Title: Rappels Nombre dérivé
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Continuité, Dérivation, Intégration

Références de rappels de cours

Définition de la dérivabilité d'une fonction $$f$$ en un point $$x_{0}$$.

Soit $$f$$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant  un point $$x_{0}$$, on dit que la fonction $$f$$ est dérivable au point $$x_{0}$$ si la fonction $$x \mapsto  \dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$$ admet une limite finie lorsque $$x$$ tend vers $$x_{0}$$.

On note alors :

$$ \qquad f'\left ( x_{0} \right )  = {\lim_{x \to x_{0}} \; \dfrac{f(x) - f \left( x_{0} \right) }{ x-  x_{0} }} .$$

Le réel $$ f'\left ( x_{0} \right )$$ est appelé le nombre dérivé de la fonction $$f$$ en $$x_{0}$$.

Si la limite à droite (pour $$x>x_0$$) et la limite à gauche (pour $$x< x_0$$) sont différentes, la fonction n'est pas dérivable. On dit cependant que la fonction admet une dérivée à droite et ou une dérivée à gauche.

Ex 1 - Question 1

Soit $$a$$ un réel fixé, on considère les fonctions $$f_{a}$$  définies sur $$\mathbb R$$ par :
$$f_{a}(x)={x|x-a|}$$.

On suppose que $$a = 1$$.

Donnez la valeur de $$f_1'(2)$$ :

Ex 1 - Réponse à la question 1

Soit $$a$$ un réel fixé, on considère les fonctions $$f_{a}$$  définies sur $$\mathbb R$$ par :
$$f_{a}(x)={x|x-a|}$$.

On suppose que $$a = 1$$.

La valeur de $$f_1'(2)$$  est $$3$$.

Explication :

$$\begin{align}
\lim_{x \to 2 } \frac{f_1(x)-f_1(2)} {x-2}   = &  \lim_{x \to 2} \frac{ x(x-1) - 2}{x-2}\\
  = &   \lim_{x \to 2} \frac{ x^2-x-2 } {x-2}\\
   = &   \lim_{x \to 2} \frac{ (x+1)(x-2) } {x-2}\\
   = &  \lim_{x \to 2}\  x+1 \\
       = &\ 3.
\end{align}$$

Ex 1 - Question 2

Soit $$a$$ un réel fixé, on considère les fonctions $$f_{a}$$  définies sur $$\mathbb R$$ par :
$$f_{a}(x)={x|x-a|}$$.

On suppose que $$a = 1$$.

Quelle est la valeur  de $$f_1'(0)$$  ?

Ex 1 - Réponse à la question 2

Soit $$a$$ un réel fixé, on considère les fonctions $$f_{a}$$  définies sur $$\mathbb R$$ par :
$$f_{a}(x)={x|x-a|}$$.

On suppose que $$a = 1$$.

La valeur de $$f_1'(0)$$  est $$0$$.

Explication

$$\begin{align*}
\lim_{x \to 0 } {\frac{f_{1}(x)-f_{1}(0)}{x-0}}    = & { \lim_{x \to 0} {\frac{ x(1-x) - 0}{x}} }\\
       = & { \lim_{x \to a} {+1-x} }\\
       = &1.
\end{align*}$$

Ex 1 - Question 3

Soit $$a$$ un réel fixé, on considère les fonctions $$f_{a}$$  définies sur $$\mathbb R$$ par :
$$f_{a}(x)={x|x-a|}$$.

On suppose que $$a = 1$$.

La fonction $$f_1$$ est-elle dérivable en 1 ?

Ex 1 - Réponse à la question 3

La fonction $$f_1$$ n' est pas dérivable en $$1$$.

Elle admet un nombre dérivé différent à droite et à gauche.

Explication

$$\begin{align}
\lim_{{x \to 1} , \ {x>1} } {\frac{f_{1}(x)-f_{1}(1)}{x-1}}    = & { \lim_{{x \to 1} , \ {x>1}}{\frac{ x|x-1| - 0}{x-1}} }\\
       = &  { \lim_{{x \to 1} , \ {x>1}}{\frac{ x(x-1)}{x-1}} }\\
       = & { \lim_{{x \to 1} , \ {x>1}} x }\\
       = & 1. \\
\end{align}$$
Le nombre dérivé de $$f_1$$ à droite de $$1$$ est $$1$$.

$$\begin{align}
\lim_{{x \to 1} , \ {1>x} } {\frac{f_{1}(x)-f_{1}(1)}{x-1}}    = & { \lim_{{x \to 1} , \ {1>x}}{\frac{ x|x-1| - 0}{x-1}} }\\
       = &   \lim_{x \to 1 , 1>x}\frac{ -x(x-1)}{x-1} \\
       = &  \lim_{x \to 1 , 1>x}{-x} \\
       = &-1.
\end{align}$$
Le nombre dérivé de $$f_1$$ à gauche de $$1$$ est $$-1$$.

Ex 1 - Question 4

Soit $$a$$ un réel fixé, on considère les fonctions $$f_{a}$$  définies sur $$\mathbb R$$ par :

$$f_{a}(x)={x|x-a|}$$.

On suppose que $$a = 0$$.

Quelle est la valeur  de $$f_0'(2)$$  ?

Ex 1 - Réponse à la question 4

La dérivée de $$f_0$$ en $$2$$ vaut $$0$$.

Explication

$$\begin{align}
\lim_{x \to 2}  {\frac{f_{0}(x)-f_{0}(2)}{x-2}}    = & { \lim_{x \to 2} {\frac{ x|x| - 4}{x-2}} }\\
       = &  \lim_{x \to 2}  {x+2} \\
       = &\ 4.
\end{align}$$

Ex 1 - Question 5

Soit $$a$$ un réel fixé, on considère les fonctions $$f_{a}$$  définies sur $$\mathbb R$$ par :

$$f_{a}(x)={x|x-a|}$$.

On suppose que $$a = 0$$.

Quelle est la valeur  de $$f_0'(0)$$  ?

Ex 1 - Réponse à la question 5

La dérivée de $$f_0'$$ en $$0$$ est $$0$$.

Explication

$$\begin{align}
\lim_{x \to 0}  {\frac{f_{0}(x)-f_{0}(0)}{x-0}}    = & { \lim_{x \to 0} {\frac{ x|x| - 0}{x}} }\\
       = & \lim_{x \to 0}  {|x|} \\
       = &\ 0.
\end{align}$$