Title: Opérations algébriques sur les limites
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{2 x - 2}{x^2-1}\) : [...]
A: 1
Feedback: On commence par factoriser le numérateur et le dénominateur : \(\frac{2 x - 2}{x^2-1}=\frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac2{x+1}\) Ainsi en remplaçant \(x\) par \(1\), on obtient \(\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{2 x - 2}{x^2-1}=1\) 1. \(1\)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{4x^3+2x-6}{x^2-1}\) : [...]
A: 7
Feedback: La fraction \(\frac{4x^3+2x-6}{x^2-1}\) s’annule au numérateur et au dénominateur pour \(x=1\) ce qui conduit à une forme indéterminée. En factorisant le numérateur: \(4x^3+2x-6=(x-1)(4x^2+4x+6)\) et le dénominateur: \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) on obtient \(\frac{4x^3+2x-6}{x^2-1}=\frac{(x-1)(4x^2+4x+6)}{(x-1)(x+1)}=\frac{4x^2+4x+6}{x+1}\). Ainsi \(\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{4x^3+2x-6}{x^2-1}=7\). 1. \(7\)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x^3-\sqrt{x-2}+\sin(x)\) : [...]
A: +inf / +inf
Feedback: On a affaire a priori à une forme indéterminée car \(x^3\rightarrow +\infty\) et \(-\sqrt{x-2}\rightarrow-\infty\). En mettant en facteur \(x^3\), on a \(x^3-\sqrt{x-2}+\sin(x)=x^3\left(1-\frac{\sqrt{x-2}}{x^3}+\sin(x)/x^3\right)\). Pour \(x \rightarrow +\infty\), \(\frac{\sqrt{x-2}}{x^3}\rightarrow0\) et \(\sin(x)/x^3\rightarrow0\) (\(|\sin(x)|\le 1\)). Par conséquent, \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x^3-\sqrt{x-2}+\sin(x)=\infty\). 1. \(+\infty\)

Q: Calculer les limites (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^-} 1/x^2-4/x\) : [...]
2. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} 1/x^2-4/x\) : [...]
A: +inf / +inf; +inf / +inf
Feedback: Pour \(x \rightarrow 0^-\), les deux termes \(1/x^2\) et \(-4/x\) tendent vers \(+\infty\) donc \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^-} 1/x^2-4/x=+\infty\). Par contre, pour \(x \rightarrow 0^+\), le premier tend vers \(+\infty\) et le second vers \(-\infty\). On réduit donc au même dénominateur : \(1/x^2-4/x=\frac{1-4x}{x^2}\) qui se comporte au voisinage de \(0\) comme \(1/x^2\) d’où \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} 1/x^2-4/x=+\infty\). 1. \(+\infty\) 2. \(+\infty\)

Q: Calculer les limites (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x/2-2/x\) : [...]
2. \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x/2-2/x\) : [...]
A: -inf / -inf; +inf / +inf
Feedback: Pour \(x\rightarrow-\infty\) ou \(x\rightarrow+\infty\), on a \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} -2/x=0\). Ainsi \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x/2-2/x=-\infty\) et \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x/2-2/x=+\infty\). 1. \(-\infty\) 2. \(+\infty\)

Q: Calculer les limites (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x \rightarrow 1^-} 1-\frac1{x-1}\) : [...]
2. \(\lim\limits_{x \rightarrow 1^+} 1-\frac1{x-1}\) : [...]
A: +inf / +inf; -inf / -inf
Feedback: On a \(\lim\limits_{x \rightarrow 1^-}\frac1{x-1}=-\infty\) donc \(\lim\limits_{x \rightarrow 1^-} 1-\frac1{x-1}=+\infty\). De la même façon, \(\lim\limits_{x \rightarrow 1^+}\frac1{x-1}=+\infty\) donc \(\lim\limits_{x \rightarrow 1^+} 1-\frac1{x-1}=-\infty\) 1. \(+\infty\) 2. \(-\infty\)

Q: Quelle est la limite \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \left(1-\frac1x\right)\cdot \log(x)\) ?
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \left(1-\frac1x\right)\cdot \log(x)\) est indéterminée.
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \left(1-\frac1x\right)\cdot \log(x)=0\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \left(1-\frac1x\right)\cdot \log(x)=-\infty\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \left(1-\frac1x\right)\cdot \log(x)=+\infty\)
A: \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \left(1-\frac1x\right)\cdot \log(x)=+\infty\)
Feedback: On a \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^+}\left(1-\frac1x\right)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^+}\log(x)=-\infty\). Donc le produit donne \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \left(1-\frac1x\right)\cdot \log(x)=+\infty\).

