Title: Limites et théorèmes de comparaison
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x+\sin(x)\) : [...]
A: +inf / +inf
Feedback: La fonction \(x\mapsto\sin(x)\) n’admet pas de limite en \(+\infty\). Par contre, on a la minoration suivante : pout tout \(x\), \(\sin(x)\ge -1\) donc pour tout \(x\) on a \(x+\sin(x)\ge x-1\). Comme \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x-1=+\infty\) on déduit par le théorème de comparaison que \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x+\sin(x)=+\infty\). 1. \(+\infty\)

Q: Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions définies sur \(\mathbb R\) telles que pour tout réel \(x\), on ait \(u(x)\le v(x)\). Cochez toutes les affirmations vraies (et uniquement celles-ci) :
- Si \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} u(x)=+\infty\) alors \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} v(x)=+\infty\) (True)
- Si \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} v(x)=+\infty\) alors \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} u(x)=+\infty\) (False)
- Si \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} v(x)=0\) alors \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} u(x)=0\) (False)
A: Si \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} u(x)=+\infty\) alors \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} v(x)=+\infty\)
Feedback: Par application des théorèmes de comparaison. 1. True 2. False 3. False

Q: Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions définies sur \(\mathbb R\) telles que pour tout réel \(x\), on ait \(u(x)\le v(x)\). Cochez toutes les affirmations vraies (et uniquement celles-ci) :
- Si \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} u(x)=+\infty\) alors \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} v(x)=+\infty\) (True)
- Si \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} v(x)=-\infty\) alors \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} u(x)=-\infty\) (True)
- Si \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} v(x)=+\infty\) alors \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} u(x)=+\infty\) (False)
A: Si \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} u(x)=+\infty\) alors \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} v(x)=+\infty\); Si \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} v(x)=-\infty\) alors \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} u(x)=-\infty\)
Feedback: Par application des théorèmes de comparaison. 1. True 2. True 3. False

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x^3+x\cos(x)\) : [...]
A: +inf / +inf
Feedback: Pour \(x>0\), on a \(x\cos(x)\ge -x\) donc \(x^3+x\cos(x)\ge x^3-x\). On s’intéresse à \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x^3-x=+\infty\) car \(x^3\) est le terme dominant. Par le théorème de comparaison, \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x^3+x\cos(x)=+\infty\). 1. \(+\infty\)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x \to +\infty} ~\frac{x\cos x}{x^2+1}\) : [...]
A: 0
Feedback: On peut minorer et majorer la fonction \(x\mapsto\frac{x\cos x}{x^2+1}\) : Pour tout \(x\), \(\frac{x\cos x}{x^2+1}\ge \frac{-x}{x^2+1}\) et \(\frac{x\cos x}{x^2+1}\ge \frac{x}{x^2+1}\) car \(-1\le\cos(x)\le 1\). Or \(\lim\limits_{x \to +\infty} ~\frac{-x}{x^2+1}=\lim\limits_{x \to +\infty} ~\frac{x}{x^2+1}=0\). Par le théorème des gendarmes, on a encadré la fonction \(x\mapsto\frac{x\cos x}{x^2+1}\) par deux fonctions tendant vers \(0\) donc \(\lim\limits_{x \to +\infty} ~\frac{x\cos x}{x^2+1}=0\). 1. \(0\)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} x+\sin(x)\) : [...]
A: -inf / -inf
Feedback: La fonction \(x\mapsto\sin(x)\) n’admet pas de limite en \(-\infty\). Par contre, on a la majoration suivante : pout tout \(x\), \(\sin(x)\le 1\) donc pour tout \(x\) on a \(x+\sin(x)\le x+1\). Comme \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} x+1=-\infty\) on déduit par le théorème de comparaison que \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} x+\sin(x)=-\infty\). 1. \(-\infty\)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} x^3+x\cos(x)\) : [...]
A: -inf / -inf
Feedback: Pour \(x<0\), on a \(x\cos(x)\le -x\) donc \(x^3+x\cos(x)\le x^3-x\). On s’intéresse à \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} x^3-x=-\infty\) car \(x^3\) est le terme dominant. Par le théorème de comparaison, \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} x^3+x\cos(x)=-\infty\). 1. \(+\infty\)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac1{x^2+\cos(x)}\) : [...]
A: 0 / 0
Feedback: Puisque \(-1\le \cos(x)\le 1\), on a \(\frac1{x^2+1}\le\frac1{x^2+\cos(x)}\le \frac1{x^2-1}\). Puisque \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac1{x^2-1}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac1{x^2-1}=0\), on conclut que \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac1{x^2+\cos(x)}=0\). 1. \(0\)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac1{x^2+\cos(x)}\) : [...]
A: 0
Feedback: Puisque \(-1\le \cos(x)\le 1\), on a \(\frac1{x^2+1}\le\frac1{x^2+\cos(x)}\le \frac1{x^2-1}\). Puisque \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac1{x^2-1}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac1{x^2-1}=0\), on conclut que \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac1{x^2+\cos(x)}=0\). 1. \(0\)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{2x+\sin(x)}{x-1}\) : [...]
A: 2
Feedback: Puisque \(-1\le \sin(x)\le 1\), on a \(\frac{2x-1}{x-1}\le\frac{2x+\sin(x)}{x-1}\le \frac{2x+1}{x-1}\) pour \(x>1\). Puisque \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{2x-1}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{2x+1}{x-1}=2\), on conclut que \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{2x+\sin(x)}{x-1}=2\). 1. \(2\)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie). On note \(E(x)\) la partie entière de \(x\in\mathbb{R}\).

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{E(x)}{x}\) : [...]
A: 1
Feedback: Par définition de la partie entière, on a pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \(E(x)\le x < E(x)+1\). Ainsi \(\frac{x-1}{x}\le \frac{E(x)}{x}\le \frac{x}{x}=1\). Donc par encadrement de la limite, puisque \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{x-1}{x}=1\), on montre que \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{E(x)}{x}=1\). 1. \(1\)