Title: Rappels Maximum et minimum
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Continuité, Dérivation, Intégration

Références et rappels de cours

Maximum et minimum global d'une fonction sur un intervalle réel

Soit \(f\) une fonction réelle sur un intervalle \(I\) et \(x_0\) un élément de \(I\) ; on a :
- \(f\) atteint un maximum global en \(x_0\) si et seulement si pour tout \(x\in I, \ f(x)\leq f(x_0)\).
- \(f\) atteint un maximum global strict en \(x_0\) si et seulement si pour tout \(x\in I, \ f(x)< f(x_0)\)).
- \(f\) atteint un minimum global en \(x_0\) si et seulement si pour tout \(x\in I, \ f(x)\geq f(x_0)\).
- \(f\) atteint un minimum global strict en \(x_0\) si et seulement si pour tout \(x\in I, \ f(x)>f( x_0)\).

Maximum et minimum local d'une fonction sur un intervalle réel

Soit \(f\) une fonction réelle sur un intervalle \(I\) et \(x_0\) un élément de \(I\) ; on a :
- \(f\) atteint un maximum local en \(x_0\) si et seulement si il existe un sous intervalle \(J\subset I\) tel que pour tout \(x\in J, \ f(x)\leq f( x_0)\).
- \(f\) atteint un maximum local strict en \(x_0\) si et seulement si il existe un sous intervalle \(J\subset I\) tel que pour tout \(x\in J, \ f(x)< f(x_0)\).
- \(f\) atteint un minimum local en \(x_0\) si et seulement si il existe un sous intervalle \(J\subset I\) tel que pour tout \(x\in J, \ f(x)\geq f(x_0)\).
- \(f\) atteint un minimum local strict en \(x_0\) si et seulement si il existe un sous intervalle \(J\subset I\) tel que pour tout \(x\in J, \ f(x)>f( x_0)\).

Remarque :
- il n'existe qu'un maximum ( ou minimum) global au plus mais plusieurs maximums (ou minimums) locaux sont possibles.
- lorsqu'on ne veut pas préciser si on parle de maximum ou de minimum on emploie le mot extrémum.
- un extremum sur un intervalle correspond à une valeur prise effectivement par la fonction en un élément de l'intervalle ; il ne s'agit pas d'une limite de la fonction sur un bord ouvert de l'intervalle.

Propriétés des fonctions dérivables

- Si \(f'(x_0)=0\) et s'il existe un sous-intervalle \(J\) tels que la dérivée est strictement négative pour \(x\) élément de \(J\) tel que \(x<x_0\) et strictement positive pour \(x\) élément de \(J\) tel que \(x>x_0\), alors \(f\) atteint un minimum local en \(x_0\).
- Si \(f'(x_0)=0\) et s'il existe un sous-intervalle \(J\) tels que la dérivée est strictement positive pour \(x\) élément de \(J\) tel que \(x<x_0\) et strictement négative pour \(x\) élément de \(J\) tel que \(x>x_0\), alors \(f\) atteint un maximum  local en \(x_0\).
- Si ces propriétés sont vraies sur tout l'intervalle \(I\), l'extrémum est global.

Attention :
- Tous les points $x_0$ intérieurs à l'intervalle où la fonction atteint un extremum sont tels que \(f'(x_0)=0\), mais tous les points $x_0$ tels que \(f'(x_0)=0\) ne sont pas des points d'atteinte d'un extrémum.
- Les bornes de l'intervalle, quand elles sont incluses, peuvent être des points d'atteintes d'extremums locaux ou globaux ; il faut les regarder à part.

Par exemple, si la fonction est croissante strictement sur\(I=[a,b]\), son minimum global est atteint en \(a\) et son maximum global en \(b\).
Si la fonction \(f\) atteint un maximum sur un point \x_0\) intérieur à \(I\), sa tangente est forcément horizontale donc sa dérivée nulle.

