Title: Rappels Comparaison pour la limite
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Continuité, Dérivation, Intégration

Théorème de comparaison de limites

Soient $$f$$ et $$g$$ deux fonctions définies sur un intervalle $$I$$ voisinage de $$\alpha$$, $$\alpha$$ étant un réel, $$+\infty$$ ou $$-\infty$$.

Si on a $$x\in I, f(x)\geqslant g(x)$$ et $$\lim\limits_{x \to \alpha} g(x)=+\infty$$ alors
$$\lim\limits_{x \to \alpha} f(x)=+\infty$$.

Si on a $$x\in I, f(x)\leqslant g(x)$$ et $$\lim\limits_{x \to \alpha} g(x)=-\infty$$ alors
$$\lim\limits_{x \to \alpha} f(x)=-\infty$$.

Exercice 1

Calculer $$\lim\limits_{x \to +\infty} x+ \sin(x)$$.

Solution 1

Pour tout $$x$$ on a $$x+ \sin(x)\ge x-1$$ car $$\sin(x)\ge -1$$.
Or $$\lim\limits_{x \to +\infty} x-1=+\infty$$ donc
$$\lim\limits_{x \to +\infty} x+ \sin(x)=+\infty$$.

Théorème des gendarmes

Soient $$f$$, $$g$$ et $$h$$ trois fonctions définies sur un intervalle I voisinage de $$\alpha$$, $$\alpha$$ étant un réel, $$+\infty$$ ou $$-\infty$$.

Si pour tout $$x\in I$$, $$h(x)\leqslant f(x)\leqslant g(x)$$ et $$\lim\limits_{x \to \alpha} h(x)=\lim\limits_{x \to \alpha} g(x)=\ell$$
alors $$\lim\limits_{x \to \alpha} f(x)=\ell$$.

Exercice 2

Calculer $$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\cos(x)}{x}$$.

Solution

Pour tout $$x$$, on a $-1\le \cos(x)\le 1$
donc $$-\frac{1}{x}\le\frac{\cos(x)}{x}\le\frac{1}{x}$$

Puisque $$\lim\limits_{x \to +\infty} -\frac{1}{x}=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x}=0$$,