Title: Ressources - Définition et notation des matrices
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Algèbre linéaire

Rappels de cours

Cette page vous propose des ressources très courtes et des exercices d'application pour atteindre les objectifs traités

Ressources pédagogiques

Vous pouvez étudier les ressources documentaires suivantes :

Dimension et coefficients :

https://youtu.be/VeoekjZj6OM

Définition des matrices diagonales et identité :

http://uel.unisciel.fr/mathematiques/calculmat1/calculmat1_ch01/co/apprendre_ch1_01_09.html

Définition des matrices triangulaires :

http://uel.unisciel.fr/mathematiques/calculmat1/calculmat1_ch01/co/apprendre_ch1_01_08.html

Définition des matrices symétriques :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_sym%C3%A9trique

Exercice 1 - Première question

Soit la matrice $$A=(a_{i,j})$$ définie par $$A=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&2\\0&2&2\\0&0&3\end{array}\right)$$
- Quelle est la liste des couples d'indices $$(i,j)$$ tels que $$a_{i,j}=0$$ ?

Solution première question

\(A=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&2\\0&2&2\\0&0&3\end{array}\right)\)

Les couples d'indices sont tels que \(a_{i,j}=0\) : \((1,2)\), \((2,1)\), \((3,1)\) et \((3,2)\).

Deuxième question

\(A=(a_{i,j})=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&2\\0&2&2\\0&0&3\end{array}\right)\)

- Quelle caractéristique a cette matrice?

Solution deuxième question

\(A=(a_{i,j})=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&2\\0&2&2\\0&0&3\end{array}\right)\)

- Cette matrice est triangulaire supérieure.

Troisième question

\(A=(a_{i,j})=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&2\\0&2&2\\0&0&3\end{array}\right)\)

On définit la  matrice \(B=(b_{i,j})\) tel que \(b_{i,j}=a_{j,i}\).

- Que vaut \(b_{1,1}\)?
- Que vaut \(b_{3,1}\)?

Solution troisième question

\(b_{1,1}=1\) et \(b_{3,1}=2\)

Quatrième question

\(A=(a_{i,j})=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&2\\0&2&2\\0&0&3\end{array}\right)\)

On définit la  matrice \(B=(b_{i,j})\) tel que \(b_{i,j}=a_{j,i}\).

- Ecrire la matrice \(B\).

Solution quatrième question

\(B=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\0&2&0\\2&2&3\end{array}\right)\)

Cinquième question

\(B=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\0&2&0\\0&2&3\end{array}\right)\)

- Quelle caractéristique a la matrice \(B\)?

Solution cinquième question

\(B=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\0&2&0\\0&2&3\end{array}\right)\)

- \(B\) est une matrice triangulaire inférieure.

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Exercice 2 - Première question

Exercice 2 - Solution 1

$$A=\left(\begin{array}{ccc} 2&3&4\\3&4&5\\4&5&6\end{array}\right)$$

Exercice 2 - Question 2

Quelle caractéristique a la matrice $$A$$ ?

Exercice 2 - Solution 2

La matrice $$A$$ est symétrique.