Propriétés des fonctions deux fois dérivables

Si \(f'(x_0)=0\) et si la fonction \(f\) est dérivable deux fois en \(x_0\), alors :
- Si \(f"(x_0)<0 \), alors  \(f\) atteint un maximum local en \(x_0\).
- Si \(f"(x_0)>0 \), alors  \(f\) atteint un minimum local en \(x_0\).
- Si \(f"(x_0)=0 \), trois situations sont possibles :
  - \(f\) atteint un maximum local en \(x_0\),
  - \(f\) atteint un minimum local en \(x_0\) ,
  - il n'y a ni minimum ni maximum local de \(f\) en \(x_0\) .

Pour rechercher les extrémums locaux, on calcule la dérivée et on cherche les valeurs pour lesquelles la dérivée s'annule ; en chacun de ces points, on calcule la dérivée seconde. En fonction du signe de cette dérivée, on classe les points en maximum ou minimum local. Pour trouver le maximum ou le minimum global, on compare les valeurs de la fonction en ces points particuliers avec sa valeur sur les deux bornes de l'intervalle.
Le cas compliqué où la dérivée seconde est nulle est traité dans l'exercice 2.

Ex 1 - Question 1

On considère une  fonction \(f\) dérivable sur \(I\)  et on considère un point \(x_0\) intérieur à \(I\).

Rappeler le développement de Taylor de \(f\) à l'ordre 1 en \(x_0\).

Ex 1 - Réponse à la question 1

Le développement de Taylor de \(f(x)\) à l'ordre 1 s'écrit :

\[f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+(x-x_0)r(x)\]

où \(r(x\) est une fonction qui tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(x_0\).

Ex 1 - Question 2

On suppose que \(f'(x_0)\) est strictement positif. On considère un sous-intervalle \(J\) qui contient \(x_0\).

Montrer que \(J\) contient un \(x_1>x_0\) tel que \(f(x_1)>f(x_0)\).
En déduire que \(f\) n'atteint pas un maximum en \(x_0\).

Montrer que \(J\) contient un \(x_2<x_0\) tel que \(f(x_2)<f(x_0)\).
En déduire que \(f\) n'atteint pas un minimum en \(x_0\).

Ex 1 - Réponse à la question 2

On utilise le développement de Taylor.
Puisque \(r(x)\) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(x_0\), on peut trouver \(a\) tel que pour tout \(x\in [x_0,a]\) , \(-f'(x_0)/2\leq r(x)\leq f'(x_0)/2\).
On choisit un \(x_1\) appartenant à \(J\) et à  \( [x_0,a]\). Alors
\[f'(x_0)+r(x_1)\geq f'(x_0)-f'(x_0)/2>f'(x_0)/2\]
Le  développement de Taylor donne
\[f(x_1)=f(x_0)+(x_1-x_0)(f'(x_0)+r(x_1))>f(x_0)+(x_1-x_0)f'(x_0)/2>f(x_0)\]
Donc \(f(x_1)\) est supérieur strictement à  \(f(x_0)\).

Dans tout intervalle \(J\) contenant \(x_0\), il existe un point \(x_1\) dont l'image par \(f(x_1)\) est strictement supérieure à \(f(x_0)\), donc \(f\) n'atteint pas de maximum local en \(x_0\).

On raisonne de la même façon pour les valeurs plus petites que \(x_0\).
Puisque \(r(x)\) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(x_0\), on peut trouver \(b\) tel que pour tout \(x\in [b,x_0]\) , \(-f'(x_0)/2\leq r(x)\leq f'(x_0)/2\).
On choisit un \(x_2\) appartenant à \(J\) et à  \( [b,x_0]\). Alors
\[f'(x_0)+r(x_2)\geq f'(x_0)-f'(x_0)/2>f'(x_0)/2\]
Comme \(x_2-x_0<0\), on a
\[(x_2-x_0)(f'(x_0)+r(x_2))<(x_2-x_0)f'(x_0)/2<0\]
Le  développement de Taylor donne
\[f(x_2)=f(x_0)+(x_2-x_0)(f'(x_0)+r(x_2))<f(x_0)+(x_2-x_0)f'(x_0)/2<f(x_0)\]
Donc \(f(x_2)\) est inférieur strictement à  \(f(x_0)\).

