Title: Rappels Intégration et composition
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Continuité, Dérivation, Intégration

Références de rappels de cours

Rappel

Si la fonction $$F$$ est dérivable, l'intégrale de sa dérivée  $$F'$$ se calcule immédiatement :
$$\int_a^b F'(t)dt=F(b)-F(a)$$.
La différence aux bornes $$F(b)-F(a)$$ sera souvent notée $$\left[F(t)\right]_a^b$$ dans les exercices.

Dérivées des fonctions composées

On utilise les formules de dérivées des compositions de fonctions pour reconnaitre des fonctions dérivées et intégrer directement.

Carré
Soit  $$u$$ une fonction dérivable alors la fonction $$2uu'$$ est intégrable  et sa primitive est  $$u^2$$.
Alors $$\int_a^b 2u(t)u'(t)dt=\left[u^2(t)\right]_a^b$$.

Exemple :
Soit $$f(x)=2 \cos x\sin x$$. On pose  $$u(x)= \sin x$$. On a $$u'(x)=\cos x$$.
On a :
$$\int_0^{\pi/2} 2 \cos t \sin t\ dt=\displaystyle \int_0^{\pi/2}2u(t)u'(t)dt=\left[u^2(t)\right]_0^{\pi/2}=\left[\sin^2 t\right]_0^{\pi/2}=1$$

Puissance
Soit  $$u$$ une fonction dérivable et $n$ un entier, alors la fonction $$nu^{n-1}u'$$ est intégrable  et sa primitive est  $$u^n$$.
Alors $$\int_a^b nu^{n-1}(t)u'(t)dt=\left[u^n(t)\right]_a^b$$.

Exemple :
Soit $$f(x)=-5 \cos^4 x\sin x$$. On pose  $$u(x)= \cos x$$. On a $$u'(x)=\ -\sin x$$.
On a :
$$\int_0^{\pi/2} -5 \cos^4 t\sin t \ dt= \int_0^{\pi/2}5u^4(t)u'(t)dt=\left[u^5(t)\right]_0^{\pi/2}=\left[\cos^5 t\right]_0^{\pi/2}=-1$$

Inverse
Soit  $$u$$ une fonction dérivable ne s'annulant pas sur un intervalle $$[a;b]$$, alors la fonction $$\displaystyle \frac{u'}{u^2}$$ est intégrable  sur cet intervalle et une primitive est  $$\displaystyle \frac{1}{u}$$.
Alors $$\int_a^b \displaystyle \frac{u'(t)}{u(t)^2} \ dt=\left[\frac{1}{u(t)}\right]_a^b$$.

Exemple :
Soit $$f(x)=\displaystyle \frac{-2x}{(x^2+1)^2}$$. On pose  $$u(x)=x^2+1$$. On a $$u'(x)= 2x$$.
On a :
$$\int_0^{2}\displaystyle  \frac{-2t}{(t^2+1)^2}\ dt=\int_0^{2} \frac{u'(t)}{u(t)^2}\ dt =\left[\frac{1}{u(t)}\right]_0^2=\left[\frac{1}{t^2+1}\right]_0^2=1-\frac 15=\frac 45$$

Exponentielle
Soit  $$u$$ une fonction dérivable, alors la fonction $$u'{e^u}$$ est intégrable  sur cet intervalle et une primitive est  $$e^u$$.
Alors $$\int_a^b  u'(t)e^{u(t)} \ dt=\left[e^{u(t)}\right]_a^b$$.

Exemple :
Soit $$f(x)=2xe^{x^2+1}$$. On pose  $$u(x)=x^2-1$$. On a $$u'(x)= 2x$$.
On a :
$$\int_0^{1}2te^{t^2+1} \ dt=\int_0^{1}u'(t)e^{u(t)}\ dt =\left[e^{u(t)}\right]_0^1=\left[e^{t^2+1}\right]_0^1=e^3-1$$

Logarithme
Soit  $$u$$ une fonction dérivable strictement positive, alors la fonction$$\displaystyle \frac{u'}{u}$$ est intégrable  sur cet intervalle et une primitive est  $$ \ln(u)$$.
Alors $$\int_a^b \displaystyle \frac{u'(t)}{u(t)} \ dt=\left[\ln(u)\right]_a^b$$.

Exemple :
Soit $$f(x)=\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}$$. On pose  $$u(x)=x^2+1$$. On a $$u'(x)= 2x$$.
On a :
$$\int_0^{2} \displaystyle \frac{2t}{x^2+1}\ dt=\int_0^{2}\displaystyle \frac{u'(t)}{u(t)}\ dt =\left[\ln(u)\right]_0^2=\left[\ln(t^2+1)\right]_0^2=\ln(5)$$

Ex 1 - Question 1

Soit la fonction $$f$$  définie sur $$\mathbb R$$ par $$f(x)=\cos 3x \sin 3x$$.

