Title: Rappels Dérivation d'une composition
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Continuité, Dérivation, Intégration

Calcul de la dérivée de la composées de deux fonctions

Ressources

- Dérivée d'une composée de deux fonctions (formule générale et 2 exemples)

https://www.youtube.com/watch?v=lwcFgnbs0Ew

- Dérivée d'une composée de 2 ou plus de fonctions

https://fr.khanacademy.org/math/be-5eme-secondaire4h2/xe8f0cb2c937e9fc1:analyse/xe8f0cb2c937e9fc1:derivation-dune-fonction-composee/a/chain-rule-review

Question 1

Calculer la dérivée de la fonction $$f$$ données par $$f(x)=\sin(1-2x)$$ en précisant son domaine de dérivabilité.

Réponse 1

On écrit $$f(x)=u(v(x))$$ avec $$u(x)=\sin(x)$$ et $$v(x)=1-2x$$.

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ comme composée de fonctions qui le sont ($$u$$ et $$v$$).

La dérivée de $$f$$ est donnée par $$f'(x)=u'(v(x))v'(x)$$, soit, à partir des expressions $$u'(x)=\cos(x)$$ et $$v'(x)=-2$$ :

$$f'(x)=\cos(1-2x)\times (-2)=-2\cos(1-2x)$$

Question 2

Retrouver la formule de la dérivée de l'inverse d'une fonction $$v$$, $$1/v$$, à l'aide de la formule de la dérivée d'une composée de fonctions.

Réponse 2

On considère $$x$$ tel que $$v(x)\neq 0$$. On écrit :

$$f(x)=1/v(x)=u(v(x))$$ avec $$u(x)=1/x$$

La dérivée de $$f$$ est donnée par $$f'(x)=u'(v(x))v'(x)$$, soit, à partir de l'expression $$u'(x)=-1/x^2$$ :

$$f'(x)=[-1/v(x)^2]\times v'(x)=-v'(x)/v(x)^2$$

Question 3

En déduire la dérivée de la fonction $$f$$ données par $$f(x)=1/(2x^2-1)$$ en précisant son domaine de dérivabilité.

Réponse 3

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}-\{-\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2\}$$ comme composée (ou quotient) de fonctions qui le sont.

Pour $$x$$ de cet ensemble, on écrit :

$$f(x)=1/v(x)$$ avec $$v(x)=2x^2-1$$.

La dérivée de $$f$$ est donnée par $$f'(x)=-v'(x)/v(x)^2$$, soit, comme $$v'(x)=4x$$ :

$$f'(x)=-4x/(2x^2-1)^2$$

Question 4

Calculer la dérivée de la fonction $$f$$ données par $$f(x)=\cos^5(x)$$ en précisant son domaine de dérivabilité.

Réponse 4

On écrit $$f(x)=u(v(x))$$ avec $$u(x)=x^5$$ et $$v(x)=\cos(x)$$.

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ comme composée de fonctions qui le sont.

La dérivée de $$f$$ est donnée par $$f'(x)=u'(v(x))v'(x)$$, soit, à partir des expressions $$u'(x)=5x^4$$ et $$v'(x)=-\sin(x)$$ :

$$f'(x)=-5\sin(x)\cos^4(x)$$

Question 5

Calculer la dérivée de la fonction $$f$$ données par $$f(x)=(6x^2+3x+4)^3$$ en précisant son domaine de dérivabilité.

Réponse 5

On écrit $$f(x)=u(v(x))$$ avec $$u(x)=x^3$$ et $$v(x)=6x^2+3x+4$$.

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ comme composée de fonctions qui le sont.

La dérivée de $$f$$ est donnée par $$f'(x)=u'(v(x))v'(x)$$, soit, à partir des expressions $$u'(x)=3x^2$$ et $$v'(x)=12x+3$$ :

$$f'(x)=3(12x+3)(6x^2+3x+4)^2$$

Question 6

Calculer la dérivée de la fonction $$f$$ données par $$f(x)=\sqrt{2x^2+3x-4}$$ en précisant son domaine de dérivabilité.

Réponse 6

On remarque que $$2x^2+3x-4>0$$ pour tout $$x\in\mathbb{R}$$ (discriminant $$\Delta=-23<0$$).

Pour $$x\in\mathbb{R}$$, on écrit $$f(x)=u(v(x))$$ avec $$u(x)=\sqrt{x}$$ et $$v(x)=2x^2+3x-4$$.

$$f$$ est donc dérivable sur $$\mathbb{R}$$ comme composée de fonctions qui le sont.

La dérivée de $$f$$ est donnée par $$f'(x)=u'(v(x))v'(x)$$, soit, à partir des expressions $$u'(x)=1/2\sqrt{x}$$ et $$v'(x)=4x+3$$ :

$$f'(x)=(4x+3)/2\sqrt{2x^2+3x-4}$$

Question 7

Calculer la dérivée de la fonction $$f$$ données par $$f(x)=\log(2x^4+6)$$ en précisant son domaine de dérivabilité.

Réponse 7

On remarque que $$2x^4+6>0$$ pour tout $$x\in\mathbb{R}$$.

Pour $$x\in\mathbb{R}$$, on écrit $$f(x)=u(v(x))$$ avec $$u(x)=\log(x)$$ et $$v(x)=2x^4+6$$.

$$f$$ est donc dérivable sur $$\mathbb{R}$$ comme composée de fonctions qui le sont.

