Title: Continuité, Dérivation, Intégration
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Cette partie présente de manière approfondie les calculs des propriétés analytiques des fonctions. La maîtrise de ces méthodes est importante pour les applications en physique et en économie.

Limite d'une fonction

Limite d'une fonction en un point $$a$$ réel

- Savoir calculer les limites à gauche et à droite d'une fonction.

Test initial
Ressources de révision
Test final

Limite d'une fonction à l'infini

- Savoir calculer la limite finie ou infinie d'une fonction en $$+\infty$$ et $$-\infty$$.
- Connaître les limites d'un polynôme et d'un inverse de polynôme à l'infini.
- Déterminer la limite d'une fraction rationnelle à l'infini.

Test initial
Ressources de révision
Test final

Limite de fonctions usuelles

- Limites de fonctions puissance d’exposant entier strictement positif, strictement négatif.
- Limites de fonctions exponentielles.
- Limites de fonctions logarithmes.

Test initial
Ressources de révision
Test final

Opérations sur les limites

- Sommes, produits de limites.
- Factorisation des fractions rationnelles.

Test initial
Ressources de révision
Test final

Théorèmes de comparaison sur les limites

- Théorèmes de comparaison.
- Théorèmes des gendarmes.

Test initial
Ressources de révision
Test final

Continuité

Continuité d'une fonction en un point

- Savoir prouver la continuité à droite et à gauche d'une fonction en utilisant les limites

Test initial
Ressources de révision
Test final

Opérations algébriques et continuité

- Prouver la continuité de sommes et produits de fonctions continues.
- Prouver la continuité de compositions et fractions rationnelles de fonctions continues.

Test initial
Ressources de révision
Test final

Dérivation

Nombre dérivé d'une fonction

- Savoir calculer le nombre dérivé par la méthode du taux d'accroissement

Test initial
Ressources de révision
Test final

Propriétés de la dérivée et dérivation d'une fonction usuelle

- Linéarité
- Dérivée de $$ f(cx)$$ où $$c$$ est une constante
- Liste de dérivées de fonctions usuelles

Test initial
Ressources de révision
Test final

Opérations sur les dérivées

- Savoir calculer la dérivée d'une fonction comportant des produits, carrés, inverses et quotients de fonctions usuelles

Prérequis :
- Liste de dérivées usuelles

Test initial
Ressources de révision
Test final

Dérivée d'une composition de fonctions

- Savoir calculer la dérivée d'une composée de deux fonctions $$\mathbb{R}\to \mathbb{R}$$
- Savoir calculer la dérivée d'une fonction $$\mathbb{R}\to \mathbb{R}$$ quelconque (comprenant somme(s), produit(s), et/ou composées)

Test initial
Ressources de révision
Test final

Calcul avancé

- Dérivée d'une fonction réciproque
- Fonctions trigonométriques réciproques et  fonctions hyberboliques

Test initial
Ressources de révision
Test final

Tableau de variations

- Étudier le signe de la dérivée.
- Renseigner les intervalles de monotonie d'une fonction dans un tableau de variation.

Prérequis
- Dérivée des fonctions usuelles.
- Dérivée et opérations algébriques des fonctions.
- Dérivée et composition des fonctions

Test initial
Ressources de révision
Test final

Développements limités

Formules de Taylor

- Savoir écrire le développement de Taylor-Young au voisinage d'un point
- Savoir écrire le développement de Taylor-Lagrange au voisinage d'un point

Test initial
Ressources de révision
Test final

Recherche du maximum ou du minimum d'une fonction

- Déterminer les minimums et maximums locaux d'un fonction deux fois dérivable.
- Déterminer le minimum et maximum local d'une fonction deux fois dérivable sur un intervalle

Prérequis
- Dérivée des fonctions usuelles.
- Dérivée et opérations algébriques des fonctions.
- Dérivée et composition des fonctions

Test initial
Ressources de révision
Test final

Développements limités usuels

- Appliquer les développements limités d'ordre 1 ou 2 au calcul de limites de fonction
- Connaître les développements limités des fonctions puissance, logarithme et exponentielle.

Prérequis
- Calcul de limites.

Test initial
Ressources de révision
Test final

Liste d'exo de quiz
limite (de preferences finies...) de fonctions fractions de
e^x-1, \log(1-x), 1-cos x ,\sqrt{1-x}-x, \sqrt{1-x}-\sqrt{1-3x}, \sin x, \tan x, polynome
les memes avec des x^2 en argument pour varier un peu . Plusieurs étages ou des annulations de termes par soustraction sans passer à l'ordre suivant : (e^x-1-x) se fait dans le grain suivant
ci-dessous maquette de la leçon avec propo d'exercice :

Calcul d'asymptotes

- Appliquer le calcul de limites à la détermination d'asymptotes parallèles aux axes du repère
- Appliquer le calcul de développements limités pour déterminer des asymptotes obliques

Développements en série entière

- Connaître les développements en série entière des fonctions usuelles
- Calculer la dérivée d'une série entière
- Calculer l'intégrale d'une série entière
- Composer deux développements

Test initial
Ressources de révision
Test final

Intégration

Propriétés de l'intégration

- Connaître les propriétés de l'intégrale sur un segment réel [a,b] : croissance, linéarité, additivité par rapport au domaine d'intégration.

Test initial
Ressources de révision
Test final

Intégration de fonctions usuelles

- connaître les primitives des fonctions usuelles
- savoir calculer une intégrale à partir des primitives

Test initial
Ressources de révision
Test final

Intégration de fonctions composées

- savoir calculer et reconnaître une intégrale de fonction composée

Test initial
Ressources de révision
Test final

Intégration par partie

- Appliquer l'intégration par partie au calcul d'intégrale

Test initial
Ressources de révision
Test final

Intégration par changement de variable

- Calculer une intégrale en appliquant à la variable d'intégration une application monotone .

Test initial
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Test final

Intégrales indéfinies

- Evaluer la convergence ou divergence d'une intégrale indéfinie.
- Calculer les intégrales indéfinies convergentes.

Test initial
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Test final

Intégrales indéfinies 2

- Evaluer la convergence ou divergence d'une intégrale indéfinie.
- Calculer les intégrales indéfinies convergentes.

Prérequis
- Savoir calculer avec les méthodes d'intégration par parties et  de changement de variable
- Utiliser le théorème de comparaison dans le cas de fonctions  positives.

Test initial
Ressources de révision
Test final

Fonction de plusieurs variables

Dérivées partielles

- Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 et 2
- Calculer le développement de Taylor à l'ordre 1 et 2

Prérequis
- Savoir calculer les dérivées ordinaires
- Savoir multiplier les matrices

Test initial
Ressources de révision
Test final

Extremums

- Déterminer les maximums et minimums d'une fonction de plusieurs variables à l'intérieur d'un ouvert

Prérequis
- Savoir calculer les dérivées partielles d'ordre 1 et 2
- Savoir multiplier les matrices

Test initial
Ressources de révision
Test final