Title: Operation derivee
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: On considère la fonction \(f\) de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\) par \(x\mapsto{x\sqrt{x}}\).
- La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).
- \(\forall x \in \mathbb{R}_{+}, f'(x) = \sqrt x + \frac{x}{2\sqrt{x}}\).
- \(\forall x \in \mathbb{R}_{+}, f'(x) = \frac {3} {2} \sqrt{x}\).
A: \(\forall x \in \mathbb{R}_{+}, f'(x) = \frac {3} {2} \sqrt{x}\).
Feedback: Soit \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\), on a : \(D_{f} = \mathbb{R}_{+}.\) Par ailleurs : \(f = u.v\) avec \(u(x)=x\) et \(v(x)=\sqrt{x}\). Les fonctions \(u\) et \(v\) étant dérivables sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) comme produit de fonctions dérivables et on a : \[\begin{align} \forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, f'(x) = &1.\sqrt{x} + x . \frac{1}{2\sqrt{x}}\\ = &\ \sqrt{x} + \frac{1}{2}\sqrt{x} \\ = &\ \frac{3}{2} \sqrt{x} \end{align}\] Par ailleurs on a : \[\begin{align} \lim_{x \to 0} { \frac{f(x)-f(0)}{x-0}} = &\ { \lim_{x \to 0} { \frac{ x\sqrt{x}-0}{x-0}} }\\ = &\ { \lim_{x \to 0}{\sqrt{x}} }\\ = &\ 0. \end{align}\] On en déduit que la fonction \(f\) est dérivable en 0 et on a \(f'(0) = 0\). On peut en conclure que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) et en 0, elle est donc dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}\). Comme la valeur en \(0\) de la fonction \(w(x)={ \frac{3}{2} \sqrt{x}}\) est égale à \(0\) on en déduit que : \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}, f'(x) = \frac {3} {2} \sqrt{x}.\]

Q: On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto{\sqrt{x} \cos \left (x \right) }\).
- La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).
- \(\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\cos \left (x \right) - 2x^{ \frac{3}{2}} \sin \left (x \right)\).
- \(\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, f'(x) = 2x \sqrt {x}\cos \left (x \right)\).
A: La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).; \(\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\cos \left (x \right) - 2x^{ \frac{3}{2}} \sin \left (x \right)\).
Feedback: Soit \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\), on a : \(D_{f} = \mathbb{R}_{+}.\) On a : \(f = g.h\) avec \(g(x)={\sqrt{x} }\) et \(h(x)={\cos \left (x \right)}\). \[\begin{align} \forall x \in \mathbb{R} h'(x) = &\ 2x .(- \left ( \sin \left (x^{2} \right) \right ) \\ = &\ -2x \sin \left (x^{2} \right) \end{align}\] Les fonctions \(g\) et \(h\) étant dérivables sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) comme produit de fonctions dérivables et on a : \[\begin{align} \forall x \in \mathbb{R}_{+}^{+}, f'(x) = &\ \frac{1}{2\sqrt{x}}\cos (x ) + \sqrt x ( - 2 \sin (x ) ) \\ = &\ \frac{1}{2\sqrt{x}}\cos (x ) - \sqrt{x} \sin (x ) \end{align}\] Par ailleurs on a : \[\begin{align} \lim_{x \to 0} { \frac{f(x)-f(0)}{x-0}} = &\ {\ \lim_{x \to 0} { \frac{ \sqrt{x} \cos \left (x \right) -0}{x-0} }}\\ = &\ {\ \lim_{x \to 0} { \frac{ \sqrt{x} \cos \left (x \right) }{x} }}\\ = &\ {\ \lim_{x \to 0} { \frac{ \cos \left (x \right) } { \sqrt{x} }}}\\ = &\ + \infty. \end{align}\] On en déduit que la fonction \(f\) n’est pas dérivable en 0.

