Title: Ressources - Décomposition en élément simple d'une fraction rationnelle
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Fonctions réelles

Support

Un support écrit pour la décomposition en élément simple

ou

un support vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=wf-eEQPBX0Y

Exercice 1

Soit $$F(X)=\frac{3X-4}{(X-1)(X+1)}$$. Donner la décomposition en éléments simples de $$F$$

Correction exercice 1

$$F(X)=\frac{3X-4}{(X-1)(X+1)}$$.

Les pôles de $$F$$ sont $$1$$ et $$-1$$, tous deux d'ordre $$1$$. La décomposition en éléments simples est donc de la forme $$F(X)=\frac{\lambda}{X-1}+\frac{\mu}{X+1}=\frac{(\lambda+\mu)X+\lambda-\mu}{(X-1)(X+1)}$$.

En identifiant le polynôme du numérateur on obtient $$3X-4=(\lambda+\mu)X+\lambda-\mu$$ d'où $$\lambda+\mu=3$$

et $$\lambda-\mu=-4$$. Ainsi $$\lambda=-1/2$$ et $$\mu=7/2$$.

Exercice 2

Soit $$F(X)=\frac{X^2+3X-4}{(X-1)^2(X+1)}$$. Donner la décomposition en éléments simples de $$F$$

Correction Exercice 2

$$F(X)=\frac{X^2+3X+1}{(X-1)^2(X+1)}$$.

$$F$$ admet deux pôles : $$1$$ d'ordre $$2$$ et $$-1$$ d'ordre $$1$$. Sa partie entière est nulle. Sa décomposition en éléments simples est donc de la forme :

$$F(X)=\frac{\lambda}{X+1}+\frac{\mu}{(X-1)}+\frac{\gamma}{(X-1)^2}$$.

En multipliant par $$(X-1)^2$$ et en prenant la valeur en $$X=1$$ on obtient : $$\gamma=5/2$$.

On retranche $$\frac{5/2}{(X-1)^2}$$ à $$F$$, on obtient : $$\frac{X^2+\frac{1}{2}X-3/2}{(X-1)^2(X+1)}=\frac{X+3/2}{(X-1)(X+1)}=\frac{\lambda}{X+1}+\frac{\mu}{(X-1)}=\frac{(\lambda+\mu)X+\lambda-\mu}{(X-1)(X+1)}$$.

En identifiant on obtient : $$\lambda+\mu=1$$ et $$\lambda-\mu=3/2$$. Donc $$\lambda=3/4$$ et $$\mu=-1/2$$