Title: Calcul avance
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb{R}\] par \[x \mapsto{\sqrt{x} \cos \left (x^2 \right) }\].
- La fonction \[f\] n’est pas dérivable en \[0\].
- \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\cos \left (x^{2} \right) - 2x^{ \frac{3}{2}} \sin \left (x^{2} \right)\].
- \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, f'(x) = 2x \sqrt {x}\cos \left (x^{2} \right)\].
A: La fonction \[f\] n’est pas dérivable en \[0\].; \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\cos \left (x^{2} \right) - 2x^{ \frac{3}{2}} \sin \left (x^{2} \right)\].
Feedback: Soit \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f\], on a : \[D_{f} = \mathbb{R}_{+}.\] On a : \[f = g.h\] avec \[g(x)={\sqrt{x} }\] et \[h(x)={\cos \left (x^{2} \right)}\]. De plus on a : \[h = \cos \circ \, w\] avec \[w(x)={x^{2} }\]. Les fonctions \[\cos\] et \[w\] étant dérivables sur \[\mathbb{R}\] la fonction \[h\] est dérivable sur \[\mathbb{R}\] comme composée de fonctions dérivables et on a : \[\begin{align} \forall x \in \mathbb{R} h'(x) = &\ w'(x) . (\cos' \circ \; w)(x) \\ = &\ 2x .(- \left ( \sin \left (x^{2} \right) \right ) \\ = &\ -2x \sin \left (x^{2} \right) \end{align}\] Les fonctions \[g\] et \[h\] étant dérivables sur \[\mathbb{R}_{+}^{*}\] la fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}_{+}^{*}\] comme produit de fonctions dérivables et on a : \[\begin{align} \forall x \in \mathbb{R}_{+}^{+}, f'(x) = &\ \frac{1}{2\sqrt{x}}\cos \left (x^{2} \right) + \sqrt x \left ( - 2x \sin \left (x^{2} \right) \right ) \\ = &\ \frac{1}{2\sqrt{x}}\cos \left (x^{2} \right) - 2x^{ \frac{3}{2}} \sin \left (x^{2} \right)\end{align}\] Par ailleurs on a : \[\begin{align} \lim_{x \to 0} { \frac{f(x)-f(0)}{x-0}} = &\ {\ \lim_{x \to 0} { \frac{ \sqrt{x} \cos \left (x^{2} \right) -0}{x-0} }}\\ = &\ {\ \lim_{x \to 0} { \frac{ \sqrt{x} \cos \left (x^{2} \right) }{x} }}\\ = &\ {\ \lim_{x \to 0} { \frac{ \cos \left (x^{2} \right) } { \sqrt{x} }}}\\ = &\ + \infty. \end{align}\] On en déduit que la fonction \[f\] n’est pas dérivable en 0.

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \[\mathbb{R}\] vers \[\mathbb{R}\] par \[x \mapsto{x}{ e^{x}\sqrt { 1 + e^{-x} } }\]. La fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}\] et on a : \[\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x) = \frac{ ne^{x} + p} { q \sqrt { 1 + e^{-x} } },\] où \[p\], \[q\] et \[n\] sont des entiers naturels, la fraction \[\frac{p}{q}\] étant irréductible.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \[n\] : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \[p\] : [...]
3. Entrer la valeur de l’entier naturel \[q\] : [...]
A: 2; 1; 2
Feedback: Soit \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f\], puisque \[\forall x \in \mathbb{R},\ 1 + e^{-x} > 0\], on a : \[D_{f} = \mathbb{R}.\] On a : \[f = g.h\] avec \[g(x)= {e^{x}}\] et \[h(x)= { \sqrt { 1 + e^{-x} }}\]. De plus on a : \[h = v \circ \, u\] avec \[v(x)= { \sqrt{x} }\] et \[u(x)= { 1 + e^{-x} }\]. Les fonctions \[u\] et \[v\] sont dérivables respectivement sur \[\mathbb{R}\] et sur \[\mathbb{R}_{+}^{*}\], et on a : \[\forall x \in \mathbb{R},\ u(x) > 0\] ; on en déduit que la fonction \[h\] est dérivable sur \[\mathbb{R}\] comme composée de fonctions dérivables et de plus : \[\begin{align} \forall x \in \mathbb{R},\ h'(x) = &\ u'(x) . ( v' \circ \; u)(x) \\ = &\ -e^{-x} . \frac{1}{2 \sqrt{u(x)}} \\ = &\ \frac{-e^{-x}} { 2 \sqrt { 1 + e^{-x} } } \end{align}\] Les fonctions \[g\] et \[h\] étant dérivables sur \[\mathbb{R}\] la fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}\] comme produit de fonctions dérivables et on a : \[\begin{align}\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x) = &\ e^{x}.\sqrt { 1 + e^{-x} } + e^{x}. \frac{-e^{-x}} { 2 \sqrt { 1 + e^{-x} } } \\ = &\ e^{x} . \frac{ 2\left (\sqrt { 1 + e^{-x} } \right )^{2} - e^{-x}} { 2 \sqrt { 1 + e^{-x} } } \\ = &\ e^{x} . \frac{ 2\left ( 1 + e^{-x} \right ) - e^{-x}} { 2 \sqrt { 1 + e^{-x} } } \\ = &\ e^{x} . \frac{ 2 + e^{-x}} { 2 \sqrt { 1 + e^{-x} } } \\ = &\ \frac{ 2e^{x} + 1} { 2 \sqrt { 1 + e^{-x} } } \end{align}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \[\mathbb{R}\] vers \[\mathbb{R}\] par \[x \mapsto{x}{ \mbox{Arctan} \left ( \frac{x}{1 + x^{2} } \right) }\]. La fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}\] et on a :
\[\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x) = \frac{1- n x^{2}}{ 1 + px^{2} + qx^{4}}.\]

où \[n\], \[p\] et \[q\] sont des entiers naturels.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \[n\] dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \[p\] dans la case suivante : [...]
3. Entrer la valeur de l’entier naturel \[q\] dans la case suivante : [...]
A: 1; 3; 1
Feedback: Soit \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f\], on a : \[D_{f} = \mathbb{R}.\] On a : \[f = \mbox{Arctan} \circ \, w\] avec \[w(x)= { \frac{x}{1 + x^{2} }}\]. De plus on a : \[w = \frac{u}{v}\] avec \[u(x)= {x}\] et \[v(x)= {1 + x^{2} }\]. Les fonctions \[u\] et \[v\] étant dérivables sur \[\mathbb{R}\] la fonction \[w\] est dérivable sur \[\mathbb{R}\] comme quotient de fonctions dérivables et on a : \[\begin{align} \forall x \in \mathbb{R},\ w'(x) = &\ \frac{1.\left ( 1 + x^{2} \right) - x .2x } {\left ( 1 + x^{2}\right)^{2}}\\ = &\ \frac{1.\left ( 1 + x^{2}\right) - 2x^{2} } {\left ( 1 + x^{2}\right)^{2}}\\ = &\ \frac{1 - x^{2}} {\left ( 1 + x^{2}\right)^{2}} \end{align}\] Les fonctions \[\mbox{Arctan}\] et \[w\] étant dérivables sur \[\mathbb{R}\] la fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}\] comme composée de fonctions dérivables et on a : \[\begin{align} \forall x \in \mathbb{R},\ f'(x) = &\ \ w'(x) . ( \mbox{Arctan}' \circ \; w)(x) \\ = &\ \frac{1- x^{2}} {\left ( 1 + x^{2}\right)^{2}} . \frac{1}{1 + \left( \frac{x}{1 + x^{2} } \right)^{2} } \\ = &\ \frac{1- x^{2}} {\left ( 1 + x^{2}\right)^{2}} . \frac{1}{ \frac{ \left( {1 + x^{2} } \right)^{2} + x^{2}}{\left ( 1 + x^{2}\right)^{2}} } \\ = &\ \frac{1- x^{2}} {\left ( 1 + x^{2}\right)^{2} + x^{2}} \\ = &\ \frac{1- x^{2}}{ 1 + 3x^{2} + x^{4}} \end{align}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \[\mathbb{R}\] vers \[\mathbb{R}\] par \[x \mapsto{ 2x \sqrt{ 1 - x^{2} } }\].

On note \[D_{f'}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f'\].

Entrer le numéro correspondant à la bonne réponse parmi les choix suivants : [...]

1. \[D_{f'} = \mathbb{R}^{*}\]
2. \[D_{f'} = \mathbb{R}_{+}^{*}\]
3. \[D_{f'} = [-1, 1]\]
4. \[D_{f'} = ]-1,1[\]

La fonction \[f\] est dérivable sur \[D_{f'}\] et on a : \[\forall x \in D_{f'}, f'(x) = \frac {n + px^{2} } { \sqrt{ 1 + x^{2} } }\], où \[n\] et \[p\] sont des entiers relatifs.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[n\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[p\] dans la case suivante : [...]
A: 4; 2; -4
Feedback: Soit \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f\], \[D_{f} = \left \{ x \in \mathbb{R} \; / 1 - x^{2} \geq 0 \right \}.\] d’où \[D_{f} = [-1, 1]\]. On a : \[f = g.h\] avec \[g(x)= {2x}\] et \[h(x)= \sqrt { 1 - x^{2} }\]. De plus on a : \[h = v \circ \, u\] avec \[v(x)= { \sqrt{x} }\] et \[u(x)= { 1 - x^{2} }\]. Les fonctions \[u\] et \[v\] sont dérivables respectivement sur \[]-1,1[\] et sur \[\mathbb{R}_{+}^{*}\] et on a : \[\forall x \in ]-1,1[, \; u(x) > 0\]. On en déduit que la fonction \[h\] est dérivable sur \[]-1,1[\] comme composée de fonctions dérivables et on a : \[\begin{align} \forall x \in ]-1,1[ h'(x) = &\ u'(x) . ( v' \circ \; u)(x) \\ = &\ -2x . \frac{1}{2 \sqrt{u(x)}} \\ = &\ \frac{-x} { \sqrt { 1 - x^{2} } } \end{align}\] Les fonctions \[g\] et \[h\] étant dérivables sur \[ ]-1,1[\] la fonction \[f\] est dérivable sur \[ ]-1,1[\] comme produit de fonctions dérivables et on a : \[\begin{align} \forall x \in ]-1,1[ f'(x) = &\ 2.\sqrt { 1 - x^{2} } + 2x. \frac{-x} { \sqrt { 1 - x^{2} } } \\ = &\ \frac{ 2\left (\sqrt { 1 - x^{2} } \right )^{2} - 2x^{2}} { \sqrt { 1 - x^{2} } } \\ = &\ \frac{ 2 - 2x^{2} -2x^{2} } { \sqrt { 1 - x^{2} } } \\ = &\ \frac{ 2 - 4x^{2} } { \sqrt { 1 - x^{2} } } \end{align}\] Par ailleurs on a : \[\begin{align} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = &\ \frac{ 2x \sqrt {1-x^{2} }-0}{x-1} \\ = &\ \frac{ 2x \left ( \sqrt { 1 - x^{2}} \right )^{2} }{ (x-1)\sqrt{ (1-x^{2} }} \\ = &\ \frac{ 2x \left ( 1 - x^{2} \right ) }{ (x-1)\sqrt{ 1-x^{2} }} \\ = &\ \frac{ 2x (1 - x)(x+1) }{ (x-1)\sqrt{ 1-x^{2} }} \\ = &\ \frac{ 2x(-(x-1)(x+1) }{ (x-1))\sqrt{ (1-x^{2} }} \\ = &\ \frac{ -2x(x+1) }{ \sqrt{ 1-x^{2} }} \end{align}\] d’où \[\begin{align}\lim_{x\to 1} { \frac{f(x)-f(1)}{x-1}} = &\ \lim_{x\to 1} { \frac{ -2x(x+1) }{ \sqrt{ 1-x^{2} }} } \\ = &\ -\infty \end{align}\] donc la fonction \[f\] n’est pas dérivable en \[1\]. D’autre part on a de même : \[\begin{align} \frac{f(x)-f(-1)}{x-(-1)} = &\ \frac{ 2x \sqrt {1-x^{2} }-0}{x+1} \\ = &\ \frac{ 2x \left ( \sqrt { 1 - x^{2}} \right )^{2} }{ (x+1)\sqrt{ (1-x^{2} }} \\ = &\ \frac{ 2x \left ( 1 - x^{2} \right ) }{ (x+1)\sqrt{ 1-x^{2} }} \\ = &\ \frac{ 2x (1 - x)(x+1) }{ (x+1)\sqrt{ 1-x^{2} }} \\ = &\ \frac{ 2x(1-x) }{ \sqrt{1-x^{2} }} \end{align}\] d’où \[\begin{align}\lim_{x\to -1} { \frac{f(x)-f(-1)}{x-(-1)}} = &\ \lim_{x\to -1} { \frac{ 2x(1-x) }{ \sqrt{ (1-x^{2} }} } \\ = &\ -\infty \end{align}\] donc la fonction \[f\] n’est pas dérivable en \[-1\]. La fonction \[f\] est donc définie sur \[[-1,1]\], dérivable sur \[]-1,1[\] et n’est pas dérivable en \[-1\] et en \[1\] ; on en déduit que l’ensemble de définition \[D_{f'}\] de la fonction \[f'\] est égal à \[]-1,1[\].

