Title: Rappels - Fonctions trigonométriques
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Fonctions réelles

Références de rappels de cours

Rappel des définitions des fonctions sinus et cosinus

Pour les définitions du cercle trigonométrique, de la mesure d'un angle en radian et la définition du cosinus et du sinus d'un angle, vous pouvez vous reporter au grain des rappels de géométrie.
Pour un rappel des propriétés des fonctions sinus et cosinus vous pouvez consulter cette  page.

Propriétés des fonctions trigonométriques.

On considère les fonctions \(\sin\), \(\cos\) et \(\tan=\displaystyle \frac {\sin}{\cos}\).

Ensemble de définition
\(\sin\), \(\cos\)  sont définies de \(\mathbb R\) sur \([-1;1]\).
\(\tan\) est définie de \(\mathbb R\setminus K\) où \(K\) est l'ensemble des réels \(x\) tels que \(\displaystyle x-\frac \pi 2\) est  un multiple de \(\pi\).

Parité
\(\sin\) et \(\tan\) sont impaires.
\(\cos\) est paire.

Périodicité
On dit qu'une fonction \(f\) est périodique de période \(p\) si \(p\) est le plus petit nombre tel que pour tout \(x\in \mathbb R\), \(f(x+p)=f(x)\).

\(\sin\) et \(\cos\) sont périodiques de période \(2\pi\) :
\(\tan\) est périodique de période \(\pi\).

Signes
\(\sin\) est positive sur \([0;\pi]\) et négative sur \([\pi;2\pi]\).
\(\cos\) est positive sur \([0;\pi/2]\) et sur \([3\pi/2;2\pi]\) et négative sur \([\pi/2;3\pi/2]\).
\(\tan\) est positive sur \([0;\pi/2]\)  et négative sur \([-\pi/2;0]\).

Variations

\(\sin\) est strictement croissante sur \([0;\pi/2]\) et sur \([3\pi/2;2\pi]\) et strictement décroissante sur \([\pi/2;3\pi/2]\).
\(\cos\) est  strictement croissante sur \([\pi ;2\pi]\) et sur \([3\pi/2;2\pi]\) et strictement décroissante sur \([0;\pi]\).
\(\tan\) est strictement croissante sur \([-\pi/2;\pi/2]\).

Relation de Pythagore
Pour tout \(x de \(\mathbb R\), \(\sin^2x+\cos^2x=1\).

Relations d'angles opposés complémentaires et supplémentaires
Si \(x\) et \(x'\) sont tels que \(x+x'=0\) (ou \(=2k\pi, k\in \mathbb Z\) ), alors \(\cos x=-\cos x'\) et \(\sin x= \sin x'\).

Si \(x\) et \(x'\) sont tels que \(x+x'=\pi\), alors \(\cos x=-\cos x'\) et \(\sin x= \sin x'\).

Si \(x\) et \(x'\) sont tels que \(x+x'=\pi/2\), alors \(\cos x=\sin x'\) et \(\sin x= \cos x'\).

Relations d'angles doublés
Pour tout \(x\) de \(\mathbb R\),
\(\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x\).
\(\sin 2x=2\cos x\sin x\).

Ex 1 - Question 1

Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\sin 2x\).

Déterminer si cette fonction est paire ou impaire.

Ex 1 - Réponse à la question 1

Soit \(x\) un réel fixé, on calcule \(f(-x)\).

\(f(-x)=\sin (-2x)=-\sin (2x)= -f(x) \).

Donc \(f\) est une fonction impaire.

Ex 1 - Question 2

La fonction \(f\) est-elle périodique ? Si oui, calculer sa période.

Ex 1 - Réponse à la question 2

La fonction \(f\) est périodique de période \(\pi\).

Explication :
Si \(p\) est tel que \(\sin  (2(x+p))=\sin (2x)\) pour tout \(x\), alors en prenant \(x=0\), on a \(\sin  (2p)=\sin 0=0\); donc \(p\) est un multiple de \(\pi/2\).
Montrons que \(\pi/2\) n'est pas une période de \(f\) : on choisit \(x=\pi/4\).
On a \(f(x)=\sin (\pi/2)=1\) et \(f(x+\pi/2)=\sin (3\pi/2)=-1\), donc \(\pi/2\) n'est pas une période de \(f\).

En revanche \(\pi\) est une période, car pour tout \(x \in \mathbb R\),\( f(x+\pi)=\sin  (2(x+\pi))=\sin  (2x+2\pi)=\sin (2x)\). C'est le plus petit nombre ayant cette propriété, donc c'est la période de la fonction \(f\).

Ex 1 - Question 3

Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\sin(\pi/2-3x)\). Cette fonction est-elle paire? Est-elle impaire?

Ex 1 - Réponse à la question 3

La fonction \(f\) est paire.

Explication :
Pour tout réel \(x\), \(f(x)=\cos (3x)\) par la relation des angles supplémentaires.
On sait alors que \(f(-x)=\cos (-3x)=\cos (3x)=f(x)\), donc la fonction est paire.

Ex 2 - Question 1

On considère la fonction \(\tan\).

En utilisant la parité des fonctions \(\sin\) et \(\cos\), montrez que \(\tan\) est impaire.

Ex 2 - Réponse à la question 1

On calcule \(\tan(-x)\) :

\( \displaystyle \tan\(-x)=\frac {\sin(-x)}{\cos(-x)}=\frac {-\sin(x)}{\cos(x)}=-\tan(x) \)

Donc la fonction est impaire.

Ex 2 - Question 2

Montrer que \(\displaystyle 1+\tan^2x = \frac 1 {\cos^2 x}\).

Ex 2 - Réponse à la question 2

On a :
\( \displaystyle \frac 1 {\cos^2x} = \frac {\cos^2x+\sin^2x} {\cos^2x}= 1+\tan^2x\).