Title: fonction croissante
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par

\[x \mapsto \left\{\begin{array}{ccc} x & {si} & x \in \mathbb{Z} \\ 0 & {sinon.} & \end{array}\right. \]

1. Déterminer parmi les trois propriétés suivantes celle qui est correcte :

Entrer la valeur de la lettre correspondant à la propriété qui est vraie dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) (tapez V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: a / a; F / f
Feedback: Soit \(x\) un réel fixé. Si \(x\) est un entier relatif alors \(x+1\) est aussi un entier relatif on a alors : \(f(x)=x\) et \(f(x+1) = x+1\) d’où \(\qquad f(x) \leq f(x + 1).\) Si \(x\) n’est pas un entier relatif alors le réel \(x+1\) n’est pas non plus un entier relatif, en effet sinon \((x+1) - 1\) serait un élément de \(\mathbb{Z}\) c’est-à-dire que \(x\) est un entier relatif ce qui est contraire à l’hypothèse. On en déduit alors que : \(f(x)=0\) et \(f(x+1) = 0\) d’où \(\qquad f(x) \leq f(x + 1).\) Bilan : \(\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) \leq f(x + 1)\) On a : \(f(1) =1\) et \(f \left ( \dfrac{3}{2} \right ) = 0\). On en déduit que : $ > 1$ et \(f(1) > f \left ( \dfrac{3}{2} \right )\) ce qui prouve que la fonction \(f\) n’est pas croissante sur \(\mathbb{R}\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\).

La fonction \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}^{*}\) (tapez V pour vrai, F pour faux) :
A: F
Feedback: On a : \(f(-1) = -1\) et \(f(1) = 1\). On en déduit que : $ 1 > -1$ et \(f(1) < f(-1)\) ce qui prouve que la fonction \(f\) n’est pas décroissante sur \(\mathbb{R}^{*}\).

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par

\[x \mapsto \left \{ \begin{array}{ccc} x + 1 & {si} & x \in \; ] - \infty , 0 ] \\ x - 1 & {si} & x \in \; ] 0 , + \infty [ \end{array} \right.\]
- La fonction \(f\) est croissante sur \(]-\infty , 0 ]\).
- La fonction \(f\) est croissante sur \(]-\infty , 0 [\).
- La fonction \(f\) est croissante sur \([ 0 ,+ \infty [\).
- La fonction \(f\) est croissante sur \(] 0 , + \infty[\).
- La fonction \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).
A: La fonction \(f\) est croissante sur \(]-\infty , 0 ]\).; La fonction \(f\) est croissante sur \(]-\infty , 0 [\).; La fonction \(f\) est croissante sur \(] 0 , + \infty[\).
Feedback: Soit \(x_{1}\) et \(x_{2}\) deux éléments de \(\mathbb{R}_{-}\) tels que \(x_{2} > x_{1}\). On a alors : \(x_{2} + 1 > x_{1} + 1\) c’est à dire \(f \left (x_{2} \right) > f \left ( x_{1} \right )\). On en déduit que la fonction est croissante sur \(]-\infty , 0 ]\). Soit \(x_{1}\) et \(x_{2 }\) deux éléments de \(\mathbb{R}_{-}^{*}\) tels que \(x_{2} > x_{1}\). On a alors : \(x_{2} + 1 > x_{1} + 1\) c’est à dire \(f \left (x_{2} \right) > f \left ( x_{1} \right )\). On en déduit que la fonction est croissante sur \(]-\infty , 0 [\). On a : \(f(0) = 1\) et \(f \left ( \dfrac{1}{2} \right ) = - \dfrac{1}{2}\) on a donc : \[ \dfrac{1}{2} > 0 \qquad \mbox{ et } \quad f(0) > f \left ( \dfrac{1}{2} \right ).\] On en déduit que la fonction n’est pas croissante sur \([ 0 ,+ \infty [\). Soit \(x_{1}\) et \(x_{2 }\) deux éléments de \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) tels que \(x_{2} > x_{1}\). On a alors : \(x_{2} - 1 > x_{1} - 1\) c’est à dire \(f \left (x_{2} \right) > f \left ( x_{1} \right )\). On en déduit que la fonction est croissante sur $]0 , +[ $. On a : \(f(0) = 1\) et \(f \left ( \dfrac{1}{2} \right ) = - \dfrac{1}{2}\) on a donc : \[ \dfrac{1}{2} > 0 \qquad \mbox{ et } \quad f(0) > f \left ( \dfrac{1}{2} \right ).\] On en déduit que la fonction n’est pas croissante sur \(\mathbb{R}\).

