Title: Taylor
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: Quelle est la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre \(3\) au voisinage de \(0\) de la fonction exponentielle ?
- \(\exp(h)=1+h+\frac{h^2}{2}+\frac{h^3}{6}\exp(\theta h)\) avec \(\theta\in]0,1[\)
- \(\exp(h)=1+h\exp(h)+\frac{h^2}{2}\exp(h)+\frac{h^3}{6}\exp(\theta h)\) avec \(\theta\in]0,1[\)
- \(\exp(h)=1-h+\frac{h^2}{2}-\frac{h^3}{6}\exp(\theta h)\) avec \(\theta\in]0,1[\)
A: \(\exp(h)=1+h+\frac{h^2}{2}+\frac{h^3}{6}\exp(\theta h)\) avec \(\theta\in]0,1[\)
Feedback: La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même. Ainsi \(\exp(0)=\exp'(0)=\exp''(0)=1\).

Q: Quelle est la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre \(3\) au voisinage de \(1\) de la fonction exponentielle ?
- \(\exp(1+h)=e+he+\frac{h^2}{2}e+\frac{h^3}{6}\exp(1+\theta h)\) avec \(\theta\in]0,1[\)
- \(\exp(1+h)=e+h\exp(h)+\frac{h^2}{2}\exp(h)+\frac{h^3}{6}\exp(1+\theta h)\) avec \(\theta\in]0,1[\)
- \(\exp(1+h)=e+h\exp(1+h)+\frac{h^2}{2}\exp(1+h)+\frac{h^3}{6}\exp(1+\theta h)\) avec \(\theta\in]0,1[\)
- \(\exp(1+h)=e+h\exp(h)+\frac{h^2}{2}\exp(h)+\frac{h^3}{6}\exp(\theta h)\) avec \(\theta\in]0,1[\)
A: \(\exp(1+h)=e+he+\frac{h^2}{2}e+\frac{h^3}{6}\exp(1+\theta h)\) avec \(\theta\in]0,1[\)
Feedback: La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même. Ainsi \(\exp(1)=\exp'(1)=\exp''(1)=e\).

Q: Quelle est la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre \(3\) au voisinage de \(\pi\) de la fonction \(\cos\) ?
- \(\cos(\pi+h)=-1+\frac{h^2}{2}+\frac{h^3}{6}\times \sin(\theta)\) avec \(\theta\in]\pi,\pi+h[\)
- \(\cos(\pi+h)=-1-\frac{h^2}{2}+\frac{h^3}{6}\times \sin(\theta)\) avec \(\theta\in]\pi,\pi+h[\)
- \(\cos(\pi+h)=1-\frac{h^2}{2}+\frac{h^3}{6}\times \sin(\theta)\) avec \(\theta\in]\pi,\pi+h[\)
- \(\cos(\pi+h)=1-\frac{h^2}{2}+\frac{h^3}{6}\times \sin(\theta)\) avec \(\theta\in]\pi,\pi+h[\)
- \(\cos(\pi+h)=-1+\frac{h^2}{2}-\frac{h^3}{6}\times \sin(\theta)\) avec \(\theta\in]\pi,\pi+h[\)
- \(\cos(\pi+h)=-1-\frac{h^2}{2}-\frac{h^3}{6}\times \sin(\theta)\) avec \(\theta\in]\pi,\pi+h[\)
- \(\cos(\pi+h)=1-\frac{h^2}{2}-\frac{h^3}{6}\times \sin(\theta)\) avec \(\theta\in]\pi,\pi+h[\)
- \(\cos(\pi+h)=1-\frac{h^2}{2}-\frac{h^3}{6}\times \sin(\theta)\) avec \(\theta\in]\pi,\pi+h[\)
A: \(\cos(\pi+h)=-1+\frac{h^2}{2}+\frac{h^3}{6}\times \sin(\theta)\) avec \(\theta\in]\pi,\pi+h[\)
Feedback: La dérivée de la fonction cosinus est \(-\sin\), sa dérivée seconde est \(-\cos\). Ainsi \(\cos(\pi)=-1\), \(\cos'(\pi)=0\) et \(\cos''(\pi)=1\).

