Title: Rappels Opérations et continuité
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Continuité, Dérivation, Intégration

Références de rappels de cours

Opérations sur les fonctions

Si \(f\) et \(g\) sont continues en \(x_0\), alors
- \(f+g\) est continue en \(x_0\)
- \(f\times g\) est continue en \(x_0\)

Si de plus \(g(x_0)\neq 0\), \(\dfrac f g\) est continue en \(x_0\).

Composition des fonctions

Si \(f\) est continue en \(x_0\) et \(g\) est continue en \(f(x_0)\), alors \(g\circ f\) est continue en \(x_0\).

Ex 1 - Question 1

On considère la fonction \(f\)  définie de \(\mathbb{ R}\)  dans \(\mathbb{R}\) par

\(x\mapsto \dfrac{1}{ \sqrt x \sqrt {1 - x} }\)

Déterminer \(D_{f}\), ensemble définition de la fonction \(f\).

Ex 1 - Réponse à la question 1

On a :    \(D_{f} = \left \{ x \in \mathbb{R} /  \quad x >  0 \quad \mbox{et}    \quad 1 - x  > 0  \right \} \)

 d'où  \(D_{f} =  ]0, 1[ \)

Ex 1 - Question 2

On considère la fonction  \(u\)  définie de  \(\mathbb{ R}\)  dans  \(\mathbb{R}\) par \( x\mapsto  \sqrt x \sqrt {1 - x}\).

La fonction  \(u\) est-elle continue sur son ensemble de définition  \(D_{u}\)  ?

Ex 1 - Réponse à la question 2

On pose  :      \(u = g \times h\)

où \(g\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\)  dans \(\mathbb{R}\) par \(x\mapsto \sqrt x\)

et \(h\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\)  dans \(\mathbb{R}\) par \(x\mapsto \sqrt {1-x }\)

On remarque que :     \(D_{u} = \left \{ x \in \mathbb{R} /    x \geq  0  \  \mbox{et}    \   1 - x  \geq 0  \right \}\)

d'où  \(D_{u} =  [0, 1] \).

Pour étudier la continuité de \(u\) on étudie celle de  \(h = a \circ b\) .

où \(b\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\)  dans \(\mathbb{R}\) par  \(x\mapsto x -1\)

et \(a\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\)  dans \(\mathbb{R}\) par \(x\mapsto \sqrt {x }\)

La fonction polynôme \(b\) est continue sur \(\mathbb{R}\) donc sur \([0,1]\) et de plus on a :

 \(\forall x \in [0,1],   1 - x \geq 0\)

c'est à dire que l'on a :   \(b \left  \langle [0,1]  \right \rangle  \subset \mathbb{R}_{+}\)

Par ailleurs la fonction \(b\) étant  continue sur \(\mathbb{R}_{+}\), d'après le théorème sur la continuité d'une fonction composée on peut en déduire que la fonction \(a \circ b\), c'est à dire \(h\) est continue sur \([0,1]\).

On peut donc en déduire que la fonction \(g \times h\), c'est à dire \(u\), est continue sur \([0,1]\) comme produit de deux fonctions continues.

Ex 1 - Question 3

La fonction \(f\) est-elle continue sur son ensemble de définition \(D_{f}\) ?

Ex 1 - Réponse à la question 3

On constate que :  \(f = v \circ u\)

où  \(v\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\)  dans \(\mathbb{R}\) par \(x\mapsto \dfrac{1}{x}\) .

 La fonction \(u\) est continue sur \([0,1]\) donc sur \(]0,1 [\) et de plus on a :

 \(\forall x \in ]0, 1 [ ,   \sqrt x \sqrt{1-x} > 0\)

c'est à dire que l'on a :   \(u \left  \langle  ]0, 1 [  \right \rangle  \subset \mathbb{R}^{*}\)

Par ailleurs la fonction \(v\) étant  continue sur \(\mathbb{R}^{*}\), d'après le théorème sur la continuité d'une fonction composée on peut déduire que la fonction \( v \circ u\), c'est à dire \(f\), est continue sur  \(]0, 1[\) c'est à dire sur \(D_{f}\).

