Title: Changement de variable
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{1}^{2} \, \frac{1}{e^{x} + e^{-x}} \, dx\) en posant \(u = e^{x}\).
- \(I =\mbox{Arctan}\,\left(e^{2} \right) - \mbox{Arctan}\,(e)\).
- \(I =\mbox{Arctan}\,(2) - \mbox{Arctan}\,(1).\)
- \(I = e^{2} - e\).
A: \(I =\mbox{Arctan}\,\left(e^{2} \right) - \mbox{Arctan}\,(e)\).
Feedback: On effectue un changement de variable : \(u = e^{x} \Leftrightarrow x = \ln u\), \(dx = \frac{1}{u} \,du\). Pour \(x=1\), \(u = e\), pour \(x=2\), \(u = e^{2}\). \[ \begin{eqnarray*} I & = & \int_{e}^{e^{2}} \, \frac{1}{u + \frac{1}{u}} \, \frac{1}{u} \,du\\ & = &\int_{e}^{e^{2}} \, \frac{1}{1 + u^{2}} \,du \\ &= & \left[ \mbox{Arctan}\, u \right]_{e} ^{e^{2}} \\ & = & \mbox{Arctan}\,\left(e^{2} \right) - \mbox{Arctan}\,(e). \end{eqnarray*} \]

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{\sqrt{2}}^{2} \, frac{1}{t\sqrt{t^{2} - 1}} \, dt\) en posant \(u = \frac{1}{t}\) sous la forme \(\frac{a}{b} \, \pi\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels, la fraction \(\frac{a}{b}\) étant irréductible.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 1; 12
Feedback: On effectue un changement de variable : \(u = \frac{1}{t} \quad \Leftarrow t = \frac{1}{u}\), et \(dt = -\frac{1}{u^{2}}\,du\). Si \(t =\sqrt{2}\) alors \(u=\frac{1}{\sqrt{2}}\). Si \(t =2\) alors \(u=\frac{1}{2}\). \[ \begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{2}} \, \frac{u }{\sqrt{\left(\frac{1}{u} \right)^{2} -1} }\, \left(-\frac{1}{u^{2}} \right )\,du} \\ & = &{ \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{2}} \, \frac{u }{\sqrt{\frac{1-u^{2}}{u^{2}} }}\, \left(-\frac{1}{u^{2}} \right )\,du} \\ & = &{ \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \, \frac{1 }{\sqrt{1-u^{2}}}\,du} \\ & = &{\left[ \mbox{Arcsin}\, u \right]^{\frac{1}{\sqrt{2}}} _{\frac{1}{2}} }\\ & = & \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} \right)\\ &=& \frac{\pi}{12}. \end{eqnarray*} \] 1. \(a=1\) 2. \(b=12\)

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{1}^{2} \, \frac{2e^{x}}{e^{x} + e^{-x}} \, dx\) en posant \(u = e^{x}\).
- \(I =\mbox{Arctan}\,\left(e^{2} \right) - \mbox{Arctan}\,(e)\).
- \(I =\ln \left ( 1 + e^{4} \right) - \ln \left ( 1 + e^{2} \right)\).
- \(I = e^{2} - e\).
A: \(I =\ln \left ( 1 + e^{4} \right) - \ln \left ( 1 + e^{2} \right)\).
Feedback: On effectue un changement de variable : \(u = e^{x} \quad \Leftrightarrow \quad x = \ln u\) et \(dx = \frac{1}{u} \,du\). Si \(x=1\) alors \(u = e\). Si \(x=2\) alors \(u = e^{2}\). \[ \begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{e}^{e^{2}} \, \frac{2u}{u + \frac{1}{u}} \, \frac{1}{u} \,du} \\ & = &{ \int_{e}^{e^{2}} \, \frac{2u}{1 + u^{2}} \,du} \\ &= & \left[ \ln( \left (1+ u^{2} \right ) \right]_{e} ^{e^{2}} \\ & = & \ln \left ( 1 + e^{4} \right) - \ln \left ( 1 + e^{2} \right) . \end{eqnarray*} \]

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{1}^{4} \, \frac{1}{\sqrt{t} \left (1+ \sqrt{t} \right )} \, dt\) en posant \(u = 1 +\sqrt{t}\) sous la forme \(\ln \left( \frac{a}{b} \right)\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels, la fraction \(\frac{a}{b}\) étant irréductible.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 9; 4
Feedback: On effectue un changement de variable : $u = 1 + t = (u - 1)^{2} $ et \(dt = 2(u-1) \,du\). Si \(t=1\) alors \(u = 2\). Si \(t=4\) alors \(u = 3\). \[ \begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{2}^ {3} \, \frac{1}{(u-1)u } \, 2(u-1) \,du} \\ & = &{ \int_{2}^{ 3} \,\frac{2}{u} \,du} \\ &= & {2\left[ \ln u \right]_{2} ^{ 3}} \\ & = & 2(\ln3- \ln 2) \\ & = & \ln \left ( \frac{9}{4} \right ). \end{eqnarray*} \] 1. \(a=9\) 2. \(b=4\)

Q: Calculer l’intégrale suivante : \({I = \int_{1}^{3} \, \frac{1}{\sqrt{e^{x} - 1}} \, dx}\) en posant \(u = \sqrt{e^{x} -1}\).
- \(2 \left(\mbox{Arctan}\,\left( \sqrt{e^{3}-1} \right) - \mbox{Arctan}\,(\sqrt{e-1})\right)\).
- \(2 \left (\mbox{Arctan}\,\left( e^{3}-1 \right) - \mbox{Arctan}\,(e-1) \right).\)
- \(e^{\sqrt{3}} - e\).
A: \(2 \left(\mbox{Arctan}\,\left( \sqrt{e^{3}-1} \right) - \mbox{Arctan}\,(\sqrt{e-1})\right)\).
Feedback: On effectue un changement de variable : $ u = x = ( u^{2} + 1 )$ et \(dx = \frac{2u}{1 + u^{2}} \,du\). Si \(x=1\) alors \(u = \sqrt{e-1}\). Si \(x=3\) alors \(u = \sqrt{e^{3}-1}\). \[ \begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{\sqrt{e-1}}^ {\sqrt{e^{3}-1}} \, \frac{1}{u } \, \frac{2u}{1 + u^{2}} \,du} \\ & = &{ \int_{\sqrt{e-1}}^{ \sqrt{e^{3}-1}} \, \frac{2}{1 + u^{2}} \,du} \\ &= & 2\left[ \mbox{Arctan}\, u \right]_{\sqrt{e-1}} ^{ \sqrt{e^{3}-1}} \\ & = & 2 \left (\mbox{Arctan}\,\left( \sqrt{e^{3}-1} \right) - \mbox{Arctan}\,(\sqrt{e-1})\right). \end{eqnarray*} \]

