Title: Rappels Intégrales indéfinies 2
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Continuité, Dérivation, Intégration

Références de rappels de cours

On rappelle pour mémoire les éléments de la leçon précédente ; les exercices d'entrainement sont différents.

Cas unilatéral droit.

          Soit \(a\) un réel et \(b\) un réel tel que  \(a<b\) ou \(b = + \infty\), on note \(I = [a,b[\).

           Soit \(f\) une fonction numérique continue sur \(I\), on dit que \(f\) admet une intégrale généralisée sur \(I\) (ou que l'intégrale \(\int_{a}^{b} \, f(t) \, dt\) converge) si
           la fonction \(F\) définie sur \(I\) par :
           \[ \forall x \in I, \quad F(x) = \int_{a}^{x} \, f(t) \, dt\]
           admet une limite finie lorsque \(x\) tend vers \(b\) (donc par valeurs inférieures si \(b\) est un réel).

           On note alors :

               \begin{eqnarray*}
                     \lim_{x\to b}  { \; \int_{a}^{ x} \, f(t) \, dt  } & = &  \int_{a}^{b} \, f(t) \, dt
                      \end{eqnarray*}

Cas unilatéral gauche.

Soit \(a\) un réel et \(b\) un réel tel que  \(b >a\) ou \(a = - \infty\), on note \(I = ]a,b]\).

Soit \(f\) une fonction numérique continue sur \(I\), on dit que \(f\) admet une intégrale généralisée sur \(I\) (ou que l'intégrale \(\int_{a}^{b} \, f(t) \, dt\) converge) si la fonction \(F\) définie sur \(I\) par :
           \[ \forall x \in I, \quad F(x) = \int_{x}^{b}  \, f(t) \, dt\]
           admet une limite finie lorsque \(x\) tend vers \(a\) (donc par valeurs supérieures si \(a\) est un réel).

           On note alors :

               \begin{eqnarray*}
                     \lim_{x\to a}  { \; \int_{x}^{b} \, f(t) \, dt  } & = &  \int_{a}^{b} \, f(t) \, dt
               \end{eqnarray*}

 Cas bilatéral.

           Soit \(a\) un réel et \(b\) un réel tel que  \(b >a\) ou \(a = - \infty\) ou \(b = + \infty\), on note \(I = ]a,b[\).

 Soit \(f\) une fonction numérique continue sur \(I\), on dit que \(f\) admet une intégrale généralisée sur \(I\) (ou que l'intégrale \(\int_{a}^{b} \, f(t) \, dt\) converge) si il existe un réel \(c\)  appartenant à \(I\) tel que les deux intégrales \(\int_{a}^{ c} \, f(t) \, dt \) et  \( \int_{c}^{b } \, f(t) \, dt\) convergent.
On pose alors :
           \[\int_{a}^{ b} \, f(t) \, dt  = \int_{a}^{ c} \, f(t) \, dt  + \int_{c}^{b } \, f(t) \, dt\]

Remarque  : Si il existe un réel \(c\) vérifiant les conditions précédentes alors pour tout réel \(c'\) de \(I\) on a :

- les deux intégrales : \(\int_{a}^{ c'} \, f(t) \, dt \)  et  \ (\qquad \int_{c'}^{b } \, f(t) \, dt\) convergent.
- \[\int_{a}^{ b} \, f(t) \, dt  = \int_{a}^{ c'} \, f(t) \, dt  + \int_{c'}^{b } \, f(t)  \, dt \]

Ex 1 - Question 1

On considère  l'intégrale suivante :  \({I = \int_{0}^{+ \infty} \,  t  \,  \mbox{Arctan} \, t \, dt}\).

Soit la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \(t  \mapsto t  \,  \mbox{Arctan} \, t \).

Cette fonction \(f\) est-elle continue sur\([0,+ \infty[\) ?

Ex 1 - Réponse à la question 1

La fonction \(f\)  est le produit de deux fonctions continues ; elle est donc continue.

