Title: VecteurGaussien
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: \(Y=(Y_1, Y_2)^T\) est un vecteur aléatoire de loi normale. L’espérance de de \(Y_1\) vaut \(2\) et sa variance \(4\). L’espérance de \(Y_2\) vaut \(-1\) et sa variance \(9\). La corrélation entre \(Y_1\) et \(Y_2\) vaut \(-0.5\). Indiquer les réponses correctes dans la liste ci-dessous.
- La covariance \(Cov(Y_1,Y_2)\) vaut \(-6\) (Faux. Il suffit de calculer la covariance \(Cov(Y_1,Y_2)= Cor(Y_1, Y_2) \sqrt{Var(Y_1)Var(Y_2)}\).)
- On ne peut rien dire sur la covariance de \(Y\). (Faux. La matrice de covariance s’écrit \[\begin{pmatrix} Var(Y_1) & cov(Y_1, Y_2) \\ cov(Y_1, Y_2) & Var(Y_2) \end{pmatrix}\])
- La variance de \(Y\) vaut \[\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}\] (Faux. La matrice de covariance s’écrit \[\begin{pmatrix} Var(Y_1) & cov(Y_1, Y_2) \\ cov(Y_1, Y_2) & Var(Y_2) \end{pmatrix}.\])
- La variance de \(Y\) vaut \[\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}\] (Faux. Une matrice de covariance est toujours symétrique.)
- La variance de \(Y\) vaut \[\begin{pmatrix} 9 & -18 \\ -18 & 4 \end{pmatrix}\] (Faux. La matrice de covariance s’écrit \[\begin{pmatrix} Var(Y_1) & cov(Y_1, Y_2) \\ cov(Y_1, Y_2) & Var(Y_2) \end{pmatrix}.\])
- La variance de \(Y\) vaut \[\begin{pmatrix} 9 & -3 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}\] (Vrai. Il suffit de calculer la covariance \(Cov(Y_1,Y_2)= Cor(Y_1, Y_2) \sqrt{Var(Y_1)Var(Y_2)}\).)
- La covariance \(Cov(Y_1,Y_2)\) vaut \(-18\) (Faux. Il suffit de calculer la covariance \(Cov(Y_1,Y_2)= Cor(Y_1, Y_2) \sqrt{Var(Y_1)Var(Y_2)}\).)
- La covariance \(Cov(Y_1,Y_2)\) vaut \(-3\) (Vrai. La covariance \(Cov(Y_1,Y_2)\) vaut \(-3\))
A: La variance de \(Y\) vaut \[\begin{pmatrix} 9 & -3 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}\]; La covariance \(Cov(Y_1,Y_2)\) vaut \(-3\)
Feedback: 1. Faux. Il suffit de calculer la covariance \(Cov(Y_1,Y_2)= Cor(Y_1, Y_2) \sqrt{Var(Y_1)Var(Y_2)}\). 2. Faux. La matrice de covariance s’écrit \[\begin{pmatrix} Var(Y_1) & cov(Y_1, Y_2) \\ cov(Y_1, Y_2) & Var(Y_2) \end{pmatrix}\] 3. Faux. La matrice de covariance s’écrit \[\begin{pmatrix} Var(Y_1) & cov(Y_1, Y_2) \\ cov(Y_1, Y_2) & Var(Y_2) \end{pmatrix}.\] 4. Faux. Une matrice de covariance est toujours symétrique. 5. Faux. La matrice de covariance s’écrit \[\begin{pmatrix} Var(Y_1) & cov(Y_1, Y_2) \\ cov(Y_1, Y_2) & Var(Y_2) \end{pmatrix}.\] 6. Vrai. Il suffit de calculer la covariance \(Cov(Y_1,Y_2)= Cor(Y_1, Y_2) \sqrt{Var(Y_1)Var(Y_2)}\). 7. Faux. Il suffit de calculer la covariance \(Cov(Y_1,Y_2)= Cor(Y_1, Y_2) \sqrt{Var(Y_1)Var(Y_2)}\). 8. Vrai. La covariance \(Cov(Y_1,Y_2)\) vaut \(-3\)

