Title: Produit scalaire
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(1,0,2)\) et \(\vec y=(2,1,3)\). Calculez le produit scalaire \(\vec x\cdot\vec y\).
A: 8
Feedback: On calcule : \(\vec x\cdot\vec y=1\times 2+0\times 1+2\times 3=8\).

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(1,-3,-3)\) et \(\vec y=(2,1,-2)\). Calculez le produit scalaire \(\vec x\cdot\vec y\).
A: 5
Feedback: On calcule : \(\vec x\cdot\vec y=1\times 2-3\times 1-3\times(-2) =5\).

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(2,0)\) et \(\vec y=(0,-4)\). Calculez le produit scalaire \(\vec x\cdot\vec y\).
A: 0
Feedback: On calcule : \(\vec x\cdot\vec y=2\times+0\times(-4) =0\).

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(1,-3,-3)\), \(\vec y=(2,1,-2)\) et \(\vec z=(1,-6,2)\). Calculez le produit scalaire \(\vec x\cdot(2\vec y+\vec z)\).
A: 23
Feedback: On calcule : \(\vec x\cdot(2\vec y+\vec z)=1\times (2\times 2+1)-3\times (2\times 1-6)-3\times(2\times(-2)+2) =23\).

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(2,1,-3)\), \(\vec y=(2,1,0)\) et \(\vec z=(4,-6,2)\). Calculez le produit scalaire \((2\vec x-\vec y)\cdot\vec z\).
A: -10
Feedback: On calcule : \((2\vec x-\vec y)\cdot\vec z=(2\times 2-2)\times 4+(2\times 1-1)\times (-6)+(2\times(-3)-0)\times 2=-10\).

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(2,1,-3)\), \(\vec y=(2,1,0)\), \(\vec z=(4,-6,2)\). Calculez le produit scalaire \((\vec x- \vec y)\cdot(\vec z+2 \vec y)\).
A: -6
Feedback: On calcule : \((\vec x-\vec y)=(2-2,1-1,-3-0)=(0,0,-3).\) \((\vec z+2 \vec y)=(4+2\times 2,-6+2\times 1,2+2\times 0)=(8,-4,2).\) \((\vec x-\vec y)\cdot(\vec z+2 \vec y)=0\times 8+0\times (-4)-3\times 2=-6\).

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(2,1)\), \(\vec y=(1,0)\), \(\vec z=(4,2)\). Calculez le produit scalaire \((\vec x+2\vec y)\cdot(\vec z-\vec y)\).
A: 17
Feedback: On calcule : \((\vec x+2\vec y)\cdot(\vec z-\vec y)=( 2+2\times 1)\times (4-1)+( 1+2\times 0)\times (2-0)=17\).

Q: On considère le vecteur \(\vec x=(1,-2,2)\).

Que vaut la norme de \(\vec x\) ?
A: 3
Feedback: On calcule \(\|\vec x\|=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt 9=3\).

Q: On considère le vecteur \(\vec x=(2,-2,2,2)\).

Que vaut la norme de \(\vec x\) ?
A: 4
Feedback: On calcule \(\|\vec x\|=\sqrt{2^2+(-2)^2+2^2+2^2}=\sqrt {16} =4\).

Q: On considère le vecteur \(\vec x=(2,-4,4)\).

Que vaut la norme de \(\vec x\) ?
A: 6
Feedback: On calcule \(\|\vec x\|=\sqrt{2^2+(-4)^2+4^2}=\sqrt {36} =6\).

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(1,1,0)\) et \(\vec y=(-1,1,2)\). Les vecteurs sont-ils orthogonaux ? (V pour vrai, F pour faux)
A: V
Feedback: On calcule \(\vec x\cdot\vec y=1\times (-1)+1 \times 1+ 0\times 2=0\). Le produit scalaire est nul donc les vecteurs sont orthogonaux.

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(1,0,3)\) et \(\vec y=(-1,1,2)\). Les vecteurs sont-ils orthogonaux ? (V pour vrai, F pour faux)
A: F
Feedback: On calcule \(\vec x\cdot\vec y=1\times (-1)+0 \times 1+ 3\times 2=5\). Le produit scalaire n’est pas nul donc les vecteurs ne sont pas orthogonaux.