Ex 1 - Question 2

Montrer que
\[\forall x \in [0, + \infty[ \ \int_{0}^{x} \, t \mbox{Arctan} \,  t \, dt  =   \dfrac{a}{b} x^{2}  \mbox{Arctan} \, x   - \dfrac{c}{d}  \left ( x   + e   \mbox{Arctan} \, x    \right ) \\
\]
où \(a\), \(b\), \(c \) et \(d \) sont des entiers naturels tels que les fractions \(\dfrac{a}{b} \) et \(\dfrac{c}{d} \) soient irréductibles et \(e \) est un entier relatif. Donner les valeurs de ces nombres.

Ex 1 - Réponse à la question 2

On pose :
                 \begin{eqnarray*}
                          \forall x \in [0, + \infty [,         I(x)  & = &  \int_{0}^{ x} \,  t  \,  \mbox{Arctan} \, t \,     \, dt   \\
                 \end{eqnarray*}

 Pour le calcul de \(I(x)\)  on  effectue une intégration par parties en posant :
      \[   \begin{array}{ c  c  c  c  c  c  c  c }
                  \rule[-10 pt]{0pt}{25  pt} \forall t \in [0,x]   &u(t)  & =   & \mbox{Arctan} \, t \,            &  \mbox{d'où}   & u'(t)  & = & \dfrac{1}{1 + t^{2}}   \\
                  \rule[-15 pt]{0pt}{35  pt}                                                & v'(t) &=  & t  & \mbox{on peut  choisir}     & v(t)   & = &  \dfrac{1}{2} t^{2}  \\
               \end{array}\]

 Les fonctions \(u  \) et \(v  \) étant de classe \(\mathcal{C}^{1}  \) d'après le théorème d'intégration par parties on a :
 \begin{eqnarray*}
                      \rule[-15 pt]{0pt}{35  pt}   I(x) & = &  \left [ \mbox{Arctan} \, t \,  \left (  \frac{1}{2} t^{2} \right )  \right ] ^{x}_{0}  -  \int_{0}^{x} \, \dfrac{1}{1 + t^{2}} . \left ( \frac{1}{2} t^{2} \right )   \, dt \\
                       \rule[-15 pt]{0pt}{35  pt}        & = &     \mbox{Arctan} \, x \,  \left (  \frac{1}{2} x^{2} \right ) - 0   -   \dfrac{1}{2}  \int_{0}^{x} \, \dfrac{t^{2}}{1 + t^{2}}   \, dt  \\
                       \rule[-15 pt]{0pt}{35  pt}        & = &  \dfrac{1}{2} x^{2}  \mbox{Arctan} \, x    -   \dfrac{1}{2}  \int_{0}^{x} \, \dfrac{t^{2} + 1 -1}{1 + t^{2}}   \, dt  \\
                       \rule[-15 pt]{0pt}{35  pt}        & = &  \dfrac{1}{2} x^{2}  \mbox{Arctan} \, x    -   \dfrac{1}{2}  \int_{0}^{x} \, 1 - \dfrac{1}{1 + t^{2}}   \, dt  \\
                     \rule[-15 pt]{0pt}{35  pt}        & = &   \dfrac{1}{2} x^{2}  \mbox{Arctan} \, x   - \dfrac{1}{2}  \left [ t -    \mbox{Arctan} \, t  \right ] ^{x}_{0} \\
                         \rule[-15 pt]{0pt}{35  pt}        & = &   \dfrac{1}{2} x^{2}  \mbox{Arctan} \, x   - \dfrac{1}{2}  \left ( x -    \mbox{Arctan} \, x  -  0  \right )
                \end{eqnarray*}
Donc \(a=c=1\), \(b=d=2\) et \(e=-1\).

Ex 1 - Question 3

L'intégrale \(I\) est-elle convergente ?