Q: \(Y=(Y_1, Y_2)^T\) est un vecteur aléatoire de loi normale. L’espérance de de \(Y_1\) vaut \(4\) et sa variance \(9\). L’espérance de \(Y_2\) vaut \(-1\) et sa variance \(4\). La corrélation entre \(Y_1\) et \(Y_2\) vaut \(-0.5\). Indiquer les réponses correctes dans la liste ci-dessous.
- La variance de \(Y\) vaut \[\begin{pmatrix} 3 & -3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}\] (Faux. La matrice de covariance s’écrit \[\begin{pmatrix} Var(Y_1) & cov(Y_1, Y_2) \\ cov(Y_1, Y_2) & Var(Y_2) \end{pmatrix}.\])
- La variance de \(Y\) vaut \[\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -3 & 9 \end{pmatrix}\] (Vrai. Il suffit de calculer la covariance \(Cov(Y_1,Y_2)= Cor(Y_1, Y_2) \sqrt{Var(Y_1)Var(Y_2)}\).)
- La covariance \(Cov(Y_1,Y_2)\) vaut \(-18\) (Faux. Il suffit de calculer la covariance \(Cov(Y_1,Y_2)= Cor(Y_1, Y_2) \sqrt{Var(Y_1)Var(Y_2)}\).)
- La covariance \(Cov(Y_1,Y_2)\) vaut \(-3\) (Vrai. La covariance \(Cov(Y_1,Y_2)\) vaut \(-3\))
- La variance de \(Y\) vaut \[\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}\] (Faux. Une matrice de covariance est toujours symétrique.)
- La covariance \(Cov(Y_1,Y_2)\) vaut \(-6\) (Faux. Il suffit de calculer la covariance \(Cov(Y_1,Y_2)= Cor(Y_1, Y_2) \sqrt{Var(Y_1)Var(Y_2)}\).)
- On ne peut rien dire sur la covariance de \(Y\). (Faux. La matrice de covariance s’écrit \[\begin{pmatrix} Var(Y_1) & cov(Y_1, Y_2) \\ cov(Y_1, Y_2) & Var(Y_2) \end{pmatrix}\])
- La variance de \(Y\) vaut \[\begin{pmatrix} 4 & -18 \\ -18 & 9 \end{pmatrix}\] (Faux. La matrice de covariance s’écrit \[\begin{pmatrix} Var(Y_1) & cov(Y_1, Y_2) \\ cov(Y_1, Y_2) & Var(Y_2) \end{pmatrix}.\])
A: La variance de \(Y\) vaut \[\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -3 & 9 \end{pmatrix}\]; La covariance \(Cov(Y_1,Y_2)\) vaut \(-3\)
Feedback: 1. Faux. La matrice de covariance s’écrit \[\begin{pmatrix} Var(Y_1) & cov(Y_1, Y_2) \\ cov(Y_1, Y_2) & Var(Y_2) \end{pmatrix}.\] 2. Vrai. Il suffit de calculer la covariance \(Cov(Y_1,Y_2)= Cor(Y_1, Y_2) \sqrt{Var(Y_1)Var(Y_2)}\). 3. Faux. Il suffit de calculer la covariance \(Cov(Y_1,Y_2)= Cor(Y_1, Y_2) \sqrt{Var(Y_1)Var(Y_2)}\). 4. Vrai. La covariance \(Cov(Y_1,Y_2)\) vaut \(-3\) 5. Faux. Une matrice de covariance est toujours symétrique. 6. Faux. Il suffit de calculer la covariance \(Cov(Y_1,Y_2)= Cor(Y_1, Y_2) \sqrt{Var(Y_1)Var(Y_2)}\). 7. Faux. La matrice de covariance s’écrit \[\begin{pmatrix} Var(Y_1) & cov(Y_1, Y_2) \\ cov(Y_1, Y_2) & Var(Y_2) \end{pmatrix}\] 8. Faux. La matrice de covariance s’écrit \[\begin{pmatrix} Var(Y_1) & cov(Y_1, Y_2) \\ cov(Y_1, Y_2) & Var(Y_2) \end{pmatrix}.\]

Q: Le vecteur \(Y\) est un vecteur aléatoire de loi normale dont la matrice de covariance \(\Sigma\) vaut
\[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\]

Indiquer les réponses correctes dans la liste ci-dessous.
- La matrice de corrélation de \(Y\) vaut \[\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 1 \end{pmatrix}\] (Vrai. La matrice de corrélation s’écrit \[\begin{pmatrix} 1 & cov(Y_1, Y_2)/ \sqrt{Var(Y_1) Var(Y_2) } \ \\ cov(Y_1, Y_2)/ \sqrt{Var(Y_1) Var(Y_2) } & 1 \end{pmatrix}.\])
- La matrice de corrélation de \(Y\) vaut \[\begin{pmatrix} 1 & - 0.5 \\ -0.5 & 1 \end{pmatrix}\] (Faux, la covariance entre \(Y_1\) et \(Y_2\) est positive, la corrélation l’est aussi.)
- La matrice de corrélation de \(Y\) vaut \[\begin{pmatrix} 1 & 0.25 \\ 0.25 & 1 \end{pmatrix}\] (Faux. La matrice de corrélation s’écrit \[\begin{pmatrix} 1 & cov(Y_1, Y_2)/ \sqrt{Var(Y_1) Var(Y_2) } \ \\ cov(Y_1, Y_2)/ \sqrt{Var(Y_1) Var(Y_2) } & 1 \end{pmatrix}.\])
- La matrice indiquée dans l’énoncé n’est pas une matrice de covariance. (Faux. Une matrice de covariance est une matrice symétrique définie positive. La matrice est bien symétrique. Il faut vérifier qu’elle est définie positive, c’est à dire que pour tout vecteur \(u = \begin{pmatrix} x \cr y\end{pmatrix}\) de \(\mathbb{R}^2\), \(u^T \Sigma u =0\) si et seulement si \(u=0\). Ici \[\begin{align} u^T \Sigma u = & x^2 + 2xy+ 4y^2 = (x+y)^2 + 3y^2, \end{align}\] Cette somme de deux carrés est nulle si chaque terme est nul, soit\(x=-y\) et \(y=0\). Ainsi \(\Sigma\) est définie positive.)
- La matrice de corrélation de \(Y\) vaut \[\begin{pmatrix} 1 & -0.25 \\ -0.25 & 1 \end{pmatrix}\] (Faux, la covariance entre \(Y_1\) et \(Y_2\) est positive, la corrélation l’est aussi.)
- On ne peut pas déterminer la matrice de corrélation à partir des informations données (Faux. Il suffit de connaître la matrice de covariance pour déterminer la matrice de corrélation.)
A: La matrice de corrélation de \(Y\) vaut \[\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 1 \end{pmatrix}\]
Feedback: 1. Vrai. La matrice de corrélation s’écrit \[\begin{pmatrix} 1 & cov(Y_1, Y_2)/ \sqrt{Var(Y_1) Var(Y_2) } \ \\ cov(Y_1, Y_2)/ \sqrt{Var(Y_1) Var(Y_2) } & 1 \end{pmatrix}.\] 2. Faux, la covariance entre \(Y_1\) et \(Y_2\) est positive, la corrélation l’est aussi. 3. Faux. La matrice de corrélation s’écrit \[\begin{pmatrix} 1 & cov(Y_1, Y_2)/ \sqrt{Var(Y_1) Var(Y_2) } \ \\ cov(Y_1, Y_2)/ \sqrt{Var(Y_1) Var(Y_2) } & 1 \end{pmatrix}.\] 4. Faux. Une matrice de covariance est une matrice symétrique définie positive. La matrice est bien symétrique. Il faut vérifier qu’elle est définie positive, c’est à dire que pour tout vecteur \(u = \begin{pmatrix} x \cr y\end{pmatrix}\) de \(\mathbb{R}^2\), \(u^T \Sigma u =0\) si et seulement si \(u=0\). Ici \[\begin{align} u^T \Sigma u = & x^2 + 2xy+ 4y^2 = (x+y)^2 + 3y^2, \end{align}\] Cette somme de deux carrés est nulle si chaque terme est nul, soit\(x=-y\) et \(y=0\). Ainsi \(\Sigma\) est définie positive. 5. Faux, la covariance entre \(Y_1\) et \(Y_2\) est positive, la corrélation l’est aussi. 6. Faux. Il suffit de connaître la matrice de covariance pour déterminer la matrice de corrélation.