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto{ x\sqrt { 1 + x^{2} } }\).
- La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).
- \(\forall x \in \mathbb{R},f'(x) = \frac{ 1 + 2x^{2} } { \sqrt { 1 + x^{2} } }.\)
- \(\forall x \in \mathbb{R},f'(x) = 1. \sqrt { 1 + x^{2} } + x. \frac{ 1 } { 2 \sqrt { 1 + x^{2} } }.\)
A: \(\forall x \in \mathbb{R},f'(x) = \frac{ 1 + 2x^{2} } { \sqrt { 1 + x^{2} } }.\)
Feedback: Soit \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\), on a : \(D_{f} = \mathbb{R}.\) On a : \(f = g.h\) avec $g(x)= {x} et \(h(x)= { \sqrt { 1 + x^{2} }}.\) De plus on a : \(h = v \circ \, u\) avec \(v(x)= { \sqrt{x} }\) et \(u(x)= { 1 + x^{2} }\). Les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables respectivement sur \(\mathbb{R}\) et sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\), et on a : \(\forall x \in \mathbb{R},\ u(x) > 0\) ; on en déduit que la fonction \(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme composée de fonctions dérivables et de plus : \[\begin{align} \forall x \in \mathbb{R}\quad h'(x) = &\ u'(x) . ( v' \circ \; u)(x) \\ = &\ 2x . \frac{1}{2 \sqrt{u(x)}} \\ = &\ \frac{x} { \sqrt { 1 + x^{2} } } \end{align}\] Les fonctions \(g\) et \(h\) étant dérivables sur \(\mathbb{R}\) la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme produit de fonctions dérivables et on a : \[\begin{align} \forall x \in \mathbb{R},\ f'(x) = &\ 1.\sqrt { 1 + x^{2} } + x. \frac{x} { \sqrt { 1 + x^{2} } } \\ = &\ \frac{ \left (\sqrt { 1 + x^{2} } \right )^{2} + x^{2}} { \sqrt { 1 + x^{2} } } \\ = &\ \frac{ 1 + 2x^{2} } { \sqrt { 1 + x^{2} } } \end{align}\] On peut aussi remarquer que la fonction \(f\) est dérivable en 0 et on a : \(f'(0) = 1\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R^+}\) vers \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto{x}{ e^{x}\sqrt { x } }\).
- \(f'(x) = e^x\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x} \right)\).
- \(f'(x) = e^x\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x} \right)\).
- \(f'(x) = e^x\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x} \right)\).
A: \(f'(x) = e^x\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x} \right)\).
Feedback: On a : \(f = g.h\) avec \(g(x)= {e^{x}}\) et \(h(x)= { \sqrt {x }}\). Les fonctions \(g\) et \(h\) étant dérivables sur \(\mathbb{R}\) la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme produit de fonctions dérivables et on a : \[\begin{align}\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x) = &\ e^{x}.\sqrt {x } + e^{x}. \frac{1} { 2 \sqrt {x } } \\ = &\ e^x\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x} \right) \end{align}\]

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto{ \frac{4x^{2} - 8x}{ x^{2}-2x -3} }\).

On note \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\).
- \(D_{f} = \mathbb{R}^{*}.\)
- La tangente à la courbe représentative de la fonction \(f\) au point d’abscisse \(5\) a pour équation : \(y = \frac{-2}{3} x + \frac{25}{3}\).
- \(\forall x \in D_{f}, f'(x) = \frac{ 26(x-1) } {\left( x^{2} -2x -3 \right)^{2}}\).
A: La tangente à la courbe représentative de la fonction \(f\) au point d’abscisse \(5\) a pour équation : \(y = \frac{-2}{3} x + \frac{25}{3}\).
Feedback: Soit \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\), on a : \[\begin{align} D_{f} = &\ \left \{ x \in \mathbb{R} \; / x^{2}-2x -3 \neq 0 \right \} \\ = &\ \mathbb{R} \setminus \left \{-1,3 \right\} \end{align}\] La fonction \(f\) est dérivable sur \(D_{f}\) comme fonction fraction rationnelle et on a : \[\begin{align}\forall x \in D_{f},\ f'(x) = &\ \frac{(8x-8).\left ( x^{2} -2x -3\right) + \left ( 4x^{2} - 8x \right) . (2x -2)} {\left ( x^{2} -2x -3\right)^{2}}\\ = &\ \frac{(x-1).\left ( 8 \left(x^{2} -2x -3\right) -2 \left ( 4x^{2} - 8x \right) \right) } {\left ( x^{2} -2x -3\right)^{2}}\\ = &\ \frac{(x-1).\left ( 8x^{2} -16x -24 - 8x^{2} + 16x \right) } {\left ( x^{2} -2x -3\right)^{2}}\\ = &\ \frac{-24(x-1)} {\left ( x^{2} -2x -3\right)^{2}} \end{align}\] La tangente à la courbe représentative de la fonction \(f\) au point d’abscisse \(5\) a pour équation : \[\begin{align}y =&\ f'(5)(x-5) + f(5) \\ = &\ \frac{-4}{6}( x-5) + 5 \quad \mbox{car} \ f'(5) = \frac{-24 \times 4}{12^{2}} \\ = &\ \frac{-2}{3} x + \frac{10}{3} + 5 \\ = &\ \frac{-2}{3} x + \frac{25}{3} \end{align}\]