Dans tout intervalle \(J\) contenant \(x_0\), il existe un point \(x_2\) dont l'image  \(f(x_2)\) est strictement inférieure à \(f(x_0)\), donc \(f\) n'atteint pas de minimum local en \(x_0\).

Ce raisonnement long consiste  à constater que le graphe de \(f\) se comporte comme sa tangente qui a une pente positive.

Ex 1 - Question 3

On suppose que \(f'(x_0)\) est strictement négatif. On considère un sous-intervalle \(J\) qui contient \(x_0\).

Montrer que \(J\) contient un \(x_1>x_0\) tel que \(f(x_1)<f(x_0)\).
En déduire que \(f\) n'atteint pas un minimum en \(x_0\).

Montrer que \(J\) contient un \(x_2<x_0\) tel que \(f(x_2)>f(x_0)\).
En déduire que \(f\) n'atteint pas un maximum en \(x_0\).

Ex 1 - Réponse à la question 3

On peut reproduire le raisonnement précédent en faisant bien attention dans les inégalité car \(f'(x_0)\) est négatif.

On peut également utiliser l'astuce suivante : on considère la fonction \(g=-f\). On a \(g'(x_0)>0\). Donc \(g\) n'admet pas de minimum local en \(x_0\). Alors \(f\) n'admet pas de maximum local en \(x_0\). De même, \(g\) n'admet pas de maximum local en \(x_0\), donc \(f\) n'admet pas de minimum local en \(x_0\).

Dans ce cas, le graphe de \(f\) a une tangente négative en \(x_0\).

Ex 2 - Question 1

On considère une  fonction \(f\) dérivable deux fois sur \(I\)  et on considère un point \(x_0\) intérieur à \(I\). On suppose maintenant que \(f'(x_0)=0\).

Rappeler le développement de Taylor de \(f\) à l'ordre 2 en \(x_0\).

Ex 2 - Réponse à la question 1

Le développement de Taylor de \(f(x)\) à l'ordre 2 s'écrit :
\[f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+\dfrac{(x-x_0)^2}2f"(x_0)+(x-x_0)^2r(x)\]
où \(r(x)\) est une fonction qui tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(x_0\).

Comme \(f'(x_0)=0\), on a :
\[f(x)=f(x_0)+\dfrac{(x-x_0)^2}2f"(x_0)+(x-x_0)^2r(x)\]

Ex2 - Question 2

On suppose que \(f"(x_0)\) est strictement positif. Montrer que \(f\) atteint un minimum local en \(x_0\).

Ex2- réponse à la question 2

On utilise le développement de Taylor.

Puisque \(r(x)\) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(x_0\), on peut trouver un intervalle \(J\) tel que pour tout \(x\in J\) , \(-\dfrac{f"(x_0)}4\leq r(x)\leq \dfrac{f"(x_0)}4\).
On choisit un \(x\) appartenant à \(J\). Alors
\[\dfrac{f"(x_0)}2+r(x)\geq \dfrac{f"(x_0)}2-\dfrac{f"(x_0)}4>\dfrac{f"(x_0)}4\]
Le  développement de Taylor donne
\[f(x)=f(x_0)+(x-x_0)^2(\dfrac{f"(x_0)}2+r(x))>(x-x_0)^2\dfrac{f"(x_0)}4>f(x_0)\]
Donc \(f(x)\) est supérieur strictement à  \(f(x_0)\).

Ce raisonnement  consiste juste à constater que le graphe de \(f\) se comporte comme une parabole d'axe orienté vers le haut.

Ex 2- question 3

On suppose que \(f"(x_0)\) est strictement négatif. Montrer que \(f\) atteint un maximum local en \(x_0\).

