Title: Variations et limites d'une fonction rationnelle
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: Soit la fonction rationnelle suivante : \(F(x) = \frac{3x^{9}+1}{5x^{4}+8}\) ?

Quelle est la limite de \(F\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) ?
- \(+\infty\)
- \(-\infty\)
- \(0\)
- \(3\)
- \(\frac{3}{5}\)
A: \(+\infty\)
Feedback: \(F\) est de degré positif, on regarde donc le quotient des termes dominants pour avoir le signe et la limite sera infinie.

Q: Soit la fonction rationnelle suivante : \(F(x) = \frac{8x^{8}+9}{3x^{4}+2}\) ?

Quelle est la limite de \(F\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) ?
- \(+\infty\)
- \(-\infty\)
- \(0\)
- \(8\)
- \(\frac{8}{3}\)
A: \(+\infty\)
Feedback: \(F\) est de degré positif, on regarde donc le quotient des termes dominants pour avoir le signe et la limite sera infinie.

Q: Soit la fonction rationnelle suivante : \(F(x) = \frac{-5x^{11}+2}{1x^{4}+8}\) ?

Quelle est la limite de \(F\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) ?
- \(+\infty\)
- \(-\infty\)
- \(0\)
- \(5\)
- \(\frac{5}{1}\)
A: \(-\infty\)
Feedback: \(F\) est de degré positif, on regarde donc le quotient des termes dominants pour avoir le signe et la limite sera infinie.

Q: Soit la fonction rationnelle suivante : \(F(x) = \frac{-6x^{13}+4}{x^{4}+6}\) ?

Quelle est la limite de \(F\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) ?
- \(+\infty\)
- \(-\infty\)
- \(0\)
- \(6\)
- \(\frac{6}{1}\)
A: \(-\infty\)
Feedback: \(F\) est de degré positif, on regarde donc le quotient des termes dominants pour avoir le signe et la limite sera infinie.

Q: Soit la fonction rationnelle suivante : \(F(x) = \frac{-4x^{5}+8}{7x^{9}+8}\) ?

Quelle est la limite de \(F\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) ?
- \(+\infty\)
- \(-\infty\)
- \(0\)
- \(4\)
- \(\frac{4}{7}\)
A: \(0\)
Feedback: \(F\) est de degré strictement négatif

Q: Soit la fonction rationnelle suivante : \(F(x) = \frac{-7x^{2}+3}{7x^{6}+2}\) ?

Quelle est la limite de \(F\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) ?
- \(+\infty\)
- \(-\infty\)
- \(0\)
- \(7\)
- \(\frac{7}{7}\)
A: \(0\)
Feedback: \(F\) est de degré strictement négatif

Q: Soit la fonction rationnelle suivante : \(F(x) = \frac{4x^{4}+7}{10x^{4}+3}\) ?

Quelle est la limite de \(F\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) ?
- \(+\infty\)
- \(-\infty\)
- \(0\)
- \(4\)
- \(\frac{4}{10}\)
A: \(\frac{4}{10}\)
Feedback: \(F\) est de degré nul, on regarde donc le quotient des termes dominant.

Q: Soit la fonction rationnelle suivante : \(F(x) = \frac{x^{3}+4}{9x^{3}+2}\) ?

Quelle est la limite de \(F\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) ?
- \(+\infty\)
- \(-\infty\)
- \(0\)
- \(1\)
- \(\frac{1}{9}\)
A: \(\frac{1}{9}\)
Feedback: \(F\) est de degré nul, on regarde donc le quotient des termes dominant.

Q: Soit la fonction rationnelle suivante : \(F(x) = \frac{2x^{2}+5X+7}{(X-9)^{8}(X+ 1)(X+2))}\) ?

Quelle est la limite de \(F\) lorsque \(x\) tend vers le pôle \(9\) ?
- \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(9\) et \(x<9\), \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(9\) et \(x>9\)
- \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(9\) et \(x<9\), \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(9\) et \(x>9\)
- \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(9\) et \(x<9\), \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(9\) et \(x>9\)
- \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(9\) et \(x<9\), \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(9\) et \(x>9\)
- Aucune de ces réponses
A: \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(9\) et \(x<9\), \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(9\) et \(x>9\)
Feedback: En écrivant \(F=\frac{P}{(X-9)^{8}Q_1}\) on observe que \(\frac{P(9)}{Q_1(9)}\) est strictement positif et \(8\) est pair donc la limite est toujours \(+\infty\).

Q: Soit la fonction rationnelle suivante : \(F(x) = \frac{5x^{2}+5X+3}{(X-1)^{16}(X+ 4)(X+3)}\) ?

