Title: Ressource - Produits scalaires
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Algèbre linéaire

Références de rappels de cours

Produit scalaire de deux vecteurs dans \(\mathbb {R}^n\).

Le produit scalaire de deux vecteurs de \(\mathbb {R}^n\) est un nombre réel. Il se calcule à partir des composantes des vecteurs.
Soit \(\vec x=( x_1,\ldots, x_n)\) et \(\vec y=( y_1,\ldots, y_n)\). Le produit scalaire \(\vec x \cdot  \vec y\) est défini par
 \[\vec x \cdot  \vec y=x_1y_1+\cdots+x_ny_n\].

Propriétés :
- Le produit scalaire est symétrique : \(\vec x \cdot  \vec y=\vec y \cdot  \vec x\).
- Le produit scalaire est linéaire par rapport au premier et  au second vecteur. Pour \(a\) et \(b\) réels :
\[(a\vec x_1+b\vec x_2) \cdot  \vec y=a\vec x_1\cdot  \vec y+b\vec x_2 \cdot \vec y\]
\[ \vec x\cdot  (a\vec y_1+b\vec y_2)=a\vec x\cdot  \vec y_1+b\vec x \cdot \vec y_2\]

Interprétation géométrique : le produit scalaire est égal au produit des deux longueurs des vecteurs par le cosinus de l'angle formé par les deux vecteurs. Il peut être positif, nul ou négatif.

Vecteurs orthogonaux dans \(\mathbb {R}^n\).

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Remarque : le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs. C'est le seul vecteur qui est orthogonal à lui-même.

Interprétation géométrique : deux vecteurs non nuls sont orthogonaux s'ils forment un angle droit.

Norme d'un vecteur de \(\mathbb {R}^n\)

La norme d'un vecteur de \(\mathbb {R}^n\) est un nombre positif. Il se calcule à partir des composantes du vecteur.
Soit \(\vec x=( x_1,\ldots, x_n)\) . La norme \(\|\vec x \|\) est défini par
 \[\|\vec x \|=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}\].

Remarque : le vecteur nul est  le seul vecteur  dont la norme est nulle.

Propriétés :
- \(\|a\vec x\|=|a|\|\vec x\|\).
- \(\|\vec x+\vec y\|\leq\|\vec x\|+\|\vec y\|\).

Interprétation géométrique : la norme est égale à la longueur du vecteur.

Base orthonormée de \(\mathbb {R}^n\)

Soit \(\mathcal {B}=(\vec e_1,\ldots, \vec e_n)\) une base de \(\mathbb {R}^n\). La base \(\mathcal {B}\) est dite orthonormée si et seulement si
- tous les vecteurs de la base ont une norme égale à 1
- tous les couples de vecteurs différents de la base sont orthogonaux

Remarque : la base canonique de  \(\mathbb {R}^n\) est orthonormée.

Propriété :  dans une base orthonormée, le produit scalaire se calcule à partir des coordonnées des vecteurs avec la même formule:
Si \(\vec u=u_1\vec e_1+ \cdots+u_n\vec e_n\) et  \(\vec v=v_1\vec e_1+ \cdots+v_n\vec e_n\) alors
 \[\vec u \cdot  \vec v=u_1v_1+\cdots+u_nv_n\].
Attention : Cette propriété est fausse dans une base quelconque.
Si \(\mathcal {B'}=(\vec x_1,\ldots, \vec x_n)\)  et\(\vec u=u_1\vec e_1+ \cdots+u_n\vec e_n\) et  \(\vec v=v_1\vec e_1+ \cdots+v_n\vec e_n\) alors en utilisant deux fois la linéarité :
\[ \vec u \cdot  \vec v=u_1\vec x_1\cdot \vec v+\cdots+u_n\vec x_n\cdot \vec v\]
\[ \vec u \cdot  \vec v=u_1\vec x_1\cdot (v_1 \vec x_1+\cdots+v_n\vec x_n)+\cdots+u_n\vec x_n\cdot (v_1 \vec x_1+\cdots+v_n\vec x_n)\]
\[ \vec u \cdot  \vec v=u_1v_1\vec x_1\cdot \vec x_1+u_1v_2\vec x_1\cdot \vec x_2+\cdots+u_nv_n\vec x_n\cdot \vec x_n\]

Sous-espaces vectoriels orthogonaux

Deux sous-espaces vectoriels   \(E\) et \(F\) sont orthogonaux si et seulement si tous les vecteurs de \(E\) sont orthogonaux aux vecteurs de \(F\).

Propriété :
- Deux sous-espaces vectoriels  orthogonaux ont une intersection réduite au vecteur nul.
- Deux sous espaces sont orthogonaux si et seulement si les vecteurs d'une base du premier sont orthogonaux aux vecteurs d'une base du second.

Espace orthogonal d'un sous-espace vectoriel

Soit \(E\) un sous-espace de \(\mathbb {R}^n\). Il existe un unique sous-espace supplémentaire de \(E\) qui  est orthogonal à \(E\). On le nomme orthogonal de \(E\).

Ex 1 - Question 1

Soit \(\vec x=(1,0, 2)\), \(\vec y=(1,1, 1 )\) et \(\vec z=(0,2, 1 )\).

