Title: Rappels Dérivées partielles
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Continuité, Dérivation, Intégration

Références de rappels de cours

Fonction de plusieurs variables

On considère une fonction \(f\) qui à un \(n\)-uplet \((x_1, \ldots, x_n)\) de \({\mathbb R}^n\) associe un nombre réel.

Continuité

On rappelle que pour \(H=(h_1, \ldots, h_n)\), on mesure la distance de \(  H \) à \((0,\ldots,0)\) par \( \| H \|  = \sqrt {h_{1}^{2}+ h_{2}^{2} + ... + h_{n}^{2} } \). On dit que \(  H \) tend vers \((0,\ldots,0)\) quand \( \| H \| \) tend vers 0.

La fonction \(f\) est continue en \(X=(x_1, \ldots, x_n)\) si et seulement si \(\lim_{H\rightarrow 0} f(X+H)=f(X)\).

Dérivée partielle du premier ordre

Le nombre dérivé partiel par rapport à la première variable d'une fonction  est la limite du taux d'accroissement obtenu en faisant varier la première variable et en gardant les autres constantes. Cette limite n'existe pas toujours. :
\[ \dfrac {\partial f}{\partial x_1}   =\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x_1+h, \ldots, x_n)-f(x_1, \ldots, x_n)}{h}\]
On peut calculer un nombre dérivé partiel par rapport à la première variable pour chaque valeur du \(n\)-uplet \((x_1, \ldots, x_n)\) ; on peut donc définir une fonction qui à chaque \((x_1, \ldots, x_n)\) associe ce nombre réel. Cette fonction est appellée une dérivée partielle de \(f\) par rapport à la première variable.
Pour calculer une dérivée partielle, il suffit de calculer une dérivée ordinaire par rapport à la variable concernée en considérant les autres variables comme des paramètres fixes.
Les dérivées partielles par rapport aux autre variables sont définies de la même façon.

Dérivée partielle du second ordre

Une dérivée partielle du premier ordre est également une fonction des variables \((x_1, \ldots, x_n)\). On peut donc la dériver par rapport à la même variable ou une autre :

\( \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}=\dfrac{\partial}{\partial x_1}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x_1}\right)\)
\( \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2}=\dfrac{\partial}{\partial x_1}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x_2}\right)\)

Fonction de classe \(\mathcal{C}^{2}\)

Une fonction est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) si toutes ses dérivées partielles secondes sont continues. Dans ce cas, on peut inverser l'ordre des dérivations partielles (théorème de Schwarz) :
\( \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1}\)

Gradient

Le gradient, noté \(\nabla f_{(x_1,\ldots,x_n)}\)est le vecteur colonne contenant les dérivées partielles:
\(\nabla f_{(x_1,\ldots,x_n)}=\left [\begin{array}{c} \dfrac {\partial f}{\partial x_1}(x_1,\ldots,x_n)\\\vdots\\ \dfrac {\partial f}{\partial x_n}(x_1,\ldots,x_n) \end{array}\right]\)

Développement limité à l'ordre 1

Le développement limité de \(f\) à l'ordre 1 au point \(A = (a_{1},a_{2},...,a_{n} )\) de \(D_{f}\)  est donné par :

\[ f( A + H) = f(A) + \langle \nabla f_{A}, H \rangle + \| H \| \varepsilon(H)\]

où \(H =(h_{1},h_{2},...,h_{n})\) , \(\nabla f_{A}\) désigne le gradient de la fonction \(f\) au point \(A\) et \(\displaystyle{ \lim_{H \to (0,0,...0)} { \varepsilon (H) } } = 0\).

Hessienne

On appelle hessienne de la fonction \(f\) au point \(A\), la matrice carrée \(H_A\) dont l'élément \(h_{i,j}\) est égal à \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(A)\).

Si la fonction est de classe \(\mathcal{C}^{2}\), le théorème de Schxarz implique que la hessienne est une matrice symétrique.

Développement limité à l'ordre 2.

Le développement limité de \(f\) à l'ordre 2 au point \(A = (a_{1}, \cdots, a_{n} )\) de \(D_{f}\)  est donné par :
\[ f( A + H) = f(A) + \langle \nabla f_{A}, H \rangle + \dfrac{1}{2} \, H  \,  H_{A} \, ^{t}H  +\| H \|^{2} \varepsilon(H)\]
où \(H =(h_{1},h_{2},...,h_{n})\) , \(\nabla f_{A}\) désigne le gradient de la fonction \(f\) au point \(A\) et \(\displaystyle  {\lim_{H \to (0,0,...0)} { \varepsilon (H) } } = 0\),  \(H_{A}\) est la hessienne de \(f\) en \(A\)
 et on note \(H =(h_{1},h_{2},...,h_{n})\)  et \( \| H\|  = \sqrt {h_{1}^{2} + h_{2}^{2} + ... + h_{n}^{2} } \).

