Title: Rappels - Fonction puissance
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Fonctions réelles

Références de rappels de cours : fonctions puissances entières

Puissances entières

Définition
Soit \( n \in \mathbb N \), on définit la fonction puissance \( n\) sur \( \mathbb R \) par :

\(x \mapsto x^n= x \times x \times  \cdots \times x \) ( \( n \) fois).

Soit \( n \in \mathbb N \), on définit la fonction puissance \( -n\) sur \( \mathbb R^* \) par :

\(x \mapsto x^{-n}= \frac{1}{x^n} \).

Cas où \( n=2 \) : Paraboles
\( g(x) = a x^2 + bx+c \; = \; a(x+\mathscr{B})^2+ \mathscr{C} \; \) avec \( \; \left\{ \begin{array}{l} \mathscr{B} \; = \; \frac{b}{2a} \\ \mathscr{C} \; = \; c - \frac{b^2}{4a} \end{array}\right.
\)

\(  a x^2 + bx+c \; = \; a(x - x_1)(x-x_2) \; \) avec \( \;  x_{1,2} \; = \; \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\)

\(  a x^2 + bx+c \; = \; a(x - x_1)(x-x_2) \; \) avec \( \; \left\{ \begin{array}{l} x_1+x_2 \; = \; \frac{-b}{a} \\ x_1 \times x_2 \; = \; \frac{c}{a} \end{array}\right.
\)

Exemple \( f(x) \; = \; x^2 \)

Cas où \( n\; = \; -1 \) : Hyperboles

\( g(x) = \frac{ax+b}{x+d} \; = \; a \; + \; \frac{b-ad}{x+d} \)

Hyperbole équilatère dont les asymptotes sont parallèles aux axes et se coupent en \( (-d,a) \).

Exemple \( f(x) \; = \; \frac{x+3}{x+1}\)

Racines \(n\)-ièmes

Définition
Soit \( n \in \mathbb N^* \), on définit la fonction racine \( n\)-ième  par :

\(x \mapsto \sqrt[n]{x} \).

Si \( n\) est pair, son ensemble de définition est \( \mathbb R_+ \).
Si \( n\) est impair, son ensemble de définition est \( \mathbb R \).

Puissances entières - Exercice 1 - Question 1

Soit \( x^2 -3x+2\;=\; 0\). Les valeurs \( x_1=1 \) et \(x_2=2 \) sont-elles solutions ?

- Vrai
Feedback: Utilisez la formule donnée pour les paraboles avec \(x_1+x_2 =3\) et \(x_1 \times x_2 =2\). On obtient bien les solutions \( x_1=1 \) et \(x_2=2 \).
- Faux
Feedback: Utilisez la formule donnée pour les paraboles avec \(x_1+x_2 =3\) et \(x_1 \times x_2 =2\). On obtient bien les solutions \( x_1=1 \) et \(x_2=2 \).

Puissances entières - Exercice 1 - Question 2

Soit la fonction \( g(x) \; = \; \frac{-5x+3}{x-2} \). La courbe associée à \( g \) est une hyperbole dont les asymptotes se coupent en \( (-2 ; -5) \).

- Faux
Feedback: C'est une hyperbole dont les asymptotes se coupent en \( (-d ; a ) \) c'est-à-dire \( (2 ; -5) \).
- Vrai
Feedback: C'est une hyperbole dont les asymptotes se coupent en \( (-d ; a ) \) c'est-à-dire \( (2 ; -5) \).

Références de rappels de cours : fonctions puissances réelles

Puissances réelles

Définition
Soit \( \alpha \in \mathbb R \), on définit la fonction puissance \( \alpha\) sur \( \mathbb R^*_+\) par  :

\(x \mapsto x^\alpha \; =\; e^{\alpha \;ln x} \).

Propositions
Les fonctions puissances sont dérivables sur \( \mathbb R_+^* \) et on a :

\( \forall x \in , \; \left( x^\alpha \right)  ' \; = \; \alpha x^{\alpha-1} \).

Limites

\( \lim\limits_{x \rightarrow 0^+} x^\alpha \; = \; \left\{ \begin{array}{rl} +\infty & \text{ si } \alpha<0, \\ 1 & \text{ si } \alpha=0, \\ 0 & \text{ si } \alpha>0. \end{array} \right. \) |   ﻿     | \( \lim\limits_{x \rightarrow + \infty} x^\alpha \; = \;  \left\{ \begin{array}{rl} >0 & \text{ si } \alpha<0, \\ >1 & \text{ si } \alpha=0, \\ +\infty & \text{ si } \alpha>0. \end{array} \right. \)

Représentation graphique

Puissances quelconques - Exercice 2 - Question 1

D’après MICHAELIS et MENTEN, la vitesse \( V \) de réaction enzymatique dépend de la concentration en substrat \( [S] \) selon la loi \( V([S]) \;= \;V_0\frac{[S]}{[S]+K_m}\), où \( [S] \) est la concentration en substrat, \( V_0 \) est une constante propre à la réaction et \( K_m \) est la constante
de MICHAELIS-MENTEN spécifique de l’enzyme.

Question 1 : la courbe associée à  \( [S] \; \mapsto \; V\) est-elle une hyperbole ?

- Vrai
Feedback: C'est une hyperbole car la fonction est de type \( f(x) \; = \; \frac{ax}{x+d} \; = \; a \frac{x}{x+d} \; = \; a (1-\frac{d}{x+d})\).
- Faux
Feedback: C'est une hyperbole car la fonction est de type \( f(x) \; = \; \frac{ax}{x+d} \; = \; a \frac{x}{x+d} \; = \; a (1-\frac{d}{x+d})\).

Puissances quelconques - Exercice 2 - Question 2

Quelles sont les propriétés de ses asymptotes ?

- Elles sont parallèles aux axes.
Feedback: Le graphe de la fonction est une hyperbole quadrilatère dont les asymptotes sont parallèles aux axes.
- Les asymptotes se coupent en \( (-K_m, V_0) \).
Feedback: Les asymptotes se coupent en \((-d ; a) \) c'est-à-dire en \( (-K_m, V_0) \).