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \[\mathbb{R}\] vers \[\mathbb{R}\] par \[x \mapsto{ \frac{e^{2x}+1}{e^{2x} - 1 } }\].

On note \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f\].

Entrer le numéro correspondant à la bonne réponse parmi les choix suivants : [...]

1. \[D_{f} = \mathbb{R}^{*}\]
2. \[D_{f} = \mathbb{R}_{+}^{*}\]
3. \[D_{f} = \mathbb{R}_{+}\]
4. \[D_{f} = \mathbb{R}\]

La fonction \[f\] est dérivable sur \[D_{f}\] et on a : \[\forall x \in D_{f}, f'(x) = \frac{(nx - p)e^{-2x}}{ \left(e^{-2x} - 1 \right)^{2} }\], où \[n\] et \[p\] sont des entiers naturels.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[n\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[p\] dans la case suivante : [...]
A: 1; 0; 4
Feedback: Soit \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f\], \[D_{f} = \left \{ x \in \mathbb{R} \; / e^{2x} - 1 \neq 0 \right \}.\] On a : \[\begin{align}\forall x \in \mathbb{R},\ e^{2x} - 1 = &\ 0 \\ \Longleftrightarrow e^{2x} = &\ 1 \\ \Longleftrightarrow \, 2x = &\ 0\\ \Longleftrightarrow \; \, x = &\ 0 \end{align}\] En conclusion on obtient : \[D_{f} = \mathbb{R}^{*}\] De plus on a : \[f = \frac{u}{v}\] avec \[u(x)= {e^{2x} + 1}\] et \[v(x)= { e^{2x} -1}\]. Les fonctions \[u\] et \[v\] étant dérivables sur \[\mathbb{R}\] la fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}^{*}\] comme quotient de fonctions dérivables et on a : \[\begin{align}\forall x \in \mathbb{R}^{*} f'(x) = &\ \frac{2e^{2x}.\left ( e^{2x} - 1\right) - \left ( e^{2x} + 1\right) \left (2e^{2x} \right) } {\left ( e^{2x} - 1 \right)^{2}}\\ = &\ \frac{2 e^{4x} - 2e^{2x} -2e^{4x} -2e^{2x}} {\left ( e^{2x} - 1 \right)^{2}}\\ = &\ \frac{ -4e^{2x}} {\left ( e^{2x} - 1 \right)^{2}} \\ = &\ \frac{ -4e^{2x}} {\left ( e^{2x} \left( 1 - e^{-2x} \right) \right)^{2}} \\ = &\ \frac{ -4e^{2x}} { e^{4x} \left( 1 - e^{-2x} \right) ^{2}} \\ = &\ \frac{ -4e^{-2x}} {\left ( e^{-2x} - 1 \right)^{2}} \end{align}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \[\mathbb{R_{+}^{*}}\] sur \[\mathbb{R}\] par $$f(x)={ ( 1 + x^{ 2} )^{x} }
- La tangente à la courbe représentative de la fonction \[f\] au point d’abscisse \[0\] a pour équation : \[y = 1\].
- \[\forall x \in \mathbb{R}, \quad f'(x) = x\, 2x . \left( 1 + x^{ 2} \right )^{x-1}\].
- \[\forall x \in \mathbb{R}, \quad f'(x) = \left (\frac{ \left ( 1 + x^{2} \right)\ln \left( 1 + x^{ 2} \right ) + 2 x^{2}} { 1 + x^{2}} \right) . \left( 1 + x^{ 2} \right ) ^{x}\] On remarque que : \[\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) = e^{x\ln \left( 1 + x^{ 2} \right )} .\] Par ailleurs la fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}\] comme composée de fonctions dérivables et on a : \[\begin{align} \forall x \in \mathbb{R}, \quad f'(x) &= & \left ( 1.\ln \left( 1 + x^{ 2} \right ) + x .frac{2x}{ 1 + x^{2}} \right) . e^{x \ln {\left( 1 + x^{ 2} \right ) } } \\ = & \left (\frac{ \left ( 1 + x^{2} \right)\ln \left( 1 + x^{ 2} \right ) + 2 x^{2}} { 1 + x^{2}} \right) . e^{x \ln {\left( 1 + x^{ 2} \right ) } } \\ = & \left (\frac{ \left ( 1 + x^{2} \right)\ln \left( 1 + x^{ 2} \right ) + 2 x^{2}} { 1 + x^{2}} \right) . \left( 1 + x^{ 2} \right ) ^{x} \end{align}\] La tangente à la courbe représentative de la fonction \[f\] au point d’abscisse \[0\] a pour équation : \[\begin{align} y =& f'(0)(x-0) + f(0) \\ = & 0.x +1 \qquad \mbox{ en effet} \qquad f'(0) = 0 \quad \mbox{ et } \quad f(0) =1 \quad \\ = & 1 \end{align}\]
A: La tangente à la courbe représentative de la fonction \[f\] au point d’abscisse \[0\] a pour équation : \[y = 1\].; \[\forall x \in \mathbb{R}, \quad f'(x) = \left (\frac{ \left ( 1 + x^{2} \right)\ln \left( 1 + x^{ 2} \right ) + 2 x^{2}} { 1 + x^{2}} \right) . \left( 1 + x^{ 2} \right ) ^{x}\] On remarque que : \[\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) = e^{x\ln \left( 1 + x^{ 2} \right )} .\] Par ailleurs la fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}\] comme composée de fonctions dérivables et on a : \[\begin{align} \forall x \in \mathbb{R}, \quad f'(x) &= & \left ( 1.\ln \left( 1 + x^{ 2} \right ) + x .frac{2x}{ 1 + x^{2}} \right) . e^{x \ln {\left( 1 + x^{ 2} \right ) } } \\ = & \left (\frac{ \left ( 1 + x^{2} \right)\ln \left( 1 + x^{ 2} \right ) + 2 x^{2}} { 1 + x^{2}} \right) . e^{x \ln {\left( 1 + x^{ 2} \right ) } } \\ = & \left (\frac{ \left ( 1 + x^{2} \right)\ln \left( 1 + x^{ 2} \right ) + 2 x^{2}} { 1 + x^{2}} \right) . \left( 1 + x^{ 2} \right ) ^{x} \end{align}\] La tangente à la courbe représentative de la fonction \[f\] au point d’abscisse \[0\] a pour équation : \[\begin{align} y =& f'(0)(x-0) + f(0) \\ = & 0.x +1 \qquad \mbox{ en effet} \qquad f'(0) = 0 \quad \mbox{ et } \quad f(0) =1 \quad \\ = & 1 \end{align}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie par \[f(x)={ \ln \left( x + \sqrt{ x^{2} - 1} \right) }\].

On note \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f\].

Entrer le numéro correspondant à la bonne réponse parmi les choix suivants : [...]

1. \[D_{f} = \mathbb{R}^{*}\] 2.   \[D_{f} = [-1,1]\]  3.   \[D_{f} = [1,+\infty[ \]  4.  \[D_{f} = ]-1,1[\]

La fonction \[f\] est dérivable sur \[]1, + \infty ]\] et on a : \[\forall x \in \, ]1; + \infty [, \quad f'(x) =\frac {nx + p} { \sqrt{ x^{2} -1 } }, où \]n\[ et \]p$$ sont des entiers naturels.

Entrer la valeur de l’entier naturel \[n\] : [...]

Entrer la valeur de l’entier naturel \[p\] : [...]

