Title: Extremum
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R+}\) dans \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto xe^{-x/2}\).

\(f\) admet un extrémum en un point \(x_0>0\).

- Entrer la valeur de \(x_0\) dans la case suivante : [...]
- Cet extrémum est-il un minimum ou un maximum ? (M pour max, m pour min) : [...]
- Cet extrémum est-il global ? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Donner le point ou la fonction atteint son minimum : [...]
- Donner la valeur du minimum de la fonction : [...]
A: 2; M / m; V / v; 0; 0
Feedback: La dérivée de \(f\) est définie par \(f'(x)=(1-x/2)e^{-x/2}\). Elle s’annule en \(t=2\). La dérivée seconde de \(f\) est définie par \(f"(x)=(-1/2-1/2(1-(x/2))e^{-x/2}\). Elle est négative en \(x=2\). Il y a donc un maximum local en \(x_0=2\). La valeur de ce maximum est \(2/e\). C’est le seul maximum local. On compare à la valeur aux bornes : en \(0\) la fonction vaut \(0\), en \(+\infty\) sa limite est \(0\). Donc le maximum local de la fonction est un maximum global. Il n’y a pas de minimum local dans l’intervalle. Donc le minimum est atteint sur une borne fermée de l’intervalle c’est-à-dire en \(0\). Ce minimum global vaut \(0\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R+}\) dans \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto x\log(x)\).

\(f\) admet un extrémum en un point \(x_0=e^n\), où \(n\) est un entier relatif.

- Entrer la valeur de \(n\) dans la case suivante : [...]
- Cet extrémum est-il un minimum ou un maximum ? (M pour max, m pour min) : [...]
- Cet extrémum est-il global ? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- La fonction a-t-elle un maximum global? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: -1; m / m; V / v; F / f
Feedback: La dérivée de \(f\) est définie par \(f'(x)=1+\log(x)\). Elle s’annule en \(x=e^{-1}\). La dérivée seconde de \(f\) est définie par \(f"(x)=1/x\). Elle est positive en \(x=e^{-1}\). Il y a donc un minimum local en \(x_0=e^{-1}\). La valeur de ce minimum est \(-e^{-1}\). C’est le seul minimum local. On compare à la valeur aux bornes : en \(0\) la fonction vaut \(0\), en \(+\infty\) sa limite est \(0\). Donc le minimum local de la fonction est un minimum global. Il n’y a pas de maximum local dans l’intervalle. En \(+\infty\) la limite est \(+\infty\). Il n’y a pas de maximum global à la fonction.

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R+}\) dans \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto (x-1)^2\).

\(f'\) s’annule en un point \(x_0\).

- Entrer la valeur de \(x_0\) dans la case suivante : [...]
- Ce point est-il un minimum ou un maximum ? (M pour max, m pour min) : [...]
- Cet extrémum est-il global ? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- La fonction a-t-elle un maximum global? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: 1; m / m; V / v; F / f
Feedback: La dérivée de \(f\) est définie par \(f'(x)=2(x-1)\). Elle s’annule en \(x_0=1\). La dérivée seconde de \(f\) est définie par \(f"(x)=2\). Elle est positive en \(x_0=1\). Il y a donc un minimum local en \(x_0=1\). La valeur de ce minimum est \(0\). C’est le seul minimum local. On compare à la valeur aux bornes : en \(0\) la fonction vaut \(1\), en \(+\infty\) sa limite est \(+\infty\). Donc le minimum local de la fonction est un minimum global. Il n’y a pas de maximum local dans l’intervalle. En \(+\infty\) la limite est \(+\infty\). Il n’y a pas de maximum global à la fonction.

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R+}\) dans \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto x^3-2x^2+x\).

\(f'\) s’annule en deux points \(x_0=1/n\) et \(x_1=p\).

