Title: Rappels Opérations et dérivation
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Continuité, Dérivation, Intégration

Références de rappels de cours

Dérivées usuelles :

Vous trouverez les fonctions dérivées des fonctions les plus courante dans le Formulaire de dérivation

Propriétés de la dérivation (suite).

Produits de deux fonctions
Soit deux fonctions $$u$$ et $$v$$ . Soit $$f$$ la fonction définie par $$f(x)=u(x)v(x)$$.
La dérivée de $$f$$ est définie par : $$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$$.

Exemple :
 $$f(x)=x^3\cos x=u(x)\times v(x)$$ avec $$u(x)=x^3$$ et $$v(x)= \sin x$$.
On a $$u'(x)=3x^2$$ et $$v'(x)= \cos x$$ donc $$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)= 3x^2\sin x+x^3 \cos x$$.

Inverse d'une fonction
Soit une fonction  $$v$$. Soit $$f$$ la fonction inverse de $$v$$ définie par $$f(x)=\displaystyle \frac 1 {v(x)}$$.
La dérivée de $$f$$ est définie par : $$f'(x)=\displaystyle -\frac {v'(x)} {v^2(x)}$$.

Exemple :
$$f(x)=\displaystyle -\frac {1} {x^2+3x}$$.
On a  $$f(x)=\displaystyle -\frac {1} {v(x)}$$ avec $$v(x)=x^2+3x$$ et $$v'(x)=2x+3$$.
$$f'(x)=\displaystyle -\frac {2x+3} {(x^2+3x)^2}$$.

Quotient de deux fonctions
Soit deux  fonctions  $$u$$ et $$v$$. Soit $$f$$ la fonction quotient  définie par $$f(x)=\displaystyle \frac {u(x)} {v(x)}$$.
La dérivée de $$f$$ est définie par : $$f'(x)=\displaystyle \frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)} {v^2(x)}$$.

Exemple :
$$f(x)=\displaystyle -\frac {x^3} {x^2+3x}$$.
On a  $$f(x)=\displaystyle -\frac {u(x)} {v(x)}$$ avec $$v(x)=x^2+3x$$ et $$f'(x)=\displaystyle -\frac {3x^2(x^2+3x)-x^3(2x+3)} {(x^2+3x)^2}$$.

Ex 1 - Question 1

Soit la fonction $$f$$  définie sur $$\mathbb R$$ par $$f(x)= \left ( x^{2} + 2x - 15 \right )\cos 3x$$.

Calculez la dérivée $$f'$$  de $$f$$ puis vérifiez votre réponse.

Ex 1 - Réponse à la question 1

$$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\ -3(x^{2} + 2x -15)\sin 3x+(2x+2)  \cos 3x$$.

Explication :

La fonction $$f$$ est égale au produit des fonctions $$u$$ et $$v$$ avec $$u(x) =x^{2} + 2x - 15$$ et $$v(x)=\cos 3x$$.
La fonction dérivée de $$u$$ est définie par   $$u'(x)=2x+2$$.

La fonction dérivée de $$v$$ est définie par   $$v'(x)=- 3 \sin 3x$$.

 $$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(x^{2} + 2x - 15)(-3\sin 3x)+(2x+2)  \cos 3x=-3(x^{2} + 2x -15)\sin 3x+(2x+2)  \cos 3x$$.

Ex 1 - Question 2

Soit la fonction $$f$$  définie sur $$\mathbb R$$ par $$f(x)=\frac 4 {x^2-4}$$.

Quel est l'ensemble de définition de $$f$$ ?

Calculez la dérivée $$f'$$  de $$f$$ puis vérifiez votre réponse.

Ex 1 - Réponse à la question 2

L'ensemble de définition de $$f$$ est $$D_f=\mathbb{R}\setminus \{-2;2\}.$$

Sur cet ensemble de définition, la fonction dérivée de  $$f(x) =\displaystyle\frac 1 {x^2-4}$$  est $$f'(x)=\displaystyle \ -\frac {2x-2}{(x^2-4)^2}$$.

Explication :

La fonction $$f$$ est égale à l'inverse de la fonction $$v$$ définie par $$v(x)=x^2-4$$.

La fonction $$f$$  est définie si et seulement si $$v(x)\neq 0$$. Donc $$D_f=\mathbb{R}\setminus \{-2;2\}$$

La dérivée de $$v$$ est définie par $$v'(x)=2x-2$$.

La dérivée  de $$f$$ est définie par $$f'(x)=\displaystyle\ -\frac {v'(x)}{v(x)^2}=\ -\frac {2x-2}{(x^2-4)^2}$$.

Ex 1 - Question 3

On considère $$f(x)= \displaystyle\frac {\cos x}{\sin 2 x}$$ définie sur $$]0;\pi/2[$$.

Calculez la dérivée $$f'$$ de $$f$$ et vérifiez votre réponse.

Ex 1 - Réponse à la question 3

La fonction dérivée de  $$f(x)= \displaystyle\frac {\cos x}{\sin 2x}$$ est $$f'(x)=\displaystyle \ -\  \frac {\sin x \sin 2 x+2\cos x  \cos 2x}{(\sin 2x)^2}$$.

Explication :

La fonction  $$f$$ est le quotient de la fonction $$u$$ par la fonction $$v$$ avec $$u(x)=\cos x$$ et $$v(x)=\sin 2 x $$.

La fonction dérivée de $$u$$ est $$u'(x)=-\sin x$$ et celle de $$v$$ est $$v'(x)=2 \cos 2x$$.

La fonction dérivée de  $$f$$ est définie par $$f'(x)=\displaystyle\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2 }=\frac {-\sin x \sin 2 x-\cos x  (2 \cos 2x)}{(\sin 2x)^2}$$.

Ex 2 - Question 1

On considère la fonction $$f(x)=\displaystyle   \frac {e^{3x}}{e^x-1}$$.

Déterminer l'ensemble de définition de $$f$$.

Ex 2 - Réponse à la question 1

L'ensemble de définition de $$f$$ est $$\mathbb {R}^*$$.

Explication

La fonction $$f$$ est définie lorsque $$e^x-1\neq 0$$, soit $$x \neq 0$$.

Ex2 - Question 2

Calculez la dérivée de la fonction$$f$$ définie sur $$\mathbb{R}^*$$ par $$f(x)=\displaystyle \frac 1 {e^x-1}$$ et vérifiez votre calcul.

Ex2- réponse à la question 2

La dérivée de la fonction $$f(x)=\displaystyle \frac1{e^x-1}$$ est $$f'(x)=\displaystyle \frac{e^x}{(e^x-1)^2 }$$.

Explication :

On a $$f(x)=\displaystyle \frac 1 {v(x)}$$ avec et $$v(x)=e^x-1$$.  La dérivée de $$v$$ est définie par $$v'(x)=e^x$$.

La dérivée de $$f$$ est définie par  $$f'(x)=\displaystyle -\frac {v'(x)} {v(x)^2}= -\frac{e^x}{(e^x-1)^2}$$.