Title: Geometrique et exponentielle
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: On tire un dé à six faces et on considère la variable aléatoire \(Y\) qui vaut \(1\) si la valeur du dé est supérieure ou égale à \(5\) et \(0\) sinon. On effectue des tirages successifs indépendant de \(Y\), jusqu’à obtenir 1. On appelle \(X\) le numéro du tirage où le premier \(1\) apparaît.

La variable \(Y\) est-elle discrète ? (V pour Vrai, F pour Faux) : [...]

La variable \(Y\) est-elle une variable de Bernoulli ? (V pour Vrai, F pour Faux) : [...]

La variable \(X\) est-elle une variable binomiale ? (V pour Vrai, F pour Faux) : [...]

Entrez la valeur de \(P(X=1)\) (à 0.01 de précision): [...]

Entrez la valeur de l’espérance de \(X\) : [...]

Entrez la valeur de la variance de \(X\) : [...]
A: V / v; V / v; F / f; 0.33; 3; 6
Feedback: La loi de \(Y\) est définie par des probabilités sur des entiers, donc elle est discrète. Les éventualités d’un tirage sont \(0\) et \(1\) donc chaque tirage une variable de Bernoulli. La probabilité \(p\) que \(Y\) vaille \(1\), appelé aussi probabilité de succès est égale à 1/3. La probabilité que 1 apparaisse au premier tirage est égale à \(p\). L’espérance vaut \(1/p\) et la variance \((1-p)/p^2\), soit \(3\) et \(6\).

Q: On tire une pièce équilibrée. On effectue des tirages successifs à pile ou face, jusqu’à obtenir Face. On appelle \(X\) le numéro du tirage où on obtient Face.

La variable \(X\) est-elle discrète ? (V pour Vrai, F pour Faux) : [...]

La variable \(X\) est-elle une variable de loi géométrique ? (V pour Vrai, F pour Faux) : [...]

La variable \(X\) est-elle une variable de loi binomiale ? (V pour Vrai, F pour Faux) : [...]

Entrez la valeur de \(P(X=3)\) (à 0.01 de précision): [...]

Entrez la valeur de l’espérance de \(X\) : [...]

Entrez la valeur de la variance de \(X\) : [...]
A: V / v; V / v; F / f; 0.125; 2; 2
Feedback: La loi de \(X\) est définie par des probabilités sur des entiers de \(1\) à l’infini, donc elle est discrète. On peut définir l’apparition de face comme un succès, en associant à Face la valeur 1 et à Pile la valeur 0. Alors \(X\) est le numero du tirage de premier succès, donc est une variable de loi géométrique de paramètre \(1/2\). La probabilité que Face apparaisse pour la première fois au troisième tirage est égale à \((1-p)^2p\) soit \(1/8\). L’espérance vaut \(1/p=2\) et la variance \((1-p)/p^2=2\).

Q: On joue aux fléchettes. On cherche à toucher le centre. La chance de rater le centre est de \(19/20\). On continue à jouer jusqu’à la réussite. On appelle \(X\) le numéro de la tentative où on touche le centre.

La variable \(X\) est-elle discrète ? (V pour Vrai, F pour Faux) : [...]

La variable \(X\) est-elle une variable de loi géométrique ? (V pour Vrai, F pour Faux) : [...]

Entrez la valeur de \(P(X=2)\) (à 0.001 de précision): [...]

Entrez la valeur de l’espérance de \(X\) : [...]

Entrez la valeur de la variance de \(X\) : [...]
A: V / v; V / v; 0.047; 20; 380
Feedback: La loi de \(X\) est définie par des probabilités sur des entiers de \(1\) à l’infini, donc elle est discrète. On peut définir l’apparition de face comme un succès, en associant à Face la valeur 1 et à Pile la valeur 0. Alors \(X\) est le numero du tirage de premier succès, donc est une variable de loi géométrique de paramètre \(1/20\). La probabilité que Face apparaisse pour la première fois au deuxième tirage est égale à \((1-p)p\) soit \(19/400\). L’espérance vaut \(1/p=20\) et la variance \((1-p)/p^2=380\).