La fonction \[f\] n’est pas dérivable en \[1\] :

Entrer V ou F dans la case suivante : [...]
A: 3; 0; 1; V / v
Feedback: Soit \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f\], \[D_{f} = \left \{ x \in \mathbb{R} \; / \quad x^{2} - 1 \geq 0 \; \mbox{ et } \; x + \sqrt{ x^{2}-1 } > 0 \right \}.\] On en déduit que : \[D_{f} = \left \{ x \in [-1,1] \; / \quad x + \sqrt{ x^{2} -1} > 0 \right \}.\] On a : \[\forall x \in [1, +\infty[ , \quad \qquad \sqrt{x^{2} -1 } &\geq 0 \quad \mbox{ et } \quad x \geq 1\] d’où \[\forall x \in [1, +\infty[ , \quad x + \sqrt{ x^{2} -1} \geq 1\] soit \[\forall x \in [1, +\infty[ , \quad x + \sqrt{ x^{2} -1} > 0\] Par ailleurs : \[\forall x \in ]-\infty,-1], \qquad \quad \sqrt{x^{2} - 1} < \sqrt{x^{2}} \qquad ( \mbox{ car } x^{2} -1 < x^{2})\] d’où \[\forall x \in ]-\infty,-1], \qquad \quad \sqrt{x^{2} -1} < |x|\] soit \[\forall x \in ]-\infty,-1], \quad x + \sqrt{x^{2} -1 } < x + |x|\] et enfin \[\forall x \in ]-\infty,-1], \quad x + \sqrt{1 + x^{2}} &< & 0\] car si \[x<0,\ |x| =- x)\]. En conclusion on obtient : \[D_{f} = [1,+\infty[\]. De plus on a : \[f= \ln \circ \; w\] avec \[w(x)={ x + \sqrt{ x^{2} -1 } }\]. Les fonctions \[\ln\] et \[w\] étant dérivables sur \[\mathbb{R}_{+}^{*}\] et \[]1, +\infty [\] respectivement la fonction \[f\] est dérivable sur \[]1, +\infty [\] comme composée de fonctions dérivables et on a : \[\begin{align} \forall x \in ]1, +\infty [, \quad f'(x) &= & \ w'(x) . ( \ln ' \circ \; w)(x) \\ = & \left( 1 +\frac{2x}{ 2 \sqrt{ x^{2} -1}} \right).\frac{1}{x + \sqrt{ x^{2} -1 } } \\ & = & \frac{x + \sqrt{ x^{2} -1}} {\sqrt{ x^{2} -1 } } .\frac{1}{x + \sqrt{ x^{2} -1} } \\ = & \frac{1}{ \sqrt{ x^{2} -1} } \end{align}\] Par ailleurs on a aussi : \[\begin{align} frac{f(x)-f(1)}{x- 1} &= & {\frac{ \ln \left( x + \sqrt{ x^{2} - 1} \right) -0}{x- 1} }\\ = & {\frac{ \ln \left( 1 + x - 1 + \sqrt{ x^{2} -1 } \right) }{x- 1} }\\ = & {\frac{ \ln \left( 1 + x - 1 + \sqrt{ x^{2} -1 } \right) } {\left( x - 1 + \sqrt{ x^{2} -1 } \right) } .\frac{ \left( x - 1 + \sqrt{ x^{2} -1 } \right) } {x- 1} }\\ = & {\frac{ \ln \left( 1 + x - 1 + \sqrt{ x^{2} -1 } \right) } {\left( x - 1 + \sqrt{ x^{2} -1 } \right) } . \left( 1 +\frac{ \sqrt{ x^{2} -1 }} {x -1} \right) }\\ = & {\frac{ \ln \left( 1 + x - 1 + \sqrt{ x^{2} -1 } \right) } {\left( x - 1 + \sqrt{ x^{2} -1 } \right) } . \left( 1 +\frac{ \left( \sqrt{ x^{2} -1 } \right)^{2} } { (x -1) \sqrt{x^{2} -1} } \right) }\\ = & {\frac{ \ln \left( 1 + x - 1 + \sqrt{ x^{2} -1 } \right) } {\left( x - 1 + \sqrt{ x^{2} -1 } \right) } . \left( 1 +\frac{ x^{2} -1 } { (x -1) \sqrt{x^{2} -1} } \right) }\\ = & {\frac{ \ln \left( 1 + x - 1 + \sqrt{ x^{2} -1 } \right) } {\left( x - 1 + \sqrt{ x^{2} -1 } \right) } . \left( 1 +\frac{ (x -1)(x +1 } { (x -1) \sqrt{x^{2} -1} } \right) }\\ = & {\frac{ \ln \left( 1 + x - 1 + \sqrt{ x^{2} -1 } \right) } {\left( x - 1 + \sqrt{ x^{2} -1 } \right) } . \left( 1 +\frac{ x +1 } {\sqrt{x^{2} -1} } \right) }\\ \end{align}\] On a \[ { \lim_{u \to 0}{\frac{\ln (1 + u) }{u}} = 1 }\] et \[{ \lim_{x \to 1 } {\left( x - 1 + \sqrt{ x^{2} -1 } \right) } = 0 }\] d’où par composition, il vient : \[ { \lim_{x \to 1 }{\frac{ \ln \left( 1 + x - 1 + \sqrt{ x^{2} -1 } \right) } {\left( x - 1 + \sqrt{ x^{2} -1 } \right) } } = 1 }.\] Par ailleurs on a : \[ { \lim_{x \to 1 } {\left( 1 +\frac{ x +1 } {\sqrt{x^{2} -1} } \right) } = + \infty }\]. On en déduit que \[{ \lim_{x \to 1}{\frac{f(x) - f(1)}{x-1} } = + \infty }\] c’est à dire que la fonction \[f\] n’est pas dérivable en \[1\].

Q: On considère la fonction \[f\] définie par \[f(x)={ (x-1)\sqrt { - x^{2} + 3x -2 } }\].

La fonction \[f\] n’est pas dérivable en \[1\] :

Entrer V ou F dans la case suivante : [...]

La fonction \[f\] n’est pas dérivable en \[2\] :

Entrer V ou F dans la case suivante : [...]

La fonction \[f\] est dérivable sur \[]1, 2 [\] et on a : \[\forall x \in \, ]1,2 [, \quad f'(x) =\frac {nx^{2} + px +q} { 2 \sqrt{ -x^{2} + 3x -2 } }.\]

où \[n\], \[p\] et \[q\] sont des entiers relatifs.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[n\] : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[p\] : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[q\] : [...]
A: F / f; V / v; -4; 11; -7
Feedback: Soit \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f\], \[D_{f} = \left \{ x \in \mathbb{R} \; / \quad - x^{2} + 3x - 2 \geq 0 \right \}.\] On en déduit que : \[D_{f} = [1,2].\] On a : \[f = g.h\] avec \[g(x)={x-1}\] et \[h(x)={ \sqrt { -x^{2} +3x - 2 }}\]. De plus on a : \[h = v \circ \, u\] avec \[v(x)={ \sqrt{x} }\] et \[u(x)={ -x^{2} +3x -2 }\]. Les fonctions \[u\] et \[v\] sont dérivables respectivement sur \[]1,2[\] et sur \[\mathbb{R}_{+}^{*} \], et on a : \[\forall x \in ]1,2[, \quad u(x) > 0\]; on en déduit que la fonction \[h\] est dérivable sur \[]1,2[\] comme composée de fonctions dérivables et de plus : \[\begin{align} \forall x \in ]1,2 [ \ , h'(x) = & u'(x) . ( v' \circ \; u)(x) \\ = & (- 2x +3 ) .\frac{1}{2 \sqrt{u(x)}} \\ = &\frac{-2x +3} { 2 \sqrt { -x^{2} +3x -2 } } \end{align}\] Les fonctions \[g\] et \[h\] étant dérivables sur \[]1,2[\] la fonction \[f\] est dérivable sur \[]1,2[\] en tant que produit de fonctions dérivables et on a : \[\begin{align} \forall x \in ]1,2[ , \quad f'(x) &= & 1. \sqrt { -x^{2} +3x -2 } + (x-1).frac{-2x +3} { 2 \sqrt { -x^{2} +3x -2} } \\ = & \frac{ 2 \left (\sqrt { -x^{2} +3x - 2 } \right )^{2}+ (x-1)(-2x+3)} {2 \sqrt { -x^{2} +3x -2 } } \\ = & \frac{ -2x^{2} +6x -4 -2x^{2} +3x +2x -3 } { 2 \sqrt { -x^{2} +3x -2} } \\ = & \frac{ -4x^{2} + 11x -7 } { 2 \sqrt { -x^{2} +3x -2} } \end{align}\] D’autre part on a : \[\begin{align} frac{f(x)-f(2)}{x-2} &= &\frac{ (x-1) \sqrt {-x^{2} +3x -2 }-0}{x-2} \\ = &\frac{ (x-1) \left ( \sqrt { - x^{2} +3x -2 } \right )^{2} }{ (x-2)\sqrt{ (-x^{2} +3x -2 }} \\ = &\frac{ (x-1) \left ( - x^{2} +3x -2 \right ) }{ (x-2)\sqrt{ -x^{2} +3x -2 }} \\ = &\frac{ (x-1) (-1)( x -1)(x-2) }{ (x-2)\sqrt{ -x^{2} +3x -2}} \\ = &\frac{ -(x-1)(x-1) }{ \sqrt{-x^{2} +3x -2}} \end{align}\] d’où \[\begin{align} \lim_{x\to 2} {\frac{f(x)-f(2)}{x-2}} = & \lim_{x\to 2} {\frac{ -(x-1)(x-1) }{ \sqrt{-x^{2} +3x -2}} } \\ = & -\infty \end{align}\] donc la fonction \[f\] n’est pas dérivable en \[2\]. On a aussi : \[\begin{align} \lim_{x\to 1} {\frac{f(x)-f(1)}{x-1}}= & \lim_{x \to 1 } {\frac{ (x-1) \sqrt {-x^{2} +3x -2 }-0}{x-1}} \\ = & { \lim_{x \to 1 } { \sqrt {-x^{2} +3x -2 }} } \\ = & 0 \end{align}\] donc la fonction \[f\] est dérivable en \[1\] et \[f'(1)=0\].

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \[\mathbb {R}\] vers \[\mathbb {R}\] par \[f(x)={ \left( 3x^{2} + 2x -7 \right)^{2} }\].

La fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}\] et on a : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ f'(x) = 4 \left(nx^{3} + px^{2} + q x + r \right)\] où \[n\], \[p\], \[q\] et \[r\] sont des entiers relatifs.

1. Entrer la valeur de l’entier relatif \[n\] dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier relatif \[p\] dans la case suivante : [...]
3. Entrer la valeur de l’entier relatif \[q\] dans la case suivante : [...]
4. Entrer la valeur de l’entier relatif \[r\] dans la case suivante : [...]
A: 9; 9; -19; -7
Feedback: La fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}\] comme fonction polynôme et on a : $\[$\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R} \ f'(x) &= & 2(6x+2) \left(3x^{2} +2x - 7 \right) \\ & = & 4(3x+1) \left(3x^{2} +2x - 7 \right) \\ & = & 4 \left(9x^{3} + 9x^{2} -19 x -7 \right) \end{eqnarray*}\]$$

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \[\mathbb {R}\] vers \[\mathbb {R}\] par \[f(x)= { \left( x^{2} - 1 \right)^{3} - 12x }\].

La fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}\] et on a : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ f'(x) = 6 \left(nx^{ 5} + px^{3} + q x + r \right)\] où \[p\], \[p\], \[q\] et \[r\] sont des entiers relatifs.