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto{ \frac{x|x| + 2x^{2}}{|x| + 2}}\).
- La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).
- \(\forall x \in \mathbb{R}_{-}^{*}, f'(x) = \frac{-x^{2} +4x}{(-x + 2 )^{2}}\).
- \(\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, f'(x) = \frac{-x^{2} -4x}{(x + 2 )^{2}}\).
A: \(\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, f'(x) = \frac{-x^{2} -4x}{(x + 2 )^{2}}\).
Feedback: Soit \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\), puisque \(\forall x \in \mathbb{R},\ \; |x| +2 \neq 0\) on a : \[D_{f} = \mathbb{R}.\] Par ailleurs : \[f(x)= \left \{ \begin{array}{ccc} \frac{x^{2} + 2x^{2}}{x + 2} &\ \mbox{si} &\ x>0 \\ 0 &\ \mbox{si} &\ x = 0 \\ \frac{-x^{2} + 2x^{2}}{-x + 2} &\ \mbox{si} &\ x<0 \end{array} \right .\] La fonction \(f\) est donc dérivable sur \(\mathbb{R}_{-}^{*}\) et sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\). De plus on a : \[\begin{align}\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*},\ f'(x) = &\ \frac{ 6x(x+2) -3 x^{2}.1 } {\left ( x +2 \right)^{2}}\\ = &\ \frac{ 3 x^{2} + 12x } {\left ( x +2 \right)^{2}}\\ \forall x \in \mathbb{R}_{-}^{*},\ f'(x) = &\ \frac{ 2x(-x+2) - x^{2}.(-1) } {\left ( -x +2 \right)^{2}}\\ = &\ \frac{ -x^{2} +4x } {\left ( -x +2 \right)^{2}} \end{align}\] En outre on a : \[\begin{align}\lim_{x \to 0} { \frac{f(x)-f(0)}{x-0}} = &\ {\ \lim_{x \to 0} { \frac{f(x) }{x} } }\\ = &\ {\ \lim_{x \to 0} { \frac{1 }{x} . \frac{x|x| + 2x^{2}}{|x| + 2} } }\\ = &\ {\ \lim_{x \to 0} { \frac{1 }{x} . \frac{x(|x| + 2x)}{|x| + 2} } }\\ = &\ {\ \lim_{x \to 0} { \frac {|x| + 2x}{|x| + 2} } } \\ = &\ 0 \end{align}\] On en déduit que la fonction \(f\) est dérivable en 0 et on a \(f'(0) = 0\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto{ \frac{x^{4} - 6x^{2} + 1}{ x^{3}-x } }\).

On note \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\).

Le domaine de définition d \(f\) est-il \(D_{f} = \mathbb{R}^{*}?\) Taper V pour vrai, F pour faux :

La fonction \(f\) est dérivable sur \(D_{f}\) et on a : \(\forall x \in D_{f}, f'(x) = \frac{x^{6} + n x^{4} + p x^{2} + q} {\left( x^{3} - x \right)^{2} }\), où \(n\), \(p\) et \(q\) sont des entiers naturels.

Entrer la valeur de l’entier naturel \(n\) : [...]

Entrer la valeur de l’entier naturel \(p\) : [...]

Entrer la valeur de l’entier naturel \(q\) : [...]

