Title: fonction continue en a
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(x \mapsto |x|\).

La fonction \(f\) est-elle continue en \(0\) ? (V pour vrai, F pour faux)
A: V
Feedback: On a : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^{+}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{+}} { |x| } \\ & = & \lim_{x\to 0^{+}} { x} \\ & = & 0 \end{eqnarray*}\] et \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^{-}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{-}} { |x| } \\ & = & \lim_{x\to 0^{-}} {- x} \\ & = & 0 \end{eqnarray*}\] donc \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^{-}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{+}} { f(x)} \\ & = & 0 \\ & = & f(0) \end{eqnarray*}\] On en déduit que la fonction \(f\) est continue à droite et à gauche en \(0\), elle est donc continue en \(0\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(x \mapsto \lfloor x \rfloor\).

La fonction \(f\) est-elle continue en \(0\) ? (V pour vrai, F pour faux)
A: F
Feedback: On a : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^{+}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{+}} { \lfloor x \rfloor } \\ & = & \lim_{x\to 0^{+}} {0} \\ & = & 0 \end{eqnarray*}\] et \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^{-}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{-}} { \lfloor x \rfloor } \\ & = & \lim_{x\to 0^{-}} {- 1} \\ & = & -1 \end{eqnarray*}\] donc \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^{+}} {f(x) } & = & 0 \\ & = & f(0) \end{eqnarray*}\] et \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^{-}} {f(x) } & = & -1 \\ & \neq & f(0) \end{eqnarray*}\] On en déduit que la fonction \(f\) est continue à droite mais pas à gauche en \(0\), elle n’est donc pas continue en \(0\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(x \mapsto x \lfloor x \rfloor\).

La fonction \(f\) est-elle continue en \(0\) ? (V pour vrai, F pour faux)
A: V
Feedback: On a : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^{+}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{+}} { x \lfloor x \rfloor } \\ & = & \lim_{x\to 0^{+}} {x} . \lim_{x\to 0^{+}} {0} \\ & = & 0 \times 0 \\ & = & 0 \end{eqnarray*}\] et \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^{-}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{-}} { x \lfloor x \rfloor } \\ & = & \lim_{x\to 0^{-}} {x} . \lim_{x\to 0^{-}} {-1} \\ & = & 0 \times (-1 ) \\ & = & 0 \end{eqnarray*}\] donc \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^{-}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{+}} { f(x)} \\ & = & 0 \\ & = & f(0) \end{eqnarray*}\] On en déduit que la fonction \(f\) est continue à droite et à gauche en \(0\), elle est donc continue en \(0\).

Q: Soit \(a\) un réel fixé, on considère la fonction \(f_{a}\) définie sur \(\mathbb R\) par

\[x \mapsto\left \{ \begin{array}{ccc} x \sin \left ( \frac{1}{x} \right ) & \ {si} & x \neq 0\\ a & \ {si} & x = 0 \end{array} \right .\]

Quelle est la valeur du réel \(a\) pour que la fonction \(f_{a}\) soit continue en \(0\) ?
A: 0
Feedback: Remarque : Soit \(D_{f_{a}}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), on a : \(D_{f_{a}} = \mathbb{R}\). La fonction \(f_{a}\) est continue en \(0\) si et seulement si on a : \({\lim_{x\to 0} {f_{a}(x) } = f(0)}\). On en déduit que : La fonction \(f_{a}\) est continue en \(0\) si et seulement si on a : \({\lim_{x\to 0} {f_{a}(x) } = a}\). On a : \(\forall x \in \mathbb{R^{*}}, \ \ -1 \leq \sin \left ( \frac{1}{x} \right ) \leq 1\) d’où \(\forall x \in \mathbb{R^{*}}, \ \ -x \leq x \sin \left ( \frac{1}{x} \right ) \leq x\) comme on a : \({\lim_{x\to 0} {x } = 0}\) et \({\lim_{x\to 0} {(-x) } = 0}\) d’après le théorème d’encadrement on en déduit que : \[\lim_{x\to 0} { x \sin \left ( \frac{1}{x} \right ) } = 0.\] Finalement on a : \[\lim_{x\to 0} {f_{a}(x) } = 0\] c’est-à-dire \[a = 0.\]

