Title: Nombres complexes et trigonométrie
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: Linéariser \(\sin^6\theta\).
- \(-\frac{1}{32}\left(\cos(6\theta)-6\cos(4\theta)+15\cos(2\theta)-10\right)\).
- \(-\frac{1}{32}\left(\sin(6\theta)-6\sin(4\theta)+15\sin(2\theta)-10\right)\).
- \(-\frac{1}{32}\left(-\cos(6\theta)+6\cos(4\theta)-15\cos(2\theta)+10\right)\).
- \(-\frac{1}{32}\left(-\sin(6\theta)+6\sin(4\theta)-15\sin(2\theta)+10\right)\).
- \(-\frac{1}{32}\left(\cos(6\theta)+6\cos(4\theta)+15\cos(2\theta)+10\right)\).
- \(-\frac{1}{32}\left(\sin(6\theta)+6\sin(4\theta)+15\sin(2\theta)+10\right)\).
A: \(-\frac{1}{32}\left(\cos(6\theta)-6\cos(4\theta)+15\cos(2\theta)-10\right)\).
Feedback: On utilise la formule d'Euler : \[ \begin{eqnarray*} \sin^6\theta = \left(\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\right)^6 \end{eqnarray*} \] puis on développe en utilisant la formule du binôme de Newton : \[ \begin{eqnarray*} \sin^6\theta = -\frac{1}{64}\left(e^{6i\theta}-6e^{4i\theta}+15e^{2i\theta}-20+15e^{-2i\theta}-6e^{-4i\theta}+e^{-6i\theta}\right) \end{eqnarray*} \] enfin on regroupe les termes deux à deux.

Q: Linéariser \(\cos^4\theta\).
- \(\frac{1}{8}\left(\cos(4\theta)+4\cos(2\theta)+3\right)\).
- \(\frac{1}{8}\left(\sin(4\theta)+4\sin(2\theta)+3\right)\).
- \(\frac{1}{8}\left(\cos(4\theta)-4\cos(2\theta)+3\right)\).
- \(\frac{1}{8}\left(\sin(4\theta)-4\sin(2\theta)+3\right)\).
- \(\frac{1}{8}\left(-\cos(4\theta)+4\cos(2\theta)-3\right)\).
- \(\frac{1}{8}\left(-\cos(4\theta)+4\cos(2\theta)-3\right)\).
A: \(\frac{1}{8}\left(\cos(4\theta)+4\cos(2\theta)+3\right)\).
Feedback: On utilise la formule d'Euler : \[ \begin{eqnarray*} \cos^4\theta = \left(\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^4 \end{eqnarray*} \] puis on développe en utilisant la formule du binôme de Newton : \[ \begin{eqnarray*} \cos^4\theta = -\frac{1}{16}\left(e^{4i\theta}+4e^{2i\theta}+6+4e^{-2i\theta}+e^{-4i\theta}\right) \end{eqnarray*} \] enfin on regroupe les termes deux à deux.

Q: La linéarisation de \(\sin^4\theta\) est de la forme \(\frac{1}{4}\left(a\cos(4\theta)+b\cos(2\theta)+c\right)\)

1. Entrer la valeur de l'entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l'entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
3. Entrer la valeur de l'entier naturel \(c\) dans la case suivante : [...]
A: 1; -4; 3
Feedback: On utilise la formule d'Euler : \[ \begin{eqnarray*} \sin^4\theta = \left(\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\right)^4 \end{eqnarray*} \] puis on développe en utilisant la formule du binôme de Newton : 1. \(a=1\) 2. \(b=-4\) 3. \(c=3\)

Q: La linéarisation de \(\sin^3\theta\) est de la forme \(\frac{1}{4}\left(a\sin(3\theta)+b\sin(\theta)\right)\)

1. Entrer la valeur de l'entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l'entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: -1; -3
Feedback: On utilise la formule d'Euler et la formule de Moivre : \[ \begin{eqnarray*} \sin^3\theta = \left(\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\right)^3 \end{eqnarray*} \] puis on développe en utilisant la formule du binôme de Newton 1. \(a=-1\) 2. \(b=-3\)

