Title: Rappels Lois discrètes
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Probabilités et Statistiques

Introduction et définitions

Définition d'une loi de probabilité discrète

On considère un ensemble d'éventualités $$\Omega$$ fini. On construit une application qui à chaque sous-ensemble $$A$$ de $$\Omega$$ associe un nombre $$P(A)$$ entre 0 et 1.

Définition
L'application $$P$$ est une loi de probabilité sur $$\Omega$$ si et seulement si :

- $$P(\Omega=1)$$.
- $$P(\bar A)=1-P(A)$$ où $$\bar A$$ est l'ensemble complémentaire de $$A$$ dans $$\Omega$$.
- Si $$A$$ et $$B$$ sont disjoints, alors $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$.

Remarque : la loi de probabilité est entièrement déterminée par les valeurs qu'elle prend pour chacun des sous-ensemble ne contenant qu'un élément, puisqu'avec la règle sur la réunion d'ensembles disjoints on peut calculer la probabilité sur n'importe quel sous-ensemble.

A cette étape la probabilité ne concerne pas toujours un tirage de nombres, mais plutôt les résultats d'un processus physique : une pièce tombe sur un côté ou sur l'autre, un dé s'arrête sur une position stable, une balle tombe dans une case...C'est une numérotation ou une règle de jeu qui va associer un nombre à cette éventualité aléatoire.

Cas d'un ensemble infini dénombrable.

Si $$\Omega$$ est tel qu'on peut numéroter tous ses éléments par des entiers (on dit que $$\Omega$$ est dénombrable), alors on peut définir une loi de probabilité de la même façon à condition de modifier la loi des réunions d'ensembles :

Définition
L'application $$P$$ est une loi de probabilité sur $$\Omega$$ si et seulement si :
- $$P(\Omega=1)$$.
- $$P(A^c)$$.
- Si pour $$I$$ sous-ensemble de $$ \mathbb N$$, $$(A_i)_{i\in I}$$ est une suite finie ou infinie de sous ensembles disjoints deux à deux alors $$P(\cup_{i\in I} A_i)=\sum_{i\in I}P(A_i)$$.

A cette étape la probabilité ne concerne pas toujours un tirage de nombres, mais plutôt les résultats d'un processus physique : une pièce tombe sur un côté ou sur l'autre, un dé s'arrête sur une position stable, une balle tombe dans une case...C'est une numérotation ou une règle de jeu qui va associer un nombre à cette éventualité aléatoire.

Variable aléatoire discrète

Soit $$\Omega$$ un ensemble dénombrable sur lequel est défini une probabilité $$P$$. Une variable aléatoire discrète $$X$$ est une application de $$\Omega$$ dans $$\mathbb R$$.

Cette application associe un nombre à chaque éventualité. Elle permet de définir une probabilité $$P'$$ sur $$\mathbb R$$ en donnant à chaque nombre la probabilité totale des éléments de $$\Omega$$ qui lui sont associés. On note $$(X=x)$$ le sous ensemble de $$\Omega$$ formé des $$\omega$$ qui ont x pour image par $$X$$ :

 $$(X=x)=\{\omega : X(\omega)=x\}$$.

On a donc $$P'(\{x\})=P(X=x)$$

Cette nouvelle loi de probabilité sur $$\mathbb R$$ sera appelée loi de probabilité de la variable $$X$$.

La loi de probabilité de $$X$$ est discrète : un nombre fini ou dénombrable de réels ont une probabilité non nulle, les autres ont une probabilité nulle.

Fonction de répartition

On peut également déterminer la loi de $$X$$ en donnant la probabilité de tous les intervalles $$]-\infty,x]$$. On définit une fonction de $$x$$ par

$$F(x) =P(]-\infty,x])$$.

Cette fonction est appelée fonction de répartition de $$X$$. Elle est croissante. Elle tend vers 0 en $$-\infty$$, vers 1 en $$+\infty$$.

Espérance

Pour une variable aléatoire $$X$$, l'espérance est la moyenne des réels de probabilité non nulle (x_i)_{i\in I}, pondérée par leur probabilité $$P(X=x_i)$$ :
$$E(X)=\sum_{i\in I}P(X=x_i)x_i$$.
L'espérance est le résultat moyen attendu dans le tirage aléatoire.

Propriétés
L'espérance d'une somme de variables est la somme des espérances des variables. L'espérance du produit d'un variable par un réel est le produit du réel par l'espérance de la variable.

Variance

On peut également calculer des espérance pour des fonctions appliquées au valeurs de $$X$$ comme le carré. On fait alors la moyenne pondérée des carrés des valeurs :
$$E(X^2)=\sum_{i\in I}P(X=x_i)x_i^2$$
La variance est égale à
$$var(X)=E(X^2)-(E(X))^2$$
Elle a aussi une autre expression :
$$var(X)=E(X-E(X))^2$$

C'est donc la moyenne pondérée des écarts à la moyenne. Elle permet d'évaluer si le résultat du tirage est concentré ou dispersé autour de l 'espérance.