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \, \frac{1}{\sqrt{t}\sqrt{1-t}} \, dt\) en posant \(t = \sin^{2}u\), sous la forme \(\frac{a}{b} \,\pi\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels, la fraction \(\frac{a}{b}\) étant irréductible.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 1; 6
Feedback: On effectue un changement de variable : $t = ^{2} u u = , $ et \(dt = 2\cos u \sin u \,du\). Si \(t=\frac{1}{4}\) alors \(u = \mbox{Arcsin} \, \frac{1}{2}\). Si \(t=\frac{1}{2}\) alors \(u = \mbox{Arcsin} \, \frac{1}{\sqrt{2}}\). \[ \begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{\frac{\pi}{6}}^ {\frac{\pi}{4}} \, \frac{1 }{\sqrt{\sin ^{2}u} \, \sqrt{ 1 - \sin^{2}u}} \, \, 2\cos u \sin u \,du} \\ & = &{ \int_{\frac{\pi}{6}}^ {\frac{\pi}{4}} \, \frac{ 2\cos u \sin u }{ |\sin u| |\cos u|} \,du} \\ & = &{ \int_{\frac{\pi}{6}}^ {\frac{\pi}{4}} \, 2 \,du} \\ & = & 2\left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} \right)\\ &=& \frac{\pi}{6}. \end{eqnarray*} \] 1. \(a=1\) 2. \(b=6\)

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{0}^{1} \, \frac{t}{\sqrt{1+t}} \, dt\) en posant \(u = \sqrt{1+t}\), sous la forme \(\frac{a}{b}\left ( 2-\sqrt{c}\right)\) où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des entiers naturels, la fraction \(\frac{a}{b}\) étant irréductible.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
3. Entrer la valeur de l’entier naturel \(c\) dans la case suivante : [...]
A: 2; 3; 2
Feedback: On effectue un changement de variable : $ u = t = u^{2} - 1 $, \(dt = 2u \,du\). Si \(t=0\) alors \(u = \sqrt{1}\), si \(t=1\) alors \(u = \sqrt{2}\). \[ \begin{eqnarray*} I & = & \int_{\sqrt{1}}^ {\sqrt{2}} \, \frac{u^{2}-1}{u } \, 2u \,du \\ & = &2\int_{1}^{ \sqrt{2}} \, \left( u^{2} -1 \right ) \,du\\ &= & 2\left[ \frac{u^{3}}{3} - u \right]_{1} ^{ \sqrt{2}}\\ & = & 2\left ( \frac{2}{3} \sqrt{2} -\sqrt{2}- \left( \frac{1}{3} - 1 \right) \right ).\\ &=& \frac{2}{3} \left( 2 - \sqrt{2} \right) \end{eqnarray*} \] 1. \(a=2\) 2. \(b=3\) 3. \(c=2\)

Q: Soit \(n\) un entier naturel non nul ; calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{-\frac{1}{2}}^{1} \, t(2t+1)^{n} \, dt\) en posant \(u = 2t + 1\).
- \(I = \frac{-1}{4(n+1)(n+2)}\).
- \(I =\frac{n-1}{2(n+1)(n+2)}.\)
- \(I =\frac{-2}{2(n+2)(n+3)}\).
A: \(I = \frac{-1}{4(n+1)(n+2)}\).
Feedback: On effectue un changement de variable : \(u = 2t + 1 \quad \Leftrightarrow \quad t = \frac{u-1}{2}\) avec \(dt = \frac{1}{2} \,du\). Si \(t=-\frac{1}{2}\) alors \(u = 0\). Si \(t=0\) alors \(u = 1\). \[ \begin{eqnarray*} I & = & \int_{0}^{1} \, \frac{u-1}{2} \times u^{n} \,\frac{1}{2} \, du \\ & = &\frac{1}{4}\int_{0}^{1} \, \left ( u^{n+1} -u^{n} \right ) \,du \\ &= & \frac{1}{4}\left[ \frac{u^{n+2}}{n+2} - \frac{u^{n+1}}{n+1}\right]_{0} ^{1} \\ & = & \frac{-1}{4(n+1)(n+2)}. \end{eqnarray*} \]

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{0}^{4} \, \frac{1}{1+ \sqrt{t}} \, dt\) en posant \(u = 1 +\sqrt{t}\) sous la forme \(a - \ln b\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 4; 9
Feedback: On effectue un changement de variable : \(u = 1 + \sqrt{t} \quad \Leftrightarrow \quad t = (u - 1)^{2}\) et \(dt = 2(u-1) \,du\). Si \(t=0\) alors \(u = 1\). Si \(t=4\) alors \(u = 3\). \[ \begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{1}^ {3} \, \frac{1}{u } \, 2(u-1) \,du} \\ & = &{ 2\int_{1}^{ 3} \, \left( 1 -\frac{1}{u} \right ) \,du} \\ &= & {2\left[ u - \ln u \right]_{1} ^{ 3}} \\ & = & 2\left (3 - \ln3 -1 \right ).\\ &=& 2 \left( 2 - \ln 3 \right) \\ &=& 4 - \ln 9. \end{eqnarray*} \] 1. \(a=4\) 2. \(b=9\)

