Title: Algèbre linéaire
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Cette partie présente le calcul matriciel et les définitions et propriétés des espaces vectoriels.

Calcul matriciel

Définition et notation des matrices

- déterminer les dimensions d'une matrice rectangulaire
- utiliser les indices de lignes et de colonne
- reconnaître les formes particulières de matrices (diagonales, triangulaires, symétriques et antisymétriques)

Test initial
Leçon
Test final

Opérations sur les matrices

- Savoir calculer la somme de deux matrices, la transposée d'une matrice, la multiplication d'une matrice par un scalaire, le produit de deux matrices, la puissance d'une matrice
- Connaître les propriétés des opérateurs sur les matrices
- Savoir effectuer un calcul matriciel incluant plusieurs opérations incluant : somme, transposée, multiplication par un scalaire, produit, puissance

Test initial
Rappels
Exercice 1
Exercice 2
Test final

Déterminants

- Savoir calculer le déterminant d'une matrice carrée de taille quelconque

Test initial
Rappels
Exercice 1
Exercice 2
Test final

Inverse d'une matrice

- Savoir vérifier si deux matrices sont inverses l'une de l'autre
- Savoir identifier si une matrice est inversible à l'aide d'un calcul de déterminant
- Savoir calculer l'inverse d'une matrice via la comatrice
- Savoir résoudre un système d'équations linéaires par un calcul matriciel

Test initial
Rappels
Exercice 1
Exercice 2
Test final

Diagonalisation d'une matrice

- Savoir calculer les valeurs propres d'une matrice
- Savoir déterminer les espaces propre d'une matrice

Test initial
Leçon
Test final

Espaces vectoriels réels de dimension finie

Opérations vectorielles et sous-espaces dans \(\mathbb{R}^n\)

- Connaître les opérations sur \(\mathbb{R}^n\).
- Savoir calculer les combinaisons linéaires.
- Savoir caractériser les sous-espaces vectoriels.

Test initial
Leçon
Test final

Deux exercices pour visualiser la somme et la différence de deux vecteurs :

Somme de deux vecteurs
Différence de deux vecteurs

Bases et dimension d'un espace vectoriel

- Connaître les définitions d'une famille libre, d'une famille génératrice de vecteurs, d'une base, de la dimension d'un sous-espace vectoriel
- Savoir vérifier par le calcul si une famille de vecteurs forme une base de $$\mathbb{R}^n$$
- Savoir calculer les coordonnées  d'un vecteur dans une base de $$\mathbb{R}^n$$

Test initial
Leçon
Test final

Produit scalaire et orthogonalité

- Savoir calculer un produit scalaire et une norme.
- Savoir caractériser l'orthogonalité des  sous-espaces vectoriels.

Test initial
Leçon
Test final

Un  exercice pour estimer visuellement le produit scalaire de deux vecteurs :

Produit scalaire de deux vecteurs

Applications linéaires de $$\mathbb{R}^p$$ dans $$\mathbb{R}^n$$

- Connaître la définition d'une application linéaire (AL) et la terminologie associée (morphisme, endomorphisme, isomorphisme, noyau, image)
- Savoir identifier si une application $$\mathbb{R}^p\to \mathbb{R}^n$$ est linéaire et savoir exprimer sa matrice caractéristique dans les bases canoniques de $$\mathbb{R}^p$$ et de $$\mathbb{R}^n$$
- Connaître l'équivalent matriciel de la somme de deux AL, la multiplication d'une AL par un scalaire, la composée de deux AL, l'inverse d'une AL
- Savoir calculer le noyau d'une AL $$\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}^n$$

Test initial
Rappels
Exercice 1
Exercice 2
Test final

Changement de base dans $$\mathbb{R}^n$$

- Savoir exprimer la matrice de passage entre deux bases de $$\mathbb{R}^n$$
- Savoir transformer les coordonnées d'un vecteur exprimé dans une base de $$\mathbb{R}^n$$ dans une nouvelle base de $$\mathbb{R}^n$$
- Savoir exprimer la matrice caractéristique d'une application linéaire $$\mathbb{R}^p\to \mathbb{R}^n$$ dans des bases quelconques de $$\mathbb{R}^p$$ et de $$\mathbb{R}^n$$

Test initial
Rappels
Exercice 1
Exercice 2
Test final