Title: Base et dimension
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(1,0,2)\) et \(\vec y=(2,0,4)\). Quelle est la dimension de \(F=Vect(\vec x,\vec y)\) ?
A: 1
Feedback: Par définition, \((\vec x,\vec y)\) est un système générateur de \(F\). On remarque que \(\vec y=2\vec x\) donc \((\vec x,\vec y)\) n’est pas libre. On peut supprimer le vecteur \(y\) pour obtenir le système générateur \((\vec x)\). Ce système contient un vecteur non nul donc il est libre. \((\vec x)\) est libre et générateur de \(F\). C’est donc une base de \(F\) et donc \(F\) est de dimension 1.

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(1,0,2)\) et \(\vec y=(2,1,3)\). Quelle est la dimension de \(F=Vect(\vec x,\vec y)\) ?
A: 2
Feedback: Par définition, \((\vec x,\vec y)\) est un système générateur de \(F\). Si \((\vec x,\vec y)\) n’était pas libre alors ces deux vecteurs seraient proportionels, ce qui n’est pas le cas. Donc \((\vec x,\vec y)\) est libre et générateur de \(F\). C’est donc une base de \(F\) et donc \(F\) est de dimension 2.

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(1,0,0)\), \(\vec y=(2,1,3)\) et \(\vec z=(3,2,6)\). Quelle est la dimension de \(F=Vect(\vec x,\vec y,\vec z)\) ?
A: 2
Feedback: Par définition, \((\vec x,\vec y, \vec z)\) est un système générateur de \(F\). Pour savoir si le système est libre, on considère une combinaison linéaire nulle : \(a\cdot\vec x+b\cdot\vec y+c\cdot\vec z=\vec 0\). Soit \[ \left\{\begin{array} {rcl} a+2b+3c&=& 0\\ b+2c&=&0\\ 3b+6c&=& 0 \end{array} \right. \] On remarque que les deux dernières équations sont équivalentes. On peut choisir \(b=2\) et \(c=-1\). On choisit \(a=-1\) pour satisfaire la première équation. Il existe donc une combinaison linéaire nulle de \((\vec x,\vec y, \vec z)\) à coefficient non tous nuls. Donc ce système n’est pas libre. De plus la solution montre que \(-\vec x+2\vec y-\vec z=\vec 0\). Donc \(\vec z=-\vec x+2\vec y\). On en déduit que le sous-système \((\vec x,\vec y)\) est générateur. Il est de plus libre car les deux vecteurs ne sont pas proportionnels l’un à l’autre. Donc \((\vec x,\vec y)\) est une base de \(F\) et \(F\) est de dimension 2.

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(1,0,0,1)\), \(\vec y=(2,1,1,1)\) et \(\vec z=(5,2,2,3)\). Quelle est la dimension de \(F=Vect(\vec x,\vec y,\vec z)\) ?
A: 2
Feedback: Par définition, \((\vec x,\vec y, \vec z)\) est un système générateur de \(F\). Pour savoir si le système est libre, on considère une combinaison linéaire nulle : \(a\cdot\vec x+b\cdot\vec y+c\cdot\vec z=\vec 0\). Soit \[ \left\{\begin{array} {rcl} a+2b+5c&=& 0\\ b+2c&=&0\\ b+2c&=&0\\ a+b+3c&=& 0 \end{array} \right. \] On remarque que les deux dernières équations du centre sont équivalentes et que la première moins la dernière donne la deuxième. Le système n’a que deux équations indépendantes donc une solution non nulle. On peut choisir \(b=2\) et \(c=-1\). On choisit \(a=1\) pour satisfaire la première et la dernière équation. Il existe donc une combinaison linéaire nulle de \((\vec x,\vec y, \vec z)\) à coefficient non tous nuls. Donc ce système n’est pas libre. De plus la solution montre que \(\vec x+2\vec y-\vec z=\vec 0\). Donc \(\vec z=\vec x+2\vec y\). On en déduit que le sous-système \((\vec x,\vec y)\) est générateur. Il est de plus libre car les deux vecteurs ne sont pas proportionnels l’un à l’autre. Donc \((\vec x,\vec y)\) est une base de \(F\) et \(F\) est de dimension 2.

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(1,0,2)\) et \(\vec y=(0,0,0)\). Quelle est la dimension de \(F=Vect(\vec x,\vec y)\) ?
A: 1
Feedback: Par définition, \((\vec x,\vec y)\) est un système générateur de \(F\). On remarque que \(\vec y=\vec 0\) donc \((\vec x,\vec y)\) n’est pas libre. On peut supprimer le vecteur \(y\) pour obtenir le système générateur \((\vec x)\). Ce système contient un vecteur non nul donc il est libre. \((\vec x)\) est libre et générateur de \(F\). C’est donc une base de \(F\) et donc \(F\) est de dimension 1.

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(1,0,0)\), \(\vec y=(0,1,0)\) et \(\vec z=(1,0,0)\). Quelle est la dimension de \(F=Vect(\vec x,\vec y,\vec z)\) ?
A: 3
Feedback: Par définition, \((\vec x,\vec y, \vec z)\) est un système générateur de \(F\). Pour savoir si le système est libre, on considère une combinaison linéaire nulle : \(a\cdot\vec x+b\cdot\vec y+c\cdot\vec z=\vec 0\), soit \((a,b,c)=(0,0,0)\). On voit que nécessairement \(a=b=c=0\). Donc le système est libre. On en déduit que \((\vec x,\vec y, \vec z)\) est une base de \(F\) et que \(F\) est de dimension 3. De plus, pour n’importe quel vecteur \(\vec u=(s,t,r)\) de \(\mathbb{R}^3\), on a \(\vec u=s\cdot\vec t+b\cdot\vec y+r\cdot\vec z\). Donc \(\u \in F\). On en déduit que \(F=\mathbb{R}^3\). Cette base particulière est appelée base canonique de \(\mathbb{R}^3\). Les coordonnées d’un vecteur dans cette base sont les nombres composantes du triplet. C’est la seule base qui a cette propriété.

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(1,0,0)\), \(\vec y=(0,1,0)\) et \(\vec z=(1,1,1)\). \((\vec x,\vec y,\vec z)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\). Calculer les coordonnées de \(\vec u=(0,1,2)\) dans cette base.

La première coordonnée est : [...]

La deuxiéme coordonnée est : [...]

La troisième coordonnée est : [...]
A: -2; -1; 2
Feedback: On cherche les nombres (a,b,c) tels que : \(\vec u=a\cdot\vec x+b\cdot\vec y+c\cdot\vec z\), soit \((0,1,2)=(a+c,b+c,c)\). La recherche de coordonnées consiste à résoudre le système linéaire : \[ \left\{\begin{array} {rcl} a+c&=& 0\\ b+c&=&1\\ c&=& 2 \end{array} \right. \] La troisième équation donne \(c=2\), la deuxième donne \(b=-1\) et la première \(a=-2\). Il y a bien une solution unique ce qui confirme que le \((\vec x,\vec y,\vec z)\) est une base. Les coordonnées de \(\vec u\) sont \(-2\), \(-1\) et \(2\).

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(1,0,0)\), \(\vec y=(1,1,0)\) et \(\vec z=(1,1,2)\). \((\vec x,\vec y,\vec z)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\). Calculer les coordonnées de \(\vec u=(1,1,2)\) dans cette base.

La première coordonnée est : [...]

La deuxiéme coordonnée est : [...]

La troisième coordonnée est : [...]
A: 0; 0; 1
Feedback: On cherche les nombres \(a\), \(b\) et \(c\) tels que : \(\vec u=a\cdot\vec x+b\cdot\vec y+c\cdot\vec z\). Comme \(\vec u=\vec z\), \(a=0\), \(b=0\) et \(c=1\) est une solution évidente. De plus cette solution est unique puisque le système est une base.

