Title: operations et sous espace
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(1,0,2)\) et \(\vec y=(2,1,3)\). Calculez le vecteur \((a,b,c)\) tel que

\[2\vec x-3\vec y=(a,b,c)\]

Entrez la valeur de \(a\) : [...]

Entrez la valeur de \(b\) : [...]

Entrez la valeur de \(c\) : [...]
A: -3; -3; -3
Feedback: On calcule : \((a,b,c)=2(1,0,2)-3(2,1,3)=(3,0,6)-(6,3,9)=(-3,-3,-3)\).

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(1,-1,2)\) et \(\vec y=(-2,1,3)\). Calculez le vecteur \((a,b,c)\) tel que

\[2\vec x+\vec y=(a,b,c)\]

Entrez la valeur de \(a\) : [...]

Entrez la valeur de \(b\) : [...]

Entrez la valeur de \(c\) : [...]
A: 0; -1; 7
Feedback: On calcule : \((a,b,c)=2(1,-1,2)+(-2,1,3)=(2,-2,4)+(-2,1,3)=(0,-1,7)\).

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(1,0,2,0)\) et \(\vec y=(2,1,3,1)\). Calculez le vecteur \((a,b,c,d)\) tel que

\[3\vec x+2\vec y=(a,b,c,d)\]

Entrez la valeur de \(a\) : [...]

Entrez la valeur de \(b\) : [...]

Entrez la valeur de \(c\) : [...]

Entrez la valeur de \(d\) : [...]
A: 7; 2; 12; 2
Feedback: On calcule : \((a,b,c,d)=3(1,0,2,0)+2(2,1,3,1)=(3,0,6,0)+(4,2,6,2)=(7,2,12,2)\).

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(1,1,2)\) et \(\vec y=(2,1,3)\). Calculez le nombre \(a\) tel que \(\vec x+a\cdot\vec y=(5,3,8)\)

Quelle est la valeur de \(a\) ?
A: 2
Feedback: On calcule \(\vec x+a\cdot\vec y=(1+2a,1+a,2+3a)\). Le nombre \(a\) doit donc vérifier trois égalités correspondant aux trois composantes : \[ \left\{\begin{array} {rcl} 1+2a&=& 5\\ 1+a&=&3\\ 2+3a&=& 8 \end{array} \right. \] La première égalité donne \(a=2\). Les deux suivantes sont satisfaites pour \(a=2\).

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(1,1,0)\) et \(\vec y=(2,1,2)\). Calculez les nombres \(a\) et \(b\) tels que \(a\cdot\vec x+b\cdot\vec y=(6,4,4)\).

Entrez la valeur de \(a\) : [...] Entrez la valeur de \(b\) : [...]
A: 2; 2
Feedback: On calcule \(a\cdot\vec x+b\cdot\vec y=(a+2b,a+b,2b)\). Les nombres \(a\) et \(b\) doivent donc vérifier trois égalités correspondant aux trois composantes : \[ \left\{\begin{array} {rcl} a+2b&=& 6\\ a+b&=&4\\ 2b&=& 4 \end{array} \right. \] La troisième égalité donne \(b=2\). La deuxième donne \(a=2\). La première est bien satisfaite pour ces deux valeurs.

Q: On considère les vecteurs \(\vec x=(1,1,0,1)\), \(\vec y=(2,1,1,0)\) et \(\vec z=(2,1,2,0)\). Calculez les nombres \(a\), \(b\) et \(c\) tels que \(a\cdot\vec x+b\cdot\vec y=(3,2,0,1)\).

Entrez la valeur de \(a\) : [...] Entrez la valeur de \(b\) : [...] Entrez la valeur de \(c\) : [...]
A: 1; 2; -1
Feedback: On calcule \(a\cdot\vec x+b\cdot\vec y+c\cdot\vec z=(a+2b+2c,a+b+c,b+2c,a)\). Les nombres \(a\) et \(b\) doivent donc vérifier quatre égalités correspondant aux quatre composantes : \[ \left\{\begin{array} {rcl} a+2b+2c&=& 3\\ a+b+c&=&2\\ b+2c&=&0\\ a&=& 1 \end{array} \right. \] La quatrième égalité donne \(a=1\). La deuxième donne \(b+c=1\). La troisième donne \(b+2c=0\). Si on soustrait la troisième à la deuxième on obtient \(c=-1\). La troisième donne alors \(b=2\). On vérifie que la première égalité est bien satisfaite pour ces trois valeurs.

Q: On considère l’ensemble \(E\) des vecteurs \(\vec x=(a,b,c,d)\) de \(\mathbb{R}^4\), tel que \(a+b+c+d=1\). Cochez les affirmations correctes :
- \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^4\).
- \((1,0,-1,1)\in E\).
- \(\vec 0 \in E\)
- \(E\) est un sous-ensemble de \(\mathbb{R}^4\).
- Les éléments de \(E\) sont des vecteurs de \(\mathbb{R}^4\).
A: \((1,0,-1,1)\in E\).; \(E\) est un sous-ensemble de \(\mathbb{R}^4\).; Les éléments de \(E\) sont des vecteurs de \(\mathbb{R}^4\).
Feedback: \(E\) contient des vecteurs de \(\mathbb{R}^4\) qui vérifient une certaine propriété, donc c’est un sous-ensemble de \(\mathbb{R}^4\). Comme \(\vec 0=(0,0,0,0)\), la somme de ses composantes vaut 0, donc \(\vec 0\) n’appartient pas à \(E\). Donc \(E\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^4\). On vérifie que \((1,0,-1,1)\in E\).

Q: On considère l’ensemble \(E\) des vecteurs \(\vec x=(a,b,c,d)\) de \(\mathbb{R}^4\), tel que \(a+c+d=0\). Cochez les affirmations correctes :
- \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^4\).
- \((1,0,-1,1)\in E\).
- \(\vec 0 \in E\).
- \(E\) est un sous-ensemble de \(\mathbb{R}^4\).
- Les éléments de \(E\) sont des vecteurs de \(\mathbb{R}^4\).
A: \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^4\).; \(\vec 0 \in E\).; \(E\) est un sous-ensemble de \(\mathbb{R}^4\).; Les éléments de \(E\) sont des vecteurs de \(\mathbb{R}^4\).
Feedback: \(E\) contient des vecteurs de \(\mathbb{R}^4\) qui vérifient une certaine propriété, donc c’est un sous-ensemble de \(\mathbb{R}^4\). Comme \(\vec 0=(0,0,0,0)\), la somme des première, troisième et quatrième composante vaut 0, donc \(\vec 0\) appartient à \(E\). Pour \((1,0,1,-1)\), la somme des première, troisième et quatrième composante vaut 1, donc \((1,0,1,-1)\) n’appartient pas à \(E\). Soit \(\vec x=(a,b,c,d)\) et \(\vec y=(a',b',c',d')\) éléments de \(E\). On a \(a+c+d=0\) et \(a'+c'+d'=0\). Soit \(\vec w\) une combinaison linéaire de \(\vec x\) et \(\vec y\) : \(\vec w =s\cdot \vec x+t\cdot \vec y\). On a \(\vec w =s\cdot(a,b,c,d)+t\cdot (a',b',c',d')=(sa+ta',sb+tb',sc+tc',sd+td')\). La somme des première deuxième et quatrième composantes de \(\vec w\) vaut \(sa+ta'+sb+tb'+sd+td'=s(a+c+d)+t(a'+c'+d')=0\) Donc \(\vec w \in E\). \(E\) est stable par combinaison linéaire donc \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^4\).

Q: On considère l’ensemble \(E\) des vecteurs \(\vec x=(a,b,c,d)\) de \(\mathbb{R}^4\), tel que \(a+d^2=0\). Cochez les affirmations correctes :
- \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^4\).
- \((1,0,-1,1)\in E\).
- \(\vec 0 \in E\).
- \(E\) est un sous-ensemble de \(\mathbb{R}^4\).
- Les éléments de \(E\) sont des vecteurs de \(\mathbb{R}^4\).
A: \(\vec 0 \in E\).; \(E\) est un sous-ensemble de \(\mathbb{R}^4\).; Les éléments de \(E\) sont des vecteurs de \(\mathbb{R}^4\).
Feedback: \(E\) contient des vecteurs de \(\mathbb{R}^4\) qui vérifient une certaine propriété, donc c’est un sous-ensemble de \(\mathbb{R}^4\). Comme \(\vec 0=(0,0,0,0)\), la somme de la première et du carré de la quatrième composante vaut 0, donc \(\vec 0\) appartient à \(E\). Pour \((1,0,1,-1)\), la somme de la première et du carré de la quatrième composante vaut 1, donc \((1,0,1,-1)\) n’appartient pas à \(E\). On vérifie facilement que \(\vec x=(-1,0,0,1)\) et \(\vec y=(-4,0,0,2)\) sont éléments de \(E\). Soit \(\vec w = \vec x+\vec y\). On a \(\vec w =(-5,0,0,3)\). On vérifie facilement que \(\vec w\) n’appartient pas à \(E\). \(E\) n’est pas stable par combinaison linéaire donc \(E\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^4\).

Q: On considère \(E\) et \(F\), deux sous espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^n\).

\(G=E\cap F\) est-il un sous espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\) ? (V pour vrai, F pour faux)
A: V
Feedback: Par définition on sait que \(\vec 0\) est élément de \(E\) et \(F\), donc élément de \(G\). Soit \(\vec u\) une combinaison linéaire de deux éléments \(\vec x\) et \(\vec y\) de \(G\). \(\vec x\) et \(\vec y\) sont deux éléments de \(E\) donc \(\vec u\) est un élément de \(E\). \(\vec x\) et \(\vec y\) sont aussi deux éléments de \(F\) donc \(\vec u\) est un élément de \(F\). Donc \(\vec u\) est élément de \(G\). \(G\) est stable par combinaison linéaire donc c’est un sous-espace vectoriel.

Q: On considère \(E\) et \(F\), deux sous espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^n\). On suppose de plus que \(E\) n’est pas inclus dans et \(F\) n’est pas inclus dans \(E\).

\(G=E\cup F\) est-il un sous espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\) ? (V pour vrai, F pour faux)
A: F
Feedback: Soit \(\vec x\) un élémnt de \(E\) qui n’appartient pas à \(F\) et \(\vec y\) un élémnt de \(F\) qui n’appartient pas à \(E\). \(\vec x\) et \(\vec y\) sont deux éléments de \(G\). On montre que \(\vec w=\vec x+\vec y\) n’appartient pas à \(G\). Si \(\vec w\) appartient à \(E\) alors comme \(-vec x\) appartient à \(E\), la somme \(vec w -vec x\) appartient à \(E\); mais \(vec w -vec x=\vec x+\vec y-\vec x=\vec y\) et \(\vec y\) n’appartient pas à \(E\) par hypothèse. Si \(\vec w\) appartient à \(F\) alors comme \(-vec y\) appartient à \(F\), la somme \(vec w -vec y\) appartient à \(F\); mais \(vec w -vec y=\vec x+\vec y-\vec y=\vec x\) et \(\vec x\) n’appartient pas à \(F\) par hypothèse. Donc \(\vec w\) n’appartient pas à \(G\). \(G\) n’est pas stable par combinaison linéaire donc ce n’est pas un sous-espace vectoriel.

Q: On considère \(E\) et \(F\), deux sous espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^n\). On définit \(G=E+F\) comme le sous-ensemble des vecteurs qui sont la somme d’un vecteur de \(E\) et d’un vecteur de \(F\).

\(G=E+F\) est-il un sous espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\) ? (V pour vrai, F pour faux)
A: V
Feedback: Par définition, on sait que \(\vec 0\) est élément de \(E\) et \(F\), et on peut écrire \(\vec 0=\vec 0+\vec 0\) donc \(\vec 0\) est élément de \(G\). Soit deux éléments \(\vec x\) et \(\vec y\) de \(G\). Par définition il existe deux vecteurs \(\vec x_1\in E\) et \(\vec x_2\in F\) tels que \(\vec x=\vec x_1+\vec x_2\) et deux vecteurs \(\vec y_1\in E\) et \(\vec y_2\in F\) tels que \(\vec y=\vec y_1+\vec y_2\). Soit une combinaison linéaire \(\vec u=a\cdot\vec x+b\cdot\vec y\). On a \(\vec u=a\cdot(\vec x_1+\vec x_2)+b\cdot(\vec y_1+\vec y_2)=a\cdot \vec x_1+b\cdot\vec y_1+a\cdot\vec x_2+b\cdot \vec y_2\). Or \(a\cdot \vec x_1+b\cdot\vec y_1\) est un élément de \(E\) et \(a\cdot\vec x_2+b\cdot \vec y_2\) est un élément de \(F\). Donc \(\vec u\) est élément de \(G\). \(G\) est stable par combinaison linéaire donc c’est un sous-espace vectoriel.

Q: On considère l’ensemble \(E\) des vecteurs de \(\mathbb{R}^3\) dont la deuxième composante est nulle, soit les vecteurs de la forme \((a,0,b)\).

\(E\) est-il un sous espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\) ? (V pour vrai, F pour faux)
A: V
Feedback: On vérifie que \(\vec 0=(0,0,0)\) est élément de \(E\). Soit deux éléments \(\vec x=(a,0,b)\) et \(\vec y=(c,0,d)\) de \(E\). Soit une combinaison linéaire \(\vec u=s\cdot\vec x+s\cdot\vec y\). On a \(\vec u=(sa+tc,0,sb+td)\). Donc \(\vec u\) est élément de \(E\). \(E\) est stable par combinaison linéaire donc c’est un sous-espace vectoriel.

Q: On considère l’ensemble \(E\) des vecteurs de \(\mathbb{R}^3\) dont la première composante est égale à 1, soit les vecteurs de la forme \((1,a,b)\).

\(E\) est-il un sous espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\) ? (V pour vrai, F pour faux)
A: F
Feedback: On vérifie que \(\vec 0=(0,0,0)\) n’est pas élément de \(E\). Donc \(E\) n’est pas un sous-espace vectoriel.

Q: On considère l’ensemble \(E\) des vecteurs de \(\mathbb{R}^3\) dont la première et la troisième composante est égale à 0, soit les vecteurs de la forme \((0,a,0)\).

\(E\) est-il un sous espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\) ? (V pour vrai, F pour faux) : ##ANSWER1##
A: V
Feedback: On vérifie que \(\vec 0=(0,0,0)\) est élément de \(E\). Soit deux éléments \(\vec x=(0,a,0)\) et \(\vec y=(0,b,0)\) de \(E\). Soit une combinaison linéaire \(\vec u=s\cdot\vec x+s\cdot\vec y\). On a \(\vec u=(0,sa+tb,0)\). Donc \(\vec u\) est élément de \(E\). \(E\) est stable par combinaison linéaire donc c’est un sous-espace vectoriel.