Title: Continuite et operations
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: On considère deux fonctions numériques \(f\) et \(g\) définies sur une partie \(D\) de \(\mathbb{R}\).

On suppose que la fonction \(f\) est continue en un point \(x_{0}\) de D et que la fonction \(g\) n’est pas continue en \(x_{0}\).

La fonction \(f+g\) est continue en \(x_{0}\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]

On suppose que les fonctions \(f\) et \(g\) ne sont pas continues en un point \(x_{0}\) de D.

La fonction \(f+g\) n’est pas continue en \(x_{0}\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: F / f; F / f
Feedback: Soient deux fonctions numériques \(f\) et \(g\) définies sur une partie \(D\) de \(\mathbb{R}\), on suppose que la fonction \(f\) est continue en un point \(x_{0}\) de D et que la fonction \(g\) n’est pas continue en \(x_{0}\). Montrons que sous ces hypothèses la fonction \(f+g\) n’est pas continue en \(x_{0}\) en raisonnant par l’absurde. Si la fonction \(f+g\) était continue en \(x_{0}\), la fonction \(f\) étant continue en \(x_{0}\), on pourrait en déduire que la fonction \((f+g) - f\) serait continue en \(x_{0}\) c’est à dire que \(g\) serait continue en \(x_{0}\) ce qui est contraire à l’hypothèse. Donc la fonction fonction \(f+g\) n’est pas continue en \(x_{0}\). Soient deux fonctions numériques \(f\) et \(g\) définies sur une partie \(D\) de \(\mathbb{R}\), on suppose que les fonctions \(f\) et \(g\) ne sont pas continues en un point \(x_{0}\) de D. Alors la fonction \(f+g\) peut être continue en \(x_{0}\), en effet il suffit de prendre \(g = -f\)/ Dans ce cas \(f\) n’étant pas continue en \(x_{0}\) il en est de même pour la fonction \(-f\) mais alors \(f + (-f)\) est la fonction nulle sur \(D\) et est donc bien continue en \(x_{0}\).

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par

\[f = u + v\]

où \(u\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(x\mapsto \lfloor x \rfloor\)

où \(v\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(x\mapsto (\lfloor x \rfloor)^{2}\)

1. La fonction \(f\) est continue en \(0\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
2. La fonction \(f\) est continue en \(\dfrac{1}{2}\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: V / v; V / v
Feedback: Remarque : on constate que \(f\) est la fonction définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[x \mapsto \lfloor x \rfloor + (\lfloor x \rfloor)^{2}\] donc si on note \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\) on a : \(D_{f} = \mathbb{R}\). On a : \(\forall x \in ]0,1[ \lfloor x \rfloor = 0\) d’où \(\forall x \in ]0,1[ \lfloor x \rfloor + (\lfloor x \rfloor)^{2} = 0\) \[\begin{eqnarray*} \mbox{donc } \lim_{x\to 0^{+}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{+}} { \lfloor x \rfloor + (\lfloor x \rfloor)^{2} } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & \lim_{x\to 0^{+}} {0} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & f(0) \end{eqnarray*}\] On en déduit que la fonction \(f\) est continue à droite en \(0\). On a : \(\forall x \in ]-1,0[ \lfloor x \rfloor = -1\) d’où \(\forall x \in ]-1,0[ \lfloor x \rfloor + (\lfloor x \rfloor)^{2} = -1 + (-1)^{2}\) \[\begin{eqnarray*} \mbox{donc } \lim_{x\to 0^{-}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{-}} {\lfloor x \rfloor + (\lfloor x \rfloor)^{2} } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & \lim_{x\to 0^{-}} {0 }\\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & f(0) \end{eqnarray*}\] On en déduit que la fonction \(f\) est continue à gauche en \(0\). On peut donc en conclure que la fonction \(f\) est continue en \(0\). Par ailleurs la fonction \(u\) est continue en \(\dfrac{1}{2}\) et la fonction \(v\) est continue en $ $, donc d’après le théorème sur la continuité de la somme de deux fonctions continues on en déduit que la fonction \(u + v\), c’est à dire \(f\), est continue en \(\dfrac{1}{2}\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par

\[f = u \times v\]

où \(u\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(x\mapsto x\)

où \(v\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(x\mapsto \lfloor x \rfloor\)

1. La fonction \(f\) est continue en \(0\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
2. La fonction \(f\) est continue en \(\dfrac{1}{2}\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: V / v; V / v
Feedback: Remarque : on constate que \(f\) est la fonction définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[x \mapsto x \, \lfloor x \rfloor \] donc si on note \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\) on a : \(D_{f} = \mathbb{R}\). On a : \(\forall x \in ]0,1[ \lfloor x \rfloor = 0\) d’où \(\forall x \in ]0,1[ x \, \lfloor x \rfloor =0\). \[\begin{eqnarray*} \mbox{donc } \lim_{x\to 0^{+}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{+}} { x \, \lfloor x \rfloor } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & \lim_{x\to 0^{+}} {0} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & f(0) \end{eqnarray*}\] On en déduit que la fonction \(f\) est continue à droite en \(0\). On a : \(\forall x \in ]-1,0[ \lfloor x \rfloor = -1\) d’où \(\forall x \in ]-1,0[ x \, \lfloor x \rfloor = -x\) \[\begin{eqnarray*} \mbox{donc } \lim_{x\to 0^{-}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{-}} { x \,\lfloor x \rfloor } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & \lim_{x\to 0^{-}} {-x }\\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & f(0) \end{eqnarray*}\] On en déduit que la fonction \(f\) est continue à gauche en \(0\). On peut donc en conclure que la fonction \(f\) est continue en \(0\). Par ailleurs la fonction \(u\) est continue en \(\dfrac{1}{2}\) et la fonction \(v\) est continue en $ $, donc d’après le théorème sur la continuité du produit de deux fonctions continues on en déduit que la fonction \(u \times v\), c’est à dire \(f\), est continue en \(\dfrac{1}{2}\).

