 & 0\\ 0 &h& 0\\ 0 &0 & i \end{array} \right]\]

Entrez la valeur de \(g\) : [...]

Entrez la valeur de \(h\) : [...]

Entrez la valeur de \(i\) : [...]
A: 1; 0; 1; 0; -1; 1; 4; 2; -2
Feedback: En développant selon la première ligne, le déterminant de \(M-tI\) est \(\phi(t)=((3-t)^2-1)(-2-t)=(4-t)(2-t)(-2-t)\). Donc les valeurs propres sont \(4\), \(2\) et \(-2\). Donc \[D=\left[\begin{array} {ccc} 4 & 0 & 0\\ 0 &2& 0\\ 0 &0 & -2 \end{array} \right]\] Le vecteur propre \(U1\) pour la valeur propre \(4\) correspond à la première colonne de \(P\). Ses coordonnées (x,y,z) sont solution de \[ \left\{\begin{array} {rcl} 3x-y&=& 4x\\ -x+3y&=&4y\\ 5x-y-2z&=& 4z \end{array} \right. \] D’après la première colonne de la matrice \(P\), on choisit \(x=-1\), donc \[ \left\{\begin{array} {rcl} -y&=&-1\\ -y&=&-1\\ -y-6z&=& 5 \end{array} \right. \] Soit \(y=1\) et \(z=-1\). \[U1=\left[\begin{array} {c} -1\\ 1\\ -1 \end{array} \right]\] Le vecteur propre \(U2\) pour la valeur propre \(2\) correspond à la deuxième colonne de \(P\). Ses coordonnées (x,y,z) sont solution de \[ \left[\begin{array} {rcl} 3x-y&=& 2x\\ -x+3y&=&2y\\ 5x-y-2z&=& 2z \end{array} \right] \] D’après la deuxième colonne de la matrice \(P\), on choisit \(y=1\), donc \[ \left\{\begin{array} {rcl} x&=& 1\\ -x&=&-1\\ 5x-4z&=& 1 \end{array} \right. \] Soit \(x=1\) et \(z=1\). \[U2=\left[\begin{array} {c} 1 \\ 1\\ 1 \end{array} \right]\] Le vecteur propre \(U3\) pour la valeur propre \(-2\) correspond à la troisième colonne de \(P\). Ses coordonnées (x,y,z) sont solutions de \[ \left\{\begin{array} {rcl} 3x-y&=& -2x\\ -x+3y&=&-2y\\ 5x-y-2z&=& -2z \end{array} \right. \] D’après la troisième colonne de la matrice \(P\), on choisit \(z=-1\), donc \[ \left\{\begin{array} {rcl} 5x-y&=& 0\\ -x+5y&=&0\\ 5x-y&=& 0 \end{array} \right. \] Soit \(x=0\) et \(y=1\). \[U3=\left[\begin{array} {c} 0\\ 0\\ -1 \end{array} \right]\] Donc \[P=\left[\begin{array} {ccc} -1& 1& 0\\ 1& 1& 0\\ -1 &1 & -1 \end{array} \right]\]

Q: On considère la matrice \(M\) définie sur \(\mathbb R\) par \[M=\left[\begin{array} {ccc} 0 & 2 & -2\\ 1 &-3 &1 \\ 1 &-5 & 3 \end{array} \right]\]

Calculer \(P\) et la matrice \(D\) correspondant à la diagonalisation de \(M\). On rangera les valeurs propres de la plus grande à la plus petite. Il existe plusieurs solutions pour \(P\). Mais il n’en existe qu’une respectant les coefficients déjà inscrits dans la réponse.

\[P=\left[\begin{array} {ccc} 1& a&b\\ c& 1& d\\ e& f &1 \end{array} \right]\]

Entrez la valeur de \(a\) : [...]

Entrez la valeur de \(b\) : [...]

Entrez la valeur de \(c\) : [...]

Entrez la valeur de \(d\) : [...]

Entrez la valeur de \(e\) : [...]

Entrez la valeur de \(f\) : [...]

\[D=\left[\begin{array} {ccc} g & 0 & 0\\ 0 &h& 0\\ 0 &0 & i \end{array} \right]\]

Entrez la valeur de \(g\) : [...]

