Title: fonctions trigonometriques
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: Voici la représentation graphique de la fonction \(sin(kx+m \pi/8)\) où \(k\) et \(m\) sont des entiers :

plot(f,-pi,pi,xaxt = "n", yaxt = "n")
axis(1,pos=0)
axis(2,pos=0)

[Image: plot of chunk sinus]

plot of chunk sinus

Quelle est la valeur de \(k\) ? [...]

Quelle est la valeur de \(m\) ? [...]
A: 2; 1
Feedback: ========

Q: Voici la représentation graphique de la fonction \(sin(kx+m \pi/8)\) où \(k\) et \(m\) sont des entiers:

plot(f,-pi,pi,xaxt = "n", yaxt = "n")
axis(1,pos=0)
axis(2,pos=0)

[Image: plot of chunk sinus]

plot of chunk sinus

Quelle est la valeur de \(k\) ? [...]

Quelle est la valeur de \(m\) ? [...]
A: 3; 2
Feedback: ========

Q: Voici la représentation graphique de la fonction \(cos(kx+m \pi/8)\) où \(k\) et \(m\) sont des entiers :

plot(f,-pi,pi,xaxt = "n", yaxt = "n")
axis(1,pos=0)
axis(2,pos=0)

[Image: plot of chunk cosinus]

plot of chunk cosinus

Quelle est la valeur de \(k\) ? [...]

Quelle est la valeur de \(m\) ? [...]
A: 1; -2
Feedback: ========

Q: Voici la représentation graphique de la fonction \(\cos(kx+m \pi/8)\) où \(k\) et \(m\) sont des entiers :

plot(f,-pi,pi,xaxt = "n", yaxt = "n")
axis(1,pos=0)
axis(2,pos=0)

[Image: plot of chunk cosinus]

plot of chunk cosinus

Quelle est la valeur de \(k\) ? [...]

Quelle est la valeur de \(m\) ? [...]
A: 3; 2
Feedback: ========

Q: On considère la fonction \(f(x)=\cos(2x+\pi/2)\) où \(k\) et \(m\) sont des entiers :

Quelle est la période de \(f\) ? [...]

Quelle est la parité de \(m\) ? (tapez P pour paire, I pour impaire, S pour sans parité) : [...]
A: 2; I / i
Feedback: ========

Q: On considère la fonction \(f(x)=\cos(\pi x-\pi/2)\).

Quelle est la période de \(f\) ? [...]

Quelle est la parité de \(m\) ? (tapez P pour paire, I pour impaire, S pour sans parité) : [...]
A: 2; I / i
Feedback: On cherche le plus le plus petit nombre \(p\) tel que \(\cos (\pi (x+p)-\pi/2) =\cos(\pi x-\pi/2)\) pour tout \(x\). On pose \(y=\pi x-\pi/2\). Le nombre \(p\) est également le plus petit nombre tel que \(\cos (y+\pi p)=\cos(y)\) pour tout \(y\in \mathbb R\). Ce qui signifie que \(\pi p\) est la période de la fonction cosinus, c’est à dire \(\2\pi\). Donc \(p=2\). On a \(\cos(\pi x-\pi/2)=\cos(-\pi x+\pi/2)=\sin(\pi x)\), donc la fonction \(f\) est impaire comme la fonction \(\sin\).

Q: On considère la fonction \(f(x)=\cos(2\pi x-\pi)\).

Quelle est la période de \(f\) ? [...]

Quelle est la parité de \(m\) ? (tapez P pour paire, I pour impaire, S pour sans parité) : [...]
A: 1; P / p
Feedback: On cherche le plus le plus petit nombre \(p\) tel que \(\cos (2\pi (x+p)-\pi) =\cos(2\pi x-\pi)\) pour tout \(x\). On pose \(y=2\pi x-\pi\). Le nombre \(p\) est également le plus petit nombre tel que \(\cos (y+2\pi p)=\cos(y)\) pour tout \(y\in \mathbb R\). Ce qui signifie que \(2\pi p\) est la période de la fonction cosinus, c’est à dire \(\2\pi\). Donc \(p=1\). On a \(\cos(2\pi x-\pi)=-\cos(2\pi x+)\), donc la fonction \(f\) est paire comme la fonction \(\cos\).

Q: On considère la fonction \(f(x)=\cos(\pi x/2-\pi/6)\).

Quelle est la période de \(f\) ? [...]

Quelle est la parité de \(m\) ? (tapez P pour paire, I pour impaire, S pour sans parité) : [...]
A: 4; S / s
Feedback: On cherche le plus le plus petit nombre \(p\) tel que \(\cos (\pi (x+p)/2-\pi/6) =\cos(\pi x/2-\pi/6)\) pour tout \(x\). On pose \(y=\pi x/2-\pi/6\). Le nombre \(p\) est également le plus petit nombre tel que \(\cos (y+\pi p/2)=\cos(y)\) pour tout \(y\in \mathbb R\). Ce qui signifie que \(\pi p/2\) est la période de la fonction cosinus, c’est à dire \(\2\pi\). Donc \(p=4\). On a \(f(\pi/3)=1\) et \(f(-\pi/3)=-1/2\) donc la fonction \(f\) est sans parité.

