Title: Poisson
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: Le service de bus est perturbé : il passe un bus toutes les 10 minutes en moyenne, mais la répartition suit un processus de Poisson; vous ratez de justesse un bus ; quelle est la probabilité que vous attendiez plus de 5 minutes (à 0.01 près)?
A: 0.61
Feedback: Les temps d’arrivée des bus sont répartis selon un processus de Poisson avec un bus toutes les 10 minutes, donc la loi du temps d’attente \(T\) entre chaque bus est une loi exponentielle d’espérance 10, donc de paramètre \(\lambda=1/10\). La loi de dépassement de \(T\) est \(P(T>t)=e^{-\lambda t}\) soit \(e^{-5/10}=0.61\). C’est beaucoup plus petit que 1, probabilité si les bus fonctionnaient correctement !

Q: Une machine défectueuse produit des bobines de fil textile de 100m présentant des défauts répartis aléatoirement selon un processus de Poisson. On observe en moyenne un défaut tous les 50 m.

Pour un fil produit, quelle est la probabilité de n’avoir aucun défaut (à 0.01 près) ? [...]

On coupe le fil en deux, quelle est la probabilité de n’avoir aucun défaut sur la première moitié (à 0.01 près) ? [...]

On coupe le fil en deux, quelle est la probabilité de n’avoir aucun défaut sur une des deux moitiés au moins (à 0.01 près) ? [...]

On coupe le fil au premier défaut et au deuxième défaut et on mesure la longueur \(L\) du fil obtenu. Quelle est la probabilité d’obtenir un fil de plus de 25 m (à 0.01 près) ? [...]
A: 0.14; 0.37; 0.6; 0.61
Feedback: Il y a un défaut en moyenne tous les 50 m donc le paramètre d’intensité du processus de Poisson est \(\mu=1/50\) si les longueurs sont mesurées en m. Le nombre de défauts \(N_{100}\) sur le fil de 100 m suit une loi de Poisson de paramètre obtenu en multipliant la longueur par l’intensité soit \(\lambda=100\times 1/50=2\). Pour cette loi de Poisson, \(P(N_{100}=0)=e^{-\lambda}=e^{-2}=0.14\). Pour un fil de 50 m, le nombre de défaut suit également une loi de Poisson de paramètre \(\lambda=50\times 1/50=1\). Pour cette loi de Poisson, \(P(N_{50}=0)=e^{-\lambda}=e^{-1}=0.37\). Les lois de Poisson sur les deux moitiés du fil de 100 m sont indépendantes donc la probabilité qu’un des deux au moins n’ait aucun défaut est \(1-(1-\)P(N_{50}=0))^2=0.60$. La loi de la longueur \(L\) entre deux défauts successifs est une loi exponentielle de paramètre \(1/\mu=50\). Donc P(L25)=e^{-25/50}=0.61.

Q: Le service de bus est perturbé : il passe un bus toutes les 20 minutes en moyenne, mais la répartition suit un processus de Poisson; à la fin de la journée, vous savez qu’il est passé 6 bus entre 12:00 et 14:00.

Quelle est la chance que les 6 bus soient passés la première heure (à 0.001 près) ? [...]

Quelle est la chance que 6 bus soient passés la première heure et 6 bus la seconde (à 0.001 près) ? [...]
A: 0.016; 0.313
Feedback: Les arrivées de bus pendant les deux heures suivent un processus de Poisson. Si le nombre de bus est connu, les temps de passage de chaque bus dans le créneau de passage suivent des lois uniformes indépendantes. La probabilité pour chaque bus de passer la première heure est \(p=1/2\). La probabilité \(P_{6}\) que les 6 bus passent la première heure correspond à 6 succès de 6 expériences de Bernoulli indépendantes, donc $P_{6}=(1/2)^{6} $. La probabilité que 6 bus passent la première heure et 6 la seconde correspond à 6 succès et 6 échecs dans la série d’expérience de Bernoulli précédente. Cela correspond à la probabilité de tirer 3 pour une variable binomiale de paramètre \(n=6\) et \(p=1/2\). \(P_3=\dfrac{6!}{3!3!}(1/2)^{6}=\dfrac{20}{64}=0.313\).

Q: Un nombre \(N\) d’incidents dans une journée suit une loi une Poisson de paramètre \(\lambda=5\).

Quelle est l’espérance de \(N\) ? [...]

Quelle est la variance de \(N\) ? [...]

Quelle est la probabilité que \(N\) soit inférieur ou égal à 2 (à 0.001 près) ? [...]

Quelle est la probabilité que \(N\) soit égal à 2 (à 0.001 près) ? [...]
A: 10; 10; 0.125; 0.084
Feedback: L’espérance et la variance sont égales à \(\lambda\) donc \(5\). \(P(N\leq 2)=P(N=0)+P(N=1)+P(N=2)=e^{-5}(1+5+\dfrac{25}{2})=0,125\). \(P(N=2)=e^{-5}(\dfrac{25}{2})=0,084\).

Q: Le nombre \(N\) de clients par heure d’un bureau de poste suit une loi une Poisson de paramètre \(\lambda=5\).

Quelle est l’espérance de \(N\) ? [...]

Quelle est la variance de \(N\) ? [...]

Quelle est la probabilité que \(N\) soit égal à 5 (à 0.001 près) ? [...]
A: 10; 10; 0.007
Feedback: L’espérance et la variance sont égales à \(\lambda\) donc \(5\). \(P(N=5)=e^{-5}(\dfrac{5^{5}}{5!})=0,007\).

Q: Le nombre de mails \(N\) arrivant sur un serveur en une seconde suit une loi de Poisson de paramètre \(\lambda=8\).

