Title: Derivee usuelle
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb R\) vers \(\mathbb R\) par \(x\longrightarrow 3x^2-2x\). Quelle est la fonction dérivée de \(f\) ?
- \(f'(x)=6x\).
- \(f'(x) = 3x\).
- \(f'(x) = 3x-2\).
- \(f'(x)=6x-2\).
A: \(f'(x)=6x-2\).
Feedback: La dérivée d’une somme de fonction est la somme des dérivées des fonctions : \[(g+h)'=g'+h'\]. La dérivée du produit d’un nombre réel \(k\) par une fonction \(f\) est le produit du nombre par la dérivée de la fonction : \((kf)'=kf'\). Par ailleurs, la dérivée de \(g(x)=x^2\) est \(g'(x)=2x\) et celle de \(h(x)=2x\) est \(h'(x)=2\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb R\) vers \(\mathbb R\) par \(x\longrightarrow x^3-\frac 5 2x^2+3x\). Quelle est la fonction dérivée de \(f\) ?
- \(f'(x)=x^2-\frac{15}3x+3\).
- \(f'(x) = 2x^2-2x+3\).
- \(f'(x) = 3x^2-5x+3\).
- \(f'(x)=3x^2-\frac{15}3x+3\).
A: \(f'(x) = 3x^2-5x+3\).
Feedback: La dérivée d’une somme de fonction est la somme des dérivées des fonctions : \[(g+h)'=g'+h'\]. La dérivée du produit d’un nombre réel \(k\) par une fonction \(f\) est le produit du nombre par la dérivée de la fonction : \((kf)'=kf'\). Par ailleurs, la dérivée de \(m(x)=x^3\) est \(m'(x)=3x^2\), celle de \(g(x)=x^2\) est \(g'(x)=2x\) et celle de \(h(x)=2x\) est \(h'(x)=2\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb R\) vers \(\mathbb R\) par \(x\longrightarrow x^2-2e^x\). Quelle est la fonction dérivée de \(f\) ?
- \(f'(x)=x^2-2e^x\).
- \(f'(x)=x-2e^x\).
- \(f'(x)=x^2-e^x\).
- \(f'(x)=2(x-e^x)\).
A: \(f'(x)=2(x-e^x)\).
Feedback: La dérivée d’une somme de fonction est la somme des dérivées des fonctions : \[(g+h)'=g'+h'\]. La dérivée du produit d’un nombre réel \(k\) par une fonction \(f\) est le produit du nombre par la dérivée de la fonction : \((kf)'=kf'\). Par ailleurs, la dérivée de \(g(x)=x^2\) est \(g'(x)=2x\) et celle de \(h(x)=e^x\) est \(h'(x)=e^x\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb R\) vers \(\mathbb R\) par \(x\longrightarrow 2\cos(x) -3\sin(x)\). Quelle est la fonction dérivée de \(f\) ?
- \(f'(x)=2\cos(x) +3\sin(x)\).
- \(f'(x)=3\cos(x) -2\sin(x)\).
- \(f'(x)=2\cos(x) -3\sin(x)\).
- \(f'(x)=-3\cos(x) -2\sin(x)\).
A: \(f'(x)=-3\cos(x) -2\sin(x)\).
Feedback: La dérivée d’une somme de fonction est la somme des dérivées des fonctions : \[(g+h)'=g'+h'\]. La dérivée du produit d’un nombre réel \(k\) par une fonction \(f\) est le produit du nombre par la dérivée de la fonction : \((kf)'=kf'\). Par ailleurs, la dérivée de \(g(x)=\cos(x)\) est \(g'(x)=-\sin(x)\) et celle de \(h(x)=\sin(x)\) est \(h'(x)=\cos(x)\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb R\) vers \(\mathbb R\) par \(x\longrightarrow \cos(x) +2\sin(x)\). Quelle est la fonction dérivée de \(f\) ?
- \(f'(x)=2\cos(x) +\sin(x)\).
- \(f'(x)=\cos(x) -2\sin(x)\).
- \(f'(x)=2\cos(x) -\sin(x)\).
- \(f'(x)=-\cos(x) -2\sin(x)\).