Q: Soit \(a\) un réel fixé, on considère la fonction \(f_{a}\) définie sur \(\mathbb R\) par

\[x \mapsto\left \{ \begin{array}{ccc} frac {\sqrt{1 + x} - \sqrt {1- x}} {x} & \ {si} & x \neq 0\\ a & \ {si} & x = 0 \\ \end{array} \right .\]

Quelle est la valeur du réel \(a\) pour que la fonction \(f_{a}\) soit continue en \(0\) ?
A: 1
Feedback: Soit \(D_{f_{a} }\) l’ensemble de définition de la fonction \(f_{a}\) on a : \[ D_{f_{a} } = \left \{ x \in \mathbb{R}, \ \ x + 1 \geq 0 \ \ \ {et} \ \ 1-x \geq 0 \right \}\] donc : \[D_{f_{a}} = [-1 , 1]\] On a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in D_{f_{a}} \ \ \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt {1- x}} {x} & = & frac {\sqrt{1 + x} + \sqrt {1- x}} {\sqrt{1 + x} + \sqrt {1- x}} \times \frac {\sqrt{1 + x} - \sqrt {1- x}} {x} \\ & = & frac { \left ( \sqrt{1 + x} \right ) ^{2} - \sqrt {1- x}^{2} } {x \left (\sqrt{1 + x} + \sqrt {1- x} \right ) } \\ & = & frac { 1 + x - (1 -x) } {x \left (\sqrt{1 + x} + \sqrt {1- x} \right ) } \\ & = & frac {2x} {x \left (\sqrt{1 + x} + \sqrt {1- x} \right ) } \\ & = & frac { 2 } {\sqrt{1 + x} + \sqrt {1- x} } \\ \end{eqnarray*}\] d’où \[ \lim_{x\to 0} { \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt {1- x}} {x} } = \lim_{x\to 0} { \frac{ 2 } {\sqrt{1 + x} + \sqrt {1- x} } } .\] soit \[ \lim_{x\to 0} { \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt {1- x}} {x} } =frac { 2 } { 1 + 1 } .\] Finalement on a : \[ \lim_{x\to 0} {f_{a}(x) } = 1\] c’est-à-dire \[a = 1.\]

Q: Soit \(a\) un réel fixé, on considère la fonction \[f_{a}\] définie sur \(\mathbb R\) par

\[x \mapsto\left \{ \begin{array}{ccc} frac {\sin x }{x} & \ {si} & x \neq 0\\ a & \ {si} & x = 0 \\ \end{array} \right .\]

Quelle est la valeur du réel \(a\) pour que la fonction \(f_{a}\) soit continue en \(0\) ?
A: 1
Feedback: Remarque : Soit \(D_{f_{a}}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), on a : \(D_{f_{a}} = \mathbb{R}\). La fonction \(f_{a}\) est continue en \(0\) si et seulement si on a : \({\lim_{x\to 0} {f_{a}(x) } = f(0)}\). On en déduit que : La fonction \(f_{a}\) est continue en \(0\) si et seulement si on a : \({\lim_{x\to 0} {f_{a}(x) } = a}\). On peut constater que : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}, \ \frac{\sin x}{x} & = & \frac{\sin x - \sin 0} {x -0} \\ \end{eqnarray*}\] La fonction sinus étant dérivable sur \(\mathbb{R}\) donc en particulier en \(0\) on a : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} { frac {\sin x - \sin 0} {x -0} } & = & \sin ' 0 \\ & = & \cos 0 \\ & = & 1 \end{eqnarray*}\] soit \[\lim_{x\to 0} { \frac{\sin x} {x} } =1 .\] Finalement on a : \[\lim_{x\to 0} {f_{a}(x) } = 1\] c’est-à-dire \[a = 1.\]

