Title: Ressource Diagonalisation
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Algèbre linéaire

Références de rappels de cours

Matrice diagonale

Une matrice diagonale \(D\) de taille \(n\) est définie à partie de \(n\) réels \((\lambda_1,...,\lambda_n)\) sous la forme suivante :

\[D=\left[\begin{array}{cccc}
\lambda_1&0&\cdots&0\\
0&\lambda_2&\ddots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&0\\
0&\cdots&0&\lambda_n
\end{array}\right]\]

Il est très simple de calculer les puissances de \(D\) : \(D^k\) est la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les puissances des \((\lambda_1^k,...,\lambda_n^k)\).

Diagonalisation d'une matrice carrée :

La diagonalisation  consiste à écrire une matrice donnée \(M\) comme un produit de trois matrices permettant de calculer plus simplement :

\[M=PDP^{-1}.\]

\(P\) est une matrice inversible et \(D\) est une matrice diagonale.

La diagonalisation n'est pas toujours possible. Certaines matrices ne sont pas diagonalisables.

Vecteurs propres et valeurs propres d'une matrice

Pour construire les matrices \(P\) et \(D\), on cherche des couples \((\lambda,U)\) où \(\lambda\) est un réel et \(U\) est un vecteur non nul de \(\mathbb {R}^n\) tels que

\[MU=\lambda U.\]

\(\lambda\) est appelé valeur propre et \(U\) vecteur propre de \(M\).

Caractérisation des valeurs propres

Un réel \(\lambda\) est une valeur propre de \(M\) si et seulement si la matrice \(M-\lambda I\)  n'est pas inversible. les valeurs propres sont donc les réels tels que \(\det(M-\lambda I)=0\).

Polynôme caractéristique de \(M\)

On peut montrer que \(\phi(x)=\det(M-x I)=0\) est un polynôme de degré \(n\) de la variable \(x\). Ce polynôme est appelé polynôme caractéristique de la matrice \(M\).

Calcul des valeurs propres

Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique ; il y en a au plus \(n\) et certaines racines peuvent être multiples.

Si le polynôme caractéristique n'a pas \(n\) racines, la matrice \(M\) n'est pas diagonalisable.

Calcul des vecteurs propres

On se place dans le cas où le polynôme caractéristique a  \(n\) racines.

Valeurs propres distinctes
Si le polynôme admet \(n\) racines différentes \((\lambda_1,...,\lambda_n)\), pour chaque racine \(\lambda_i\), on calcule le vecteur propre correspondant en cherchant une solution non nulle au système linéaire :
\[MU_i=\lambda_iU_i.\]
L'ensemble des solutions de ce système est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb {R}^n\) appelé espace propre associé à la valeur propre \(\lambda_i\). Il est ici de dimension 1.

La matrice \(P\) est alors formée par les vecteurs colonnes \(U_i\), mis côte à côte dans l'ordre.
La matrice \(D\) est la matrice diagonale de coefficient \((\lambda_1,...,\lambda_n)\).

Valeurs propres multiples
Si une racine  \(\lambda_i\) est une racine  multiple d'ordre de multiplicité \(d\), il faut trouver un système de \(d\) vecteurs propres libres correspondant à cette valeur propre. On résout le système linéaire  :
\[MU_i=\lambda_iU_i\].
L'ensemble des solutions de ce système est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb {R}^n\) appelé espace propre associé à la valeur propre \(\lambda_i\). Sa dimension prend une valeur entre \(1\) et \(d\).

Diagonalisation d'une matrice ayant des valeurs propres multiples
La dimension des espaces propres conditionne la possibilité de diagonaliser la matrice :
Si un espace propre correspondant à une valeur propre de multiplicité \(d\) est de dimension inférieure à \(d\), on ne disposera pas d'assez de vecteurs  \(U_i\) pourconstruire la matrice \(P\). Dans ce cas, la matrice \(M\) n'est pas diagonalisable.
Si pour chaque valeur propre multiple, l'espace propre est de dimension égale à \(d\),  le nombre de vecteur propre total est égal à \(n\) et on construit la matrice \(P\) et la matrice \(D\) comme précédemment. Dans ce cas, la matrice \(M\) est  diagonalisable.

Ex 1 - Question 1

On considère la matrice

\(M=\left[\begin{array} {ccc}
-2 & 4 & -4\\
-1  &1 &-1 \\
-1 &-1 & 1
 \end{array}
 \right]\)

Calculez le polynôme caractéristique de \(M\) et vérifiez votre réponse.

Ex 1 - Réponse à la question 1

On calcule le déterminant.
\[\phi(x)=\det(M-xI)=\left|\begin{array}{ccc}
-2 -x& 4 & -4\\
-1  &1-x &-1 \\
-1 &-1 & 1-x
\end{array}\right|\]

En développant suivant la première colonne, on a \(\phi(x)=(-2-x)((1-x)(1-x)-1)+4(1-x)-4-(-4+4(1-x))=(-2-x)(-x)(2-x)\).

