Title: Exercice 1 - Applications linéaires
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Algèbre linéaire

Composition de fonctions, inverses et noyaux pour des applications linéaires $$\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}^n$$ avec $$p=n$$ (endomorphismes).

Question 1

On considère les applications $$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$$ et $$g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$$ définies par :

$$f(x,y)=(x+2y,2x+y)$$ et $$g(x,y)=(x+y,2x+2y)$$

Montrer que les applications sont linéaires. Donner leurs matrices caractéristiques dans la base canonique de $$\mathbb{R}^2$$.

Réponse 1

Les deux applications renvoient un vecteur pour lequel chaque composante est une combinaison linéaire des variables $$x$$ et $$y$$, c'est à dire qui s'écrivent sous la forme $$ax+by$$. Les deux applications sont donc bien linéaires.

On appelle $$A$$ et $$B$$ les matrices caractéristiques de $$f$$ et $$g$$ respectivement dans la base canonique de $$\mathbb{R}^2$$. Ces deux matrices sont des matrices carrées de taille 2.

Première méthode pour trouver la matrice caractéristique d'une application linéaire $$\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}^n$$ exprimée dans la base canonique

Pour trouver $$A$$, nous allons calculer les images par ces applications des vecteurs de la base de l'espace de départ, à savoir $$(1,0)$$ et $$(0,1)$$. Les coordonnées de $$f(1,0)$$ formeront la première colonne de $$A$$, les coordonnées de $$f(0,1)$$ formeront la deuxième colonne de $$A$$. Même chose pour $$B$$, la première colonne sera donnée par $$g(1,0)$$ et la deuxième par $$g(0,1)$$.

On trouve $$f(1,0)=(1,2)$$ et $$f(0,1)=(2,1)$$. La matrice caractéristique de $$f$$ est donc

$$A=\left(\begin{array}{cc}1&2\\2&1\end{array}\right)$$

Seconde méthode pour trouver la matrice caractéristique d'une application linéaire $$\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}^n$$ exprimée dans la base canonique

La première ligne de $$A$$ correspond aux coefficients dans la première coordonnée du vecteur $$f(x,y)$$ (c'est à dire $$x+2y$$) devant $$x$$ puis devant $$y$$. Même chose, la seconde ligne de $$A$$ correspond aux coefficients devant $$x$$ puis devant $$y$$ dans $$2x+y$$.

Appliquée à $$g$$, on trouve sur la première ligne de $$B$$ 1 et 1 qui correspondent aux coefficients $$1x+1y$$, sur la seconde ligne 2 et 2 qui correspondent aux coefficients $$2x+2y$$. On a donc :

$$B=\left(\begin{array}{cc}1&1\\2&2\end{array}\right)$$

Question 2

Donner la matrice caractéristique de $$f+g$$.

Réponse 2

C'est $$A+B=\left(\begin{array}{cc}2&3\\4&3\end{array}\right)$$

Question 3

Donner la matrice caractéristique de $$3f$$.

Réponse 3

C'est $$3A=\left(\begin{array}{cc}3&6\\6&3\end{array}\right)$$

Question 4

Donner les matrices caractéristiques de $$f\circ g$$ et de $$g\circ f$$.

Réponse 4

La matrice caractéristique de $$f\circ g$$ est :

$$AB=\left(\begin{array}{cc}5&5\\4&4\end{array}\right)$$

La matrice caractéristique de $$g\circ f$$ est :

$$BA=\left(\begin{array}{cc}3&3\\6&6\end{array}\right)$$

Question 5

Calculer le noyau de $$f$$.

Réponse 5

On cherche $$(x,y)$$ tel que $$f(x,y)=(0,0)$$. On obtient le système :

$$\left\{\begin{array}{l}x+2y=0\\2x+y=0\end{array}\right.$$

ce qui nous donne $$x=y=0$$. On a donc $$\text{Ker}(f)={(0,0)}$$.

Question 6

L'application $$f$$ est-elle inversible ? Si oui donner la matrice caractéristique de $$f^{-1}$$.

Réponse 6

$$f$$ est inversible car c'est un endomorphisme de noyau réduit au vecteur nul.

On peut retrouver le résultat précédent par un calcul de déterminant. On sait que $$f$$ est inversible ssi $$A$$ l'est. On trouve $$|A|=-3\neq 0$$. $$A$$ est donc bien inversible.

La matrice caractéristique de $$f^{-1}$$ est $$A^{-1}$$. Le calcul d'inversion de $$A$$ nous donne

$$A^{-1}=(1/3)\left(\begin{array}{cc}-1&2\\2&-1\end{array}\right)$$

Question 7

Calculer le noyau de $$g$$.

Réponse 7

On cherche $$(x,y)$$ tel que $$g(x,y)=(0,0)$$. On obtient le système :

$$\left\{\begin{array}{l}x+y=0\\2x+2y=0\end{array}\right.$$

ce qui nous donne $$y=-x$$. Le noyau de $$g$$ est donc l'ensemble des vecteurs qui s'écrivent $$(x,-x)=x(1,-1)$$. On a donc $$\text{Ker}(g)=\text{Vect}((1,-1))$$.

Question 8

L'application $$g$$ est-elle inversible ? Si oui donner la matrice caractéristique de $$g^{-1}$$.

Réponse 8

$$g$$ est bien un endomorphisme, mais elle n'est pas inversible car son noyau est de dimension 1>0.

On peut retrouver le résultat précédent par un calcul de déterminant. On sait que $$g$$ est inversible ssi $$B$$ l'est. On trouve $$|B|=0$$. $$B$$ (et donc $$g$$) n'est donc pas inversible.