Q: Le vecteur \(Y=(Y_1, Y_2)^T\) est un vecteur aléatoire de loi normale dont l’espérance \(\mu\) et la matrice de covariance \(\Sigma\) sont données par \[\mu = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad \Sigma=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}.\]

Déterminer l’espérance et la variance de \(Z=2 Y_1 + Y_2\) et indiquer les réponses correctes dans la liste ci-dessous.
- \(Z\) a pour espérance 0. (Vrai. \(E(2 Y_1+ Y_2) = 2 E(Y_1) + E(Y_2)\) par linéarité de l’espérance.)
- La variance de \(Z\) vaut \(5\) (Vrai. \(Var(2 Y_1+ Y_2) = Var(2 Y_1) + Cov(2 Y_1, Y_2) + Var (Y_2)\))
- On ne peut pas déterminer la variance de \(Z\) (Faux. \(E(2 Y_1+ Y_2) = 2 E(Y_1) + E(Y_2)\) par linéarité de l’espérance et \(Var(2 Y_1+ Y_2) = Var(2 Y_1) + Cov(2 Y_1, Y_2) + Var (Y_2)\).)
- La variance de \(Z\) vaut \(25\) (Faux. \(Var(2 Y_1+ Y_2) = Var(2 Y_1) + Cov(2 Y_1, Y_2) + Var (Y_2)\))
- \(Z\) est un variable aléatoire réelle de loi normale (Vrai. La combinaison linéaire d’un vecteur gaussien est une variable loi normale.)
- \(Z\) a pour espérance 2. (Faux. \(E(2 Y_1+ Y_2) = 2 E(Y_1) + E(Y_2)\) par linéarité de l’espérance.)
A: \(Z\) a pour espérance 0.; La variance de \(Z\) vaut \(5\); \(Z\) est un variable aléatoire réelle de loi normale
Feedback: 1. Vrai. \(E(2 Y_1+ Y_2) = 2 E(Y_1) + E(Y_2)\) par linéarité de l’espérance. 2. Vrai. \(Var(2 Y_1+ Y_2) = Var(2 Y_1) + Cov(2 Y_1, Y_2) + Var (Y_2)\) 3. Faux. \(E(2 Y_1+ Y_2) = 2 E(Y_1) + E(Y_2)\) par linéarité de l’espérance et \(Var(2 Y_1+ Y_2) = Var(2 Y_1) + Cov(2 Y_1, Y_2) + Var (Y_2)\). 4. Faux. \(Var(2 Y_1+ Y_2) = Var(2 Y_1) + Cov(2 Y_1, Y_2) + Var (Y_2)\) 5. Vrai. La combinaison linéaire d’un vecteur gaussien est une variable loi normale. 6. Faux. \(E(2 Y_1+ Y_2) = 2 E(Y_1) + E(Y_2)\) par linéarité de l’espérance.