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{0}^{1} \, \sqrt{1-x^{2}} \, dx\) en posant \(x = \sin t\).
- \(I =\frac{\pi}{2}.\)
- \(I =\frac{3}{2}\).
- \(I =\frac{\pi}{4}\).
A: \(I =\frac{\pi}{4}\).
Feedback: \(x = \sin t \quad \Leftrightarrow \quad t = \mbox{Arcsin} \,x\) et \(dx = \cos t \,dt\). Si \(x = 0\) alors \(t = 0\). Si \(x=1\) alors \(t = \frac{\pi}{2}\). \[ \begin{eqnarray*} I & = & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \, \sqrt{1 -\sin^{2}(t)}\, \cos t \,dt \\ & = & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \, \cos^{2} t \,dt \\ & = &\frac{1}{2}\left[ t +\frac{ \sin 2t}{2} \right]^{\frac{\pi}{2}} _{0} \\ & = & \frac{\pi}{4}. \end{eqnarray*} \]

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{0}^{1} \, frac{1}{\left( 1 + t^{2} \right)^{2}} \, dt\) en posant \(t = \tan u\), sous la forme $frac{+ a}{b} $ où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 2; 8
Feedback: On effectue un changement de variable : \(t = \tan u \quad \Leftrightarrow \quad u = \mbox{Arctan} \, t\) et \(dt = \left(1 + \tan^{2}u \right)\,du\). Si \(t=0\) alors \(u = 0\). Si \(t=1\) alors \(u = frac{\pi}{4}\). \[ \begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{0}^ {\frac{\pi}{4}} \, frac{1}{ \left(1 + \tan^{2}u \right)^{2}} \, \left(1 + \tan^{2}u \right)\,du} \\ & = &{ \int_{0}^ {\frac{\pi}{4}} \, frac{1}{ \left(1 + \tan^{2}u \right)} \,du} \\ & = &{ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \, \cos^{2} u \,du} \\ & = &{frac{1}{2}\left[ u +frac{ \sin 2u}{2} \right]^{\frac{\pi}{4}} _{0} }\\ & = & frac{\pi+2}{8}. \end{eqnarray*} \] 1. \(a=2\) 2. \(b=8\)

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \, \cos^{3} x \sin^{2}x\, dx\) en posant \(u = \sin x\), sous la forme \(\frac{a}{b}\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels, la fraction \(\frac{a}{b}\) étant irréductible.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 2; 15
Feedback: On effectue un changement de variable : \(u = \sin x \quad \Leftrightarrow \quad x = \mbox{Arcsin} \,u\) et \(du = \cos x \,dx\) (astuce pour éviter des calculs). Si \(x = 0\) alors \(u = 0\). Si \(x = \frac{\pi}{2}\) alors \(u=1\). \[ \begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \, \left (1 -\sin^{2}(x) \right) \, \sin^{2} x\, \cos x \,dx} \\ & = &{ \int_{0}^{1} \, u^{2} \left ( 1 - u^{2} \right) \,du} \\ & = &{ \left[ \frac{u^{3}}{3} - \frac{u^{5}}{5} \right]^{1}_{0} }\\ & = & \frac{2}{15}. \end{eqnarray*} \] 1. \(a=2\) 2. \(b=15\)

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \, \frac{t}{1 +(1-2t) ^{2}} \, dt\) en posant \(u = 1 -2t\), sous la forme \(\frac{a}{b}\left ( 2-\sqrt{c}\right)\) où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des entiers naturels.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
3. Entrer la valeur de l’entier naturel \(c\) dans la case suivante : [...]
A: 8; 2; 2
Feedback: On effectue un changement de variable : $u = 1-2t t=1{1-u} $ et \(dt = -\frac{1}{2}\,du\). Si \(t=0\) alors \(u = 1\). Si \(t=\frac{1}{2}\) alors \(u = 0\). \[ \begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{1}^ {0} \, \frac{1}{2}\, \frac{1-u }{1 + u^{2}} \, \left(-\frac{1}{2} \right )\,du} \\ & = &{ \frac{1}{4} \,\int_{0}^ {1} \, \frac{1-u}{ 1 + u^{2}} \,du} \\ & = &{ \frac{1}{4} \,\int_{0}^ {1} \,\left ( \frac{1}{ 1 + u^{2}} - \frac{u}{ 1 + u^{2}} \right)\,du} \\ & = &{\frac{1}{4}\left[ \mbox{Arctan}\, u - \frac{1}{ 2} \ln \left( 1 + u^{2} \right) \right]^{1} _{0} }\\ & = & \frac{1}{8} \left( \frac{\pi}{2} - \ln 2 \right). \end{eqnarray*} \] 1. \(a=8\) 2. \(b=2\) 3. \(c=2\)

Q: Soit \(n\) un entier naturel, on pose : \(I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \, \sin^{n}t\, dt\) et \(J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \, \cos^{n}t\, dt\). À l’aide d’un changement de variable on peut établir que :
- \(I =J\).
- \(I= 2J.\)
- \(I=-J\).
A: \(I =J\).
Feedback: On effectue un changement de variable :\(t = \frac{\pi}{2} - u \quad \Leftrightarrow \quad u = \frac{\pi}{2} - t\) et \(dt = - du\). Si \(t = 0\) alors \(u = \frac{\pi}{2}\). Si \(t = \frac{\pi}{2}\) alors \(x=0\). \[ \begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \, \left (\sin \left( \frac{\pi}{2} - u \right) \right)^{n} \, (-du)} \\ & = &{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \, \cos^{n} u \,du} \\ & = & J. \end{eqnarray*} \]

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{1}^{2} \, \frac{1}{e^{x} + e^{-x}} \, dx\) en posant \(u = e^{x}\).
- \(I =\mbox{Arctan}\,\left(e^{2} \right) - \mbox{Arctan}\,(e)\).
- \(I =\mbox{Arctan}\,(2) - \mbox{Arctan}\,(1).\)
- \(I = e^{2} - e\).
A: \(I =\mbox{Arctan}\,\left(e^{2} \right) - \mbox{Arctan}\,(e)\).
Feedback: On effectue un changement de variable : \(u = e^{x} \Leftrightarrow x = \ln u\), \(dx = \frac{1}{u} \,du\). Pour \(x=1\), \(u = e\), pour \(x=2\), \(u = e^{2}\). \(\begin{eqnarray*} I & = & \int_{e}^{e^{2}} \, \frac{1}{u + \frac{1}{u}} \, \frac{1}{u} \,du\\ & = &\int_{e}^{e^{2}} \, \frac{1}{1 + u^{2}} \,du \\ &= & \left[ \mbox{Arctan}\, u \right]_{e} ^{e^{2}} \\ & = & \mbox{Arctan}\,\left(e^{2} \right) - \mbox{Arctan}\,(e). \end{eqnarray*}\)

