Title: Exercice 1 - loi de Bayes - événements aléatoires
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Probabilités et Statistiques

Loi de Bayes pour des événements aléatoires

Enoncé

Une pathologie touche 1 personne sur 10. Un test détecte la pathologie chez un patient lorsque celle-ci est effectivement présente avec une fiabilité de 90 %. Le même test détecte correctement l'absence de pathologie lorsque celle-ci est effectivement absente avec une fiabilité de 90 %. On effectue le test chez une personne prise au hasard dans la population.

Question 1

Quelle est la probabilité de ne pas être malade ?

Réponse 1

On considère deux expériences aléatoires successives, une première indiquant si on a contracté la maladie ($$M$$) ou non (est sain; $$S$$) et une deuxième indiquant si le résultat du test est positif ($$P$$) ou non (est négatif; $$N$$). Concernant la première expérience, la probabilité d'être malade est $$p(M)=0.1$$ et la probabilité de ne pas l'être est $$p(S)=1-p(M)=0.9$$.

Question 2

Quelle est la probabilité que le test soit négatif sachant que l'on est malade ?

Réponse 2

Concernant la deuxième expérience, la probabilité que le test soit positif sachant que l'on est malade est $$p(P|M)=0.9$$. La probabilité que le test soit négatif sachant que l'on est malade est donc $$p(N|M)=1-p(P|M)=0.1$$.

Question 3

Quelle est la probabilité que le test soit positif sachant que l'on n'est pas malade ?

Réponse 3

La probabilité que le test soit négatif sachant que l'on n'est pas malade est $$p(N|S)=0.9$$. La probabilité que le test soit posititif sachant que l'on n'est pas malade est donc $$p(P|S)=1-p(N|S)=0.1$$.

Question 4

Quelle est la probabilité que le résultat du test soit positif ?

Réponse 4

Il faut calculer $$p(P)$$. On intègre sur les valeurs possibles de la deuxième expérience, $$p(P)=p(P,M~\text{ou}~S)=p(P,M)+p(P,S)$$ puis on utilise le théorème de Bayes deux fois, $$p(P,M)=p(P|M)p(M)=0.9\times 0.1=0.09$$ et $$p(P,S)=p(P|S)p(S)=0.1\times 0.9=0.09$$. On trouve donc $$p(P)=0.18=18$$ %.

Question 5

Quelle est la probabilité que le patient ait contracté la pathologie sachant que le résultat du test est positif ?

Réponse 5

Il faut calculer $$p(M|P)$$. On utilise de nouveau le théorème de Bayes, $$p(M|P)p(P)=p(P|M)p(M)$$. En utilisant les résultats de la question précédente, on trouve $$p(M|P)=p(P|M)p(M)/p(P)=0.09/0.18=0.5=50$$ %. On a donc 1 chance sur 2 d'avoir contracté la pathologie en utilisant l'information délivrée par le test.