Title: ensemble de definition
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \[x\mapsto \dfrac 1 {1+x}\]

Parmi ces propositions, quel est \(D_{f}\) ensemble de définition de la fonction \(f\) ?
- \(D_{f}= \mathbb{R}\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}^{*}\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}_{+}^{*}\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}_{+}\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus \{-1\}\)
A: \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus \{-1\}\)
Feedback: La fonction \(f\) est définie par une fraction qui est un nombre tant que son dénominateur n’est pas nul. Le dénominateur est nul si et seulement si \(x= -1\). Donc \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus \{-1\}\).

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par \[x\mapsto \sqrt {1+x}\]

Parmi ces propositions, quel est \(D_{f}\) ensemble de définition de la fonction \(f\) ?
- \(D_{f}= \mathbb{R}\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}^{+}\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}_{+}^{*}\)
- \(D_{f}= [-1,+\infty[\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus \{-1\}\)
- \(D_{f}= ]-1,+\infty[\)
A: \(D_{f}= [-1,+\infty[\)
Feedback: La fonction \(f\) est définie par une racine carrée qui est un nombre réel tant que son argument est positif et nul. L’argument est positif ou nul si et seulement si \(x\geq -1\). Donc \(D_{f}= [-1,+\infty[\).

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par \[x\mapsto \dfrac 1 {1-\sqrt {1+x}}\]

Parmi ces propositions, quel est \(D_{f}\) ensemble de définition de la fonction \(f\) ?
- \(D_{f}= [-1,+\infty[\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}^{+}\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}_{+}^{*}\)
- \(D_{f}= [-1,+\infty[\setminus \{0\}\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus \{-1\}\)
- \(D_{f}= ]-1,0[\cup ]0,+\infty[\)
A: \(D_{f}= [-1,+\infty[\setminus \{0\}\)
Feedback: La fonction \(f\) est définie à l’aide une racine carrée qui est un nombre réel tant que son argument est positif et nul. L’argument est positif ou nul si et seulement si \(x\geq -1\). La fraction qui définit \(f\) est un nombre si son dénominateur n’est pas nul. \(1-\sqrt {1+x}=0\) si et seulement si \(\sqrt {1+x}=1\) soit \(1+x=1\). Donc \(0\) n’appartient pas à l’ensemble de définition.

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par \[x\mapsto \dfrac 1 {1+x^3}\]

Parmi ces propositions, quel est \(D_{f}\) ensemble de définition de la fonction \(f\) ?
- \(D_{f}= \mathbb{R}\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}^{*}\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}_{+}^{*}\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}_{+}\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus \{-1\}\)
A: \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus \{-1\}\)
Feedback: La fonction \(f\) est définie par une fraction qui est un nombre tant que son dénominateur n’est pas nul. \[1+x^3=(1+x)(1-x+x^2)\] Le discriminant de \((1-x+x^2)\) est égal à \(-3\). Donc ce polynôme n’a pas de racine réelle. Le dénominateur est donc nul si et seulement si \(x= -1\). Donc \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus \{-1\}\).

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par \[x\mapsto \dfrac 1 {x^2-4}\]

Parmi ces propositions, quel est \(D_{f}\) ensemble de définition de la fonction \(f\) ?
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus \{2\}\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus \{-2,2\}\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus \{4\}\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}_{+}^{*}\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}_{+}\)
A: \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus \{-2,2\}\)
Feedback: La fonction \(f\) est définie par une fraction qui est un nombre tant que son dénominateur n’est pas nul. \[x^2-4=(x-2)(x+2).\] Le dénominateur est donc nul si et seulement si \(x= -2\) ou \(x=2\). Donc \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus \{-2,2\}\).

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par \[x\mapsto \dfrac 1 {\sqrt{x^2-4}}\]

Parmi ces propositions, quel est \(D_{f}\), ensemble de définition de la fonction \(f\) ?
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus \{2\}\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus \{4\}\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus [-2,2]\)
- \(D_{f}= [-2,2]\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}_{+}\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus \{-2,2\}\)
A: \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus [-2,2]\)
Feedback: La fonction \(f\) contient une racine carrée qui est bien définie si son argument \(x^2-4\) est positif ou nul. \[x^2-4=(x-2)(x+2)\] et ce polynôme est positif ou nul si et seulement si \(x\) n’est pas dans l’intervalle \([-2,2]\). De plus le dénominateur de la fraction ne doit pas être nul donc \(x\) ne doit pas être égal aux racines du polynôme. Donc \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus [-2,2]\).