Ex 1 - Réponse à la question 3

\begin{eqnarray*} \rule[-15 pt]{0pt}{35  pt}   I(x) & = &   \dfrac{1}{2} x \left  ( x  \mbox{Arctan} \, x   - 1 + \dfrac{ \mbox{Arctan} \, x}{x}   \right ) \\
                \end{eqnarray*}
Comme    \(\displaystyle { \lim_{x\to + \infty } {  \mbox{Arctan} \, x   }  =  \dfrac{\pi}{2} }  \)      on a :
  \(\displaystyle { \lim_{x\to + \infty } {  x  \mbox{Arctan} \, x   - 1  }  = + \infty }  \)    et    \(\displaystyle { \lim_{x\to + \infty } {  \dfrac{ \mbox{Arctan} \, x}{x}     } = 0 }  \) .
 On en déduit que :
                    \begin{eqnarray*}
                       \rule[-15 pt]{0pt}{35  pt}          \lim_{x\to + \infty}  { I(x) } & = & \lim_{x\to + \infty}  { \; \int_{0}^{ x} \,  t  \,  \mbox{Arctan} \, t \,  dt  } \\
                       \rule[-15 pt]{0pt}{35  pt}                                                   & = & + \infty
             \end{eqnarray*}

 Donc  l'intégrale \(I  \) diverge.

Ex 2 - Question 1

On considère  l'intégrale suivante :  \({I = \int_{0}^{+ \infty} \,  \dfrac{3 +  \cos^{2}t}{2  + t^{3}}  \, dt}\).
Soit la fonction \(f  \) définie de \(\mathbb{R}  \)  dans \(\mathbb{R}  \) par :
\[t  \mapsto \dfrac{3 +  \cos^{2}t}{2  + t^{3}}\]
Déterminer deux entiers naturels pairs consécutifs \(a \) et \(b \) tels que   \( \forall t \in ]0, + \infty[, \  a \leq f(t) \leq \dfrac{b^{2}}{t^{3}}  \)  .

Ex2 - Réponse à la question 1

La fonction \(f  \) définie de \(\mathbb{R}  \) dans \(\mathbb{R}  \) par :
\[t  \mapsto t  \,  \dfrac{ 3 +  \cos^{2}t}{2  + t^{3}}\] est continue sur \([0,+\infty [\).
On a :
       \[\begin{array}{ l ccccccccc }
                  \rule[-10 pt]{0pt}{20  pt}             \forall t \in  \mathbb{R}    &  &   &  -1     &  \leq  &   \cos t         & \leq &   1                 &  &   \\
                  \rule[-10 pt]{0pt}{20  pt}            \mbox{d'où}           &  &   & 0                   & \leq  &  \cos ^{2}t   & \leq  &    1                 & &  \\
                  \rule[-10 pt]{0pt}{20  pt}            \mbox{et enfin}       &  &   &  3                   & \leq  &  3 + \cos ^{2} t   & \leq  &    4                 & &      (1) \\
          \end{array}\]
Par ailleurs on a :
              \[\begin{array}{ l ccccccccc }
                  \rule[-10 pt]{0pt}{20  pt}             \forall t \in \mathbb{R}_{+}^{*}    &  &   &             0         &  \leq  & 2                    &  &                                 &  &   \\
                  \rule[-10 pt]{0pt}{30  pt}            \mbox{d'où}           &  &   &                               t^{3}         &  \leq &    2 + t^{3}         &  &                             &   &   \\
                  \rule[-10 pt]{0pt}{30  pt}            \mbox{et enfin}           &  &   & \dfrac{1}{2 + t^{3}}        &  \leq &    \dfrac{1}{t^{3}}         &  &  \mbox{car }  \; t^{3} > 0                           &   &   \\
              \end{array}\]
On en déduit que :
          \[\begin{array}{ r ccccccccc }
                   \forall t \in \mathbb{R}_{+} ^{*}   &  &   &  0                &  \leq  &   \dfrac{1}{ 2 + t^{3} }                   & \leq &   \dfrac{1}{t^{3}}                                &  &     (2) \\
                 \end{array}\]
En multipliant membre à membre \((1) \)  et \((2) \)  on obtient :
            \[\begin{array}{ r ccccccccc }
                  \rule[-10 pt]{0pt}{20  pt}             \forall t \in \mathbb{R}_{+}^{*}        &  &   & 0     &  \leq & (3 + \cos ^{2} t) . \dfrac{1}{3 + t ^{3}}     & \leq  &   4 \times \dfrac{1}{t^{3}}         &   &   \\
              \end{array}\]