Calculez l'intégrale $$I=\int_0^{\pi/2}f(t)dt$$ puis vérifiez votre réponse.

Ex 1 - Réponse à la question 1

L'intégrale $$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos 3t \sin3t\ dt$$ est égale à $$\displaystyle\frac 16$$.

Explication :

On pose $$u(x)=\sin 3x$$; on a  $$u'(x)=3\cos 3x$$.

On a donc $$\int_0^{\pi/2}\cos 3t \sin 3t\ dt=\displaystyle \frac 1 6 \int_0^{\pi/2}2u(t)u'(t)\ dt=\frac 1 6 \left[u^2(t)\right]_0^{\pi/2} =\frac 1 6 \left[\sin^2 3t\right]_0^{\pi/2} =\frac 16$$.

Ex 1 - Question 2

Soit la fonction $$f$$  définie sur $$\mathbb R^+$$ par $$f(x)=\displaystyle\frac1 {x\ln^2(x)}$$.

Calculez l'intégrale $$\int_2^{3}f(t)dt$$ puis vérifiez votre réponse.

Ex 1 - Réponse à la question 2

L'intégrale $$\displaystyle\int_2^{3}\frac x{\ln^2(x)}$$ est égale à $$\displaystyle\frac1 {\ln(2)}-\frac1 {\ln(3)}$$.

Explication :

On pose $$u(x)=\ln(x)$$; on a  $$u'(x)=\displaystyle\frac 1{x}$$.

On a donc $$\int_2^{3}\displaystyle\frac1 {t\ln^2(t)}=\ - \int_2^{3}\frac {-u'(t)}{u^2(t)}\ dt=- \left[\frac1 {u(t)}\right]_2^{3} = - \left[\frac1 {\ln(t)}\right]_2^{3} =\frac1 {\ln(2)}-\frac1 {\ln(3)}$$.

Ex 2 - Question 1

Soit la fonction $$f$$  définie sur $$\mathbb R^+$$ par $$f(x)=\displaystyle\frac x{\ln(x)}$$.

Calculez l'intégrale $$I=\int_0^{1}f(t)dt$$ puis vérifiez votre réponse.

Ex 2 - Réponse à la question 1

L'intégrale $$\displaystyle\int_2^{3}\frac x{\ln(x)}$$ est égale à $$\ln(\ln(3))-\ln(\ln(2))$$.

Explication :

On pose $$u(x)=\ln(x)$$; on a  $$u'(x)=\displaystyle\frac 1{x}$$.

On a donc $$\int_2^{3}\displaystyle\frac1 {t\ln(t)}= \int_2^{3}\frac {u'(t)}{u(t)}\ dt=  \left[\ln(u(t))\right]_2^{3} =\left[\ln(\ln(t))\right]_2^{3} =\ln(\ln(3))-\ln(\ln(2))$$.

Ex2 - Question 2

Soit la fonction $$f$$  définie sur $$\mathbb R$$ par $$f(x)=\displaystyle \frac 1 {\sqrt x}e^{\sqrt x}$$.

Calculez l'intégrale $$I=\int_0^{1}f(t)dt$$ puis vérifiez votre réponse.

Ex 2- réponse à la question 2

L'intégrale $$\int_0^{1}\displaystyle \frac 1 {\sqrt t}e^{\sqrt t}$$ est égale à $$\displaystyle \frac 1 {\sqrt 2}$$.

Explication :

On pose $$u(x)=\sqrt x$$; on a  $$u'(x)=\displaystyle \frac1 {2\sqrt x}$$.

On a donc $$\int_0^{1}\displaystyle\frac 1 {\sqrt t}e^{\sqrt t}\ dt=2 \int_0^1{u'(t)}e^{u(t)}\ dt=  \left[e^{u(t)}\right]_0^1 =2\left[e^{\sqrt t}\right]_0^{1} =2(e-1)$$.

Ex 2 - Question 3

Soit la fonction $$f$$  définie sur $$\mathbb R$$ par $$f(x)=\ln(x)$$.

Calculez l'intégrale $$I=\int_0^{3}f(t)dt$$ puis vérifiez votre réponse.

Ex2 - Réponse à la question 3

L'intégrale $$\displaystyle\int_0^{2} {\ln x}\ dt$$ n'est pas définie.

Explication :

Une primitive de $$ \ln x$$ est $$F(x)=\displaystyle \frac 1  x$$.

Comme $$F$$ n'est pas continue en $$0$$, et a une limite égale à $$\infty$$, on ne peut pas calculer cette intégrale à l'aide d'une primitive. On peut montrer que l'aire sous la courbe tend vers $$-\infty$$ quand on s'approche de la valeur 0. Ce type de  problème sera étudié dans le chapitre Intégrales impropres.