Title: Rappels Extremums dans un ouvert
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Continuité, Dérivation, Intégration

Références de rappels de cours

Extremums d'une fonction de plusieurs variables sur un ouvert.

On recherche les minimums ou maximums relatifs ou globaux d'une fonction de plusieurs variables sur un ensemble \(E\).
- Il y a un maximum global en \(x_0\) si toutes les valeurs de \(f\) sur \(E\) sont inférieures ou égales à \(f(x_0)\).
- Il y a un minimum global en \(x_0\) si toutes les valeurs de \(f\) sur \(E\) sont supérieures ou égales à \(f(x_0)\).
- Il y a un maximum  relatif (ou local) en \(x_0\) s'il existe une petite boule \(B\) de centre \(x_0\) sur laquelle la fonction ne prend que des valeurs inférieures ou égales à \(f(x_0)\).
- Il y a un minimum  relatif (ou local) en \(x_0\) s'il existe une petite boule \(B\) de centre \(x_0\) sur laquelle la fonction ne prend que des valeurs supérieures ou égales à \(f(x_0)\).

Comme dans le cas d'une fonction d'une variable, il faut étudier à part les valeurs sur les bords de l'ensemble.
Un point appartenant au bord de \(E\) est un point qui a des points voisins aussi proches qu'on veut dans \(E\) et des points voisins aussi proches qu'on veut dans  son complémentaire.
L'ensemble des points de \(E\) qui ne sont pas dans le bord sont appelés points intérieurs. Ce sont des points entourés d'une petite boule entièrement incluse dans l'ensemble \(E\). Un ensemble qui ne contient que des points intérieurs, c'est à dire sans point de bord, est appelé ensemble ouvert. C'est le cas d'un intervalle ouvert de \(\mathbb{R}\), par exemple.

Il n'y a pas de méthode particulière pour rechercher les extremums sur les bords. Nous présentons la méthode pour chercher les extremums dans l'ensemble ouvert.

Condition nécessaire du premier ordre.

Soit  \(\Omega\) un ouvert de  \(\mathbb{R}^{n}\),  \(f\) une fonction de classe  \(\mathcal{C}^{2}\) sur  \(\Omega\) ; on considère un point  \(A\) de  \(\Omega\).

Si la fonction  \(f\) admet un extremum relatif en  \(A\) alors  \(\nabla f_{A} = 0\).

Vocabulaire : soit  \(A\) un point tel que  \(\nabla f_{A} = 0\), on dit que  \(A\) est un point critique de  \(f\).

Forme quadratique de la hessienne

Pour une fonction de classe \(\mathcal{C}^{2}\), le théorème de Schwarz montre que la matrice hessienne est symétrique. Pour \(X\) vecteur de \(\mathbb{R}^{n}\), on définit \(q_A(X)=X^t\qquad H_A X\).
La matrice étant symétrique, \(q_A\) est une forme quadratique. Les valeurs positives ou négatives prises par cette forme caractérisent l'existence d'un extremum en \(A\), comme le signe de la dérivée seconde dans le cas d'une fonction d'une variable.

Condition suffisante du second ordre.

Soit  \(\Omega\) un ouvert de  \(\mathbb{R}^{n}\),  \(f  : \Omega   \Longrightarrow \mathbb{R}\) une fonction de classe  \(\mathcal{C}^{2}\) sur  \(\Omega\) on considère un point critique  \(A\) de  \(\Omega\).

Si la forme quadratique  \(q_{A}\) associée à la hessienne en  \(A\)  prend des valeurs strictement négatives (respectivement strictement positives) pour tout réel non nul, alors la fonction  \(f\) admet  un maximum local (respectivement un minimum local) sur \(\Omega\) en  \(A\).

Condition nécessaire du second ordre.

Soit  \(\Omega\) un ouvert de  \(\mathbb{R}^{n}\),  \(f  : \Omega   \Longrightarrow \mathbb{R}\) une fonction de classe  \(\mathcal{C}^{2}\) sur  \(\Omega\) on considère un point critique  \(A\) de  \(\Omega\).

