Title: Sommes et produits pour le maximum de vraisemblance
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: Soient $$x_1, \dots, x_n$$ des réels et $$n$$ un entier supérieur à $$1$$. Laquelle ou lesquelles de ces expressions est/sont égale(s) au produit suivant ? $$P=\prod_{i=1}^{n}\lambda x_{i} 2^{x_i}$$
- \(\lambda^n\prod_{i=1}^{n}x_{i} 2^{x_i}\)
- \(\lambda\prod_{i=1}^{n}x_{i} 2^{x_i}\)
- \(\lambda^n 2^{\sum_{i=1}^{n}x_i}\prod_{i=1}^{n}x_{i}\)
- \(\lambda 2^{\sum_{i=1}^{n}x_i}\prod_{i=1}^{n}x_{i}\)
- \(\lambda 2^{\prod_{i=1}^{n}x_i}\prod_{i=1}^{n}x_{i}\)
- \(\lambda^n 2^{\prod_{i=1}^{n}x_i}\prod_{i=1}^{n}x_{i}\)
A: \(\lambda^n\prod_{i=1}^{n}x_{i} 2^{x_i}\); \(\lambda^n 2^{\sum_{i=1}^{n}x_i}\prod_{i=1}^{n}x_{i}\)
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Feedback: L'indice de ce produit est $$i$$.

Q: Soient \(x_1,\ldots,x_n,\lambda\) des réels. A quoi est égal le logarithme du produit ci-dessous :

\(\log(\prod_{i=1}^{n}\lambda\exp(\lambda x_i))\)
- \(n\lambda+\lambda\sum_{i=1}^{n}x_i\)
- \(\lambda^n+\lambda\sum_{i=1}^{n}x_i\)
- \(n\lambda+n\lambda x_i\)
- \(\lambda^n+\lambda x_i\)
- \(n\log(\lambda)+\lambda\sum_{i=1}^{n}x_i\)
- \(\log(\lambda^n)+\lambda\sum_{i=1}^{n}x_i\)
- \(n\log(\lambda)+n\lambda x_i\)
- \(\log(\lambda)^n+\lambda x_i\)
A: \(n\log(\lambda)+\lambda\sum_{i=1}^{n}x_i\)

Q: Soient \(x_1,\ldots,x_n,p\) des réels. A quoi est égal le logarithme du produit ci-dessous :

\(\log(\prod_{i=1}^{n}p\exp(x_i))\)
- \(np+\sum_{i=1}^{n}x_i\)
- \(p^n+\sum_{i=1}^{n}x_i\)
- \(np+ x_i\)
- \(p^n+x_i\)
- \(n\log(p)+\sum_{i=1}^{n}x_i\)
- \(\log(p^n)+\sum_{i=1}^{n}x_i\)
- \(n\log(p)+nx_i\)
- \(\log(p)^n+ x_i\)
A: \(n\log(p)+\sum_{i=1}^{n}x_i\)

Q: Soient \(x_1,\ldots,x_n,\alpha\) des réels. A quoi est égal le produit ci-dessous :

\(\prod_{i=1}^{n}\alpha\exp(x_i)\)
- \(\alpha^n+\exp(\sum_{i=1}^n x_i)\)
- \(\alpha^n\times \exp(\sum_{i=1}^n x_i)\)
- \(n\alpha+\exp(\sum_{i=1}^n x_i)\)
- \(n\alpha\times\exp(\sum_{i=1}^n x_i)\)
- \(\alpha+\exp(\sum_{i=1}^n x_i)\)
- \(\alpha\times\exp(\sum_{i=1}^n x_i)\)
A: \(\alpha^n\times \exp(\sum_{i=1}^n x_i)\)

Q: Soient \(x_1,\ldots,x_n,p\) des réels. A quoi est égal le logarithme du produit ci-dessous :