Entrez la valeur de \(h\) : [...]

Entrez la valeur de \(i\) : [...]
A: 2; 0; 0; 1; -1; 1; 2; 0; -2
Feedback: Le déterminant de \(M-xI\) est \(\phi(x)=(-x)((-3-x)(3-x)+5)-1*(2(3-x)-10)+1*(2+2(-3-x))=-x((-3-x)(3-x)+5)=x(x^2-4)\). Donc les valeurs propres sont \(2\), \(0\) et \(-2\). Le vecteur propre \(U1\) pour la valeur propre \(4\) correspond à la première colonne de \(P\). Ses coordonnées (x,y,z) sont solution de \[ \left\{\begin{array} {rcl} 2y-2z&=& 2x\\ x-3y+z&=&2y\\ x-5y+3z&=& 2z \end{array} \right. \] D’après la première colonne de la matrice \(P\), on choisit \(x=1\), donc \[ \left\{\begin{array} {rcl} 2y-2z&=& 2\\ -4y+z&=&-1\\ -5y+z&=& -1 \end{array} \right. \] Soit \(y=0\) et \(z=-1\). \[U1=\left[\begin{array} {c} 1\\ 0\\ 1 \end{array} \right]\] Le vecteur propre \(U2\) pour la valeur propre \(0\) correspond à la deuxième colonne de \(P\). Ses coordonnées (x,y,z) sont solution de \[ \left\{\begin{array} {rcl} 2y-2z&=& 0\\ x-3y+z&=&0\\ x-5y+3z&=&0 \end{array} \right. \] D’après la deuxième colonne de la matrice \(P\), on choisit \(y=1\), donc \[ \left\{\begin{array} {rcl} -2z&=& -2\\ x+z&=&3\\ x+3z&=&5 \end{array} \right. \] Soit \(x=2\) et \(z=1\). \[U2=\left[\begin{array} {c} 2 \\ 1\\ 1 \end{array} \right]\] Le vecteur propre \(U3\) pour la valeur propre \(-2\) correspond à la troisième colonne de \(P\). Ses coordonnées (x,y,z) sont solutions de \[ \left\{\begin{array} {rcl} 2y-2z&=& -2x\\ x-3y+z&=&-2y\\ x-5y+3z&=& -2z \end{array} \right. \] D’après la troisième colonne de la matrice \(P\), on choisit \(z=1\), donc \[ \left\{\begin{array} {rcl} 2x+2y&=& 2\\ x-y&=&-1\\ x-5y&=& -5 \end{array} \right. \] Soit \(x=0\) et \(y=1\). \[U3=\left[\begin{array} {c} 0\\ 1\\ 1 \end{array} \right]\] Donc \[P=\left[\begin{array} {ccc} 1& 2& 0\\ 0& 1& 1\\ -1 &1 & 1 \end{array} \right]\]

Q: On considère la matrice \(M\) définie sur \(\mathbb R\) par \[M=\left[\begin{array} {ccc} 2 &1 &0 \\ 0& 2&0 \\ 0& 0& 4 \end{array} \right]\]

Donner les valeurs propres de la plus grande à la plus petite.

Plus grande valeur propre de \(M\) : [...]

Deuxième valeur propre de \(M\) : [...]

Troisième valeur propre de \(M\) : [...]

Calculer l’espace propre de la valeur propre de multiplicité 2.

Donner la dimension de cet espace : [...]

La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ? (V pour vrai, F pour faux): [...]
A: 4; 2; 2; 1; F / f
Feedback: Le déterminant de \(M-xI\) est \(\phi(x)=(4-x)(2-x)(2-x)\). Donc les valeurs propres sont \(4\), \(2\) et \(2\). Les vecteurs propres pour la valeur propre \(2\) correspondent à la deuxième et troisième colonne de \(P\). Leurs coordonnées (x,y,z) sont solutions de \[ \left\{\begin{array} {rcl} 2x+y&=& 2x\\ 2y&=&2y\\ 4z&=& 2z \end{array} \right. \] Ce sont donc les vecteurs tels que \(x=0\) et \(z=0\); L’espace propre est de dimension \(1\) (c’est l’axe des \(y\)). La dimension (\(=1\)) de l’espace propre est plus petite que la multiplicicité (\(=2\)) de la valeur propre \(2\). Donc la matrice n’est pas diagonalisable.