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par

\[f = u \times v\]

où \(u\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : $xx + 1 $

où \(v\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(x\mapsto \lfloor x \rfloor\)

1. La fonction \(f\) est continue en \(0\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
2. La fonction \(f\) est continue en \(\dfrac{1}{2}\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: V / v; V / v
Feedback: Remarque : on constate que \(f\) est la fonction définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[x \mapsto \lfloor x + 1 \rfloor \, \lfloor x \rfloor \] donc si on note \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\) on a : \(D_{f} = \mathbb{R}\). On a : \(\forall x \in ]0,1[ \lfloor x \rfloor = 0\) d’où \(\forall x \in ]0,1[ x \, \lfloor \lfloor x + 1 \rfloor \rfloor =0\). \[\begin{eqnarray*} \mbox{donc } \lim_{x\to 0^{+}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{+}} { \lfloor x + 1 \rfloor \, \lfloor x \rfloor } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & \lim_{x\to 0^{+}} {0} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & f(0) \end{eqnarray*}\] On en déduit que la fonction \(f\) est continue à droite en \(0\). On a : \(\forall x \in ]-1,0[ \lfloor x \rfloor = -1\) d’où : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in ]-1,0[ \lfloor x + 1 \rfloor \, \lfloor x \rfloor & = & ( \lfloor x \rfloor + 1 ) \, \lfloor x \rfloor \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & 0 \\ \end{eqnarray*}\] \[\begin{eqnarray*} \mbox{donc } \lim_{x\to 0^{-}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{-}} { \lfloor x + 1 \rfloor \,\lfloor x \rfloor } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & \lim_{x\to 0^{-}} {0 }\\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & f(0) \end{eqnarray*}\] On en déduit que la fonction \(f\) est continue à gauche en \(0\). On peut donc en conclure que la fonction \(f\) est continue en \(0\). Par ailleurs la fonction \(u\) est continue en \(\dfrac{1}{2}\) et la fonction \(v\) est continue en $ $, donc d’après le théorème sur la continuité du produit de deux fonctions continues on en déduit que la fonction \(u \times v\), c’est à dire \(f\), est continue en \(\dfrac{1}{2}\).

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par

\[f = u \times v\]

où \(u\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : $x2x $

où \(v\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(x\mapsto \lfloor x \rfloor\)

1. La fonction \(f\) est continue en \(0\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
2. La fonction \(f\) est continue en \(\dfrac{1}{2}\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: F / f; V / v
Feedback: Remarque : on constate que \(f\) est la fonction définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[x \mapsto \lfloor 2x \rfloor \, \lfloor x \rfloor \] donc si on note \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\) on a : \(D_{f} = \mathbb{R}\). On a : \(\forall x \in ]0,1[ \lfloor x \rfloor = 0\) d’où \(\forall x \in ]0,1[ \lfloor 2x \rfloor \, \lfloor x \rfloor =0\). \[\begin{eqnarray*} \mbox{donc } \lim_{x\to 0^{+}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{+}} { \lfloor 2x \rfloor \, \lfloor x \rfloor } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & \lim_{x\to 0^{+}} {0} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & f(0) \end{eqnarray*}\] On en déduit que la fonction \(f\) est continue à droite en \(0\). On a : $x & = & 1 \ \end{eqnarray*} \[\begin{eqnarray*} \mbox{donc } \lim_{x\to 0^{-}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{-}} { \lfloor 2x \rfloor \,\lfloor x \rfloor } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & \lim_{x\to 0^{-}} {1 }\\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & 1 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & \neq & f(0) \end{eqnarray*}\] On en déduit que la fonction \(f\) n’est pas continue à gauche en \(0\). On peut donc en conclure que la fonction \(f\) n’ est pas continue en \(0\). Par ailleurs la fonction \(u\) est continue en \(\dfrac{1}{2}\) et la fonction \(v\) est continue en $ $, donc d’après le théorème sur la continuité du produit de deux fonctions continues on en déduit que la fonction \(u \times v\), c’est à dire \(f\), est continue en \(\dfrac{1}{2}\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[x\mapsto \dfrac{x^{3} -8}{2x^{2} -2x - 4}\]

1. On note \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), déterminer la lettre qui correspond à la bonne réponse.

1. $D_{f}= {-1 ,2 } $
2. \(D_{f}= ]3, + \infty [\)
3. \(D_{f}= \mathbb{R} \setminus \{1 ,-2 \}\)
4. \(D_{f}= \mathbb{R} \setminus \{2 \}\)
5. \(D_{f}= \mathbb{R} \setminus \{3\}\)

Entrer la lettre choisie dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(f\) est continue sur \(D_{f}\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
2. On considère la fonction \(g\) définie par :

\[x\mapsto \left \{ \begin{array}{ccc} \rule[-4 pt]{0pt}{26pt} \dfrac{x^{3} -8}{2x^{2} -2x - 4} & \mbox{si} & x \in D_{f} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{26pt} a & \mbox{si} & x = 2\\ \end{array} \right . \]

Déterminer la valeur du réel \(a\) pour que la fonction \(g\) soit continue en \(2\) : [...]
A: a / a; V / v; 2
Feedback: On a : \(D_{f} = \left \{ x \in \mathbb{R} / 2x^{2} -2x - 4 \neq 0 \right \}\) Le trinôme \(2x^{2} -2x - 4\) admet comme discriminant \(36\) et a donc deux racines réelles à savoir \(-1\) et \(2\). d’où \[D_{f}= \mathbb{R} \setminus \{-1,2\}\] $\[$ La fonction $f$ est continue sur $D_{f}$ comme quotient de deux fonctions continues sur $D_{f}$. \]$$ Par ailleurs on a aussi : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} \forall x \in D_{f} \dfrac{x^{3} -8}{2x^{2} -2x - 4} & = & \dfrac{(x -2) \left ( x^{2} +2x + 4 \right ) }{2(x+1)(x-2)} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \dfrac{ x^{2} +2x + 4 }{2(x+1)} \\ \end{eqnarray*}\] \[\begin{eqnarray*} \mbox{donc } \lim_{x\to 2} {g(x) } & = & \lim_{x\to 2} { \dfrac{x^{3} -8}{2x^{2} -2x - 4} } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \lim_{x\to 2} { \dfrac{ x^{2} +2x + 4 }{2(x+1)} }\\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \dfrac{12}{6} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 2 \end{eqnarray*}\] La fonction \(g\) est continue en \(2\) si et seulement si \(\displaystyle{ \lim_{x\to 2} {g(x) } = g(2)}\), c’est à dire \(2 = a\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[x\mapsto \dfrac{x^{3} -3x^{2} -x + 3 } {x^{4} -1}\]

1. On note \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), on a : \[D_{f}= \mathbb{R} \setminus \{a , b \}\] où \(a\) et \(b\) sont deux entiers relatifs tels que \(b>a\).