Q: Le vecteur \(Y=(Y_1, Y_2)^T\) est un vecteur aléatoire dont chaque composante suit une loi normale. l’espérance de ce vecteur \(\mu\) et la matrice de covariance \(\Sigma\) sont données par

\[\mu = \begin{pmatrix} 1 \cr 1 \end{pmatrix}, \quad \Sigma=\begin{pmatrix} 1 & -2 \cr -2 & 4 \end{pmatrix}.\]

Déterminer l’espérance et la variance de \(Z=2 Y_1 + Y_2\) et indiquer les réponses correctes dans la liste ci-dessous.
- La variance de \(Z\) vaut \(5\) (Faux. \(Var(2 Y_1+ Y_2) = Var(2 Y_1) + Cov(2 Y_1, Y_2) + Var (Y_2)\))
- le vecteur \(Y\) n’est pas un vecteur gaussien. (Vrai. Nous venons de trouver une combinaison linéaire qui ne suit pas une loi normale, donc le vecteur n’est pas un vecteur gaussien. Ceci vient du fait que la matrice de covariance n’est pas inversible.)
- \(Z\) a pour espérance 3. (Vrai. \(E(2 Y_1+ Y_2) = 2 E(Y_1) + E(Y_2)\) par linéarité de l’espérance.)
- \(Z\) est constamment égale à 3. (Vrai. \(Z\) est une variable aléatoire dont espérance vaut \(E(2 Y_1+ Y_2) = 2 E(Y_1) + E(Y_2) =3\) par linéarité de l’espérance et la variance \(Var(2 Y_1+ Y_2) = Var(2 Y_1) + Cov(2 Y_1, Y_2) + Var (Y_2)=0.\) Une variable aléatoire de variance nulle est constamment égale à sa moyenne.)
- La variance de \(Z\) vaut \(0\) (Vrai. \(Var(2 Y_1+ Y_2) = Var(2 Y_1) + Cov(2 Y_1, Y_2) + Var (Y_2)\))
- On ne peut pas déterminer la variance de \(Z\) (Faux. \(E(2 Y_1+ Y_2) = 2 E(Y_1) + E(Y_2)\) par linéarité de l’espérance et \(Var(2 Y_1+ Y_2) = Var(2 Y_1) + Cov(2 Y_1, Y_2) + Var (Y_2)\).)
- \(Z\) a pour espérance 0. (Faux. \(E(2 Y_1+ Y_2) = 2 E(Y_1) + E(Y_2)\) par linéarité de l’espérance.)
A: \(Z\) a pour espérance 3.; \(Z\) est constamment égale à 3.; La variance de \(Z\) vaut \(0\); \(Z\) a pour espérance 0.
Feedback: 1. Faux. \(Var(2 Y_1+ Y_2) = Var(2 Y_1) + Cov(2 Y_1, Y_2) + Var (Y_2)\) 2. Vrai. Nous venons de trouver une combinaison linéaire qui ne suit pas une loi normale, donc le vecteur n’est pas un vecteur gaussien. Ceci vient du fait que la matrice de covariance n’est pas inversible. 3. Vrai. \(E(2 Y_1+ Y_2) = 2 E(Y_1) + E(Y_2)\) par linéarité de l’espérance. 4. Vrai. \(Z\) est une variable aléatoire dont espérance vaut \(E(2 Y_1+ Y_2) = 2 E(Y_1) + E(Y_2) =3\) par linéarité de l’espérance et la variance \(Var(2 Y_1+ Y_2) = Var(2 Y_1) + Cov(2 Y_1, Y_2) + Var (Y_2)=0.\) Une variable aléatoire de variance nulle est constamment égale à sa moyenne. 5. Vrai. \(Var(2 Y_1+ Y_2) = Var(2 Y_1) + Cov(2 Y_1, Y_2) + Var (Y_2)\) 6. Faux. \(E(2 Y_1+ Y_2) = 2 E(Y_1) + E(Y_2)\) par linéarité de l’espérance et \(Var(2 Y_1+ Y_2) = Var(2 Y_1) + Cov(2 Y_1, Y_2) + Var (Y_2)\). 7. Faux. \(E(2 Y_1+ Y_2) = 2 E(Y_1) + E(Y_2)\) par linéarité de l’espérance.

Q: Le vecteur \(Y=(Y_1, Y_2)^T\) est un vecteur aléatoire de loi normale dont l’espérance \(\mu\) et la matrice de covariance \(\Sigma\) sont données par \[\mu = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \Sigma=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}.\]