Q: On considère la matrice \(M\) définie sur \(\mathbb R\) par \[M=\left[\begin{array} {cccc} 2 &1 &0&0 \\ 0& 2&1&0 \\ 0& 0& 2 0\\ 0&0&0&1 \end{array} \right]\]

Donner les valeurs propres de la plus grande à la plus petite.

Plus grande valeur propre de \(M\) : [...]

Deuxième valeur propre de \(M\) : [...]

Troisième valeur propre de \(M\) : [...]

Quatrième valeur propre de \(M\) : [...]

Calculer l’espace propre de la valeur propre de multiplicité 3.

Donner la dimension de cet espace : [...]

La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ? (V pour vrai, F pour faux): [...]
A: 2; 2; 2; 1; 1; F / f
Feedback: Le déterminant de \(M-xI\) est \(\phi(x)=(1-x)(2-x)(2-x)(2-x)\). Donc les valeurs propres sont \(2\), \(2\), \(2\) et \(1\). Les vecteurs propres pour la valeur propre \(2\) correspondent à la deuxième et troisième colonne de \(P\). Leurs coordonnées (x,y,z,t) sont solution de \[ \left\{\begin{array} {rcl} 2x+y&=& 2x\\ 2y+z&=&2y\\ 2z&=& 2z\\ t&=&2t \end{array} \right. \] Ce sont les vecteurs tels que \(x=0\), \(y=0\) et \(t=0\); L’espace propre est de dimension \(1\) (c’est l’axe des \(z\)). La dimension (\(=1\)) de l’espace propre est plus petite que la multiplicicité (\(=3\)) de la valeur propre \(2\). Donc la matrice n’est pas diagonalisable.

Q: On considère la matrice \(M\) définie sur \(\mathbb R\) par \[M=\left[\begin{array} {ccc} 1 &-1 &0 \\ 1& 1&0 \\ 0& 0& 4 \end{array} \right]\]

Combien y-a-t-il de valeurs propres: [...]

Quel est la dimension des espaces propres: [...]

La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ? (V pour vrai, F pour faux): [...]
A: 1; 1; F / f
Feedback: Le déterminant de \(M-xI\) est \(\phi(x)=(4-x)((1-x)(1-x)+1)=(4-x)(x^2-2x+2)\). Le discriminant du polynôme \(x^2-2x+2\) est \(-4\) donc ce polynôme n’admet pas de racine réelle. Il n’y a donc qu’une seule valeur propre : \(4\). La valeur propre 4 est simple donc son espace propre est de dimension \(1\). Donc la matrice n’est pas diagonalisable.

Q: On considère la matrice \(M\) définie sur \(\mathbb R\) par \[M=\left[\begin{array} {ccc} 0 &-1 &0 \\ 1& 0&0 \\ 0& 0& 2 \end{array} \right]\]

Combien y-a-t-il de valeurs propres: [...]

Quel est la dimension des espaces propres: [...]

La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ? (V pour vrai, F pour faux): [...]
A: 1; 1; F / f
Feedback: Le déterminant de \(M-xI\) est \(\phi(x)=(2-x)((-x)(-x)+1)=(2-x)(x^2+1)\). Le discriminant du polynôme \(x^2+1\) est \(-4\) donc ce polynôme n’admet pas de racine réelle. Il n’y a donc qu’une seule valeur propre : \(2\). La valeur propre 4 est simple donc son espace propre est de dimension \(1\). Donc la matrice n’est pas diagonalisable.

Q: On considère la matrice \(M\) définie sur \(\mathbb R\) par \[M=\left[\begin{array} {rcl} 0& -1 \\ -1 &0 \end{array} \right]\]

Calculer \(P\) et la matrice \(D\) correspondant à la diagonalisation de \(M\). On rangera les valeurs propres de la plus grande à la plus petite. Il existe plusieurs solutions pour \(P\). Mais il n’en existe qu’une respectant les coefficients déjà inscrits dans la réponse.

\[P=\left[\begin{array} {rcl} 1& a\\ b&1 \end{array} \right]\]

Entrez la valeur de \(a\) : [...]