Q: On considère la fonction partie entière \[f\] définie sur \(\mathbb R\) qui à \(x\) associe l’entier inférieur à x le plus proche, noté \(\lfloor x \rfloor\).

La fonction \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) (tapez V pour vrai, F pour faux) :
A: V
Feedback: Soit \(x_{1}\) et \(x_{2 }\) deux éléments de \(\mathbb{R}\) tels que \(x_{2} > x_{1}\). Par définition la partie entière de \(x_{1}\) étant le plus grand entier relatif inférieur ou égal à \(x_{1}\) on a : \[x_{2} > x_{1} \geq \left \lfloor x_{1} \right \rfloor. \qquad (*)\] De même la partie entière de \(x_{2}\) étant le plus grand entier relatif inférieur ou égal à \(x_{2}\) comme la partie entière de \(x_{1}\) est un entier relatif inférieur ou égal à \(x_{2}\), d’après \((*)\) on en déduit que : \[ \left \lfloor x_{1} \right \rfloor \leq \left \lfloor x_{2} \right \rfloor.\] La fonction \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par

\[x \mapsto \sqrt x\]

Soient \(a\) et \(b\) deux réels positifs ou nuls distincts, le taux d’accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est égal à : \[\dfrac{n}{\sqrt b + p\sqrt a}\] où \(n\) et \(p\) sont des entiers relatifs.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[n\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[p\] dans la case suivante : [...]

La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_{+}\) (tapez V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: 1; 1; V / v
Feedback: Remarque : Si \(a\) et \(b\) sont deux éléments distincts de \(\mathbb{R}_{+}\), alors \(\sqrt b + \sqrt a > 0\) \(\ \ (*)\) En effet comme \(\sqrt b \geq 0\) et \(\sqrt a \geq 0\) on a ; \(\sqrt b + \sqrt a \geq 0\). Les deux termes étant positifs, on a également : \[\begin{eqnarray*} \sqrt b + \sqrt a = 0 & \Longleftrightarrow & \sqrt { b } = 0 \quad et \quad \sqrt a = 0\\ & \Longleftrightarrow & b = 0 \quad et \quad a =0\\ \end{eqnarray*}\] or par hypothèse on a : \(a \neq b\). Soit \(a\) et \(b\) deux éléments distincts de \(\mathbb{R}_{+}\), le taux d’accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est égal à : \[\begin{eqnarray*} \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a} & = & \dfrac{\sqrt { b } - \sqrt a} {b-a} \\ & = & \dfrac{ \left ( \sqrt { b } - \sqrt a \right ) \left ( \sqrt { b } + \sqrt a \right ) } { (b-a) \left ( \sqrt { b } + \sqrt a \right ) } \\ &=& \dfrac{ \left (\sqrt b \right )^{2} - \left ( \sqrt a \right )^{2} }{ { (b-a) \left ( \sqrt { b } + \sqrt a \right ) } } \\ &=& \dfrac{b-a}{ { (b-a) \left ( \sqrt { b } + \sqrt a \right ) } } \\ &=& \dfrac{ 1 }{\sqrt {b } + \sqrt a } \\ \end{eqnarray*}\] Conclusion : Soient \(a\) et \(b\) deux réels positifs ou nuls distincts, d’après la relation \((*)\) on a : \(\dfrac{f(b) - f(a)}{b-a} > 0\). La fonction \(f\) et donc strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par \(x \mapsto x^{4}\).

1. Soient \(a\) et \(b\) deux réels distincts, le taux d’accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est égal à : \[(a+nb) \left ( a^{p} + b^{p} \right )\]

où \(n\) et \(p\) sont des entiers relatifs.