Ex 1 - Question 1

On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{ R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) par

 \((x,y) \mapsto \left \{\begin{array}{ccc} \rule[-4 pt]{0pt}{26pt} \dfrac {3 \sin x^{2} + y^{2} }{ x^{2} + |y| } & \mbox{si} & (x,y) \neq (0,0) \\\rule[-4 pt]{0pt}{26pt} 0 & \mbox{si} & (x,y) = (0;0) \\\end{array}\right .\)

 Quel est l'ensemble de définition de \(f\) ?

Ex 1 - Réponse à la question 1

La fonction \(f\)  est définie pour tous les couples de réels. Donc \(D_{f} = \mathbb{R}^{2}\).

Ex1 - Question 2

La fonction  \(f\) admet une dérivée partielle par rapport à  \(x\) en  \((0,0)\) ?

Si oui, calculer cette dérivée.

Ex1 - Réponse à la question 2

On a :
\[ \begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \lim_{ h \to 0} { \dfrac{f(0+h,0) - f(0,0)}{h} }& = & \lim_{ h \to 0} { \dfrac{3 \sin h^{2}}{h^{2} }}\\\rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 3 \qquad \mbox{car} \quad \lim_{h \to 0}{ h^{2} } = 0 \quad \mbox{ et } \quad  \lim_{ u \to 0}{ \dfrac{ \sin u}{ u} } = 1 \\ \end{eqnarray*} \]
On en déduit que  \(\dfrac{\partial f}{\partial x} (0,0)\)  existe et on a :  \(\dfrac{\partial f}{\partial x} (0,0) = 3\).

Ex1 - Question 3

La fonction  \(f\) admet une dérivée partielle par rapport à  \(y\) en  \((0,0)\) ?

Si oui, calculer cette dérivée.

Ex 2 - Réponse à la question 3

On a  :
\[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \lim_{ h \to 0^{-}} { \dfrac{f(0,0 + h ) - f(0,0)}{h} }& = & \lim_{ h \to 0^{-}} { \dfrac {h}{|h|} } \\\rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \lim_{ h \to 0^{-}} {-1 } \\\rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & -1 \end{eqnarray*} \]
et
 \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \lim_{ h \to 0^{+}} { \dfrac{f(0,0 + h ) - f(0,0)}{h} }& = & \lim_{ h \to 0^{+} }{ \dfrac {h}{|h|} } \\\rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \lim_{ h \to 0^{+}} {1 } \\\rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 1 \end{eqnarray*} \]
Donc puisque
\(\lim_{ h \to 0^{-}} { \dfrac{f(0,0 + h ) - f(0,0)}{h} } \neq \lim_{ h \to 0^{+}} { \dfrac{f(0,0 + h ) - f(0,0)}{h} }\)
on en déduit que la fonction  \(f\) n'admet pas de dérivée partielle par rapport à  \(y\) en  \((0,0)\).

Ex 2 - Question 1

On considère la fonction  \(f\) définie de  \(\mathbb{ R}^{2}\) dans  \(\mathbb{R}\) par
 \((x,y) \mapsto \cos x \, e^{y^{2}}\)

La fonction  \(f\) est-elle de classe  \(\mathcal{C}^{2}\) sur  \(\mathbb{R}^{2}\) ?

Ex 2 - Réponse à la question 1

La fonction est définie pour tous les couples de réels donc  \(D_{f} = \mathbb{R}^{2}\).

La fonction  \(f\) est de classe  \(\mathcal{C}^{2}\) sur  \(\mathbb{R}^{2}\) comme produit de deux fonctions de classe  \(\mathcal{C}^{2}\).

Ex 2 - Question 2

Soit  \(A = (0,1)\).
Calculer le gradient de  \(f\) au point  \(A\).