Q: Soit \(a\) un réel fixé, on considère la fonction \[f_{a}\] définie sur \(\mathbb R\) par

\[x \mapsto\left \{ \begin{array}{ccc} frac {\ {Arctan} \, x }{x} & \ {si} & x \neq 0\\ a & \ {si} & x = 0 \\ \end{array} \right .\]

Quelle est la valeur du réel \(a\) pour que la fonction \(f_{a}\) soit continue en \(0\) ?
A: 1
Feedback: Remarque : Soit \(D_{f_{a}}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), on a : \(D_{f_{a}} = \mathbb{R}\). La fonction \(f_{a}\) est continue en \(0\) si et seulement si on a : \({\lim_{x\to 0} {f_{a}(x) } = f(0)}\). On en déduit que : La fonction \(f_{a}\) est continue en \(0\) si et seulement si on a : \({\lim_{x\to 0} {f_{a}(x) } = a}\). On peut constater que : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R} \ \frac{ \ {Arctan} \, x }{x} & = & \frac{\ {Arctan} \, x - \ {Arctan} \, 0}{x -0} \\ \end{eqnarray*}\] La fonction Arctan étant dérivable sur \(\mathbb{R}\) donc en particulier en \(0\) on a : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} { frac {\ {Arctan} \, x - \ {Arctan} \, 0} {x -0} } & = & \ {Arctan'} \, 0 \\ & = & \frac{1}{1 + 0^{2} } \\ & = & 1 \end{eqnarray*}\] soit \[ \lim_{x\to 0} { \frac{\ {Arctan} \, x} {x} } =1 .\] Finalement on a : \[ \lim_{x\to 0} {f_{a}(x) } = 1\] c’est-à-dire \[a = 1.\]

Q: Soit \(a\) un réel fixé, on considère la fonction \[f_{a}\] définie sur \(\mathbb R\) par

\[x \mapsto\left \{ \begin{array}{ccc} frac {\ln x}{x - 1} & \ {si} & x \neq 1\\ a & \ {si} & x = 1 \\ \end{array} \right .\]

Quelle est la valeur du réel \(a\) pour que la fonction \(f_{a}\) soit continue en \(1\) ?
A: 1
Feedback: Remarque : Soit \(D_{f_{a}}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), on a : \(D_{f_{a}} = \mathbb{R}_{+}^{*}\). La fonction \(f_{a}\) est continue en \(1\) si et seulement si on a : \({\lim_{x\to 1} {f_{a}(x) } = f(1)}\). On en déduit que : La fonction \(f_{a}\) est continue en \(1\) si et seulement si on a : \({\lim_{x\to 1} {f_{a}(x) } = a}\). On peut constater que : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \frac{ \ln x }{x -1} & = & \frac{\ln x - \ln 1}{x -1} \\ \end{eqnarray*}\] La fonction ln étant dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) donc en particulier en \(1\) on a : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} { frac {\ln x - \ln 1}{x-1 } } & = & \ln ' 1 \\ & = & \frac{1}{1} \\ & = & 1 \end{eqnarray*}\] soit \[ \lim_{x\to 1} { \frac{\ln x} {x - 1} } =1 .\] Finalement on a : \[ \lim_{x\to 1} {f_{a}(x) } = 1\] c’est-à-dire \[a = 1.\]

Q: Soit \(a\) un réel fixé, on considère la fonction \[f_{a}\] définie sur \(\mathbb R\) par

\[x \mapsto\left \{ \begin{array}{ccc} a x^{2} + 5 & \ {si} & x \in \, ]-\infty , -1[\\ \frac{2}{x} & \ {si} & x \in \, [-1 , +\infty [ \\ \end{array} \right .\]