Indiquer quelles sont les formes correctes pour la fonction de vraisemblance.
- \(f(y_1,y_2) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} \exp{\left\lbrace -\frac{1}{2} \frac{1}{4} \begin{pmatrix} y_1-1& y_2-2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1-1\cr y_2-2\end{pmatrix} \right \rbrace}.\) (Faux. Dans la formule indiquée il manque le déterminant de la matrice de covariance et le terme \(\sqrt{2\pi}\) n’est pas à la bonne puissance. la formule générale d’une fonctiond e densité pour un vecteur gaussein est donné par \[f(y_1,y_2, \ldots,y_n)= \frac{1}{ |\Sigma|^{1/2} \sqrt{2 \pi}^{n}} \exp{\left\lbrace -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} y_1-\mu_1 \cr y_2-\mu_2 \cr \vdots \cr y_n-\mu_n \end{pmatrix}^T \Sigma^{-1} \begin{pmatrix} y_1-\mu_1 \cr y_2-\mu_2 \cr \vdots \cr y_n-\mu_n \end{pmatrix}\right \rbrace}.\])
- \(f(y_1,y_2) = \frac{1}{4 \pi} \exp{\left\lbrace -\frac{5(y_1-1)^2 + 2(y_1-1)(y_2-2) +(y_2-2)^2}{8} \right \rbrace}.\) (Vrai. Cette formule est le résultat du calcul explicite de la formule générale d’une fonction de densité gaussienne donnée par \[f(y_1,y_2, \ldots,y_n)= \frac{1}{ |\Sigma|^{1/2} \sqrt{2 \pi}^{n}} \exp{\left\lbrace -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} y_1-\mu_1 \cr y_2-\mu_2 \cr \vdots \cr y_n-\mu_n \end{pmatrix}^T \Sigma^{-1} \begin{pmatrix} y_1-\mu_1 \cr y_2-\mu_2 \cr \vdots \cr y_n-\mu_n \end{pmatrix}\right \rbrace}.\] Or ici le déterminant de \(\Sigma\) ici vaut \(|\Sigma| = 1*5 - (-1)*(-1)=4\), et l’inverse \(\Sigma^{-1}= \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 5 & 1 \cr 1 & 1 \end{pmatrix}\). Le résultat dérive du calcul de l’expression matricielle.)
- \(f(y_1,y_2) = \frac{1}{\sqrt{4} \sqrt{2 \pi}^{2}} \exp{\left\lbrace -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} y_1-1& y_2-2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \cr -1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1-1\cr y_2-2\end{pmatrix} \right \rbrace}.\) (Faux. Attention dans la forumle générale de la densité \[f(y_1,y_2, \ldots,y_n)= \frac{1}{ |\Sigma|^{1/2} \sqrt{2 \pi}^{n}} \exp{\left\lbrace -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} y_1-\mu_1 \cr y_2-\mu_2 \cr \vdots \cr y_n-\mu_n \end{pmatrix}^T \Sigma^{-1} \begin{pmatrix} y_1-\mu_1 \cr y_2-\mu_2 \cr \vdots \cr y_n-\mu_n \end{pmatrix}\right \rbrace},\] c’est l’inverse de la matrice de la covariance qui intervient.)
- \(f(y_1,y_2) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} \exp{\left\lbrace -\frac{1}{2} \frac{1}{4} \begin{pmatrix} y_1-1& y_2-2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 1 \cr 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1-1\cr y_2-2\end{pmatrix} \right \rbrace}.\) (Faux. Attention de ne pas oublier le déterminant de la matrice de covariance \(|\Sigma|\) dans l’expression générale de la densité d’une variable aléatoire gaussienne \[f(y_1,y_2, \ldots,y_n)= \frac{1}{ |\Sigma|^{1/2} \sqrt{2 \pi}^{n}} \exp{\left\lbrace -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} y_1-\mu_1 \cr y_2-\mu_2 \cr \vdots \cr y_n-\mu_n \end{pmatrix}^T \Sigma^{-1} \begin{pmatrix} y_1-\mu_1 \cr y_2-\mu_2 \cr \vdots \cr y_n-\mu_n \end{pmatrix}\right \rbrace}.\])
- \(f(y_1,y_2) = \frac{1}{\sqrt{4} \sqrt{2 \pi}^{2}} \exp{\left\lbrace -\frac{1}{2} \frac{1}{4} \begin{pmatrix} y_1-1& y_2-2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 1 \cr 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1-1\cr y_2-2\end{pmatrix} \right \rbrace}.\) (Vrai. La densité d’une variable aléatoire multivariée est donnée par \[f(y_1,y_2, \ldots,y_n)= \frac{1}{ |\Sigma|^{1/2} \sqrt{2 \pi}^{n}} \exp{\left\lbrace -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} y_1-\mu_1 \cr y_2-\mu_2 \cr \vdots \cr y_n-\mu_n \end{pmatrix}^T \Sigma^{-1} \begin{pmatrix} y_1-\mu_1 \cr y_2-\mu_2 \cr \vdots \cr y_n-\mu_n \end{pmatrix}\right \rbrace}.\] Or ici le déterminant de \(\Sigma\) ici vaut \(|\Sigma| = 1*5 - (-1)*(-1)=4\), et l’inverse \(\Sigma^{-1}= \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 5 & 1 \cr 1 & 1 \end{pmatrix}\).)
A: \(f(y_1,y_2) = \frac{1}{4 \pi} \exp{\left\lbrace -\frac{5(y_1-1)^2 + 2(y_1-1)(y_2-2) +(y_2-2)^2}{8} \right \rbrace}.\); \(f(y_1,y_2) = \frac{1}{\sqrt{4} \sqrt{2 \pi}^{2}} \exp{\left\lbrace -\frac{1}{2} \frac{1}{4} \begin{pmatrix} y_1-1& y_2-2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 1 \cr 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1-1\cr y_2-2\end{pmatrix} \right \rbrace}.\)
Feedback: 1. Faux. Dans la formule indiquée il manque le déterminant de la matrice de covariance et le terme \(\sqrt{2\pi}\) n’est pas à la bonne puissance. la formule générale d’une fonctiond e densité pour un vecteur gaussein est donné par \[f(y_1,y_2, \ldots,y_n)= \frac{1}{ |\Sigma|^{1/2} \sqrt{2 \pi}^{n}} \exp{\left\lbrace -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} y_1-\mu_1 \cr y_2-\mu_2 \cr \vdots \cr y_n-\mu_n \end{pmatrix}^T \Sigma^{-1} \begin{pmatrix} y_1-\mu_1 \cr y_2-\mu_2 \cr \vdots \cr y_n-\mu_n \end{pmatrix}\right \rbrace}.\] 2. Vrai. Cette formule est le résultat du calcul explicite de la formule générale d’une fonction de densité gaussienne donnée par \[f(y_1,y_2, \ldots,y_n)= \frac{1}{ |\Sigma|^{1/2} \sqrt{2 \pi}^{n}} \exp{\left\lbrace -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} y_1-\mu_1 \cr y_2-\mu_2 \cr \vdots \cr y_n-\mu_n \end{pmatrix}^T \Sigma^{-1} \begin{pmatrix} y_1-\mu_1 \cr y_2-\mu_2 \cr \vdots \cr y_n-\mu_n \end{pmatrix}\right \rbrace}.\] Or ici le déterminant de \(\Sigma\) ici vaut \(|\Sigma| = 1*5 - (-1)*(-1)=4\), et l’inverse \(\Sigma^{-1}= \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 5 & 1 \cr 1 & 1 \end{pmatrix}\). Le résultat dérive du calcul de l’expression matricielle. 3. Faux. Attention dans la forumle générale de la densité \[f(y_1,y_2, \ldots,y_n)= \frac{1}{ |\Sigma|^{1/2} \sqrt{2 \pi}^{n}} \exp{\left\lbrace -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} y_1-\mu_1 \cr y_2-\mu_2 \cr \vdots \cr y_n-\mu_n \end{pmatrix}^T \Sigma^{-1} \begin{pmatrix} y_1-\mu_1 \cr y_2-\mu_2 \cr \vdots \cr y_n-\mu_n \end{pmatrix}\right \rbrace},\] c’est l’inverse de la matrice de la covariance qui intervient. 4. Faux. Attention de ne pas oublier le déterminant de la matrice de covariance \(|\Sigma|\) dans l’expression générale de la densité d’une variable aléatoire gaussienne \[f(y_1,y_2, \ldots,y_n)= \frac{1}{ |\Sigma|^{1/2} \sqrt{2 \pi}^{n}} \exp{\left\lbrace -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} y_1-\mu_1 \cr y_2-\mu_2 \cr \vdots \cr y_n-\mu_n \end{pmatrix}^T \Sigma^{-1} \begin{pmatrix} y_1-\mu_1 \cr y_2-\mu_2 \cr \vdots \cr y_n-\mu_n \end{pmatrix}\right \rbrace}.\] 5. Vrai. La densité d’une variable aléatoire multivariée est donnée par \[f(y_1,y_2, \ldots,y_n)= \frac{1}{ |\Sigma|^{1/2} \sqrt{2 \pi}^{n}} \exp{\left\lbrace -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} y_1-\mu_1 \cr y_2-\mu_2 \cr \vdots \cr y_n-\mu_n \end{pmatrix}^T \Sigma^{-1} \begin{pmatrix} y_1-\mu_1 \cr y_2-\mu_2 \cr \vdots \cr y_n-\mu_n \end{pmatrix}\right \rbrace}.\] Or ici le déterminant de \(\Sigma\) ici vaut \(|\Sigma| = 1*5 - (-1)*(-1)=4\), et l’inverse \(\Sigma^{-1}= \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 5 & 1 \cr 1 & 1 \end{pmatrix}\).