Entrez la valeur de \(b\) : [...]

\[D=\left[\begin{array} {rcl} c & 0\\ 0 & d \end{array} \right]\]

Entrez la valeur de \(c\) : [...]

Entrez la valeur de \(d\) : [...]
A: 1; -1; 1; -1
Feedback: Le déterminant de \(M-xI\) est \(\phi(x)=(-x)*(-x)-1=x^2-1=(x-1)(x+1)\). Donc les valeurs propres sont \(1\) et \(-1\). Le vecteur propre \(U1\) pour la valeur propre \(1\) correspond à la première colonne de \(P\). Ses coordonnées (x,y) sont solution de \[ \left\{\begin{array} {rcl} -y&=& x\\ -x&=&y \end{array} \right. \] D’après la première colonne de la matrice \(P\), on choisit \(x=1\), donc \(y=-1\). \[U1=\left[\begin{array} {c} 1\\ -1 \end{array} \right]\] Le vecteur propre \(U1\) pour la valeur propre \(1\) correspond à la première colonne de \(P\). Ses coordonnées (x,y) sont solution de \[ \left\{\begin{array} {rcl} -y&=& -x\\ -x&=& -y \end{array} \right. \] D’après la deuxième colonne de la matrice \(P\), on choisit \(y=1\), donc \(x=1\). \[U2=\left[\begin{array} {c} 1\\ 1 \end{array} \right]\] Donc \[P=\left[\begin{array} {cc} 1& 1\\ -1& 1 \end{array} \right]\]

Q: On considère la matrice \(M\) définie sur \(\mathbb R\) par \[M=\left[\begin{array} {rcl} 1& 0 \\ -1 &2 \end{array} \right]\]

Calculer \(P\) et la matrice \(D\) correspondant à la diagonalisation de \(M\). On rangera les valeurs propres de la plus grande à la plus petite. Il existe plusieurs solutions pour \(P\). Mais il n’en existe qu’une respectant les coefficients déjà inscrits dans la réponse.

\[P=\left[\begin{array} {rcl} a&1\\ -1&b \end{array} \right]\]

Entrez la valeur de \(a\) : [...]

Entrez la valeur de \(b\) : [...]

\[D=\left[\begin{array} {ccc} c & 0\\ 0 & d \end{array} \right]\]

Entrez la valeur de \(c\) : [...]

Entrez la valeur de \(d\) : [...]
A: 0; 1; 2; 1
Feedback: Le déterminant de \(M-xI\) est \(\phi(x)=(1-x)(2-x)=\). Donc les valeurs propres sont \(2\) et \(1\). Le vecteur propre \(U1\) pour la valeur propre \(2\) correspond à la première colonne de \(P\). Ses coordonnées (x,y) sont solution de \[ \left\{\begin{array} {rcl} x&=& 2x\\ -x+2y&=&2y \end{array} \right. \] D’après la première colonne de la matrice \(P\), on choisit \(y=-1\) donc \(x=0\). \[U1=\left[\begin{array} {c} 0\\ -1 \end{array} \right]\] Le vecteur propre \(U2\) pour la valeur propre \(1\) correspond à la deuxiéme colonne de \(P\). Ses coordonnées (x,y) sont solution de \[ \left\{\begin{array} {rcl} x&=& x\\ -x+2y&=& y \end{array} \right. \] D’après la deuxième colonne de la matrice \(P\), on choisit \(x=1\), donc \(y=1\). \[U2=\left[\begin{array} {c} 1\\ 1 \end{array} \right]\] Donc \[P=\left[\begin{array} {cc} 0& 1\\ -1& 1 \end{array} \right]\]

Q: On considère la matrice \(M\) définie sur \(\mathbb R\) par \[M=\left[\begin{array} {rcl} 0& 1 \\ 0&1 \end{array} \right]\]

Calculer \(P\) et la matrice \(D\) correspondant à la diagonalisation de \(M\). On rangera les valeurs propres de la plus grande à la plus petite. Il existe plusieurs solutions pour \(P\). Mais il n’en existe qu’une respectant les coefficients déjà inscrits dans la réponse.

\[P=\left[\begin{array} {rcl} 1& a\\ b& 1 \end{array} \right]\]

Entrez la valeur de \(a\) : [...]

