Title: Ressource - Equation différentielle linéaire du second ordre
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Equations différentielles et Transformée de Laplace

Résolution des équations différentielles linéaires à coefficients constants sans second membre

Définitions

On appelle équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants sans second membre toute équation différentielle de la forme :

\[ay"+by'+cy=0\]
où a, b, et c sont des constantes réelles et a est non nul.

On appelle polynôme caractéristique associé à l’équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants sans second membre, le polynôme défini par :

\[P(x)=ax^2+bx+c=0\]

Résolution des équations différentielles ordinaires du second ordre

1) Si \(\Delta=b^2-4ac>0\), si \(r_1\) et \(r_2\) sont les racines réelles de \(P\), alors les solutions de l’équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants seront de la forme :

\[y(x)=k_1e^{r_1x}+k_2e^{r_2x}\]
avec \(k_1\in {\mathbb R}\) et \(k_2\in {\mathbb R}\).

2) Si \(\Delta=b^2-4ac=0\), si \(r\) est la racine double réelle de \(P\), alors les solutions de l’équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants seront de la forme :

\[y(x)=(k_1+k_2x)e^{rx}\]
avec \(k_1\in {\mathbb R}\) et \(k_2\in {\mathbb R}\).

3) Si \(0>\Delta=b^2-4ac\),  les racines complexes \(r_1\) et \(r_2\) de \(P\) sont définies par :

\(r_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}\) et \(r_2=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}\)

Alors les solutions de l’équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants seront de la forme :

\[y(x)=e^{\frac{-b}{2a}x}\left(k_1\cos\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}x\right)+k_2\cos\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}x\right)\right)\]
avec \(k_1\in {\mathbb R}\) et \(k_2\in {\mathbb R}\).

Exercice 1 - Question 1

Résoudre l'équation différentielle :

\[y"+3y'-2y=0\]

Exercice 1 - Réponse à la question 1

Le polynôme caractéristique est

\[x^2+3x-2=0.\]

Le discriminant est \(\Delta=9+8=17\).

Les racines sont \(r_1=\dfrac{-3+\sqrt{17}}2\) et \(r_2=\dfrac{-3-\sqrt{17}}2\).

La solution générale est \(y(x)=k_1e^{\frac{-3+\sqrt{17}}2x}+k_2e^{\frac{-3-\sqrt{17}}2x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) réels.

Exercice 1 - Question 2

Résoudre l'équation différentielle :

\[y"+10y'+25y=0\]

Exercice 1 - Réponse à la question 2

Le polynôme caractéristique est

\[x^2+10x+25=0.\]

Le discriminant est \(\Delta=100-100=0\).

La racine double est \(r=\dfrac{-10}2=-5\).

La solution générale est \(y(x)=(k_1+k_2x)e^{-5x}\) avec \(k_1\) et \(k_2\) réels.

Exercice 1 - Question 3

Résoudre l'équation différentielle :

\[y"+2y'+5y=0\]

Exercice 1 - Réponse à la question 3

Le polynôme caractéristique est

\[x^2+2x+5=0.\]

Le discriminant est \(\Delta=4-20=-16\).

Les racines complexes sont \(r_1=\dfrac{-2+4i}2=-1+2i\) et \(r_2=\dfrac{-2-4i}2=-1-2i\).

La solution générale est \(y(x)=e^{-2x}(k_1\cos(2x)+k_2\sin(2x))\) avec \(k_1\) et \(k_2\) réels.