Title: Rappels INT5 Intégration par changement de variable
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Continuité, Dérivation, Intégration

Références de rappels de cours

Liste étendue de primitives :

Vous trouverez une liste plus étendue de primitives de fonctions  dans la première page de ce Formulaire d'intégration.

Changement de variable.

Fonction dérivable strictement monotone
Soit une fonction $$u$$ d'un intervalle $$I=[a;b]$$ de $$\mathbb R$$ et strictement monotone. La dérivée $$f'$$ de $$f$$  ne change pas  de signe sur l'intervalle $$I$$. On sait alors que $$u$$ est une fonction bijective de $$I$$ sur l'intervalle image $$J$$.
Il y a deux cas ; si $$u$$ est croissante alors $$J=[u(a);u(b)]$$ ; si $$u$$ est décroissante alors $$J=[u(b);u(a)]$$.

Formules du changement variable
Soit $$u$$ la fonction du paragraphe précédent et soit $$f$$ une fonction intégrable sur $$J=[c ; d]$$. On a les formules de calcul suivantes.
- Si $$u$$ est croissante : $$\displaystyle \int_{c}^{d}f(x)\ dx=\int_{a}^{b}f(u(t))u'(t)\ dt.$$
- Si $$u$$ est décroissante : $$\displaystyle \int_{c}^{d}f(x)\ dx=-\int_{a}^{b}f(u(t))u'(t)\ dt.$$

Remarques :
1. Cette technique se nomme changement de variable car on  change la variable d'intégration $$x$$ de $$J$$ pour la variable d'intégration $$t$$ de $$I$$ par la correspondance $$x=u(t)$$.
2. Dans le cas où $$u$$ est décroissante, on garde les bornes de l'intégrale $$a$$ et $$b$$ dans le sens croissant et on change le signe de la dérivée. On peut dire dans les deux cas que les bornes de l'intégrale sont dans le sens croissant et qu'on prend la valeur absolue de la dérivée :
$$\displaystyle \int_{c}^{d}f(x)\ dx=\int_{a}^{b}f(u(t))|u'(t)|\ dt.$$
3. Une erreur fréquente consiste à utiliser une fonction $$u$$ non strictement monotone, le résultat est alors complètement faux.

Exemple :
On calcule $$\displaystyle \int_0^1 \frac 1{\sqrt{1-x^2}}\ dx$$.
On a $$J=[0;1]$$. On choisit $$u=\cos$$, c'est à dire $$x=\cos t$$, pour $$t\in I=[0;\pi/2]$$. $$u$$ est décroissante strictement et bijective de $$I$$ sur $$J$$ de dérivée négative $$-\sin$$.
$$\displaystyle \int_0^1 \frac 1{\sqrt{1-x^2}}\ dx=\int_0^{\pi/2}\frac 1{\sqrt{1-\cos^2t}}\sin t\ dt$$.
Mais sur $$I$$, $$\sqrt{1-\cos^2t}=\sin t$$ donc
$$\displaystyle \int_0^1 \frac 1{\sqrt{1-x^2}}\ dx=\int_0^{\pi/2}\frac {\sin t}{\sin t}\ dt=\int_0^{\pi/2}1\ dt=\pi/2$$.

Ex 1 - Question 1

Calculer $$\displaystyle \int_0^1 \frac 1{\sqrt{1-x^2}}\ dx$$ en utilisant le changement de variable  $$x=\sin t$$.
On precisera l'intervalle $$I$$ choisi.

Ex 1 - Réponse à la question 1

On a vu précédemment que $$\displaystyle \int_0^1 \frac 1{\sqrt{1-x^2}}\ dx=\pi/2$$. On le prouve de nouveau avec un autre changement de variable.
On choisit $$x=\sin t$$ pour $$t\in I=[0;\pi/2]$$. $$u$$ est croissante strictement et bijective de $$I$$ sur $$J$$ de dérivée positive $$\cos$$.
$$\displaystyle \int_0^1 \frac 1{\sqrt{1-x^2}}\ dx=\int_0^{\pi/2}\frac 1{\sqrt{1-\sin^2t}}\cos t\ dt$$.
Mais sur $$I$$, $$\sqrt{1-\sin^2t}=\cos t$$ donc
$$\displaystyle \int_0^1 \frac 1{\sqrt{1-x^2}}\ dx=\int_0^{\pi/2}\frac {\cos t}{\cos t}\ dt=\int_0^{\pi/2}1\ dt=\pi/2$$.