Entrer la valeur de l’entier relatif \[a\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[b\] dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(f\) est continue sur \(D_{f}\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
2. On considère la fonction \(g\) définie par :

\[x\mapsto \left \{ \begin{array}{ccc} \rule[-4 pt]{0pt}{26pt} \dfrac{x^{3} -3x^{2} -x + 3 } {x^{4} -1} & \mbox{si} & x \in D_{f} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{26pt} L & \mbox{si} & x = a\\ \end{array} \right . \]

Déterminer la valeur du réel \(L\) pour que la fonction \(g\) soit continue en \(b\) : [...]
A: -1; 1; V / v; -2
Feedback: On a : \(D_{f} = \left \{ x \in \mathbb{R} / x^{4} -1 \neq 0 \right \}\). Comme $x^{4}- 1 = ( x^{2} +1 ) ( x^{2} -1 ) $ il vient \(D_{f} = \left \{ x \in \mathbb{R} / x^{2} -1 \neq 0 \right \}\) d’où \[D_{f}= \mathbb{R} \setminus \{-1,1\}\] La fonction \(f\) est continue sur \(D_{f}\) comme quotient de deux fonctions continues sur \(D_{f}\). Donc \(a=-1\) et \(b=1\). Par ailleurs on a aussi : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} \forall x \in D_{f} \dfrac{x^{3} -3x^{2} -x + 3 } {x^{4} -1} & = & \dfrac{(x - 3) \left ( x^{2} -1 \right ) }{ \left ( x^{2} +1 \right ) \left ( x^{2} -1 \right ) } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \dfrac{ x - 3 }{x^{2}+1} \\ \end{eqnarray*}\] \[\begin{eqnarray*} \mbox{donc } \lim_{x\to -1} {g(x) } & = & \lim_{x\to -1} { \dfrac{x^{3} -3x^{2} -x + 3 } {x^{4} -1} } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \lim_{x\to -1} {\dfrac{ x - 3 }{x^{2}+1} }\\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \dfrac{-4}{2} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & -2 \end{eqnarray*}\] La fonction \(g\) est continue en \(-1\) si et seulement si \(\displaystyle{ \lim_{x\to -1} {g(x) } = g(-1)}\), c’est à dire \(-2 = L\).

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par

\[x \mapsto x \lfloor x \rfloor\]

La fonction \(f\) est continue en \(0\) (V pour vrai, F pour faux) : ##ANSWER1##
A: V
Feedback: On a : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^{+}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{+}} { x \lfloor x \rfloor } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & \lim_{x\to 0^{+}} {x} . \lim_{x\to 0^{+}} {0} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & 0 \times 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & 0 \end{eqnarray*}\] et \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^{-}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{-}} { x \lfloor x \rfloor } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & \lim_{x\to 0^{-}} {x} . \lim_{x\to 0^{-}} {-1} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & 0 \times (-1 ) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & 0 \end{eqnarray*}\] donc \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^{-}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{+}} { f(x)} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & f(0) \end{eqnarray*}\] On en déduit que la fonction \(f\) est continue à droite et à gauche en \(0\), elle est donc continue en \(0\).

Q: Soit \(a\) un réel fixé, on considère la fonction \[f_{a}\] définie sur \[\mathbb R\] par

\[x \mapsto \left\{ \begin{array}{ccc} x \sin \left ( \dfrac{1}{x} \right ) & \mbox{si} & x \neq 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{26pt} a & \mbox{si} & x = 0 \end{array} \right .\]

Déterminer la valeur du réel \(a\) pour que la fonction \(f_{a}\) soit continue en \(0\).
A: 0
Feedback: Remarque : Soit \(D_{f_{a}}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), on a : \(D_{f_{a}} = \mathbb{R}\). La fonction \(f_{a}\) est continue en \(0\) si et seulement si on a : $ $. On en déduit que : La fonction \(f_{a}\) est continue en \(0\) si et seulement si on a : $ $. On a : \(\forall x \in \mathbb{R^{*}}, -1 \leq \sin \left ( \dfrac{1}{x} \right ) \leq 1\) d’où \(\forall x \in \mathbb{R^{*}}, -x \leq x \sin \left ( \dfrac{1}{x} \right ) \leq x\) comme on a : $ $ et $ $ d’après le théorème d’encadrement on en déduit que : \[ \lim_{x\to 0} { x \sin \left ( \dfrac{1}{x} \right ) } = 0.\] Finalement on a : \[ \lim_{x\to 0} {f_{a}(x) } = 0 \mbox{ c'est à dire } a = 0.\]

Q: Soit \(a\) un réel fixé, on considère la fonction \[f_{a}\] définie sur \[\mathbb R\] par

\[x \mapsto \left \{ \begin{array}{ccc} \dfrac {\sqrt{1 + x} - \sqrt {1- x}} {x} & \mbox{si} & x \neq 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{26pt} a & \mbox{si} & x = 0 \\ \end{array} \right .\]

Déterminer la valeur du réel \(a\) pour laquelle la fonction \(f_{a}\) soit continue en \(0\).
A: 1
Feedback: Soit \(D_{f_{a} }\) l’ensemble de définition de la fonction \(f_{a}\) on a : \[ D_{f_{a} } = \left \{ x \in \mathbb{R}, x + 1 \geq 0 \mbox{et} 1-x \geq 0 \right \}\] donc : \[D_{f_{a}} = [-1 , 1]\] On a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-10 pt]{0pt}{30 pt} \forall x \in D_{f_{a}} \dfrac {\sqrt{1 + x} - \sqrt {1- x}} {x} & = & \dfrac {\sqrt{1 + x} + \sqrt {1- x}} {\sqrt{1 + x} + \sqrt {1- x}} \times \dfrac {\sqrt{1 + x} - \sqrt {1- x}} {x} \\ \rule[-10 pt]{0pt}{35 pt} & = & \dfrac { \left ( \sqrt{1 + x} \right ) ^{2} - \sqrt {1- x}^{2} } {x \left ( \sqrt{1 + x} + \sqrt {1- x} \right ) } \\ \rule[-10 pt]{0pt}{35 pt} & = & \dfrac { 1 + x - (1 -x) } {x \left ( \sqrt{1 + x} + \sqrt {1- x} \right ) } \\ \rule[-10 pt]{0pt}{35 pt} & = & \dfrac {2x} {x \left ( \sqrt{1 + x} + \sqrt {1- x} \right ) } \\ \rule[-10 pt]{0pt}{35 pt} & = & \dfrac { 2 } { \sqrt{1 + x} + \sqrt {1- x} } \\ \end{eqnarray*}\] d’où \[ \lim_{x\to 0} { \dfrac {\sqrt{1 + x} - \sqrt {1- x}} {x} } = \lim_{x\to 0} { \dfrac { 2 } { \sqrt{1 + x} + \sqrt {1- x} } } .\] soit \[ \lim_{x\to 0} { \dfrac {\sqrt{1 + x} - \sqrt {1- x}} {x} } = \dfrac { 2 } { 1 + 1 } .\] Finalement on a : \[ \lim_{x\to 0} {f_{a}(x) } = 1 \mbox{ c'est à dire } a = 1.\]

