Title: Exercice 1 - trinôme
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Nombres et Géométrie

Question 1

Pour tout $$x$$ différent de $$3$$ on définit la fonction $$h$$ par :

$$h(x)=2x+\frac{4}{x-3}$$.

Écrire $$h$$ sous la forme $$h(x)=\frac{g}{x-3}$$ avec $$g$$ une fonction trinôme.

Correction question 1

Pour tout $$x$$ différent de $$3$$ on a $$h(x)=\frac{2x\times(x-3)+4}{x-3}=\frac{2x^2-3x+4}{x-3}$$. Ainsi la fonction $$g$$ est  définie par $$g(x)=2x^2-3x+4$$.

Question 2

Combien $$g$$ admet-elle de racines réelles ? Le cas échéant déterminez-les.

Correction Question 2

Le discriminant de la fonction $$g$$ est :

$$\Delta=(-3)^2-4\times 2\times 4= -23<0$$

La fonction $$g$$ n'admet donc pas de racine réelle.

Question 3

En déduire le tableau de signe de $$h$$.

Correction Question 3

Comme le trinôme $$g(x)$$ n'admet pas de racine, il est du signe du coefficient $$a=2$$, c'est-à-dire positif pour tout $$x$$. On obtient le tableau de signe suivant :

 | $$-\infty$$ | 3 | $$+\infty$$
$$g(x)$$ | $$+$$ | $$+$$ | $$+$$
$$x-3$$ | $$-$$ | $$0$$ | $$+$$
$$h(x)$$ | $$-$$ | $$\vert\vert$$ | $$+$$