Si  la fonction  \(f\) admet  un maximum local (respectivement un minimum local) sur   \(\Omega\) en  \(A\) alors la forme quadratique  \(q_{A}\) associée à la hessienne en  \(A\)  prend des valeurs négatives ou nulles (respectivement positives ou nulles).

 Cas  de fonctions sur \(\mathbb{R}^{2}\)

Dans ce cas, le déterminant de la matrice hessienne permet de conclure sur les valeurs prises par \(q_A\).
 Soit  \(\Omega\) un ouvert de  \(\mathbb{R}^{2}\),  \(f  : \Omega   \Longrightarrow \mathbb{R}\) une fonction de classe  \(\mathcal{C}^{2}\) sur  \(\Omega\) on considère un point critique  \(A\) de  \(\Omega\).

On pose :   (Notations de Monge)
\[r =   \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (A), \    s = \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x } (M)    \   t =  \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} (A), \  \]
Si  \(rt-s^{2} > 0\), la fonction  \(f\) admet un extremum local au point  \(A\) qui est un minimum local si  \(r >0\) et un maximum local si  \(0>r\).
Si  \(0 >  rt-s^{2}\), la fonction  \(f\) n'admet pas d'extremum local au point  \(A\).
Si  \(rt-s^{2} = 0\), on ne peut pas conclure.

Ex 1 - Question 1

On considère la fonction \(f\)  définie de \(\mathbb{ R}^{2}\)  dans \(\mathbb{R}\) par
\[(x,y) \mapsto x^{2} + xy   + y^{2}  + x - y +5\]

Montrer que la fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) et  admet un unique point critique \(A = (\alpha, \beta )\) .

Calculer   \((\alpha, \beta )\).

Ex 1 - Réponse à la question 1

La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) comme fonction polynomiale et on a :
 \begin{eqnarray*}               \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2}  \qquad  \qquad \qquad    \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y)  & = & 2x + y +1  \\\rule[-4 pt]{0pt}{30pt}                          \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y)  & = & x +2y - 1      \end{eqnarray*}

Le point  \(A = (a,b)\)  est  un point critique de \(f\) si et seulement si \(\nabla f _{A} = 0\).

Or on a :

     \begin{eqnarray*}    \rule[-4 pt]{0pt}{30pt}    \nabla f _{A} = 0 & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt}     \dfrac{\partial f}{\partial x} (a,b)  & = & 0  \\                     \rule[-4 pt]{0pt}{30pt}     \dfrac{\partial f}{\partial x} (a,b)  & = & 0  \\     \end{array}               \right. \\          \rule[-4 pt]{0pt}{50pt}             & \Longleftrightarrow & \left \{               \begin{array}{rrr}                  \rule[-10 pt]{0pt}{15pt}               2a + b +1 & = & 0  \\                    \rule[-4 pt]{0pt}{15pt}               a + 2b -1  & = & 0  \\                \end{array}             \right. \\    \rule[-4 pt]{0pt}{50pt}    & \Longleftrightarrow & \left \{     \begin{array}{rrr}    \rule[-10 pt]{0pt}{15pt}            a  & = & -1  \\    \rule[-4 pt]{0pt}{15pt}              b  & = & 1  \\
  \end{array}                  \right. \\             \end{eqnarray*}

La fonction \(f\) admet le point \(A = (-1,1)\) comme unique point critique.

Ex1 - Question 2

Soit \(H_{A}\) la hessienne   de \(f\) au point \(A\), on a :

\[H_{A} =
\left(
\begin{array}{rr}
            \rule[-4 pt]{0pt}{20pt}     n & p     \\
            \rule[-4 pt]{0pt}{30pt}      q& r   \\
\end{array}
\right)
\]

Calculer \(n\), \(p\), \(q\) et \(r\).