Vidéo pour la définition des probabilités : https://www.mathenvideo.fr/category/par-themes/stats-et-proba/probabilites/le-vocabulaire/

Exercice 1 -Question 1

On considère une loi de probabilité $$P$$ sur $$\Omega$$.

Soient $$A$$ et $$B$$ deux sous-ensembles quelconques de $$\Omega$$.

Montrer que $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$

Exercice 1- Réponse à la question 1

On note $$A\setminus B$$ l'ensemble des éléments qui appartiennent à $$A$$ mais pas à $$B$$.

On vérifie que $$A\setminus B$$, $$A\setminus B$$ et $$A\cap B$$ sont des ensembles disjoints deux à deux tels que

- $$A=(A\setminus B)\cup(A\cap B)$$, d'où $$P(A)=P(A\setminus B)+P(A\cap B)$$,
- $$B=(B\setminus A)\cup(A\cap B)$$, d'où $$P(B)=P(B\setminus A)+P(A\cap B)$$,
- $$A\cup B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)\cup(A\cap B)$$, d'où $$P(A\cup B)=P(A\setminus B)+P(B\setminus A)+P(A\cap B)$$.

En composant ces deux premières égalités, on obtient

$$P(A)+P(B)=P(A\setminus B)+P(B\setminus A)+2P(A\cap B)$$,

et le résultat demandé en comparant avec la troisième égalité.

Exercice 1- Question 2

On  considère une loi de probabilité $$P$$.

Montrer que si $$A\subset B$$, alors $$P(A)\leq P(B)$$.

Exercice 1 - Réponse à la question 2

Puisque $$A\subset B$$, on a $$B=(B\setminus A)\cup A$$.
Ces deux ensembles sont disjoints donc $$P(B)=P(B\setminus A)+P(A)\geq P(A)$$.

On dit que $$P$$ est une application croissante.

Exercice 1 - Question 3

On lance un dé à 6 faces équilibré. Chaque face numérotée de 1 à 6 est tirée avec la même probabilité.

Calculer la probabilité que le chiffre tiré soit pair. Justifier à partir de la définition des probabilités.

Exercice 1 - Réponse à la question 3

Il y a six sous-ensembles disjoints à un élément et leur union forme $$\Omega$$. Chacun de ces  ensembles a la même  probabilité et la somme des probabilités vaut la probabilité de $$\Omega$$ donc 1. La probabilité de chaque ensemble à un élément est donc  $$\dfrac 1 6$$.

L'ensemble dont on doit calculer la probabilité est l'ensemble des nombres pairs $$A=\{2,4,6\}$$.

$$A=\{2\}\cup\{4\}\cup\{6\}$$.

Les ensembles sont disjoints. On applique de nouveau la règle de la probabilité d'une union d'ensembles disjoints :

$$P(A)=P(\{2\})+P(\{4\})+P(\{6\})=\dfrac 1 6 +\dfrac 1 6 +\dfrac 1 6=\dfrac 1 2$$.

Exercice 2 - Question 1

On considère la loi de probabilité $$X$$ du tirage d'un dé ordinaire à 6 faces

Calculer l'espérance de $$X$$.

Exercice 2 - Réponse à la question 1

L'espérance de $$X$$ est donnée par la formule :

$$E(X)=\sum_{k=1}^6 kP(X=k)=\sum_{k=1}^6 k\times \dfrac 16P(X=k)=\dfrac 16\sum_{k=1}^6 k=\dfrac 16 \dfrac {7\times 6}2=\dfrac 72.

Exercice 2 - Question 2

On considère la loi de probabilité $$X$$ du tirage d'un dé ordinaire à 6 faces

Calculer la variance de $$X$$.

Exercice 2 - Réponse à la question 2

La variance de $$X$$ est donnée par la formule :

$$Var(X)=\sum_{k=1}^6 k^2P(X=k)-(E(X))^2=\sum_{k=1}^6 k^2\times \dfrac 16-\dfrac{49}4=\dfrac {1+4+9+16+25+36}6-\dfrac{49}4=\dfrac{91}{6}-\dfrac{49}4=\dfrac{182-147}{12}\dfrac {35}{12}$$.

ou suivant l'autre formule :

$$Var(X)=\sum_{k=1}^6 \left(k-\dfrac 72\right)^2P(X=k)=\sum_{k=1}^6 \left(k-\dfrac 72\right)^2\times \dfrac 16=\dfrac 16\sum_{k=1}^6\dfrac {(2k-7)^2}4=\dfrac 1{24}(25+9+1+1+9+25)=\dfrac{70}{24}=\dfrac {35}{12}$$.