- Entrer la valeur de \(n\) dans la case suivante : [...]
- Ce point est-il un minimum ou un maximum ? (M pour max, m pour min) : [...]
- Entrer la valeur de \(p\) dans la case suivante : [...]
- Ce point est-il un minimum ou un maximum ? (M pour max, m pour min) : [...]
- La fonction a-t-elle un maximum global? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- La fonction a-t-elle un minimum global? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: 0; M / m; 1; m / m; F / f; V / v
Feedback: La dérivée de \(f\) est définie par \(f'(x)=3x^2-4x+1\). Elle s’annule en \(x_0=1/3\) et \(x_1=1\). La dérivée seconde de \(f\) est définie par \(f"(x)=6x-4\). Elle est negative en \(x_0\) et positive en \(x_1\). Il y a donc un maximum local en \(x_0\) qui vaut \(10/27\) et un minimum local en \(x_1\) qui vaut \(0\). En \(+\infty\) la limite est \(+\infty\). Il n’y a pas de maximum global à la fonction. Il n’y a qu’un seul minimum local qui vaut \(0\). On compare à la valeur aux bornes : en \(0\) la fonction vaut \(0\), en \(+\infty\) sa limite est \(+\infty\). Donc le minimum local de la fonction est un minimum global non strict. Il y a un autre minimum global non strict sur le bord de l’intervalle en \(x=0\).

Q: On considère la fonction \(\sin\) sur l’intervalle \([0;2\pi]\). Il y a deux points \(x_0=n\pi/2< x_1=p\pi/2\) où la dérivée de \(\sin\) s’annule.

- Entrer la valeur de \(n\) dans la case suivante : [...]
- Ce point correspond-il à un minimum ou à un maximum ? (M pour max, m pour min) : [...]
- Entrer la valeur de \(p\) dans la case suivante : [...]
- Ce point correspond-il à un minimum ou à un maximum ? (M pour max, m pour min) : [...]
- La fonction a-t-elle un maximum global? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- La fonction a-t-elle un minimum global? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: 1; M / m; 3; m / m; V / v; V / v
Feedback: La dérivée de \(\sin\) est \(\cos\). Elle s’annule en \(x_0=\pi/2\) et \(x_1=3\pi/2\). La dérivée seconde de \(f\) est définie par \(-\sin\). Elle est negative en \(x_0\) et positive en \(x_1\). Il y a donc un maximum local en \(x_0\) qui vaut \(1\) et un minimum local en \(x_1\) qui vaut \(-1\). On compare à la valeur aux bornes : en \(0\) et en \(2\pi\) la fonction vaut \(0\). Donc le minimum local est le minimum global et le maximum local est le maximum global.

Q: On considère la fonction \(\tan\) sur l’intervalle \([0;\pi/2[\).

- Y a-t-il à un maximum local à l’intérieur de l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un minimum local à l’intérieur de l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un maximum global sur l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un minimum global sur l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un minimum global strict sur l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: F / f; F / f; F / f; V / v; V / v
Feedback: La dérivée de \(\tan\) est \(1+\tan^2\). Elle ne s’annule pas dans l’intervalle, donc il n’y a ni minimum local ni minimum global à l’intérieur de l’intervalle. En \(\pi/2\) la limite est \(+\infty\). Il n’y a pas de maximum global à la fonction. On regarde à la valeur à la borne : en \(0\), la fonction vaut \(0\) et elle est positive sur l’intervalle (\(\tan x\) est du même signe que \(x\)). Donc la fonction atteint un minimum global en \(0\). De plus la dérivée est strictement positive, donc la fonction est strictement positive pour \(x>0\). Le minimum global est un minimum global strict.

Q: On considère la fonction \(x\tan x\) sur l’intervalle \(]-\pi/2;\pi/2[\).

- Y a-t-il à un maximum local à l’intérieur de l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un minimum local à l’intérieur de l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un maximum global sur l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un minimum global sur l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un minimum global strict sur l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: F / f; V / v; F / f; V / v; V / v
Feedback: La dérivée de \(x\tan x\) est \(x(1+\tan^2 x)+\tan x\). Elle s’annule pour \(x=0\) est strictement positive pour \(x>0\), strictement négative pour \(x<0\). La dérivée seconde est \(2(1+\tan^2 x)+2x\tan x(1+\tan^2 x)>0\). La fonction admet un minimum local en \(0\); la valeur de ce minimum est \(0\). Il n’y a pas d’autre point où la dérivée s’annule donc il n’y a pas de maximum local atteint à l’intérieur de l’intervalle. En \(-\pi/2\) et \(\pi/2\) la limite est \(+\infty\). Le minimum local est donc un minimum global. Il n’y a pas de maximum global à la fonction. De plus, la fonction est strictement positive pour \(x\neq 0\), donc le minimum global est strict.