Quelle est la valeur du réel \(a\) pour que la fonction \(f_{a}\) soit continue en \(-1\) ?
A: -7
Feedback: Remarque : Soit \(D_{f_{a}}\) l’ensemble définition de la fonction \(f_{a}\), on a : \(D_{f_{a}} = \mathbb{R}\). La fonction \(f_{a}\) est continue en \(-1\) si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en \(-1\) c’est-à-dire : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -1{-}} {f_{a}(x) } & = & \lim_{x\to -1^{+}} { f_{a}(x)} \\ & = & f_{a}(-1 ) \\ & = & \frac{2}{-1} \\ & = & -2 \end{eqnarray*}\] Or on a : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -1^{+}} {f_{a}(x) } & = & \lim_{x\to -1^{+}} { \frac{2}{x} }\\ & = & -2 \\ & = & f_{a}(-1) \end{eqnarray*}\] et \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -1^{-}} { f_{a}(x) } & = & \lim_{x\to -1^{-}} { a x^{2} + 5 } \\ & = & a.(-1)^{2} + 5 \\ & = & a + 5 \end{eqnarray*}\] donc la fonction \(f_{a}\) est continue en \(-1\) si et seulement si : \[ a + 5 = -2\] c’est-à-dire \[a = -7\]

Q: Soient \(a\) et \(b\) deux réels on considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par

\[x \mapsto\left \{ \begin{array}{ccc} a x^{3} + 10 & \ {si} & x \in \, ]-\infty , 2]\\ \frac{b}{x-2} + 3a & \ {si} & x \in \, ]2 , +\infty [ \\ \end{array} \right .\]

Quelles sont les valeurs des réels \(a\) et \(b\) pour que la fonction \(f\) soit continue en \(2\) ?

- Entrer la valeur du réel \[a\] dans la case suivante : [...]
- Entrer la valeur du réel \[b\] dans la case suivante : [...]
A: -2; 0
Feedback: Remarque : Soit \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), on a : \(D_{f} = \mathbb{R}\). La fonction \(f\) est continue en \(2\) si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en \(2\) c’est-à-dire : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 2^{-}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 2^{+}} { f(x)} \\ & = & f(2 ) \\ \end{eqnarray*}\] Or on a : \[ \lim_{x\to 2^{+} }{ f(x)} = \left \{ \begin{array}{ccc} - \infty & \ {si} & 0 > b \\ 3a & \ {si} & b =0 \\ +\infty & \ {si} & b > 0 \\ \end{array} \right .\] et \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 2^{-}} { f(x) } & = & \lim_{x\to 2^{-}} { a x^{3} + 10 } \\ & = & a.(2)^{3} + 10 \\ & = & 8a + 10 \end{eqnarray*}\] donc la fonction \(f\) est continue en \(2\) si et seulement si : {} et \[8a + 10 = 3a \] c’est-à-dire \[a= -2\]

Q: Soient \(a\) et \(b\) deux réels on considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par

\[x \mapsto\left \{ \begin{array}{ccc} ae^{ x} + b\cos x -3 & \ {si} & x \in \, ]-\infty , 0]\\ x\ln x & \ {si} & x \in \, ]0, 1]\\ \frac{bx}{x-2} + 5a - 27 & \ {si} & x \in \, ]1 , +\infty [ \\ \end{array} \right .\]

Quelles sont les valeurs des réels \(a\) et \(b\) pour que la fonction \(f\) soit continue en \(0\) et en \(1\) ?

1. [...]
2. [...]
A: 5; -2
Feedback: Remarque : Soit \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), on a : \(D_{f} = \mathbb{R}\). La fonction \(f\) est continue en \(0\) si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en \(0\) c’est-à-dire : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^{-}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{+}} { f(x)} \\ & = & f(0 ) \\ \end{eqnarray*}\] Or on a : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^{-}} { f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{-}} { ae^{ x} + b\cos x -3 } \\ & = & a + b -3\\ & = & f(0) \end{eqnarray*}\] et \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^{+}} { f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{+}} { x \ln x } \\ & = &0 \end{eqnarray*}\] donc la fonction \(f\) est continue en \(0\) si et seulement si : \(a + b -3 = 0.\) (1) Par ailleurs on a aussi : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1^{-}} { f(x) } & = & \lim_{x\to 1^{-}} { x \ln x } \\ & = & 0 \\ & = & f(1) \end{eqnarray*}\] et \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1^{+}} { f(x) } & = & \lim_{x\to 1^{+}} { \frac{bx}{x-2} + 5a - 27 } \\ & = & \frac{b}{1-2} + 5a - 27\\ & = & - b +5a - 27 \end{eqnarray*}\] donc la fonction \(f\) est continue en \(1\) si et seulement si : \(5a - b - 27 = 0.\) (2) Conclusion : D’après les relations \((1)\) et \((2)\) la fonction \(f\) est continue en \(0\) et en \(1\) si et seulement si \[ \left \{ \begin{array}{ccc} a+b -3 & = &0 \\ 5a - b -27 & = & 0 \\ \end{array} \right .\] c’est-à-dire \[ \left \{ \begin{array}{ccc} a& = &5 \\ b &= & -2 \\ \end{array} \right .\]