Q: Le vecteur \(Y=(Y_1, Y_2)^T\) est un vecteur aléatoire de loi normale dont l’espérance \(\mu\) et la matrice de covariance \(\Sigma\) sont données par \[\mu = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \Sigma=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}.\]

Soit \(c\) le vecteur défini par \(c=\begin{pmatrix} 1 \cr 2\end{pmatrix}.\)

answerlist

- Donner l’espérance de la variable aléatoire \(c^T Y\) :
- Donner la variance de la variable aléatoire \(c^T Y\) :

1. [...]
2. [...]
A: 5; 17
Feedback: \(c^T Y = \begin{pmatrix} 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \cr y_2\end{pmatrix} = y_1 +2 y_2\). L’espérance est un opérateur linéaire donc \(E(c^T Y)= c^T E(Y) = \begin{pmatrix} 1 & 2\end{pmatrix} \mu = 1 +4 = 5.\) La variance de \(c^T Y\) est donnée par \(Var(c^T Y) = c^T var(Y) c.\) Ainsi dans le contexte de l’exercice \[Var(c^T Y) = \begin{pmatrix} 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \cr 2\end{pmatrix} ={17}\] answerlist - \(E(c^T Y)=5\) - \(Var(c^T Y) = 17\)

Q: Le vecteur \(Y=(Y_1, Y_2)^T\) est un vecteur aléatoire de loi normale dont l’espérance \(\mu\) et la matrice de covariance \(\Sigma\) sont données par \[\mu = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \Sigma=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}.\]

Soit \(c\) le vecteur défini par \(c=\begin{pmatrix} 1 \cr 1\end{pmatrix}.\)

answerlist

- Donner l’espérance de la variable aléatoire \(c^T Y\) :
- Donner la variance de la variable aléatoire \(c^T Y\) :

1. [...]
2. [...]
A: 1; 3
Feedback: \(c^T Y = \begin{pmatrix} 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \cr y_2\end{pmatrix} = y_1 + y_2\). L’espérance est un opérateur linéaire donc \(E(c^T Y)= c^T E(Y) = \begin{pmatrix} 1 & 1\end{pmatrix} \mu = -3+ 2 = -1.\) La variance de \(c^T Y\) est donnée par \(Var(c^T Y) = c^T var(Y) c.\) Ainsi dans le contexte de l’exercice \[Var(c^T Y) = \begin{pmatrix} 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \cr 1\end{pmatrix} = 1 +2 =3.\] La covariance entre \(Y_1\) et \(Y_2\) est nulle, ce qui signifie puisque \((Y_1, Y_2)\) est un vecteur gaussien que \(Y_1\) et \(Y_2\) sont indépendantes. on etrouve ainsi que la variance d’une somme de deux variables aléatoires indépendantes est la somme des variances. answerlist - \(E(c^T Y)=-1\) - \(Var(c^T Y) = 3\)