1. Entrer la valeur de l’entier relatif \[n\] dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier relatif \[p\] dans la case suivante : [...]
3. Entrer la valeur de l’entier relatif \[q\] dans la case suivante : [...]
4. Entrer la valeur de l’entier relatif \[r\] dans la case suivante : [...]
A: 1; -2; 1; -2
Feedback: La fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}\] comme fonction polynôme et on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R} \ f'(x) &= &3 .2x \left (x^{2} -1 \right )^{2} -12 \\ & = & 6x \left (x^{2} -1 \right )^{2} -12 \\ & = & 6 \left (x \left (x^{2} -1 \right )^{2} -2 \right) \\ & = & 6 \left( x^{ 5} - 2x^{3} + x -2 \right) \end{eqnarray*}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \[\mathbb {R}\] vers \[\mathbb {R}\] par \[f(x)={ \frac { x^{4}}{4!} + \frac { x^{3}}{3!} + \frac { x^{2}}{2!} + x +1 } \]
- La fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}\] et on a : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ f(x) - f'(x) = \frac { x^{4}}{4!}\]
- La tangente à la courbe représentative de la fonction \[f\] au point d’abscisse \[0\] a pour équation : \[y = x + 1\].
- La fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}\] et on a : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ f'(-1) = 0 \] Solution ======== La fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}\] comme fonction polynôme et on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R} \ f'(x) &= & \frac { 4x^{3}}{4!} + \frac { 3x^{2}}{3!} + \frac {2 x}{2!} +1\\ & = & \frac { 4x^{3}}{4.3!} + \frac { 3x^{2}}{3.2!} + \frac {2 x}{2} +1\\ & = & \frac { x^{3}}{3!} + \frac { x^{2}}{2!} + \frac {2 x}{2} +1\\ & = & \frac { x^{3}}{3!} + \frac { x^{2}}{2!} + x +1\\ & = & f(x)- \frac { x^{4}}{4!} \end{eqnarray*}\] On en déduit que : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ f(x) - f'(x) = \frac { x^{4}}{4!}.\] La tangente à la courbe représentative de la fonction \[f\] au point d’abscisse \[0\] a pour équation : \[\begin{eqnarray*} y &=& f'(0)(x-0) + f(0) \\ & = & 1.( x-0 )+ 1 \mbox{ en effet} f'(0) = 1 \\ & = & x + 1 \end{eqnarray*}\] On a aussi : \[\begin{eqnarray*} f'(-1) & =& \frac { (-1)^{3}}{3!} + \frac { (-1)^{2}}{2!} + (-1) +1 \\ & = & \ \frac {-1}{6} + \frac {1}{2} \\ & = & \frac {1}{3} \end{eqnarray*}\]
A: La fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}\] et on a : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ f(x) - f'(x) = \frac { x^{4}}{4!}\]; La tangente à la courbe représentative de la fonction \[f\] au point d’abscisse \[0\] a pour équation : \[y = x + 1\].

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \[\mathbb {R}\] vers \[\mathbb {R}\] par \[f(x)= { \frac {1}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} }\].

La fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}_{+}^{*}\] et on a : \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \ f'(x) = \frac {1}{\sqrt{x} } \left ( \frac {nx+p}{qx} \right ) \] où \[n\], \[p\] et \[q\] sont des entiers relatifs où la fraction \[ \frac {n}{q}\] est irréductible.

1. Entrer la valeur de l’entier relatif \[n\] dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier relatif \[p\] dans la case suivante : [...]
3. Entrer la valeur de l’entier relatif \[q\] dans la case suivante : [...]
A: 1; -1; 2
Feedback: La fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}_{+}^{*}\] comme somme de fonctions dérivables et on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ f'(x) &= & - \frac { \frac {1}{2\sqrt{x}}}{ \left (\sqrt{x} \right) ^{2}} + \frac {1 }{2\sqrt{x}} \\ & = & - \frac {1}{2\sqrt{x} \left (\sqrt{x} \right) ^{2}} + \frac {1 }{2\sqrt{x}} \\ & = & - \frac {1}{2\sqrt{x} x } + \frac {1 }{2\sqrt{x}} \\ & = & \frac {1}{2\sqrt{x} } \left ( - \frac {1}{x} + 1 \right ) \\ & = & \frac {1}{2\sqrt{x} } \left ( \frac {x-1}{x} \right ) \\ & = & \frac {1}{\sqrt{x} } \left ( \frac {x-1}{2x} \right ) \end{eqnarray*}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \[\mathbb {R}\] vers \[\mathbb {R}\] par \[f(x)= {\frac {x^{2} - 3x + 1}{ x^{2}+3 } }\].

On note \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f\].

A-t-on : \[D_{f} = \mathbb{R}\] ? rpondez par V ou F : [...]

La fonction \[f\] est dérivable sur \[D_{f}\] et on a : \[\forall x \in D_{f}, \ f'(x) = \frac { nx^{3} + p x^{2} + qx + r } {\left( x^{2} + 3 \right)^{2} }.\] où \[n\], \[p\], \[q\] et \[r\] sont des entiers relatifs.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[n\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[p\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[q\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[r\] dans la case suivante : [...]
A: V / v; 0; 3; 4; -9
Feedback: On a : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ x^{2} + 3 > 0\] d’où \[D_{f} = \mathbb{R}\]. La fonction \[f\] est dérivable sur \[D_{f}\] comme fonction fraction rationnelle et on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in D_{f} \ f'(x) &= & \frac { (2x -3).\left ( x^ {2} +3 \right) - \left ( x^ {2} - 3x +1 \right) . \left ( 2x \right)} {\left ( x^{2} + 3 \right)^{2}}\\ & = & \frac { 2x^{3} + 6x - 3x^{2} - 9 - 2x^{3} + 6x^{2} -2x } {\left ( x^{2} + 3 \right)^{2}}\\ & = & \frac { 3 x^{2} + 4x-9 } {\left ( x^{2} +3 \right)^{2}} \end{eqnarray*}\]

Q: On considère les fonction définies de \[\mathbb {R}\] vers \[\mathbb {R}\] par \[{\mbox{ch}}(x)=\frac {e^x + e^{-x}}{2}\], \[{\mbox{sh}}(x)=\frac {e^x - e^{-x}}{2}\] et \[{\mbox{th}}(x)= \frac {\mbox{sh} x}{\mbox{ch} x }\].

Répondez Les fonctions ch , sh et th sont définies et dérivables sur \[\mathbb{R}\] (V ou F) : [...]

On a : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ \mbox{ch'}x =- \mbox{sh}x\] (V ou F) : [...]

On a : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ \mbox{sh'}x = \mbox{ch}x\] (V ou F) : [...]

On a : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ \mbox{th'}x = n + p . \mbox{th}^{2}x\] où \[n\] et \[p\] sont des entiers relatifs.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[n\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[p\] dans la case suivante : [...]
A: V / v; F / f; V / v; 1; -1
Feedback: Les fonctions ch et sh sont définies et dérivables sur \[\mathbb{R}\] comme somme de fonctions définies et dérivables. De plus on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}, \ \mbox{ch}'x &= & \frac {e^{x} - e^{-x }}{2} \\ & = & \mbox{sh} \, x \\ & & \\ \forall x \in \mathbb{R}, \ \mbox{sh}'x &= & \frac {e^{x} - \left ( - e^{-x} \right) }{2} \\ & = & \mbox{ch} \, x \end{eqnarray*}\] On a :\[\forall x \in \mathbb{R}, \; e^{x} + e^{-x} >0\], on en déduit donc que la fonction th est définie sur \[\mathbb{R}\]. La fonctions th est alors dérivable sur \[\mathbb{R}\] comme quotient de fonctions définies et dérivables sur \[\mathbb{R}\]. De plus on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}, \ \mbox{th}'x &= & \frac { \mbox{sh'}\,x . \mbox{ch}\,x- \mbox{sh}\,x . \mbox{ch}'\,x }{ \mbox{ch}^{2} \, x} \\ & = & \frac { \mbox{ch}^{2} \, x- \mbox{sh}^{2} \, x}{ \mbox{ch}^{2} \, x} \\ & = & 1 - \frac { \mbox{sh}^{2} \, x}{ \mbox{ch}^{2} \, x} \\ & = & 1 - \mbox{th}^{2} \, x \end{eqnarray*}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \[\mathbb {R}\] vers \[\mathbb {R}\] par \[f(x)=\tan x =\frac \sin x}{\cos x}\].

On note \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f\].

Entrer le numéro correspondant à la bonne réponse parmi les choix suivants : [...]

1. \[D_{f} = \mathbb{R}^{*}\]
2. \[\D{ D_{f} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \, ]0 + k \pi, \pi + k \pi[ }\]
3. \[\D{ D_{f} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \, \left ]0 + k \frac{\pi}{2}, \pi + k \frac{\pi}{2 } \right [ } \]
4. \[\D{ D_{f} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \, \left ] -\frac{\pi}{2} + k \pi, \frac{\pi}{2} + k \pi \right [ }\]

La fonction \[f\] est dérivable sur \[D_{f}\] et on a : \[\forall x \in D_{f}, \ f'(x) = n + p\tan^{2} x\] où \[n\] et \[p\] sont des entiers naturels.

Entrer la valeur de l’entier naturel \[n\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier naturel \[p\] dans la case suivante : [...]
A: 1; 1; 1
Feedback: Soit \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[\tan = \frac {\sin}{\cos}\], \[D_{f} = \left \{ x \in \mathbb{R} \; / \ \cos x \neq 0 \right \}.\] On a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}, \ \cos x & = & 0 \\ \Longleftrightarrow \ x & \equiv & \frac {\pi}{2} \ [\pi] \\ \end{eqnarray*}\] En conclusion on obtient : \[\D{ D_{f} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \, \left ]- \frac {\pi}{2} + k \pi, \frac {\pi}{2} + k \pi \right [ }\]. De plus on a : \[\tan = \frac {u}{v}\] avec \[u(x)=\sin{x}\] et \[v(x)=\cos x\]. Les fonctions \[u\] et \[v\] étant dérivables sur \[\mathbb{R}\] la fonction \[f\] est dérivable sur \[D_{f}\] comme quotient de fonctions dérivables et on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in D_{f} \ \tan'x &= & \frac { \sin'x . \cos x- \sin x . \cos'x }{ \cos^{2} x} \\ & = & \frac { \cos ^{2} x + \sin^{2} x}{ \cos^{2} x} \\ & = & 1 + \frac { \sin ^{2} x}{ \cos ^{2} x} \\ & = & 1 + \tan^{2} x \end{eqnarray*}\]

Q: On considère la fonction \[f\] et \[g\] définie de \[\mathbb {R}\] vers \[\mathbb {R}\] par \[f(x)={ \frac {1}{\sin x}} et \]g(x)={ }$$.

