Title: Rappels Fonctions linéaires et affines
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Fonctions réelles

Références de rappels de cours : fonction linéaire et affine

Fonction linéaire

Définition
Soit \(a\) un réel. On appelle fonction linéaire, la fonction \(f\) définie sur  \(\mathbb R\) par

\(f(x)=ax \; \)

Propriétés
Le graphe de la fonction est une droite qui passe à l'origine \((0,0)\) du repère; \(a\) est appelé coefficient directeur ou pente de la droite.
- Si \(a\) est positif, la fonction est croissante. Elle est négative pour \(x\) négatif, positive pour \(x\) positif.
- Si \(a\) est nul, la fonction est la fonction constante nulle.
- Si \(a\) est nul, la fonction est décroissante. Elle est positive pour \(x\) négatif, négative pour \(x\) positif.

Fonction linéaire de pente -1

Fonction linéaire de pente 2

Fonction affine

Définition
Soit \(a\) et \(b\) deux réels. On appelle fonction affine, la fonction \(f\) définie sur  \(\mathbb R\) par  :

\(f(x)=ax+b \; \)

Une fonction linéaire correspond au cas particulier où \(b=0\).

Propriétés
Le graphe de la fonction est une droite qui passe au point \((0,b)\) ; \(a\) est appelé coefficient directeur ou pente de la droite et \(b\) est appelé ordonnée à l'origine.
- Si \(a\) est positif, la fonction est croissante. Elle s'annule pour \(x=\dfrac b a\). Elle est négative pour \(x<-\dfrac b a\) négatif, positive pour \(x>-\dfrac b a\) positif.
- Si \(a\) est nul, la fonction est la fonction constante nulle.
- Si \(a\) est nul, la fonction est décroissante. Elle s'annule pour \(x=\dfrac b a\). Elle est positive pour \(x<-\dfrac b a\) négatif, négative pour \(x>-\dfrac b a\) positif.

Fonction affine de pente -1 d'ordonnée à l'origine 3
Fonction affine de pente 2 d'ordonnée à l'origine 3

Méthode graphique

Pour déterminer \(a\) à partir du graphe, on choisit deux points du graphe \(M_1:(x_1,y_1)\) et \(M_2:(x_2,y_2)\) ; on calcule
\[a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.\]

Exercice 1- Question 1

La fonction \(f\) définie par \(f(x)=2x+4\) est-elle linéaire ? Est-elle affine ?

Exercice 1 - Réponse à la question 1

La fonction \(f\) n'est pas une fonction linéaire car \(f(0)\neq 0\).
C'est une fonction affine car elle est de la forme \(f(x)=ax +b\), avec \(a=2\) et \(b=4\).

Exercice 1- Question 2

Voici le graphe d'une fonction \(f\) :

La fonction est-elle linéaire ? affine ?

Déterminez la pente et l'ordonnée à l'origine de \(f\).

Exercice 1- Réponse à la question 2

Le graphe est une droite mais ne passe pas à l'origine. Donc la fonction est affine mais pas linéaire.

En choisissant \(M_1=(3,0)\) et \(M_2=(1,1)\) on trouve :

\[a=\dfrac{1-3}{1-0}=-2\]

La droite passe par \((0,3)\) donc \(b=3\).

Exercice 2 - Question 1

On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=2x+1\).

Déterminer la valeur \(x\) pour laquelle \(f(x)=0\).

Exercice 2 - Réponse à la question 1

La valeur \(x\) correspond à la solution de l'équation

\[2x+1=0\]

soit \(x=-\dfrac 12\).

Exercice 2 - Question 2

On compare la fonction \(f\) définie par \(f(x)=2x+1\) avec la fonction \(g\) définie par \(g(x)=x+3\).

Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(f(x)>g(x)\) ?

Exercice 2 - Réponse à la question 2

Pour déterminer les valeurs de \(x\), on étudie \(h(x) =f(x)-g(x)=2x+1-(x+3)=x-2\).

\(f(x)>g(x)\) est équivalent à \(h(x)>0\).

\(h\) est une fonction affine de pente 1, elle est donc strictement positive pour toute valeur strictement supérieure à la valeur \(x=2\) pour laquelle elle s'annule.

Donc l'ensemble des \(x\) pour lesquels \(f(x)>g(x)\) est \(]2,+\infty[\).

La fonction \(g\) (en rouge) passe sous la fonction \(f\) (en noir) pour \(x>2\) :