Title: Changement de base
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

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Q: Une matrice de passage de $$\mathbb{R}^p$$ dans $$\mathbb{R}^n$$ pour $$p\neq n$$ :
- n'est pas définie
- a $$p$$ lignes et $$n$$ colonnes
- a $$n$$ lignes et $$p$$ colonnes
- n'est définie que si $$p>n$$
- n'est définie que si $$n>p$$
- aucune des autres propositions est correcte
A: n'est pas définie

Q: Une matrice de passage est toujours inversible.
- Vrai
- Faux
A: Vrai

Q: Si $$P$$ est la matrice de passage d'une base $$B$$ vers une base $$B'$$, alors la matrice de passage de $$B'$$ vers $$B$$ :
- est $$P^T$$
- est $$-P$$
- est $$P^{-1}$$
- est symétrique
- peut ne pas être définie
- aucune des autres propositions est correcte
A: est $$P^{-1}$$

Q: Si $$P$$ est la matrice de passage d'une base $$B$$ vers une base $$B'$$ et $$Q$$ la matrice de passage de $$B'$$ vers une base $$B'$$, alors la matrice de passage de $$B$$ vers $$B''$$ est :
- $$PQ$$
- $$QP$$
- $$P^{-1}Q$$
- $$P^{-1}Q^{-1}$$
- $$PQ^{-1}$$
- aucune des autres propositions est correcte
A: $$PQ$$

Q: Si $$P$$ est la matrice de passage d'une base $$B$$ vers une base $$B'$$ et $$X$$ est une matrice vecteur colonne donnant les coordonnées d'un vecteur $$x$$ dans $$B$$. Alors les coordonnées de $$x$$ dans $$B'$$ sont données par :
- $$PX$$
- $$P^{-1}X$$
- $$XP$$
- $$XP^{-1}$$
- $$(PX)^{-1}$$
- aucune des autres propositions est correcte
- $$(XP)^{-1}$$
A: $$P^{-1}X$$

Q: Si $$P$$ est la matrice de passage d'une base $$B$$ vers une base $$B'$$ de $$\mathbb{R}^n$$, et $$A$$ est la matrice caractéristique d'une application linéaire $$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$$ dans $$B$$, alors la matrice caractéristique de $$f$$ dans $$B'$$ est :
- $$PAP^{-1}$$
- $$P^{-1}AP$$
- $$AP$$
- $$PA$$
- $$AP^{-1}$$
- aucune des autres propositions est correcte
- $$P^{-1}A$$
A: $$P^{-1}AP$$

Q: On considère la base $$B_1$$ de $$\mathbb{R}^3$$ constituée des vecteurs $$e_1$$, $$e_2$$ et $$e_3$$, dont les coordonnées, exprimées dans la base canonique, sont respectivement $$(1,2,3)$$, $$(-1,0,4)$$ et $$(5,-2,-3)$$. On appelle $$P$$ la matrice de passage de la base $$B$$ à la base $$B_1$$. L'élément à la deuxième ligne et troisième colonne de $$P$$ est :
A: -2

Q: La matrice de passage d'une base vers elle-même :
- est la matrice identité
- est la matrice nulle
- est la matrice remplie de 1
- n'est pas définie
- aucune des autres propositions est correcte
A: est la matrice identité

Q: On considère la base $$B_1$$ constituée des vecteurs $$e_1$$ et $$e_2$$, dont les coordonnées, exprimées dans la base canonique, sont respectivement $$(0,1)$$ et $$(1,-2)$$. On considère le vecteur $$x$$ de coordonnées $$(1,1)$$ dans la base $$B_1$$. Les coordonnées du vecteur $$x$$ dans la base canonique sont :
- $$(1,-1)$$
- $$(-1,1)$$
- $$(3,1)$$
- $$(1,3)$$
- aucune des autres propositions est correcte
A: $$(1,-1)$$

Q: La taille (nombre de lignes et nombre de colonnes) de la matrice caractéristique d'une application linéaire $$\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}^n$$ ne dépend pas des bases de $$\mathbb{R}^p$$ et de $$\mathbb{R}^n$$ qui sont choisies pour l'exprimer.
- Vrai
- Faux
A: Vrai