On note \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f\] et \[D_{g}\] l’ensemble de définition de la fonction \[g\]

Entrer le numéro correspondant à la bonne réponse parmi les choix suivants : ##ANSWER1$$

1. \[D_{f} = \mathbb{R}^{*}\]
2. \[\D{ D_{f} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \, ]0 + k \pi, \pi + k \pi[ }\]
3. \[\D{ D_{f} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \, \left ]0 + k \frac{\pi}{2}, \pi + k \frac{\pi}{2} \right [ } \]
4. \[\D{ D_{f} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \, \left ] -\frac{\pi}{2} + k \pi, \frac{\pi}{2} + k \pi \right [ }\]

Entrer le numéro correspondant à la bonne réponse parmi les choix suivants : ##ANSWER2$$

1. \[D_{g} = \mathbb{R}^{*}\]

1. \[\D{ D_{g} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \, ]0 + k \pi, \pi + k \pi[ }\]
2. \[\D{ D_{g} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \, \left ]0 + k \frac{\pi}{2}, \pi + k \frac{\pi}{2} \right [ } \]
3. \[\D{ D_{g} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \, \left ] -\frac{\pi}{2} + k \pi, \frac{\pi}{2} + k \pi \right [ }\]

La fonction \[f\] est dérivable sur \[D_{f}\] et la fonction \[g\] est dérivable sur \[D_{g}\] et on a :

\[\forall x \in D_{f} \cap D_{g} , \ f'(x) + g'(x) = n. \frac { ( \sin x - \cos x ) \left( p + \sin x \cos x \right ) } { \left ( \sin qx \right ) ^{2} }\]

où \[n\], \[p\] et \[q\] sont des entiers naturels.

Entrer la valeur de l’entier naturel \[n\] dans la case suivante : ##ANSWER3$$

Entrer la valeur de l’entier naturel \[p\] dans la case suivante : ##ANSWER4$$

Entrer la valeur de l’entier naturel \[q\] dans la case suivante : ##ANSWER5$$

1. [...]
2. [...]
3. [...]
4. [...]
5. [...]
A: 2; 4; 4; 1; 2
Feedback: Soit \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f\], \[D_{f} = \left \{ x \in \mathbb{R} \; / \ \sin x \neq 0 \right \}.\] On a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}, \ \sin x & = & 0 \\ \Longleftrightarrow \ x & \equiv & \pi \ [\pi] \\ \end{eqnarray*}\] En conclusion on obtient : \[\D{ D_{f} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \, ] 0+ k \pi, \pi + k \pi[ }\]. Soit \[D_{g}\] l’ensemble de définition de la fonction \[g\], \[D_{g} = \left \{ x \in \mathbb{R} \; / \ \cos x \neq 0 \right \}.\] On a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}, \ \cos x & = & 0 \\ \Longleftrightarrow \ x & \equiv & \frac {\pi}{2} \ [\pi] \\ \end{eqnarray*}\] En conclusion on obtient : \[\D{ D_{g} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \, \left ]- \frac {\pi}{2} + k \pi, \frac {\pi}{2} + k \pi \right [ }\]. Les fonctions sin et cos étant dérivables sur \[\mathbb{R}\] la fonction \[f\] est dérivable sur \[D_{f}\] comme inverse d’une fonction dérivable ; de même la fonction \[g\] est dérivable sur \[D_{g}\]. On a de plus : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in D_{f} \ f'(x) &= & - \frac { \cos x}{ \sin^{2} x} \\ & & \\ \forall x \in D_{g} \ g'(x) &= & - \frac { - \sin x}{ \cos^{2} x} \\ & = & \frac { \sin x}{ \cos^{2} x} \end{eqnarray*}\] On a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in D_{f} \cap D_{g} \ f'(x) + g'(x) &= & - \frac { \cos x}{ \sin^{2} x} + \frac { \sin x}{ \cos^{2} x} \\ & = & \frac {-\cos^{3} x + \sin^{3} x}{ \cos^{2} x \sin^{2}x} \\ & = & \frac { ( \sin x - \cos x ) \left( \sin^{2} x + \sin x \cos x + \cos^{2} x \right ) } { (\cos x \sin x)^{2} } \\ & = & \frac { ( \sin x - \cos x ) \left( \sin^{2} x + \sin x \cos x + \cos^{2} x \right ) } { \left ( \frac {1}{2} ( \sin 2x) \right ) ^{2} } \\ & = & \frac { ( \sin x - \cos x ) \left( 1 + \sin x \cos x \right ) } { \left ( \frac {1}{2} ( \sin 2x) \right ) ^{2} } \\ & = & 4. \frac { ( \sin x - \cos x ) \left( 1 + \sin x \cos x \right ) } { \left ( \sin 2x \right ) ^{2} } \end{eqnarray*}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \[\mathbb {R}\] vers \[\mathbb {R}\] par \[f(x)= {\ln \left ( e^{x}\sqrt{x} \right ) }\].

La fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}_{+}^{*}\] et on a :

\[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \ f'(x) = \frac {nx+p}{qx}\]

où \[n\], \[p\] et \[q\] sont des entiers relatifs où la fraction \[ \frac {p}{q}\] est irréductible.

1. Entrer la valeur de l’entier relatif \[n\] dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier relatif \[p\] dans la case suivante : [...]
3. Entrer la valeur de l’entier relatif \[q\] dans la case suivante : [...]
A: 2; 1; 2
Feedback: Soit \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f\] on a : \[D_{f} = \left \{ x \in \mathbb{R} \; / \ e^{x}\sqrt{x} > 0 \right \}.\] On en déduit que : \[D_{g} = \mathbb{R}_{+}^{*}\] Par ailleurs on a aussi : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ f(x) &= & \ln \left ( e^{x}\sqrt{x} \right ) \\ & = & \ln(e^{x}) + \ln \left ( \sqrt{x} \right ) \\ & = & x + \frac {1}{2} \ln x \end{eqnarray*}\] La fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}_{+}^{*}\] comme somme de fonctions dérivables et on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ f'(x) &= & 1 + \frac {1}{2x} \\ & = & \frac { 2x +1}{2x} \end{eqnarray*}\]

Q: On considère la fonction \[g\] définie par \[g(x)={ \left ( \frac {1}{x} + x^{3} \right )}\].

La fonction \[f = g^{2}\] est dérivable sur \[\mathbb{R}^{*}\] et on a : \[\forall x \in \mathbb{R}^{*}, \ f'(x) = \frac {n + px^{4} +qx^{8} } {x^{3}}\] où \[n\], \[p\] et \[q\] sont des entiers relatifs.

1. Entrer la valeur de l’entier relatif \[n\] dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier relatif \[p\] dans la case suivante : [...]
3. Entrer la valeur de l’entier relatif \[q\] dans la case suivante : [...]
A: -2; 4; 6
Feedback: La fonction \[g\] est dérivable sur \[\mathbb{R}^{*}\] comme somme de fonctions dérivables. On en déduit que la fonction \[g\] est dérivable sur \[\mathbb{R}^{*}\] comme produit de fonctions dérivables et on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}^{*} \ f'(x) &= & 2. \left ( - \frac {1}{x^{2}} + 3x^{2} \right ) \left ( \frac {1}{x} + x^{3} \right ) \\ & = & 2. \left ( \frac {-1 + 3x^{4} } {x^{2}} \right ) \left ( \frac {1 + x^{4}}{x} \right ) \\ & = & 2. \left ( \frac {-1 - x^{4} + 3x^{4} + 3x^{8} } {x^{3}} \right ) \\ & = & 2. \left ( \frac {-1 + 2x^{4} +3x^{8} } {x^{3}} \right ) \\ & = & \frac {-2 + 4x^{4} +6x^{8} } {x^{3}} \end{eqnarray*}\]

Q: Parmi les propriétés suivantes donner les trois qui permettent de justifier que la fonction tan réalise une bijection de \[\mathbb{R}\] dans \[ \left ]- \frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{2} \right [\] ; on notera Arctan la bijection réciproque. Numéros des trois propositions : [...] - [...] - [...]

1. La fonction tan est dérivable sur \[ \left ] \frac {\pi}{2}, \frac {3\pi}{2} \right [\].
2. La fonction tan est positive sur \[ \left ]0 , \frac {\pi}{2} \right [\].
3. La fonction tan est continue sur \[ \left ]- \frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{2} \right [\].
4. La fonction tan est monotone sur \[ \left ]- \frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{2} \right [\].
5. La fonction tan est strictement croissante sur \[ \left ]- \frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{2} \right [\].
6. La fonction tan est impaire.
7. \[\D{ \lim_{ {x\to -\frac{\pi}{2}} \atop {x > - \frac{\pi}{2}} } \tan x = -\infty }\] et \[\D{ \lim_{ {x\to \frac{\pi}{2}} \atop {x < \frac {\pi}{2}} } \tan x = +\infty }\].

La fonction Arctan est dérivable sur \[\mathbb{R}\] et on a :

\[\forall x \in \mathbb{R}, \ \mbox{Arctan}'x = \frac {1}{n+ px^{2}}\].

où \[n\] et \[p\] sont des entiers relatifs.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[n\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[p\] dans la case suivante : [...]
A: 3; 5; 7; -1; 1
Feedback: La fonction tan est continue et strictement croissante sur l’intervalle \[\left ]- \frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{2} \right [\]. D’après le théorème de la bijection on en déduit que fonction tan réalise une bijection de \[ \left ]- \frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{2} \right [\] sur l’intervalle \[\D{ \left] \lim_{ {x\to -\frac{\pi}{2}} \atop {x > - \frac{\pi}{2}} } \tan x , \lim_{ {x\to \frac{\pi}{2}} \atop {x < \frac {\pi}{2}} } \tan x \right [ }\], c’est à dire \[]-\infty,+ \infty [\] car ; \[\D{ \lim_{ {x\to -\frac{\pi}{2}} \atop {x > - \frac{\pi}{2}} } \tan x = -\infty }\] et \[\D{ \lim_{ {x\to \frac{\pi}{2}} \atop {x < \frac {\pi} {2}} } \tan x = +\infty }\]. La fonction tan est dérivable sur \[\left ]- \frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{2} \right [\] et on a : \[\forall x \in \left ]- \frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{2} \right [ \ \tan ' x = 1 + \tan ^{2} x\]. Comme on a : \[\forall x \in \left ]- \frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{2} \right [ \ \tan ' x \neq 0 \] on en déduit que la fonction Arctan est dérivable sur \[\mathbb{R}\] De plus on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R} \ \mbox{Arctan}'x &= & \frac {1}{\tan' \circ \mbox{Arctan} \,(x) }\\ & = & \frac {1}{\tan' (\mbox{Arctan} \,x) }\\ & = & \frac {1}{1 + \tan^{2} (\mbox{Arctan} \,x) }\\ & = & \frac {1}{1 + x^{2} } \end{eqnarray*}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \[\mathbb {R}\] vers \[\mathbb {R}\] par \[f(x)={ \left ( \frac {1}{1 + x^{2}} + \mbox{Arctan}\,x \right )}\]

La fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}\] et on a : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ f'(x) = \frac {(nx + p)^{2}}{ \left (1 +x^{2} \right)^{q}}\] où \[n\], \[p\] et \[q\] sont des entiers relatifs.

1. Entrer la valeur de l’entier relatif \[n\] dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier relatif \[p\] dans la case suivante : [...]
3. Entrer la valeur de l’entier relatif \[q\] dans la case suivante : [...]
A: 1; -1; 2
Feedback: La fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}\] comme somme de fonctions dérivables. \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R} \ f'(x) &= & \frac {-2x}{ \left (1 +x^{2} \right)^{2} } + \frac {1}{1 + x^{2} } \\ & = & \frac {-2x +1 + x^{2} }{ \left (1 +x^{2} \right)^{2} } \\ & = & \frac {(x-1)^{2}}{ \left (1 +x^{2} \right)^{2} } \end{eqnarray*}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \[\mathbb {R}\] vers \[\mathbb {R}\] par \[f(x)= sin x\]

Parmi les propriétés suivantes donner les quatre qui permettent de justifier que la fonction sin réalise une bijection de \[\left [- \frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{2} \right ]\] dans \[[-1,1]\] .On note Arcsin la bijection réciproque de la fonction sin.