- Entrer la valeur de l’entier relatif \[n\] dans la case suivante : [...]
- Entrer la valeur de l’entier relatif \[p\] dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_{+}\) (tapez V pour vrai, F pour faux) : [...]
2. La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_{-}\) (tapez V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: -1; 2; V / v; F / f
Feedback: Soient \(a\) et \(b\) deux réels distincts, le taux d’accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est égal à : \[\begin{eqnarray*} \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a} & = & \dfrac{ b^{4} - a^{4} } {b-a} \\ & = & \dfrac{ \left ( b^{2} - a^{2} \right ) \left ( b^{2} + a^{2} \right ) } { b-a}\\ &=& \dfrac{ ( b - a )(a+b) \left ( b^{2} + a^{2} \right ) } { b-a}\\ &=& (a+b) \left ( a^{2} + b^{2} \right ) \end{eqnarray*}\] Soient \(a\) et \(b\) deux réels positifs ou nuls distincts on a : \(a+b > 0\) et \(a^{2} + b^{2} > 0\) d’où \(\dfrac{f(b) - f(a)}{b-a} > 0\) On en déduit que la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_{+}\). De même soient \(a\) et \(b\) deux réels négatifs ou nuls distincts on a : \(0 >a+b\) et \(a^{2} + b^{2} > 0\) d’où \(0 > \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a}\) on en déduit que la fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}_{-}\).

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par \(x \mapsto x^{3}\).

Soient \(a\) et \(b\) deux réels distincts, le taux d’accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est égal à : \[ \left ( a + \dfrac{n}{p} b \right )^{2}+ \dfrac{q}{r} \; b^{2}\]

où \(n\), \(p\), \(q\) et \(r\) sont des entiers naturels tels que les fractions \(\dfrac{n}{p}\) et \(\dfrac{q}{r}\) soient irréductibles.

- Entrer la valeur de l’entier naturel \[n\] dans la case suivante : [...]
- Entrer la valeur de l’entier naturel \[p\] dans la case suivante : [...]
- Entrer la valeur de l’entier naturel \[q\] dans la case suivante : [...]
- Entrer la valeur de l’entier naturel \[r\] dans la case suivante : [...]

La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) (tapez V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: 1; 2; 3; 4; V / v
Feedback: Soient \(a\) et \(b\) deux réels distincts, le taux d’accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est égal à : \[\begin{eqnarray*} \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a} & = & \dfrac{ b^{3} - a^{3} } {b-a} \\ & = & \dfrac{ \left ( b - a \right ) \left ( b^{2} + ba + a^{2} \right ) } { b-a} \\ &=& \left ( b^{2} + ab + a^{2} \right ) \\ &=& \left ( a^{2} + ab + b^{2} \right ) \\ &=& \left ( a + \dfrac{1}{2} b \right )^{2} - \left (\dfrac{1}{2} b \right )^{2} + b^{2} \\ &=& \left ( a + \dfrac{1}{2} b \right )^{2} + \dfrac{3}{4} b^{2} \qquad (*) \\ \end{eqnarray*}\] Soient \(a\) et \(b\) deux réels distincts on a : \(\left ( a + \dfrac{1}{2} b \right )^{2} \geq 0\) et \(\dfrac{3}{4}b^{2} \geq 0\) d’où : \[\left ( a + \dfrac{1}{2} b \right )^{2} + \dfrac{3}{4} b^{2} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \left ( a + \dfrac{1}{2} b \right )^{2} =0 \quad et \quad \dfrac{3}{4} b^{2} =0 \] c’est-à-dire : \[\left ( a + \dfrac{1}{2} b \right )^{2} + \dfrac{3}{4} b^{2} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \left ( a + \dfrac{1}{2} b \right ) =0 \quad et \quad \dfrac{3}{4} b =0 \] et enfin : \[\left ( a + \dfrac{1}{2} b \right )^{2} + \dfrac{3}{4} b^{2} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad a=0 \quad et \quad b=0\] On en déduit que si \(a\) et \(b\) sont deux réels distincts d’après la relation \((*)\) on a : \(\dfrac{f(b) - f(a)}{b-a} > 0\) et donc que la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

Q: Soit \(a\) un réel strictement positif ; on considère une fonction \[f\] définie sur \[[-a,a].\]

On suppose que la fonction \(f\) est paire et qu’elle est croissante sur \([0,a]\).