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(1,1,0,1)\), \(\vec y=(2,-1,1,0)\) et \(\vec z=(2,1,-2,0)\). On considère \(E=Vect(\vec x)\) et \(F=Vect(\vec y,\vec z)\). \(E\) et \(F\) sont-ils orthogonaux ?
A: F
Feedback: On calcule \(\vec x\cdot\vec y=1\times 2 +1 \times (-1)+ 0\times 1+1\times 0=1\). Donc \(\vec x\) n’est pas orthogonal à \(\vec y\). Donc \(E\) et \(F\) ne sont pas orthogonaux.

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(1,1,1)\) et \(\vec y=(2,-1,1)\). On définit \(E= Vect(\vec x,\vec y)\). Cochez les affirmations correctes :
- \(\vec z=(1,-1,0)\) est orthogonal à \(\vec x\).
- Pour \(\vec z=(1,-1,0)\), \(Vect(\vec z)\) est orthogonal à \(E\).
- \(\vec w=(-3,1,2)\) est orthogonal à \(\vec y\).
- Pour \(\vec w=(2,1,-3)\), \(Vect(\vec w)\) est orthogonal à \(E\).
- Pour \(\vec w=(2,1,-3)\), \(Vect(\vec w)\) est l’orthogonal de \(E\).
- Pour \(\vec w=(2,1,-3)\), \(Vect(\vec y)\) est orthogonal à \(Vect(\vec w)\).
- Pour \(\vec w=(2,1,-3)\), \(Vect(\vec y)\) est l’orthogonal de \(Vect(\vec w)\).
A: \(\vec z=(1,-1,0)\) est orthogonal à \(\vec x\).; \(\vec w=(-3,1,2)\) est orthogonal à \(\vec y\).; Pour \(\vec w=(2,1,-3)\), \(Vect(\vec w)\) est orthogonal à \(E\).; Pour \(\vec w=(2,1,-3)\), \(Vect(\vec w)\) est l’orthogonal de \(E\).; Pour \(\vec w=(2,1,-3)\), \(Vect(\vec y)\) est orthogonal à \(Vect(\vec w)\).
Feedback: On calcule \(\vec x\cdot\vec z=1\times 1 +1 \times (-1)+ 1\times 0=0\). Donc \(\vec z\) est orthogonal à \(\vec x\). On calcule \(\vec y\cdot\vec z=2\times 1+(-1) \times (-1)+ 1\times 0=1\). Donc \(\vec z\) n’est pas orthogonal à \(\vec y\). Comme \(\vec y\) appartient à \(E\), \(Vect(\vec z)\) n’est pas orthogonal à \(E\). \(E\) est de dimension 2 car \(\vec x\) et \(\vec y\) sont non proportionnels donc libres. On calcule \(\vec x\cdot\vec w=1\times 2 +1 \times 1+ 1\times (-3)=0\). Donc \(\vec w\) est orthogonal à \(\vec x\). On calcule \(\vec y\cdot\vec w=2\times 2+(-1)\times 1+ 1\times (-3)=0\). Donc \(\vec w\) est orthogonal à \(\vec y\). \(\vec w\) est orthogonal aux deux vecteurs de la base de \(E\) donc \(Vect(\vec w)\) est orthogonal à \(E\). \(Vect(\vec w)\) et \(E\) sont d’intersection réduite au vecteur nul et la somme de leur dimension est 3, donc ces espaces sont supplémentaires. Donc \(Vect(\vec w)\) est l’orthogonal de \(E\). Comme \(\vec y\) est orthogonal à \(\vec w\), \(Vect(\vec y)\) est orthogonal à \(Vect(\vec w)\). Ces deux espaces sont de dimension 1 donc ils ne sont pas supplémentaires dans \(\mathbb{R}^3\) donc \(Vect(\vec y)\) n’est pas l’orthogonal de \(Vect(\vec w)\).

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(1,0,1)\) et \(\vec y=(1,-1,1)\). On définit \(E= Vect(\vec x,\vec y)\). Cochez les affirmations correctes :
- Pour \(\vec z=(1,-1,0)\), \(Vect(\vec z)\) est l’orthogonal de \(E\).
- L’espace orthogonal de \(E\) est unique.
- L’espace orthogonal de \(E\) est de dimension 1.
- Pour \(\vec w=(1,0,-1)\), \(Vect(\vec w)\) est l’orthogonal de \(E\).
- Pour \(\vec u=(-2,0,2)\), \(Vect(\vec u)\) est l’orthogonal de \(E\).
- Pour \(\vec v=(2,1,-3)\), \(Vect(\vec v)\) est l’orthogonal de \(E\).
A: L’espace orthogonal de \(E\) est unique.; L’espace orthogonal de \(E\) est de dimension 1.; Pour \(\vec w=(1,0,-1)\), \(Vect(\vec w)\) est l’orthogonal de \(E\).; Pour \(\vec u=(-2,0,2)\), \(Vect(\vec u)\) est l’orthogonal de \(E\).
Feedback: L’orthogonal de \(E\) est l’unique espace vectoriel supplémentaire et orthogonal à \(E\). \(E\) est de dimension 2 car les deux vecteurs sont libres. L’orthogonal de \(E\) est donc de dimension 1. On calcule \(\vec z\cdot\vec x=1\times 1 +(-1) \times 0+ 0\times 1=1\). Donc \(\vec z\) n’est pas orthogonal à \(\vec x\). \(Vect(\vec z)\) n’est pas l’orthogonal de \(E\). On calcule \(\vec v\cdot\vec x=2\times 1 +1 \times 0-3\times 1=-1\). Donc \(\vec v\) n’est pas orthogonal à \(\vec x\). \(Vect(\vec v)\) n’est pas l’orthogonal de \(E\). On calcule \(\vec w\cdot\vec x=1\times 1 +0 \times 0-1\times 1=0\). Donc \(\vec w\) est orthogonal à \(\vec x\). On calcule \(\vec w\cdot\vec y=1\times 1 +0 \times (-1) -1\times 1=0\). Donc \(\vec w\) est orthogonal à \(\vec y\). \(Vect(\vec w)\) est l’orthogonal de \(E\). \(\vec u\) et \(\vec w\) sont colinéaires donc engendrent le même espace. Donc \(Vect(\vec u)\) est l’orthogonal de \(E\).

Q: On considère les vecteurs \(\vec u=(2,0,1)\) et \(\vec v=(1,-1,1)\). On définit \(E= Vect(\vec x,\vec y)\). Cochez les affirmations correctes :
- Pour \(\vec z=(1,-1,-2)\), \(Vect(\vec z)\) est l’orthogonal de \(E\).
- L’espace orthogonal de \(E\) est unique.
- L’espace orthogonal de \(E\) est de dimension 1.
- L’équation cartésienne de \(E\) est \(x-y+2z=0\).
- Pour \(\vec w=(-2,0,2)\), \(Vect(\vec w)\) est l’orthogonal de \(E\).
- Pour \(\vec k=(2,1,-3)\), \(Vect(\vec k)\) est l’orthogonal de \(E\).
A: Pour \(\vec z=(1,-1,-2)\), \(Vect(\vec z)\) est l’orthogonal de \(E\).; L’espace orthogonal de \(E\) est unique.; L’espace orthogonal de \(E\) est de dimension 1.; L’équation cartésienne de \(E\) est \(x-y+2z=0\).
Feedback: L’orthogonal de \(E\) est l’unique espace vectoriel supplémentaire et orthogonal à \(E\). \(E\) est de dimension 2 car les deux vecteurs sont libres. L’orthogonal de \(E\) est donc de dimension 1. On calcule \(\vec z\cdot\vec u=1\times 2 +(-1) \times 0 - 2\times 1=0\). Donc \(\vec z\) est orthogonal à \(\vec u\). On calcule \(\vec z\cdot\vec v=1\times 1 +(-1) \times (-1) -2\times 1=0\). Donc \(\vec z\) est orthogonal à \(\vec v\). \(Vect(\vec z)\) est de dimension 1 donc c’est l’orthogonal de \(E\). L’équation cartésienne de \(E\) est donc \(x-y+2z=0\). On remarque que ni \(\vec w\) ni \(\vec k\) ne sont colinéaires à \(\vec z\), donc aucun de ces deux vecteurs n’engendre l’orthogonal de \(E\).