Calculer \(a \) tel que \(\vec u=\vec y +a\vec x\) soit orthogonal à \(\vec x\).

Ex 1 - Réponse à la question 1

Par définition \(\vec u=(1+a,1,1+2a)\). Le produit scalaire de \(\vec x\) avec \(\vec u\) est
\[\vec x\cdot\vec u=1\cdot(1+a)+0\cdot 1+2\cdot(1+2a)=3+5a\].
Les vecteurs sont orthogonaux si ce produit scalaire est nul soit pour \(a=-3/5\).
On a \(\vec u=(2/5,1,-1/5)\).

Ex 1 - Question 2

Soit \(\vec x=(1,0, 2)\), \(\vec y=(1,1, 1 )\) et \(\vec z=(0,2, 1 )\).

Calculer \(b \)  et \(c\) tels que \(\vec v=\vec z +b\vec y+c\vec x\) soit orthogonal à \(\vec x\) et à \(\vec y\).

Ex 1 - Réponse à la question 2

On a  \(\vec v=(b+c,2+b,1+b+2c)\); \(\vec y=(1,1, 1 )\) et \(\vec z=(0,2, 1 )\).
On calcule \(\vec v\cdot \vec x=b+c+2(1+b+2c)=3b+5c+2\) et \(\vec v\cdot \vec y=b+c+2+b+1+b+2c=3b+3c+3\)
Ces deux produits doivent être nuls donc
\[\left\{\begin{array} {rcl}
3b+5c+2&=& 0\\
3b+3c+3&=&0
\end{array}
 \right.\]
En soustrayant la deuxième équation à la première on obtient \(2c-1=0\), soit \(c=1/2\). La deuxième donne alors \(3b+9/2=0\) d'où \(b=-3/2\).
On a alors \(\vec v=(-1,1/2,1/2)\).

Ex 1 - Question 3

Utiliser les questions précédentes pour construire une base orthonormée de \(\mathbb {R}^n\).

Ex 1 - Réponse à la question 3

On sait que \(\vec x\) et \(\vec u\) sont orthogonaux et que \(\vec x\) et \(\vec v\) sont orthogonaux.

D'autre part \(\vec v\) est orthogonal à \(\vec x\) et à \(\vec y\) donc à toute combinaison linéaire de ces deux vecteurs; donc à \(\vec u\).

Il suffit donc de construire des vecteurs colinéaires à chacun de ces vecteurs et de norme 1.  Pour celà, il suffit de diviser chaque vecteur par sa norme.
\(\vec e_1=\vec x/\|\vec x\|=(1/\sqrt 5,0,2/\sqrt 5)\)
\(\vec e_2=\vec u/\|\vec u\|=(2/\sqrt {30},5/\sqrt {30},-1/\sqrt {30})\)
\(\vec e_3=\vec v/\|\vec v\|=(-2/\sqrt {6},1/\sqrt {6},1/\sqrt {6})\)

Exercice 2 - Question 1

Soit \(\vec x=(1,2)\) .

Calculer un vecteur orthogonal à \(\vec x\).

Exercice 2 - Réponse à la question 1

Par définition, \(\vec v=(x,y)\)  est orthogonal à  \(\vec u\)  si et seulement si leur produit scalaire est nul, soit
\[\vec u\cdot\vec v=1\times x+2\times y=0\]
Donc \(\vec v=(2,-1)\)  est une solution.

Exercice 2 - question 2

On rappelle que \(\vec u=(1,2)\) et on définit \(D=Vect(\vec u)\)

Soit \(\vec v=(2,-1)\) et \(D'=Vect(\vec v)\).

Montrer que \(D'\) est l'orthogonal de \(D\).

Ex2 - Réponse à la question 2

Par définition, \((\vec u)\) est une base de \(D\) et  \((\vec v)\) est une base de \(D'\).

Ces deux vecteurs sont orthogonaux donc \(D'\) est orthogonal à \(D\).

La somme des dimensions des deux espaces vaut 2 donc \(D'\) est l'orthogonal de \(D\) dans \(\mathbb R^2\).

Exercice 2 - Question 3

Montrer que \(D\) est l'ensemble des vecteurs \(w=(x,y)\) tels que \[2x-y=0\].

Montrer que \(D'\) est l'ensemble des vecteurs \(w=(x,y)\) tels que \[x+2y=0\].

Exercice 2 - Réponse à la question 3

Par définition, comme \(D\) est l'orthogonal de \(D'\), il est l'ensemble des vecteurs orthogonaux à \(\vec v\) c'est à dire les vecteurs \(\vec w= (x,y)\) dont le produit scalaire avec \(\vec v\) est nul ce qui correspond à la condition \(2x-y=0\). Cette condition est appelée équation cartésienne de la droite vectorielle \(D\).

De façon symétrique, \(D'\) est l'ensemble des vecteurs \(\vec w= (x,y)\) tels que\(x+2y=0\), équation cartésienne de \(D'\).

Remarque : les coefficients apparaissant dans les équations cartésiennes de droites sont les coordonnées d'un vecteur orthogonal à la droite et non les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite.