Title: Rappels Calcul avancé en dérivation
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Continuité, Dérivation, Intégration

Références de rappels de cours

Liste de dérivées :

Vous trouverez une liste plus étendue de fonctions dérivées  dans la première page de ce Formulaire de dérivation

Propriétés de la dérivation (fin).

Fonction réciproque
Soit une fonction $$f$$ d'un intervalle $$I$$ de $$\mathbb R$$ vers un intervalle $$J$$ de $$\mathbb R$$, telle qu'à un élément $$y$$ de $$J$$ correspond un et un seul antécédent $$x$$ dans $$I$$, c'est-à-dire un seul $$x$$ tel  que $$f(x)=y$$. On dit que $$f$$ est bijective (ou un-pour-un).

Soit $$g$$ la fonction réciproque de $$f$$ qui à chaque $$y$$ de $$J$$ associe son unique antécédent $$x$$ de $$I$$.
On a donc $$f(x)=y$$ si et seulement si $$g(y)=x$$, et pour tout $$x\in I$$, $$g(f(x))=x$$.

Exemple :
Si $$I=J=\mathbb{R}^+$$ et $$f(x) =x^2$$, alors $$g(x)=\sqrt{x}$$.
Si $$I=\mathbb{R}$$, $$J=\mathbb{R}^+$$ et $$f(x) =e^x$$, alors $$g(x)=\ln{x}$$.

La dérivée de $$g$$ est définie par : $$g'(x)=\displaystyle \frac 1 {f'(g(x)})$$.
On note $$g= f^{-1}$$. La formule s'écrit en résumé : $$(f^{-1})'(x)=\displaystyle \frac 1 {f'(f^{-1}(x)) }$$
Cette formule montre qu'en deux points qui se correspondent par $$f$$ les nombres dérivés sont inverses l'un de l'autre. Rappelons que les graphes de $$f$$ et $$g$$ sont symétriques l'un de l'autre par rapport à la diagonale $$x=y$$, donc les tangentes sont également symétriques deux à deux et leurs pentes sont inverses.

Exemples :
 Si $$I=J=\mathbb{R}^+$$ et $$f(x) =x^2$$, alors $$g(x)=\sqrt{x}$$. On a $$f'(x)=2x$$ soit $$f'(g(x))=2\sqrt{x}$$.
On a $$g'(x)=\displaystyle \frac 1 {f'(g(x)) }=\displaystyle \frac 1 {2\sqrt{x} } $$

Si $$I=\mathbb{R}$$, $$J=\mathbb{R}^+$$ et $$f(x) =e^x$$, alors $$g(x)=\ln{x}$$. On a $$f'(x)=e^x$$ soit $$f'(g(x))=e^{\ln (x)}=x$$.
On a $$g'(x)=\displaystyle \frac 1 {f'(g(x)) }=\displaystyle \frac 1 {{x} } $$

Ex 1 - Question 1

On considère la fonction sinus. Rappeler sa fonction dérivée. Montrer qu'elle est strictement croissante sur $$[-\pi/2, \pi/2]$$.

Ex 1 - Réponse à la question 1

La fonction dérivée de $$f=\sin$$ est  la fonction   $$f'=\cos$$. Cette fonction est strictement positive sur $$I=]-\pi/2;\pi/2[$$ ;

La fonction $$f$$ est continue et  strictement croissante dans l'intervalle fermé correspondant.

Ex 1 - Question 2

En déduire que pour tout $$a$$ tel que $$-1\leq a\leq1$$, l'équation $$\sin x=a$$ n'admet qu'une solution  dans $$I=[-\pi/2;\pi/2]$$.

En déduire que $$\sin$$ admet une fonction réciproque de $$[-1;1]$$ vers $$[-\pi/2;\pi/2]$$. On notera cette fonction $$\mbox{Arcsin}$$.

