Title: Exercice 1 - Opérations sur les matrices
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Algèbre linéaire

Question 1

Calculer $$A+B$$ pour $$A=\left(\begin{array}{cc}2 & 3\\0 & -1\\\end{array}\right)$$ et $$B=\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\2 & 2\\\end{array}\right)$$.

Réponse 1

Les deux matrices sont de même dimension, il est donc possible de les sommer. Le résultat est la matrice de même dimension (2 lignes et 2 colonnes) :

$$A+B=\left(\begin{array}{cc}2+1 & 3+1\\0+2 & -1+2\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3 & 4\\2 & 1\\\end{array}\right)$$.

Question 2

Exprimer $$A^T$$ pour $$A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 3\\0 & -1 \\\end{array}\right)$$.

Réponse 2

Le résultat est la matrice à 2 lignes et 2 colonnes dont les lignes sont les colonnes de $$A$$ (de manière équivalente, les colonnes sont les lignes de $$A$$)

$$A^T=\left(\begin{array}{cc}2 & 0\\3 & -1 \\\end{array}\right)$$.

Question 3

Calculer $$AB$$ pour $$A=\left(\begin{array}{cc}2 & 3\\0 & -1\\\end{array}\right)$$ et $$B=\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\2 & 2\\\end{array}\right)$$.

Réponse 3

Le produit $$AB$$ est défini car le nombre de colonne de la première matrice ($$A$$) est égal au nombre de lignes de la seconde ($$B$$). Le résultat est la matrice à 2 lignes (nombre de lignes de $$A$$) et 2 colonnes (nombre de colonnes de $$B$$)

$$AB=\left(\begin{array}{cc}2\times 1+3\times 2 & 2\times 1+3\times 2\\    0\times 1+(-1)\times 2 & 0\times 1+(-1)\times 2\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8 & 8\\-2 & -2\\\end{array}\right)$$.

Question 4

Calculer $$A^3$$ pour $$A=\left(\begin{array}{cc}2 & 3\\0 & -1\\\end{array}\right)$$.

Réponse 4

Il suffit de réaliser le double produit matriciel $$A^3=A\times A\times A$$. La multiplication matricielle étant associative :

$$A^3=(A\times A)\times A=\left(\begin{array}{cc}8 & 9\\0 & -1\\\end{array}\right)$$.

Question 5

Calculer $$A(A+B)^T$$ pour $$A=\left(\begin{array}{cc}2 & 3\\0 & -1\\\end{array}\right)$$ et $$B=\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\2 & 2\\\end{array}\right)$$.

Réponse 5

On peut trouver le résultat en calculant directement le produit de $$A$$ par $$(A+B)^T$$ ou en le développant au préalable $$A(A+B)^T=A(A^T+B^T)=AA^T+AB^T$$. On trouve :
$$A(A+B)^T=\left(\begin{array}{cc}18 & 7\\-4 & -1\\\end{array}\right)$$.