Q: Soit \(a\) un réel fixé, on considère la fonction \[f_{a}\] définie sur \[\mathbb R_{+}^{*}\] par

\[x \mapsto\left \{ \begin{array}{ccc} x^{x} & \ {si} & x \neq 0\\ a & \ {si} & x = 0 \\ \end{array} \right .\]

Quelle est la valeur du réel \(a\) pour que la fonction \(f_{a}\) soit continue en \(0\) ?
A: 1
Feedback: Remarque : Soit \(D_{f_{a}}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f_{a}\), on a : \(D_{f_{a}} = \mathbb{R}_{+}^{*}\) car : \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \ \ x^{x} = e^{x \ln x}.\] La fonction \(f_{a}\) est continue en \(0\) si et seulement si on a : \({\lim_{x\to 0} {f_{a}(x) } = f(0)}\). On en déduit que : La fonction \(f_{a}\) est continue en \(0\) si et seulement si on a : \({\lim_{x\to 0} {f_{a}(x) } = a}\). Comme on a \({ \lim_{x \to 0} {x \ln x} = 0}\) on peut en déduire que :. \[ \lim_{x\to 0} { e^{x \ln x} } =e^{0} .\] Finalement on a : \[ \lim_{x\to 0} {f_{a}(x) } = 1\] c’est-à-dire \[a = 1.\]

Q: On considère deux fonctions numériques \(f\) et \(g\) définies sur une partie \(D\) de \(\mathbb{R}\).

On suppose que la fonction \(f\) est continue en un point \(x_{0}\) de \(D\) et que la fonction \(g\) n’est pas continue en \(x_{0}\).

La fonction \(f+g\) est-elle continue en \(x_{0}\) ? (V pour vrai, F pour faux) : [...]

On suppose que les fonctions \(f\) et \(g\) ne sont pas continues en un point \(x_{0}\) de D.

On considère alors la propriété suivante :

La fonction \(f+g\) est-elle discontinue en \(x_{0}\) ? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: F / f; F / f
Feedback: Soient deux fonctions numériques \(f\) et \(g\) définies sur une partie \(D\) de \(\mathbb{R}\), on suppose que la fonction \(f\) est continue en un point \(x_{0}\) de D et que la fonction \(g\) n’est pas continue en \(x_{0}\). Montrons que sous ces hypothèses la fonction \(f+g\) n’est pas continue en \(x_{0}\) en raisonnant par l’absurde. Si la fonction \(f+g\) était continue en \(x_{0}\), la fonction \(f\) étant continue en \(x_{0}\), on pourrait en déduire que la fonction \((f+g) - f\) serait continue en \(x_{0}\) c’est-à-dire que \(g\) serait continue en \(x_{0}\) ce qui est contraire à l’hypothèse. Donc la fonction fonction \(f+g\) n’est pas continue en \(x_{0}\). Soient deux fonctions numériques \(f\) et \(g\) définies sur une partie \(D\) de \(\mathbb{R}\), on suppose que les fonctions \(f\) et \(g\) ne sont pas continues en un point \(x_{0}\) de D. Alors la fonction \(f+g\) peut être continue en \(x_{0}\), en effet il suffit de prendre \(g = -f\)/ Dans ce cas \(f\) n’étant pas continue en \(x_{0}\) il en est de même pour la fonction \(-f\) mais alors \(f + (-f)\) est la fonction nulle sur \(D\) et est donc bien continue en \(x_{0}\).

