Title: Ressource - Bases et dimensions
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Algèbre linéaire

Références de rappels de cours

Système

On appelle système de vecteurs une suite finie de vecteurs\((\vec x_1, \vec x_2,\ldots, \vec x_k)\).

Espace vectoriel engendré par un système

Soit \((\vec x_1, \vec x_2,\ldots, \vec x_k)\) un système de vecteurs de \(\mathbb {R}^n\). Le sous-ensemble \(F\) de toutes les combinaisons linéaires de ces vecteurs est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb {R}^n\). On l'appelle espace vectoriel engendré par les vecteurs \((\vec x_1, \vec x_2,\ldots, \vec x_k)\) et on le notera \(Vect(\vec x_1, \vec x_2,\ldots,\vec x_k)\).

Système générateur

Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(\mathbb {R}^n\) et \((\vec x_1, \vec x_2,\ldots, \vec x_k)\) un système de vecteurs de \(F\). Le système est générateur de l'espace vectoriel \(F\), si et seulement pour tout \(\vec x\) de \(F\), il existe une combinaison linéaire du système égale à \(\vec x\). C'est-à-dire qu'on peut trouver des coefficients réels \(a_1,\dots,a_k\), tels que \(\vec x=a_1\vec x_1+a_2\vec x_2+...+a_k\vec x_k\).

Système libre

Un système \((\vec x_1, \vec x_2,\ldots, \vec x_k)\)   de vecteurs de \(\mathbb {R}^n\) est libre, si et seulement si aucun des vecteurs du système n'est combinaison linéaire des autres vecteurs du système.  De façon équivalente, les espaces vectoriels \(Vect (\vec x_1)\), \(Vect (\vec x_1, \vec x_2)\),...,\(Vect (\vec x_1, \vec x_2,...\vec x_k)\) sont tous différents.

Cette définition est difficile à utiliser dans les démonstrations. On préfère une caractérisation équivalente moins claire mais plus pratique :
Le système est libre si est seulement si la seule combinaison linéaire nulle construite à partir du système est celle où tous les coefficients sont nuls :
Soit \(a_1,a_2, \ldots,a_k\), une suite de \(k\) réels. Si \(a_1\vec x_1+a_2\vec x_2+\cdots+a_k\vec x_k=\vec 0\) alors nécessairement \(a_1=a_2= \cdots=a_k=0\).

Un système contenant le vecteur nul n'est jamais libre. Un système formé d'un unique vecteur non nul est toujours libre. Un système formé de deux vecteurs est libre si et seulement si les deux vecteurs ne sont pas proportionnels.

Soit \((\vec x_1, \vec x_2,\ldots, \vec x_k)\) un système libre de vecteurs de\(\mathbb {R}^n\). Soit\(\vec x\) un vecteur de \(Vect (\vec x_1, \vec x_2,...\vec x_k)\). Il existe une combinaison linéaire unique  telle que \(\vec x=a_1\vec x_1+a_2\vec x_2+...+a_k\vec x_k\).

Preuve : si \(\vec x=a_1\vec x_1+a_2\vec x_2+\ldots+a_k\vec x_k\) et\(x=b_1\vec x_1+b_2\vec x_2+\ldots+b_k\vec x_k\) alors \(\vec x-\vec x=(a_1-b_1)\vec x_1+(a_2-b_2)\vec x_2+...+(a_k-b_k)\vec x_k=0\). Comme le système est libre, tous les coefficients de cette dernière combinaison sont nécessairement nuls.

Base et dimension d'un sous-espace vectoriel

Un système de vecteurs d'un sous-espace vectoriel \(F\) de \(\mathbb {R}^n\) est une base, s'il est à la fois libre et générateur de \(F\). Toutes les bases d'un sous-espace vectoriel ont le même cardinal ; cet entier est appelé dimension  du sous-espace vectoriel. L'espace vectoriel \(\mathbb {R}^n\) est de dimension \(n\).

Deux caractérisations simples de base dans un espace de dimension $n$ :
- Si un système de $n$ vecteur est libre, c'est une base.
- Si un système de $n$ vecteur est générateur, c'est une base.

Coordonnées d'un vecteur dans une base

Soit \((\vec x_1, \vec x_2,\ldots, \vec x_k)\) une base de \(F\). Soit \(\vec x\)  un vecteur de \(F\) alors il existe une unique suite de coefficients \(a_1,a_2, \ldots,a_k\), tels que \(\vec x=a_1\vec x_1+a_2\vec x_2+\cdots+a_k\vec x_k\). Ces coefficients uniques seront appelées coordonnées de \(\vec x\) dans la base \((\vec x_1, \vec x_2,\ldots, \vec x_k)\).

Preuve : Puisque le système est générateur, il existe une telle suite de coefficients. Comme le système est libre, cette suite est unique.

Notation : pour bien distinguer entre les composantes  du vecteur et les coordonnées qui expriment sa relation avec une base donnée, on notera les coordonnées comme une matrice colonne. S'il y a plusieurs bases envisagées, on précisera par un indice quelle est la base qui sert de référence aux coordonnées.