Ex 1 - Réponse à la question 2

La fonction $$\sin$$ est continue  sur $$[-\pi/2;\pi/2]$$ et vaut $$-1$$ en $$-\pi/2$$ et $$1$$ en $$\pi/2$$. Soit $$-1\leq y\leq 1$$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $$x \in [-\pi/2;\pi/2]$$ tel que $$\sin x = y$$.
L'équation $$\sin x = y$$ pour $$y$$ fixé a au moins une solution.
La fonction étant strictement croissante, si $$x_1>x_2$$ alors $$\sin x_1>\sin x_2$$. Donc si $$y=\sin x_1$$ et $$y=\sin x_2$$, nécessairement $$x_1=x_2$$.
L'équation $$y= \sin x$$ a donc  une solution unique.

La fonction réciproque peut être définie en associant à chaque $$y$$ la solution unique $$x$$ de $$y= \sin x$$.

Cette fonction est appellée $$\mbox{Arcsin}$$. Ce nom vient du fait qu'elle représente la mesure en radian de  l'angle correspondant à une valeur du sinus, c'est à dire  la longueur de  l'arc du cercle trigonométrique correspondant à cet angle.

Ex 1 - Question 3

On considère $$g= \mbox{Arcsin}$$. Calculez la dérivée de $$g$$ et vérifiez votre réponse.

Ex 1 - Réponse à la question 3

La fonction dérivée de  $$g=\mbox{Arcsin}$$ est définie  par $$g'(x)=\displaystyle \  \frac 1{\sqrt {1-x^2}}$$.

Explication :

La fonction  $$g$$ est la fonction réciproque de la fonction $$f=\sin$$. On a  $$f'=\cos$$.  On applique la formule de la dérivée de la réciproque :

 $$g'(x)=\displaystyle \  \frac 1{f' (g(x))}=\  \frac 1{\cos (g(x))}$$.

On sait que  $$\sin^2(g(x))+\cos^2(g(x))=1$$. D'après le choix de l'intervalle $$[-\pi/2;\pi/2]$$, on sait que $$\cos(g(x))\geq 0$$; donc $$\cos(g(x))=\sqrt {1-\sin^2(g(x))}$$. Par définition de la réciproque, $$\sin(g(x))=x$$ ; donc $$\cos(g(x))=\sqrt {1-x^2}$$.

Ex1 - Question 4

On considère la fonction $$\cos$$.

Montrer que $$\cos$$ est monotone sur l'intervalle $$K=[0;\pi]$$.
En déduire qu'elle est bijective de $$K$$ sur $$J=[-1;1]$$ et admet une fonction réciproque qu'on notera $$\mbox{Arccos}$$.

Ex 1 - Réponse à la question 4

La dérivée de la fonction $$\cos$$ est $$-\sin$$. Elle est strictement négative sur $$]0;\pi[$$. Dons $$\cos$$ est décroissante sur cet intervalle.
La fonction $$\cos$$ est continue  sur $$[0;\pi]$$ et vaut $$1$$ en $$0$$ et $$-1$$ en $$\pi$$. Soit $$-1\leq y\leq 1$$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $$x \in [0;\pi]$$ tel que $$\cos x = y$$.
L'équation $$\cos x = y$$ pour $$y$$ fixé a au moins une solution.
La fonction étant strictement décroissante, si $$x_1>x_2$$ alors $$\cos x_2>\cos x_1$$. Donc si $$y=\cos x_1$$ et $$y=\cos x_2$$, nécessairement $$x_1=x_2$$. L'équation $$y= \cos x$$ a au plus une solution unique.

La fonction réciproque peut être définie en associant à chaque $$y$$ la solution unique $$x$$ de $$y= \cos x$$.

Cette fonction est appellée $$\mbox{Arccos}$$. Ce nom vient du fait qu'elle représente l'angle en radian correspondant au cosinus, c'est à dire  longueur l'arc du cercle trigonométrique.