Q: En linéarisant, calculer \(\cos^2\theta\sin^2\theta\).
- \(\frac{1}{8}\left(1-\cos(4\theta)\right)\).
- \(\frac{1}{8}\left(1-\sin(4\theta)\right)\).
- \(\frac{1}{8}\left(1-\cos(2\theta)\right)\).
- \(\frac{1}{8}\left(1-\sin(2\theta)\right)\).
- \(\frac{1}{8}\left(\cos(2\theta)-\cos(4\theta)\right)\).
- \(\frac{1}{8}\left(\sin(2\theta-\sin(4\theta)\right)\).
A: \(\frac{1}{8}\left(1-\cos(4\theta)\right)\).
Feedback: On utilise la formule d'Euler et la formule de Moivre : \[ \begin{eqnarray*} \cos^2\theta\sin^2\theta = \left(\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^2\times\left(\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\right)^2 \end{eqnarray*} \] puis on développe et on regroupe deux à deux.

Q: En linéarisant, calculer \(\cos\theta\sin^3\theta\).
- \(\frac{1}{8}\left(2\sin (2\theta)-\sin(4\theta) \right)\).
- \(\frac{1}{8}\left(\sin (2\theta)-2\sin(4\theta) \right)\).
- \(\frac{1}{8}\left(2\sin (2\theta)+\sin(4\theta) \right)\).
- \(\frac{1}{8}\left(\sin (2\theta)+2\sin(4\theta)\right)\).
A: \(\frac{1}{8}\left(2\sin (2\theta)-\sin(4\theta) \right)\).
Feedback: On utilise la formule d'Euler et la formule de Moivre : \[ \begin{eqnarray*} \cos\theta\sin^3\theta = \left(\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)\times\left(\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\right)^3 \end{eqnarray*} \] puis on développe et on regroupe deux à deux.

Q: La linéarisation de \(\cos^2\theta\sin^3\theta\) est de la forme \(\frac{1}{16}\left(a\sin(5\theta)+b\sin(3\theta)+c\sin(\theta)\right)\)

1. Entrer la valeur de l'entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l'entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
3. Entrer la valeur de l'entier naturel \(c\) dans la case suivante : [...]
A: -1; 1; 2
Feedback: On utilise la formule d'Euler et la formule de Moivre. \[ \begin{eqnarray*} \cos^2\theta\sin^3\theta = \left(\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^2\times\left(\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\right)^3 \end{eqnarray*} \] puis on développe en utilisant la formule du binôme de Newton 1. \(a=-1\) 2. \(b=1\) 3. \(c=2\)

Q: Exprimer \(\cos5\theta\) en fonction de \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\)
- \(cos(\theta)^5-10cos(\theta)^3\sin(\theta)^2+5cos(\theta)\sin(\theta)^4\).
- \(cos(\theta)^5+5icos(\theta)^4\sin(\theta)-10cos(\theta)^3\sin(\theta)^2-10icos(\theta)^2\sin(\theta)^3+5cos(\theta)\sin(\theta)^4+i\sin(\theta)^5\).
- \(5cos(\theta)^4\sin(\theta)-10cos(\theta)^2\sin(\theta)^3+\sin(\theta)^5\).
- \(cos(\theta)^5+5cos(\theta)^4\sin(\theta)-10cos(\theta)^3\sin(\theta)^2-10cos(\theta)^2\sin(\theta)^3+5cos(\theta)\sin(\theta)^4+\sin(\theta)^5\).
A: \(cos(\theta)^5-10cos(\theta)^3\sin(\theta)^2+5cos(\theta)\sin(\theta)^4\).
Feedback: On utilise la formule formule de Moivre : \[ \begin{eqnarray*} \(\cos5\theta\)+i\(\sin5\theta\)=e^{i5\theta}=(e^{i\theta})^5=(cos(\theta)+i\sin(\theta))^5\end{eqnarray*} \] donc en développant avec le binôme de Newton : \[ \begin{eqnarray*} \(\cos5\theta\)+i\(\sin5\theta\=cos(\theta)^5+5icos(\theta)^4\sin(\theta)-10cos(\theta)^3\sin(\theta)^2-10icos(\theta)^2\sin(\theta)^3+5cos(\theta)\sin(\theta)^4+i\sin(\theta)^5\end{eqnarray*} \] puis on identifie la partie réelle à \(\cos5\theta\).