La fonction \(f\) est décroissante sur \([-a,0]\) (tapez V pour vrai, F pour faux) :
A: V
Feedback: Par définition de la croissance de \(f\) sur \([0,a]\) il vient : si \(x_{1}\) et \(x_{2 }\) sont deux éléments de \([0,a]\) tels que \(x_{2} > x_{1}\) alors on a : \(f \left (x_{2} \right) > f \left ( x_{1} \right )\). Soit \(x_{1}\) et \(x_{2 }\) deux éléments de \([-a,0]\) tels que \(x_{2} > x_{1}\). On a alors : \(-x_{1} \in [0,a]\) , \(-x_{2} \in [0,a]\) et \(-x_{1} > -x_{2}\) La fonction \(f\) étant croissante sur \([0,a]\) on en déduit que : \[f \left (-x_{1} \right ) \geq f \left ( -x_{2} \right )\] La fonction \(f\) étant paire on a : \(f \left (-x_{1} \right ) = f \left ( x_{1} \right )\) et \(f \left (-x_{2} \right ) = f \left ( x_{2} \right )\) D’après ce qui précède on en déduit que : si \(x_{1}\) et \(x_{2 }\) sont deux éléments de \([-a,0]\) tels que \(x_{2} > x_{1}\) alors on a : \(f \left (x_{1} \right) \geq f \left ( x_{2} \right )\). La fonction \(f\) est donc décroissante sur \([-a,0]\).

Q: Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur une partie \(D\) de \(\mathbb{R}\), on considère une partie \(I\) de \(D\).

Si les fonctions \(f\) et \(g\) sont croissantes sur \(I\) alors la fonction \(f+g\) est croissante sur \(I\) (tapez V pour vrai, F pour faux) :
A: V
Feedback: Par définition de la croissance de \(f\) et \(g\) sur \(I\) il vient : si \(x_{1}\) et \(x_{2 }\) sont deux éléments de \(I\) tels que \(x_{2} > x_{1}\) alors on a : \[f \left (x_{2} \right) \geq f \left ( x_{1} \right ) \quad \mbox{ et } \quad g \left (x_{2} \right) \geq g \left ( x_{1} \right ).\] En sommant membre à membre les deux inégalités précédentes on obtient : \[f\left (x_{2} \right) + g \left (x_{2} \right) \geq f \left ( x_{1} \right ) + g \left ( x_{1} \right ).\] c’est à dire : \[ (f +g) \left (x_{2} \right) \geq (f+ g) \left ( x_{1} \right ).\] D’après ce qui précède on en déduit que : si \(x_{1}\) et \(x_{2 }\) sont deux éléments de \(I\) tels que \(x_{2} > x_{1}\) alors on a : \((f+g) \left (x_{2} \right) \geq (f+g) \left ( x_{1} \right )\). La fonction \(f + g\) est donc croissante sur \(I\).

Q: Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur une partie \(D\) de \(\mathbb{R}\), on considère une partie \(I\) de \(D\).

On suppose de plus que : \(\forall x \in I, \quad f(x) \geq 0 \quad et \quad g(x) \geq 0\) \(\ \ \ (*)\).

Si les fonctions \(f\) et \(g\) sont croissantes sur \(I\) alors la fonction \(f \times g\) est croissante sur \(I\) (tapez V pour vrai, F pour faux) :
A: V
Feedback: Par définition de la croissance de \(f\) et \(g\) sur \(I\) et vu l’hypothèse \((*)\) on peut en déduire que : si \(x_{1}\) et \(x_{2 }\) sont deux éléments de \(I\) tels que \(x_{2} > x_{1}\) alors on a : \[f \left (x_{2} \right) \geq f \left ( x_{1} \right ) \geq 0\quad et \quad g \left (x_{2} \right) \geq g \left ( x_{1} \right ) \geq 0\] Tous les nombres étant positifs, en multipliant membre à membre les deux inégalités précédentes on obtient : \[f\left (x_{2} \right) \times g \left (x_{2} \right) \geq f \left ( x_{1} \right ) \times g \left ( x_{1} \right ).\] c’est à dire : \[ (f \times g) \left (x_{2} \right) \geq (f \times g) \left ( x_{1} \right ).\] D’après ce qui précède on en déduit que : si \(x_{1}\) et \(x_{2 }\) sont deux éléments de \(I\) tels que \(x_{2} > x_{1}\) alors on a : \((f \times g) \left (x_{2} \right) \geq (f \times g) \left ( x_{1} \right )\). La fonction \(f \times g\) est donc croissante sur \(I\).