Q: Soit \(a\) un réel fixé, on considère la fonction \[f_{a}\] définie sur \[\mathbb R\] par

\[x \mapsto \left \{ \begin{array}{ccc} \dfrac {\sin x }{x} & \mbox{si} & x \neq 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{26pt} a & \mbox{si} & x = 0 \\ \end{array} \right .\]

Déterminer la valeur du réel \(a\) pour laquelle la fonction \(f_{a}\) est continue en \(0\) :
A: 1
Feedback: Remarque : Soit \(D_{f_{a}}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), on a : \(D_{f_{a}} = \mathbb{R}\). La fonction \(f_{a}\) est continue en \(0\) si et seulement si on a : $ $. On en déduit que : La fonction \(f_{a}\) est continue en \(0\) si et seulement si on a : $ $. On peut constater que : \[\begin{eqnarray*} \rule[-10 pt]{0pt}{30 pt} \forall x \in \mathbb{R} \dfrac {\sin x}{x} & = & \dfrac {\sin x - \sin 0} {x -0} \\ \end{eqnarray*}\] La fonction sinus étant dérivable sur \(\mathbb{R}\) donc en particulier en \(0\) on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-10 pt]{0pt}{30 pt} \lim_{x \to 0} { \dfrac {\sin x - \sin 0} {x -0} } & = & \sin ' 0 \\ \rule[-10 pt]{0pt}{30 pt} & = & \cos 0 \\ \rule[-10 pt]{0pt}{30 pt} & = & 1 \end{eqnarray*}\] soit \[ \lim_{x\to 0} { \dfrac {\sin x} {x} } = 1 .\] Finalement on a : \[ \lim_{x\to 0} {f_{a}(x) } = 1 \mbox{ c'est à dire } a = 1.\]

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[x\mapsto \sqrt {1 - x^{2}}\]

1. On note \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\) :

1. \(D_{f}= \mathbb{R}\)
2. \(D_{f}= ]0, 1 [\)
3. \(D_{f}= ]-1,1[\)
4. \(D_{f}= [-1,1]\)
5. \(D_{f}= [0,1[\)

Entrer la lettre qui correspond à la bonne réponse : [...]

1. La fonction \(f\) est continue sur \(D_{f}\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: d / d; V / v
Feedback: On a : \(D_{f} = \left \{ x \in \mathbb{R} / 1 - x^{2} \geq 0 \right \}\) d’où \[D_{f} = [-1,1]\] On a : \(f = g \circ h\) où \(h\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(x\mapsto 1 - x^{2}\) et \(g\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(x\mapsto \sqrt x\) La fonction polynôme \(h\) est continue sur \(\mathbb{R}\) donc sur \([-1,1]\) et de plus on a : \[\forall x \in [-1,1], 1 - x^{2} \geq 0\]. c’est à dire que l’on a : \(h \left \langle [-1,1] \right \rangle \subset \mathbb{R}_{+}\) par ailleurs la fonction \(g\) étant continue sur \(\mathbb{R}_{+}\), d’après le théorème sur la continuité d’une fonction composée on peut en déduire que la fonction \(g \circ h\), c’est à dire \(f\), est continue sur \([-1,1]\), c’est à dire sur \(D_{f}\).

Q: Soit \(a\) un réel fixé, on considère la fonction \[f_{a}\] définie sur \[\mathbb R\] par

\[x \mapsto \left \{ \begin{array}{ccc} \dfrac {\mbox{Arctan} \, x }{x} & \mbox{si} & x \neq 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{26pt} a & \mbox{si} & x = 0 \\ \end{array} \right .\]

Déterminer la valeur du réel \(a\) pour laquelle la fonction \(f_{a}\) est continue en \(0\) :
A: 1
Feedback: Remarque : Soit \(D_{f_{a}}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), on a : \(D_{f_{a}} = \mathbb{R}\). La fonction \(f_{a}\) est continue en \(0\) si et seulement si on a : $ $. On en déduit que : La fonction \(f_{a}\) est continue en \(0\) si et seulement si on a : $ $. On peut constater que : \[\begin{eqnarray*} \rule[-10 pt]{0pt}{30 pt} \forall x \in \mathbb{R} \dfrac { \mbox{Arctan} \, x }{x} & = & \dfrac {\mbox{Arctan} \, x - \mbox{Arctan} \, 0}{x -0} \\ \end{eqnarray*}\] La fonction Arctan étant dérivable sur \(\mathbb{R}\) donc en particulier en \(0\) on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-10 pt]{0pt}{30 pt} \lim_{x \to 0} { \dfrac {\mbox{Arctan} \, x - \mbox{Arctan} \, 0} {x -0} } & = & \mbox{Arctan'} \, 0 \\ \rule[-10 pt]{0pt}{30 pt} & = & \dfrac{1}{1 + 0^{2} } \\ \rule[-10 pt]{0pt}{30 pt} & = & 1 \end{eqnarray*}\] soit \[ \lim_{x\to 0} { \dfrac {\mbox{Arctan} \, x} {x} } = 1 .\] Finalement on a : \[ \lim_{x\to 0} {f_{a}(x) } = 1 \mbox{ c'est à dire } a = 1.\]

Q: Soit \(a\) un réel fixé, on considère la fonction \[f_{a}\] définie sur \[\mathbb R\] par

\[x \mapsto \left \{ \begin{array}{ccc} \dfrac {\ln x}{x - 1} & \mbox{si} & x \neq 1 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{26pt} a & \mbox{si} & x = 1 \\ \end{array} \right .\]