Q: Soit \(Y\) un vecteur aléatoire dont la densité est définie par \[f(y_1, y_2, y_3) = \frac{1}{8 {(2\pi)}^{3/2} } \exp{\left \lbrace -\frac{1}{2} \frac{1}{16} \begin{pmatrix} y_1 - 1 & y_2 +2 & y_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 20 & -4 & 0 \\ -4 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 - 1 \\ y_2 +2 \\ y_3 \end{pmatrix}\right\rbrace }.\]

Indiquer quelles sont les affirmations justes dans la liste de propositions suivantes.
- Le vecteur \(Y\) est un vecteur de \(\mathbb{R}^3.\) (Vrai. C’est un vecteur à 3 composantes et il est réel.)
- Le determinant de la matrice de covariance vaut \(64\). (Vrai. Par identification avec la forme générale de la densité d’un vecteur normal, on trouve que \(|\Sigma^{1/2}|= 8\) donc \(|\Sigma = 64|\).)
- L’espérance de \(Y\) vaut \(mu = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}.\) (Faux. Par identification avec la forme générale de la densité d’un vecteur normal, on trouve que \(Y-\mu = \begin{pmatrix} y_1 - 1 \\ y_2 +2 \\ y_3 \end{pmatrix}\) donc \(\mu \begin{pmatrix} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{pmatrix}\).)
- L’espérance de \(Y\) vaut \(mu = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}.\) (Faux. Par identification avec la forme générale de la densité d’un vecteur normal, on trouve que \(Y-\mu = \begin{pmatrix} y_1 - 1 \\ y_2 +2 \\ y_3 \end{pmatrix}\) donc \(\mu \begin{pmatrix} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{pmatrix}\).)
- La covariance de \(Y\) est \(\Sigma\) avec \(\Sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 20 & -4 & 0 \\ -4 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.\) (Faux. Par identification avec la forme générale de la densité d’un vecteur normal, on trouve que \(|\Sigma^{1/2}|= 8\) donc \(|\Sigma = 64|\).)
- La covariance de \(Y\) est \(\Sigma\) avec \(\Sigma^{-1} = \frac{1}{16}\begin{pmatrix} 20 & -4 & 0 \\ -4 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.\) (Vrai. Par identification avec la forme générale de la densité d’un vecteur normal : \(\Sigma^{-1} = \frac{1}{16}\begin{pmatrix} 20 & -4 & 0 \\ -4 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.\))
- L’espérance de \(Y\) vaut \(mu = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}.\) (Vrai. Par identification avec la forme générale de la densité d’un vecteur normal, on trouve que \(Y-\mu = \begin{pmatrix} y_1 - 1 \\ y_2 +2 \\ y_3 \end{pmatrix}\) donc \(\mu \begin{pmatrix} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{pmatrix}\).)
- La covariance de \(Y\) est \(\Sigma = \begin{pmatrix} 20 & -4 & 0 \\ -4 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.\) (Faux. Il s’agit de l’inverse de la covariance comme on le voit dans la forme générale de la densité d’un vecteur normal. La covariance de \(Y\) est \(\Sigma = \frac{1}{16} \begin{pmatrix} 20 & -4 & 0 \\ -4 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.\))
- On ne peut pas déterminer la matrice de covariance. (Faux. Espérance et covariance sont bien définies à partir de la densité.)
- Le determinant de la matrice de covariance vaut \(16\). (Faux. Par identification avec la forme générale de la densité d’un vecteur normal, on trouve que \(|\Sigma^{1/2}|= 8\) donc \(|\Sigma = 64|\).)
- Le determinant de la matrice de covariance vaut \(8\). (Faux. L’espérance est un vecteur à 3 composantes.)
- Le vecteur \(Y\) suit une loi normale. (Vrai. On reconnaît la formule de la densité d’une loi normale. \[f(y_1,y_2, \ldots,y_n)= \frac{1}{ |\Sigma|^{1/2} \sqrt{2 \pi}^{n}} \exp{\left\lbrace -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} y_1-\mu_1 \cr y_2-\mu_2 \cr \vdots \cr y_n-\mu_n \end{pmatrix}^T \Sigma^{-1} \begin{pmatrix} y_1-\mu_1 \cr y_2-\mu_2 \cr \vdots \cr y_n-\mu_n \end{pmatrix}\right \rbrace}.\])
A: Le vecteur \(Y\) est un vecteur de \(\mathbb{R}^3.\); Le determinant de la matrice de covariance vaut \(64\).; La covariance de \(Y\) est \(\Sigma\) avec \(\Sigma^{-1} = \frac{1}{16}\begin{pmatrix} 20 & -4 & 0 \\ -4 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.\); L’espérance de \(Y\) vaut \(mu = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}.\); Le vecteur \(Y\) suit une loi normale.
Feedback: 1. Vrai. C’est un vecteur à 3 composantes et il est réel. 2. Vrai. Par identification avec la forme générale de la densité d’un vecteur normal, on trouve que \(|\Sigma^{1/2}|= 8\) donc \(|\Sigma = 64|\). 3. Faux. Par identification avec la forme générale de la densité d’un vecteur normal, on trouve que \(Y-\mu = \begin{pmatrix} y_1 - 1 \\ y_2 +2 \\ y_3 \end{pmatrix}\) donc \(\mu \begin{pmatrix} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{pmatrix}\). 4. Faux. Par identification avec la forme générale de la densité d’un vecteur normal, on trouve que \(Y-\mu = \begin{pmatrix} y_1 - 1 \\ y_2 +2 \\ y_3 \end{pmatrix}\) donc \(\mu \begin{pmatrix} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{pmatrix}\). 5. Faux. Par identification avec la forme générale de la densité d’un vecteur normal, on trouve que \(|\Sigma^{1/2}|= 8\) donc \(|\Sigma = 64|\). 6. Vrai. Par identification avec la forme générale de la densité d’un vecteur normal : \(\Sigma^{-1} = \frac{1}{16}\begin{pmatrix} 20 & -4 & 0 \\ -4 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.\) 7. Vrai. Par identification avec la forme générale de la densité d’un vecteur normal, on trouve que \(Y-\mu = \begin{pmatrix} y_1 - 1 \\ y_2 +2 \\ y_3 \end{pmatrix}\) donc \(\mu \begin{pmatrix} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{pmatrix}\). 8. Faux. Il s’agit de l’inverse de la covariance comme on le voit dans la forme générale de la densité d’un vecteur normal. La covariance de \(Y\) est \(\Sigma = \frac{1}{16} \begin{pmatrix} 20 & -4 & 0 \\ -4 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.\) 9. Faux. Espérance et covariance sont bien définies à partir de la densité. 10. Faux. Par identification avec la forme générale de la densité d’un vecteur normal, on trouve que \(|\Sigma^{1/2}|= 8\) donc \(|\Sigma = 64|\). 11. Faux. L’espérance est un vecteur à 3 composantes. 12. Vrai. On reconnaît la formule de la densité d’une loi normale. \[f(y_1,y_2, \ldots,y_n)= \frac{1}{ |\Sigma|^{1/2} \sqrt{2 \pi}^{n}} \exp{\left\lbrace -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} y_1-\mu_1 \cr y_2-\mu_2 \cr \vdots \cr y_n-\mu_n \end{pmatrix}^T \Sigma^{-1} \begin{pmatrix} y_1-\mu_1 \cr y_2-\mu_2 \cr \vdots \cr y_n-\mu_n \end{pmatrix}\right \rbrace}.\]