Q: Soit \(f\) une fonction définie sur une partie \(D_{f}\) de \(\mathbb{R}\) et \(g\) une fonction définies sur une partie \(D_{g}\) de \(\mathbb{R}\), on considère une partie \(I\) de \(D_{f}\) et une partie \(J\) de \(D_{g}\) telles que \(f \left \langle I \right \rangle \subset J\).

1. On a alors le tableau suivant où \(m()\) désigne la la monotonie de la fonction \(g \circ f\) sur la partie \(I\) en fonction de la monotonie des fonction \(f\) et \(g\).

\[\begin{array}{|c| c| c|} \hline & f \mbox{ est croissante sur } I & f \mbox{ est décroissante sur } I \\ \hline g \mbox{ est croissante sur } J& m(1)& m(2) \\ \hline g \mbox{ est décroissante sur } J& m(3)& m(4) \\ \hline \end{array}\]

Pour chacune des cases du tableau, si la fonction \(g \circ f\) est croissante tapez C et si elle est décroissante tapez D :

Tapez la valeur de \(m(1)\) dans la case suivante : [...]

Tapez la valeur de \(m(2)\) dans la case suivante : [...]

Tapez la valeur de \(m(3)\) dans la case suivante : [...]

Tapez la valeur de \(m(4)\) dans la case suivante : [...]
A: C / c; D / d; D / d; C / c
Feedback: CAS 1 Hypothèse : \(f\) est croissante sur \(I\) et \(g\) est croissante sur \(J\). Par définition de la croissance de \(f\) sur \(I\) on a : si \(x_{1}\) et \(x_{2 }\) sont deux éléments de \(I\) tels que \(x_{2} > x_{1}\) alors on a : \(f \left (x_{2} \right) \geq f \left ( x_{1} \right )\) \((1)\) Par définition de la croissance de \(g\) sur \(J\) on a : si \(y_{1}\) et \(y_{2 }\) sont deux éléments de \(J\) tels que \(y_{2} > y_{1}\) alors on a : \(g \left (y_{2} \right) \geq g \left (y_{1} \right )\) \((2)\) Soit \(x_{1}\) et \(x_{2 }\) deux éléments de \(I\) tels que \(x_{2} > x_{1}\) alors d’après \((1)\) on a : \(f \left (x_{2} \right) \geq f \left ( x_{1} \right )\) Comme par hypothèse \(f \left \langle I \right \rangle \subset J\) on en déduit que : \(f \left (x_{1} \right) \in J\) et \(f \left ( x_{2} \right ) \in J\) D’après la relation \((2)\) il vient : \(g \left ( f \left (x_{2} \right) \right) \geq g \left ( f \left (x_{1} \right) \right )\) On en déduit que ; Soit \(x_{1}\) et \(x_{2 }\) deux éléments de \(I\) tels que \(x_{2} > x_{1}\) alors on a : $ g f (x_{2} ) g f ( x_{1} )$ c’est à dire que la fonction \(g \circ f\) est croissante sur \(I\) on a donc \(m(1) =\) C. CAS 2 Hypothèse : \(f\) est décroissante sur \(I\) et \(g\) est croissante sur \(J\). Par définition de la décroissance de \(f\) sur \(I\) on a : si \(x_{1}\) et \(x_{2 }\) sont deux éléments de \(I\) tels que \(x_{2} > x_{1}\) alors on a : \(f \left (x_{2} \right) \leq f \left ( x_{1} \right )\) \((1)\) Par définition de la croissance de \(g\) sur \(J\) on a : si \(y_{1}\) et \(y_{2 }\) sont deux éléments de \(J\) tels que \(y_{2} > y_{1}\) alors on a : \(g \left (y_{2} \right) \geq g \left (y_{1} \right )\) \((2)\) Soit \(x_{1}\) et \(x_{2 }\) deux éléments de \(I\) tels que \(x_{2} > x_{1}\) alors d’après \((1)\) on a : \(f \left (x_{2} \right) \leq f \left ( x_{1} \right )\) Comme par hypothèse \(f \left \langle I \right \rangle \subset J\) on en déduit que : \(f \left (x_{1} \right) \in J\) et \(f \left ( x_{2} \right ) \in J\) D’après la relation \((2)\) il vient : \(g \left ( f \left (x_{2} \right) \right) \leq g \left ( f \left (x_{1} \right) \right )\) On en déduit que ; Soit \(x_{1}\) et \(x_{2 }\) deux éléments de \(I\) tels que \(x_{2} > x_{1}\) alors on a : $ g f (x_{2} ) g f ( x_{1} )$ c’est à dire que la fonction \(g \circ f\) est décroissante sur \(I\) on a donc \(m(2) =\) D. CAS 3 Hypothèse : \(f\) est croissante sur \(I\) et \(g\) est décroissante sur \(J\). Un raisonnement analogue conduit à : \(m(3) =\) D. CAS 4 Hypothèse : \(f\) est décroissante sur \(I\) et \(g\) est décroissante sur \(J\). Un raisonnement analogue conduit à : \(m(4) =\) C.

