Title: Rappels Loi géométrique et loi exponentielle
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Probabilités et Statistiques

Introduction et Définitions

Loi géométrique

Une variable $$X$$ de loi géométrique est définie à partir d'une série de tirages indépendants de Bernoulli de probabilité de succès $$p$$. Contrairement à la définition de la binomiale, on ne fixe pas à l'avance le nombre de tirages. On répète le tirage de Bernoulli jusqu'à obtenir le premier succès. La valeur de $$X$$ est le numéro du tirage du premier succès ; sa valeur est un entier non nul.

Définition

Cette loi est définie par la donnée de la probabilité élémentaire :
$$P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$$
On note $$X$$ ~ $$Ge(p)$$.

Moments

Si $$X$$ ~ $$Ge(p)$$, on a : $$E(X)=\dfrac 1 p$$ et $$V(X)=\dfrac {1-p}{p^2}$$.

Loi Exponentielle

La loi exponentielle sert généralement à modéliser un temps d'attente avant un événement, par exemple la loi  du temps s'écoulant entre deux désintégrations  atomique dans un échantillon radio-actif, où le temps de bon fonctionnement d'une machine avant sa première panne. La variable associée à cette loi est donc toujours positive.

Définition

Cette loi est définie par la donnée de sa densité :

$$f(x)=\dfrac 1 \lambda e^{-\lambda t}$$

où $$\lambda$$ est un paramètre ayant le sens d’une intensité. On note $$X$$ ~ $$Exp(\lambda)$$.

Moments

Si $$X$$ ~ $$Exp(\lambda)$$, on a : $$E(X)=\frac{1}{\lambda}$$ et $$V(X)=\frac{1}{\lambda^2}$$.

Vidéo pour la loi Exponentielle : https://www.mathenvideo.fr/videos/definition-dune-loi-exponentielle/

Exercice 1 -Question 1

On suppose qu'on lance une pièce de monnaie. On gagne si la pièce tombe sur Face. On recommence le tirage jusqu'à obtenir Face.

Quelle est la loi de la variable aléatoire correspondant au numéro du tirage où on obtient Face ? Quel est son paramètre ?

On suppose qu'on lance un dé à 6 faces. On gagne si le dé tombe sur 6. On recommence le tirage jusqu'à obtenir 6.

Quelle est la loi de la variable aléatoire correspondant au numéro du tirage où on obtient 6 ? Quel est son paramètre ?

Exercice 1- Réponse à la question 1

Le lancer de pièce est une épreuve de Bernoulli répétée indépendamment de probabilité de succès $$p=1/2$$. Le temps de premier succès est donc une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre $$1/2$$.

Le lancer de dé est une épreuve de Bernoulli répétée indépendamment de probabilité de succès $$p=1/6$$. Le temps de premier succès est donc une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre $$1/6$$.

Exercice 1- Question 2

On  lance la pièce et le dé. On gagne si la pièce tombe sur Face ou le dé sur 6 ou les deux ensemble.

Quelle est la probabilité de gagner ?

On recommence ce jeu jusqu'à gagner.

Quelle est la loi de la variable aléatoire $$X$$ correpondant au tirage gagnant ? Quel est son paramètre ?

Montrer que $$X=\min(X_P,X_D)$$, où $$X_P$$ est le numéro du tirage où la pièce tombe sur Face pour la première fois et $$X_D$$ est le numéro du tirage où le dé tombe sur 6 pour la première fois.

Exercice 1 - Réponse à la question 2

On gagne si on a tire dans   l'événement {pièce=F ou dé=6}.

$$P(\{pièce=F ou dé=6\})=P(\{pièce=F\}\cup\{ dé=6\})=P(\{pièce=F\})+P(\{ dé=6\})-P(\{pièce=F\}\cap\{ dé=6\})$$.

D'autre part, le tirage du dé et de la pièce étant indépendants :

$$P(\{pièce=F\}\cap\{ dé=6\})=P(\{pièce=F\}\times P(\{ dé=6\})$$.

Donc la probabilité de gagner est $$\dfrac 12+\dfrac 16-\dfrac 1{12}=\dfrac 7{12}$$.

Le jeu  est un tirage de Bernoulli répété indépendamment, donc le temps de premier succès $$X$$ suit une loi géométrique de paramètre $$\dfrac 7{12}$$.