A: \(f'(x)=2\cos(x) -\sin(x)\).
Feedback: La dérivée d’une somme de fonction est la somme des dérivées des fonctions : \[(g+h)'=g'+h'\]. La dérivée du produit d’un nombre réel \(k\) par une fonction \(f\) est le produit du nombre par la dérivée de la fonction : \((kf)'=kf'\). Par ailleurs, la dérivée de \(g(x)=\cos(x)\) est \(g'(x)=-\sin(x)\) et celle de \(h(x)=\sin(x)\) est \(h'(x)=\cos(x)\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb R^+\) vers \(\mathbb R\) par \(x\longrightarrow \frac 2 x-\log(x)\). Quelle est la fonction dérivée de \(f\) ?
- \(f'(x)=\frac 2{x^2} -\frac 1 x\).
- \(f'(x)=\frac 1{x^2} -\frac 1 x\).
- \(f'(x)=-\frac 4{x^2} +\frac 1 x\).
- \(f'(x)=-\frac 2{x^2} -\frac 1 x\).
A: \(f'(x)=-\frac 2{x^2} -\frac 1 x\).
Feedback: La dérivée d’une somme de fonction est la somme des dérivées des fonctions : \[(g+h)'=g'+h'\]. La dérivée du produit d’un nombre réel \(k\) par une fonction \(f\) est le produit du nombre par la dérivée de la fonction : \((kf)'=kf'\). Par ailleurs, la dérivée de \(g(x)=\frac 1 x\) est \(g'(x)=-\frac 1{x^2}\) et celle de \(h(x)=\log(x)\) est \(h'(x)=\frac 1 x\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb R^*\) vers \(\mathbb R\) par \(x\longrightarrow \frac 2{x^2} -\frac 1 x\). Quelle est la fonction dérivée de \(f\) ?
- \(f'(x)=\frac 2{x^3} -\frac 2 x\).
- \(f'(x)=-\frac 6{x^3} +\frac 1 {x^2}\).
- \(f'(x)=-\frac 4{x^2} +\frac 1 {x^2}\).
- \(f'(x)=-\frac 2{x^3} -\frac 1 {x^2}\).
A: \(f'(x)=-\frac 4{x^2} +\frac 1 {x^2}\).
Feedback: La dérivée d’une somme de fonction est la somme des dérivées des fonctions : \[(g+h)'=g'+h'\]. La dérivée du produit d’un nombre réel \(k\) par une fonction \(f\) est le produit du nombre par la dérivée de la fonction : \((kf)'=kf'\). Par ailleurs la dérivée de \(g(x)=\frac 1 x\) est \(g'(x)=-\frac 1{x^2}\) et celle de \(h(x)=\frac 1{x^2}\) est \(h'(x)=-\frac 3{x^3}\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb R\) vers \(\mathbb R\) par \(x\longrightarrow \cos (2x) -\sin(3x)\). Quelle est la fonction dérivée de \(f\) ?
- \(f'(x)=2\cos(2x) +3\sin(3x)\).
- \(f'(x)=3\cos(3x) -2\sin(2x)\).
- \(f'(x)=2\cos(2x) -3\sin(3x)\).
- \(f'(x)=-3\cos(3x) -2\sin(2x)\).
A: \(f'(x)=-3\cos(3x) -2\sin(2x)\).
Feedback: La dérivée d’une somme de fonction est la somme des dérivées des fonctions : \((g+h)'=g'+h'\). La dérivée de la fonction \(f(ax)\) pour \(a\) réel est \(af'(ax)\). Par ailleurs la dérivée de \(g(x)=\cos(x)\) est \(g'(x)=-\sin(x)\) et celle de \(h(x)=\sin(x)\) est \(h'(x)=\cos(x)\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb R^+\) vers \(\mathbb R\) par \(x\longrightarrow \sqrt{4x}\). Quelle est la fonction dérivée de \(f\) ?
- \(f'(x)=2\sqrt{4x}\).
- \(f'(x)=4\sqrt{4x}\).
- \(f'(x)=\frac 2{\sqrt{4x}}\).