Q: Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur une partie \(D\) de \(\mathbb{R}\), on considère deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(b >a\) et \([a,b] \subset D\).

On considère les propriétés suivantes :

1. Si \(f\) est croissante sur \([a,b]\) alors pour tout réel \(\lambda\) la fonction \(\lambda . f\) est bornée sur \([a,b]\) (tapez V pour vrai, F pour faux) : [...]
2. Si \(f\) est croissante sur \([a,b]\) et \(g\) est décroissante sur \([a,b]\) alors la fonction \(f + g\) est bornée sur \([a,b]\) (tapez V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: V / v; V / v
Feedback: Par définition de la croissance de \(f\) sur \([a,b]\) il vient : \[\forall x \in [a,b], \quad a \leq x \leq b \quad \mbox { d'où } \quad f(a) \leq f(x) \leq f(b).\] Donc si \(\lambda \geq 0\) il vient : \[\forall x \in [a,b], \quad \lambda . f(a) \leq \lambda . f(x) \leq \lambda . f(b).\] Par ailleurs si \(0 > \lambda\) on obtient : \[\forall x \in [a,b], \quad \lambda . f(a) \geq \lambda . f(x) \geq \lambda . f(b).\] On en déduiut donc que pour tout réel \(\lambda\) la fonction \(\lambda . f\) est bornée sur \([a,b]\). Par définition de la croissance de \(f\) sur \([a,b]\) il vient : \[\forall x \in [a,b], \quad f(a) \leq f(x) \leq f(b) \qquad (1).\] Par définition de la décroissance de \(g\) sur \([a,b]\) il vient : \[\forall x \in [a,b], \quad g(b) \leq g(x) \leq g(a) \qquad (2).\] En sommant membre à membre les inégalités \((1)\) et \((2)\) précédentes on obtient : \[\forall x \in [a,b], \quad f(a) + g(b) \leq f(x) + g(x) \leq f(b) + g(a).\] c’est à dire : \[\forall x \in [a,b], \quad f(a) + g(b) \leq (f+ g)(x) \leq f(b) + g(a).\] La fonction \(f + g\) est donc bornée sur \([a,b]\).

Q: Soit \(a\) un réel strictement positif ; on considère une fonction \[f\] définie sur \[[-a,a].\]

On suppose que la fonction \(f\) est impaire et qu’elle est croissante sur \([0,a]\).