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{0}^{1} \, \frac{t}{\sqrt{1+t}} \, dt\) en posant \(u = \sqrt{1+t}\), sous la forme \(\frac{a}{b}\left ( 2-\sqrt{c}\right)\) où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des entiers naturels, la fraction \(\frac{a}{b}\) étant irréductible.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
3. Entrer la valeur de l’entier naturel \(c\) dans la case suivante : [...]
A: 2; 3; 2
Feedback: On effectue un changement de variable : $ u = t = u^{2} - 1 $, \(dt = 2u \,du\). Si \(t=0\) alors \(u = \sqrt{1}\), si \(t=1\) alors \(u = \sqrt{2}\). \(\begin{eqnarray*} I & = & \int_{\sqrt{1}}^ {\sqrt{2}} \, \frac{u^{2}-1}{u } \, 2u \,du \\ & = &2\int_{1}^{ \sqrt{2}} \, \left( u^{2} -1 \right ) \,du\\ &= & 2\left[ \frac{u^{3}}{3} - u \right]_{1} ^{ \sqrt{2}}\\ & = & 2\left ( \frac{2}{3} \sqrt{2} -\sqrt{2}- \left( \frac{1}{3} - 1 \right) \right ).\\ &=& \frac{2}{3} \left( 2 - \sqrt{2} \right) \end{eqnarray*}\) 1. \(a=2\) 2. \(b=3\) 3. \(c=2\)

Q: Soit \(n\) un entier naturel non nul ; calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{-\frac{1}{2}}^{1} \, t(2t+1)^{n} \, dt\) en posant \(u = 2t + 1\).
- \(I = \frac{-1}{4(n+1)(n+2)}\).
- \(I =\frac{n-1}{2(n+1)(n+2)}.\)
- \(I =\frac{-2}{2(n+2)(n+3)}\).
A: \(I = \frac{-1}{4(n+1)(n+2)}\).
Feedback: On effectue un changement de variable : \(u = 2t + 1 \quad \Leftrightarrow \quad t = \frac{u-1}{2}\) avec \(dt = \frac{1}{2} \,du\). Si \(t=-\frac{1}{2}\) alors \(u = 0\). Si \(t=0\) alors \(u = 1\). \(\begin{eqnarray*} I & = & \int_{0}^{1} \, \frac{u-1}{2} \times u^{n} \,\frac{1}{2} \, du \\ & = &\frac{1}{4}\int_{0}^{1} \, \left ( u^{n+1} -u^{n} \right ) \,du \\ &= & \frac{1}{4}\left[ \frac{u^{n+2}}{n+2} - \frac{u^{n+1}}{n+1}\right]_{0} ^{1} \\ & = & \frac{-1}{4(n+1)(n+2)}. \end{eqnarray*}\)

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{0}^{4} \, \frac{1}{1+ \sqrt{t}} \, dt\) en posant \(u = 1 +\sqrt{t}\) sous la forme \(a - \ln b\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 4; 9
Feedback: On effectue un changement de variable : \(u = 1 + \sqrt{t} \quad \Leftrightarrow \quad t = (u - 1)^{2}\) et \(dt = 2(u-1) \,du\). Si \(t=0\) alors \(u = 1\). Si \(t=4\) alors \(u = 3\). \(\begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{1}^ {3} \, \frac{1}{u } \, 2(u-1) \,du} \\ & = &{ 2\int_{1}^{ 3} \, \left( 1 -\frac{1}{u} \right ) \,du} \\ &= & {2\left[ u - \ln u \right]_{1} ^{ 3}} \\ & = & 2\left (3 - \ln3 -1 \right ).\\ &=& 2 \left( 2 - \ln 3 \right) \\ &=& 4 - \ln 9. \end{eqnarray*}\) 1. \(a=4\) 2. \(b=9\)

Q: Soit \(n\) un entier naturel non nul ; calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{-\frac{1}{2}}^{1} \, t(2t+1)^{n} \, dt\) en posant \(u = 2t + 1\).
- \(I =\frac{\pi}{2}.\)
- \(I =\frac{3}{2}\).
- \(I =\frac{\pi}{4}\).
A: \(I =\frac{\pi}{4}\).
Feedback: \(x = \sin t \quad \Leftrightarrow \quad t = \mbox{Arcsin} \,x\) et \(dx = \cos t \,dt\). Si \(x = 0\) alors \(t = 0\). Si \(x=1\) alors \(t = \frac{\pi}{2}\). \(\begin{eqnarray*} I & = &\D{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \, \sqrt{1 -\sin^{2}(t)}\, \cos t \,dt} \\ & = & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \, \cos^{2} t \,dt \\ & = &\frac{1}{2}\left[ t +\frac{ \sin 2t}{2} \right]^{\frac{\pi}{2}} _{0} \\ & = & \frac{\pi}{4}. \end{eqnarray*}\)

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{0}^{1} \, frac{1}{\left( 1 + t^{2} \right)^{2}} \, dt\) en posant \(t = \tan u\), sous la forme $frac{+ a}{b} $ où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 2; 8
Feedback: On effectue un changement de variable : \(t = \tan u \quad \Leftrightarrow \quad u = \mbox{Arctan} \, t\) et \(dt = \left(1 + \tan^{2}u \right)\,du\). Si \(t=0\) alors \(u = 0\). Si \(t=1\) alors \(u = frac{\pi}{4}\). \(\begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{0}^ {\frac{\pi}{4}} \, frac{1}{ \left(1 + \tan^{2}u \right)^{2}} \, \left(1 + \tan^{2}u \right)\,du} \\ & = &{ \int_{0}^ {\frac{\pi}{4}} \, frac{1}{ \left(1 + \tan^{2}u \right)} \,du} \\ & = &{ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \, \cos^{2} u \,du} \\ & = &{frac{1}{2}\left[ u +frac{ \sin 2u}{2} \right]^{\frac{\pi}{4}} _{0} }\\ & = & frac{\pi+2}{8}. \end{eqnarray*}\) 1. \(a=2\) 2. \(b=8\)