Note : Si on connait la liste étendue de primitives, on reconnait  la dérivée de la fonction Arcsin et on calcule directement la valeur de l'intégrale

Ex 1 - Question 2

Calculer $$\displaystyle\int_0^{1}\frac {x}{\sqrt{1-x^2}}\ dx$$ en utilisant le changement de variable $$x=\sin t$$.

Ex 1 - Réponse à la question 2

$$\displaystyle\int_0^{1}\frac {x}{\sqrt{1-x^2}}\ dx=1$$

Explication:
on utilise le changement de variable $$x=\sin t$$.

 $$\displaystyle\int_0^{1}\frac {x}{\sqrt{1-x^2}}\ dx=\int_0^{\pi/2}\frac {\sin t}{\sqrt{1-\sin^2t}}\cos t\ dt$$.
Sur l'intervalle $$[0;\pi/2]$$, $$\sqrt{1-\sin^2t}=\cos t$$, donc
 $$\displaystyle\int_0^{1}\frac {x}{\sqrt{1-x^2}}\ dx=\int_0^{\pi/2} {\sin t}\ dt=[-\cos t]_0^{\pi/2}=1$$.

Ex 2 - Question 1

Calculer l'intégrale $$\displaystyle \int_1^{2}\frac {\ln(x)}{x^2}\ dx$$ en utilisant le changement de variable $$x=e^t$$.

Ex 2 - Réponse à la question 1

$$\displaystyle \int_1^2\frac {\ln(x)}{x^2}\ dx=\frac 12(1-\ln(2))$$.

Explication

On utilise le changement de variable $$x=e^t$$ pour $$t\in I=[0,\ln(2)]$$. On applique la formule
 $$\displaystyle \int_1^2\frac {\ln(x)}{x^2}\ dx=\int _0^{\ln(2)}\frac t {e^{2t}}e^t\ dt=\int _0^{\ln(2)} t {e^{-t}}\ dt$$.
Par intégration par partie
$$\displaystyle\int _0^{\ln(2)} t {e^{-t}}\ dt=[-te^{-t}]_0^{\ln(2)}+\int _0^{\ln(2)}  {e^{-t}}\ dt=-\frac 12\ln(2)+1-\frac 12$$.

Ex 2 - Question 2

Calculer l'intégrale $$\displaystyle\int_1^2\frac 1{x\sqrt{\ln(x)}}\ dx$$ en utilisant le changement de variable $$x=e^t$$.

Ex2- réponse à la question 2

$$\displaystyle\int_1^2\frac 1{x\sqrt{\ln(x)}}\ dx=2\sqrt{\ln(2)}$$

Explication:
On utilise le changement de variable $$x=e^t$$ pour $$t\in [0;\ln(2)]$$.
$$\displaystyle\int_1^2\frac 1{x\sqrt{\ln(x)}}\ dx=\int_0^{\ln(2)}\frac 1{e^t\sqrt{t}}e^t\ dt=\int_0^{\ln(2)}\frac 1{\sqrt{t}}\ dt=2[\sqrt{t}]_0^{\ln(2)}=2\sqrt{\ln(2)}$$.

Remarque :
En utilisant le changement de variable $$x=e^{t^2}$$, on obtient :

$$\displaystyle\int_1^2\frac 1{x\sqrt{\ln(x)}}\ dx=\int_0^{\sqrt{\ln(2)}}\frac 1{e^{t^2}t}2te^{t^2}\ dt=\int_0^{\sqrt{\ln(2)}}2\ dt=2\sqrt{\ln(2)}$$.

Le plus simple reste de remarquer directement que $$\displaystyle\frac 1{x\sqrt{\ln(x)}}=2\frac {u'}{2\sqrt{u}}$$ pour $$u=\ln$$ donc qu'une primitive est $$2\sqrt{u}$$.