La fonction \(f\) est croissante sur \([-a,a]\) (tapez V pour vrai, F pour faux) :
A: V
Feedback: Par définition de la croissance de \(f\) sur \([0,a]\) il vient : si \(x_{1}\) et \(x_{2 }\) sont deux éléments de \([0,a]\) tels que \(x_{2} > x_{1}\) alors on a : \(f \left (x_{2} \right) \geq f \left ( x_{1} \right )\). Soient \(x_{1}\) et \(x_{2 }\) deux éléments de \([-a,0]\) tels que \(x_{2} > x_{1}\). On a alors : \(-x_{1} \in [0,a]\) , \(-x_{2} \in [0,a]\) et \(-x_{1} > -x_{2}\) La fonction \(f\) étant croissante sur \([0,a]\) on en déduit que : \[f \left (-x_{1} \right ) \geq f \left ( -x_{2} \right )\] La fonction \(f\) étant impaire on a : \(f \left (-x_{1} \right ) =- f \left ( x_{1} \right )\) et \(f \left (-x_{2} \right ) =- f \left ( x_{2} \right )\) D’après ce qui précède on en déduit que : si \(x_{1}\) et \(x_{2 }\) sont deux éléments de \([-a,0]\) tels que \(x_{2} > x_{1}\) alors on a : \(-f \left (x_{1} \right) \geq -f \left ( x_{2} \right )\). On en déduit donc dans un premier temps que : si \(x_{1}\) et \(x_{2 }\) sont deux éléments de \([-a,0]\) tels que \(x_{2} > x_{1}\) alors on a : \(f \left (x_{1} \right) \leq f \left ( x_{2} \right )\). La fonction \(f\) est donc croissante sur \([-a,0]\). La fonction \(f\) est donc croissante sur \([-a,0]\) et sur $ [0,a]$ ; pour montrer que \(f\) est croissante sur \([-a,a]\) il suffit de montrer que : si \(x_{1}\) appartient à \([-a,0]\) et \(x_{2 }\) appartient à \([0,a]\) tels que \(x_{2} > x_{1}\) alors on a : \(f \left (x_{1} \right) \leq f \left ( x_{2} \right ) \qquad (*)\). Or on a : Soit \(x_{1}\) appartenant à \([-a,0]\), la fonction \(f\) étant croissante sur \([-a,0]\) on a : \(f \left (x_{1} \right) \leq f \left ( 0 \right )\). Soit \(x_{2}\) appartenant à \([0,a]\), la fonction \(f\) étant croissante sur \([0,a]\) on a : $ f(0) f (x_{2} )$. D’où : si \(x_{1}\) appartient à \([-a,0]\) et \(x_{2 }\) appartient à \([0,a]\) tels que \(x_{2} > x_{1}\) alors on a : \(f \left (x_{1} \right) \leq f(0) \leq f \left ( x_{2} \right )\). ce qui prouve la relation \((*)\), la fonction \(f\) est donc bien une fonction croissante sur \([-a,a]\).

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par

\[x \mapsto \dfrac{1}{x \sqrt x }\]

La fonction \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) (tapez V pour vrai, F pour faux) :
A: V
Feedback: Soient \(x_{1}\) et \(x_{2 }\) deux éléments de \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) tels que \(x_{2} > x_{1}\) alors on a : \[x_{2} > x_{1} > 0 \quad d'où \quad \sqrt { x_{2} } > \sqrt { x_{1} } > 0.\] En multipliant les inégalités membre à membre on en déduit que : \[ x_{2} \sqrt { x_{2} } > x_{1} \sqrt { x_{1} } > 0.\] En prenant l’inverse on obtient ; \[ \dfrac{1}{ x_{1} \sqrt { x_{1} } } > \dfrac{1}{ x_{2} \sqrt { x_{2} } } > 0.\] On en déduit que la fonction \(f\) est strictement décroissante, donc décroissante, sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\).

Q: On considère la fonction \[F\] définie sur \[\mathbb R\] par

\[ \int_{0}^{x} \, e^{-t^{2}} dt\]

La fonction \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) (tapez V pour vrai, F pour faux) :
A: V
Feedback: Soient \(x_{1}\) et \(x_{2 }\) deux éléments de \(\mathbb{R}\) tels que \(x_{2} > x_{1}\) alors on a : \[\begin{eqnarray*} F \left (x_{2} \right) - F \left (x_{1} \right) & = & \int_{0}^{x_{2}} \, e^{-t^{2}} dt - \int_{0}^{x_{1}} \, e^{-t^{2}} dt \\ & = & \int_{0}^{x_{2}} \, e^{-t^{2}} dt + \int_{x_{1}}^{0} \, e^{-t^{2}} dt \\ & = & \int_{x_{1}}^{x_{2}} \, e^{-t^{2}} dt\\ \end{eqnarray*}\] On a : \(\forall t \in \mathbb{R}, \quad e^{-t^{2}} \geq 0\) par ailleurs, comme \(x_{2} > x_{1}\) on en déduit que : $ {x{1}}^{x_{2}} , e^{-t{2}} dt 0$. C’est à dire : \(F \left (x_{2} \right) - F \left (x_{1} \right) \geq 0\). On a donc : si \(x_{1}\) et \(x_{2 }\) sont deux éléments de \(\mathbb{R}\) tels que \(x_{2} > x_{1}\) alors : \(F \left (x_{2} \right) \geq F \left (x_{1} \right)\). On en déduit que la fonction \(F\) est croissante, sur \(\mathbb{R}\).