Title: Exercice 2 - Inverse d'une matrice
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Algèbre linéaire

Question 1

On considère la matrice :

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&2&1\\2&-1&1\end{array}\right)$$.

Vérifier que $$A$$ est inversible.

Réponse 1

Comme $$|A|=1\neq 0$$, la matrice $$A$$ est bien inversible.

Question 2

Calculer la comatrice de $$A$$.

Réponse 2

$$\text{com}(A)=\left(\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}2&1\\ -1&1\end{array}\right|&-\left|\begin{array}{cc}0&1\\ 2&1\end{array}\right|&+\left|\begin{array}{cc}0&2\\ 2&-1\end{array}\right|\\-\left|\begin{array}{cc}1&1\\ -1&1\end{array}\right|&+\left|\begin{array}{cc}1&1\\ 2&1\end{array}\right|&-\left|\begin{array}{cc}1&1\\ 2&-1\end{array}\right|\\+\left|\begin{array}{cc}1&1\\ 2&1\end{array}\right|&-\left|\begin{array}{cc}1&1\\ 0&1\end{array}\right|&+\left|\begin{array}{cc}1&1\\ 0&2\end{array}\right|\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3&2&-4\\-2&-1&3\\-1&-1&2\end{array}\right)$$.

Question 3

Calculer $$A^{-1}$$.

Réponse 3

Comme $$A$$ est inversible, $$A^{-1}=\frac{\text{com}(A)^T}{|A|}$$. On trouve :

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}3&2&-4\\-2&-1&3\\-1&-1&2\end{array}\right)$$.

Question 4

Vérifier que la matrice trouvée à la question précédente est bien l'inverse de $$A$$.

Réponse 4

Il faut calculer (au choix) $$AA^{-1}$$ ou $$A^{-1}A$$ et vérifier que c'est bien égal à la matrice identité. En faisant le produit matriciel, on trouve :

$$AA^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&2&1\\2&-1&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}3&2&-4\\-2&-1&3\\-1&-1&2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right)=I_3$$.

La matrice $$A^{-1}$$ trouvée précédemment est donc bien l'inverse de $$A$$.