Q: Quelle est la limite \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \left(2x^2-3x+4\right)\cdot (4x^3-10)\) ?
- \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \left(2x^2-3x+4\right)\cdot (4x^3-10)\) est indéterminée.
- \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \left(2x^2-3x+4\right)\cdot (4x^3-10)=0\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \left(2x^2-3x+4\right)\cdot (4x^3-10)=-\infty\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \left(2x^2-3x+4\right)\cdot (4x^3-10)=+\infty\)
A: \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \left(2x^2-3x+4\right)\cdot (4x^3-10)=-\infty\)
Feedback: On a un produit de deux polynômes. Puisqu’on s’intéresse à une limite en \(-\infty\), on s’intéresse aux termes dominants de ces polynômes : \(2x^2\) et \(4x^3\). Ainsi \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}\left(2x^2-3x+4\right)=+\infty\) et \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}(4x^3-10)=-\infty\). Donc \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \left(2x^2-3x+4\right)\cdot (4x^3-10)=-\infty\).

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x+1}-\sqrt{x}\) : [...]
A: 0
Feedback: C’est une forme indéterminée car \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x+1}=+\infty\) et \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} -\sqrt{x}=-\infty\). La seule façon de lever l’indétermination est d’utiliser la forme conjuguée : \(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\frac{{x+1}-{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\frac1{{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}}\). Comme le dénominateur tend vers \(+\infty\), on peut conclure que \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x+1}-\sqrt{x}=0\). 1. \(0\)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \sqrt{x^4-2x+5}-\sqrt{x^2}\) : [...]
A: +inf / +inf
Feedback: C’est une forme indéterminée car \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \sqrt{x^4+1}=+\infty\) et \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} -\sqrt{x^2}=-\infty\). On factorise pour sortir le terme dominant de la racine \(\sqrt{x^4-2x+5}=\sqrt{x^4(1-2/x^3+5/x^4)}=x^2\sqrt{1-2/x^3+5/x^4}\). On a également \(\sqrt{x^2}=|x|\). Ainsi \(\sqrt{x^4-2x+5}-\sqrt{x^2}=x^2(\sqrt{1-2/x^3+5/x^4}-|x|/x^2)\). Les limites des différents termes sont \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}x^2= +\infty\), \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}\sqrt{1-2/x^3+5/x^4}=1\) et \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}|x|/x^2=0\). Par conséquent, \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \sqrt{x^4-2x+5}-\sqrt{x^2}=+\infty\). 1. \(+\infty\)

Q: Quelle est la limite \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} 2x+\exp(-5x)+\log(x)\) ?
- \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \left(2x^2-3x+4\right)\cdot 2x+\exp(-5x)+\log(x)\) est indéterminée.
- \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \left(2x^2-3x+4\right)\cdot 2x+\exp(-5x)+\log(x)=0\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \left(2x^2-3x+4\right)\cdot 2x+\exp(-5x)+\log(x)=-\infty\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \left(2x^2-3x+4\right)\cdot 2x+\exp(-5x)+\log(x)=+\infty\)
A: \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \left(2x^2-3x+4\right)\cdot 2x+\exp(-5x)+\log(x)=+\infty\)
Feedback: On s’intéresse à chacun des trois termes de la somme. On obtient \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} 2x=+\infty\), \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \exp(-5x)=0\) et \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \log(x)=+\infty\). Donc \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} 2x+\exp(-5x)+\log(x)=+\infty\).

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \left(\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) (x-3)\right)\) : [...]
A: -inf / -inf
Feedback: On a \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{1}{\sqrt{x}} = +\infty\) d’où \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) = +\infty\). De plus, \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} (x-3) = -3\) En définitive, \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \left(\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) (x-3)\right)=-\infty\). 1. \(-\infty\)

Q: Quelle est la limite \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} 2x+\exp(-5x)+\log(x)\) ?
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \left(2x^2-3x+4\right)\cdot 2x+\exp(-5x)+\log(x)\) est indéterminée.
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \left(2x^2-3x+4\right)\cdot 2x+\exp(-5x)+\log(x)=0\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \left(2x^2-3x+4\right)\cdot 2x+\exp(-5x)+\log(x)=-\infty\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \left(2x^2-3x+4\right)\cdot 2x+\exp(-5x)+\log(x)=+\infty\)
A: \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \left(2x^2-3x+4\right)\cdot 2x+\exp(-5x)+\log(x)=-\infty\)
Feedback: On s’intéresse à chacun des trois termes de la somme. On obtient \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} 2x=0\), \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \exp(-5x)=1\) et \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \log(x)=-\infty\). Donc \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} 2x+\exp(-5x)+\log(x)=-\infty\).