- \(f'(x)=\frac 1{2\sqrt{4x}}\).
A: \(f'(x)=\frac 2{\sqrt{4x}}\).
Feedback: La dérivée de la fonction \(f(ax)\) pour \(a\) réel est \(af'(ax)\). Par ailleurs, la dérivée de \(g(x)=\sqrt{x}\) est \(g'(x)=\frac 1 {2\sqrt{x}}\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb R^+\) vers \(\mathbb R\) par \(x\longrightarrow e^{3x}+\log(2x)\). Quelle est la fonction dérivée de \(f\) ?
- \(f'(x)=\frac {e^{3x}} 3+ \frac 1 {2x}\).
- \(f'(x)=e^{3x} -\frac 1 x\).
- \(f'(x)=3e^{3x} \frac 1 {2x}\).
- \(f'(x)=3e^{3x} +\frac 1 x\).
A: \(f'(x)=3e^{3x} +\frac 1 x\).
Feedback: La dérivée d’une somme de fonction est la somme des dérivées des fonctions : \((g+h)'=g'+h'\). La dérivée de la fonction \(f(ax)\) est \(af'(ax)\). Par ailleurs la dérivée de \(g(x)=e^x\) est \(g'(x)=e^x\) et celle de \(h(x)=\log(x)\) est \(h'(x)=\frac 1 x\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb R^+\) vers \(\mathbb R\) par \(x\longrightarrow e^{x/2}+\sqrt{2x}\). Quelle est la fonction dérivée de \(f\) ?
- \(f'(x)=\frac {e^{x/2}} 2+ \frac 1 {2x}\).
- \(f'(x)=2{e^{x/2}} + \frac 1 {\sqrt{2x}}\).
- \(f'(x)=\frac {e^{x/2}} 2+ \frac 1 {\sqrt{2x}}\).
- \(f'(x)=2 {e^{x/2}} + \frac 1 {2\sqrt{2x}}\).
A: \(f'(x)=\frac {e^{x/2}} 2+ \frac 1 {\sqrt{2x}}\).
Feedback: La dérivée d’une somme de fonction est la somme des dérivées des fonctions : \((g+h)'=g'+h'\). La dérivée de la fonction \(f(ax)\) est \(kf'(ax)\). Par ailleurs la dérivée de \(g(x)=e^x\) est \(g'(x)=e^x\) et celle de \(g(x)=\sqrt{x}\) est \(g'(x)=\frac 1 {2\sqrt{x}}\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb R^+\) vers \(\mathbb R\) par \(x\longrightarrow e^{x/2}+\sqrt{x/2}\). Quelle est la fonction dérivée de \(f\) ?
- \(f'(x)=\frac {e^{x/2}} 2+ \frac 1 {4\sqrt{x/2}}\).
- \(f'(x)=2{e^{x/2}} + \frac 1 {\sqrt{x/2}}\).
- \(f'(x)=\frac {e^{x/2}} 2+ \frac 1 {\sqrt{x/2}}\).
- \(f'(x)=2 {e^{x/2}} + \frac 1 {2\sqrt{x/2}}\).
A: \(f'(x)=\frac {e^{x/2}} 2+ \frac 1 {4\sqrt{x/2}}\).
Feedback: La dérivée d’une somme de fonction est la somme des dérivées des fonctions : \((g+h)'=g'+h'\). La dérivée de la fonction \(f(kx)\) est \(kf'(kx)\). Par ailleurs la dérivée de \(g(x)=e^x\) est \(g'(x)=e^x\) et celle de \(g(x)=\sqrt{x}\) est \(g'(x)=\frac 1 {2\sqrt{x}}\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb R^+\) vers \(\mathbb R\) par \(x\longrightarrow \cos(x\pi/2)+\log(x/2)\). Quelle est la fonction dérivée de \(f\) ?
- \(f'(x)=\frac {2\sin(x\pi/2)}\pi+\frac 2 x\).
- \(f'(x)=\frac {\pi\sin(x\pi/2)}2-\frac 1 x\).
- \(f'(x)=\frac {2\sin(x\pi/2)}\pi+\frac 1{2x}\).