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \, \cos^{3} x \sin^{2}x\, dx\) en posant \(u = \sin x\), sous la forme \(\frac{a}{b}\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels, la fraction \(\frac{a}{b}\) étant irréductible.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 2; 15
Feedback: On effectue un changement de variable : \(u = \sin x \quad \Leftrightarrow \quad x = \mbox{Arcsin} \,u\) et \(du = \cos x \,dx\) (astuce pour éviter des calculs). Si \(x = 0\) alors \(u = 0\). Si \(x = \frac{\pi}{2}\) alors \(u=1\). \(\begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \, \left (1 -\sin^{2}(x) \right) \, \sin^{2} x\, \cos x \,dx} \\ & = &{ \int_{0}^{1} \, u^{2} \left ( 1 - u^{2} \right) \,du} \\ & = &{ \left[ \frac{u^{3}}{3} - \frac{u^{5}}{5} \right]^{1}_{0} }\\ & = & \frac{2}{15}. \end{eqnarray*}\) 1. \(a=2\) 2. \(b=15\)

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \, \frac{t}{1 +(1-2t) ^{2}} \, dt\) en posant \(u = 1 -2t\), sous la forme \(\frac{a}{b}\left ( 2-\sqrt{c}\right)\) où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des entiers naturels.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
3. Entrer la valeur de l’entier naturel \(c\) dans la case suivante : [...]
A: 8; 2; 2
Feedback: On effectue un changement de variable : $u = 1-2t t=1{1-u} $ et \(dt = -\frac{1}{2}\,du\). Si \(t=0\) alors \(u = 1\). Si \(t=\frac{1}{2}\) alors \(u = 0\). \(\begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{1}^ {0} \, \frac{1}{2}\, \frac{1-u }{1 + u^{2}} \, \left(-\frac{1}{2} \right )\,du} \\ & = &{ \frac{1}{4} \,\int_{0}^ {1} \, \frac{1-u}{ 1 + u^{2}} \,du} \\ & = &{ \frac{1}{4} \,\int_{0}^ {1} \,\left ( \frac{1}{ 1 + u^{2}} - \frac{u}{ 1 + u^{2}} \right)\,du} \\ & = &{\frac{1}{4}\left[ \mbox{Arctan}\, u - \frac{1}{ 2} \ln \left( 1 + u^{2} \right) \right]^{1} _{0} }\\ & = & \frac{1}{8} \left( \frac{\pi}{2} - \ln 2 \right). \end{eqnarray*}\) 1. \(a=8\) 2. \(b=2\) 3. \(c=2\)

Q: Soit \(n\) un entier naturel, on pose : \(I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \, \sin^{n}t\, dt\) et \(J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \, \cos^{n}t\, dt\). À l’aide d’un changement de variable on peut établir que :
- \(I =J\).
- \(I= 2J.\)
- \(I=-J\).
A: \(I =J\).
Feedback: On effectue un changement de variable :\(t = \frac{\pi}{2} - u \quad \Leftrightarrow \quad u = \frac{\pi}{2} - t\) et \(dt = - du\). Si \(t = 0\) alors \(u = \frac{\pi}{2}\). Si \(t = \frac{\pi}{2}\) alors \(x=0\). \(\begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \, \left (\sin \left( \frac{\pi}{2} - u \right) \right)^{n} \, (-du)} \\ & = &{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \, \cos^{n} u \,du} \\ & = & J. \end{eqnarray*}\)

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{\sqrt{2}}^{2} \frac{1}{t\sqrt{t^2 - 1}} \, dt\) en posant \(u = \frac{1}{t}\) sous la forme \(\frac{a}{b} \, \pi\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels, la fraction \(\frac{a}{b}\) étant irréductible.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 1; 12
Feedback: On effectue un changement de variable : \(u = \frac{1}{t} \quad \Leftarrow t = \frac{1}{u}\), et \(dt = -\frac{1}{u^{2}}\,du\). Si \(t =\sqrt{2}\) alors \(u=\frac{1}{\sqrt{2}}\). Si \(t =2\) alors \(u=\frac{1}{2}\). \(\begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{2}} \, \frac{u }{\sqrt{\left(\frac{1}{u} \right)^{2} -1} }\, \left(-\frac{1}{u^{2}} \right )\,du} \\ & = &{ \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{2}} \, \frac{u }{\sqrt{\frac{1-u^{2}}{u^{2}} }}\, \left(-\frac{1}{u^{2}} \right )\,du} \\ & = &{ \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \, \frac{1 }{\sqrt{1-u^{2}}}\,du} \\ & = &{\left[ \mbox{Arcsin}\, u \right]^{\frac{1}{\sqrt{2}}} _{\frac{1}{2}} }\\ & = & \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} \right)\\ &=& \frac{\pi}{12}. \end{eqnarray*}\) 1. \(a=1\) 2. \(b=12\)

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{1}^{2} \, \frac{2e^{x}}{e^{x} + e^{-x}} \, dx\) en posant \(u = e^{x}\).
- \(I =\mbox{Arctan}\,\left(e^{2} \right) - \mbox{Arctan}\,(e)\).
- \(I =\ln \left ( 1 + e^{4} \right) - \ln \left ( 1 + e^{2} \right)\).
- \(I = e^{2} - e\).
A: \(I =\ln \left ( 1 + e^{4} \right) - \ln \left ( 1 + e^{2} \right)\).
Feedback: On effectue un changement de variable : \(u = e^{x} \quad \Leftrightarrow \quad x = \ln u\) et \(dx = \frac{1}{u} \,du\). Si \(x=1\) alors \(u = e\). Si \(x=2\) alors \(u = e^{2}\). \(\begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{e}^{e^{2}} \, \frac{2u}{u + \frac{1}{u}} \, \frac{1}{u} \,du} \\ & = &{ \int_{e}^{e^{2}} \, \frac{2u}{1 + u^{2}} \,du} \\ &= & \left[ \ln( \left (1+ u^{2} \right ) \right]_{e} ^{e^{2}} \\ & = & \ln \left ( 1 + e^{4} \right) - \ln \left ( 1 + e^{2} \right) . \end{eqnarray*}\)