La dérivée de $$f$$ est données par $$f'(x)=u'(v(x))v'(x)$$, soit, à partir des expressions $$u'(x)=1/x$$ et $$v'(x)=8x^3$$ :

$$f'(x)=8x^3/(2x^4+6)$$

Question 1

Retrouver, à partir de la formule de la dérivée de 2 fonctions, que la dérivée de la composée de trois fonctions $$u\circ v\circ w$$ s'écrit :

$$(u\circ v\circ w)'(x)=u'(v(w(x)))v'(w(x))w'(x)$$

Réponse 1

On écrit, pour $$x$$ appartenant à l'ensemble de dérivabilité de $$f=u\circ v\circ w$$ :

$$f(x)=u(z(x))$$ en posant $$z(x)=v(w(x))$$.

On utilise alors deux fois la formule de la dérivée d'une composée de 2 fonctions :

$$f'(x)=u'(z(x))z'(x)$$

et

$$z'(x)=v'(w(x))w'(x)$$.

On a donc :

$$f'(x)=u'(v(w(x)))v'(w(x))w'(x)$$.

Question 2

Calculer la dérivée de la fonction $$f$$ données par $$f(x)=(\log(x+1))^3$$ en précisant son domaine de dérivabilité.

Réponse 2

Pour $$x\in]-1,+\infty[$$ , on écrit $$f(x)=u(v(w(x))$$ avec $$u(x)=x^3$$, $$v(x)=\log(x)$$ et $$w(x)=x+1$$.

$$f$$ est dérivable sur $$]-1,+\infty[$$ comme composée de fonctions qui le sont.

La dérivée de $$f$$ est donnée par $$f'(x)=u'(v(w(x)))v'(w(x))w'(x)$$, soit, à partir des expressions $$u'(x)=3x^2$$, $$v'(x)=1/x$$ et $$v'(x)=1$$ :

$$\displaystyle f'(x)=3(\log(x+1))^2\times \frac{1}{x+1} \times 1=\frac{3(\log(x+1))^2}{x+1}$$

Question 3

Calculer la dérivée de la fonction $$f$$ données par $$f(x)=\sqrt{\exp(\cos(x))}$$ en précisant son domaine de dérivabilité.

Réponse 3

Pour $$x\in\mathbb{R}$$, on écrit $$f(x)=u(v(w(x))$$ avec $$u(x)=\sqrt{x}$$, $$v(x)=\exp(x)$$ et $$w(x)=\cos(x)$$.

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ comme composée de fonctions qui le sont.

La dérivée de $$f$$ est donnée par $$f'(x)=u'(v(w(x)))v'(w(x))w'(x)$$, soit, à partir des expressions $$u'(x)=1/2\sqrt{x}$$, $$v'(x)=\exp(x)$$ et $$v'(x)=-\sin(x)$$ :

$$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\exp(\cos(x))}}\times\exp(\cos(x))\times(-\sin(x))=\frac{-\sin(x)\exp(\cos(x))}{2\sqrt{\exp(\cos(x))}}$$

Question 4

Calculer la dérivée de la fonction $$f$$ données par $$f(x)=((2x+1)^2+6x)^3$$ en précisant son domaine de dérivabilité.

Réponse 4

$$f$$ est donc dérivable sur $$\mathbb{R}$$ comme composée de fonctions qui le sont.

Pour $$x\in\mathbb{R}$$, on écrit $$f(x)=u(v(x))$$ avec $$u(x)=x^3$$ et $$v(x)=(2x+1)^2+6x$$.

La dérivée de $$f$$ est donc :

$$f'(x)=3((2x+1)^2+6x)^2v'(x)$$

On a $$v'(x)=w'(x)+6$$ en posant $$w(x)=(2x+1)^2$$. On utilise de nouveau la formule de la dérivée de la composée de deux fonctions pour trouver :

$$w'(x)=4(2x+1)$$

On trouve donc :

$$f'(x)=3((2x+1)^2+6x)^2(4(2x+1)+6)$$

Réponse 4

$$f$$ est donc dérivable sur $$\mathbb{R}$$ comme composée de fonctions qui le sont.

Pour $$x\in\mathbb{R}$$, on écrit $$f(x)=u(v(x))$$ avec $$u(x)=x^3$$ et $$v(x)=(2x+1)^2+6x$$.

La dérivée de $$f$$ est donc :

$$f'(x)=3((2x+1)^2+6x)^2v'(x)$$

On a $$v'(x)=w'(x)+6$$ en posant $$w(x)=(2x+1)^2$$. On utilise de nouveau la formule de la dérivée de la composée de deux fonctions pour trouver :

$$w'(x)=4(2x+1)$$

On trouve donc :

$$f'(x)=3((2x+1)^2+6x)^2(4(2x+1)+6)$$

Question 5

Calculer la dérivée de la fonction $$f$$ données par $$f(x)=(2\sin^3(x)+6)^4$$ en précisant son domaine de dérivabilité.

Réponse 5

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ comme composée de fonctions qui le sont.

Pour $$x\in\mathbb{R}$$, on écrit $$f(x)=u(v(x))$$ avec $$u(x)=x^4$$ et $$v(x)=2\sin^3(x)+6$$.

La dérivée de $$f$$ est donc :

$$f'(x)=4(2\sin^3(x)+6)^3v'(x)$$

On a $$v'(x)=2w'(x)$$ en posant $$w(x)=\sin^3(x)$$. On utilise de nouveau la formule de la dérivée de la composée de deux fonctions pour trouver :

$$w'(x)=3\cos(x)\sin^2(x)$$

On trouve donc :

$$f'(x)=24\cos(x)\sin^2(x)(2\sin^3(x)+6)^3$$