Q: Quelle est la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre \(3\) au voisinage de \(\frac{\pi}{2}\) de la fonction \(\sin\) ?
- \(\sin(\frac{\pi}{2}+h)=1-\frac{h^2}{2}+\frac{h^3}{6}\times \sin(\theta)\) avec \(\theta\in]\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}+h[\)
- \(\sin(\frac{\pi}{2}+h)=1+\frac{h^2}{2}+\frac{h^3}{6}\times \sin(\theta)\) avec \(\theta\in]\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}+h[\)
- \(\sin(\frac{\pi}{2}+h)=1-\frac{h^2}{2}-\frac{h^3}{6}\times \sin(\theta)\) avec \(\theta\in]\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}+h[\)
- \(\sin(\frac{\pi}{2}+h)=1+\frac{h^2}{2}-\frac{h^3}{6}\times \sin(\theta)\) avec \(\theta\in]\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}+h[\)
- \(\sin(\frac{\pi}{2}+h)=-1-\frac{h^2}{2}+\frac{h^3}{6}\times \sin(\theta)\) avec \(\theta\in]\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}+h[\)
- \(\sin(\frac{\pi}{2}+h)=-1+\frac{h^2}{2}+\frac{h^3}{6}\times \sin(\theta)\) avec \(\theta\in]\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}+h[\)
- \(\sin(\frac{\pi}{2}+h)=-1-\frac{h^2}{2}-\frac{h^3}{6}\times \sin(\theta)\) avec \(\theta\in]\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}+h[\)
- \(\sin(\frac{\pi}{2}+h)=-1+\frac{h^2}{2}-\frac{h^3}{6}\times \sin(\theta)\) avec \(\theta\in]\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}+h[\)
A: \(\sin(\frac{\pi}{2}+h)=1-\frac{h^2}{2}+\frac{h^3}{6}\times \sin(\theta)\) avec \(\theta\in]\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}+h[\)
Feedback: La dérivée de la fonction sinus est \(\cos\), sa dérivée seconde est \(-\sin\). Ainsi \(\sin(\frac{\pi}{2})=1\), \(\sin'(\frac{\pi}{2})=0\) et \(\sin''(\frac{\pi}{2})=-1\).

Q: Quelle est la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre \(2\) au voisinage de \(0\) de la fonction \(\sqrt{1+x}\) ?
- \(\sqrt{1+h}=1+\frac{h}{4}-\frac{h^2}{24\times(1+h)^{3/2}}\) avec \(\theta\in]0,h[\)
- \(\sqrt{1+h}=1+\frac{h}{2}-\frac{h^2}{6\times(1+h)^{3/2}}\) avec \(\theta\in]0,h[\)
- \(\sqrt{1+h}=1+\frac{h}{2}-\frac{h^2}{4\times(1+h)^{3/2}}\) avec \(\theta\in]0,h[\)
- \(\sqrt{1+h}=1+\frac{h}{4}+\frac{h^2}{24\times(1+h)^{3/2}}\) avec \(\theta\in]0,h[\)
- \(\sqrt{1+h}=1+\frac{h}{2}+\frac{h^2}{6\times(1+h)^{3/2}}\) avec \(\theta\in]0,h[\)
- \(\sqrt{1+h}=1+\frac{h}{2}+\frac{h^2}{4\times(1+h)^{3/2}}\) avec \(\theta\in]0,h[\)
- \(\sqrt{1+h}=1+\frac{h}{4}-\frac{h^2}{24\times(1+h)^{2}}\) avec \(\theta\in]0,h[\)
- \(\sqrt{1+h}=1+\frac{h}{2}+\frac{h^2}{6\times(1+h)^{2}}\) avec \(\theta\in]0,h[\)
- \(\sqrt{1+h}=1+\frac{h}{2}-\frac{h^2}{4\times(1+h)^{2}}\) avec \(\theta\in]0,h[\)
A: \(\sqrt{1+h}=1+\frac{h}{4}-\frac{h^2}{24\times(1+h)^{3/2}}\) avec \(\theta\in]0,h[\)
Feedback: La dérivée de la fonction \(x\mapsto\sqrt{1+x}\) est \(x\mapsto\frac{1}{2\sqrt{1+x}}\) et sa dérivée seconde est \(x\mapsto-\frac{1}{4\times(1+x)^{3/2}}\).