Q: Soit \(a\) un réel fixé, on considère la fonction \[f_{a}\] définie sur \(\mathbb R\) par

\[x \mapsto\left \{ \begin{array}{ccc} a x^{2} + b & \ {si} & x \in \, ]-\infty ,1 [\\ 2ax + 3b & \ {si} & x \in \, [1 , +\infty [ \\ \end{array} \right .\]

Déterminer la valeur du réel \(a\) et du réel \(b\) pour que \(f(1) = 0\) et que la fonction \(f\) soit continue en \(1\).

- Entrer la valeur du réel \[a\] dans la case suivante : [...]
- Entrer la valeur du réel \[b\] dans la case suivante : [...]
A: 4; -2
Feedback: Remarque : Soit \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), on a : \(D_{f} = \mathbb{R}\). On a : \(f(1) =2 \ \ \Longleftrightarrow \ \ 2a + 3b =2\). \((1)\) La fonction \(f\) est continue en \(1\) si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en \(1\) c’est-à-dire : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1{-}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 1^{+}} { f(x)} \\ & = & f(1 ) \\ & = & 2 \end{eqnarray*}\] Or on a : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1^{+}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 1^{+}} { 2ax +3b} \\ & = & 2a +3b \\ \end{eqnarray*}\] et \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1^{-}} { f(x) } & = & \lim_{x\to -1^{-}} { a x^{2} + b } \\ & = & a.(1)^{2} + 5 \\ & = & a + b \end{eqnarray*}\] donc la fonction \(f\) est continue en \(1\) si et seulement si : \(a + b = 2a + 3b\) c’est-à-dire $a +2b = 0 \ \ (2)$ Conclusion : D’après les relations \((1)\) et \((2)\) la fonction \(f\) est continue en \(1\) et vérifie \(f(1) = 2\) si et seulement si \[ \left \{ \begin{array}{ccc} 2a+3b & = &2 \\ a+ 2b & = & 0 \\ \end{array} \right .\] c’est-à-dire \[ \left \{ \begin{array}{ccc} a& = &4 \\ b &= &-2 \\ \end{array} \right .\]

Q: Soit \(a\) un réel fixé, on considère la fonction \[f_{a}\] définie sur \(\mathbb R\) par

\[x \mapsto\left \{ \begin{array}{ccc} frac {\tan x }{x} & \ {si} & x \neq 0\\ a & \ {si} & x = 0 \\ \end{array} \right .\]

Quelle est la valeur du réel \(a\) pour que la fonction \(f_{a}\) soit continue en \(0\) ?
A: 1
Feedback: Remarque : Soit \(D_{f_{a}}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), on a : \[D_{\tan} = \bigcup _{k \in \mathbb{Z}} \left] -frac{\pi}{2} + k \pi , \frac{\pi}{2} + k \pi \right [\] La fonction \(f_{a}\) est continue en \(0\) si et seulement si on a : \({\lim_{x\to 0} {f_{a}(x) } = f(0)}\). On en déduit que : La fonction \(f_{a}\) est continue en \(0\) si et seulement si on a : \({\lim_{x\to 0} {f_{a}(x) } = a}\). On peut constater que : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R} \ \frac{\tan x}{x} & = & \frac{\tan x - \tan 0} {x -0} \\ \end{eqnarray*}\] La fonction \(\tan\) étant dérivable sur \(D_{\tan}\) donc en particulier en \(0\) on a : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} { frac {\tan x - \tan 0} {x -0} } & = & \tan ' 0 \\ & = & 1 + \tan^{2} 0 \\ & = & 1 \end{eqnarray*}\] soit \[ \lim_{x\to 0} { \frac{\tan x} {x} } =1 .\] Finalement on a : \[ \lim_{x\to 0} {f_{a}(x) } = 1\] c’est-à-dire \[a = 1.\]