Parité de la fonction \(f'\) :

Entrer P si \(f'\) et une fonction paire et I si elle est impaire :
A: 3; 3; 3
Feedback: Soit \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\), on a : \[\begin{align} D_{f} = &\ \left \{ x \in \mathbb{R} \; / x^{3}-x \neq 0 \right \} \\ = &\ \mathbb{R} \setminus \left \{-1,0,1 \right\} \end{align}\] La fonction \(f\) est dérivable sur \(D_{f}\) comme fonction fraction rationnelle et on a : \[\begin{align} \forall x \in D_{f},\ f'(x) = &\ \frac{ \left( 4x^{3}-12x \right).\left ( x^ {3} -x \right) - \left ( x^ {4} - 6x^{2} +1 \right) . \left(3x^{2} -1 \right)} {\left ( x^{3} -x \right)^{2}}\\ = &\ \frac{ 4x^{6} -4x^{4} -12x^{4} + 12x^{2} -3x^{6} + x^{4} +18x^{4} - 6x^{2} -3x^{2} + 1 } {\left ( x^{3} -x \right)^{2}}\\ = &\ \frac{ x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} +1 } {\left ( x^{3} -x \right)^{2}} \end{align}\] On a \(\forall x \in D_{f}, -x \in D_{f}\) ( car \(D_{f} = \mathbb{R} \setminus \left \{-1,0,1 \right\}\)). De plus \[\begin{align}\forall x \in D_{f},\ f'(-x) =&\ \frac{ (-x)^{6} + 3(-x)^{4} + 3(- x)^{2} +1 } {\left ( (-x)^{3} -(-x) \right)^{2}} \\ = &\ \frac{ x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} +1 } {\left (- x^{3} -(-x) \right)^{2}} \\ = &\ \frac{ x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} +1 } { \left( (-1) \left ( x^{3} -x \right) \right) ^{2}} \\ = &\ \frac{ x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} +1 } {\left ( x^{3} -x \right)^{2}} \\ = &\ f'(x) \end{align}\] On en déduit que \(f'\) est une fonction paire.

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto{ \frac{x^{2} -8}{|x| + 2}}\).
- La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).
- \(\forall x \in \mathbb{R}_{-}^{*}, f'(x) = \frac{-x^{2} +4x-8}{(-x + 2 )^{2}}\).
- \(\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, f'(x) = \frac{x^{2} +4x +8} {(x + 2 )^{2}}\).
A: La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).; \(\forall x \in \mathbb{R}_{-}^{*}, f'(x) = \frac{-x^{2} +4x-8}{(-x + 2 )^{2}}\).; \(\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, f'(x) = \frac{x^{2} +4x +8} {(x + 2 )^{2}}\).
