Title: Limite d'une fonction en un point
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: Calculer les limites (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} \frac2{x-1}\) : [...]
2. \(\lim\limits_{x\rightarrow 1^-} \frac2{x-1}\) : [...]
A: +inf / +inf; -inf / -inf
Feedback: On calcule les limites à gauche et à droite de \(\frac2{x-1}\). Le dénominateur tend vers \(0\) de manière positive si \(x\rightarrow 1^+\) et vers \(0\) de manière négative si \(x\rightarrow 1^-\). Ainsi \(\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} \frac2{x-1}=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\rightarrow 1^-} \frac2{x-1}=-\infty\) 1. \(+\infty\) 2. \(-\infty\)

Q: Quelle est la limite \(\lim\limits_{x \rightarrow 3} 1/(3-x)^2\) ?
- indéfinie
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 3} 1/(3-x)^2=+\infty\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 3} 1/(3-x)^2=-\infty\)
A: \(\lim\limits_{x \rightarrow 3} 1/(3-x)^2=+\infty\)
Feedback: On a \(\lim\limits_{x \rightarrow 3} (3-x)^2= 0^+\) car \((3-x)^2\) est positif pour tout \(x\in\mathbb{R}\). Par conséquent, \(\lim\limits_{x \rightarrow 3} 1/(3-x)^2=+\infty\).

Q: Quelle est la limite \(\lim\limits_{x \rightarrow -1^+} x^3+1\) ?
- indéfinie
- \(\lim\limits_{x \rightarrow -1^+} x^3+1=0\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow -1^+} x^3+1=0^+\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow -1^+} x^3+1=0^-\)
A: \(\lim\limits_{x \rightarrow -1^+} x^3+1=0^+\)
Feedback: Quand \(x^3\) tend vers \(-1\) par valeurs supérieures, on a \(x^3\ge -1\) donc \(x^3+1\ge 0\). D’où \(\lim\limits_{x \rightarrow -1^+} x^3+1=0^+\).

Q: Quelle est la limite \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac2{x^7}\) ?
- indéfinie
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac2{x^7}=+\infty\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac2{x^7}=-\infty\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac2{x^7}=0\)
A: indéfinie
Feedback: Au dénominateur \(x^7\) tend vers \(0\) mais si on ne précise pas dans la limite si c’est par valeurs supérieures ou inférieures. On ne peut pas garantir que les valeurs seront toutes positives ou négatives ainsi on ne peut pas conclure pour \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac2{x^7}\).

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x \rightarrow -3^+} \dfrac{1}{-2x – 6}\) : [...]
A: -inf / -inf
Feedback: On s’intéresse au dénominateur : \(\lim\limits_{x \rightarrow -3^+} (-2 x -6) = 0^-\). Donc \(\lim\limits_{x \rightarrow -3^+} \dfrac{1}{-2x – 6} = -\infty\). 1. \(-\infty\)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x \rightarrow -3} (x^2+4)\) : [...]
A: 13
Feedback: \(-3\) appartenant au domaine de définition de la fonction, il suffit d’évaluer la fonction pour \(x=-3\). 1. \(13\)

Q: Calculer les limites (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} (1/x^2)\) : [...]
2. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^-} (1/x^2)\) : [...]
3. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} (1/x^2)\) : [...]
A: +inf / +inf; +inf / +inf; +inf / +inf
Feedback: \(\lim\limits_{x \rightarrow 0}x^2=0^+\) (de même pour les limites en \(0^+\) ou \(0^-\) car \(x^2\ge 0\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\)) ainsi \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} (1/x^2)=\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} (1/x^2)=\lim\limits_{x \rightarrow 0^-} (1/x^2)=+\infty\). 1. \(+\infty\) 2. \(+\infty\) 3. \(+\infty\)

Q: Calculer les limites (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} (1/x^5)\) : [...]
2. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^-} (1/x^5)\) : [...]
3. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} (1/x^5)\) : [...]
A: +inf / +inf; -inf / -inf; indef / indef
Feedback: \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^+}x^5=0^+\) ainsi \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} (1/x^5)=+\infty\). \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^-}x^5=0^+\) ainsi \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} (1/x^5)=-\infty\). Par contre, \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} x^5=0\) mais avec des valeurs pouvant être positives ou négatives ainsi la limite \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} (1/x^5)\) n’est pas définie. 1. \(+\infty\) 2. \(-\infty\) 3. indéfinie

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} 1/(x-1)^3\) : [...]
A: -1
Feedback: Ici \(0\) appartient au domaine de définition de la fonction \(x\mapsto 1/(x-1)^3\). Cette fonction évaluée en \(0\) vaut \(1/(0-1)^3=1/(-1)^3=-1\). Donc \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} 1/(x-1)^3=-1\). 1. \(-1\)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x \rightarrow 1} 1/(x-1)^3\) : [...]
A: indef / indef
Feedback: \(\lim\limits_{x \rightarrow 1} (x-1)^3=0\) mais cela peut être par valeur positive ou négative donc on ne peut pas conclure sur la limite \(\lim\limits_{x \rightarrow 1} 1/(x-1)^3\). 1. indéfinie

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x \rightarrow 1} x^2-2x+1\) : [...]
A: 0
Feedback: \(1\) appartient au domaine de définition de la fonction. Il suffit d’évaluer en \(1\) : \(1^2-2\times 1+1=0\). 1. indéfinie

Q: Quelle est la limite \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^+} 2-x\) ?
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^+} 2-x=0^-\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^+} 2-x=0^+\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^+} 2-x=0\)
A: \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^+} 2-x=0^-\)
Feedback: On a \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^+} 2-x= 0^-\) car \(2-x\) est négatif pour tout \(x\ge2\).