Title: Exercice 2 - Changement de base
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Algèbre linéaire

Changement de base d'une application linéaire

Question 1

On considère les 2 bases suivantes de $$\mathbb{R}^3$$ :

- la base canonique, notée $$B$$
- la base $$B_1$$ constituée des vecteurs $$e_1$$, $$e_2$$ et $$e_3$$, dont les coordonnées, exprimées dans la base canonique, sont respectivement $$(1,1,1)$$, $$(1,-1,1)$$ et $$(1,0,-1)$$

et les 2 bases suivantes de $$\mathbb{R}^2$$ :

- la base canonique, notée $$B'$$
- la base $$B_2$$ constituée des vecteurs $$\epsilon_1$$ et $$\epsilon_2$$, dont les coordonnées, exprimées dans la base canonique, sont respectivement $$(1,2)$$ et $$(-1,0)$$

Donner la matrice de passage de la base $$B$$ à la base $$B_1$$. Donner la matrice de passage de la base $$B'$$ à la base $$B_2$$.

Réponse 1

La matrice de passage de la base $$B$$ à la base $$B_1$$, que l'on note ici $$P$$, s'obtient en plaçant sur la première colonne les coordonnées de $$e_1$$ exprimées dans la base $$B$$, sur la deuxième colonne les coordonnées de $$e_2$$ exprimées dans la base $$B$$, et sur la troisième colonne les coordonnées de $$e_3$$ exprimées dans la base $$B$$. On trouve donc :

$$P=\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&-1&0\\1&1&-1\end{array}\right)$$

La matrice de passage de la base $$B'$$ à la base $$B_2$$, que l'on note ici $$Q$$, s'obtient en plaçant sur la première colonne les coordonnées de $$\epsilon_1$$ exprimées dans la base $$B'$$ et sur la deuxième colonne les coordonnées de $$\epsilon_2$$ exprimées dans la base $$B'$$. On trouve donc :

$$Q=\left(\begin{array}{cc}1&-1\\2&0\end{array}\right)$$

Question 2

Donner la matrice de passage de la base $$B_2$$ à la base $$B'$$.

Réponse 2

La matrice recherchée est $$Q^{-1}$$. En effectuant le calcul de l'inverse, on trouve :

$$Q^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0&1/2\\-1&1/2\end{array}\right)$$

Question 3

On considère l'application linéaire $$f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$$ définie par :

$$f(x,y,z)=(x+y+z,x-z)$$

Donner la matrice caractéristique de $$f$$ dans les bases canoniques de $$\mathbb{R}^3$$ et de $$\mathbb{R}^2$$. Expliquer quel calcul matriciel permet de calculer l'image (exprimée dans la base canonique de $$\mathbb{R}^2$$) d'un vecteur $$x$$ (exprimé dans la base canonique de $$\mathbb{R}^3$$).

Réponse 3

On note $$A$$ la matrice caractéristique de $$f$$ dans les bases canoniques de $$\mathbb{R}^3$$ et de $$\mathbb{R}^2$$. De l'expression de $$f$$ on trouve :

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&0&-1\end{array}\right)$$

Si on considère le vecteur $$x$$ de $$\mathbb{R}^3$$, en organisant ses coordonnées dans la base canonique de $$\mathbb{R}^3$$ ($$B$$) sous la forme de la matrice colonne que l'on note $$X_1$$, l'image $$f(x)$$ exprimée dans la base canonique de $$\mathbb{R}^2$$ ($$B'$$) s'obtient du produit matriciel $$Y=AX$$.

Question 4

Donner la matrice caractéristique de $$f$$ dans les bases $$B_2$$ et $$B_1$$.

Réponse 4

On note $$B$$ la matrice caractéristique de $$f$$ dans les bases $$B_2$$ et $$B_1$$. La matrice caractéristique de $$f$$ dans les bases canoniques est donnée par la formule

$$A=QBP^{-1}$$

En multipliant à gauche par $$Q^{-1}$$, on trouve $$Q^{-1}A=BP^{-1}$$, puis en multipliant à droite par $$P$$, on trouve :

$$B=Q^{-1}AP$$

En remplaçant par les expressions de $$Q^{-1}$$, $$A$$ et $$P$$ trouvées aux questions précédentes, on trouve :

$$B=\left(\begin{array}{cc}0&1/2\\-1&1/2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&0&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&-1&0\\1&1&-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\-3&-1&1\end{array}\right)$$

Question 5

On considère le vecteur $$x$$ de coordonnées $$(1,1,1)$$ dans la base $$B_1$$. Donner les coordonnées dans la base $$B_2$$ de son image par $$f$$.

Réponse 5

On organise les coordonnées de $$x$$ dans la base $$B_1$$ sous la forme de la matrice colonne que l'on note $$X_1=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$$. L'image de $$x$$ par $$f$$, exprimé dans la base $$B_2$$, est :

$$Y_2=BX_1=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\-3&-1&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\-3\end{array}\right)$$