Title: Proprietes de l'integrale
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: On considère la fonction : \(f(x) = (1-x)e^{-x}\). Que peut-on dire sans calcul du signe de \(\int_0^1f(x)dx\) ?
- Strictement positif
- Positif ou nul
- On sait pas sans calcul
- Négatif ou nul
- Strictement négatif
A: Strictement positif
Feedback: La fonction est positive sur l’intervalle et strictement positive sur un sous-intervalle. Donc l’intégrale est strictement positive.

Q: On considère la fonction : \(f(x) = (1-x)e^{-x}\). Que peut-on dire sans calcul du signe de \(\int_1^2f(x)dx\) ?
- Strictement positif
- Positif ou nul
- On sait pas sans calcul
- Négatif ou nul
- Strictement négatif
A: Strictement négatif
Feedback: La fonction est négative sur l’intervalle et strictement négative sur un sous-intervalle. Donc l’intégrale est strictement négative.

Q: On considère la fonction : \(f(x) = (1-x)e^{-x}\). Que peut-on dire sans calcul du signe de \(\int_0^2f(x)dx\) ?
- Strictement positif
- Positif ou nul
- On sait pas sans calcul
- Négatif ou nul
- Strictement négatif
A: On sait pas sans calcul
Feedback: La fonction change de signe en 1. Elle n’est pas de signe constant ; on ne peut rien dire sans calculer.

Q: On considère la fonction : \(f(x) = (x-1)e^{2x+1}\). Que peut-on dire sans calcul du signe de \(\int_1^2f(x)dx\) ?
- Strictement positif
- Positif ou nul
- On sait pas sans calcul
- Négatif ou nul
- Strictement négatif
A: Strictement positif
Feedback: La fonction est positive sur l’intervalle et strictement positive sur un sous-intervalle. Donc l’intégrale est strictement positive.

Q: On considère la fonction : \(f(x) = (x-1)e^{2x+1}\). Que peut-on dire sans calcul du signe de \(\int_0^1f(x)dx\) ?
- Strictement positif
- Positif ou nul
- On sait pas sans calcul
- Négatif ou nul
- Strictement négatif
A: Strictement négatif
Feedback: La fonction est négative sur l’intervalle et strictement négative sur un sous-intervalle. Donc l’intégrale est strictement négative.

Q: On considère la fonction : \(f(x) = (x-1)e^{2x+1}\). Que peut-on dire sans calcul du signe de \(\int_0^2f(x)dx\) ?
- Strictement positif
- Positif ou nul
- On sait pas sans calcul
- Négatif ou nul
- Strictement négatif
A: On sait pas sans calcul
Feedback: La fonction change de signe en 1. Elle n’est pas de signe constant ; on ne peut rien dire sans calculer.

Q: On considère la fonction : \(f(x) = (1-x)e^{-x}\). Que peut-on dire du signe de \(\int_0^1f(x)dx\) ?
- Strictement positif
- Positif ou nul
- On sait pas sans calcul
- Négatif ou nul
- Négatif
A: Strictement positif
Feedback: La fonction est positive sur l’intervalle et strictement positive sur un sous-intervalle. Donc l’intégrale est strictement positive.

Q: On considère une fonction \(f(x)\) telle que \(\int_0^1f(x)dx=2\) et \(\int_1^2f(x)dx=2\). Quelle est la valeur de \(\int_0^2f(x)dx\) ?
A: 4
Feedback: D’après la relation de Chasles, on doit faire la somme des deux valeurs.

Q: On considère une fonction \(f(x)\) telle que \(\int_0^2f(x)dx=2\) et \(\int_1^2f(x)dx=1\). Quelle est la valeur de \(\int_0^1f(x)dx\) ?
A: 1
Feedback: D’après la relation de Chasles, on doit faire la différence des deux valeurs.

Q: On a calculé que \(I_s=\int_{\pi/2}^\pi \sin (x)(x)dx=1\) et \(I_c=\int_{\pi/2}^\pi \cos (x)(x)dx=-1\). Quelle est la valeur de \(\int_{\pi/2}^\pi (3\sin (x)-2\cos(x))dx\) ?
A: 5
Feedback: D’après la linéarité de l’integrale par rapport aux fonctions, la valeur est \(2I_s-3I_c\).

Q: On a calculé que \(I_s=\int_{\pi/2}^\pi \sin (x)(x)dx=1\) et \(I_c=\int_{\pi/2}^\pi \cos (x)(x)dx=-1\). Quelle est la valeur de \(\int_{\pi/2}^\pi (-4\sin (x)+2\cos(x))dx\) ?
A: -6
Feedback: D’après la linéarité de l’integrale par rapport aux fonctions, la valeur est \(-4I_s+2I_c\).