Title: Rappels- Equations différentielles linéaires
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Equations différentielles et Transformée de Laplace

Equations differentielles linéaires du premier ordre

On considère une équation différentielle linéaire sous sa forme standard :

\[(E) :\ y'=a(x)y+b(x)\ \Longleftrightarrow \ y'-a(x)y=b(x).\]

\(a\) est appelé coefficient et \(b\) second membre de l'équation. On considère \(I=]x_0;x_1[\) un intervalle où \(a\) est intégrable.

Équation sans second membre
On résout d'abord l'équation sans second membre :

\[ (E_0) :\ y'-a(x)y=0.\]

Cette équation est à variables séparables de solution générale :

\[ \ y(x)=Ce^{A(x)}\]

où \(A(x)\) est une primitive de \(a(x)\). On pourra prendre \(A(x)=\int_{x_0}^xa(t)dt\).

Solution particulière
On cherche ensuite une solution particulière de l'équation avec second membre par la méthode de variation de la constante. On utilise la solution précédente en remplaçant la constante par une fonction de \(x\). On pose :

\(y_p(x)=C(x)e^{A(x)}\).
La dérivée de \(y_p(x)\) est :
\[y'_p(x)=C'(x)e^{A(x)}+a(x)C(x)e^{A(x)}=C'(x)e^{A(x)}+a(x)y_p(x)\].
Donc
\[y'_p(x)-a(x)y_p(x)=C'(x)e^{A(x)}.\]

La fonction \(y_p(x)\) est solution de \((E)\) si et seulement si la fonction \(C\) vérifie l'équation

\[C'(x)e^{A(x)}=b(x)\Longleftrightarrow\ C'(x)=b(x)e^{-A(x)}.\]

Par intégration, on obtient \(C(x)=\int^x b(t)e^{-A(t)}dt\) et

\(y_p(x)=e^{A(x)}\int_{x_0}^x b(t)e^{-A(t)}dt\).

Ensemble de solutions de \(E\)
L'ensemble général de solution de \(E\) s'obtient en additionnant \(y_p\) à chaque solution de \(E_0\) :
\( y(x)=Ce^{A(x)}+e^{A(x)}\int_{x_0}^x b(t)e^{-A(t)}dt=e^{A(x)}\left(C+\int_{x_0}^x b(t)e^{-A(t)}dt\right).\)

Cas particuliers simples
Si la fonction \(a(x)\) est constante, la solution de l'équation sans second membre est \(y(x)=Ce^{ax}\).
La solution générale est
\(y(x)=e^{ax}\left(C+\int_{x_0}^x b(t)e^{-at}dt\right).\)

Si de plus \(b\) est une fonction polynôme ou une fonction polynôme mutipliée par une exponentielle \(b(x)=P(x) e^{qx}\), on a
\(y(x)=e^{ax}\left(C+\int_{x_0}^x P(t)e^{(q-a)t}dt\right).\)

L'intégration par partie montre que la solution particulière est \(y_p(x)=Q(x) e^{ax}\) où \(Q\) est un polynôme de même degré que \(P\), sauf dans le cas où \(q=a\) où \(Q\) est la primitive de \(P\).

Dans les exercices, on exploitera cette forme pour identifier la solution sans passer par la longue intégration par partie.

Exercice 1 -Question 1

Résoudre l'équation différentielle

 \[(E) :\ y'+y+x=0\]

Exercice 1- Réponse à la question 1

L'écriture normale de l'équation est

 \[(E) :\ y'=\ -y-x\]

Donc \(a(x)=-1\) et \(b(x)=-x\).

La solution générale de l'équation sans second membre est \(y(x)=Ce^{-x}\).

Une solution particulière de \(E\) est \(y(x)=e^{-x}\int_0^x(-t)e^tdt\).
En intégrant par partie :
\(\int_0^x(-t)e^tdt= \left[-te^t\right]_0^x+\int_0^xe^tdt=\left[-te^t\right]_0^x+\left[e^t\right]_0^x=1-xe^x+e^x\)
La solution particulière trouvée est donc  \(y(x)=e^{-x}-x+1\).

La solution générale est \(y(x)=Ce^{-x}+x+1\).

Remarque : formellement en additionnant la solution particulière, on trouve \(y(x)=Ce^{-x}+e^{-x}+x+1\), mais la constante étant quelconque on peut simplifier l'expression.

Exercice 1- Question 2

Pour la même équation différentielle

\[(E) : \ y'+y+x=0,\]

retrouver une solution particulière sans utiliser d'intégration.

Exercice 1 - Réponse à la question 2

Méthode sans intégration pour la solution particulière :
Le second membre étant un polynôme de degré 1, on essaie de trouver une solution particulière sous forme d'un polynôme de degré 1.

\(\begin{eqnarray}y_p(x)&=&(cx+d)\\y'_p(x)&=&c\\y'_p(x)+y_p(x)&=&c+cx+d\end{eqnarray}\)

\(y_p(x)\) est solution  de \(E\) si et seulement si \(y'_p(x)+y_p(x)=-x\), donc pour \(c=-1\) et \(d=1\).
On obtient
\(y_p(x)=-x+1\)

Exercice 2 - Question 1

Résoudre l'équation différentielle :

 \[(E) :\ y'+xy+x=0\]

Exercice 2 - Réponse à la question 1

L'écriture normale de l'équation est

 \[(E) :\ y'=\ -xy-x\]

Donc \(a(x)=-x\) et \(b(x)=-x\).  On calcule la primitive de \(a\) : \(A(x)=-\frac {x^2}2\).

La solution générale de l'équation sans second membre est \(y(x)=Ce^{-\frac {x^2}2}\).

Une solution particulière de \((E)\) est \(y(x)=e^{-\frac {x^2}2}\int_0^x(-t)e^{\frac {t^2}2}dt\).
On reconnait une expression de la forme \(u'e^u\) :
\(\int_0^x(-t)e^{\frac {t^2}2}dt= -\left[e^{\frac {t^2}2}\right]_0^x=1-e^{\frac {x^2}2}\)
La solution particulière trouvée est donc  \(y(x)=e^{\frac {t^2}2}-1\).

La solution générale est \(y(x)=Ce^{-\frac {t^2}2}-1\).

Remarque : formellement, en additionnant la solution particulière, on trouve \(y(x)=Ce^{-\frac {t^2}2}+e^{\frac {t^2}2}-1\), mais la constante étant quelconque on peut simplifier l'expression.

Exercice 2 - Question 2

Pour l'équation différentielle :

 \[(E) :\ y'+xy+x=0\]

retrouver une solution particulière sans intégration.

Exercice 2 - Réponse à la question 2

Méthode sans intégration pour la solution particulière :
Le second membre étant un polynôme de degré 1, on essaie de trouver une solution particulière sous forme d'un polynôme de degré 1.

\(\begin{eqnarray}y_p(x)&=&(cx+d)\\y'_p(x)&=&c\\y'_p(x)+xy_p(x)&=&c+cx^2+dx\end{eqnarray}\)

\(y_p(x)\) est solution  de \(E\) si et seulement si \(y'_p(x)+y_p(x)=-x\), donc pour \(c=0\) et \(d=-1\).
On obtient
\(y_p(x)=-1\)

Remarque : ici le polynôme est de degré 0. La méthode permet quand même de déterminer une solution particulière.