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{1}^{4} \, \frac{1}{\sqrt{t} \left (1+ \sqrt{t} \right )} \, dt\) en posant \(u = 1 +\sqrt{t}\) sous la forme \(\ln \left( \frac{a}{b} \right)\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels, la fraction \(\frac{a}{b}\) étant irréductible.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 9; 4
Feedback: On effectue un changement de variable : $u = 1 + t = (u - 1)^{2} $ et \(dt = 2(u-1) \,du\). Si \(t=1\) alors \(u = 2\). Si \(t=4\) alors \(u = 3\). \(\begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{2}^ {3} \, \frac{1}{(u-1)u } \, 2(u-1) \,du} \\ & = &{ \int_{2}^{ 3} \,\frac{2}{u} \,du} \\ &= & {2\left[ \ln u \right]_{2} ^{ 3}} \\ & = & 2(\ln3- \ln 2) \\ & = & \ln \left ( \frac{9}{4} \right ). \end{eqnarray*}\) 1. \(a=9\) 2. \(b=4\)

Q: Calculer l’intégrale suivante : \({I = \int_{1}^{3} \, \frac{1}{\sqrt{e^{x} - 1}} \, dx}\) en posant \(u = \sqrt{e^{x} -1}\).
- \(2 \left(\mbox{Arctan}\,\left( \sqrt{e^{3}-1} \right) - \mbox{Arctan}\,(\sqrt{e-1})\right)\).
- \(2 \left (\mbox{Arctan}\,\left( e^{3}-1 \right) - \mbox{Arctan}\,(e-1) \right).\)
- \(e^{\sqrt{3}} - e\).
A: \(2 \left(\mbox{Arctan}\,\left( \sqrt{e^{3}-1} \right) - \mbox{Arctan}\,(\sqrt{e-1})\right)\).
Feedback: On effectue un changement de variable : $ u = x = ( u^{2} + 1 )$ et \(dx = \frac{2u}{1 + u^{2}} \,du\). Si \(x=1\) alors \(u = \sqrt{e-1}\). Si \(x=3\) alors \(u = \sqrt{e^{3}-1}\). \(\begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{\sqrt{e-1}}^ {\sqrt{e^{3}-1}} \, \frac{1}{u } \, \frac{2u}{1 + u^{2}} \,du} \\ & = &{ \int_{\sqrt{e-1}}^{ \sqrt{e^{3}-1}} \, \frac{2}{1 + u^{2}} \,du} \\ &= & 2\left[ \mbox{Arctan}\, u \right]_{\sqrt{e-1}} ^{ \sqrt{e^{3}-1}} \\ & = & 2 \left (\mbox{Arctan}\,\left( \sqrt{e^{3}-1} \right) - \mbox{Arctan}\,(\sqrt{e-1})\right). \end{eqnarray*}\)

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \, \frac{1}{\sqrt{t}\sqrt{1-t}} \, dt\) en posant \(t = \sin^{2}u\), sous la forme \(\frac{a}{b} \,\pi\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels, la fraction \(\frac{a}{b}\) étant irréductible.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 1; 6
Feedback: On effectue un changement de variable : $t = ^{2} u u = , $ et \(dt = 2\cos u \sin u \,du\). Si \(t=\frac{1}{4}\) alors \(u = \mbox{Arcsin} \, \frac{1}{2}\). Si \(t=\frac{1}{2}\) alors \(u = \mbox{Arcsin} \, \frac{1}{\sqrt{2}}\). \(\begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{\frac{\pi}{6}}^ {\frac{\pi}{4}} \, \frac{1 }{\sqrt{\sin ^{2}u} \, \sqrt{ 1 - \sin^{2}u}} \, \, 2\cos u \sin u \,du} \\ & = &{ \int_{\frac{\pi}{6}}^ {\frac{\pi}{4}} \, \frac{ 2\cos u \sin u }{ |\sin u| |\cos u|} \,du} \\ & = &{ \int_{\frac{\pi}{6}}^ {\frac{\pi}{4}} \, 2 \,du} \\ & = & 2\left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} \right)\\ &=& \frac{\pi}{6}. \end{eqnarray*}\) 1. \(a=1\) 2. \(b=6\)

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{0}^{4} \, \frac{1}{1+ \sqrt{t}} \, dt\) en posant \(u = 1 +\sqrt{t}\) sous la forme \(a - \ln b\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 4; 9
Feedback: On effectue un changement de variable : \(u = 1 + \sqrt{t} \quad \Leftrightarrow \quad t = (u - 1)^{2}\) et \(dt = 2(u-1) \,du\). Si \(t=0\) alors \(u = 1\). Si \(t=4\) alors \(u = 3\). \[\begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{1}^ {3} \, \frac{1}{u } \, 2(u-1) \,du} \\ & = &{ 2\int_{1}^{ 3} \, \left( 1 -\frac{1}{u} \right ) \,du} \\ &= & {2\left[ u - \ln u \right]_{1} ^{ 3}} \\ & = & 2\left (3 - \ln3 -1 \right ).\\ &=& 2 \left( 2 - \ln 3 \right) \\ &=& 4 - \ln 9. \end{eqnarray*}\] 1. \(a=4\) 2. \(b=9\)