Ex1 - Réponse à la question 2

On a :
\begin{eqnarray*}\rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (x,y) & = & 2 \\\rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} (x,y) & = & 2 \\\rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y } (x,y) & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x } (x,y) \\\rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 1\\\end{eqnarray*}
On obtient donc :
\[H_{A} =
\left(
\begin{array}{rr}
 \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} 2 & 1 \\
 \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} 1 & 2 \\
\end{array}
\right)
\]

Ex1 - Question 3

La fonction  \(f\) admet une dérivée partielle par rapport à  \(y\) en  \((0,0)\) ?

Si oui, calculer cette dérivée.

Ex 2 - Réponse à la question 3

D'après ce qui précède on  a \(r=t=2\) et \(s=1\), donc  \(rt-s^{2} = 3\)
 Donc on est dans le cas où \(rt-s^{2} > 0\) et \(r > 0\), on peut en déduire que la fonction \(f\) admet un minimum relatif en \(A\).
Pour regarder si ce minimum est global, on calcule :
 \begin{eqnarray*}  \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (h,k) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad f(-1+ h, 1 + k) & = & (-1 + h)^{2} + (-1+h)(1 + k) + (1 + k)^{2} + (-1 + h) - ( 1 + k) + 5 \\\rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & 1 - 2h +h^{2} -1 - k + h + hk + 1 + 2k + k^{2} -1 + h - 1 - k +5 \\\rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & h^{2} + hk + k^{2} + 4 \\\rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \left ( h + \frac{k}{2} \right )^{2} + \dfrac{3k^{2}}{4} + 4 \end{eqnarray*}

Comme pour tout \((h,k)\) de \(\mathbb{R}^{2}\) on a : \(\left ( h + \frac{k}{2} \right )^{2} + \dfrac{3k^{2}}{4} \geq 0\),
  on en déduit que :
\[\forall (h,k) \in \mathbb{R}^{2}, \quad f(-1+h,1 + k) \geq 4\]

comme de plus \(f(-1,1) = 4\) il vient :
 \[\forall (h,k) \in \mathbb{R}^{2}, \quad f(-1+h,1 + k) \geq f(-1,1)\]

On peut donc en conclure que la fonction \(f\) admet un minimum absolu sur \(\mathbb{R}^{2}\) au point \(A=(-1,1)\).

Ex 2 - Question 1

On considère la fonction  \(f\) définie de  \(\mathbb{ R}^{2}\) dans  \(\mathbb{R}\) par
 \((x,y) \mapsto \cos x \, e^{y^{2}}\)

La fonction  \(f\) est-elle de classe  \(\mathcal{C}^{2}\) sur  \(\mathbb{R}^{2}\) ?

Ex 2 - Réponse à la question 1

La fonction est définie pour tous les couples de réels donc  \(D_{f} = \mathbb{R}^{2}\).

La fonction  \(f\) est de classe  \(\mathcal{C}^{2}\) sur  \(\mathbb{R}^{2}\) comme produit de deux fonctions de classe  \(\mathcal{C}^{2}\).

Ex 2 - Question 2

Soit  \(A = (0,1)\).
Calculer le gradient de  \(f\) au point  \(A\).

Ex 2 - Réponse à la question 2

La fonction  \(f\) est de classe  \(\mathcal{C}^{2}\) sur  \(\mathbb{R}^{2}\) comme produit de deux fonctions de classe  \(\mathcal{C}^{2}\).
On a :
\(f(0,1) = e \)
De plus :
\[\begin{eqnarray*}
\rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y) & = &-\sin x \, e^{y^{2}} \\\rule[-4 pt]{0pt}{40pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) & = & \cos x \, 2y \, e^{y^{2}} \\ \end{eqnarray*}\]
On en déduit que :
 \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial x} (0,1) & = & 0 \\\rule[-4 pt]{0pt}{40pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (0,1) & = & 2e \\ \end{eqnarray*}\]

Ex 2 - Question 3

La fonction  \(f\) admet un développement limité d'ordre 2 au point  \(A = (0,1)\) donné par :

Pour \((h,k)\) voisin de \((0,0)\), \(\qquad f(h,1 + k) = a +bk +ch^{2}+dk^{2}  + \left ( \sqrt {h^{2} + k^{2}} \right )^{2} \,\varepsilon(h,k)\)
avec  \(\displaystyle{ \lim_{(h,k) \to (0,0)} { \varepsilon(h,k) } } = 0\) et où  \(a\),  \(b\),  \(c\) et  \(d\) sont des réels.