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(0,1,0)\), \(\vec y=(1,0,0)\) et \(\vec z=(0,0,1)\). \((\vec x,\vec y,\vec z)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\). Calculer les coordonnées de \(\vec u=(1,0,0)\) dans cette base.

La première coordonnée est : [...]

La deuxiéme coordonnée est : [...]

La troisième coordonnée est : [...]
A: 0; 1; 0
Feedback: On cherche les nombres \(a\), \(b\) et \(c\) tels que : \(\vec u=a\cdot\vec x+b\cdot\vec y+c\cdot\vec z\). Comme \(\vec u=\vec y\), \(a=0\), \(b=1\) et \(c=0\) est une solution évidente. De plus cette solution est unique puisque le système est une base. Note : la base est une permutation de la base canonique ; cet exercice illustre que les coordonnées ne sont pas égales aux composantes même dans ce cas simple. L’ordre des vecteurs de la base influe sur les coordonnées.

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(0,1,1)\), \(\vec y=(1,0,0)\) et \(\vec z=(0,0,1)\). \((\vec x,\vec y,\vec z)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\). Calculer les coordonnées de \(\vec u=(1,1,0)\) dans cette base.

La première coordonnée est : [...]

La deuxième coordonnée est : [...]

La troisième coordonnée est : [...]
A: 1; 1; -1
Feedback: On cherche les nombres (a,b,c) tels que : \(\vec u=a\cdot\vec x+b\cdot\vec y+c\cdot\vec z\), soit \((1,1,0)=(b,a,a+c)\). La recherche de coordonnées consiste à résoudre le système linéaire : \[ \left\{\begin{array} {rcl} b=&=& 1\\ a=&=&1\\ a+c&=& 0 \end{array} \right. \] La première équation donne \(b=1\), la deuxième donne \(a=1\) et la troisième \(c=-1\). Il y a bien une solution unique ce qui confirme que le \((\vec x,\vec y,\vec z)\) est une base. Les coordonnées de \(\vec u\) sont \(1\), \(1\) et \(-1\).

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(1,0,2)\) et \(\vec y=(0,1,0)\). On définit \(F=Vect(\vec x,\vec y)\). Parmi les sous-espaces suivants, quels sont des sous-espaces supplémentaires à \(F\) ?
- \(H=\{\vec 0\}\).
- \(H=Vect((1,0,2))\).
- \(H=Vect((1,1,3))\).
- \(H=\mathbb{R}^3\).
- \(H=Vect((2,0,3))\).
- \(H=Vect((1,0,0),(0,1,0))\).
A: \(H=Vect((1,1,3))\).; \(H=Vect((2,0,3))\).
Feedback: On regarde d’abord la dimension de \(F\). Par définition, \((\vec x,\vec y)\) est un système générateur de \(F\). Si \((\vec x,\vec y)\) n’était pas libre alors ces deux vecteurs seraient proportionnels, ce qui n’est pas le cas. \((\vec x,\vec y)\) est libre et générateur de \(F\). C’est donc une base de \(F\) et donc \(F\) est de dimension 2. Les supplémentaires de \(F\) sont de dimension 1, ce qui élimine les propositions 1 4 et 6. Dans la proposition 2, \(H\) contient \(\vec x\) ce qui fait que l’intersection avec \(F\) contient un vecteur non nul. Donc \(H\) n’est pas un sous espace vectoriel supplémentaire à \(F\). Dans la proposition 3, on note \(\vec z =(1,1,3)\) ; on connait une base de \(F\), \((\vec x,\vec y)\) et une base de \(H\), \((\vec z)\). Il suffit de regarder si l’union de ces deux bases est une base de \(\mathbb{R}^3\). Pour cela on regarde une combinaison linéaire nulle des 3 vecteurs : \(a\cdot\vec x+b\cdot\vec y+c\cdot\vec z=\vec 0\), soit \((a+c,b+c,2a+3c)=(0,0,0)\). En combinant la troisième moins deux fois la première composante on obtient \(c=0\), d’où \(a=0\) par la première composante et \(b=0\) par la deuxième. Ce système de 3 vecteurs est libre donc c’est une base de \(\mathbb {R}^3\). Les deux espaces sont supplémentaires. Dans la proposition 5, on note \(\vec w =(2,0,3)\) ; on connait une base de \(F\), \((\vec x,\vec y)\) et une base de \(H\), \((\vec w)\). On regarde si l’union de ces deux bases est une base de \(\mathbb{R}^3\). Pour cela, on regarde une combinaison linéaire nulle des 3 vecteurs : \(a\cdot\vec x+b\cdot\vec y+c\cdot\vec w=\vec 0\), soit \((a+2c,b,2a+3c)=(0,0,0)\). En combinant la troisième moins deux fois la première composante on obtient \(-c=0\), d’où \(a=0\) par la première composante et \(b=0\) par la deuxième. Ce système de 3 vecteurs est libre donc c’est une base de \(\mathbb {R}^3\). Les deux espaces sont supplémentaires.