On remarque par ailleurs que le numéro $$X=X_P$$ si $$X_P\leq X_D$$ et $$X=X_D$$ si $$X_D\leq X_P$$. Donc $$X=\min (X_P,X_D)$$.

Exercice 1 - Question 3

On suppose qu'un joueur s'occupe de la pièce et un autre du dé. Les deux joueurs tirent en même temps le dé et la pièce et annoncent s'ils ont gagné. Ils répètent l'opération jusqu'à ce que les deux aient gagné.

Quelle est la loi du temps $$X_P$$ de succès du premier joueur ?

Quelle est la loi du temps $$X_D$$ de succès du deuxième joueur ?

On  regarde le temps $$X_J$$ où un des deux joueurs a gagné. Comment s'exprime ce temps par rapport à $$X_P$$ et $$X_D$$ ?

Comment s'exprime $$X_J$$ par rapport à la variable $$X$$ de la question 2 ?

Exercice 1 - Réponse à la question 3

Le temps de succès $$X_P$$ du premier joueur est comme dans la question 1 une variable de loi géométrique de paramètre $$1/2$$.

Le temps de succès $$X_D$$ du premier joueur est comme dans la question 1 une variable de loi géométrique de paramètre $$1/6$$.

Le temps $$X_J$$ correspond au temps le plus petit entre $$X_P$$ et $$X_D$$. Donc $$X_J=\min(X_P,X_J)$$.

Le temps $$X_J$$ correspond exactement au temps $$X$$ de la question 2.

On a donc montré que la variable aléatoire correspondant au minimum de deux variables aléatoires géométriques de paramètres de succès $$p_1$$ et $$p_2$$ est une variable aléatoire géométrique de paramètre $$p_1+p_2-p_1p_2$$.

Exercice 2 - Question 1

On considère des équipements dont la durée de vie $$X$$ en heures est modélisée par une loi de probabilité exponentielle de paramètre $$\lambda=4$$.

Quelle est la durée de vie moyenne de ces équipements ?

Exercice 2 - Réponse à la question 1

La durée de vie moyenne de l'équipement est l'espérance de la variable $$X$$.

Cette espérance est égale à $$1/\lambda=4$$ h.

On remarque que physiquement le paramètre $$\lambda$$ est l'inverse d'un temps, pour cette raison dans certains livres, on préfère définir le paramètre de la fonction de densité comme $$\tau=1/\lambda$$ et utiliser $$t$$ comme variable désignant le temps de vie :

$$ f(t)=\tau e^{t/\tau}. $$

Exercice 2 - Question 2

On lance une expérience qui nécessite que l'équipement fonctionne pendant 2 heures sans panne.

Quelle est la chance de mener à bien l'expérience avec un équipement ?

Exercice 2 - Réponse à la question 2

L'expérience est menée à bien si $$X>2$$.

On calcule $$P(X>1)=\int_2^\infty \dfrac 1 \lambda e^{-\lambda x}dx=\left[-e^{-\lambda x}\right]_2^\infty=e^{-2\lambda }=e^{-1/2}.$$

Exercice 2 - Question 3

On suppose qu'on a quatre équipement dans le labo.

Si l'expérience échoue avec un équipement, on recommence avec un autre.

Quelle est la chance de mener à bien l'expérience ?

Exercice 2 - Réponse à la question 3

Pour chaque appareil, la probabilité de réussite est $$p=e^{-1/2}=0.6$$.

Les essais successifs peuvent être modélisés par une Bernoulli. On rate l'expérience si au bout de quatre essais successifs, on a quatre échecs. Soit une probabilité égale à $$(1-p)^4=0.4^4=0.026$$.

La probabilité de réussite de l'expérience est $$1-0.026=0.974$$.

Remarque
On peut modéliser l'instant de réussite  par une variable géométrique. Ne pas réussir en quatre essai est équivalent à dire que la variable géométrique est supérieure à 4. Par le raisonnement précédent on voit que $$P(X>4)=(1-p)^4$$.

Pour la loi géométrique, la probabilité de dépasser une valeur a une forme très simple : $$P(X>k)=(1-p)^k$$.

A la question précédente, nous avons vu que c'est aussi le cas pour la variable exponentielle : $$P(X>x)=e^{-\lambda x}$$.