Q: Vous entrez dans un labyrinthe. Toutes les pièces se ressemblent : quatre portes semblables, une qui permet de sortir et deux qui vous emmenent dans une nouvelle pièce du labyrinthe. On note \[X\] le numéro de la porte qui vous permet de sortir.

La variable \(X\) est-elle discrète ? (V pour Vrai, F pour Faux) : [...]

La variable \(X\) est-elle une variable de loi géométrique ? (V pour Vrai, F pour Faux) : [...]

Entrez la valeur de \(P(X=2)\) (à 0.001 de précision): [...]

Entrez la valeur de l’espérance de \(X\) : [...]

Entrez la valeur de la variance de \(X\) : [...]
A: V / v; V / v; 0.183; 4; 12
Feedback: La loi de \(X\) est définie par des probabilités sur des entiers de \(1\) à l’infini, donc elle est discrète. On peut définir le choix de la porte de sortie comme un succès en lui associant la valeur 1 et en associant 0 au choix des autres portes. Alors \(X\) est le numero du tirage de premier succès, donc est une variable de loi géométrique de paramètre \(1/4\). La probabilité de sortir à la deuxième porte est égale à \((1-p)p\) soit \(3/16\). L’espérance vaut \(1/p=4\) et la variance \((1-p)/p^2=12\).

Q: Vous entrez dans la première pièce d’un labyrinthe. Toutes les pièces se ressemblent : quatre portes semblables, une qui permet de sortir et trois qui vous emmènent dans une nouvelle pièce du labyrinthe. On note \[X\] le nombre de pièce que vous visiter avant de sortir.

La variable \(X\) est-elle discrète ? (V pour Vrai, F pour Faux) : [...]

La variable \(X\) est-elle une variable de loi géométrique ? (V pour Vrai, F pour Faux) : [...]

Entrez la valeur de \(P(X=2)\) (à 0.001 de précision): [...]

Entrez la valeur de l’espérance de \(X\) : [...]

Entrez la valeur de la variance de \(X\) : [...]
A: V / v; V / v; 0.183; 4; 12
Feedback: La loi de \(X\) est définie par des probabilités sur des entiers de \(1\) à l’infini, donc elle est discrète. On peut définir le choix de la porte de sortie comme un succès en lui associant la valeur 1 et en associant 0 au choix des autres portes. Alors \(X\) est le numero de la pièce de premier succès, donc est une variable de loi géométrique de paramètre \(1/4\). La probabilité de sortir par la porte de la deuxième pièce est égale à \((1-p)p\) soit \(3/16\). L’espérance vaut \(1/p=4\) et la variance \((1-p)/p^2=12\).

Q: Vous entrez dans la première pièce d’un labyrinthe. Toutes les pièces se ressemblent : 6 portes semblables, une qui permet de sortir et une qui vous emmène dans une nouvelle pièce du labyrinthe. On note \[X\] le nombre de pièce que vous visiter avant de sortir.

La variable \(X\) est-elle une variable de loi géométrique ? (V pour Vrai, F pour Faux) : [...]

Entrez la valeur de l’espérance de \(X\) : [...]

Entrez la valeur de la variance de \(X\) : [...]

Vous êtes arrivé dans la troisième pièce sans sortir. Quel nombre de pièce en moyenne allez-vous encore parcourir avant de sortir ? [...]
A: V / v; 6; 12; 6
Feedback: On peut définir le choix de la porte de sortie comme un succès en lui associant la valeur 1 et en associant 0 au choix des autres portes. Alors \(X\) est le numero du tirage de premier succès, donc est une variable de loi géométrique de paramètre \(1/6\). L’espérance vaut \(1/p=6\) et la variance \((1-p)/p^2=30\). Si vous êtes arrivé à la troisième pièce et que vous voulez estimer combien de pièces vous allez parcourir en moyenne, vous êtes exactement dans la même situation que dans la première pièce, car le fait d’avoir parcouru les premières pièces ne vous a rien appris. Donc le nombre moyen de pièces à parcourir est l’espérance de \(X\) c’est-à-dire 6.