Construction d'une base

Théorème de la base incomplète : Soit \(L=(\vec x_1,\ldots,\vec x_k)\) un système libre et \(G=(\vec y_1,\ldots,\vec y_n)\) un système générateur. On peut définir un sous-ensemble de \(F\) de \(G\) tel que \(L\cup F\) soit une base de l'espace \(\mathbb {R}^n\).

Sous-espace supplémentaire

Deux sous-espaces \(F_1\) et \(F_2\) de \(\mathbb {R}^n\) sont supplémentaires si pour chaque vecteur \(\vec x\) de \(\mathbb {R}^n\), il existe un couple unique de vecteurs \(\vec y\in F_1\) et \(\vec z\in F_2\) tel que \(x=y+z\).
- La somme des dimensions de \(F_1\) et \(F_2\) est égale à la dimension de\(\mathbb {R}^n\).
- L'intersection de \(F_1\) et \(F_2\) ne contient que le vecteur nul.

On a une caractérisation des espaces supplémentaires à partir de leurs bases :
Deux espaces \(F_1\) et \(F_2\) sont supplémentaires si et seulement si pour toute base \(B_1\) de \(F_1\) et \(B_2\) de \(F_2\)  \((B_1, B_2)\) est une base de \(\mathbb {R}^n\).

Tout sous-espace vectoriel \(H\) de \(\mathbb {R}^n\) a un sous-espace supplémentaire dans \(\mathbb {R}^n\). Ce sous-espace n'est pas unique en général.

C'est une conséquence du théorème de la base incomplète. Soit \(L\) une base de \(H\) et \(G\) une base de \(\mathbb {R}^n\). On construit \(F\) partie de \(G\) telle que \(L\cup F\) soit une base de \(\mathbb {R}^n\). Alors l'espace vectoriel engendré par\(F\) est supplémentaire de \(H\).

Ex 1 - Question 1

Soit \((\vec x_1, \vec x_2,\ldots, \vec x_k)\) un système générateur de \(\mathbb {R}^n\). On suppose que le système n'est pas libre. Montrer qu'il existe un sous-système de \((\vec x_1, \vec x_2,\ldots, \vec x_k)\) contenant un vecteur de moins qui est encore générateur.

Ex 1 - Réponse à la question 1

Si le système n'est pas libre, il existe une combinaison linéaire nulle du système à coefficients non tous nuls : \(\lambda_1\vec x_1+\lambda_2\vec x_2+\cdots+\lambda_k\vec x_k=0.\)
Supposons que ce soit \(\lambda_1\) qui est non nul. Alors \(\vec x_1=-(\lambda_2/\lambda_1)\vec x_2-\cdots-(\lambda_k/\lambda_1)\vec x_k\).
Soit \(\vec x\)  un vecteur de \(\mathbb {R}^n\), alors il existe une  suite de coefficients \(\mu_1,\mu_2, ...\mu_k\), tels que \(\vec x=\mu_1\vec x_1+\mu_2\vec x_2+...+\mu_k\vec x_k\). En substituant \(\vec x_1\), on obtient :

\begin{eqnarray*}
    \vec x&=&-\mu_1\left((\lambda_2/\lambda_1)\vec x_2+...+(\lambda_k/\lambda_1)\vec x_k\right)+\mu_2\vec x_2+...+\mu_k\vec x_k\\
    &=&\left(\mu_2-\frac{\mu_1\lambda_2}{\lambda_1}\right)\vec x_2+...+\left(\mu_k-\frac{\mu_1\lambda_k}{\lambda_1}\right)\vec x_k
\end{eqnarray*}
Donc \(\vec x\) est également une combinaison linéaire du système \((\vec x_2,\ldots,\vec x_k)\). Le système \((\vec x_2,\ldots,\vec x_k)\) est générateur.

Ex 1 - Question 2

Soit \((\vec x_2,\ldots,\vec x_k)\) un système générateur de\(\mathbb {R}^n\). Montrer qu'on peut extraire de ce système un sous-système qui est une base de\(\mathbb {R}^n\).

Ex 1 - Réponse à la question 2

Il suffit de construire des systèmes générateurs en retirant un par un les vecteurs du système en utilisant la méthode de la question précédente jusqu'à ce que le système résultant soit libre. Ce système est alors une base de \(\mathbb {R}^n\).

Note : on remarque que tous les systèmes générateurs ont au moins $n$ éléments, puisqu'on forme une base en retirant des vecteurs inutiles.

Ex 1 - Question 3

Soit \((\vec x_1, \vec x_2,\ldots, \vec x_k)\) un système libre de\(\mathbb {R}^n\). On suppose que ce système n'est pas générateur. Montrer qu'on peut trouver un vecteur \(\vec x_{k+1}\) tel que \((\vec x_1, \vec x_2,\ldots, \vec x_k, \vec x_{k+1})\) est un système libre.