Q: On considère la fonction \(\cos\) sur l’intervalle \(]-\pi;\pi[\).

- Y a-t-il à un maximum local à l’intérieur de l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un minimum local à l’intérieur de l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un maximum global sur l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un minimum global sur l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un maximum global strict sur l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un minimum global strict sur l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: V / v; F / f; V / v; F / f; V / v; F / f
Feedback: La dérivée de \(\cos x\) est \(-\sin x\). Elle ne s’annule que pour \(x=0\). La dérivée seconde est \(-\cos x\) elle est negative en \(x=0\) et positive en \(x=\pi\). La fonction admet un maximum local en \(x=0\) ; la valeur de ce maximum est \(1\). Pour tout \(x\neq 0\), \(1>\cos x\), donc le maximum est global et strict. La fonction n’admet pas de minimum local dans l’intervalle ; les bornes n’appartiennent pas à l’intervalle donc la fonction n’atteint pas de minimum aux bornes. En \(-\pi/2\) et \(\pi/2\) la limite est \(+\infty\). le minimum local est donc un minimum global. Pour tout \(x\in ]-\pi,\pi[\), \(\cos x>-1\), donc le minimum est global et strict.

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto (x-1)^2\).

\(f'\) s’annule en un point \(x_0\).

- Quelle est la valeur de \(x_0\) : [...]
- Y a-t-il à un maximum local à l’intérieur de l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un minimum local à l’intérieur de l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un maximum global sur l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un minimum global sur l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: 0; F / f; F / f; F / f; F / f
Feedback: La dérivée de \(x^3\) est \(3x^2\). Elle ne s’annule que pour \(x=0\). La dérivée seconde est \(6x\), elle est nulle en \(x=0\). La dérivée troisième est égale à \(6\) ; elle est positive donc le point \(x=0\) n’est pas un extremum local. La fonction n’admet ni minimum local ni maximum local sur \(\mathbb R\). Les bornes n’appartiennent pas à l’intervalle donc la fonction n’atteint pas d’extremum aux bornes.

Q: On considère la fonction \(x^2\cos x\) sur l’intervalle \([0;\pi/2]\).

- Y a-t-il à un maximum local à l’intérieur de l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un minimum local à l’intérieur de l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un maximum global sur l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un minimum global sur l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: V / v; F / f; V / v; V / v
Feedback: La dérivée de \(x^2\cos x\) est \(2x\cos x-x^2\sin x\). Elle s’annule quand \(x\tan x=2\). Mais \(x\tan x=2\) est strictement croissante, vaut \(0\) en \(0\) et tend vers \(+\infty\) en \(\pi/2\). Donc il y a un seul point \(x_0\) tel que \(x_0\tan x_0=2\), où la dérivée s’annule. La dérivée seconde est \((2-x^2)\cos x -4x\sin x=\cos x(2-x^2 -4x\tan x)\). Au point \(x_0\), elle vaut \(\cos x_0(2-x_0^2 -4x_0\tan x_0)=\cos x_0(2-x_0^2 -8)<0\). Elle est donc négative et la fonction admet un maximum local en \(x_0\); ce maximum local est strictement positif. Il n’y a pas d’autre point d’annulation de la dérivée donc pas de minimum local à l’intérieur de l’intervalle. En \(0\) et \(\pi/2\) la fonction vaut \(0\). Le maximum local est donc un maximum global. La fonction étant positive sur l’intervalle, elle atteint un minimum global aux bornes où elle vaut \(0\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \([0;\pi/2]\) dans \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto \cos x+\sin x\).

- Y a-t-il à un maximum local à l’intérieur de l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un minimum local à l’intérieur de l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un maximum global sur l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un minimum global sur l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: V / v; F / f; V / v; V / v
Feedback: La dérivée de \(\cos x+\sin x\) est \(-\sin x +\cos x\). Elle s’annule quand \(\tan x=1\) soit pour \(x_0=\pi/4\). La dérivée seconde est \(-\cos x -\sin x\). Elle est négative au point \(x_0=\pi/4\). La fonction admet un maximum local en \(x_0\); ce maximum local est \(\sqrt 2\). Il n’y a pas d’autre point d’annulation de la dérivée donc pas de minimum local à l’intérieur de l’intervalle. En \(0\) et \(\pi/2\) la fonction vaut \(1<\sqrt 2\). Le maximum local est donc un maximum global. La fonction étant positive sur l’intervalle, elle atteint un minimum global aux bornes où elle vaut \(0\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(]1;5]\) dans \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto \dfrac {x^2}{x-1}\).