Q: On considère la fonction \(\displaystyle f(x)=\frac{\cos 2x}{\sin^2 x}\). On écrit \(f\) en fonction de la fonction \(\sin\) uniquement. Quelle égalité est vraie parmi les propositions suivantes ?
- \(f(x)=\sin^2 x-1\)
- \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sin^2 x}\)
- \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sin^2 x}-1\)
- \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sin^2 x}-2\)
- \(\displaystyle f(x)=2-\frac{1}{\sin^2 x}\)
A: \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sin^2 x}-2\)
Feedback: On a \(\cos 2x= \cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x\) donc \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sin^2 x}-2\).

Q: On considère la fonction \(f(x)=\sin (2x-\pi)\). Quel est le signe de \(f(x)\) sur l’intervalle de \([0;\pi/2]\) ?
- strictement positif.
- positif ou nul
- strictement négatif
- négatif ou nul
- variable sur l’intervalle
A: négatif ou nul
Feedback: Si \(x\in [0;\pi/2]\), \(2x\in [0;\pi]\) et \(2x-\pi\in [-\pi;0]\), donc \(\sin (2x-\pi)\leq 0\).

Q: On considère la fonction \(f(x)=\sin (3x-\pi)\). Quel est le signe de \(f(x)\) sur l’intervalle de \([0;\pi/2]\) ?
- strictement positif.
- positif ou nul
- strictement négatif
- négatif ou nul
- variable sur l’intervalle
A: variable sur l’intervalle
Feedback: Si \(x\in [0;\pi/2]\), \(3x\in [0;3\pi/2]\) et \(3x-\pi\in [-\pi/2;\pi]\). Donc \(\sin (3x-\pi)\) change de signe sur l’intervalle.

Q: On considère la fonction \(f(x)=\cos (3x-\pi/2)\). Quel est le signe de \(f(x)\) sur l’intervalle de \([0;\pi/4]\) ?
- strictement positif.
- positif ou nul
- strictement négatif
- négatif ou nul
- variable sur l’intervalle
A: positif ou nul
Feedback: Si \(x\in [0;\pi/4]\), \(3x\in [0;3\pi/4]\) et \(3x-\pi/2\in [-\pi/2;\pi/4]\). Donc \(\cos (3x-\pi)\geq 0\) sur l’intervalle.

Q: On considère la fonction \(f(x)=\cos (2x-\pi/2)\). Quel est la variation de \(f(x)\) sur l’intervalle de \([\pi;5\pi/4]\) ?
- strictement croissante.
- croissante.
- strictement décroissante.
- décroissante
- non monotone sur l’intervalle
A: strictement croissante.
Feedback: Si \(x\in [\pi;5\pi/4]\), \(2x\in [2\pi;5\pi/2]\) \(2x-\pi/2\in [3\pi/2;2\pi]\). Donc \(\cos (x-\pi/2)\) est strictement croissante sur l’intervalle.

Q: On considère la fonction \(f(x)=\cos (x-\pi/2)\). Quel est la variation de \(f(x)\) sur l’intervalle de \([\pi;3\pi/2]\) ?
- strictement croissante.
- croissante.
- strictement décroissante.
- décroissante
- non monotone sur l’intervalle
A: strictement décroissante.
Feedback: Si \(x\in [\pi;3\pi/2]\), \(x-\pi/2\in [\pi/2;\pi]\). Donc \(\cos (x-\pi/2)\) est strictement décroissante sur l’intervalle.

Q: On considère la fonction \(f(x)=\sin (3x-\pi/2)\). Quel est la variation de \(f(x)\) sur l’intervalle de \([\pi;3\pi/2]\) ?
- strictement croissante.
- croissante.
- strictement décroissante.
- décroissante
- non monotone sur l’intervalle
A: non monotone sur l’intervalle
Feedback: Si \(x\in [\pi;3\pi/2]\), \(3x\in [3\pi;9\pi/2]\) \(3x-\pi/2\in [5\pi/2;4\pi]\). Donc \(\cos (x-\pi/2)\) n’est pas monotone sur l’intervalle.

Q: On considère la fonction \(f(x)=\sin (2x-\pi/4)\). Quel est la variation de \(f(x)\) sur l’intervalle de \([\pi/2;\pi]\) ?
- strictement croissante.
- croissante.
- strictement décroissante.
- décroissante
- non monotone sur l’intervalle
A: non monotone sur l’intervalle
Feedback: Si \(x\in [\pi/2;\pi]\), \(2x\in [\pi;2\pi]\) et \(2x-\pi/4\in [3\pi/4;7\pi/4]\). Donc \(\sin (2x-\pi/4)\) n’est pas monotone sur l’intervalle.

Q: On considère la fonction \(f(x)=\sin (x-\pi/4)\). Quel est la variation de \(f(x)\) sur l’intervalle de \([\pi;3\pi/2]\) ?
- strictement croissante.
- croissante.
- strictement décroissante.
- décroissante
- non monotone sur l’intervalle
A: strictement décroissante.
Feedback: Si \(x\in [\pi;3\pi/2]\), \(x-\pi/4\in [3\pi/4;5\pi/4]\). Donc \(\sin (x-\pi/4)\) est strictement décroissante sur l’intervalle.