Déterminer la valeur du réel \(a\) pour que la fonction \(f_{a}\) soit continue en \(1\) :

1. [...]
A: 1
Feedback: Remarque : Soit \(D_{f_{a}}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), on a : \(D_{f_{a}} = \mathbb{R}_{+}^{*}\). La fonction \(f_{a}\) est continue en \(1\) si et seulement si on a : $ $. On en déduit que : La fonction \(f_{a}\) est continue en \(1\) si et seulement si on a : $ $. On peut constater que : \[\begin{eqnarray*} \rule[-10 pt]{0pt}{30 pt} \forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*} \dfrac { \ln x }{x -1} & = & \dfrac {\ln x - \ln 1}{x -1} \\ \end{eqnarray*}\] La fonction ln étant dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) donc en particulier en \(1\) on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-10 pt]{0pt}{30 pt} \lim_{x \to 1} { \dfrac {\ln x - \ln 1}{x-1 } } & = & \ln ' 1 \\ \rule[-10 pt]{0pt}{30 pt} & = & \dfrac{1}{1} \\ \rule[-10 pt]{0pt}{30 pt} & = & 1 \end{eqnarray*}\] soit \[ \lim_{x\to 1} { \dfrac {\ln x} {x - 1} } = 1 .\] Finalement on a : \[ \lim_{x\to 1} {f_{a}(x) } = 1 \mbox{ c'est à dire } a = 1.\]

Q: Soit \(a\) un réel fixé, on considère la fonction \[f_{a}\] définie sur \[\mathbb R\] par

\[x \mapsto \left \{ \begin{array}{ccc} a x^{2} + 5 & \mbox{si} & x \in \, ]-\infty , -1[ \\ \rule[-4 pt]{0pt}{26pt} \dfrac{2}{x} & \mbox{si} & x \in \, [-1 , +\infty [ \\ \end{array} \right .\]

Déterminer la valeur du réel \(a\) pour que la fonction \(f_{a}\) soit continue en \(-1\) :
A: -7
Feedback: Remarque : Soit \(D_{f_{a}}\) l’ensemble définition de la fonction \(f_{a}\), on a : \(D_{f_{a}} = \mathbb{R}\). La fonction \(f_{a}\) est continue en \(-1\) si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en \(-1\) c’est à dire : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -1{-}} {f_{a}(x) } & = & \lim_{x\to -1^{+}} { f_{a}(x)} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & f_{a}(-1 ) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & \dfrac{2}{-1} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & -2 \end{eqnarray*}\] Or on a : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -1^{+}} {f_{a}(x) } & = & \lim_{x\to -1^{+}} { \dfrac{2}{x} }\\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & -2 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & f_{a}(-1) \end{eqnarray*}\] et \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -1^{-}} { f_{a}(x) } & = & \lim_{x\to -1^{-}} { a x^{2} + 5 } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & a.(-1)^{2} + 5 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & a + 5 \end{eqnarray*}\] donc la fonction \(f_{a}\) est continue en \(-1\) si et seulement si : \[\begin{eqnarray*} a + 5 & = & -2 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} \mbox{ c'est à dire } a & = & -7 \end{eqnarray*}\]

Q: Soient \(a\) et \(b\) deux réels on considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par

\[x \mapsto \left \{ \begin{array}{ccc} a x^{3} + 10 & \mbox{si} & x \in \, ]-\infty , 2] \\ \rule[-4 pt]{0pt}{26pt} \dfrac{b}{x-2} + 3a & \mbox{si} & x \in \, ]2 , +\infty [ \\ \end{array} \right .\]

Déterminer les valeurs des réels \(a\) et \(b\) pour que la fonction \(f\) soit continue en \(2\).

Entrer la valeur du réel \[a\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[b\] dans la case suivante : [...]
A: -2; 0
Feedback: Remarque : Soit \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), on a : \(D_{f} = \mathbb{R}\). La fonction \(f\) est continue en \(2\) si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en \(2\) c’est à dire : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 2{-}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 2^{+}} { f(x)} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & f(2 ) \\ \end{eqnarray*}\] Or on a : \[ \lim_{x\to 2^{+} }{ f(x)} = \left \{ \begin{array}{ccc} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} - \infty & \mbox{si} & 0 > b \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} 3a & \mbox{si} & b =0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} +\infty & \mbox{si} & b > 0 \\ \end{array} \right .\] et \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 2^{-}} { f(x) } & = & \lim_{x\to 2^{-}} { a x^{3} + 10 } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & a.(2)^{3} + 10 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & 8a + 10 \end{eqnarray*}\] donc la fonction \(f\) est continue en \(2\) si et seulement si : {} et \[\begin{eqnarray*} 8a + 10 & = & 3a \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} \mbox{ c'est à dire } a & = & -2 \end{eqnarray*}\]

Q: Soit \(a\) et \(b\) deux réels on considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par

\[x \mapsto \left \{ \begin{array}{ccc} ae^{ x} + b\cos x -3 & \mbox{si} & x \in \, ]-\infty , 0] \\ \rule[-4 pt]{0pt}{26pt} x\ln x & \mbox{si} & x \in \, ]0, 1] \\ \rule[-4 pt]{0pt}{26pt} \dfrac{bx}{x-2} + 5a - 27 & \mbox{si} & x \in \, ]1 , +\infty [ \\ \end{array} \right .\]

Déterminer les valeurs des réels \(a\) et \(b\) pour que la fonction \(f\) soit continue en \(0\) et en \(1\).