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x-\exp(x)+1\) : [...]
A: -inf / -inf
Feedback: On a \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x = +\infty\) et \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} -\exp(x) = -\infty\) donc la limite est a priori indéfinie. En mettant en facteur \(\exp(x)\) on a : \(x-\exp(x)+1=\exp(x)(x\exp(-x)-1+\exp(-x))\). Sachant que \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}x\exp(-x)=0\) et \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}\exp(-x)=0\), on a alors \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}(x\exp(-x)-1+\exp(-x))=-1\). D’où \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x-\exp(x)+1=-\infty\). 1. \(-\infty\)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{\exp(x)-x}{\exp(2x)+1}\) : [...]
A: 0
Feedback: On met en facteur \(\exp(2x)\) au numérateur et au dénominateur car c’est le terme dominant. \(\frac{\exp(x)-x}{\exp(2x)+1}=\frac{\exp(-x)-x\exp(-2x)}{1+\exp(-2x)}\). Pour \(x \rightarrow +\infty\), $(-x) $ et \(x\exp(-2x)\rightarrow 0\), le numérateur tend vers \(0\). Le dénominateur tend vers \(1\). Donc \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{\exp(x)-x}{\exp(2x)+1}=0\). 1. \(0\)

Q: Calculer les limites (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x \rightarrow 1^-} \frac{x+3}{x^2-1}\) : [...]
2. \(\lim\limits_{x \rightarrow 1^+} \frac{x+3}{x^2-1}\) : [...]
A: -inf / -inf; +inf / +inf
Feedback: En factorisant le dénominateur, on a \(\frac{x+3}{x^2-1}=\frac{x+3}{(x-1)(x+1)}\). Pour \(x \rightarrow 1\), \(x+3\rightarrow 4\) et \(x+1\rightarrow 2\). De plus \(x-1\rightarrow 0^-\) si \(x\rightarrow 1^-\) et \(x-1\rightarrow 0^+\) si \(x\rightarrow 1^+\). Donc \(\lim\limits_{x \rightarrow 1^-} \frac{x+3}{x^2-1}=-\infty\) et \(\lim\limits_{x \rightarrow 1^+} \frac{x+3}{x^2-1}=+\infty\). 1. \(-\infty\) 2. \(+\infty\)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \log\left(\frac{2+x}{5+x^2}\right)\) : [...]
A: -inf / -inf
Feedback: La fraction \(\frac{2+x}{5+x^2}\) pour \(x\rightarrow +\infty\) est équivalente au rapport des termes dominants du numérateur et du dénominateur : \(\frac{x}{x^2}=1/x\). Donc \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{2+x}{5+x^2}=0\) ainsi \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \log\left(\frac{2+x}{5+x^2}\right)=-\infty\). 1. \(-\infty\)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \log\left(\frac{3x^3-7}{3x^3+9x^2-1}\right)\) : [...]
A: 0
Feedback: La fraction \(\frac{3x^3-7}{3x^3+9x^2-1}\) pour \(x\rightarrow +\infty\) est équivalente au rapport des termes dominants du numérateur et du dénominateur : \(\frac{3x^3}{3x^3}=1\). Donc \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{3x^3-7}{3x^3+9x^2-1}=1\) ainsi \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \log\left(\frac{3x^3-7}{3x^3+9x^2-1}\right)=0\). 1. \(0\)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x \rightarrow 3} \frac{x^2+3x-18}{x-3}\) : [...]
A: 9
Feedback: La fraction \(\frac{x^2+3x-18}{x-3}\) s’annule au numérateur et au dénominateur pour \(x=3\) ce qui conduit à une forme indéterminée. Le numérateur se factorise ainsi \(x^2+3x-18=(x-3)(x+6)\) donc \(\frac{x^2+3x-18}{x-3}=\frac{(x-3)(x+6)}{x-3}=x+6\). Par conséquent, \(\lim\limits_{x \rightarrow 3} \frac{x^2+3x-18}{x-3}=9\). 1. \(9\)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2021}-1}{x-1}\) : [...]
A: 2021
Feedback: La fraction \(\frac{x^{2021}-1}{x-1}\) s’annule au numérateur et au dénominateur pour \(x=1\) ce qui conduit à une forme indéterminée. Le numérateur se factorise grâce à une identité remarquable : \(x^{2021}-1=(x-1)(x^{2020}+x^{2019}+\ldots+x^2+x+1)\). D’où \(\frac{x^{2021}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x^{2020}+x^{2019}+\ldots+x^2+x+1)}{x-1}=x^{2020}+x^{2019}+\ldots+x^2+x+1\). On a ainsi une somme de \(2021\) termes tous tendant vers \(1\) pour \(x\rightarrow 1\). Donc \(\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2021}-1}{x-1}=2021\) 1. \(2021\)