Feedback: Soit \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\), puisque \(\forall x \in \mathbb{R},\ \; |x| +2 \neq 0\) on a : \[D_{f} = \mathbb{R}.\] Par ailleurs : \[f(x)= \left \{ \begin{array}{ccc} \frac{x^{2} -8}{x + 2} &\ \mbox{si} &\ x>0 \\ -4 &\ \mbox{si} &\ x =0 \\ \frac{-x^{2} - 8 }{-x + 2} &\ \mbox{si} &\ x<0 \end{array} \right .\] La fonction \(f\) est donc dérivable sur \(\mathbb{R}_{-}^{*}\) et sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\). De plus on a : \[\begin{align}\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*},\ f'(x) = &\ \frac{ 2x(x+2) - \left( x^{2} - 8 \right) .1 } {\left ( x +2 \right)^{2}}\\ = &\ \frac{ x^{2} + 4x +8 } {\left ( x +2 \right)^{2}}\\ \forall x \in \mathbb{R}_{-}^{*},\ f'(x) = &\ \frac{ 2x(-x+2) - \left( x^{2} - 8 \right).(-1) } {\left ( -x +2 \right)^{2}}\\ = &\ \frac{ -x^{2} +4x -8} {\left ( -x +2 \right)^{2}} \end{align}\] En outre on a : \[\begin{align}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = &\ \frac{1}{x} \left( f(x) - (-4) \right) \\ = &\ \frac{1}{x} \left( \frac{x^{2} -8}{|x| + 2} +4 \right) \\ = &\ \frac{1}{x} \left( \frac{x^{2} -8 + 4|x| + 8 }{|x| + 2} \right) \\ = &\ \frac{1}{x} \left( \frac{x^{2} + 4 |x|}{|x| + 2} \right) \end{align}\] d’où \[\begin{align}\lim_{{x\to 0} \atop {x>0} } { \frac{f(x)-f(0)}{x-0}} = &\ \lim_{{x\to 0} \atop {x>0} } { \frac{1}{x} \left( \frac{x^{2} + 4 |x|}{|x| + 2} \right) } \\ = &\ \lim_{{x\to 0} \atop {x>0} } { \frac{1}{x} \left( \frac{x^{2} + 4 x}{x + 2} \right) } \\ = &\ \lim_{{x\to 0} \atop {x>0} } { \frac{1}{x} \left( \frac{ x(x + 4) }{x + 2} \right) } \\ = &\ \lim_{{x\to 0} \atop {x>0} } { \frac{x + 4}{x + 2} } \\ = &\ 2 \end{align}\] et \[\begin{align} \lim_{{x\to 0} \atop {x<0} } { \frac{f(x)-f(0)}{x-0}} = &\ \lim_{{x\to 0} \atop {x<0} } { \frac{1}{x} \left( \frac{x^{2} + 4 |x|}{|x| + 2} \right) } \\ = &\ \lim_{{x\to 0} \atop {x<0} } { \frac{1}{x} \left( \frac{x^{2} - 4 x} {-x + 2} \right) } \\ = &\ \lim_{{x\to 0} \atop {x<0} } { \frac{1}{x} \left( \frac{ x(x - 4) }{-x + 2} \right) } \\ = &\ \lim_{{x\to 0} \atop {x<0} } { \frac{x - 4}{-x + 2} } \\ = &\ -2 \end{align}\] donc \[\lim_{{x\to 0} \atop {x<0} } { \frac{f(x)-f(0)}{x-0}} \neq \lim_{{x\to 0} \atop {x>0} } { \frac{f(x)-f(0)}{x-0}}.\] On en déduit que la fonction $x $ n’admet pas de limite lorsque \(x\) tend vers \(0\), donc la fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto{ 2x \sqrt{ 1 - x^{2} } }\).