Ex 2 - Question 1

On considère la fonction  \(f\)  définie  de \(\mathbb{ R}\)  dans \(\mathbb{R}\) par \(f = v \circ u\)

où \(u\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\)  dans \(\mathbb{R}\) par \(x\mapsto \lfloor x \rfloor\)

et \(v\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\)  dans \(\mathbb{R}\) par \(x\mapsto  \dfrac{1}{x}\)

On note \(D_{f}\) l'ensemble définition de la fonction \(f\), on a \(D_{f} = \mathbb{R} \setminus [a,b[\)   où \(a\) et \(b\) sont deux réels tels que \(b >a\).

Déterminer \(a\) et \(b\).

Ex2 - Réponse à la question 1

On a :     \(D_{f} = \left \{ x \in \mathbb{R} /        \lfloor x  \rfloor  \neq 0 \right \}\) ,

 or    \(\lfloor x \rfloor = 0  \Longleftrightarrow x \in [0,1[\),

d'où  \(D_{f} = \mathbb{R}  \setminus  [0, 1[\).

Ex2 - Question 2

La fonction \(f\) est-elle continue en \(2\) ?

Ex2 - Réponse à la question 2

On a :      \(\forall x \in ]2,3[,\    \lfloor x \rfloor = 2\)     d'où          \(\forall x \in ]2,3[,\    \dfrac{1}{\lfloor  x  \rfloor} = \dfrac{1}{2}\)

\(\begin{eqnarray*}      \mbox{donc }                  \lim_{x\to 2{+}} {f(x) } & = &   \lim_{x\to 2^{+}} {  \dfrac{1}{\lfloor x \rfloor } } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt}  & = &  \lim_{x\to 2^{+}} {\dfrac{1}{2}}  \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt}  & = &  \dfrac{1}{2} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt}    & = &  f(0) \end{eqnarray*}\)

 On en déduit que la fonction \(f\) est continue à droite en \(2\).

Par ailleurs  on a aussi :      \(\forall x \in ]1,2[ ,\   \lfloor x \rfloor = 1\)     d'où          \(\forall x \in ]1,2[,\    \dfrac{1}{\lfloor  x  \rfloor} = 1\)

\(\begin{eqnarray*}            \mbox{donc }                           \lim_{x\to 2{-}} {f(x) } & = &   \lim_{x\to 2^{-}} {  \dfrac{1}{\lfloor x \rfloor } } \\

                                   \rule[-4 pt]{0pt}{30pt}                             & = &  \lim_{x\to 2^{-}} {1}  \\

                                   \rule[-4 pt]{0pt}{30pt}                             & = &   1 \\

                                    \rule[-4 pt]{0pt}{30pt}                             & \neq &  f(0)

                      \end{eqnarray*}\)

On en déduit que la fonction \(f\) n'est  pas continue à gauche en \(2\).

On peut donc en conclure  que la fonction \(f\) n'est pas continue en \(2\).

Ex2 - Question 3

La fonction \(f\) est-elle  continue en \(\dfrac{5}{2}\) ?

Ex 2 - Réponse à la question 3

On constate que \(f = v \circ u\)

où \(u\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\)  dans \(\mathbb{R}\) par \(x\mapsto \lfloor x \rfloor\)

et \(v\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\)  dans \(\mathbb{R}\) par \(x\mapsto \dfrac{1}{x}\)

La fonction \(u\) est  continue en \(\dfrac{5}{2}\) et la fonction \(v\) est continue en \(u \left ( \dfrac{5}{2} \right )\), car \(u \left ( \dfrac{5}{2} \right )  = 2\),   donc d'après le théorème sur la continuité d'une fonction composée, on en déduit que la fonction \(v \circ u\), c'est à dire \(f\), est continue en \(\dfrac{5}{2}\).