Ex 2- Réponse à la question 3

On peut refaire le raisonnement précédent.
On peut également considérer \(g=-f\). On a \(g"(x_0)>0\), donc \(g\) atteint un minimum local en \(x_0\). Alors \(f\) atteint un maximum local en \(x_0\).

Ex 2 - Question 4

On suppose maintenant que \(f"(x_0)=0\) et que \(f\) est trois fois dérivable. On suppose que \(f^{(3)}(x_0)>0\). Montrer que \(f\) n'admet pas d'extrémum local en \(x_0\).

Ex 2 - réponse à la question 4

On utilise le développement de Taylor à l'ordre 3.
\[f(x)=f(x_0)+\dfrac{(x_1-x_0)^3}6f^{(3)}(x_0)+(x_1-x_0)^3r(x_1)\].
Soit \(J\) un intervalle contenant \(x_0\).
Puisque \(r(x)\) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(x_0\), on peut trouver \(a\) tel que pour tout \(x\in [x_0,a]\) , \(-\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{12}\leq r(x)\leq \dfrac{f^{(3)}(x_0)}{12}\).
On choisit un \(x_1\) appartenant à \(J\) et à  \( [x_0,a]\). Alors
\[\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{6}+r(x_1)\geq \dfrac{f^{(3)}(x_0)}{6}-\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{12}>\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{12}\]
Le  développement de Taylor donne
\[f(x_1)=f(x_0)+(x_1-x_0)^3\left(\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{6}+r(x_1)\right)>f(x_0)+(x_1-x_0)^3\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{12}>f(x_0)\]
Donc \f(x_1)\) est supérieur strictement à  \f(x_0)\).

Dans tout intervalle \(J\) contenant \(x_0\), il existe un point \(x_1\) dont l'image par \(f(x_1)\) est strictement supérieure à \(f(x_0)\), donc \(f\) n'atteint pas de maximum local en \(x_0\).

On raisonne de la même façon pour les valeurs plus petites que \(x_0\).
Puisque \(r(x)\) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(x_0\), on peut trouver \(b\) tel que pour tout \(x\in [b,x_0]\) , \(-\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{12}\leq r(x)\leq \dfrac{f^{(3)}(x_0)}{12}\).
On choisit un \(x_2\) appartenant à \(J\) et à  \( [b,x_0]\). Alors
\[\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{6}+r(x_2)\geq \dfrac{f^{(3)}(x_0)}{6}-\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{12}>\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{12}\]
Comme \(x_2-x_0<0), on a
\[(x_2-x_0)^3\right(\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{6}+r(x_2)\left)<(x_2-x_0)^3\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{12}<0\]
Le  développement de Taylor donne
\[f(x_2)<f(x_0)+(x_2-x_0)^3\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{12}<f(x_0)\]
Donc \f(x_2)\) est inférieur strictement à  \f(x_0)\).

Dans tout intervalle \(J\) contenant \(x_0\), il existe un point \(x_2\) dont l'image par \(f(x_2)\) est strictement inférieure à \(f(x_0)\), donc \(f\) n'atteint pas de minimum local en \(x_0\).

Dans ce cas, le graphe a une tangente de pente nulle ; la fonction est localement croissante et le graphe traverse cette tangente.

Remarque :
Le cas \(\dfrac{f^{(3)}(x_0)}<0\) se traite en utilisant la fonction \(g=-f\). Il n'y a donc pas d'extremum atteint en \(x_0\) dans ce cas non plus.
Si \(\dfrac{f^{(3)}(x_0)}=0\) et que la dérivée d'ordre 4 existe et est non nulle, alors il y a un minimum local quand cette dérivée est positive et un maximum local quand elle est négative.
On peut continuer ainsi à dériver pour trouver la première dérivée non nulle. Si son ordre est pair, une dérivé positive implique un minimum local, une dérivée négative un maximum local. Si sonordre est impair, il n'y a pas d'extrémum et la fonction est localement monotone.