Quelle est l’espérance de \(N\) ? [...]

Quelle est la variance de \(N\) ? [...]

Quelle est la probabilité que \(N\) soit égal à 4 (à 0.001 près) ? [...]
A: 8; 8; 0.057
Feedback: L’espérance et la variance sont égales à \(\lambda\) donc \(8\). \(P(N=5)=e^{-5}(\dfrac{5^{5}}{5!})=0,057\).

Q: Deux sources radioactives émettent des particules alpha. Le nombre \(N_1\) de particules émises en une minute par la première suit une loi de Poisson de paramètre \(5,2\). Le nombre \(N_2\) de particules émises en une minute par la seconde suit une loi de Poisson de paramètre \(3,6\). Les sources sont indépendantes. Un détecteur placé face aux deux sources décompte le nombre \(N\) de particules recues en une minute.

Quelle est l’espérance de \(N\) ? [...]

Quelle est la variance de \(N\) ? [...]

La loi de \(N\) est-elle une loi de Poisson (V pour vrai, F pour faux) ? [...]

Quelle est la probabilité que \(N\) soit égal à 4 (à 0.001 près) ? [...]
A: 8.8; 8.8; V / v; 0.038
Feedback: Le nombre de particules détectées est la somme du nombre de particules émises par la première source et du nombre de particules émises par la seconde source. L’espérance et la variance de \(N_1\) sont égales au paramètre donc \(5,2\). L’espérance et la variance de \(N_2\) sont égales au paramètre donc \(3,6\). L’espérance de \(N\) est égale à la somme des espérances de \(N_1\) et \(N_2\), donc \(8,8\). Les deux variables étant indépendantes, la variance de \(N\) est égale à la somme des variances de \(N_1\) et \(N_2\), donc \(8,8\). Les deux variables étant indépendantes et de loi de Poisson, leur somme suit une loi de Poisson de paramètre \(8,8\). \(P(N=4)=e^{-8,8}(\dfrac{8,8^{4}}{4!})=0,038\).

Q: Une source radioactive émet des particules alpha selon un processus de Poisson homogène. Elle est observée pendant des périodes successives de 10 minutes. Le nombre \(N\) de particules émises pendant un intervalle de dix minutes suit une loi de Poisson de paramètre \(3,2\).

Quelle est l’espérance de \(N\) ? [...]

Quelle est la variance de \(N\) ? [...]

Quelle est l’intensité du processus de Poisson pour un temps exprimé en minute ? [...]

On note \(T\) le temps écoulé entre l’émission de la première particule et l’émission de la suivante.

Quelle est l’espérance de \(T\) (à 0.001 près) ? [...]

Quelle est la variance de \(T\) (à 0.001 près) ? [...]
A: 3.2; 3.2; 0.32; 3.125; 9.766
Feedback: L’espérance et la variance de \(N\) sont égales au paramètre donc \(3,2\). Le produit de l’intensité par le temps écoulé donne le paramètre de la loi de Poisson, donc l’intensité vaut \(3,2/10\) soit \(0,32\). Le temps écoulé entre deux événements dans un processus de Poisson est une variable exponentielle de paramètre \(\lambda\) égal à l’intensité donc \(\lambda=0,32\) L’espérance de \(T\) est égale à \(1/\lambda\) soit \(1/0,32=3,125\). L’espérance et la variance de \(N\) est égale à \(1/\lambda\) soit \(9,766\).

Q: Le nombre de mails \(N\) arrivant sur un serveur en une seconde suit une loi de Poisson de paramètre \(\lambda=2,7\).

Quelle est l’espérance de \(N\) ? [...]

Quelle est la variance de \(N\) ? [...]

Quelle est la probabilité que \(N\) soit égal à 5 (à 0.001 près) ? [...]
A: 2.7; 2.7; 0.08
Feedback: L’espérance et la variance sont égales à \(\lambda\) soit \(2,7\). \(P(N=5)=e^{-2,7}(\dfrac{2,7^{5}}{5!})=0,080\).

Q: Les touches d’un pêcheur à la truite suivent un processus de Poisson d’intensité \(\mu=2,7\) par heure. Soit \(N\) le nombre de touches en deux heures.

Quelle est l’espérance de \(N\) ? [...]

Quelle est la variance de \(N\) ? [...]

Quelle est la probabilité que \(N\) soit égal à 3 (à 0.001 près) ? [...]

Chaque touche permet de pêcher une truite avec une probabilité de \(p=0.2\) de manière indépendante.

Le processus de capture de truite est-il un processus de Poisson (V pour vrai, F pour faux) ? [...]

Quelle est l’espérance du nombre \(M\) de capture en deux heures ? [...]

Quelle est la variance du nombre \(M\) de capture en deux heures ? [...]

Quelle est la probabilité que \(M\) soit égal à 1 (à 0.001 près) ? [...]
A: 5.2; 5.2; 0.118; V / v; 1.08; 1.08; 0.367
Feedback: \(N\) est une variable de Poisson de paramètre \(\lambda_1=T\mu=5,4\), où \(T\) est le temps de pêche. L’espérance et la variance sont égales à \(\lambda_1\) soit \(5,2\). \(P(N=3)=e^{-5,4}(\dfrac{5,4^{3}}{3!})=0,118\). Le processus de succès de chaque touche étant indépendant, le processus résultant est un processus de Poisson d’intensité \(\mu p=0,54\). La variable \(M\) suit une loi de Poisson de paramètre \(\lambda_2=\mu p T=1,08\). Son espérance et sa variance sont égales à \(\lambda_2\). \(P(M=1)=1.08e^{-1,08}=0,367\).