- \(f'(x)=-\frac {\pi\sin(x\pi/2)}2+\frac 1 x\).
A: \(f'(x)=-\frac {\pi\sin(x\pi/2)}2+\frac 1 x\).
Feedback: La dérivée d’une somme de fonction est la somme des dérivées des fonctions : \((g+h)'=g'+h'\). La dérivée de la fonction \(f(kx)\) est \(kf'(kx)\). Par ailleurs, la dérivée de \(g(x)=\cos(x)\) est \(g'(x)=-\sin(x)\) et celle de \(g(x)=\log{x}\) est \(g'(x)=\frac 1 x\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb R^+\) vers \(\mathbb R\) par \(x\longrightarrow -\frac{x^3}3+\log(4x+1)\). Quelle est la fonction dérivée de \(f\) ?
- \(f'(x)=x^2+\frac 1 {4x+1}\).
- \(f'(x)=-x^2+\frac 4 {4x+1}\).
- \(f'(x)=-x^2+\frac 4 {4x+1}\).
- \(f'(x)=-3x^2+\frac 4 {4x+1}\).
A: \(f'(x)=-x^2+\frac 4 {4x+1}\).
Feedback: La dérivée d’une somme de fonction est la somme des dérivées des fonctions : \((g+h)'=g'+h'\). La dérivée de la fonction \(f(ax+b)\) est \(af'(ax+b)\). Par ailleurs, la dérivée de \(g(x)=x^3\) est \(g'(x)=3x^2\) et celle de \(g(x)=\log{x}\) est \(g'(x)=\frac 1 x\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb R^+\) vers \(\mathbb R\) par \(x\longrightarrow (2x+1)^5+e^{4x+1}\). Quelle est la fonction dérivée de \(f\) ?
- \(f'(x)=2(2x+1)^5+ (4x+1) e^{4x+1}\).
- \(f'(x)=(2x+1)^4+ 4 e^{4x+1}\).
- \(f'(x)=10(2x+1)^4+4 e^{4x+1}\).
- \(f'(x)=5x^4+4 e^{4x+1}\).
A: \(f'(x)=10(2x+1)^4+4 e^{4x+1}\).
Feedback: La dérivée d’une somme de fonction est la somme des dérivées des fonctions : \((g+h)'=g'+h'\). La dérivée de la fonction \(f(ax+b)\) est \(af'(ax+b)\). Par ailleurs, la dérivée de \(g(x)=x^5\) est \(g'(x)=5x^4\) et celle de \(g(x)=e^x\) est \(g'(x)=e^x\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto{x|x|}\).
- La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).
- \(\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x) = 1|x| + x|1|\).
- \(\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x) = 2|x|\).
A: \(\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x) = 2|x|\).
Feedback: Soit \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\), on a : \(D_{f} = \mathbb{R}\). Par ailleurs : \[\begin{align}f(x)= x^{2} \ {si} \ x>0 \\ &=0 \ {si} \ x = 0 \\ $= -x^{2} \ {si} \ x<0. \end{align}\] La fonction \(f\) est donc dérivable sur \(\mathbb{R}_{-}^{*}\) et sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\). De plus on a : \[\forall x \in \mathbb{R}_{-}^{*}, f'(x) = -2x.\] \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, f'(x) = 2x.\] En outre on a : \[\begin{align} \lim_{x \to 0} { \frac{f(x)-f(0)}{x-0}} = &\ { \lim_{x \to 0} {\frac{ x|x|-0}{x-0}} }\\ = &\ {\ \lim_{x \to 0}{|x|} }\\ = &\ 0. \end{align}\] On en déduit que la fonction \(f\) est dérivable en 0 et on a \(f'(0) = 0\). En conclusion, la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^{*}\) et en 0, elle est donc dérivable sur \(\mathbb{R}\). De plus on a : \[f'(x)={ \left \{ \begin{array}{ccc} 2x &\ \mbox{si} &\ x>0 \\ 0 &\ \mbox{si} &\ x = 0 \\ -2x &\ \mbox{si} &\ x<0 \end{array} \right . }.\] On en déduit que : \(\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x) = 2|x|\).