Title: Fonctions puissances
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: Soit \(a\) un réel. A quelle expression est égale \(a^5a^3\) ?
- \(a^{5^3}\).
- \(a^15\).
- \(a^8\).
A: \(a^8\).
Feedback: \(a^{8}\) ; Les puissances s’additionnent.

Q: Soit \(k\) un entier et \(x\) un réel tel que : $2^{-2k} ^k ; = ; $ \(^k\). Quelle est la valeur de \(x\) ?
A: 4
Feedback: La valeur de \(x\) est \(4\).

Q: On donne \(A = \frac{1}{\( exp(11) \)^{-6}}\). Déterminez l’entier relatif \(p\) tel que \(A=exp(p)\).
A: 66
Feedback: La valeur de \(p\) est \(66\).

Q: On considère l’expression $A = . Quelle est la forme exponentielle de \(A\) ?
- \(A=\frac{1}{3}exp(13x+11)\).
- \(A=exp(-(13x+11)ln(3)\).
- \(A=exp((13x+11)+ln(3)\).
- \(A=exp((13x+11)-ln(3)\).
- \(A=exp((13x+11)ln(3)\).
A: \(A=exp(-(13x+11)ln(3)\).
Feedback: \(\frac{1}{3^{13x+11}}=3^{-(13x+11)}=exp(ln(3)(−(13x+11))\). La solution est : \(exp(-(13x+11)ln(3)\).

Q: Sans utiliser la formule du discriminant, calculez les solutions $ x_1 $ et $ x_2 $ de $ x^2-3x+2 ; = ; 0$ avec $ x_1 x_2 $.

1. Entrer la valeur de \(x_1\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de \(x_2\) dans la case suivante : [...]
A: 1; 2
Feedback: On a $ { \[\begin{array}{l} x_1 + x_2 \; = \; 3 \\ x_1 \times x_2 \; = \; 2 \end{array}\] . $. Donc $ x_1 ; = ; 1 $ et $ x_2 ; = ; 2$. 1. \(x_1=1\) 2. \(x_2=2\)

Q: Sans utiliser la formule du discriminant, calculez les solutions $ x_1 $ et $ x_2 $ de $ x^2+x-2 ; = ; 0$ avec $ x_1 x_2 $.

1. Entrer la valeur de \(x_1\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de \(x_2\) dans la case suivante : [...]
A: -2; 1
Feedback: On a $ { \[\begin{array}{l} x_1 + x_2 \; = \; -1 \\ x_1 \times x_2 \; = \; -2 \end{array}\] . $. Donc $ x_1 ; = ; -2 $ et $ x_2 ; = ; 1$. 1. \(x_1=-2\) 2. \(x_2=1\)

Q: Sans utiliser la formule du discriminant, calculez les solutions $ x_1 $ et $ x_2 $ de $ x^2+3x+2 ; = ; 0$ avec $ x_1 x_2 $.

1. Entrer la valeur de \(x_1\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de \(x_2\) dans la case suivante : [...]
A: -2; -1
Feedback: On a $ { \[\begin{array}{l} x_1 + x_2 \; = \; -3 \\ x_1 \times x_2 \; = \; 2 \end{array}\] . $. Donc $ x_1 ; = ; -2 $ et $ x_2 ; = ; -1$. 1. \(x_1=-2\) 2. \(x_2=-1\)

Q: Sans utiliser de calculatrice, dites si \(3^{12}\) est plus grand que \(5^9\).
- Vrai.
- Faux.
A: Faux.
Feedback: \(\frac{3^{12}}{5^9} \; = \; \frac{e^{12ln(3)}}{e^{9ln(5)}} \; = \; exp(12ln(3)-9ln(5)) \; = \; exp( 3(4ln(3) - 3ln(5))) \; = \; exp( 3(ln(81) - ln(125)))\). La fonction \(ln\) est croissante donc \(3(ln(81) - ln(125)) <0\), on en conclut que \(exp(3(ln(81) - ln(125)))<1\). On a donc \(3^{12} \; < \; 5^9\)

