Title: Rappels Limite fonction usuelle
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Continuité, Dérivation, Intégration

Limites de fonctions usuelles

Les fonctions racines correspondent à des puissances $$1/2$$ et se comportent comme des fonctions puissances par rapport au terme dominant sous la racine (attention l'expression sous la racine doit être positive).

Par exemple,  $$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \sqrt{x^2-2x+7}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} (x^2-2x+7)^{1/2}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} (x^2)^{1/2}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} |x|=+\infty$$.

Les limites de la fonction exponentielle $$x\mapsto \exp(x)$$ sont :

    - $$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \exp(x) =0$$,

    - $$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \exp(x) =+\infty$$.

Les limites de la fonction logarithme $$x\mapsto \log(x)$$ sont :

   - $$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \log(x) =-\infty$$,

   - $$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \log(x) =+\infty$$.

Exercice 1

Calculer les limites de :

  - $$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \exp(x^2-3x)$$,

  - $$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \log(\frac1x)$$.

Solution 1

On a $$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} x^2-3x = +\infty$$ donc $$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \exp(x^2-3x)=+\infty$$.

On a $$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac1x=0$$ donc $$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \log(\frac1x)=-\infty$$.

Limites pour les fonctions logarithme et exponentielle

Fonction exponentielle :

  - $$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \exp(x)/x^n=+\infty$$ (la fonction exponentielle tend "plus vite" vers l'infini que la fonction$$x\mapsto x^n$$.

  - $$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \exp(x)x^n=0$$ (la fonction exponentielle tend "plus vite" vers 0 que la fonction $$x\mapsto x^n$$ ne tend vers l'infini.

Fonction logarithme :

  -  $$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \log(x)/x^n=0$$ (la fonction logarithme tend "moins vite" vers l'infini que la fonction$$x\mapsto x^n$$).

  - $$\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} \log(x)x^n=0$$ (la fonction logarithme tend "moins vite" vers moins l'infini que la fonction$$x\mapsto x^n$$ ne tend vers 0).

  - $$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\log(1+x)}{x}=1$$.

Exercice

Calculer les limites de

  - $$\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}(x-1)\log(x-1)$$,

  - $$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{\exp(2x)+x^3}{x^2-3}$$.

Solution

Pour la première limite à calculer, on se ramène à un cas classique : $$\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}(x-1)\log(x-1)=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}(x)\log(x)=0$$.

Pour la seconde, le terme dominant du numérateur est le terme en exponentiel ainsi : $$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{\exp(2x)}{x^2}=+\infty$$.