Title: Fonctions exponentielle et logarithme
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: A quelle expression est égale \(e^{(x+\frac{1}{x})}\) avec \(x\) réel ?
- \(e^x+e^{\frac{1}{x}}\).
- \(e^x \times e^{\frac{1}{x}}\).
- \(e^x + e^{-x}\).
A: \(e^x \times e^{\frac{1}{x}}\).
Feedback: \(e^x \times e^{\frac{1}{x}}\) ; L’exponentielle d’une somme est égale au produit des exponentielles.

Q: A quelle expression est égale \(Ce^{-ln(x)}\) avec \(C\) et \(x\) réels ?
- \(Cx\).
- \(-Cx\).
- \(\frac{C}{x}\).
A: \(\frac{C}{x}\).
Feedback: La solution est \(\frac{C}{x}\).

Q: A quelle expression est égale \(ln(xy^2)+ln(x)\) avec \(x\) et \(y\) réels ?
- \(2ln(xy)\).
- \(2x ln(y)\).
- \(ln(x)(y^2+1)\).
A: \(2ln(xy)\).
Feedback: La solution est : \(2ln(xy)\).

Q: A quelle expression est égale \(ln(x^2-1)\) avec \(x\) réel ?
- \(2ln(x)-1\).
- \(ln(x-1)+ln(x+1)\).
- \(ln(x-1)-ln(x+1)\).
A: \(ln(x-1)+ln(x+1)\).
Feedback: \(ln(x-1)+ln(x+1)\).

Q: A quelle expression est égale \(ln(1+e^x)\) avec \(x\) réel ?
- \(x+ln(e^{-x}+1)\).
- \(-ln(e^{-x}+1)\).
- \(1+ln(e^{-x}+1)\).
A: \(x+ln(e^{-x}+1)\).
Feedback: \(x+ln(e^{-x}+1)\).

Q: Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(e^{x-1}=\frac{1}{2}\) avec \(x\) réel.
- \(1+ln(2)\).
- \(1-ln(2)\).
- \(ln(2)\).
- \(-ln(2)\).
A: \(1-ln(2)\).
Feedback: Utilisez la fonction \(ln\) ! La solution est : \(1-ln(2)\).

Q: Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{ln(\sqrt{x})}\), \(D\) son ensemble de définition er \(C\) sa courbe représentative. Sélectionnez les affirmations correctes.
- On a \(D=]0, \; +\infty[\).
- La courbe \(C\) admet une droite asymptote en \(+\infty\).
- Pour tout \(x \in D\), on a : \(f(x) < \frac{x}{2}\).
- Pour tout \(x \in D\), on a : \(f'(x) = \frac{1}{2}+ \frac{2}{x(ln(x))^2}\).
A: La courbe \(C\) admet une droite asymptote en \(+\infty\).; Pour tout \(x \in D\), on a : \(f'(x) = \frac{1}{2}+ \frac{2}{x(ln(x))^2}\).
Feedback: On a \(D=]0, \;1[ \cup ] 1\; +\infty[\). La droite \(y=\frac{x}{2}\) est asymptote de \(C\) en \(+\infty\). On a \(f(x) < \frac{x}{2}\) seulement pour \(x>1\). La dérivée de \(f\) est bien égale à : \(\frac{1}{2}+ \frac{2}{x(ln(x))^2}\).

Q: On donne \(A = \frac{1}{( exp(11))^{-6}}\). Déterminez l’entier relatif \(p\) tel que \(A=exp(p)\).
A: 66
Feedback: La valeur de \(p\) est \(66\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie par la formule \(f(x)=ln(x−4)−5x\). Quel est son domaine de définition \(D\) ?
- \(D=]4 \; ; +\infty[\)
- \(D=]-\infty \; ; 4[\)
- \(D=[4 \; ; +\infty[\)
- \(D=]-\infty \; ; 4]\)
A: \(D=]-\infty \; ; 4[\)
Feedback: \(f(x)\) est défini si et seulement si : \(x > 4\) donc \(D=]4 \; ; +\infty[\).

Q: On donne \(A = exp(-2) \times exp(2)\). Déterminez l’entier relatif \(p\) tel que \(A=exp(p)\).
A: 0
Feedback: La valeur de \(p\) est \(0\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie par la formule \(f(x)=-3e^{-5t+1}+6\). L’équivalence \(f(x)>0 \; \Leftrightarrow \; t < \frac{1-ln(2)}{5}\) est-elle vraie ou fausse ?
- Vrai
- Faux
A: Faux
Feedback: La réponse est Faux car on a \(f(x)>0 \; \Leftrightarrow \; t > \frac{1-ln(2)}{5}\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie par la formule \(f(x)=ln(-2x-5)+4x\). Pour tout réel \(x\) appartenant au domaine de définition de \(f\), on peut écrire $f’(x)= avec \(d(x)=−2x−5\) et \(n(x)=-2*(4*x+11)\) ?
- Vrai
- Faux
A: Vrai
Feedback: C’est Vrai.

Q: On considère la fonction \(f\) définie par la formule \(f(x)=ln(-2x-2)-4\). Quelle affirmation est correcte ?
- \(f\) est croissante sur \(]-\infty ; \; -1[\)
- \(f\) est décroissante sur \(]-\infty ; \; -1[\)
- \(f\) admet un minimum pour \(x=-\frac{3}{4}\)
- \(f\) admet un maximum pour \(x=-\frac{3}{4}\)
A: \(f\) est décroissante sur \(]-\infty ; \; -1[\)
Feedback: \(f\) est décroissante sur \(]-\infty ; \; -1[\) car sa dérivée est toujours négative.

Q: Simplifiez l’expression suivante sous forme d’un entier relatif \(3 \; ln(e^{−7})\).
A: 21
Feedback: \(3 \; ln(e^{−7})=-21\).

Q: Simplifiez l’expression suivante sous forme d’un entier relatif \(e^0\).
A: 1
Feedback: \(e^0=1\).

Q: On donne \(A=ln\(\frac{343}{8}\)\). Trouvez \(n\) et \(m\) tels que : \(A=n ln(2)+m ln(7)\).

1. Entrer la valeur de l’entier relatif \(n\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier relatif \(m\) dans la case suivante : [...]
A: -3; 3
Feedback: On décompose \(\frac{343}{8}\) sous la forme \(2^n \times 7^m\) :\(\frac{343}{8}= 2^{-3} \times 7^{3}\). En appliquant la règle sur le logarithme d’un produit :\(ln(2^{-3} \times 7^{3})=ln(2^{-3})+ln(7^{3})=−3ln(2)+3ln(7)\). 1. \(n=-3\) 2. \(m=3\)