Entrer la valeur du réel \[a\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[b\] dans la case suivante : [...]
A: 5; -2
Feedback: Remarque : Soit \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), on a : \(D_{f} = \mathbb{R}\). La fonction \(f\) est continue en \(0\) si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en \(0\) c’est à dire : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^{-}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{+}} { f(x)} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & f(0 ) \\ \end{eqnarray*}\] Or on a : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^{-}} { f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{-}} { ae^{ x} + b\cos x -3 } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & a + b -3\\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & f(0) \end{eqnarray*}\] et \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^{+}} { f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{+}} { x \ln x } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & 0 \end{eqnarray*}\] donc la fonction \(f\) est continue en \(0\) si et seulement si : $ a + b -3 = 0.$ (1) Par ailleurs on a aussi : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1^{-}} { f(x) } & = & \lim_{x\to 1^{-}} { x \ln x } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & f(1) \end{eqnarray*}\] et \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1^{+}} { f(x) } & = & \lim_{x\to 1^{+}} { \dfrac{bx}{x-2} + 5a - 27 } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & \dfrac{b}{1-2} + 5a - 27 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & - b +5a - 27 \end{eqnarray*}\] donc la fonction \(f\) est continue en \(1\) si et seulement si : $ 5a - b - 27 = 0.$ (2) Conclusion : D’après les relations \((1)\) et \((2)\) la fonction \(f\) est continue en \(0\) et en \(1\) si et seulement si \[ \left \{ \begin{array}{ccc} a+b -3 & = &0 \\ 5a - b -27 & = & 0 \\ \end{array} \right .\] c’est à dire \[ \left \{ \begin{array}{ccc} a & = &5 \\ b &= & -2 \\ \end{array} \right .\]

Q: Soit \(a\) un réel fixé, on considère la fonction \[f_{a}\] définie sur \[\mathbb R_{+}^{*}\] par

\[x \mapsto \left \{ \begin{array}{ccc} x^{x} & \mbox{si} & x \neq 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{26pt} a & \mbox{si} & x = 0 \\ \end{array} \right .\]

Déterminer la valeur du réel \(a\) pour laquelle la fonction \(f_{a}\) est continue en \(0\) :
A: 1
Feedback: Remarque : Soit \(D_{f_{a}}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f_{a}\), on a : \(D_{f_{a}} = \mathbb{R}_{+}^{*}\) car : \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, x^{x} = e^{x \ln x}.\] La fonction \(f_{a}\) est continue en \(0\) si et seulement si on a : $ $. On en déduit que : La fonction \(f_{a}\) est continue en \(0\) si et seulement si on a : $ $. Comme on a $ $ on peut en déduire que :. \[ \lim_{x\to 0} { e^{x \ln x} } = e^{0} .\] Finalement on a : \[ \lim_{x\to 0} {f_{a}(x) } = 1 \mbox{ c'est à dire } a = 1.\]

Q: Soit \(a\) un réel fixé, on considère la fonction \[f_{a}\] définie sur \[\mathbb R\] par

\[x \mapsto \left \{ \begin{array}{ccc} a x^{2} + b & \mbox{si} & x \in \, ]-\infty ,1 [ \\ \rule[-4 pt]{0pt}{26pt} 2ax + 3b & \mbox{si} & x \in \, [1 , +\infty [ \\ \end{array} \right .\]

Déterminer la valeur du réel \(a\) et du réel \(b\) pour que \(f(1) = 0\) et que la fonction \(f\) soit continue en \(1\).

Entrer la valeur du réel \[a\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[b\] dans la case suivante : [...]
A: 4; -2
Feedback: Remarque : Soit \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), on a : \(D_{f} = \mathbb{R}\). On a : \(f(1) =2 \Longleftrightarrow 2a + 3b =2\). \((1)\) La fonction \(f\) est continue en \(1\) si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en \(1\) c’est à dire : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1{-}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 1^{+}} { f(x)} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & f(1 ) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & 2 \end{eqnarray*}\] Or on a : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1^{+}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 1^{+}} { 2ax +3b} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & 2a +3b \\ \end{eqnarray*}\] et \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1^{-}} { f(x) } & = & \lim_{x\to -1^{-}} { a x^{2} + b } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & a.(1)^{2} + 5 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & a + b \end{eqnarray*}\] donc la fonction \(f\) est continue en \(1\) si et seulement si : \[\begin{eqnarray*} a + b & = & 2a + 3b \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} \mbox{ c'est à dire } a +2b & = & 0 (2) \end{eqnarray*}\] Conclusion : D’après les relations \((1)\) et \((2)\) la fonction \(f\) est continue en \(1\) et vérifie \(f(1) = 2\) si et seulement si \[ \left \{ \begin{array}{ccc} 2a+3b & = &2 \\ a+ 2b & = & 0 \\ \end{array} \right .\] c’est à dire \[ \left \{ \begin{array}{ccc} a & = &4 \\ b &= &-2 \\ \end{array} \right .\]

Q: Soit \(a\) un réel fixé, on considère la fonction \[f_{a}\] définie sur \[\mathbb R\] par

\[x \mapsto \left \{ \begin{array}{ccc} \dfrac {\tan x }{x} & \mbox{si} & x \neq 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{26pt} a & \mbox{si} & x = 0 \\ \end{array} \right .\]

Déterminer la valeur du réel \(a\) pour que la fonction \(f_{a}\) soit continue en \(0\) :
A: 1
Feedback: Remarque : Soit \(D_{f_{a}}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), on a : \[D_{\tan} = \bigcup _{k \in \mathbb{Z}} \left] -\dfrac{\pi}{2} + k \pi , \dfrac{\pi}{2} + k \pi \right [\] La fonction \(f_{a}\) est continue en \(0\) si et seulement si on a : $ $. On en déduit que : La fonction \(f_{a}\) est continue en \(0\) si et seulement si on a : $ $. On peut constater que : \[\begin{eqnarray*} \rule[-10 pt]{0pt}{30 pt} \forall x \in \mathbb{R} \dfrac {\tan x}{x} & = & \dfrac {\tan x - \tan 0} {x -0} \\ \end{eqnarray*}\] La fonction \(\tan\) étant dérivable sur \(D_{\tan}\) donc en particulier en \(0\) on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-10 pt]{0pt}{30 pt} \lim_{x \to 0} { \dfrac {\tan x - \tan 0} {x -0} } & = & \tan ' 0 \\ \rule[-10 pt]{0pt}{30 pt} & = & 1 + \tan^{2} 0 \\ \rule[-10 pt]{0pt}{30 pt} & = & 1 \end{eqnarray*}\] soit \[ \lim_{x\to 0} { \dfrac {\tan x} {x} } = 1 .\] Finalement on a : \[ \lim_{x\to 0} {f_{a}(x) } = 1 \mbox{ c'est à dire } a = 1.\]

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[x\mapsto \dfrac{1}{ \sqrt x }\]

1. On note \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\).

1. \(D_{f}= \mathbb{R}_{+}\)
2. \(D_{f}= ]0, + \infty [\)
3. \(D_{f}= ]-1,1[\)
4. \(D_{f}= [-1,1]\)
5. \(D_{f}= [0,1[\)

Entrer la lettre qui correspond à la bonne réponse : [...]