Numéros des trois propositions : [...] - [...] - [...] - [...]

1. La fonction sin est dérivable sur \[\mathbb{R}_{-}\].

2. La fonction sin est strictement positive sur \[ \left ]0 , \frac {\pi}{2} \right [\].

3. La fonction sin est continue sur \[ \left [- \frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{2} \right ]\].

4. La fonction sin est monotone sur \[ \left ]- \frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{2} \right [\].

5. La fonction sin est strictement croissante sur \[ \left [- \frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{2} \right ]\].

6. La fonction sin est impaire.

7. \[\D{ \lim_{ {x\to -\frac{\pi}{2}} \atop {x > - \frac{\pi}{2}} } \sin x = -1 }\] et \[\D{ \lim_{ {x\to \frac{\pi}{2}} \atop {x < \frac {\pi}{2}} } \sin x = 1 }\].

8. On note Arcsin la bijection réciproque de la fonction sin. Répondez par vrai (V) ou faux (F)

La fonction Arcsin est dérivable sur \[]-1,1[\] et on a : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ \mbox{Arcsin}'x = \frac {1}{ \sqrt {n+ px^{2}} }\] où \[n\] et \[p\] sont des entiers relatifs.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[n\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[p\] dans la case suivante : [...]
A: 3; 5; 7; 8; 1; -1
Feedback: La fonction sin est continue et strictement croissante sur sur l’intervalle \[\left [- \frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{2} \right ]\]. D’après le théorème de la bijection on en déduit que fonction sin réalise une bijection de \[ \left [- \frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{2} \right ]\] sur l’intervalle \[\D{ \left[ \lim_{ {x\to -\frac{\pi}{2}} \atop {x > - \frac{\pi}{2}} } \sin x , \lim_{ {x\to \frac{\pi}{2}} \atop {x < \frac {\pi}{2}} } \sin x \right ] }\], c’est à dire \[[-1,1 ]\] car : \[\D{ \lim_{ {x\to -\frac{\pi}{2}} \atop {x > - \frac{\pi}{2}} } \sin x = -1 }\] et \[\D{ \lim_{ {x\to \frac{\pi}{2}} \atop {x < \frac {\pi} {2}} } \sin x = 1 }\]. On rappelle que si \[\alpha\] est un réel quelconque de l’intervalle \[[-1,1]\] alors \[\mbox{Arcsin} \, \alpha\] désigne l’unique élément de l’intervalle \[\left [- \frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{2} \right ]\] dont le sinus est égal à \[\alpha\]. La fonction sin est dérivable sur \[\left [- \frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{2} \right ]\] et on a : \[\forall x \in \left [- \frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{2} \right ] \ \sin ' x = \cos x\]. Comme \[\forall x \in \left [- \frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{2} \right ] \ \sin ' x = 0 \Longleftrightarrow x = - \frac {\pi}{2} \ \mbox{ou} \ x = \frac {\pi}{2} \] on en déduit que la fonction Arcsin est dérivable en tout point de \[[-1,1 ]\] sauf en les points Arcsin\[ \left ( - \frac {\pi}{2} \right)\] et Arcsin\[\left ( \frac {\pi}{2} \right)\] c’est à dire \[-1\] et \[1\]. D’après ce qui précède la fonction Arcsin est dérivable sur \[]-1,1[\] mais n’est pas dérivable en \[-1\] et \[1\]. On peut aussi affirmer que la courbe représentative de la fonction Arcsin admet une tangente verticale aux points d’abscisse \[-1\] et \[1\]. De plus on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in ]-1,1[ \ \mbox{Arcsin}'x &= & \frac {1}{\sin' \circ \mbox{Arcsin} \,(x) }\\ & = & \frac {1}{\sin' (\mbox{Arcsin} \,x) }\\ & = & \frac {1}{ \cos (\mbox{Arcsin} \,x) } \end{eqnarray*}\] Par ailleurs on a : \[\forall a \in \mathbb{R}, \ \cos^{2}a + \sin^{2}a =1\] d’où : ; \[\forall a \in \mathbb{R}, \ \cos^{2}a = 1- \sin^{2}a\] soit : \[\forall a \in \mathbb{R}, \ \mbox{ si} \ \cos a \geq 0, \ \cos a = \sqrt{1- \sin^{2}a}\] Or par définition \[\forall x \in ]-1,1[ \mbox{Arcsin} \, x \in \left ]- \frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{2} \right [\]. d’où : ; \[\forall x \in ]-1,1[ \cos \left (\mbox{Arcsin} \, x \right ) >0\]. On obtient enfin : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in ]-1,1[ \ \mbox{Arcsin}'x &= & \frac {1}{ \cos (\mbox{Arcsin} \,x) } \\ & = & \frac {1}{ \sqrt { 1 - \left (\sin (\mbox{Arcsin} \,x) \right )^{2} } }\\ & = & \frac {1}{ \sqrt {1 - x^{2}}} \end{eqnarray*}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \[\mathbb {R}\] vers \[\mathbb {R}\] par \[f(x)= {\frac {1} {\sqrt{1 - x^{2}} }+ \mbox{Arcsin}\,x }\].

La fonction \[f\] est dérivable sur \[]-1,1[\] et on a :

\[\forall x \in ]-1,1 [, \ f'(x) = \frac {-n +px + qx^{2}}{ \left (1 - x^{2} \right) . \sqrt{1-x^{2} } }\].

où \[n\], \[p\] et \[q\] sont des entiers relatifs.

1. [...]
2. [...]
3. [...]
A: 1; 1; -1
Feedback: On considère la fonction \[h\] définie par \[h(x)={ \frac {1} {\sqrt{1 - x^{2}} } }\]. Soit \[D_{h}\] l’ensemble de définition de la fonction \[h\], \[D_{h} = \left \{ x \in \mathbb{R} \; / \ 1 - x^{2} > 0 \right \}.\] d’où \[D_{h} = ]-1, 1[\]. On pose : \[w = v \circ \, u\] avec \[v(x)={ \sqrt{x} }\] et \[u(x)={ 1 - x^{2} }\]. Les fonctions \[u\] et \[v\] sont dérivables respectivement sur \[]-1,1[\] et sur \[\mathbb{R}_{+}^{*}\] et on a : \[\forall x \in ]-1,1[, \; u(x) > 0\]. On en déduit que la fonction \[w\] est dérivable sur \[]-1,1[\] comme composée de fonctions dérivables et on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in ]-1,1[ \ w'(x) &= & u'(x) . ( v' \circ \; u)(x) \\ & = & -2x . \frac {1}{2 \sqrt{u(x)}} \\ & = & \frac {-x} { \sqrt { 1 - x^{2} } } \end{eqnarray*}\] Comme \[h = \frac {1}{w}\] la fonction \[h\] est dérivable sur \[]-1,1[\] et de plus on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in ]-1,1[ \ h'(x) &= & -\frac { \frac {-x} { \sqrt { 1 - x^{2} } } }{ \left ( \sqrt {1 -x^{2} } \right)^{2} } \\ & = & \frac {x }{ \left (1 - x^{2} \right) . \sqrt{1-x^{2} } } \end{eqnarray*}\] Comme \[f = h + \mbox{Arcsin}\] on en déduit que f est dérivable sur \[]-1,1[\] comme somme de fonctions dérivables. On a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in ]-1,1[ \ h'(x) &= & \frac {x }{ \left (1 - x^{2} \right) . \sqrt{1-x^{2} } } + \frac {1} { \sqrt { 1 - x^{2} } } \\ & = & \frac { x + 1 -x^{2}}{ \left (1 - x^{2} \right) . \sqrt{1-x^{2} } } \end{eqnarray*}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \[\mathbb {R}\] vers \[\mathbb {R}\] par \[f(x)= { e^{-2x} \left( x^{2} + 2x -3 \right) }\].

La fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}\] et on a :

\[\forall x \in \mathbb{R}, \ f'(x) = e^{-2x} \left(nx^{2} + px + q \right),\]

où \[p\], \[p\] et \[q\] sont des entiers relatifs.

1. Entrer la valeur de l’entier relatif \[n\] dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier relatif \[p\] dans la case suivante : [...]
3. Entrer la valeur de l’entier relatif \[q\] dans la case suivante : [...]
A: -2; -2; 8
Feedback: La fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}\] comme produit de fonctions dérivables et on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R} \ f'(x) &= & -2e^{-2x}\left ( x^{2} +2x -3 \right) + e^{-2x}\left ( 2x + 2 \right ) \\ & = & e^{-2x}\left(-2 x^{2} - 4x + 6 +2x + 2 \right) \\ & = & e^{-2x}\left(-2 x^{2} - 2x + 8 \right) \end{eqnarray*}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \[\mathbb {R}\] vers \[\mathbb {R}\] par $$f(x)= { x }
- La fonction \[f\] n’est pas dérivable en \[0\].
- \[\forall x \in \mathbb{R}, \ f'(x) = \frac { 1 + 2x^{2} } { \sqrt { 1 + x^{2} } }.\]
- \[\forall x \in \mathbb{R}, \ f'(x) = 1. \sqrt { 1 + x^{2} } + x. \frac { 1 } { 2 \sqrt { 1 + x^{2} } }.\]
A: \[\forall x \in \mathbb{R}, \ f'(x) = \frac { 1 + 2x^{2} } { \sqrt { 1 + x^{2} } }.\]
Feedback: Soit \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f\], on a : \[D_{f} = \mathbb{R}.\] On a : \[f = g.h\] avec \[g(x)={x}\] et \[h(x)= \sqrt { 1 + x^{2} }\]. De plus on a : \[h = v \circ \, u\] avec \[v(x)=\sqrt{x}\] et \[u(x)= 1 + x^{2}\]. Les fonctions \[u\] et \[v\] sont dérivables respectivement sur \[\mathbb{R}\] et sur \[\mathbb{R}_{+}^{*}\], et on a : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ u(x) > 0\]; on en déduit que la fonction \[h\] est dérivable sur \[\mathbb{R}\] comme composée de fonctions dérivables et de plus : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R} \ h'(x) &= & u'(x) . ( v' \circ \; u)(x) \\ & = & 2x . \frac {1}{2 \sqrt{u(x)}} \\ & = & \frac {x} { \sqrt { 1 + x^{2} } } \end{eqnarray*}\] Les fonctions \[g\] et \[h\] étant dérivables sur \[\mathbb{R}\] la fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}\] comme produit de fonctions dérivables et on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R} \ f'(x) &= & 1.\sqrt { 1 + x^{2} } + x. \frac {x} { \sqrt { 1 + x^{2} } } \\ & = & \frac { \left (\sqrt { 1 + x^{2} } \right )^{2} + x^{2}} { \sqrt { 1 + x^{2} } } \\ & = & \frac { 1 + 2x^{2} } { \sqrt { 1 + x^{2} } } \end{eqnarray*}\] On peut aussi remarquer que la fonction \[f\] est dérivable en 0 et on a : \[f'(0) = 1\].