C'est à dire :

    \[\begin{array}{ r ccccccccc }
                  \rule[-10 pt]{0pt}{20  pt}             \forall t \in  \mathbb{R}_{+}^{*}        &  &   & 0     &  \leq &   f(t)    & \leq  &   \dfrac {2^{2}}{t^{3}}        &   &   \\
              \end{array}\]

Ex2 - Question 2

On considère  l'intégrale suivante :  \(\displaystyle {J = \int_{1}^{+ \infty} \, \dfrac{1}{t^{3} } \, dt}\).
Déterminez \(n  \) et \(p  \)  entiers naturels tels que \[J = \dfrac{n}{p}\].

Ex2 - Réponse à la question 2

On considère  l'intégrale suivante :  \(J = \int_{1}^{+ \infty} \, \dfrac{1}{t^{3} } \, dt\).
On constate que la fonction \(g  \) définie de \(\mathbb{R}  \) dans \(\mathbb{R}  \) par : \(t  \mapsto \dfrac{1}{t^{3}}  \) est continue sur \([1,+\infty [\).
 On a :
                 \begin{eqnarray*}
                          \forall x \in [1, + \infty [,         \int_{1}^{ x} \, \dfrac{1}{t^{3}} \, dt   & = &\int_{1}^{ x} \, t^{-3} \, dt   \\
                               \rule[-4 pt]{0pt}{30pt}                                 & = &  \left [   \frac {1}{ -3 +  1   }   t^{- 3  + 1 }  \right ]^{x}_ {1} \\
                               \rule[-4 pt]{0pt}{30pt}                      & = & - \dfrac{1}{2} \left (  x^{- 2 }  - 1 \right )   \\
                                 \rule[-4 pt]{0pt}{30pt}                      & = &  \dfrac{1}{2} -  \dfrac{1}{2 x^{2}}
                     \end{eqnarray*}
 De plus comme    \(\displaystyle { \lim_{x\to + \infty } {\dfrac{1}{ 2x^{2}} }  = 0 }  \) ,    on en déduit que :
              \begin{eqnarray*}
                     \lim_{x\to + \infty}  { \; \int_{1}^{ x} \, \dfrac{1}{t^{3} } \, dt  } & = & \dfrac{1}{2}
              \end{eqnarray*}
 Donc  l'intégrale \(J  \) converge et \(\displaystyle {  \int_{1}^{+ \infty} \, \dfrac{1}{t^{3}} \, dt  = \dfrac{1}{2}  }\).

Ex2 - Question 3

L'intégrale \(I\) est-elle convergente ou divergente ?

Ex 2 - Réponse à la question 3

On a :   \( \forall x \in [1, + \infty [ ,   0 \leq f(t) \leq \dfrac{4}{t^{3}}  \)  et puisque l'intégrale   \(\displaystyle {\int_{1}^{+ \infty} \, \dfrac{1}{t^{3}} \, dt }  \)    converge, il en est de même pour l'intégrale    \(\displaystyle {\int_{1}^{+ \infty} \, \dfrac{4}{t^{3}} \, dt }\).

D'après le théorème de comparaison pour les fonctions positives on peut en déduire que l'intégrale    \(\displaystyle {\int_{1}^{+ \infty} \, f(t) \, dt }  \)  converge et par conséquent, la fonction \(f  \) étant continue sur \([0, + \infty [\),  l'intégrale    \(\displaystyle {I=\int_{0}^{+ \infty} \, f(t) \, dt }  \)   converge.