1. La fonction \(f\) est continue sur \(D_{f}\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: b / b; V / v
Feedback: On a : \(D_{f} = \left \{ x \in \mathbb{R} / x \geq 0 \mbox{et} \sqrt x \neq 0 \right \}\) d’où \[D_{f} = ]0, + \infty [\] On a : \(f = g \circ h\) Où \(h\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(x\mapsto \sqrt x\) et \(g\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(x\mapsto \dfrac{1}{x}\) La fonction \(h\) est continue sur \(\mathbb{R}_{+}\) donc sur \(]0, + \infty [\) et de plus on a : \[\forall x \in ]0, + \infty [ , \sqrt x > 0\] c’est à dire que l’on a : \(h \left \langle ]0, + \infty [ \right \rangle \subset \mathbb{R}^{*}\) par ailleurs la fonction \(g\) étant continue sur \(\mathbb{R}^{*}\), d’après le théorème sur la continuité d’une fonction composée on peut en déduire que la fonction $ g h$, c’est à dire \(f\), est continue sur \(]0, + \infty[\) c’est à dire sur \(D_{f}\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[x\mapsto \dfrac{1}{ |x - 3 |}\]

1. On note \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\).

1. $D_{f}= _{+} {3 } $
2. \(D_{f}= ]3, + \infty [\)
3. \(D_{f}= ]-3,3[\)
4. \(D_{f}= [-3,3]\)
5. \(D_{f}= \mathbb{R} \setminus \{3\}\)

Entrer la lettre qui correspond à la bonne réponse : [...]

1. La fonction \(f\) est continue sur \(D_{f}\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: e / e; V / v
Feedback: On a : \(D_{f} = \left \{ x \in \mathbb{R} / |x -3 |\neq 0 \right \}\) d’où \[D_{f}= \mathbb{R} \setminus \{3\}\] On a : \(f = g \circ h\) où \(h\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(x\mapsto |x - 3 ]\) et \(g\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(x\mapsto \dfrac{1}{x}\) $$$$ La fonction \(h\) est continue sur \(\mathbb{R}\) donc sur \(\mathbb{R} \setminus \{3\}\) et de plus on a : \[\forall x \in \mathbb{R} \setminus \{3\} , |x - 3 |\neq 0\] c’est à dire que l’on a : \(h \left \langle \mathbb{R} \setminus \{3\} \right \rangle \subset \mathbb{R}^{*}\) par ailleurs la fonction \(g\) étant continue sur \(\mathbb{R}^{*}\), d’après le théorème sur la continuité d’une fonction composée on peut en déduire que la fonction \(g \circ h\), c’est à dire \(f\), est continue sur \(\mathbb{R} \setminus \{3\}\) c’est à dire sur \(D_{f}\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[x\mapsto \dfrac{1}{ \sqrt { 1 - x^{2}} }\]

1. On note \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\).

1. $D_{f}= _{+} {-1,1 } $
2. \(D_{f}= ]1, + \infty [\)
3. \(D_{f}= ]-1,1[\)
4. \(D_{f}= [-1,1]\)
5. \(D_{f}= \mathbb{R} \setminus \{-1,1\}\)

Entrer la lettre qui correspond à la bonne réponse : [...]

1. La fonction \(f\) est continue sur \(D_{f}\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: c / c; V / v
Feedback: On a : \(D_{f} = \left \{ x \in \mathbb{R} / 1 - x^{2} \geq 0 \mbox{et} \sqrt { 1 - x^{2}} \neq 0 \right \}\) d’où \[D_{f}= ]-1,1]\] On a : \(f = g \circ h\) où \(h\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(x\mapsto \sqrt { 1 - x^{2}}\) et \(g\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(x\mapsto \dfrac{1}{x}\) Par ailleurs on a aussi : \(h = v \circ u\) où $ u$ est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(x\mapsto 1 - x^{2}\) et \(v\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(x\mapsto \sqrt x\) On constate que ; \(D_{h}= [-1,1]\) La fonction polynôme \(u\) est continue sur \(\mathbb{R}\) donc sur \([-1,1]\) et de plus on a : \[\forall x \in [-1,1], 1 - x^{2} \geq 0\] c’est à dire que l’on a : \(u \left \langle [-1,1] \right \rangle \subset \mathbb{R}_{+}\) par ailleurs la fonction \(v\) étant continue sur \(\mathbb{R}_{+}\), d’après le théorème sur la continuité d’une fonction composée on peut en déduire que la fonction \(h\) est continue sur \([-1,1]\). La fonction \(h\) est continue sur \([-1,1]\) donc sur \(]-1,1[\) et de plus on a : \[\forall x \in ]-1,1[ , \sqrt { 1 - x^{2}} \neq 0\] c’est à dire que l’on a : \(h \left \langle ]-1,1[ \right \rangle \subset \mathbb{R}^{*}\) par ailleurs la fonction \(g\) étant continue sur \(\mathbb{R}^{*}\), d’après le théorème sur la continuité d’une fonction composée on peut en déduire que la fonction \(f\) est continue sur \(]-1,1[\) c’est à dire sur \(D_{f}\).

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par

\[f = v \circ u\]

où \(u\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(x\mapsto x^{2}\)

et \(v\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(x\mapsto \lfloor x \rfloor\)

1. La fonction \(f\) est continue en \(0\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
2. La fonction \(f\) est continue en \(\dfrac{1}{2}\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: V / v; V / v
Feedback: Remarque : on constate que \(f\) est la fonction définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[x \mapsto \lfloor x^{2} \rfloor\] donc si on note \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\) on a : \(D_{f} = \mathbb{R}\). On a : \(\forall x \in ]-1,1[ x^{2} \in \, [0,1[\) d’où \(\forall x \in ]-1,1[ \lfloor x^{2} \rfloor = 0\) \[\begin{eqnarray*} \mbox{donc } \lim_{x\to 0} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0} { \lfloor x^{2} \rfloor } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & \lim_{x\to 0} {0} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & f(0) \end{eqnarray*}\] On en déduit que la fonction \(f\) est continue en \(0\). Par ailleurs la fonction \(u\) est continue en \(\dfrac{1}{2}\) et la fonction \(v\) est continue en \(u \left ( \dfrac{1}{2} \right )\), car \(u \left ( \dfrac{1}{2} \right ) = \dfrac{1}{4}\), donc d’après le théorème sur la continuité d’une fonction composée on en déduit que la fonction \(v \circ u\), c’est à dire \(f\), est continue en \(\dfrac{1}{2}\).