Déterminer \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\).

Ex 2 - Réponse à la question 3

La fonction  \(f\) est de classe  \(\mathcal{C}^{2}\) sur  \(\mathbb{R}^{2}\) comme produit de deux fonctions de classe  \(\mathcal{C}^{2}\).

On a :

\(f(0,1) = e\)

De plus :

\[\begin{eqnarray*}  \dfrac{\partial f}{\partial x} (0,1) & = & 0 \\ \dfrac{\partial f}{\partial y} (0,1) & = & 2e \end{eqnarray*}\]
On a aussi

\[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (x,y) & = & - \cos x \, e^{y^{2}} \\\rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} (x,y) & = & \cos x \left ( 2 e^{y^{2}} + 4y^{2} \, e^{y^{2}} \right ) \\\rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \ & = & \cos x \left ( 2 + 4y^{2} \right ) e^{y^{2}} \\\rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y } (x,y) & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x } (x,y) \\\rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \ & = & - \sin x \, 2y \, e^{y^{2}} \\ \end{eqnarray*}\]

On en déduit que :

\[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (0,1) & = & -e \\\rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} ( 0,1) & = & 6e \\\rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y} ( 0,1) & = & 0 \\\rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x} ( 0,1) & = & 0 \\\end{eqnarray*}\]

On rappelle que le développement limité de  \(f\) à l'ordre 2 au point  \(A = (0,1)\) est donné par :

\(f( A + H) = f(A) + \langle \nabla f_{A}, H \rangle + \dfrac{1}{2} \, H \, H_{A} \, ^{t}H + \| H \|\,\varepsilon(H)\)

où  \(\displaystyle{ \lim_{(h,k) \to (0,0)} { \varepsilon(h,k) } } = 0\),  \(\nabla f_{A}\) désigne le gradient de la fonction  \(f\) au point  \(A\), \(H_{A}\) est la hessienne de  \(f\) en  \(A\) et on note  \(H = (h,k)\) et \(\| H \| = \sqrt {h^{2} + k^{2}}\).

D'après ce qui précède on a :

\(f(0,1) = e \qquad \nabla f_{A}= ( 0,2e) \qquad H_{(0,1)} =\left(\begin{array}{rr}-e & 0 \\  0 & 6e \\ \end{array}\right)\)

 d'où

\[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} \langle \nabla f_{A}, H \rangle & = & \langle (0,2e) , (h,k) \rangle \\\rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & 2ek \\ \end{eqnarray*} \]

 et

\[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} H \, H_{A} \, ^{t}H & = & (h,k) \left(\begin{array}{rr} -e & 0 \\  0 & 6e   \end{array} \right)\left(\begin{array}{r}h \\k \\ \end{array}\right) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & (-eh,6ek) \left(\begin{array}{r}h \\k \\ \end{array}\right) \\\rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & -eh^{2} + 6ek^{2}\end{eqnarray*}\]

On obtient enfin le développement limité à l'ordre 2 de  \(f\) au point  \(A = (0,1) \)

Pour \((h,k)\) voisin de \((0,0)\),\(\qquad f(h,1 + k) = e + 2ek + \dfrac{1}{2}(-1)eh^{2} + 3ek^{2} + \left ( \sqrt {h^{2} + k^{2}} \right )^{2} \,\varepsilon(h,k)\)

avec  \(\displaystyle{ \lim_{(h,k) \to (0,0)} { \varepsilon(h,k) } } = 0 \).

Donc \(a=e\), \(b=2e\), \(c=-e/2\) et \(d=3e\).