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \[\mathbb {R}\] vers \[\mathbb {R}\] par \[f(x)={ x^{x} }\].
- La fonction \[f\] admet un prolongement par continuité en \[0\] qui n’est pas dérivable en \[0\].
- \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \ f'(x) = x\,x^{x-1}.\]
- \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \ f'(x) = \left ( \ln x + 1 \right) . x^{x} \]
A: La fonction \[f\] admet un prolongement par continuité en \[0\] qui n’est pas dérivable en \[0\].; \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \ f'(x) = \left ( \ln x + 1 \right) . x^{x} \]
Feedback: On remarque que : \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \ f(x) = e^{x\ln x}.\] Soit \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f\], on a : \[D_{f} = \mathbb{R}_{+}^{*}.\] On a alors : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} f(x) & = & \lim_{x\to 0} e^{x\ln x } \\ & = & 1. \end{eqnarray*}\] On en déduit que la fonction \[f\] admet un prolongement par continuité en \[0\], notée \[\check{f}\], en posant \[ f(x)= \left \{ \begin{array}{ccc} x^{x} & \mbox{si} & x>0 \\ 1 & \mbox{si} & x=0 \end{array} \right . \] De plus on a : \[\D{ \lim_{x \to 0} {x\ln x } = 0 }\] et \[\D{ \lim_{u \to 0} { \frac {e^{u} -1}{u }}} = 1\] d’où \[\D{ \lim_{x \to 0} { \frac {e^{x\ln x} -1}{x.\ln x}}= 1} \] Comme \[\D{ \lim_{x \to 0} {\ln x } = - \infty }\] on en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} { \frac {\check{f}(x)-\check{f}(0)}{x- 0} } &= & \D{ \lim_{x \to 0} { \frac {e^{x\ln x} -1}{x-0 }} }\\ \rule[-4 pt]{0pt}{50pt} &= & \D{ \lim_{x \to 0} { \frac {e^{x\ln x} -1}{x.\ln x}} . \ln x }\\ & = & - \infty. \end{eqnarray*}\] La fonction \[f\] admet un prolongement par continuité en \[0\] qui n’est pas dérivable en \[0\] Par ailleurs la fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}_{+}^{+}\] comme composée de fonctions dérivables et on a ; \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ f'(x) &= & \left ( 1.\ln x + x . \frac {1}{x} \right) . e^{x\ln x} \\ & = & \left ( \ln x + 1 \right) . e^{x\ln x} \\ & = & \left ( \ln x + 1 \right) . x^{x} \end{eqnarray*}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \[\mathbb {R}\] vers \[\mathbb {R}\] par \[f(x)= \frac {4x^{2} - 8x}{ x^{2}-2x -3}\].

On note \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f\].
- On a : \[D_{f} = \mathbb{R}^{*}.\]
- La tangente à la courbe représentative de la fonction \[f\] au point d’abscisse \[5\] a pour équation : \[y = \frac {-2}{3} x + \frac {25}{3}\].
- \[\forall x \in D_{f}, \ f'(x) = \frac { 26(x-1) } {\left( x^{2} -2x -3 \right)^{2}}\].
A: La tangente à la courbe représentative de la fonction \[f\] au point d’abscisse \[5\] a pour équation : \[y = \frac {-2}{3} x + \frac {25}{3}\].
Feedback: Soit \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f\], on a : \[\begin{eqnarray*} D_{f} &= & \left \{ x \in \mathbb{R} \; / \ x^{2}-2x -3 \neq 0 \right \} \\ & = & \mathbb{R} \setminus \left \{-1,3 \right\} \end{eqnarray*}\] La fonction \[f\] est dérivable sur \[D_{f}\] comme fonction fraction rationnelle et on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in D_{f} \ f'(x) &= & \frac {(8x-8).\left ( x^{2} -2x -3\right) + \left ( 4x^{2} - 8x \right) . (2x -2)} {\left ( x^{2} -2x -3\right)^{2}}\\ & = & \frac {(x-1).\left ( 8 \left(x^{2} -2x -3\right) -2 \left ( 4x^{2} - 8x \right) \right) } {\left ( x^{2} -2x -3\right)^{2}}\\ & = & \frac {(x-1).\left ( 8x^{2} -16x -24 - 8x^{2} + 16x \right) } {\left ( x^{2} -2x -3\right)^{2}}\\ & = & \frac {-24(x-1)} {\left ( x^{2} -2x -3\right)^{2}} \end{eqnarray*}\] La tangente à la courbe représentative de la fonction \[f\] au point d’abscisse \[5\] a pour équation : \[\begin{eqnarray*} y &=& f'(5)(x-5) + f(5) \\ & = & \frac {-4}{6}( x-5) + 5 \mbox{ en effet} f'(5) = \frac {-24 \times 4}{12^{2}} \\ & = & \frac {-2}{3} x + \frac {10}{3} + 5 \\ & = & \frac {-2}{3} x + \frac {25}{3} \end{eqnarray*}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \[\mathbb {R}\] vers \[\mathbb {R}\] par \[f(x)= { \frac {x|x| + 2x^{2}}{|x| + 2}}\].
- La fonction \[f\] n’est pas dérivable en \[0\].
- \[\forall x \in \mathbb{R}_{-}^{*}, \ f'(x) = \frac {-x^{2} +4x}{(-x + 2 )^{2}}\].
- \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \ f'(x) = \frac {-x^{2} -4x}{(x + 2 )^{2}}\].
A: \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \ f'(x) = \frac {-x^{2} -4x}{(x + 2 )^{2}}\].
Feedback: Soit \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f\], puisque \[\forall x \in \mathbb{R}, \; |x| +2 \neq 0\] on a :\[D_{f} = \mathbb{R}.\] Par ailleurs : \[f(x)= \left \{ \begin{array}{ccc} \frac {x^{2} + 2x^{2}}{x + 2} & \mbox{si} & x>0 \\ 0 & \mbox{si} & x = 0 \\ \frac {-x^{2} + 2x^{2}}{-x + 2} & \mbox{si} & O>x \end{array} \right . \]. La fonction \[f\] est donc dérivable sur \[\mathbb{R}_{-}^{*}\] et sur \[\mathbb{R}_{+}^{*}\]. De plus on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ f'(x) &= & \frac { 6x(x+2) -3 x^{2}.1 } {\left ( x +2 \right)^{2}}\\ & = & \frac { 3 x^{2} + 12x } {\left ( x +2 \right)^{2}}\\ \forall x \in \mathbb{R}_{-}^{*} \ f'(x) & = & \frac { 2x(-x+2) - x^{2}.(-1) } {\left ( -x +2 \right)^{2}}\\ & = & \frac { -x^{2} +4x } {\left ( -x +2 \right)^{2}} \end{eqnarray*}\] En outre on a : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} { \frac {f(x)-f(0)}{x-0}} &= & \D{ \lim_{x \to 0} { \frac {f(x) }{x} } }\\ &= & \D{ \lim_{x \to 0} { \frac {1 }{x} . \frac {x|x| + 2x^{2}}{|x| + 2} } }\\ &= & \D{ \lim_{x \to 0} { \frac {1 }{x} . \frac {x(|x| + 2x)}{|x| + 2} } }\\ &= & \D{ \lim_{x \to 0} { \frac {|x| + 2x}{|x| + 2} } } \\ & = & 0 \end{eqnarray*}\] On en déduit que la fonction \[f\] est dérivable en 0 et on a \[f'(0) = 0\].

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \[\mathbb {R}\] vers \[\mathbb {R}\] par \[f(x)= \frac {x^{4} - 6x^{2} + 1}{ x^{3}-x } \].

On note \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f\].

On a : \[D_{f} = \mathbb{R}^{*}.\]

La fonction \[f\] est dérivable sur \[D_{f}\] et on a :

\[\forall x \in D_{f}, \ f'(x) = \frac {x^{6} + n x^{4} + p x^{2} + q} {\left( x^{3} - x \right)^{2} }\]

où \[n\], \[p\] et \[q\] sont des entiers naturels.

Entrer la valeur de l’entier naturel \[n\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier naturel \[p\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier naturel \[q\] dans la case suivante : [...]

Parité de la fonction \[f'\].

Entrer “P” si \[f'\] et une fonction paire et “I” si elle est impaire. : [...]
A: 3; 3; 1; P / p

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \[\mathbb {R}\] vers \[\mathbb {R}\] par \[f(x)= \ln \left( x + \sqrt{ 1 +x^{2} } \right)\].

On note \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f\].

Entrer le numéro correspondant à la bonne réponse parmi les choix suivants : [...]

1. \[D_{f} = \mathbb{R}^{*}\]
2. \[D_{f} = \mathbb{R}_{+}^{*}\]
3. \[D_{f} = \mathbb{R}_{+}\]
4. \[D_{f} = \mathbb{R}\]

La fonction \[f\] est dérivable sur \[D_{f}\] et on a :

\[\forall x \in D_{f}, \ f'(x) = \frac {nx + p} { \sqrt{ 1 + x^{2} } }, \]

où \[n\] et \[p\] sont des entiers naturels.

Entrer la valeur de l’entier naturel \[n\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier naturel \[p\] dans la case suivante : [...]

Solution ======== Soit \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f\],   \[D_{f} = \left \{ x \in \mathbb{R} \; / \ x + \sqrt{ 1 +x^{2} } > 0 \right \}.\]

On a : \[ \forall x \in \mathbb{R}_{+}, \ \sqrt{1 + x^{2}} &\geq & 1 ( \mbox{ car } 1 + x^{2} \geq 1)\] d’où \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}, \ x + \sqrt{1 + x^{2}} &\geq &1\] soit \[ \forall x \in \mathbb{R}_{+}, \ x + \sqrt{1 + x^{2}} & > &0\] Par ailleurs : \[\forall x \in \mathbb{R}_{-}, \ \sqrt{1 + x^{2}} & > & \sqrt{x^{2}} ( \mbox{ car } 1 + x^{2} > x^{2})\] d’où \[\forall x \in \mathbb{R}_{-}, \ \sqrt{1 + x^{2}} & > & |x|\] soit \[\forall x \in \mathbb{R}_{-}, \ x + \sqrt{1 + x^{2}} & > & x + |x|\] et enfin \[ \forall x \in \mathbb{R}_{-}, \ x + \sqrt{1 + x^{2}} & > & 0 ( \mbox{ car si } x\leq 0 , |x| =- x)\]

En conclusion on obtient : \[D_{f} = \mathbb{R}\].

De plus on a :

\[f= \ln \circ \; w\]   avec $$w(x)={ x + }.