On note \(D_{f'}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f'\).

Entrer le numéro correspondant à la bonne réponse parmi les choix suivants : [...]

1. \(D_{f'} = \mathbb{R}^{*}\)
2. \(D_{f'} = \mathbb{R}_{+}^{*}\)
3. \(D_{f'} = [-1, 1]\)
4. \(D_{f'} = ]-1,1[\)

La fonction \(f\) est dérivable sur \(D_{f'}\) et on a : \(\forall x \in D_{f'}, f'(x) = \frac {n + px^{2} } { \sqrt{ 1 + x^{2} } }\), où \(n\) et \(p\) sont des entiers relatifs.

Entrer la valeur de l’entier relatif \(n\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \(p\) dans la case suivante : [...]
A: 4; 2; -4
Feedback: Soit \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\), \(D_{f} = \left \{ x \in \mathbb{R} \; / 1 - x^{2} \geq 0 \right \}.\) d’où \(D_{f} = [-1, 1]\). On a : \(f = g.h\) avec \(g(x)= {2x}\) et \(h(x)= \sqrt { 1 - x^{2} }\). De plus on a : \(h = v \circ \, u\) avec \(v(x)= { \sqrt{x} }\) et \(u(x)= { 1 - x^{2} }\). Les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables respectivement sur \(]-1,1[\) et sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) et on a : \(\forall x \in ]-1,1[, \; u(x) > 0\). On en déduit que la fonction \(h\) est dérivable sur \(]-1,1[\) comme composée de fonctions dérivables et on a : \[\begin{align} \forall x \in ]-1,1[ h'(x) = &\ u'(x) . ( v' \circ \; u)(x) \\ = &\ -2x . \frac{1}{2 \sqrt{u(x)}} \\ = &\ \frac{-x} { \sqrt { 1 - x^{2} } } \end{align}\] Les fonctions \(g\) et \(h\) étant dérivables sur $ ]-1,1[$ la fonction \(f\) est dérivable sur $ ]-1,1[$ comme produit de fonctions dérivables et on a : \[\begin{align} \forall x \in ]-1,1[ f'(x) = &\ 2.\sqrt { 1 - x^{2} } + 2x. \frac{-x} { \sqrt { 1 - x^{2} } } \\ = &\ \frac{ 2\left (\sqrt { 1 - x^{2} } \right )^{2} - 2x^{2}} { \sqrt { 1 - x^{2} } } \\ = &\ \frac{ 2 - 2x^{2} -2x^{2} } { \sqrt { 1 - x^{2} } } \\ = &\ \frac{ 2 - 4x^{2} } { \sqrt { 1 - x^{2} } } \end{align}\] Par ailleurs on a : \[\begin{align} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = &\ \frac{ 2x \sqrt {1-x^{2} }-0}{x-1} \\ = &\ \frac{ 2x \left ( \sqrt { 1 - x^{2}} \right )^{2} }{ (x-1)\sqrt{ (1-x^{2} }} \\ = &\ \frac{ 2x \left ( 1 - x^{2} \right ) }{ (x-1)\sqrt{ 1-x^{2} }} \\ = &\ \frac{ 2x (1 - x)(x+1) }{ (x-1)\sqrt{ 1-x^{2} }} \\ = &\ \frac{ 2x(-(x-1)(x+1) }{ (x-1))\sqrt{ (1-x^{2} }} \\ = &\ \frac{ -2x(x+1) }{ \sqrt{ 1-x^{2} }} \end{align}\] d’où \[\begin{align}\lim_{x\to 1} { \frac{f(x)-f(1)}{x-1}} = &\ \lim_{x\to 1} { \frac{ -2x(x+1) }{ \sqrt{ 1-x^{2} }} } \\ = &\ -\infty \end{align}\] donc la fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(1\). D’autre part on a de même : \[\begin{align} \frac{f(x)-f(-1)}{x-(-1)} = &\ \frac{ 2x \sqrt {1-x^{2} }-0}{x+1} \\ = &\ \frac{ 2x \left ( \sqrt { 1 - x^{2}} \right )^{2} }{ (x+1)\sqrt{ (1-x^{2} }} \\ = &\ \frac{ 2x \left ( 1 - x^{2} \right ) }{ (x+1)\sqrt{ 1-x^{2} }} \\ = &\ \frac{ 2x (1 - x)(x+1) }{ (x+1)\sqrt{ 1-x^{2} }} \\ = &\ \frac{ 2x(1-x) }{ \sqrt{1-x^{2} }} \end{align}\] d’où \[\begin{align}\lim_{x\to -1} { \frac{f(x)-f(-1)}{x-(-1)}} = &\ \lim_{x\to -1} { \frac{ 2x(1-x) }{ \sqrt{ (1-x^{2} }} } \\ = &\ -\infty \end{align}\] donc la fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(-1\). La fonction \(f\) est donc définie sur \([-1,1]\), dérivable sur \(]-1,1[\) et n’est pas dérivable en \(-1\) et en \(1\) ; on en déduit que l’ensemble de définition \(D_{f'}\) de la fonction \(f'\) est égal à \(]-1,1[\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto{ \frac{\cos 2x}{ \sin x} }\).

On note \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\).

Entrer le numéro correspondant à la bonne réponse parmi les choix suivants : [...]

1. \(\ D_{f} = \mathbb{R}^{*}\)
2. \({\ D_{f} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \, ]0 + k \pi, \pi + k \pi[ }\)
3. \({\ D_{f} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \, ]0 + k \frac{\pi}{2}, \pi + k \frac{\pi}{2}[ }\)
4. \({\ D_{f} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \, ] \frac{\pi}{2} + k \pi, \frac{\pi}{2} + k \pi[ }\)

La fonction \(f\) est dérivable sur \(D_{f}\) et on a : \(\forall x \in D_{f}, f'(x) = - \frac{ \cos x \left(n + p \sin ^{2} x \right) }{ \sin ^{2}x }\), où \(n\) et \(p\) sont des entiers naturels.

