Title: Applications linéaires
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

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Q: Une application $$\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}^n$$ est aussi appelé un morphisme.
- Vrai
- Faux
A: Faux

Q: Une application linéaire $$\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}^n$$ avec $$p=n$$ est un :
- morphisme
- endomorphisme
- isomorphisme
- automorphisme
- polymorphisme
- metamorphysme
- aucune des autres propositions est correcte
A: morphisme; endomorphisme

Q: Toute application linéaire $$\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$$ est inversible.
- Vrai
- Faux
A: Faux

Q: L'application $$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$$ définie par

$$f(x,y)=(x+2y,2x+y+3,x-4)$$

est linéaire.
- Vrai
- Faux
A: Faux

Q: L'application $$f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$$ définie par

$$f(x,y,z)=(x+2y,2x+yz)$$

est linéaire.
- Vrai
- Faux
A: Faux

Q: On considère deux applications linéaires $$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$$ et $$g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$$ de matrices caractéristiques (dans la base canonique de $$\mathbb{R}^n$$) respectives $$A$$ et $$B$$.

La matrice caractéristique de l'application qui a $$(x_1,\dots,x_n)$$ renvoie $$f(x_1,\dots,x_n)g(x_1,\dots,x_n)$$ est :
- $$A+B$$
- $$AB$$
- $$BA$$
- $$\text{trace}(A)\text{trace}(B)$$
- $$B^nA^n$$
- $$A^nB^n$$
- aucune des autres propositions est correcte
- $$\text{trace}(B)\text{trace}(A)$$
A: aucune des autres propositions est correcte

Q: On considère deux applications linéaires $$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$$ et $$g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$$ de matrices caractéristiques (dans la base canonique de $$\mathbb{R}^n$$) respectives $$A$$ et $$B$$.

La matrice caractéristique de $$f^{-1}\circ g$$ est :
- $$A^{-1}B$$
- $$A^{-1}B^{-1}$$
- $$AB^{-1}$$
- $$BA^{-1}$$
- $$B^{-1}A^{-1}$$
- $$B^{-1}A$$
- aucune des autres propositions est correcte
A: $$A^{-1}B$$

Q: L'application $$f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$$ définie par

$$f(x,y,z)=(x+2y+z,2x-z,-3x+2y+5z)$$

est inversible.
- Vrai
- Faux
A: Faux

Q: La matrice caractéristique d'une application linéaire $$f:\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}^n$$ :
- a $$n$$ lignes et $$p$$ colonnes
- a $$p$$ lignes et $$n$$ colonnes
- a $$n$$ lignes et $$n$$ colonnes
- a $$p$$ lignes et $$p$$ colonnes
- n'est pas toujours définie
- la taille de la matrice dépend des bases choisies
- aucune des autres propositions est correcte
A: a $$n$$ lignes et $$p$$ colonnes

Q: On considère l'application $$f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$$ définie par :

$$f(x,y,z)=(3y+2z,5z+6x+4y)$$

L'élément à la deuxième ligne et première colonne de la matrice caractéristique de $$f$$ dans les bases canoniques de $$\mathbb{R}^2$$ et $$\mathbb{R}^3$$ est :
A: 6

Q: On considère la matrice $$A=\left(\begin{array}{c}2\\3\end{array}\right)$$ caractéristique d'une application linéaire $$f$$ dans les bases canoniques. Dans ce cas $$f$$ est une application :
- $$\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$$ définie par $$f(x,y)=2x+3y$$
- $$\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$$ définie par $$f(x,y)=2y+3x$$
- $$\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$$ définie par $$f(x,y)=(2,3)$$
- $$\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$$ définie par $$f(x,y)=(3,2)$$
- $$\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$$ définie par $$f(x,y)=(2x,3y)$$
- $$\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$$ définie par $$f(x)=(2x,3x)$$
- aucune des autres propositions est correcte
- $$\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$$ définie par $$f(x)=(3x,2x)$$
A: $$\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$$ définie par $$f(x,y)=(2x,3y)$$

Q: On considère l'application $$f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4$$ définie par :

$$f(x,y,z)=(x+y,y+z,x+y+z,x-z)$$

Le noyau de $$f$$ :
- est de dimension nulle
- est $$\{(0,0,0)\}$$
- est $$\{(0,0,0,0)\}$$
- est de dimension 1
- est de dimension 2
- est de dimension 3
- est de dimension 4
- n'est pas défini
- est $$\text{Vect}((1,1,0),(0,1,1),(1,1,0),(1,0,-1))$$
- est $$\text{Vect}((1,0,1,1),(1,1,1,0),(0,1,1,-1))$$
- aucune des autres propositions est correcte
A: est de dimension nulle; est $$\{(0,0,0)\}$$

Q: On considère l'application $$f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$$ définie par

$$f(x,y,z)=(-x+y+z,x+y-z)$$

Le noyau de $$f$$ :
- est de dimension nulle
- est $$\{(0,0)\}$$
- est $$\{(0,0,0)\}$$
- est de dimension 1
- est de dimension 2
- est de dimension 3
- n'est pas défini
- est $$\text{Vect}((1,0,1))$$
- est $$\text{Vect}((-1,1,1),(1,1-1))$$
- aucune des autres propositions est correcte
A: est de dimension 1; est $$\text{Vect}((1,0,1))$$