Title: Rappels Opérations sur la limite
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Continuité, Dérivation, Intégration

Règles de calcul

Ces tableaux donnent les opérations sur les limites de deux fonctions $$f$$ et $$g$$.

- $$\lim (f + g)$$

$$\begin{array}{|c|c|ccc|}
\hline
 & & &  \lim g&\\
 & & \ell'&-\infty&+\infty\\
 \hline
 & \ell&\ell+\ell'&-\infty&+\infty\\
 \lim f&-\infty&-\infty&-\infty&\text{FI}\\
 &+\infty&+\infty&\text{FI}&+\infty\\
 \hline
\end{array}$$

- $$\lim (f\cdot g)$$

$$\begin{array}{|c|c|ccccc|}
\hline
 & & &&\lim g&&\\
 & & \ell'\prec0&\ell'>0&0&-\infty&+\infty\\
 \hline
 & \ell\prec0&\ell\cdot\ell'&\ell\cdot\ell'&0&+\infty&-\infty\\
 &\ell>0&\ell\cdot\ell'&\ell\cdot\ell'&0&-\infty&+\infty\\
 \lim f&0&0&0&0&\text{FI}&\text{FI}\\
 &-\infty& +\infty&-\infty&\text{FI}&+\infty&-\infty\\
 &+\infty& -\infty&+\infty&\text{FI}&-\infty&+\infty\\
 \hline
\end{array}$$

- $$\lim (f/ g)$$

$$\begin{array}{|c|c|cccccc|}
\hline
 & & &&\lim g&&&\\
 & & \ell'\prec0&\ell'>0&0^-&0^+&-\infty&+\infty\\
 \hline
 &\ell\prec0&\ell/\ell'&\ell/\ell'&+\infty&-\infty&0^+&0^-\\
&\ell>0&\ell/\ell'&\ell/\ell'&-\infty&+\infty&0^-&0^+\\
 \lim f&0^-&0^+&0^-&\text{FI}&\text{FI}&0^+&0^-\\
&0^+&0^-&0^+&\text{FI}&\text{FI}&0^-&0^+\\
 &-\infty& +\infty&-\infty& +\infty&-\infty&\text{FI}&\text{FI}\\
 &+\infty& -\infty&+\infty& -\infty&+\infty&\text{FI}&\text{FI}\\
 \hline
\end{array}$$

Pour les formes indéterminées ($$\text{FI}$$), il faut examiner de plus près en factorisant pour lever l'indétermination.

Exercice 1

Calculer la limite de :

  - $$\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} 1/\sqrt{x} - 3x^2 + \log(x)$$

Solution 1

Nous avons affaire à une somme de trois termes dont les limites sont :
$$\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} 1/\sqrt{x}=+\infty$$, $$\lim\limits_{x \rightarrow 0^+}  - 3x^2 =0$$ et $$\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \log(x)=-\infty$$.
Nous avons donc une forme indéterminée, il faut donc regrouper les 2 termes causant cette forme indéterminée :
$$\lim\limits_{x \rightarrow 0^+}1/\sqrt{x}  + \log(x)=\lim\limits_{x \rightarrow 0^+}1/\sqrt{x}(1  + \sqrt{x}\log(x))=\lim\limits_{x \rightarrow 0^+}1/\sqrt{x}=+\infty$$
car $$\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \sqrt{x}\log(x)=0$$ puisque toute fonction puissance d'exposant strictement positif tend plus vite vers $$0$$ que $$\log$$ vers $$-\infty$$ pour $$x\rightarrow 0^+$$.

Lever l'indétermination, 2 cas particuliers

Certaines fractions rationnelles ont une limite a priori indéterminée car la limite est cherchée en une racine du numérateur et du dénominateur. Dans ce cas, il faut factoriser le numérateur et le dénominateur pour pouvoir simplifier et alors calculer la limite.

Lorsque l'expression dont on cherche la limite implique des différences de racines carrées et que cela mène à une forme indéterminée, on peut multiplier par la quantité conjuguée.
Par exemple, $$\sqrt{2x+3}-\sqrt{5x-1}$$ a pour quantité conjuguée $$\sqrt{2x+3}+\sqrt{5x-1}$$.

Exercice 2

Calculer les limites de :

  - $$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}\sqrt{2x+3}-\sqrt{5x-1}$$,
  - $$\lim\limits_{x \rightarrow -2}\frac{x^2+5x+6}{x^2-4}$$.

Solution 2

Pour $$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}\sqrt{2x+3}-\sqrt{5x-1}$$, on multiplie par la quantité conjuguée :

$$\sqrt{2x+3}-\sqrt{5x-1}=\frac{(\sqrt{2x+3}-\sqrt{5x-1})(\sqrt{2x+3}+\sqrt{5x-1})}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5x-1}}=\frac{(\sqrt{2x+3}-\sqrt{5x-1})(\sqrt{2x+3}+\sqrt{5x-1})}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5x-1}}=
\frac{2x+3-5x+1}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5x-1}}=\frac{3x+4}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5x-1}}$$

Donc $$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}\sqrt{2x+3}-\sqrt{5x-1}=-\infty$$.

Pour $$\lim\limits_{x \rightarrow -2}\frac{x^2+5x+6}{x^2-4}$$, on remarque que $$-2$$ est racine du numérateur et du dénominateur, il faut donc factoriser pour simplifier.
On a $$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$$ et $$x^2-4=(x+2)(x-2)$$.

Donc $$\lim\limits_{x \rightarrow -2}\frac{x^2+5x+6}{x^2-4}=\lim\limits_{x \rightarrow -2}\frac{x+3}{x-2}=-1/4$$.