- Y a-t-il à un maximum local à l’intérieur de l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un minimum local à l’intérieur de l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un maximum global sur l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un minimum global sur l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: F / f; V / v; F / f; V / v
Feedback: La dérivée de \(f\) est \(\dfrac {2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}=\dfrac {x^2-2x}{(x-1)^2}\). Elle s’annule en \(x_0=2\). La dérivée seconde est \(\dfrac {(2x-2)(x-1)^2-(2x-2)(x^2-2x)}{(x-1)^4}=\dfrac {2}{(x-1)^3}\). Elle est positive au point \(x_0=2\). La fonction admet un minimum local en \(x_0\) ; ce minimum local est \(4\). Il n’y a pas d’autre point d’annulation de la dérivée donc pas de maximum local à l’intérieur de l’intervalle. La limite de \(f\) en \(1\) est \(+\infty\), et la valeur est \(25/4\) en x=5$. Le minimum local est donc un minimum global. La limite de \(f\) en \(1\) est \(+\infty\), donc elle n’atteint pas de maximum global sur l’intervalle.

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto \dfrac {1}{e^x+e^{-x}}\).

- Y a-t-il à un maximum local à l’intérieur de l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un minimum local à l’intérieur de l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un maximum global sur l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un minimum global sur l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: V / v; F / f; V / v; F / f
Feedback: La dérivée de \(f\) est \(\dfrac {-e^x+e^{-x}}{(e^x+e^{-x})^2}\). Elle s’annule en \(x=0\). Elle est positive pour \(0>x\) et négative pour \(x>0\). La fonction admet un maximum local et global en \(x=0\); ce maximum local vaut \(1/2\). Il n’ y a pas de minimum local à l’intérieur de l’intervalle car la dérivée ne s’annule en aucun autre point. Les bornes ne font pas partie de l’intervalle, donc il n’y a pas de minimum global atteint sur l’intervalle.

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto \dfrac {1}{x^2+1}\).

- Y a-t-il à un maximum local à l’intérieur de l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un minimum local à l’intérieur de l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un maximum global sur l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un minimum global sur l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: V / v; F / f; V / v; F / f
Feedback: La dérivée de \(f\) est \(\dfrac {-2x}{(1+x^2)^2}\). Elle s’annule en \(x=0\). Elle est positive pour \(0>x\) et négative pour \(x>0\). La fonction admet un maximum local et global en \(x=0\); ce maximum local vaut \(1\). Il n’ y a pas de minimum local à l’intérieur de l’intervalle car la dérivée ne s’annule en aucun autre point. Les bornes ne font pas partie de l’intervalle, donc il n’y a pas de minimum global atteint sur l’intervalle.

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto \dfrac {x}{x^2+1}\).

- Y a-t-il à un maximum local à l’intérieur de l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un minimum local à l’intérieur de l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un maximum global sur l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
- Y a-t-il à un minimum global sur l’intervalle? (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: V / v; V / v; V / v; V / v
Feedback: La dérivée de \(f\) est \(\dfrac {1+x^2-2x^2}{(1+x^2)^2}=\dfrac {1-x^2}{(1+x^2)^2}\). Elle s’annule en \(x_0=-1\) et \(x_1=1\). La dérivée seconde est \(\dfrac {-2x(1+x^2)^2-4x(1+x^2)}{(1+x^2)^4}=\dfrac {-2x(3+x^2)}{(1+x^2)^3}\). Elle est positive pour \(0>x\) et négative pour \(x>0\). La fonction admet un minimum local qui vaut \(-1/2\) en \(x_0=-1\) et un maximum local qui vaut \(1/2\) en \(x_1=1\). Pour savoir si le minimum et maximum local sont globaux, il faut établir un tableau de variation : la limite en $-est nulle, puis la fonction est décroissante jusqu’à \(x=-1\) croissante ensuite jusqu’à \(x=1\), puis décroissante jusqu’à la limite en \(+\infty\) qui vaut \(0\). Le minimum et le maximum local sont donc globaux.