Q: Un atome instable se désintègre à une instant aléatoire \(T\) qui mesuré en seconde suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda=1/10\)

Entrez la valeur de l’espérance de \(X\) : [...]

Entrez la valeur de la variance de \(X\) : [...]

Quelle est la probabilité que l’atome soit désintégré au bout d’un temps de 20 secondes (précision de 0.001) ? [...]
A: 10; 100; 0.865
Feedback: L’espérance de la variable exponentielle est \(1/\lambda=10\). Sa variance est \(1/\lambda^2=100\). La probabilité que X soit inférieure à 20 se calcule en intégrant la densité :

Q: Un appareil a une durée de vie \(X\) qui mesurée en mois suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda=1/500\)

Entrez la valeur de l’espérance de \(X\) : [...]

Entrez la valeur de la variance de \(X\) : [...]

Quelle est la probabilité que l’appareil fonctionne au bout d’un temps de 50 mois (précision de 0.001) ? [...]
A: 10; 100; 0.9
Feedback: L’espérance de la variable exponentielle est \(1/\lambda=500\). Sa variance est \(1/\lambda^2=25000\). La probabilité que X soit supérieure à 60 mois se calcule en intégrant la densité :

Q: Une table est éclairée par deux ampoules dont la durée de vie \(X\) mesurée en jours suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda=1/100\).

Entrez la valeur de l’espérance de \(X\) : [...]

Entrez la valeur de la variance de \(X\) : [...]

Quelle est la probabilité qu’une des ampoules au moins ne fonctionne plus au bout de 200 jours ? (précision de 0.001) ? [...]

Quelle est la probabilité que les deux ampoules ne fonctionnent plus au bout de 100 jours ? (précision de 0.001) ? [...]
A: 10; 100; 0.982; 0.135
Feedback: L’espérance de la variable exponentielle est \[1/\lambda=100\]. Sa variance est \[1/\lambda^2=10000\]. On calcule la probabilité de l’évenement \[A\] contraire : les deux ampoules fonctionnent. La probabilité pour l’ampoule 1 de fonctionner au bout de 200 jours est \[P(X_1\geq 200)=\int_{200}^\infty\frac 1 \lambda e^{-\lambda x}dx=\left[-e^{-\lambda x}\right]_{200}^\infty=e^{-200 \lambda }=e^{-2}=0.135.\] Les temps de vie des ampoules étant supposés indépendants : \[P(X_1\geq 200 \mbox{ et } X_2\geq 200)=P(X_1\geq 200)\times P(X_2\geq 200)=e^{-2}\times e^{-2}=0.018.\] La probabilité qu’une des deux ampoules ne fonctionne pas est donc de \[1-0.018=0.982\]. De la même façon, la probabilité pour l’ampoule 1 de ne pas fonctionner au bout de 100 jours est \[P(X_1 < 100)=\int_0^{100}\dfrac 1 \lambda e^{-\lambda x}dx=\left[-e^{-\lambda x}\right]_0^{100}=1-e^{-100 \lambda }=e^{-1}=0.368.\] Les temps de vie des ampoules étant supposés indépendants : \[P(X_1< 100 \mbox{ et } X_2 < 100)=P(X_1<100)\timesP(X_2< 100)=e^{-2}=0.135.\]

Q: Une table est éclairée par deux ampoules différentes. La durée de vie de la première \[X_1\] mesurée en jours suit une loi exponentielle de paramètre \[\lambda_1=1/100\]. La durée de vie de la deuxième \[X_2\] mesurée en jours suit une loi exponentielle de paramètre \[\lambda_2=1/200\].

Quelle est la probabilité qu’une des ampoules au moins ne fonctionne plus au bout de 200 jours ? (précision de 0.001) ? [...]