Ex 1 - Réponse à la question 3

Le système n'étant pas générateur, il existe un vecteur \(\vec x\) qui n'est pas combinaison linéaire de \((\vec x_1, \vec x_2,\ldots, \vec x_k)\). Choisissons \(\vec x_{k+1}=\vec x\).

On montre maintenant que \((\vec x_1, \vec x_2,\ldots, \vec x_k, \vec x_{k+1})\) est un système libre. On utilise la caractérisation des systèmes libres. On considére une combinaison linéaire nulle du système :
\[a_1\vec x_1+a_2\vec x_2+...+a_k\vec x_k+a_{k+1}\vec x_{k+1}=0\]
et on doit montrer que tous les coefficients sont nuls.

Si\(a_{k+1}\neq 0\) alors
\[\vec x_{k+1}=(a_1/\lambda_{k+1})\vec x_1+(a_2/a_{k+1})\vec x_2+...+(a_k/a_{k+1})\vec x_k,\]
ce qui est impossible puisque\(\vec x_{k+1}\) n'est pas une combinaison linéaire de ces vecteurs. Donc \(\lambda_{k+1}= 0\) et
\[a_1\vec x_1+a_2\vec x_2+...+a_k\vec x_k=0.\]

Le système \(\vec x_1\),\(\vec x_2\)...,\(\vec x_k\) étant libre, tous les coefficients de \(a_1\) à  \(a_k\) sont nuls.

On a montré que tous les coefficients de \(a_1\) à \(a_{k+1}\) de la combinaison sont nuls ce qui signifie que \(\vec x_1\),\(\vec x_2\)...,\(\vec x_k\),\(\vec x_{k+1}\) est libre.

Exercice 2 - Question 1

Soit \(\vec x=(1,0,2)\) et \(\vec y=(1,1,0)\). Soit \(V=Vect(\vec x,\vec y)\). Quelle est la dimension de \(V\)?

Exercice 2 - Réponse à la question 1

Par définition, \((\vec x,\vec y)\)  est un système générateur de \(F\). Si \((\vec x,\vec y)\)  n'était pas libre alors ces deux vecteurs seraient proportionnels, ce qui n'est pas le cas.

Donc \((\vec x,\vec y)\)  est libre et générateur de \(F\). C'est donc une base de \(F\) et donc \(F\) est de dimension 2.

Ex2 - question 2

On considère les vecteurs \(\vec x=(1,0,1)\), \(\vec y=(2,1,1)\) et \(\vec z=(1,1,0)\). Quelle est la dimension de \(F=Vect(\vec x,\vec y,\vec z)\) ?

Ex2 - Réponse à la question 2

Par définition, \((\vec x,\vec y, \vec z)\) est un système générateur de \(F\). Pour savoir si le système est libre, on considère une combinaison linéaire nulle : \(a\cdot\vec x+b\cdot\vec y+c\cdot\vec z=\vec 0\) et on détermine les coefficients qui vérifient cette égalité., qui peut s'écrire \(a+2b+c,a+b+c,a+b=(0,0,0)\) ou sous la forme du système linéaire :

\(
\left\{\begin{array} {rcl}
a+2b+c&=& 0\\
a+b+c&=&0\\
a+b&=& 0
\end{array}
 \right.
 \)

De la troisième et la deuxième équation, on déduit que \(c=0\). Puis de la première et la troisième que \(b=0\). Enfin de la première, on déduit \(a=0\). Il n'y a donc que la solution évidente qui soit solution. Donc le système est libre.

Exercice 2 - Question 3

On considère les vecteurs \(\vec x=(1,0,1)\), \(\vec y=(2,1,1)\) et \(\vec z=(3,1,2)\). Quelle est la dimension de \(F=Vect(\vec x,\vec y,\vec z)\) ?

Exercice 2 - Réponse à la question 3

Par définition, \((\vec x,\vec y, \vec z)\) est un système générateur de \(F\). Pour savoir si le système est libre, on considère une combinaison linéaire nulle : \(a\cdot\vec x+b\cdot\vec y+c\cdot\vec z=\vec 0\) et on détermine les coefficients qui vérifient cette égalité., qui peut s'écrire \(a+2b+3c,b+c,a+b+2c=(0,0,0)\) ou sous la forme du système linéaire :

\(
\left\{\begin{array} {rcl}
a+2b+3c&=& 0\\
b+c&=&0\\
a+b+2c&=& 0
\end{array}
 \right.
 \)

Si on soustrait la troisième équation de la première on trouve la deuxième équation. Il existe donc une solution non nulle. On choisit \(b=1\) et \(c=-1\), pour satisfaire la deuxième équation. Pour satisfaire la première équation, on choisit \(a=1\). On a donc \(\vec x+\vec y,-\vec z=0\). \(\vec z\) est une combinaison linéaire de \(\vec x\) et \(\vec y\). Donc \((\vec x,\vec y)\) est un système générateur de \(F\). Comme les deux vecteurs ne sont pas proportionnels, le système est libre, donc c'est une base de \(F\) et \(F\) est de dimension 2.