Ex 2 - Réponse à la question 2

La fonction  \(f\) est de classe  \(\mathcal{C}^{2}\) sur  \(\mathbb{R}^{2}\) comme produit de deux fonctions de classe  \(\mathcal{C}^{2}\).
On a :
\(f(0,1) = e \)
De plus :
\[\begin{eqnarray*}
\rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y) & = &-\sin x \, e^{y^{2}} \\\rule[-4 pt]{0pt}{40pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) & = & \cos x \, 2y \, e^{y^{2}} \\ \end{eqnarray*}\]
On en déduit que :
 \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial x} (0,1) & = & 0 \\\rule[-4 pt]{0pt}{40pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (0,1) & = & 2e \\ \end{eqnarray*}\]

Ex 2 - Question 3

La fonction  \(f\) admet un développement limité d'ordre 2 au point  \(A = (0,1)\) donné par :

Pour \((h,k)\) voisin de \((0,0)\), \(\qquad f(h,1 + k) = a +bk +ch^{2}+dk^{2}  + \left ( \sqrt {h^{2} + k^{2}} \right )^{2} \,\varepsilon(h,k)\)
avec  \(\displaystyle{ \lim_{(h,k) \to (0,0)} { \varepsilon(h,k) } } = 0\) et où  \(a\),  \(b\),  \(c\) et  \(d\) sont des réels.

Déterminer \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\).

Ex 2 - Réponse à la question 3

La fonction  \(f\) est de classe  \(\mathcal{C}^{2}\) sur  \(\mathbb{R}^{2}\) comme produit de deux fonctions de classe  \(\mathcal{C}^{2}\).

On a :

\(f(0,1) = e\)

De plus :

\[\begin{eqnarray*}  \dfrac{\partial f}{\partial x} (0,1) & = & 0 \\ \dfrac{\partial f}{\partial y} (0,1) & = & 2e \end{eqnarray*}\]
On a aussi

\[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (x,y) & = & - \cos x \, e^{y^{2}} \\\rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} (x,y) & = & \cos x \left ( 2 e^{y^{2}} + 4y^{2} \, e^{y^{2}} \right ) \\\rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \ & = & \cos x \left ( 2 + 4y^{2} \right ) e^{y^{2}} \\\rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y } (x,y) & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x } (x,y) \\\rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \ & = & - \sin x \, 2y \, e^{y^{2}} \\ \end{eqnarray*}\]

On en déduit que :

\[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (0,1) & = & -e \\\rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} ( 0,1) & = & 6e \\\rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y} ( 0,1) & = & 0 \\\rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x} ( 0,1) & = & 0 \\\end{eqnarray*}\]

On rappelle que le développement limité de  \(f\) à l'ordre 2 au point  \(A = (0,1)\) est donné par :

\(f( A + H) = f(A) + \langle \nabla f_{A}, H \rangle + \dfrac{1}{2} \, H \, H_{A} \, ^{t}H + \| H \|\,\varepsilon(H)\)

où  \(\displaystyle{ \lim_{(h,k) \to (0,0)} { \varepsilon(h,k) } } = 0\),  \(\nabla f_{A}\) désigne le gradient de la fonction  \(f\) au point  \(A\), \(H_{A}\) est la hessienne de  \(f\) en  \(A\) et on note  \(H = (h,k)\) et \(\| H \| = \sqrt {h^{2} + k^{2}}\).

D'après ce qui précède on a :

\(f(0,1) = e \qquad \nabla f_{A}= ( 0,2e) \qquad H_{(0,1)} =\left(\begin{array}{rr}-e & 0 \\  0 & 6e \\ \end{array}\right)\)

 d'où

\[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} \langle \nabla f_{A}, H \rangle & = & \langle (0,2e) , (h,k) \rangle \\\rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & 2ek \\ \end{eqnarray*} \]

 et

\[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} H \, H_{A} \, ^{t}H & = & (h,k) \left(\begin{array}{rr} -e & 0 \\  0 & 6e   \end{array} \right)\left(\begin{array}{r}h \\k \\ \end{array}\right) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & (-eh,6ek) \left(\begin{array}{r}h \\k \\ \end{array}\right) \\\rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & -eh^{2} + 6ek^{2}\end{eqnarray*}\]

On obtient enfin le développement limité à l'ordre 2 de  \(f\) au point  \(A = (0,1) \)

Pour \((h,k)\) voisin de \((0,0)\),\(\qquad f(h,1 + k) = e + 2ek + \dfrac{1}{2}(-1)eh^{2} + 3ek^{2} + \left ( \sqrt {h^{2} + k^{2}} \right )^{2} \,\varepsilon(h,k)\)

avec  \(\displaystyle{ \lim_{(h,k) \to (0,0)} { \varepsilon(h,k) } } = 0 \).

Donc \(a=e\), \(b=2e\), \(c=-e/2\) et \(d=3e\).