Title: Rappels - Domaine de définition et graphe
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Fonctions réelles

Rappels de cours

Définition d'une fonction

La définition d'une fonction réelle \(f\) demande de préciser deux éléments :
- Un sous ensemble \(E\) de \(\mathbb R\), généralement un intervalle, appelé ensemble de départ de la fonction.
- Une transformation qui associe  à chaque nombre réel \(x \in E\) un unique nombre réel \(y\) que l'on notera \(f(x)\). La transformation est généralement explicitée sous forme de formule avec des opérateurs algébriques. Mais ce n'est pas nécessaire (voir paragraphe graphe).

Domaine de définition d'une fonction

Pour certaines valeurs de \(x\), l'application de la formule de \(f\)  ne donne pas de résultat numérique réel. On dit alors que \(x\) n'est pas dans l'ensemble de définition de \(f\).
L'ensemble de définition de \(f\) est l'ensemble des éléments de \(E\) tels que l'application de la formule donne un résultat numérique réel ; on le note \(D_f\).
Pour une explication  détaillée et un traitement d'exemples de lycée vous pouvez consulter cette  vidéo.

Graphe  d'une fonction

Le graphe d'une fonction est une représentation géométrique de la fonction par une courbe dessinée dans un plan cartésien muni d'un repère.  Le graphe est l'ensemble des points \(M\) de cordonnées \((x,y)\) ou \(x\in D_f\) et \(y=f(x)\).

Remarques :
- Pour chaque \(x\in D_f\), il y a un seul point \(M\) d'abscisse \(x\) dans un graphe. Un cercle ne peut donc pas être le graphe d'une fonction.
- Si un ensemble géométrique est tel que, pour chacun de ses points \(M \), il n'existe pas de de point \(M' \) différent de \(M\) ayant la même abcisse \(x\) que \(M\), alors cet ensemble est le graphe d'une fonction. Cette fonction est unique et  bien déterminée. On peut donc définir une fonction sans formule par la donnée de cet ensemble géométrique.

Exemple de graphe de la fonction \(f\) telle que \(f(x)=x^2-20\) sur \(E=[-10;10]\) :

Ex 1 - Question 1

Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\dfrac 1 x\).

Déterminez son ensemble de définition et vérifiez votre réponse.

Ex 1 - Réponse à la question 1

Pour tout \(x\neq 0\), \(1/x\) est un réel bien défini. Pour \(x= 0\), \(1/x\) n'existe pas.

La formule qui définit \(f(x)\) a un sens pour \(x\in \mathbb {R}\setminus \{0\}\) ensemble qu'on note \(\mathbb {R}^*\).

Donc \(D_f=\mathbb {R}^*\).

Ex 1 - Question 2

Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\sqrt x\).

Déterminez son ensemble de définition  et vérifiez votre réponse

Ex 1 - Réponse à la question 2

La fonction racine carrée associe à un nombre \(x\) un nombre \(y\) positif tel que \(y^2=x\). Cela n'est possible que si \(x\) est positif.

Inversement \(x\) est positif, il existe un unique nombre \(y\) positif tel que \(y^2=x\).

Donc la fonction est définie pour tous les nombre positifs et \(D_f=\mathbb {R}^+\).

Ex 1 - Question 3

On définit \(f\) par la méthode suivante : pour tout \(x\), on choisit un nombre \(y\) tels que \(y^2=x\).

Déterminez son ensemble de définition  et vérifiez votre réponse

Ex 1 - Réponse à la question 3

La fonction  est mal définie ; lil y a deux possibilités de choisir \(y\) pour un nombre \(x\) strictement positif. La fonction n'est correctement définie que pour \(x=0\).

Donc  \(D_f=\{0\}\).

Ex 2 - Question 1

On considère la fonction définie par le graphe suivant.

Déterminez l'intervalle sur lequel la fonction est négative et vérifiez votre réponse.

Ex 2 - Réponse à la question 1

Le graphe de la fonction se trouve sous l'axe des abscisses lorsque l'abscisse \(x\) est entre -3 et 3. Donc la fonction est négative quand \(x\) est dans l'intervalle\([-3,3]\).

Ex 2 - Question 2

Sur le graphique suivant la fonction \(f\) est définie par le graphe noir et la fonction \(g\) par le graphe rouge :

Déterminez le ou les intervalles où la fonction \(g\) est supérieure à la fonction \(f\) et vérifiez votre réponse.

Ex 2 - Réponse à la question 2

Les deux graphes se coupent en des points d'abcisses \(x=-2\) et \(x=3\). Entre ces deux abcisses, le graphe rouge est au dessus du graphe noir. La fonction \(g\) est donc supérieure à la fonction \(f\) sur l'intervalle \([-2,3]\).