Title: Exercice 1 - Changement de base
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Algèbre linéaire

Changement de base d'un vecteur

Question 1

On considère les trois bases suivantes de $$\mathbb{R}^2$$ :

- la base canonique, notée $$B$$
- la base $$B_1$$ constituée des vecteurs $$e_1$$ et $$e_2$$, dont les coordonnées, exprimées dans la base canonique, sont respectivement $$(1,1)$$ et $$(2,-1)$$
- la base $$B_2$$ constituée des vecteurs $$\epsilon_1$$ et $$\epsilon_2$$, dont les coordonnées, exprimées dans la base canonique, sont respectivement $$(1,-1)$$ et $$(1,-3)$$

Donner la matrice de passage de la base $$B$$ à la base $$B_1$$. Donner la matrice de passage de la base $$B$$ à la base $$B_2$$.

Réponse 1

La matrice de passage de la base $$B$$ à la base $$B_1$$, que l'on note ici $$P_{B,B_1}$$, s'obtient en plaçant sur la première colonne les coordonnées de $$e_1$$ exprimées dans la base $$B$$ et sur la deuxième colonne les coordonnées de $$e_2$$ exprimées dans la base $$B$$. On trouve donc :

$$P_{B,B_1}=\left(\begin{array}{cc}1&2\\1&-1\end{array}\right)$$

On trouve, par un raisonnement similaire :

$$P_{B,B_2}=\left(\begin{array}{cc}1&1\\-1&-3\end{array}\right)$$

Question 2

Donner la matrice de passage de la base $$B_1$$ à la base $$B$$.

Réponse 2

On note $$P_{B_1,B}$$ la matrice de passage de la base $$B_1$$ à la base $$B$$. Comme $$P_{B_1,B}=P_{B,B_1}^{-1}$$, on trouve, en effectuant le calcul de l'inverse :

$$P_{B_1,B}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}1&2\\1&-1\end{array}\right)$$

Question 3

Donner la matrice de passage de la base $$B_1$$ à la base $$B_2$$.

Réponse 3

On note $$P_{B_1,B_2}$$ la matrice de passage de la base $$B_1$$ à la base $$B_2$$. De $$P_{B_1,B_2}=P_{B_1,B}P_{B,B_2}$$, en utilisant de nouveau $$P_{B_1,B}=P_{B,B_1}^{-1}$$, on a :

$$P_{B_1,B_2}=P_{B,B_1}^{-1}P_{B,B_2}$$

Des questions précédentes, on a donc

$$P_{B_1,B_2}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}1&2\\1&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1&1\\-1&-3\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}-1&-5\\2&4\end{array}\right)$$

Question 4

On considère le vecteur $$x$$ de coordonnées $$(1,1)$$ dans la base $$B_1$$. Donner ses coordonnées dans la base canonique.

Réponse 4

On organise les coordonnées de $$x$$ dans la base $$B_1$$ sous la forme de la matrice colonne que l'on note $$X_1=\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)$$. Les coordonnées de $$x$$ dans la base $$B$$ sont :

$$X=P_{B,B_1}X_1=\left(\begin{array}{cc}1&2\\1&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\0\end{array}\right)$$

Question 5

On considère le vecteur $$y$$ de coordonnées $$(3,2)$$ dans la base canonique. Donner ses coordonnées dans la base $$B_1$$.

Réponse 5

On organise les coordonnées de $$y$$ dans la base $$B$$ sous la forme de la matrice colonne que l'on note $$Y=\left(\begin{array}{c}3\\2\end{array}\right)$$. Les coordonnées de $$y$$ dans la base $$B_1$$ sont :

$$Y_1=P_{B_1,B}Y=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}1&2\\1&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\2\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}4\\1\end{array}\right)$$

Question 6

On considère le vecteur $$z$$ de coordonnées $$(-1,1)$$ dans la base $$B_2$$. Donner ses coordonnées dans la base $$B_1$$.

Réponse 6

On organise les coordonnées de $$z$$ dans la base $$B_2$$ sous la forme de la matrice colonne que l'on note $$Z_2=\left(\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right)$$. Les coordonnées de $$z$$ dans la base $$B_1$$ sont :

$$Z_1=P_{B_1,B_2}Z_2=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}-1&-5\\2&4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}-4\\2\end{array}\right)$$