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(1,2)\) et \(\vec y=(0,1)\). On définit \(F=Vect(\vec x,\vec y)\). Parmi les sous-espaces suivants, quels sont des sous-espaces supplémentaires à \(F\) ?
- \(H=\{\vec 0\}\).
- \(H=Vect((1,2))\).
- \(H=Vect((1,1))\).
- \(H=\mathbb{R}^2\).
- \(H=Vect((2,3))\).
A: \(H=\{\vec 0\}\).
Feedback: On regarde d’abord la dimension de \(F\). Par définition, \((\vec x,\vec y)\) est un système générateur de \(F\). Si \((\vec x,\vec y)\) n’était pas libre alors ces deux vecteurs seraient proportionnels, ce qui n’est pas le cas. Un système de deux vecteurs libres dans \(\mathbb{R}^2\) est une base de \(\mathbb{R}^2\), donc \(F=\mathbb{R}^2\). Son supplémentaire est de dimension 0, donc c’est \(\{\vec 0\}\).

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(1,2)\) et \(\vec y=(2,4)\). On définit \(F=Vect(\vec x,\vec y)\). Parmi les sous-espaces suivants, quels sont des sous-espaces supplémentaires à \(F\) ?
- \(H=\{\vec 0\}\).
- \(H=Vect((1,2))\).
- \(H=Vect((1,1))\).
- \(H=\mathbb{R}^2\).
- \(H=Vect((2,3))\).
A: \(H=Vect((1,1))\).; \(H=Vect((2,3))\).
Feedback: On regarde d’abord la dimension de \(F\). Par définition, \((\vec x,\vec y)\) est un système générateur de \(F\). Les deux vecteurs \(\vec x\) et \(\vec y\) sont proportionnels, on peut ôter \(\vec y\) du système. \((\vec x)\) est libre donc c’est une base de \(F\). \(F\) est de dimension 1, donc ses supplémentaires aussi ce qui exclut les propositions 1 et 4. Dans la proposition 2, \(H\) contient un vecteur de \(F\) non nul donc ne peut être supplémentaire avec \(F\). Dans la proposition 3, pour \(\vec z=(1,1)\), \((\vec z)\) est libre et générateur de \(H\), donc c’est une base de \(H\). Ajouté à la base de \(F\), il donne le système \((\vec x,\vec z)\) qui est libre car formé de deux vecteurs non proportionnels. \((\vec x,\vec z)\) est un système libre de 2 vecteurs donc c’est une base de \(\mathbb{R}^2\). Les deux espaces sont supplémentaires. Dans la proposition 5, pour \(\vec w=(2,3)\), le raisonnement est exactement le même. Les deux espaces sont supplémentaires.