Q: Soit \(n\) un entier naturel non nul ; calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{-\frac{1}{2}}^{1} \, t(2t+1)^{n} \, dt\) en posant \(u = 2t + 1\).
- \(I =\frac{\pi}{2}.\)
- \(I =\frac{3}{2}\).
- \(I =\frac{\pi}{4}\).
A: \(I =\frac{\pi}{4}\).
Feedback: \(x = \sin t \quad \Leftrightarrow \quad t = \mbox{Arcsin} \,x\) et \(dx = \cos t \,dt\). Si \(x = 0\) alors \(t = 0\). Si \(x=1\) alors \(t = \frac{\pi}{2}\). \[\begin{eqnarray*} I & = &\D{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \, \sqrt{1 -\sin^{2}(t)}\, \cos t \,dt} \\ & = & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \, \cos^{2} t \,dt \\ & = &\frac{1}{2}\left[ t +\frac{ \sin 2t}{2} \right]^{\frac{\pi}{2}} _{0} \\ & = & \frac{\pi}{4}. \end{eqnarray*}\]

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{0}^{1} \, frac{1}{\left( 1 + t^{2} \right)^{2}} \, dt\) en posant \(t = \tan u\), sous la forme $frac{+ a}{b} $ où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 2; 8
Feedback: On effectue un changement de variable : \(t = \tan u \quad \Leftrightarrow \quad u = \mbox{Arctan} \, t\) et \(dt = \left(1 + \tan^{2}u \right)\,du\). Si \(t=0\) alors \(u = 0\). Si \(t=1\) alors \(u = frac{\pi}{4}\). \[\begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{0}^ {\frac{\pi}{4}} \, frac{1}{ \left(1 + \tan^{2}u \right)^{2}} \, \left(1 + \tan^{2}u \right)\,du} \\ & = &{ \int_{0}^ {\frac{\pi}{4}} \, frac{1}{ \left(1 + \tan^{2}u \right)} \,du} \\ & = &{ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \, \cos^{2} u \,du} \\ & = &{frac{1}{2}\left[ u +frac{ \sin 2u}{2} \right]^{\frac{\pi}{4}} _{0} }\\ & = & frac{\pi+2}{8}. \end{eqnarray*}\] 1. \(a=2\) 2. \(b=8\)

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \, \cos^{3} x \sin^{2}x\, dx\) en posant \(u = \sin x\), sous la forme \(\frac{a}{b}\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels, la fraction \(\frac{a}{b}\) étant irréductible.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 2; 15
Feedback: On effectue un changement de variable : \(u = \sin x \quad \Leftrightarrow \quad x = \mbox{Arcsin} \,u\) et \(du = \cos x \,dx\) (astuce pour éviter des calculs). Si \(x = 0\) alors \(u = 0\). Si \(x = \frac{\pi}{2}\) alors \(u=1\). \[\begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \, \left (1 -\sin^{2}(x) \right) \, \sin^{2} x\, \cos x \,dx} \\ & = &{ \int_{0}^{1} \, u^{2} \left ( 1 - u^{2} \right) \,du} \\ & = &{ \left[ \frac{u^{3}}{3} - \frac{u^{5}}{5} \right]^{1}_{0} }\\ & = & \frac{2}{15}. \end{eqnarray*}\] 1. \(a=2\) 2. \(b=15\)

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \, \frac{t}{1 +(1-2t) ^{2}} \, dt\) en posant \(u = 1 -2t\), sous la forme \(\frac{a}{b}\left ( 2-\sqrt{c}\right)\) où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des entiers naturels.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
3. Entrer la valeur de l’entier naturel \(c\) dans la case suivante : [...]
A: 8; 2; 2
Feedback: On effectue un changement de variable : $u = 1-2t t=1{1-u} $ et \(dt = -\frac{1}{2}\,du\). Si \(t=0\) alors \(u = 1\). Si \(t=\frac{1}{2}\) alors \(u = 0\). \[\begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{1}^ {0} \, \frac{1}{2}\, \frac{1-u }{1 + u^{2}} \, \left(-\frac{1}{2} \right )\,du} \\ & = &{ \frac{1}{4} \,\int_{0}^ {1} \, \frac{1-u}{ 1 + u^{2}} \,du} \\ & = &{ \frac{1}{4} \,\int_{0}^ {1} \,\left ( \frac{1}{ 1 + u^{2}} - \frac{u}{ 1 + u^{2}} \right)\,du} \\ & = &{\frac{1}{4}\left[ \mbox{Arctan}\, u - \frac{1}{ 2} \ln \left( 1 + u^{2} \right) \right]^{1} _{0} }\\ & = & \frac{1}{8} \left( \frac{\pi}{2} - \ln 2 \right). \end{eqnarray*}\] 1. \(a=8\) 2. \(b=2\) 3. \(c=2\)

Q: Soit \(n\) un entier naturel, on pose : \(I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \, \sin^{n}t\, dt\) et \(J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \, \cos^{n}t\, dt\). À l’aide d’un changement de variable on peut établir que :
- \(I =J\).
- \(I= 2J.\)
- \(I=-J\).
A: \(I =J\).
Feedback: On effectue un changement de variable :\(t = \frac{\pi}{2} - u \quad \Leftrightarrow \quad u = \frac{\pi}{2} - t\) et \(dt = - du\). Si \(t = 0\) alors \(u = \frac{\pi}{2}\). Si \(t = \frac{\pi}{2}\) alors \(x=0\). \[\begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \, \left (\sin \left( \frac{\pi}{2} - u \right) \right)^{n} \, (-du)} \\ & = &{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \, \cos^{n} u \,du} \\ & = & J. \end{eqnarray*}\]

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{\sqrt{2}}^{2} \frac{1}{t\sqrt{t^2 - 1}} \, dt\) en posant \(u = \frac{1}{t}\) sous la forme \(\frac{a}{b} \, \pi\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels, la fraction \(\frac{a}{b}\) étant irréductible.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 1; 12
Feedback: On effectue un changement de variable : \(u = \frac{1}{t} \quad \Leftarrow t = \frac{1}{u}\), et \(dt = -\frac{1}{u^{2}}\,du\). Si \(t =\sqrt{2}\) alors \(u=\frac{1}{\sqrt{2}}\). Si \(t =2\) alors \(u=\frac{1}{2}\). \[\begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{2}} \, \frac{u }{\sqrt{\left(\frac{1}{u} \right)^{2} -1} }\, \left(-\frac{1}{u^{2}} \right )\,du} \\ & = &{ \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{2}} \, \frac{u }{\sqrt{\frac{1-u^{2}}{u^{2}} }}\, \left(-\frac{1}{u^{2}} \right )\,du} \\ & = &{ \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \, \frac{1 }{\sqrt{1-u^{2}}}\,du} \\ & = &{\left[ \mbox{Arcsin}\, u \right]^{\frac{1}{\sqrt{2}}} _{\frac{1}{2}} }\\ & = & \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} \right)\\ &=& \frac{\pi}{12}. \end{eqnarray*}\] 1. \(a=1\) 2. \(b=12\)