Q: Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=(\frac{1}{x})^{x}\). Cochez les affirmations vraies.
- On a \(f(x)=exp(x \; ln(-x))\).
- Son domaine de définition est \(D=]0, \; +\infty[\).
- Elle tend vers \(0\) en \(0\).
- Elle tend vers \(0\) en \(+\infty\).
A: Son domaine de définition est \(D=]0, \; +\infty[\).; Elle tend vers \(0\) en \(+\infty\).
Feedback: On a \(f(x)=exp(-x \; ln(x))\). Elle est définie sur \(D=]0, \; +\infty[\). Elle tend vers \(1\) en \(0\) et vers \(0\) en \(+\infty\).

Q: Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=x^\frac{1}{x}\). Cochez les affirmations vraies.
- On a \(f(x)=exp(-x \; ln(x))\).
- Son domaine de définition est \(D=]0, \; +\infty[\).
- Elle tend vers \(0\) en \(0\).
- Elle tend vers \(0\) en \(+\infty\).
- Elle tend vers \(+\infty\) en \(0\).
- Elle tend vers \(1\) en \(+\infty\).
A: Son domaine de définition est \(D=]0, \; +\infty[\).; Elle tend vers \(+\infty\) en \(0\).; Elle tend vers \(1\) en \(+\infty\).
Feedback: On a \(f(x)=exp(\frac{1}{x} \; ln(x))\). Elle est définie sur \(D=]0, \; +\infty[\). Elle tend vers \(+\infty\) en \(0\) et vers \(1\) en \(+\infty\).

Q: Le rayon d’une sphère est multiplié par deux ; comment évolue son volume ?
A: 8
Feedback: Le volume d’une sphère en fonction du rayon est \(r\) est \(V(r) \; = \; \frac{4}{3} \pi r^3\). Donc son volume est multiplié par 8.

Q: Le côté d’un cube est multiplié par deux ; comment évolue son volume ?
A: 8
Feedback: Le volume d’un cube en fonction de son côté est \(l\) est \(V(l) \; = \; l^3\). Donc son volume est multiplié par 8.

Q: Sans utiliser de calculatrice, dites si \(5^{12}\) est plus grand que \(7^8\).
- Vrai.
- Faux.
A: Vrai.
Feedback: \(\frac{5^{12}}{7^8} \; = \; \frac{e^{12ln(5)}}{e^{8ln(7)}} \; = \; exp(12ln(5)-8ln(7)) \; = \; exp( 4(3ln(5) - 2ln(7))) \; = \; exp( 4(ln(125) - ln(49)))\). La fonction \(ln\) est croissante donc \(4(ln(125) - ln(49))>0\), on en conclut que \(exp(4(ln(125) - ln(49)))>1\). On a donc \(5^{12}\; > \;7^8\).

Q: Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\frac{2x+3}{x-5}\). Le graphe associé à \(f\) est-il une hyperbole ?
- Vrai.
- Faux.
A: Vrai.
Feedback: \(f\) est de la forme \(\frac{ax+b}{x+d}\). Son graphe est donc une hyperbole équilatère.

Q: Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\frac{2x+3}{x-5}\). Ses asymptotes sont-elles parallèles aux axes ?
- Vrai.
- Faux.
A: Vrai.
Feedback: \(f\) est de la forme \(\frac{ax+b}{x+d}\). Son graphe est donc une hyperbole équilatère dont les asymptotes sont parallèles aux axes.

Q: Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\frac{2x+3}{x-5}\). Déterminez les coordonnées du point d’intersection de ses asymptotes.

1. Entrer l’abscisse dans la case suivante : [...]
2. Entrer l’ordonnée dans la case suivante : [...]
A: 5; 2
Feedback: \(f\) est de la forme \(\frac{ax+b}{x+d}\), avec \(a=2\) et \(d=-5\). Son graphe est une hyperbole dont les asymptotes se coupent en \((-d ; a)\) c’est-à-dire \((5;2)\). 1. \(x=5\) 2. \(y=2\)