Title: Exercice 1 - Inverse d'une matrice
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Algèbre linéaire

Question 1

Exprimer le système d'équations :

$$\left\{\begin{array}{l}x+y=3\\ x-y=-1\end{array}\right.$$

sous forme matricielle.

Réponse 1

Le système s'écrit :

$$\left(\begin{array}{ll}x+y\\ x-y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)$$

et donc peut se mettre sous la forme $$AX=B$$ en posant :

$$A=\left(\begin{array}{cc}1&1\\ 1&-1\end{array}\right)$$,

$$X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$,

$$B=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)$$.

Question 2

La matrice $$A=\left(\begin{array}{cc}1&1\\ 1&-1\end{array}\right)$$ est elle inversible ?

Réponse 2

Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. On trouve $$|A|=-2\neq 0$$. La matrice $$A$$ est donc inversible.

Question 3

Calculer $$\text{com}(A)$$.

Réponse 3

On trouve $$\text{com}(A)=\left(\begin{array}{cc}-1&-1\\ -1&1\end{array}\right)$$.

Question 4

Calculer $$A^{-1}$$.

Réponse 4

Comme $$A$$ est inversible, $$A^{-1}=\frac{\text{com}(A)^T}{|A|}$$. Des résultats précédents, on trouve :

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1/2&1/2\\ 1/2&-1/2\end{array}\right)$$.

Question 5

Vérifier que la matrice trouvée à la question précédente est bien l'inverse de $$A$$.

Réponse 5

Il faut calculer (au choix) $$AA^{-1}$$ ou $$A^{-1}A$$ et vérifier que c'est bien égal à la matrice identité. En faisant le produit matriciel, on trouve :

$$AA^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1&1\\ 1&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1/2&1/2\\ 1/2&-1/2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1&0\\ 0&1\end{array}\right)=I_2$$.

La matrice $$A^{-1}$$ trouvée précédemment est donc bien l'inverse de $$A$$.

Question 6

Résoudre le système d'équations :

$$\left\{\begin{array}{ll}x+y=3\\ x-y=-1\end{array}\right.$$.

à l'aide d'un calcul matriciel.

Réponse 6

La solution du système est $$X=A^{-1}B$$. On trouve donc :

$$X=\left(\begin{array}{cc}1/2&1/2\\ 1/2&-1/2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2\\ 1\end{array}\right)$$,

c'est à dire $$x=2$$ et $$y=1$$.