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(1,2,0)\) et \(\vec y=(2,4,0)\). On définit \(F=Vect(\vec x,\vec y)\). Parmi les sous-espaces suivants, quels sont des sous-espaces supplémentaires à \(F\) ?
- \(H=\{\vec 0\}\).
- \(H=Vect((1,2,-2))\).
- \(H=Vect((1,1,2),(1,2,0))\).
- \(H=\mathbb{R}^3\).
- \(H=Vect((2,3,1))\).
- \(H=Vect((0,2,3),(0,0,1))\).
A: \(H=Vect((0,2,3),(0,0,1))\).
Feedback: On regarde d’abord la dimension de \(F\). Par définition, \((\vec x,\vec y)\) est un système générateur de \(F\). Les deux vecteurs \(\vec x\) et \(\vec y\) sont proportionnels, on peut ôter \(\vec y\) du système. \((\vec x)\) est libre donc c’est une base de \(F\). \(F\) est de dimension 1, donc ses supplémentaires sont de dimension 2 ce qui exclut les propositions 1 2, 4 et 5. Dans la proposition 3, \(H\) contient un vecteur de \(F\) non nul donc ne peut être supplémentaire avec \(F\). Dans la proposition 6, pour \(\vec z=(0,2,3)\) et \(\vec w=(0,0,1)\) vecteurs non proportionnels, (z,w)$ est libre et générateur de \(H\), donc c’est une base de \(H\). Ajouté à la base de \(F\), il donne le système \((\vec x,\vec z, \vec w)\). On regarde une combinaison linéaire nulle des 3 vecteurs : \(a\cdot\vec x+b\cdot\vec z+c\cdot\vec w=\vec 0\), soit \((a+2b,2a+2b,3b+c)=(0,0,0)\). En combinant la deuxième composante moins la première composante on obtient \(a=0\), d’où \(b=0\) par la première composante et \(c=0\) par la troisième. Ce système de 3 vecteurs est libre donc c’est une base de \(\mathbb {R}^3\). Les deux espaces sont supplémentaires.

Q: On considère le vecteur \(\vec x=(1,2,0)\). On définit \(F=Vect(\vec x)\). Parmi les sous-espaces suivants, quels sont des sous-espaces supplémentaires à \(F\) ?
- \(H=\{\vec 0\}\).
- \(H=\mathbb{R}^3\).
- \(H=Vect((1,2,-2))\).
- \(H=Vect((0,2,3),(0,0,2))\).
- \(H=Vect((2,3,1))\).
- \(H=Vect((1,2,2),(1,2,0))\).
A: \(H=Vect((0,2,3),(0,0,2))\).
Feedback: On regarde d’abord la dimension de \(F\). Par définition, \((\vec x)\) est un système générateur de \(F\). \((\vec x)\) est libre donc c’est une base de \(F\). \(F\) est de dimension 1, donc ses supplémentaires sont de dimension 2 ce qui exclut les propositions 1, 2, 3 et 5. Dans la proposition 6, \(H\) contient \(\vec x\), vecteur de \(F\) non nul donc ne peut être supplémentaire avec \(F\). Dans la proposition 4, pour \(\vec z=(0,2,3)\) et \(\vec w=(0,0,1)\) vecteurs non proportionnels, (z,w)$ est libre et générateur de \(H\), donc c’est une base de \(H\). Ajouté à la base de \(F\), il donne le système \((\vec x,\vec z, \vec w)\). On regarde une combinaison linéaire nulle des 3 vecteurs : \(a\cdot\vec x+b\cdot\vec z+c\cdot\vec w=\vec 0\), soit \((a+2b,2a+2b,3b+2c)=(0,0,0)\). En combinant la deuxième composante moins la première composante on obtient \(a=0\), d’où \(b=0\) par la première composante et \(c=0\) par la troisième. Ce système de 3 vecteurs est libre donc c’est une base de \(\mathbb {R}^3\). Les deux espaces sont supplémentaires.