Les fonctions \[\ln\] et \[w\] étant dérivables sur \[\mathbb{R}_{+}^{*}\] et \[\mathbb{R}\] respectivement la fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}\] comme composée de fonctions dérivables et on a :

\[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}, \ f'(x) &= & \ w'(x) . ( \ln ' \circ \; w)(x) \\ & = & \left( 1 + \frac {2x}{ 2 \sqrt{ 1 + x^{2}}} \right). \frac {1}{x + \sqrt{1 + x^{2} } } \\ & = & \frac {x + \sqrt{ 1 + x^{2}}} {\sqrt{ 1 + x^{2}} } . \frac {1}{x + \sqrt{1 + x^{2} } } \\ & = & \frac {1}{ \sqrt{1 + x^{2} } } \end{eqnarray*}\]
A: 4; 0; 1

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \[\mathbb {R}\] vers \[\mathbb {R}\] par \[f(x)= \frac {x^{2} -8}{|x| + 2}\].
- La fonction \[f\] n’est pas dérivable en \[0\].
- \[\forall x \in \mathbb{R}_{-}^{*}, \ f'(x) = \frac {-x^{2} +4x-8}{(-x + 2 )^{2}}\].
- \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \ f'(x) = \frac {x^{2} +4x +8} {(x + 2 )^{2}}\].
A: La fonction \[f\] n’est pas dérivable en \[0\].; \[\forall x \in \mathbb{R}_{-}^{*}, \ f'(x) = \frac {-x^{2} +4x-8}{(-x + 2 )^{2}}\].; \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \ f'(x) = \frac {x^{2} +4x +8} {(x + 2 )^{2}}\].
Feedback: Soit \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f\], puisque \[\forall x \in \mathbb{R}, \; |x| +2 \neq 0\] on a : \[D_{f} = \mathbb{R}.\] Par ailleurs : \[f(x)= \left \{ \begin{array}{ccc} \frac {x^{2} -8}{x + 2} & \mbox{si} & x>0 \\ -4 & \mbox{si} & x =0 \\ \frac {-x^{2} - 8 }{-x + 2} & \mbox{si} & x<0 \end{array} \right . .\] La fonction \[f\] est donc dérivable sur \[\mathbb{R}_{-}^{*}\] et sur \[\mathbb{R}_{+}^{*}\]. De plus on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ f'(x) &= & \frac { 2x(x+2) - \left( x^{2} - 8 \right) .1 } {\left ( x +2 \right)^{2}}\\ & = & \frac { x^{2} + 4x +8 } {\left ( x +2 \right)^{2}}\\ \forall x \in \mathbb{R}_{-}^{*} \ f'(x) & = & \frac { 2x(-x+2) - \left( x^{2} - 8 \right).(-1) } {\left ( -x +2 \right)^{2}}\\ & = & \frac { -x^{2} +4x -8} {\left ( -x +2 \right)^{2}} \end{eqnarray*}\] En outre on a : \[\begin{eqnarray*} \frac {f(x)-f(0)}{x-0} &= & \frac {1}{x} \left( f(x) - (-4) \right) \\ &= & \frac {1}{x} \left( \frac {x^{2} -8}{|x| + 2} +4 \right) \\ &= & \frac {1}{x} \left( \frac {x^{2} -8 + 4|x| + 8 }{|x| + 2} \right) \\ &= & \frac {1}{x} \left( \frac {x^{2} + 4 |x|}{|x| + 2} \right) \end{eqnarray*}\] d’où \[\begin{eqnarray*} \lim_{{x\to 0} \atop {x>0} } { \frac {f(x)-f(0)}{x-0}} & = & \lim_{{x\to 0} \atop {x>0} } { \frac {1}{x} \left( \frac {x^{2} + 4 |x|}{|x| + 2} \right) } \\ & = & \lim_{{x\to 0} \atop {x>0} } { \frac {1}{x} \left( \frac {x^{2} + 4 x}{x + 2} \right) } \\ & = & \lim_{{x\to 0} \atop {x>0} } { \frac {1}{x} \left( \frac { x(x + 4) }{x + 2} \right) } \\ & = & \lim_{{x\to 0} \atop {x>0} } { \frac {x + 4}{x + 2} } \\ & = & 2 \end{eqnarray*}\] et \[\begin{eqnarray*} \lim_{{x\to 0} \atop {x<0} } { \frac {f(x)-f(0)}{x-0}} & = & \lim_{{x\to 0} \atop {x<0} } { \frac {1}{x} \left( \frac {x^{2} + 4 |x|}{|x| + 2} \right) } \\ & = & \lim_{{x\to 0} \atop {x<0} } { \frac {1}{x} \left( \frac {x^{2} - 4 x} {-x + 2} \right) } \\ & = & \lim_{{x\to 0} \atop {x<0} } { \frac {1}{x} \left( \frac { x(x - 4) }{-x + 2} \right) } \\ & = & \lim_{{x\to 0} \atop {x<0} } { \frac {x - 4}{-x + 2} } \\ & = & -2 \end{eqnarray*}\] donc \[\begin{eqnarray*} \lim_{{x\to 0} \atop {x<0} } { \frac {f(x)-f(0)}{x-0}} & \neq & \lim_{{x\to 0} \atop {x>0} } { \frac {f(x)-f(0)}{x-0}} \end{eqnarray*}\] On en déduit que la fonction \[x \mapsto \frac {f(x)-f(0)}{x-0}\] n’admet pas de limite lorsque \[x\] tend vers \[0\], donc la fonction \[f\] n’est pas dérivable en \[0\].

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \[\mathbb {R}\] vers \[\mathbb {R}\] par \[f(x)= { \frac {e^{2x}+1}{e^{2x} - 1 }}\].

On note \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f\].

Entrer le numéro correspondant à la bonne réponse parmi les choix suivants : [...]

1. \[D_{f} = \mathbb{R}^{*}\].
2. \[D_{f} = \mathbb{R}_{+}^{*}\].
3. \[D_{f} = \mathbb{R}_{+}\].
4. \[D_{f} = \mathbb{R}\].

La fonction \[f\] est dérivable sur \[D_{f}\] et on a :

\[\forall x \in D_{f}, \ f'(x) = \frac {(nx - p)e^{-2x}}{ \left(e^{-2x} - 1 \right)^{2} }\].

où \[n\] et \[p\] sont des entiers naturels.

Entrer la valeur de l’entier naturel \[n\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier naturel \[p\] dans la case suivante : [...]
A: 1; 0; 4
Feedback: Soit \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f\], \[D_{f} = \left \{ x \in \mathbb{R} \; / \ e^{2x} - 1 \neq 0 \right \}.\] On a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}, e^{2x} - 1 & = & 0 \\ \Longleftrightarrow \ e^{2x} & = & 1 \\ \Longleftrightarrow \ \ 2x & = & 0\\ \Longleftrightarrow \ \ x & = & 0 \end{eqnarray*}\] En conclusion on obtient : \[D_{f} = \mathbb{R}^{*}\] De plus on a : \[f = \frac {u}{v}\] avec \[u(x)={e^{2x} + 1}\] et \[v(x)= e^{2x} -1\]. Les fonctions \[u\] et \[v\] étant dérivables sur \[\mathbb{R}\] la fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}^{*}\] comme quotient de fonctions dérivables et on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}^{*} \ f'(x) &= & \frac {2e^{2x}.\left ( e^{2x} - 1\right) - \left ( e^{2x} + 1\right) \left (2e^{2x} \right) } {\left ( e^{2x} - 1 \right)^{2}}\\ & = & \frac {2 e^{4x} - 2e^{2x} -2e^{4x} -2e^{2x}} {\left ( e^{2x} - 1 \right)^{2}}\\ & = & \frac { -4e^{2x}} {\left ( e^{2x} - 1 \right)^{2}} \\ & = & \frac { -4e^{2x}} {\left ( e^{2x} \left( 1 - e^{-2x} \right) \right)^{2}} \\ & = & \frac { -4e^{2x}} { e^{4x} \left( 1 - e^{-2x} \right) ^{2}} \\ & = & \frac { -4e^{-2x}} {\left ( e^{-2x} - 1 \right)^{2}} \end{eqnarray*}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \[\mathbb {R}\] vers \[\mathbb {R}\] par \[f(x)= \frac {\cos 2x}{ \sin x}\].

On note \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f\].

Entrer le numéro correspondant à la bonne réponse parmi les choix suivants : [...]

1. \[D_{f} = \mathbb{R}^{*}\]
2. \[\D{ D_{f} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \, ]0 + k \pi, \pi + k \pi[ }\]
3. \[\D{ D_{f} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \, ]0 + k \frac{\pi}{2}, \pi + k \frac{\pi}{2}[ } \]
4. \[\D{ D_{f} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \, ] \frac{\pi}{2} + k \pi, \frac{\pi}{2} + k \pi[ }\]

La fonction \[f\] est dérivable sur \[D_{f}\] et on a : \[\forall x \in D_{f}, \ f'(x) = - \frac { \cos x \left(n + p \sin ^{2} x \right) }{ \sin ^{2}x }\]

où \[n\] et \[p\] sont des entiers naturels.

Entrer la valeur de l’entier naturel \[n\] dans la case suivante :

Entrer la valeur de l’entier naturel \[p\] dans la case suivante :

1. [...]
2. [...]
A: 2; 1; 2
Feedback: Soit \[D_{f}\] l’ensemble de définition de la fonction \[f\], \[D_{f} = \left \{ x \in \mathbb{R} \; / \ \sin x \neq 0 \right \}.\] On a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}, \ \sin x & = & 0 \\ \Longleftrightarrow \ x & \equiv & 0 \ [\pi] \\ \end{eqnarray*}\] En conclusion on obtient : \[\D{ D_{f} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \, ]0 + k \pi, \pi + k \pi[ }\]. De plus on a : \[f = \frac {u}{v}\] avec \[u(x)= \cos{2x} \] et \[v(x)=\sin x\] Les fonctions \[u\] et \[v\] étant dérivables sur \[\mathbb{R}\] la fonction \[f\] est dérivable sur \[D_{f}\] comme quotient de fonctions dérivables et on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in D_{f} \ f'(x) &= & \frac {2 \, (- \sin 2x). \sin x - \cos 2x . \cos x } { \sin ^{2} x }\\ & = & \frac {2 \, (-2 \sin x \cos x). \sin x.- \cos 2x . \cos x } { \sin ^{2} x }\\ & = & \frac { - \cos x \left ( 4 \sin^{2} x + \cos 2x \right ) } { \sin ^{2} x }\\ & = & \frac { -\cos x \left ( 4 \sin^{2} x + \left ( 1 -2 \sin^{2} x \right )\right ) } { \sin ^{2} x }\\ & = & \frac { - \cos x \left(1 + 2\sin ^{2} x \right) }{ \sin ^{2}x } \\ & = & - \frac { \cos x \left(1 + 2\sin ^{2} x \right) }{ \sin ^{2}x } \end{eqnarray*}\]