Entrez la valeur de \(b\) : [...]

\[D=\left[\begin{array} {ccc} c & 0\\ 0 & d \end{array} \right]\]

Entrez la valeur de \(c\) : [...]

Entrez la valeur de \(d\) : [...]
A: -1; 1; 1; 0
Feedback: Le déterminant de \(M-xI\) est \(\phi(x)=(-x)*(1-x)\). Donc les valeurs propres sont \(1\) et \(0\). Le vecteur propre \(U1\) pour la valeur propre \(1\) correspond à la première colonne de \(P\). Ses coordonnées (x,y) sont solution de \[ \left\{\begin{array} {rcl} y&=& x\\ y&=&y \end{array} \right. \] D’après la première colonne de la matrice \(P\), on choisit \(y=1\), donc \(x=1\). \[U1=\left[\begin{array} {c} 1\\ 1 \end{array} \right]\] Le vecteur propre \(U2\) pour la valeur propre \(0\) correspond à la deuxiéme colonne de \(P\). Ses coordonnées (x,y) sont solution de \[ \left\{\begin{array} {rcl} y&=& 0\\ y&=& 0 \end{array} \right. \] D’après la deuxième colonne de la matrice \(P\), on choisit \(x=-1\) et d’autre part \(y=0\). \[U2=\left[\begin{array} {c} 1\\ 0 \end{array} \right]\] Donc \[P=\left[\begin{array} {cc} 1& -1\\ 1& 0 \end{array} \right]\]

Q: On considère la matrice \(M\) définie sur \(\mathbb R\) par \[M=\left[\begin{array} {rcl} 3& 2 \\ 1&4 \end{array} \right]\]

Calculer \(P\) et la matrice \(D\) correspondant à la diagonalisation de \(M\). On rangera les valeurs propres de la plus grande à la plus petite. Il existe plusieurs solutions pour \(P\). Mais il n’en existe qu’une respectant les coefficients déjà inscrits dans la réponse.

\[P=\left[\begin{array} {rcl} 1& a\\ b& 1 \end{array} \right]\]

Entrez la valeur de \(a\) : [...]

Entrez la valeur de \(b\) : [...]

\[D=\left[\begin{array} {ccc} c & 0\\ 0 & d \end{array} \right]\]

Entrez la valeur de \(c\) : [...]

Entrez la valeur de \(d\) : [...]
A: -2; 1; 5; 2
Feedback: Le déterminant de \(M-xI\) est \(\phi(x)=(4-x)*(3-x)-2=x^2-7x +10\). Le discriminant vaut \(9\). Les valeurs propres sont \(5\) et \(2\). Le vecteur propre \(U1\) pour la valeur propre \(5\) correspond à la première colonne de \(P\). Ses coordonnées (x,y) sont solution de \[ \left\{\begin{array} {rcl} 3x+2y&=& 5x\\ x+4y&=&5y \end{array} \right. \] D’après la première colonne de la matrice \(P\), on choisit \(x=1\), donc \(y=1\). \[U1=\left[\begin{array} {c} 1\\ 1 \end{array} \right]\] Le vecteur propre \(U2\) pour la valeur propre \(2\) correspond à la deuxiéme colonne de \(P\). Ses coordonnées (x,y) sont solution de \[ \left\{\begin{array} {rcl} 3x+2y&=& 2x\\ x+4y&=&2y \end{array} \right. \] D’après la deuxième colonne de la matrice \(P\), on choisit \(y=1\) donc \(x=-2\). \[U2=\left[\begin{array} {c} -2\\ 1 \end{array} \right]\] Donc \[P=\left[\begin{array} {cc} 1& -2\\ 1& 1 \end{array} \right]\]

Q: On considère la matrice \(M\) définie sur \(\mathbb R\) par \[M=\left[\begin{array} {rcl} 4& 2 \\ 1&3 \end{array} \right]\]

Calculer \(P\) et la matrice \(D\) correspondant à la diagonalisation de \(M\). On rangera les valeurs propres de la plus grande à la plus petite. Il existe plusieurs solutions pour \(P\). Mais il n’en existe qu’une respectant les coefficients déjà inscrits dans la réponse.

\[P=\left[\begin{array} {rcl} 2& a\\ b& 1 \end{array} \right]\]

Entrez la valeur de \(a\) : [...]