\(\log(\prod_{i=1}^{n}x_i^p(1-x_i)^{1-p}\)
- $$p\sum_{i=1}^{n}(x_i)+(1-p)\sum{i=1}^{n}(1-x_i)$$
- $$np\sum_{i=1}^{n}(x_i)+n(1-p)\sum_{i=1}^{n}(1-x_i)$$
- $$p^n\sum_{i=1}^n x_i+(1-p)\sum_{i=1}^n(1-x_i)$$
- $$(p)\sum_{i=1}^{n}(x_i)+(1-p)\sum_{i=1}^{n}(1-x_i)$$
A: $$p\sum_{i=1}^{n}(x_i)+(1-p)\sum{i=1}^{n}(1-x_i)$$

Q: Soient \(x_1,\ldots,x_n,m\) des réels. A quoi est égal le produit ci-dessous :

\(\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp((x_i-m)^2\)
- \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}^n}\sum_{i=1}^{n}\exp((x_i-m)^2\)
- \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum_{i=1}^{n}\exp((x_i-m)^2\)
- \(\frac{n}{\sqrt{2\pi}}\sum_{i=1}^{n}\exp((x_i-m)^2\)
- \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}^n}\exp(\sum_{i=1}^{n}(x_i-m)^2\)
- \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(\sum_{i=1}^{n}(x_i-m)^2\)
- \(\frac{n}{\sqrt{2\pi}}\exp(\sum_{i=1}^{n}(x_i-m)^2\)
A: \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}^n}\exp(\sum_{i=1}^{n}(x_i-m)^2\)

Q: Soient \(x_1,\ldots,x_n,m\) des réels. Dériver la fonction ci-dessous par rapport à \(m\) :

\(m \mapsto \sum_{i=1}^n (x_i-m)^2\)
- \(m \mapsto 2\sum_{i=1}^n (x_i-m)\)
- \(m \mapsto -2\sum_{i=1}^n (x_i-m)\)
- \(m \mapsto 2(x_i-m)\)
- \(m \mapsto -2 (x_i-m)\)
- \(m \mapsto 2n(x_i-m)\)
- \(m \mapsto -2n (x_i-m)\)
A: \(m \mapsto 2\sum_{i=1}^n (x_i-m)\)

Q: Soient \(x_1,\ldots,x_n,p\) des réels. Dériver la fonction ci-dessous par rapport à \(p\) :

\(p \mapsto p\sum_{i=1}^{n}\log(x_i)+(1-p)\sum_{i=1}^{n}\log(1-x_i)\)
- \(p \mapsto p\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}-(1-p)\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1-x_i}\)
- \(p \mapsto p\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}+(1-p)\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1-x_i}\)
- $$\sum_{i=1}^{n}\log(\frac{x_i}{1-x_i})$$
- $$p \mapsto \sum_{i=1}^{n}\log(x_i\times(1-x_i))$$
- Aucune de ces réponses
A: $$\sum_{i=1}^{n}\log(\frac{x_i}{1-x_i})$$

Q: Soient \(x_1,\ldots,x_n,p\) des réels. Dériver la fonction ci-dessous par rapport à \(p\) :

$p \(n\log(p)+p\sum_{i=1}^{n}x_i\)
- \(p \mapsto \frac{n}{p}+\sum_{i=1}^{n}x_i\)
- \(p \mapsto \frac{n}{p}+1\)
- \(m \mapsto \frac{n}{p}+np\)
A: \(p \mapsto \frac{n}{p}+\sum_{i=1}^{n}x_i\)

Q: Soient \(x_1,\ldots,x_n,\lambda\) des réels. Dériver la fonction ci-dessous par rapport à \(\lambda\) :

\(\lambda \mapsto \sum_{i=1}^n \lambda \log(x_i)\)
- \(\lambda \mapsto \sum_{i=1}^n \log(x_i)\)
- \(\lambda \mapsto \sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}\)
- \(\lambda \mapsto n\log(x_i)\)
- \(\lambda \mapsto \frac{n}{x_i}\)
- \(\lambda \mapsto \sum_{i=1}^n\frac{\lambda}{x_i}\)
- \(\lambda \mapsto \frac{\lambda}{x_i}\)
A: \(\lambda \mapsto \sum_{i=1}^n \log(x_i)\)