Entrer la valeur de l’entier relatif \(n\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \(p\) dans la case suivante : [...]
A: 2; 1; 2
Feedback: Soit \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\), \(D_{f} = \left \{ x \in \mathbb{R} \; / \sin x \neq 0 \right \}.\) On a : \[\forall x \in \mathbb{R},\ \sin x = \ 0 \Longleftrightarrow x \equiv \ 0 \ [\pi]\] En conclusion on obtient : \({ D_{f} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \, ]0 + k \pi, \pi + k \pi[ }\). De plus on a : \(f = \frac{u}{v}\) avec \(u(x)= \cos 2x\) et \({v(x)}={\sin x}\). Les fonctions \(u\) et \(v\) étant dérivables sur \(\mathbb{R}\) la fonction \(f\) est dérivable sur \(D_{f}\) comme quotient de fonctions dérivables et on a : \[\begin{align} \forall x \in D_{f},\ f'(x) = &\ \frac{2 \, (- \sin 2x). \sin x - \cos 2x . \cos x } {\sin ^{2} x }\\ = &\ \frac{2 \, (-2 \sin x \cos x). \sin x.- \cos 2x . \cos x } { \sin ^{2} x }\\ = &\ \frac{ - \cos x \left ( 4 \sin^{2} x + \cos 2x \right ) } { \sin ^{2} x }\\ = &\ \frac{ -\cos x \left ( 4 \sin^{2} x + \left ( 1 -2 \sin^{2} x \right )\right ) } {\sin ^{2} x }\\ = &\ - \frac{ \cos x \left(1 + 2\sin ^{2} x \right) }{ \sin ^{2}x } \end{align}\]

Q: On considère la fonction \(f\) de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\) définie par \(x \mapsto x^{2}\sqrt{x}\)

solution

Soit \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\), on a : \(D_{f} = \mathbb{R}_{+}.\)

Par ailleurs : \(f = u.v\) avec \(u(x)={x^{2}}\) et \(v(x)={\sqrt{x}}\).

Les fonctions \(u\) et \(v\) étant dérivables sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) comme produit de fonctions dérivables et on a :

\[\begin{align} \forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \quad f'(x) = &2x.\sqrt{x} + x^{2} .\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ = & 2x\sqrt{x} + x\left ( \sqrt{x} \right)^{2}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ = & 2x \sqrt{x} +\frac{x }{2}\sqrt{x} \\ = & \frac{5}{2} x\sqrt{x} \end{align}\]

Par ailleurs on a :

\[\begin{align} \lim_{x \to 0} {\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} = & { \lim_{x \to 0} {\frac{ x^{2}\sqrt{x}-0}{x-0}} }\\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} = & { \lim_{x \to 0}{ x \sqrt{x}} }\\ = & 0. \end{align}\]

On en déduit que la fonction \(f\) est dérivable en 0 et on a \(f'(0) = 0\).

On peut en conclure que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) et en 0, elle est donc dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}\).

Comme la valeur en \(0\) de la fonction {w}{R}{R}{x}{x } est égale à \(0\) on en déduit que :

\(\forall x \in \mathbb{R}_{+}, \quad f'(x) =\frac {5} {2}x \sqrt{x}.\)
- La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).
- \(\forall x \in \mathbb{R}_{+}, \quad f'(x) = 2x\sqrt x +\frac{x^{2}}{2\sqrt{x}}\).
- \(\forall x \in \mathbb{R}_{+}, \quad f'(x) =\frac {5} {2} x\sqrt{x}\).
A: La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).; \(\forall x \in \mathbb{R}_{+}, \quad f'(x) =\frac {5} {2} x\sqrt{x}\).
Feedback: Soit \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\), on a : \(D_{f} = \mathbb{R}_{+}.\) Par ailleurs : \(f = u.v\) avec \(u(x)={x^{2}}\) et \(v(x)={\sqrt{x}}\). Les fonctions \(u\) et \(v\) étant dérivables sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) comme produit de fonctions dérivables et on a : \[\begin{align} \forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \quad f'(x) = &2x.\sqrt{x} + x^{2} .\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ = & 2x\sqrt{x} + x\left ( \sqrt{x} \right)^{2}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ = & 2x \sqrt{x} +\frac{x }{2}\sqrt{x} \\ = & \frac{5}{2} x\sqrt{x} \end{align}\] Par ailleurs on a : \[\begin{align} \lim_{x \to 0} {\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} = & { \lim_{x \to 0} {\frac{ x^{2}\sqrt{x}-0}{x-0}} }\\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} = & { \lim_{x \to 0}{ x \sqrt{x}} }\\ = & 0. \end{align}\] On en déduit que la fonction \(f\) est dérivable en 0 et on a \(f'(0) = 0\). On peut en conclure que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) et en 0, elle est donc dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}\). Comme la valeur en \(0\) de la fonction {w}{R}{R}{x}{x } est égale à \(0\) on en déduit que : \(\forall x \in \mathbb{R}_{+}, \quad f'(x) =\frac {5} {2}x \sqrt{x}.\)