Entrez la valeur de \(b\) : [...]

\[D=\left[\begin{array} {ccc} c & 0\\ 0 & d \end{array} \right]\]

Entrez la valeur de \(c\) : [...]

Entrez la valeur de \(d\) : [...]
A: -1; 1; 5; 2
Feedback: Le déterminant de \(M-xI\) est \(\phi(x)=(4-x)*(3-x)-2=x^2-7x +10\). Le discriminant vaut \(9\). Les valeurs propres sont \(5\) et \(2\). Le vecteur propre \(U1\) pour la valeur propre \(5\) correspond à la première colonne de \(P\). Ses coordonnées (x,y) sont solution de \[ \left\{\begin{array} {rcl} 4x+2y&=& 5x\\ x+3y&=&5y \end{array} \right. \] D’après la première colonne de la matrice \(P\), on choisit \(x=2\), donc \(y=1\). \[U1=\left[\begin{array} {c} 2\\ 1 \end{array} \right]\] Le vecteur propre \(U2\) pour la valeur propre \(2\) correspond à la deuxiéme colonne de \(P\). Ses coordonnées (x,y) sont solution de \[ \left\{\begin{array} {rcl} 4x+2y&=& 2x\\ x+3y&=&2y \end{array} \right. \] D’après la deuxième colonne de la matrice \(P\), on choisit \(y=1\) donc \(x=-1\). \[U2=\left[\begin{array} {c} -1\\ 1 \end{array} \right]\] Donc \[P=\left[\begin{array} {cc} 2& -1\\ 1& 1 \end{array} \right]\]

Q: On considère la matrice \(M\) définie sur \(\mathbb R\) par \[M=\left[\begin{array} {rcl} 4& 1 \\ 1&4 \end{array} \right]\]

Calculer \(P\) et la matrice \(D\) correspondant à la diagonalisation de \(M\). On rangera les valeurs propres de la plus grande à la plus petite. Il existe plusieurs solutions pour \(P\). Mais il n’en existe qu’une respectant les coefficients déjà inscrits dans la réponse.

\[P=\left[\begin{array} {rcl} 1& a\\ b& 1 \end{array} \right]\]

Entrez la valeur de \(a\) : [...]

Entrez la valeur de \(b\) : [...]

\[D=\left[\begin{array} {ccc} c & 0\\ 0 & d \end{array} \right]\]

Entrez la valeur de \(c\) : [...]

Entrez la valeur de \(d\) : [...]
A: -1; 1; 5; 3
Feedback: Le déterminant de \(M-xI\) est \(\phi(x)=(4-x)(4-x)-1=(5-x)(3-x)\). Les valeurs propres sont \(5\) et \(3\). Le vecteur propre \(U1\) pour la valeur propre \(5\) correspond à la première colonne de \(P\). Ses coordonnées (x,y) sont solution de \[ \left\{\begin{array} {rcl} 4x+y&=& 5x\\ x+4y&=&5y \end{array} \right. \] D’après la première colonne de la matrice \(P\), on choisit \(x=1\), donc \(y=1\). \[U1=\left[\begin{array} {c} 1\\ 1 \end{array} \right]\] Le vecteur propre \(U2\) pour la valeur propre \(3\) correspond à la deuxiéme colonne de \(P\). Ses coordonnées (x,y) sont solution de \[ \left\{\begin{array} {rcl} 4x+y&=& 3x\\ x+4y&=&3y \end{array} \right. \] D’après la deuxième colonne de la matrice \(P\), on choisit \(y=1\) donc \(x=-1\). \[U2=\left[\begin{array} {c} -1\\ 1 \end{array} \right]\] Donc \[P=\left[\begin{array} {cc} 1& -1\\ 1& 1 \end{array} \right]\]