Q: Exprimer \(\sin5\theta\) en fonction de \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\)
- \(cos(\theta)^5-10cos(\theta)^3\sin(\theta)^2+5cos(\theta)\sin(\theta)^4\).
- \(cos(\theta)^5+5icos(\theta)^4\sin(\theta)-10cos(\theta)^3\sin(\theta)^2-10icos(\theta)^2\sin(\theta)^3+5cos(\theta)\sin(\theta)^4+i\sin(\theta)^5\).
- \(5cos(\theta)^4\sin(\theta)-10cos(\theta)^2\sin(\theta)^3+\sin(\theta)^5\).
- \(cos(\theta)^5+5cos(\theta)^4\sin(\theta)-10cos(\theta)^3\sin(\theta)^2-10cos(\theta)^2\sin(\theta)^3+5cos(\theta)\sin(\theta)^4+\sin(\theta)^5\).
A: \(5cos(\theta)^4\sin(\theta)-10cos(\theta)^2\sin(\theta)^3+\sin(\theta)^5\).
Feedback: On utilise la formule formule de Moivre : \[ \begin{eqnarray*} \(\cos5\theta\)+i\(\sin5\theta\)=e^{i5\theta}=(e^{i\theta})^5=(cos(\theta)+i\sin(\theta))^5\end{eqnarray*} \] donc en développant avec le binôme de Newton : \[ \begin{eqnarray*} \(\cos5\theta\)+i\(\sin5\theta\=cos(\theta)^5+5icos(\theta)^4\sin(\theta)-10cos(\theta)^3\sin(\theta)^2-10icos(\theta)^2\sin(\theta)^3+5cos(\theta)\sin(\theta)^4+i\sin(\theta)^5\end{eqnarray*} \] puis on identifie la partie imaginaire à \(\sin5\theta\).

Q: Exprimer \(\sin4\theta\) en fonction de \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\)
- \(cos(\theta)^4+4icos(\theta)^3\sin(\theta)-6cos(\theta)^2\sin(\theta)^2-4icos(\theta)\sin(\theta)^3+\sin(\theta)^4\)
- \(cos(\theta)^4-6cos(\theta)^2\sin(\theta)^2+\sin(\theta)^4\)
- \(4cos(\theta)^3\sin(\theta)-4cos(\theta)\sin(\theta)^3\).
- \(cos(\theta)^4+4cos(\theta)^3\sin(\theta)-6cos(\theta)^2\sin(\theta)^2-4cos(\theta)\sin(\theta)^3+\sin(\theta)^4\).
A: \(4cos(\theta)^3\sin(\theta)-4cos(\theta)\sin(\theta)^3\).
Feedback: On utilise la formule formule de Moivre : \[ \begin{eqnarray*} \(\cos4\theta\)+i\(\sin4\theta\)=e^{i4\theta}=(e^{i\theta})^4=(cos(\theta)+i\sin(\theta))^4\end{eqnarray*} \] donc en développant avec le binôme de Newton : \[ \begin{eqnarray*} \(\cos4\theta\)+i\(\sin4\theta\=cos(\theta)^4+4icos(\theta)^3\sin(\theta)-6cos(\theta)^2\sin(\theta)^2-4icos(\theta)\sin(\theta)^3+\sin(\theta)^4\end{eqnarray*} \] puis on identifie la partie imaginaire à \(\sin5\theta\).