Ex 1 - Question 2

Quelles sont les valeurs propres de \(M\)?

Ex 1 - Réponse à la question 2

Les valeurs propres de \(M\) sont les racines du polynôme caractéristique \(\phi(x)=(x+2)x(2-x)\).
Il y a trois valeurs propres : \(2\), \(0\) et \(-2\).

Ex 1 - Question 3

La matrice \(M\) est-elle diagonalisable et si oui, pourquoi ?

Ex 1 - Réponse à la question 3

La matrice est de dimension 3. Elle a 3 valeurs propres distinctes ce qui est une condition suffisante pour être diagonalisable.

Ex1 - Question 4

Calculez les vecteurs propres de la matrice pour chaque valeur propre et vérifiez votre résultat.

Ex 1 - Réponse à la question 4

Le vecteur propre \(U1\) pour la valeur propre \(2\) correspond à la première colonne de \(P\). Ses coordonnées \((x,y,z)\) sont solution de
\[\left\{\begin{array} {rcl}-2x+4y-4z&=& 2x\\
-x+y-z&=&2y\\
-x-y+z&=& 2z\end{array}
 \right. \]

Il y a plusieurs solutions, on peut choisir  \(x=1\), donc

\[\left\{\begin{array} {rcl}
4y-4z&=& 4\\
y-z&=&1\\
-y-z&=& 1
\end{array}
 \right.
 \]

Soit \(y=0\) et \(z=-1\).

\[U1=\left[\begin{array} {c}
  1\\
  0\\
 -1
 \end{array}
 \right]\]

Le vecteur propre \(U2\) pour la valeur propre \(0\) correspond à la deuxième colonne de \(P\). Ses coordonnées \((x,y,z)\) sont solution de

\[\left\{\begin{array} {rcl}-2x+4y-4z&=&0\\-x+y-z&=&0\\-x-y+z&=& 0\end{array} \right. \]
On choisit  \(y=1\), donc

\[
\left\{\begin{array} {rcl}
-2x+4z&=& -4\\
-x-z&=&-1\\
-x+z&=&1
\end{array}
 \right.
 \]

Soit \(x=0\) et \(z=1\).

\[U2=\left[\begin{array} {c}
 0 \\
  1\\
 1
 \end{array}
 \right]\]

Le vecteur propre \(U3\) pour la valeur propre \(-2\) correspond à la troisième colonne de \(P\). Ses coordonnées \((x,y,z)\) sont solutions de

\[
\left\{\begin{array} {rcl}
-2x+4y-4z&=& -2x\\
-x+y-z&=&-2y\\
-x-y+z&=& -2z
\end{array}
 \right.
 \]

On choisit  \(z=1\), donc

\[
\left\{\begin{array} {rcl}
4y&=& 4\\
-x+3y&=&1\\
-x-y&=& -3
\end{array}
 \right.
 \]

Soit \(x=2\) et \(y=1\).

\[U3=\left[\begin{array} {c}
  2\\
  1\\
 1
 \end{array}
 \right]\]
Donc

\[P=\left[\begin{array} {ccc}
1& 0& 2\\
 0& 1& 1\\
 -1 &1 & 1
 \end{array}
 \right]\]

et

\[D=\left[\begin{array} {ccc}
2 & 0 & 0\\
 0 &0& 0\\
0 &0 & -2
 \end{array}
 \right]\]

Ex 2 - Question 1

On considère

$$M=\left[\begin{array} {ccc}
1& 1& 0\\
 0 &1& 0\\
0 &0 & 1
 \end{array}
 \right]$$

Calculez le polynôme caractéristique de \(M\) et verifiez votre réponse

Ex 2 - Réponse à la question 1

En développant le déterminant de \(M-xI\) suivant la première colonne, on trouve \(\phi(x)=(1-x)^3\).

Ex2 - Question 2

Calculer les valeurs propres et donner leur ordre de multiplicité.

Ex2- réponse à la question 2

Le polynôme caractéristique admet \(1\) comme racine triple. La matrice \(M\) a une valeur propre de multiplicité 3.

Ex 2- question 3

Calculez l'espace propre correspondant à la valeur propre 1. Quelle est sa dimension? La matrice est-elle diagonalisable ?

Ex 2- Réponse à la question 3

Les vecteurs propres  pour la valeur propre \(1\) ont des coordonnées \((x,y,z)\) qui sont solution de

\[\left\{\begin{array} {rcl}
x+y&=& x\\
y&=&y\\
z&=& z
\end{array}
 \right.\]
Ce système est équivalent à \(y=0\). L'ensemble des coordonnées solutions sont de la forme \((x,0,z)\). C'est un sous espace de dimension 2.
La dimension de l'espace propre de la valeur propre 1 est 2 alors que son ordre de multiplicité est 3,  donc la matrice n'est pas diagonalisable.