Quelle est la limite de \(F\) lorsque \(x\) tend vers le pôle \(1\) ?
- \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(1\) et \(x<1\), \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(1\) et \(x>1\)
- \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(1\) et \(x<1\), \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(1\) et \(x>1\)
- \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(1\) et \(x<1\), \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(1\) et \(x>1\)
- \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(1\) et \(x<1\), \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(1\) et \(x>1\)
- Aucune de ces réponses
A: \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(1\) et \(x<1\), \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(1\) et \(x>1\)
Feedback: En écrivant \(F=\frac{P}{(X-1)^{16}Q_1}\) on observe que \(\frac{P(1)}{Q_1(1)}\) est strictement positif et \(16\) est pair donc la limite est toujours \(+\infty\).

Q: Soit la fonction rationnelle suivante : \(F(x) = \frac{1x^{2}+1X+8}{(X-5)^{15}(X+ 3)(X+4)}\) ?

Quelle est la limite de \(F\) lorsque \(x\) tend vers le pôle \(5\) ?
- \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(5\) et \(x<5\), \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(5\) et \(x>5\)
- \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(5\) et \(x<5\), \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(5\) et \(x>5\)
- \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(5\) et \(x<5\), \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(5\) et \(x>5\)
- \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(5\) et \(x<5\), \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(5\) et \(x>5\)
- Aucune de ces réponses
A: \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(5\) et \(x<5\), \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(5\) et \(x>5\)
Feedback: En écrivant \(F=\frac{P}{(X-5)^{15}Q_1}\) on observe que \(\frac{P(5)}{Q_1(5)}\) est strictement positif et \(15\) est impair donc la limite est \(+\infty\) pour les valeurs supérieures et \(-\infty\) pour les valeurs inférieures.

Q: Soit la fonction rationnelle suivante : \(F(x) = \frac{10x^{2}+5X+8}{(X-7)^{7}(X+ 3)(X+8)}\) ?

Quelle est la limite de \(F\) lorsque \(x\) tend vers le pôle \(7\) ?
- \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(7\) et \(x<7\), \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(7\) et \(x>7\)
- \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(7\) et \(x<7\), \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(7\) et \(x>7\)
- \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(7\) et \(x<7\), \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(7\) et \(x>7\)
- \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(7\) et \(x<7\), \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(7\) et \(x>7\)
- Aucune de ces réponses
A: \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(7\) et \(x<7\), \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(7\) et \(x>7\)
Feedback: En écrivant \(F=\frac{P}{(X-7)^{7}Q_1}\) on observe que \(\frac{P(7)}{Q_1(7)}\) est strictement positif et \(7\) est impair donc la limite est \(+\infty\) pour les valeurs supérieures et \(-\infty\) pour les valeurs inférieures.

Q: Soit la fonction rationnelle suivante : \(F(x) = \frac{-2x^{2}-6X-9}{(X-9)^{7}(X+ 2)(X+3))}\) ?

Quelle est la limite de \(F\) lorsque \(x\) tend vers le pôle \(9\) ?
- \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(9\) et \(x<9\), \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(9\) et \(x>9\)
- \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(9\) et \(x<9\), \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(9\) et \(x>9\)
- \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(9\) et \(x<9\), \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(9\) et \(x>9\)
- \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(9\) et \(x<9\), \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(9\) et \(x>9\)
- Aucune de ces réponses
A: \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(9\) et \(x<9\), \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(9\) et \(x>9\)
Feedback: En écrivant \(F=\frac{P}{(X-9)^{7}Q_1}\) on observe que \(\frac{P(9)}{Q_1(9)}\) est strictement négatif et \(7\) est impair donc la limite est \(-\infty\) pour les valeurs supérieures et \(+\infty\) pour les valeurs inférieures.

Q: Soit la fonction rationnelle suivante : \(F(x) = \frac{-2x^{2}-10X-5}{(X-6)^{9}(X+ 5)(X+1)}\) ?

Quelle est la limite de \(F\) lorsque \(x\) tend vers le pôle \(6\) ?
- \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(6\) et \(x<6\), \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(6\) et \(x>6\)
- \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(6\) et \(x<6\), \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(6\) et \(x>6\)
- \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(6\) et \(x<6\), \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(6\) et \(x>6\)
- \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(6\) et \(x<6\), \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(6\) et \(x>6\)
- Aucune de ces réponses
A: \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(6\) et \(x<6\), \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(6\) et \(x>6\)
Feedback: En écrivant \(F=\frac{P}{(X-6)^{9}Q_1}\) on observe que \(\frac{P(6)}{Q_1(6)}\) est strictement négatif et \(9\) est impair donc la limite est \(-\infty\) pour les valeurs supérieures et \(+\infty\) pour les valeurs inférieures.

