Title: Limite de fonctions usuelles
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{x-1}\) : [...]
A: +inf / +inf
Feedback: La fonction \(x\mapsto\sqrt{x-1}=(x-1)^{\frac12}\) est une puissance strictement positive d’un polynôme tendant vers \(+\infty\) pour \(x\rightarrow +\infty\). Donc \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{x-1}=+\infty\). 1. \(+\infty\)

Q: Calculer les limites (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow 0^-} x\exp\left(\frac1{2x}\right)\) : [...]
2. \(\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} x\exp\left(\frac1{2x}\right)\) : [...]
A: 0; +inf / +inf
Feedback: La fonction \(x\mapsto\frac1{2x}\) l’emporte sur \(x\) au voisinage de 0. Suivant qu’on tende vers \(0^-\) ou \(0^+\), on obtient les limites \(\lim\limits_{x\rightarrow 0^-} \exp\left(\frac1{2x}\right)=0\) et \(\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} \exp\left(\frac1{2x}\right)=+\infty\). Donc \(\lim\limits_{x\rightarrow 0^-} x\exp\left(\frac1{2x}\right)=0\) et \(\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} x\exp\left(\frac1{2x}\right)=+\infty\). 1. \(0\) 2. \(+\infty\)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{-5}{\exp(x)}\) : [...]
A: -inf / -inf
Feedback: La fonction \(x\mapsto\exp(x)\) tend vers \(0^+\) pour \(x\rightarrow -\infty\). Le numérateur étant négatif, on a \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{2}{\exp(x)}=-\infty\). 1. \(-\infty\)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{x\log(x)}{x^2+1}\) : [...]
A: 0
Feedback: Pour \(x\rightarrow+\infty\), le terme \(x^2\) est dominant au dénominateur. On a \(\frac{x\log(x)}{x^2}=\frac{\log(x)}{x}\) qui tend vers \(0\) pour \(x\rightarrow+\infty\). Donc \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{x\log(x)}{x^2+1}=0\). 1. \(0\)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \log(\frac{x^3+2x-5}{x^3-1})\) : [...]
A: 0
Feedback: La fraction rationnelle \(\frac{x^3+2x-5}{x^3-1}\) pour \(x\rightarrow+\infty\) a la même limite que le rapport des termes dominants du numérateurs et du dénominateurs : \(x^3/x^3=1\). Par conséquent, \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \log(\frac{x^3+2x-5}{x^3-1})=\log(1)=0\). 1. \(0\)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} (x-1)\log(x-1)\) : [...]
A: 0
Feedback: On a les limites \(\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} (x-1) = 0\) et \(\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}\log(x-1)=-\infty\). Or le polynôme en \(x\) l’emporte sur le logarithme ainsi \(\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} (x-1)\log(x-1)=0\). 1. \(0\)

Q: Quelle est la limite \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^+} \sqrt{x-2}\log\left(\frac3{x^2-4}\right)\) ?
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^+} \sqrt{x-2}\log\left(\frac3{x^2-4}\right)=-\infty\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^+} \sqrt{x-2}\log\left(\frac3{x^2-4}\right)=0\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^+} \sqrt{x-2}\log\left(\frac3{x^2-4}\right)=+\infty\)
- indéfinie
A: \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^+} \sqrt{x-2}\log\left(\frac3{x^2-4}\right)=0\)
Feedback: On a \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^+} \sqrt{x-2}=0\) et \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^+}\frac3{x^2-4}=+\infty\) donc \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^+} \log\left(\frac3{x^2-4}\right)=+\infty\). La puissance positive d’un polynôme en \(x\) l’emporte devant le logarithme donc \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^+} \sqrt{x-2}\log\left(\frac3{x^2-4}\right)=0\).

Q: Quelle est la limite \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\log(x+1)}{x}\) ?
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\log(x+1)}{x}=-\infty\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\log(x+1)}{x}=0\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\log(x+1)}{x}=1\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\log(x+1)}{x}=+\infty\)
A: \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\log(x+1)}{x}=1\)
Feedback: C’est une forme à connaître : \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\log(x+1)}{x}=1\).

Q: Quelle est la limite \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\log(x+1)}{x^2}\) ?
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\log(x+1)}{x^2}=-\infty\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\log(x+1)}{x^2}=0\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\log(x+1)}{x^2}=1\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\log(x+1)}{x^2}=+\infty\)
A: \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\log(x+1)}{x^2}=0\)
Feedback: C’est une forme à connaître : \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\log(x+1)}{x}=1\). Donc \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\log(x+1)}{x^2}=0\).

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} -2/\log(x-1)\) : [...]
2. \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} -2/\log(x-1)\) : [...]
A: 0; 0
Feedback: Comme \(\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} \log(x-1)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \log(x-1)=+\infty\) on a \(\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} -2/\log(x-1)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} -2/\log(x-1)=0\). 1. \(0\) 2. \(0\)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} 1/\sqrt{x-1}\) : [...]
A: +inf / +inf
Feedback: La fonction \(x\mapsto x-1\) tend vers \(0^+\) pour \(x\rightarrow 1^+\). Ainsi \(\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} 1/\sqrt{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} ({x-1})^{-\frac12}=+\infty\). 1. \(+\infty\)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} (x-5)^{-7}\exp\left(\frac x2\right)\) : [...]
A: +inf / +inf
Feedback: Dans la fonction \(x\mapsto (x-5)^{-7}\exp\left(\frac x2\right)\) pour \(x\rightarrow +\infty\), la fonction exponentielle l’emporte sur la fonction puissance. Ainsi \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} (x-5)^{-7}\exp\left(\frac x2\right)=+\infty\). 1. \(+\infty\)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \left(2x+1\right){\exp(-x)}\) : [...]
A: 0
Feedback: Dans la fonction \(x\mapsto \left(2x+1\right){\exp(-x)}\) pour \(x\rightarrow +\infty\), la fonction exponentielle \(x\mapsto \exp(-x)\) l’emporte sur la fonction polynôme \(x\mapsto \left(2x+1\right)\). Ainsi \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \left(2x+1\right){\exp(-x)}=0\). 1. \(0\)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{2}{\exp(x)}\) : [...]
A: +inf / +inf
Feedback: La fonction \(x\mapsto\exp(x)\) tend vers \(0^+\) pour \(x\rightarrow -\infty\). Le numérateur étant positif, on a \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{2}{\exp(x)}=+\infty\). 1. \(+\infty\)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x\exp(1-x)\) : [...]
A: 0
Feedback: La fonction \(x\mapsto\exp(1-x)\) tend vers \(0\) pour \(x\rightarrow +\infty\) et l’emporte sur \(x\). Ainsi \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x\exp(1-x)=0\). 1. \(0\)

Q: Calculer les limites (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow 0^-} \exp\left(\frac1x\right)\) : [...]
2. \(\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} \exp\left(\frac1x\right)\) : [...]
A: 0; +inf / +inf
Feedback: La fonction \(x\mapsto\frac1x\) tend vers \(-\infty\) pour \(x\rightarrow 0^-\) et tend vers \(+\infty\) pour \(x\rightarrow0^+\). Donc \(\lim\limits_{x\rightarrow 0^-} \exp\left(\frac1x\right)=0\) et \(\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} \exp\left(\frac1x\right)=+\infty\). 1. \(0\) 2. \(+\infty\)

Q: Calculer la limite (si la valeur est infinie on notera +inf pour \(+\infty\), -inf \(-\infty\) et indef si la limite est indéfinie)

1. \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x\exp\left(\frac1{2x}\right)\) : [...]
A: 0
Feedback: La fonction \(x\mapsto\exp\left(\frac1{2x}\right)\) tend vers \(0\) pour \(x\rightarrow +\infty\) et l’emporte sur \(x\). Ainsi \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x\exp\left(\frac1{2x}\right)=0\). 1. \(0\)