Title: Exercice 1 - Résolution matricielle
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Equations différentielles et Transformée de Laplace

Résolution d'un système différentiel linéaire homogène à coefficients constants, avec sa condition initiale, en dimension 2.

Question 1

On considère le système différentiel linéaire homogène à coefficients constants suivant :

$$\left\{\begin{array}{l}x'(t)=2x(t)+y(t)\\y'(t)=x(t)+2y(t)\end{array}\right.$$

de conditions initiales $$x(0)=1$$, $$y(0)=0$$.

Mettre le système sous forme matricielle.

Réponse 1

On met le système sous la forme $$X'(t)=AX(t)$$ avec :

$$X(t)=\left(\begin{array}{c}x(t)\\y(t)\end{array}\right)$$

$$X'(t)=\left(\begin{array}{c}x'(t)\\y'(t)\end{array}\right)$$

$$A=\left(\begin{array}{c}2&1\\1&2\end{array}\right)$$

sous la condition initiale $$X(0)=X_0$$ avec $$X_0=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)$$.

Question 2

On suppose que la matrice $$A$$ est diagonalisable de valeurs propres réelles. Exprimer (sans la calculer) la solution $$X(t)$$ du système différentiel.

Réponse 2

Dans le cas où la matrice $$A$$ est diagonalisable de valeurs propres réelles $$\lambda_1$$ et $$\lambda_2$$ et de vecteurs propres associés mis sous forme de matrices vecteurs colonne $$V_1$$ et $$V_2$$, la solution du système différentiel s'écrit :

$$X(t)=ae^{\lambda_1 t}V_1+be^{\lambda_2 t}V_2$$,

où $$a$$ et $$b$$ sont des constantes déterminées à l'aide des conditions initiales.

Question 3

Diagonaliser $$A$$.

Réponse 3

Le polynôme caractéristique de $$A$$, $$|A-\lambda I_2|$$, se factorise en $$(1-\lambda)(3-\lambda)$$. $$A$$ est donc bien diagonalisable, de valeurs propres $$\lambda_1=1$$ et $$\lambda_2=3$$.

L'espace propre associé à $$\lambda_1=1$$ est défini par l'ensemble des $$x$$ et $$y$$ tels que $$A\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)$$. Le système précédent se réduit en $$x+y=0$$, donc l'espace propre associé à $$\lambda_1$$ est $$\text{Vect}(V_1)$$ pour $$V_1=\left(\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right)$$.

L'espace propre associé à $$\lambda_2=3$$ est défini par l'ensemble des $$x$$ et $$y$$ tels que $$A\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)$$. Le système précédent se réduit en $$x-y=0$$, donc l'espace propre associé à $$\lambda_2$$ est $$\text{Vect}(V_2)$$ pour $$V_2=\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)$$.

Question 4

Donner les expressions de $$x(t)$$ et $$y(t)$$ solutions du système différentiel sans condition initiale.

Réponse 4

La solution est $$X(t)=ae^{\lambda_1 t}V_1+be^{\lambda_2 t}V_2$$, soit, en utilisant les résultats de la question précédente, on trouve la solution sous forme scalaire :

$$\left\{\begin{array}{l}x(t)=ae^{t}+be^{3t}\\y(t)=-ae^{t}+be^{3t}\end{array}\right.$$

Question 5

Donner les expressions de $$x(t)$$ et $$y(t)$$ solutions du système différentiel en appliquant la condition initiale.

Réponse 5

La condition initiale $$X(0)=X_0$$ devient :

$$\left\{\begin{array}{l}x(0)=ae^{0}+be^{3\times 0}=1\\y(0)=-ae^{0}+be^{3\times 0}=0\end{array}\right.$$

c'est à dire

$$\left\{\begin{array}{l}a+b=1\\-a+b=0\end{array}\right.$$

qui a pour solution $$a=b=0.5$$. La solution du système différentiel linéaire homogène à coefficients constants de cet exercice est donc :

$$\left\{\begin{array}{l}x(t)=0.5e^{t}+0.5e^{3t}\\y(t)=-0.5e^{t}+0.5e^{3t}\end{array}\right.$$