Q: Soit la fonction rationnelle suivante : \(F(x) = \frac{-5x^{2}-1X-10}{(X-2)^{14}(X+ 6)(X+1)}\) ?

Quelle est la limite de \(F\) lorsque \(x\) tend vers le pôle \(2\) ?
- \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(2\) et \(x<2\), \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(2\) et \(x>2\)
- \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(2\) et \(x<2\), \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(2\) et \(x>2\)
- \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(2\) et \(x<2\), \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(2\) et \(x>2\)
- \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(2\) et \(x<2\), \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(2\) et \(x>2\)
- Aucune de ces réponses
A: \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(2\) et \(x<2\), \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(2\) et \(x>2\)
Feedback: En écrivant \(F=\frac{P}{(X-2)^{14}Q_1}\) on observe que \(\frac{P(2)}{Q_1(2)}\) est strictement négatif et \(14\) est pair donc la limite est \(-\infty\) partout.

Q: Soit la fonction rationnelle suivante : \(F(x) = \frac{-9x^{2}-8X-7}{(X-4)^{6}(X+ 5)(X+4)}\) ?

Quelle est la limite de \(F\) lorsque \(x\) tend vers le pôle \(4\) ?
- \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(4\) et \(x<4\), \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(4\) et \(x>4\)
- \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(4\) et \(x<4\), \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(4\) et \(x>4\)
- \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(4\) et \(x<4\), \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(4\) et \(x>4\)
- \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(4\) et \(x<4\), \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(4\) et \(x>4\)
- Aucune de ces réponses
A: \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(4\) et \(x<4\), \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(4\) et \(x>4\)
Feedback: En écrivant \(F=\frac{P}{(X-4)^{6}Q_1}\) on observe que \(\frac{P(4)}{Q_1(4)}\) est strictement négatif et \(6\) est pair donc la limite est \(-\infty\) partout.

Q: Soit \(F\) la fraction rationnelle suivante : \(F=\frac{(X-19)^{2}}{(X+7)^{2}}\)

En quels points (de l'ensemble de définition ou pas) \(F\) change-t-elle de sens de variation ? (plusieurs réponses possibles)
- \(19\)
- \(-7\)
- \(0\)
- \(-19\)
- \(7\)
A: \(19\); \(-7\)
Feedback: \(19\) est une racine de \(F\) d'ordre supérieur à \(2\), c'est donc un zéro de la dérivée. Son ordre est de \(4\), donc \(F\) change bien de signe en \(19\). Quand \(x\) tend vers le pôle \(-7\), \(F(x)\) tend vers \(+\infty\) car le numérateur est positif en \(-7\) et le dénominateur d'ordre pair. \(F\) change donc également de sens de variation en ce point.

Q: Soit \(F\) la fraction rationnelle suivante : \(F=\frac{(X-16)^{2}}{(X+3)^{2}}\)

En quels points (de l'ensemble de définition ou pas) \(F\) change-t-elle de sens de variation ? (plusieurs réponses possibles)
- \(16\)
- \(-3\)
- \(0\)
- \(-16\)
- \(3\)
A: \(16\); \(-3\)
Feedback: \(16\) est une racine de \(F\) d'ordre supérieur à \(2\), c'est donc un zéro de la dérivée. Son ordre est de \(4\), donc \(F\) change bien de signe en \(16\). Quand \(x\) tend vers le pôle \(-3\), \(F(x)\) tend vers \(+\infty\) car le numérateur est positif en \(-3\) et le dénominateur d'ordre pair. \(F\) change donc également de sens de variation en ce point.

Q: Soit \(F\) la fonction rationnelle suivante : \(F(x)=\frac{-2x^2-5x-1}{x+3}\)

En quels points (de l'ensemble de définition ou pas) \(F\) change-t-elle de sens de variation ? (plusieurs réponses possibles)
- \(-3-\sqrt{2}\)
- \(-3+\sqrt{2}\)
- \(-1-\sqrt{2}\)
- \(-1+\sqrt{2}\)
- \(2-\sqrt{2}\)
- \(2+\sqrt{2}\)
- \(-3\)
A: \(-3-\sqrt{2}\); \(-3+\sqrt{2}\)
Feedback: On dérive la fonction, on trouve \(F'(x)=\frac{-2(x^2+6x+7)}{(x+3)^2}\). Ce trinôme admet pour racines réelles \(-3-\sqrt{2}\) et \(-3+\sqrt{2}\) et \(F\) change de sens de variation en chacun de ses points. Le pôle \(-3\) est d'ordre impair, \(F\) ne change donc pas de sens de variation en ce point où elle n'est pas définie : sa limite en \(-3\) par valeur inférieure est \(+\infty\) et par valeur supérieure \(-\infty\) : elle est donc strictement croissante des deux côtés de \(-3\).