Q: Le graphique ci-dessous présente 10^4 tirages dans une loi de probabilité.

Error in eval(expr, envir, enclos): object 'p' not found

Quelles sont les affirmations correctes parmi les suivantes :
- Le vecteur \(Y\) dont la loi est représentée ici peut s’écrire \(\mu=\begin{pmatrix} Y_1 \\ Y_2 \end{pmatrix}\) avec \(Y_1\) et \(Y_2\) deux variables aléatoires de loi normale corrélées. (Vrai. La forme de la densité indique qu’il existe une correlation entre les deux composantes du vecteur.)
- Le vecteur \(Y\) dont la loi est représentée ici peut s’écrire \(\mu=\begin{pmatrix} Y_1 \\ Y_2 \end{pmatrix}\) avec \(Y_1\) et \(Y_2\) deux variables aléatoires de loi normale de même variance. (Faux. La variabilité semble bien plus grande sur le premier axe.)
- L’espérance de cette loi de probabilité est \(\mu=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\). (Vrai. La densité est centrée autour de ce point.)
- Le vecteur \(Y\) dont la loi est représentée ici peut s’écrire \(\mu=\begin{pmatrix} Y_1 \\ Y_2 \end{pmatrix}\) avec \(Y_1\) et \(Y_2\) deux variables aléatoires de loi normale indépendante. (Faux. La forme de la densité indique qu’il existe une correlation entre les deux composantes du vecteur.)
- Il s’agit de la loi de probabilité d’un vecteur gaussien. (Vrai. La forme de la densité correspond à la densité d’un vecteur gaussien.)
- Il s’agit de la loi de probabilité d’un vecteur dans \(\mathbb{R}^2.\) (Vrai. On a représenté la densité d’un coupe de variables aléatoires.)
A: Le vecteur \(Y\) dont la loi est représentée ici peut s’écrire \(\mu=\begin{pmatrix} Y_1 \\ Y_2 \end{pmatrix}\) avec \(Y_1\) et \(Y_2\) deux variables aléatoires de loi normale corrélées.; L’espérance de cette loi de probabilité est \(\mu=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\).; Il s’agit de la loi de probabilité d’un vecteur gaussien.; Il s’agit de la loi de probabilité d’un vecteur dans \(\mathbb{R}^2.\)
Feedback: 1. Vrai. La forme de la densité indique qu’il existe une correlation entre les deux composantes du vecteur. 2. Faux. La variabilité semble bien plus grande sur le premier axe. 3. Vrai. La densité est centrée autour de ce point. 4. Faux. La forme de la densité indique qu’il existe une correlation entre les deux composantes du vecteur. 5. Vrai. La forme de la densité correspond à la densité d’un vecteur gaussien. 6. Vrai. On a représenté la densité d’un coupe de variables aléatoires.