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par \[x\mapsto \dfrac {\sqrt{x^2-3x+2}}{x-1}\]

Parmi ces propositions, quel est \(D_{f}\), ensemble de définition de la fonction \(f\) ?
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus \{2\}\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus \{1\}\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus [1,2]\)
- \(D_{f}= ]1,2]\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus [1,2[\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus \{-2,2\}\)
A: \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus [1,2[\)
Feedback: La fonction \(f\) contient une racine carrée qui est bien définie si son argument \(x^2-3x+2\) est positif ou nul. \[x^2-3x+2=(x-2)(x-1)\] et ce polynôme est positif ou nul si et seulement si \(x\) n’est pas dans l’intervalle \(]1,2[\). De plus le dénominateur de la fraction ne doit pas être nul, donc \(x\) ne doit pas être égal à \(1\). Donc \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus [1,2[\).

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par \[x\mapsto \sqrt{\dfrac {x^2-3x+2}{x^2-4}}\]

Parmi ces propositions, quel est \(D_{f}\), ensemble de définition de la fonction \(f\) ?
- \(D_{f}= ]-\infty,-2[\cup [1,2[\cup ]2,+\infty[\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus \{1\}\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus [1,2]\)
- \(D_{f}= ]1,2]\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus [1,2[\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus \{-2,2\}\)
A: \(D_{f}= ]-\infty,-2[\cup [1,2[\cup ]2,+\infty[\)
Feedback: La fraction apparaissant dans \(f\) est un nombre réel si son dénominateur \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) est non nul, donc \(-2\) et \(2\) ne font pas partie de l’ensemble de définition. La fonction \(f\) contient une racine carrée qui est bien définie si son argument est positif ou nul, c’est-à-dire si les deux polynômes sont de même signe. \(x^2-3x+2=(x-2)(x-1)\) est négatif si \(x \in [1,2]\), positif sinon et \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) est négatif si \(x\in [-2,2]\), positif sinon. Les deux polynômes sont de signe contraire si et seulement si \(x\in ]-2,1[\). La fonction est définie sauf pour \(x\in ]-2,1[\), \(x=-2\) et \(x=2\). Donc \(D_{f}= ]-\infty,-2[\cup [1,2[\cup ]2,+\infty[\).

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par \[x\mapsto \sqrt{\dfrac {x-1}{x^2-4}}\]

Parmi ces propositions, quel est \(D_{f}\), ensemble de définition de la fonction \(f\) ?
- \(D_{f}= ]-\infty,-2]\cup [1,2[\cup ]2,+\infty[\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus \{1\}\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus ]1,2]\)
- \(D_{f}= ]1,2]\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus [1,2[\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus \{-2,2\}\)
A: \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus ]1,2]\)
Feedback: La fraction apparaissant dans \(f\) est un nombre réel si son dénominateur \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) est non nul, donc \(-2\) et \(2\) ne font pas partie de l’ensemble de définition. La fonction \(f\) contient une racine carrée qui est bien définie si son argument est positif ou nul, c’est-à-dire si les deux polynômes sont de même signe. \(x-1\) est négatif si \(x\leq 1\), positif sinon et \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) est négatif si \(x\in [-2,2]\), positif sinon. Les deux polynômes sont de signe contraire si et seulement si \(x\in ]1,2[\). La fonction est définie sauf pour \(x\in ]1,2]\). Donc \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus ]1,2]\).

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par \[x\mapsto {\dfrac {\sqrt {x+2}-1}{x^2-4}}\]

Parmi ces propositions, quel est \(D_{f}\), ensemble de définition de la fonction \(f\) ?
- \(D_{f}= ]-2,2[\cup ]2,+\infty[\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus \{-2\}\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus ]1,2]\)
- \(D_{f}= ]1,2]\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus [1,2[\)
- \(D_{f}= \mathbb{R}\setminus \{2\}\)
A: \(D_{f}= ]-2,2[\cup ]2,+\infty[\)
Feedback: La fraction apparaissant dans \(f\) est un nombre réel si son dénominateur \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) est non nul, donc \(-2\) et \(2\) ne font pas partie de l’ensemble de définition. La fonction \(f\) contient une racine carrée qui est bien définie si son argument est positif ou nul, c’est-à-dire si \(x\geq -2\). La fonction est définie sauf pour \(x\in ]1,2]\). Donc \(D_{f}= ]-2,2[\cup ]2,+\infty[\).

