Title: Exercice 2 - Opérations sur les matrices
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Algèbre linéaire

Question 1

Calculer $$A+B$$ pour $$A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & 5\\ 0 & -1 & 2 \\\end{array}\right)$$ et $$B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0\\    2 & 2 & 6\\\end{array}\right)$$.

Réponse 1

Les deux matrices sont de même dimension, il est donc possible de les sommer. Le résultat est la matrice de même dimension (2 lignes et 3 colonnes)

$$A+B=\left(\begin{array}{ccc}2+1 & 3+1 & 5+0\\    0+2 & -1+2 & 2+6\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3 & 4 & 5\\ 2 & 1 & 8\\\end{array}\right)$$.

Question 2

Exprimer $$w^T$$ pour le vecteur ligne $$w=\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & 5\end{array}\right)$$.

Réponse 2

Le résultat est un vecteur colonne, c'est à dire une matrice à 3 lignes et 1 colonne

$$w^T=\left(\begin{array}{cc} 2\\ 3 \\ 5 \\\end{array}\right)$$.

Question 3

Calculer $$uv$$ pour $$u=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\\end{array}\right)$$ et $$v=\left(\begin{array}{cc}1 & 2\\\end{array}\right)$$.

Réponse 3

Le produit $$uv$$ est défini car le nombre de colonne de la première matrice ($$u$$) est égal au nombre de lignes de la seconde ($$v$$). Le résultat est la matrice à 2 lignes (autant que $$u$$) et 2 colonnes (autant que $$v$$)

$$uv=\left(\begin{array}{cc}2\times 1 & 2\times 2\\ 0\times 1 & 0\times 2\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2 & 4\\ 0 & 0\\\end{array}\right)$$.

Question 4

Calculer $$C^3$$ pour $$C=\left(\begin{array}{cc}2 & 4\\ 0 & 0\\\end{array}\right)$$.

Réponse 4

Il suffit de réaliser le double produit matriciel $$C^3=C\times C\times C$$. La multiplication matricielle étant associative :

$$C^3=(C^2)C=\left(\begin{array}{cc}8 & 16\\ 0 & 0\\\end{array}\right)$$.

Question 5

On considère les matrices $$A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & 5\\ 0 & -1 & 2 \\\end{array}\right)$$, $$B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0\\ 2 & 2 & 6\\\end{array}\right)$$ et $$C=\left(\begin{array}{cc}2 & 4\\ 0 & 0\\\end{array}\right)$$. Calculer $$(AB^T+C)^T$$.

Réponse 5

On peut trouver le résultat en calculant directement le produit de $$A$$ par $$B^T$$, puis en ajoutant $$C$$ et enfin en transposant le résultat. On peut aussi calculer au préalable $$(AB^T+C)^T=BA^T+C^T$$. On trouve

$$(AB^T+C)^T=\left(\begin{array}{cc}7 & -1\\ 44 & 10\\\end{array}\right)$$.