Remarque : Soit $$y \in [-1;1]$$. Soit $$x_1= \mbox{Arccos} y$$ et $$x_2=\pi/2-x_1$$. D'après les relations entre angles complémentaires, on sait que $$\sin x_2=\cos x_1=y$$. De plus $$x_2 \in [-\pi/2;\pi/2]$$. En raison de l'unicité de la solution de $$y=\sin x$$ dans cet intervalle, on en déduit que $$x_2=\mbox{Arcsin} y$$.
On a donc toujours $$\mbox{Arccos} y+\mbox{Arcsin} y=\pi/2$$.
La dérivée de $$\mbox{Arccos} $$ est l'opposée de la dérivée de $$\mbox{Arcsin}$$.
Donc $$\mbox{Arccos}'(x)=\displaystyle - \frac1{\sqrt{1-x^2}}$$.

Ex 2 - Question 1

On considère la fonction $$\tan x=\displaystyle   \frac {\sin x}{\cos x}$$ sur l'intervalle $$[-\pi/2;\pi/2]$$.

Calculez la dérivée de cette fonction et vérifiez votre réponse.

Ex 2 - Réponse à la question 1

La dérivée de $$\tan$$ est $$\tan' =1+\tan^2=\displaystyle \frac 1 {\cos^2}$$.

Explication

On applique la formule du quotient à $$u=\sin$$ et $$v= \cos$$

$$\tan' x=\displaystyle \frac {\cos x\cos x+\sin x\sin x} {\cos^2 x}=1+\tan^2 x$$.
De plus, en utilisant $$\cos^2 x+\sin^2 x=1$$, on obtient $$\tan' x=\displaystyle \frac 1 {\cos^2 x}$$.

Ex2 - Question 2

Montrer que $$\tan$$ est monotone sur l'intervalle $$K=[-\pi/2;\pi/2]$$.

Donner sa limite en $$-\pi/2$$ et $$\pi/2$$.

En déduire qu'elle est bijective de $$K$$ sur $$\mathbb R$$ et admet une fonction réciproque qu'on notera $$\mbox{Arctan}$$.

Ex2- réponse à la question 2

La dérivée de la fonction $$\tan$$ est $$1+\tan^2$$. Elle est strictement positive sur $$]-\pi/2;\pi/2[$$. Donc $$\tan$$ est croissante sur cet intervalle.

La fonction $$\cos$$ est positive sur l'intervalle et nulle en $$-\pi/2$$ et $$\pi/2$$. La fonction $$\sin$$ vaut $$-1$$ en $$-\pi/2$$ et $$1$$ en $$\pi/2$$.
Donc $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} \tan x= -\infty$$ et $$ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1} \tan x= +\infty$$

La fonction $$\tan$$ est continue  de $$[-\pi/2;\pi/2]$$ sur $$\mathbb R$$ . Soit $$y$$ un réel. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $$x \in [-\pi/2;\pi/2]$$ tel que $$\tan x = y$$.
L'équation $$\tan x = y$$ pour $$y$$ fixé a au moins une solution $$x \in [-\pi/2;\pi/2]$$ .

La fonction $$\tan$$ étant strictement décroissante, si $$x_1>x_2$$ alors $$\tan x_2>\tan x_1$$. Donc si $$y=\tan x_1$$ et $$y=\tan x_2$$, nécessairement $$x_1=x_2$$. L'équation $$y= \tan x$$ a donc une solution unique.

La fonction réciproque peut être définie en associant à chaque $$y$$ la solution unique $$x$$ de $$y= \tan x$$. On note cette fonction $$\mbox{Arctan}$$.

Ex 2- question 3

Calculez la dérivée de la fonction $$\mbox{Arctan} $$ et vérifiez votre réponse.

Ex 2- Réponse à la question 3

La dérivée de la fonction $$ \mbox{Arctan}$$ est définie par $$ \mbox{Arctan}' x=\displaystyle \frac 1 {1+ x^2}$$.

Explication :

On applique la formule de l'application réciproque pour $$f=\tan$$ et $$g= \mbox{Arctan}$$. On rappelle que $$f'=1+\tan^2$$

$$ \mbox{Arctan}' x=\displaystyle \frac 1 {1+\tan^2(\mbox{Arctan} x) }= \frac 1 {1+ x^2 }$$.