Q: Dans la représentation suivante, le graphe de la fonction \(f\) est dessiné en noir et le graphe de la fonction \(g\) est dessiné en rouge :

[Image: plot of chunk unnamed-chunk-1] Sur quel ensemble \(A\) la fonction \(f\) (noire) est-elle supérieure ou égale à la fonction \(g\) (rouge) ?
- \(A=]-2,2[\cup ]2,3[\)
- \(A= \mathbb{R}\setminus \{-2\}\)
- \(A= [-2,1]\cup [2,3]\)
- \(A= ]1,2]\)
- \(A= \mathbb{R}\setminus [-2,1[\)
- \(A= \mathbb{R}\setminus \{2\}\)
A: \(A= [-2,1]\cup [2,3]\)
Feedback: La fonction \(f\) est supérieure à la fonction \(g\) lorsque la courbe noire se trouve au dessus de la courbe rouge. Aux points de croisement, les fonctions sont égales. Donc l’ensemble \(A= [-2,1]\cup [2,3]\).

Q: Dans la représentation suivante, le graphe de la fonction \(f\) est dessiné en noir et le graphe de la fonction \(g\) est dessiné en rouge :

[Image: plot of chunk unnamed-chunk-1] Sur quel ensemble \(A\) la fonction \(f\) (noire) est-elle supérieure ou égale à la fonction \(g\) (rouge) ?
- \(A=]-2,0]\cup ]2,3[\)
- \(A=[-2,0]\cup [2,3]\)
- \(A=]-3,2]\cup ]2,3[\)
- \(A=]-2,0]\cup ]2,3[\)
- \(A= [-3,2]\)
- \(A= [-2,3]\)
- \(A= ]0,2]\)
A: \(A=[-2,0]\cup [2,3]\)
Feedback: La fonction \(f\) est supérieure à la fonction \(g\) lorsque la courbe noire se trouve au dessus de la courbe rouge. Aux points de croisement, les fonctions sont égales. Donc l’ensemble \(A=[-2,0]\cup [2,3]\).

Q: Dans la représentation suivante, le graphe de la fonction \(f\) est dessiné en noir et le graphe de la fonction \(g\) est dessiné en rouge :

[Image: plot of chunk unnamed-chunk-1] Sur quel ensemble \(A\) la fonction \(f\) (noire) est-elle strictement supérieure à la fonction \(g\) (rouge) ?
- \(A=]-1,1]\cup ]2,3[\)
- \(A=[-2,0]\cup [2,3]\)
- \(A=]-2,2]\cup ]2,3[\)
- \(A=[-1,1[\cup ]2,3]\)
- \(A= [-1,2]\)
- \(A= [-2,3]\)
- \(A= ]0,2]\)
A: \(A=[-1,1[\cup ]2,3]\)
Feedback: La fonction \(f\) est strictement supérieure à la fonction \(g\) lorsque la courbe noire se trouve au dessus de la courbe rouge. Aux points de croisement, les fonctions sont égales et ces points doivent être exclus. Donc l’ensemble \(A=[-1,1[\cup ]2,3]\).

Q: Dans la représentation suivante, le graphe de la fonction \(f\) est dessiné en noir :

[Image: plot of chunk unnamed-chunk-1] Sur quel ensemble \(A\) la fonction \(f\) (noire) est-elle strictement supérieure à \(-5\) ?
- \(A=]-1;1]\cup ]1;1,5[\)
- \(A=[-2;0]\cup ]1;1,5]\)
- \(A=]-1,5;0]\cup ]1;1,5[\)
- \(A=]-1;1[\cup ]1;1,5]\)
- \(A= [-1;1]\)
- \(A= [-1;1.5]\)
- \(A= ]-1;1[\)
A: \(A= ]-1;1[\)
Feedback: La fonction \(f\) est strictement supérieure à \(-5\) lorsque la courbe noire se trouve au dessus de la courbe rouge. Aux points de croisement, les fonctions sont égales et ces points doivent être exclus. Donc l’ensemble \(A=]-1;1[\).

Q: Dans la représentation suivante, le graphe de la fonction \(f\) est dessiné en noir :

[Image: plot of chunk unnamed-chunk-1] Sur quel ensemble \(A\) la fonction \(f\) est-elle positive ?
- \(A=]-1;0]\cup ]0,5;1[\)
- \(A=[-1;0]\cup ]0,5;1]\)
- \(A=]-1;-0,5]\cup ]0,5;1[\)
- \(A=]-1;0,5[\cup ]0,5;1]\)
- \(A= [-0,5;1]\)
- \(A= [-0,5;0]\)
- \(A= ]-0,5;0[\)
A: \(A= [-0,5;0]\)
Feedback: La fonction \(f\) est positive lorsque la courbe noire se trouve au dessus de l’axe des abscisses. Aux points de croisement, \(f\) est nulle et ces points doivent être inclus. Donc l’ensemble \(A=[-0,5;0[\).