Q: Dans la formule de Taylor-Young suivante, au voisinage de \(0\) : \(\frac{1}{2+h}=a+\frac{h}{b}\times(\frac{-1}{(2+0)^2})+\frac{h^2}{6}\times c + o(h^3)\)

1. Quelle est la valeur de \(a\) ? : [...]
2. Quelle est la valeur de \(b\) ? : [...]
3. Quelle est la valeur de \(c\) ? : [...]
A: 0.5; 2; 0.25
Feedback: La dérivée de la fonction \(x\mapsto \frac{1}{2+x}\) est \(x\mapsto -\frac{1}{(2+x)^2}\) et sa dérivée seconde est \(x\mapsto \frac{2}{(2+x)^3}\).

Q: Dans la formule de Taylor-Young suivante, au voisinage de \(0\) : \((1+h)^6=a+b\times h+c\times h^2 + o(h^3)\)

1. Quelle est la valeur de \(a\) ? : [...]
2. Quelle est la valeur de \(b\) ? : [...]
3. Quelle est la valeur de \(c\) ? : [...]
A: 1; 3; 5
Feedback: La dérivée de la fonction \(f : x\mapsto (\frac{1}{2+x})1+x)^6\) est \(x\mapsto 6(1+x)^5\) et sa dérivée seconde est \(x\mapsto 30(1+x)^4\). Or \(a=f(0)\), \(b=\frac{f'(0)}{2}\) et \(c=\frac{f''(0)}{6}\)

Q: Dans la formule de Taylor-Young suivante, au voisinage de \(0\) : \(h^2\log(1+h)=a+b\times \frac{h}{2}+o(h^2)\)

1. Quelle est la valeur de \(a\) ? : [...]
2. Quelle est la valeur de \(b\) ? : [...]
A: 0; 0
Feedback: La dérivée de la fonction \(f : x\mapsto x^2\log(1+x)\) est \(x\mapsto 2x\log(1+x)+\frac{x^2}{1+x}\). Or \(a=f(0)\) et \(b=f'(0)\).

Q: Dans la formule de Taylor-Young suivante, au voisinage de \(0\) : \(\frac{\cos(h)}{1+h}=a+b\times \frac{h}{2}+o(h^2)\)

1. Quelle est la valeur de \(a\) ? : [...]
2. Quelle est la valeur de \(b\) ? : [...]
A: 1; -1
Feedback: La dérivée de la fonction \(f : x\mapsto \frac{\cos(x)}{1+x}\) est \(x\mapsto \frac{-\sin(x)(1+x)-\cos(x)}{(1+x)^2}\). Or \(a=f(0)\) et \(b=f'(0)\).

Q: Dans la formule de Taylor-Young suivante, au voisinage de \(0\) : \(\frac{\sin(h)}{4+h}=a+b\times \frac{h}{2}+o(h^2)\)

1. Quelle est la valeur de \(a\) ? : [...]
2. Quelle est la valeur de \(b\) ? : [...]
A: 0; 0.25
Feedback: La dérivée de la fonction \(f : x\mapsto \frac{\sin(x)}{1+x}\) est \(x\mapsto \frac{\cos(x)(4+x)-\sin(x)}{(4+x)^2}\). Or \(a=f(0)\) et \(b=f'(0)\).