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par

\[f = v \circ u\]

où \(u\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(x\mapsto x^{3}\)

et \(v\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(x\mapsto \lfloor x \rfloor\)

1. La fonction \(f\) est continue en \(0\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
2. La fonction \(f\) est continue en \(\dfrac{1}{2}\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: F / f; V / v
Feedback: Remarque : on constate que \(f\) est la fonction définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[x \mapsto \lfloor x^{3} \rfloor\] donc si on note \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\) on a : \(D_{f} = \mathbb{R}\). On a : \(\forall x \in ]0,1[ x^{3} \in \, [0,1[\) d’où \(\forall x \in ]0,1[ \lfloor x^{3} \rfloor = 0\) \[\begin{eqnarray*} \mbox{donc } \lim_{x\to 0^{+}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{+}} { \lfloor x^{3} \rfloor } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & \lim_{x\to 0^{+}} {0} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & f(0) \end{eqnarray*}\] On en déduit que la fonction \(f\) est continue à droite en \(0\). On a aussi : \(\forall x \in ]-1,0[ x^{3} \in \, ]-1,0[\) d’où \(\forall x \in ]-1,0[ \lfloor x^{3} \rfloor = -1\) \[\begin{eqnarray*} \mbox{donc } \lim_{x\to 0^{-}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{-}} { \lfloor x^{3} \rfloor } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & \lim_{x\to 0^{-}} {-1} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & -1 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & \neq & f(0) \end{eqnarray*}\] On en déduit que la fonction \(f\) n’est pas continue à gauche en \(0\). On peut donc en conclure que la fonction \(f\) n’est pas continue en \(0\). Par ailleurs la fonction \(u\) est continue en \(\dfrac{1}{2}\) et la fonction \(v\) est continue en \(u \left ( \dfrac{1}{2} \right )\), car \(u \left ( \dfrac{1}{2} \right ) = \dfrac{1}{8}\), donc d’après le théorème sur la continuité d’une fonction composée on en déduit que la fonction \(v \circ u\), c’est à dire \(f\), est continue en \(\dfrac{1}{2}\).

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par

\[f = v \circ u\]

où \(u\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(x\mapsto \lfloor x \rfloor\)

où \(v\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(x\mapsto x^{2}\)

1. La fonction \(f\) est continue en \(0\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
2. La fonction \(f\) est continue en \(\dfrac{1}{2}\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: F / f; V / v
Feedback: Remarque : on constate que \(f\) est la fonction définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[x \mapsto ( \lfloor x \rfloor)^{2}\] donc si on note \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\) on a : \(D_{f} = \mathbb{R}\). On a : \(\forall x \in ]0,1[ \lfloor x \rfloor = 0\) d’où \(\forall x \in ]0,1[ (\lfloor x \rfloor)^{2} = 0\) \[\begin{eqnarray*} \mbox{donc } \lim_{x\to 0^{+}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{+}} { (\lfloor x \rfloor)^{2} } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & \lim_{x\to 0^{+}} {0} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & f(0) \end{eqnarray*}\] On en déduit que la fonction \(f\) est continue à droite en \(0\). On a : \(\forall x \in ]-1,0[ \lfloor x \rfloor = -1\) d’où \(\forall x \in ]-1,0[ (\lfloor x \rfloor)^{2} = 1\) \[\begin{eqnarray*} \mbox{donc } \lim_{x\to 0^{-}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{-}} {( \lfloor x \rfloor)^{2} } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & \lim_{x\to 0^{-}} {1} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & 1 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & \neq & f(0) \end{eqnarray*}\] On en déduit que la fonction \(f\) n’est pas continue à gauche en \(0\). On peut donc en conclure que la fonction \(f\) n’est pas continue en \(0\). Par ailleurs la fonction \(u\) est continue en \(\dfrac{1}{2}\) et la fonction \(v\) est continue en \(u \left ( \dfrac{1}{2} \right )\), car \(u \left ( \dfrac{1}{2} \right ) = 0\), donc d’après le théorème sur la continuité d’une fonction composée on en déduit que la fonction \(v \circ u\), c’est à dire \(f\), est continue en \(\dfrac{1}{2}\).

Q: On considère la fonction \[f\] définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par

\[f = u + v\]

où \(u\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(x\mapsto \lfloor x \rfloor\)

où \(v\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(x\mapsto x^{2}\)

1. La fonction \(f\) est continue en \(0\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
2. La fonction \(f\) est continue en \(\dfrac{1}{2}\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: F / f; V / v
Feedback: Remarque : on constate que \(f\) est la fonction définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[x \mapsto \lfloor x \rfloor + x^{2}\] donc si on note \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\) on a : \(D_{f} = \mathbb{R}\). On a : \(\forall x \in ]0,1[ \lfloor x \rfloor = 0\) d’où \(\forall x \in ]0,1[ \lfloor x \rfloor + x^{2} = x^{2}\) \[\begin{eqnarray*} \mbox{donc } \lim_{x\to 0^{+}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{+}} { \lfloor x \rfloor + x^{2} } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & \lim_{x\to 0^{+}} {x^{2}} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & f(0) \end{eqnarray*}\] On en déduit que la fonction \(f\) est continue à droite en \(0\). On a : \(\forall x \in ]-1,0[ \lfloor x \rfloor = -1\) d’où \(\forall x \in ]-1,0[ \lfloor x \rfloor + x^{2} = -1 + x^{2}\) \[\begin{eqnarray*} \mbox{donc } \lim_{x\to 0^{-}} {f(x) } & = & \lim_{x\to 0^{-}} {\lfloor x \rfloor + x^{2} } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & \lim_{x\to 0^{-}} { -1 + x^{2}} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & = & -1 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{16pt} & \neq & f(0) \end{eqnarray*}\] On en déduit que la fonction \(f\) n’est pas continue à gauche en \(0\). On peut donc en conclure que la fonction \(f\) n’est pas continue en \(0\). Par ailleurs la fonction \(u\) est continue en \(\dfrac{1}{2}\) et la fonction \(v\) est continue en $ $, donc d’après le théorème sur la continuité de la somme de deux fonctions continues on en déduit que la fonction \(u + v\), c’est à dire \(f\), est continue en \(\dfrac{1}{2}\).