Quelle est la probabilité que les deux ampoules ne fonctionnent plus au bout de 400 jours ? (précision de 0.001) ? [...]
A: 0.865; 0.05
Feedback: On calcule la probabilité de l’évenement \[A\] contraire : les deux ampoules fonctionnent. La probabilité pour l’ampoule 1 de fonctionner au bout de 200 jours est \[P(X_1\geq 200)=\int_{200}^\infty\frac 1 {\lambda_1} e^{-\lambda_1 x}dx=\left[-e^{-\lambda_1 x}\right]_{200}^\infty=e^{-200 \lambda_1 }=e^{-2}=0.135.\] La probabilité pour l’ampoule 2 de fonctionner au bout de 200 jours est \[P(X_2\geq 200)=\int_{200}^\infty\frac 1 {\lambda_2} e^{-\lambda_2 x}dx=\left[-e^{-\lambda_2 x}\right]_{200}^\infty=e^{-200 \lambda_2 }=e^{-1}=0.368.\] Les temps de vie des ampoules étant supposés indépendants, \[P(X_1\geq 200 \mbox{ et } X_2\geq 200)=P(X_1\geq 200)\timesP(X_2\geq 200)=e^{-2}\times e^{-1}=0.050.\]

Q: On considère une variable \(X\) de loi exponentielle de paramètre \(\lambda\).
- L’espérance de \[X\] est égale à \[\lambda\].
- La variance de \[X\] est égale à \[\1/\lambda\].
- La probabilité \[P(X>3)\] est égale à \[e^{-3\lambda}\].
- La probabilité \[P(2\leq X \leq 3)\] est égale à \[e^{-3\lambda}-e^{-2\lambda}\].
A: La probabilité \[P(X>3)\] est égale à \[e^{-3\lambda}\].; La probabilité \[P(2\leq X \leq 3)\] est égale à \[e^{-3\lambda}-e^{-2\lambda}\].
Feedback: L’espérance de la variable exponentielle est \(1/\lambda\). Sa variance est \(1/\lambda^2\). La probabilité de dépassement se calcule par intégration : \[P(X>3)=\int_{3}^\infty\frac 1 {\lambda} e^{-\lambda x}dx=\left[-e^{-\lambda x}\right]_{3}^\infty=e^{-3 \lambda }.\] La probabilité de de l’intervalle se calcule par intégration : \[P(X>3)=\int_{2}^3\frac 1 {\lambda} e^{-\lambda x}dx=\left[-e^{-\lambda x}\right]_{2}^3=e^{-2\lambda }-e^{-3\lambda }.\]

Q: On considère une variable \[X\] de loi géométrique de paramètre \[p\].
- L’espérance de \[X\] est égale à \[p\].
- La variance de \[X\] est égale à \[p(1-p)\].
- La probabilité \[P(X>3)\] est égale à \[(1-p)^3\].
- La probabilité \[P(X=4)\] est égale à \[p(1-p)^3\].
A: La probabilité \[P(X>3)\] est égale à \[(1-p)^3\].; La probabilité \[P(X=4)\] est égale à \[p(1-p)^3\].
Feedback: L’espérance de la variable géométrique est \[1/p\]. Sa variance est \[(1-p)/p^2\]. La probabilité de dépassement se calcule par intégration : \[P(X>3)=\sum_{k=4}^\infty p(1-p)^{k-1}=p(1-p)^3\sum_{k=4}^\infty (1-p)^{k-4}=p(1-p)^3\sum_{k'=0}^\infty (1-p)^{k'}=p(1-p)^3\dfrac 1{1-(1-p)}=(1-p)^3.\] Par définition, \[P(X=4)\] est égale à \[p(1-p)^3\]. Si le premier succès est obtenu à la quatrième tentative, il y a eu trois échecs de probabilité \[(1-p)\] suivi d’un succès de probabilité \[p\], ces résultats étant indépendants.