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{1}^{2} \, \frac{2e^{x}}{e^{x} + e^{-x}} \, dx\) en posant \(u = e^{x}\).
- \(I =\mbox{Arctan}\,\left(e^{2} \right) - \mbox{Arctan}\,(e)\).
- \(I =\ln \left ( 1 + e^{4} \right) - \ln \left ( 1 + e^{2} \right)\).
- \(I = e^{2} - e\).
A: \(I =\ln \left ( 1 + e^{4} \right) - \ln \left ( 1 + e^{2} \right)\).
Feedback: On effectue un changement de variable : \(u = e^{x} \quad \Leftrightarrow \quad x = \ln u\) et \(dx = \frac{1}{u} \,du\). Si \(x=1\) alors \(u = e\). Si \(x=2\) alors \(u = e^{2}\). \[\begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{e}^{e^{2}} \, \frac{2u}{u + \frac{1}{u}} \, \frac{1}{u} \,du} \\ & = &{ \int_{e}^{e^{2}} \, \frac{2u}{1 + u^{2}} \,du} \\ &= & \left[ \ln( \left (1+ u^{2} \right ) \right]_{e} ^{e^{2}} \\ & = & \ln \left ( 1 + e^{4} \right) - \ln \left ( 1 + e^{2} \right). \end{eqnarray*}\]

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{1}^{4} \, \frac{1}{\sqrt{t} \left (1+ \sqrt{t} \right )} \, dt\) en posant \(u = 1 +\sqrt{t}\) sous la forme \(\ln \left( \frac{a}{b} \right)\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels, la fraction \(\frac{a}{b}\) étant irréductible.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 9; 4
Feedback: On effectue un changement de variable : $u = 1 + t = (u - 1)^{2} $ et \(dt = 2(u-1) \,du\). Si \(t=1\) alors \(u = 2\). Si \(t=4\) alors \(u = 3\). \[\begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{2}^ {3} \, \frac{1}{(u-1)u } \, 2(u-1) \,du} \\ & = &{ \int_{2}^{ 3} \,\frac{2}{u} \,du} \\ &= & {2\left[ \ln u \right]_{2} ^{ 3}} \\ & = & 2(\ln3- \ln 2) \\ & = & \ln \left ( \frac{9}{4} \right ). \end{eqnarray*}\] 1. \(a=9\) 2. \(b=4\)

Q: Calculer l’intégrale suivante : \({I = \int_{1}^{3} \, \frac{1}{\sqrt{e^{x} - 1}} \, dx}\) en posant \(u = \sqrt{e^{x} -1}\).
- \(2 \left(\mbox{Arctan}\,\left( \sqrt{e^{3}-1} \right) - \mbox{Arctan}\,(\sqrt{e-1})\right)\).
- \(2 \left (\mbox{Arctan}\,\left( e^{3}-1 \right) - \mbox{Arctan}\,(e-1) \right).\)
- \(e^{\sqrt{3}} - e\).
A: \(2 \left(\mbox{Arctan}\,\left( \sqrt{e^{3}-1} \right) - \mbox{Arctan}\,(\sqrt{e-1})\right)\).
Feedback: On effectue un changement de variable : $ u = x = ( u^{2} + 1 )$ et \(dx = \frac{2u}{1 + u^{2}} \,du\). Si \(x=1\) alors \(u = \sqrt{e-1}\). Si \(x=3\) alors \(u = \sqrt{e^{3}-1}\). \[\begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{\sqrt{e-1}}^ {\sqrt{e^{3}-1}} \, \frac{1}{u } \, \frac{2u}{1 + u^{2}} \,du} \\ & = &{ \int_{\sqrt{e-1}}^{ \sqrt{e^{3}-1}} \, \frac{2}{1 + u^{2}} \,du} \\ &= & 2\left[ \mbox{Arctan}\, u \right]_{\sqrt{e-1}} ^{ \sqrt{e^{3}-1}} \\ & = & 2 \left (\mbox{Arctan}\,\left( \sqrt{e^{3}-1} \right) - \mbox{Arctan}\,(\sqrt{e-1})\right). \end{eqnarray*}\]

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \, \frac{1}{\sqrt{t}\sqrt{1-t}} \, dt\) en posant \(t = \sin^{2}u\), sous la forme \(\frac{a}{b} \,\pi\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels, la fraction \(\frac{a}{b}\) étant irréductible.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 1; 6
Feedback: On effectue un changement de variable : $t = ^{2} u u = , $ et \(dt = 2\cos u \sin u \,du\). Si \(t=\frac{1}{4}\) alors \(u = \mbox{Arcsin} \, \frac{1}{2}\). Si \(t=\frac{1}{2}\) alors \(u = \mbox{Arcsin} \, \frac{1}{\sqrt{2}}\). \[\begin{eqnarray*} I & = &{ \int_{\frac{\pi}{6}}^ {\frac{\pi}{4}} \, \frac{1 }{\sqrt{\sin ^{2}u} \, \sqrt{ 1 - \sin^{2}u}} \, \, 2\cos u \sin u \,du} \\ & = &{ \int_{\frac{\pi}{6}}^ {\frac{\pi}{4}} \, \frac{ 2\cos u \sin u }{ |\sin u| |\cos u|} \,du} \\ & = &{ \int_{\frac{\pi}{6}}^ {\frac{\pi}{4}} \, 2 \,du} \\ & = & 2\left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} \right)\\ &=& \frac{\pi}{6}. \end{eqnarray*}\] 1. \(a=1\) 2. \(b=6\)