Title: Rappels - Formule de Taylor
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Continuité, Dérivation, Intégration

Les formules de Taylor permettent d'approcher une fonction suffisamment régulière par une fonction polynomiale au voisinage d'un de ses points.

Formules de Taylor

Les formules de Taylor permettent d'approcher une fonction suffisamment dérivable par une fonction polynomiale au voisinage d'un point.

On rappelle qu'une fonction $$f$$ est dite $$\mathcal{C}^{n}$$ si elle est dérivable $$n$$ fois et que sa dérivée $$n$$ième est continue. On note $$f^{(n)}$$ la dérivée $$n$$ième de $$f$$.

Formule de Taylor-Young

Soit $$f$$ une fonction de classe $$\mathcal{C}^{n}$$ sur un intervalle contenant $$x_0$$. Pour $$x$$ dans cet intervalle :

$$f(x)=f(x_0)+\sum_{k=1}^n \dfrac{(x-x_0)^k}{k!}f^{(k)}(x_0)+(x-x_0)^nh_n(x)$$

où $$h_n(x)$$ est une fonction qui tend vers $$0$$ quand $$x$$ tend vers $$x_0$$. On appelle reste du développement l'expression $$R(x)=(x-x_0)^nh_n(x)$$. Ce reste est négligeable devant la partie polynomiale pour $$x$$ suffisamment proche de $$x_0$$.

Cette égalité s'appelle développement  de Taylor-Young.

Remarque :
Le développement de Taylor-Young d'ordre $$0$$ s'écrit $$f(x)=f(x_0)+h_0(x)$$. Ce développement permet de dire que $$f(x)$$ tend vers $$f(x_0)$$ quand $$x$$ tend vers $$x_0$$. C'est une façon  compliquée de dire que $$f$$ est continue au point $$x_0$$.
Le développement de Taylor d'ordre $$1$$ s'écrit $$f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(0)+(x-x_0)h_1(x)$$. Ce développement permet de dire que $$f(x)$$ est proche de la fonction affine $$f(x_0)+(x-x_0)f'(0)$$. Le graphe de cette fonction est la droite tangente au graphe de $$f$$ en $$x_0$$. La tangente est la droite qui s'approche le mieux du graphe de $$f$$ près du  point $$M_0 :(x_0, f(x_0))$$.

D'une manière générale, la formule de Taylor donne la meilleure approximation de $$f$$ par un polynôme d'ordre $$n$$ pour $$x$$ proche de $$x_0$$.

Notation simplifiée
On ne connait rien de la fonction de reste $$R(x)$$ à part sa limite nulle quand $$x$$ tend vers $$x_0$$. Comme on ne fait jamais de calcul avec cette fonction, on économise sa notation en introduisant les notations de Landau $$o(\ )$$ et $$O(\ )$$ :
- Si $$R(x)\leq C (x-x_0)^n$$ avec C constante réelle, on remplace $$R(x)$$ par la notation $$O((x-x_0)^n)$$.
- Si $$\dfrac{R(x)} {(x-x_0)^n}$$ tend vers $$0$$, on on remplace $$R(x)$$ par la notation $$o((x-x_0)^n)$$.

Avec cette notation, la formule de Taylor Young s'écrit:

$$f(x)=f(x_0)+\sum_{k=0}^n \dfrac{(x_0-x)^k}{k!}f^{(k)}(x_0)+o((x_0-x)^n)$$

Exemple : Soit la fonction $$f : x\mapsto (2+x)\exp(x)$$. La formule de Taylor Young à l'ordre $$2$$ au voisinage de $$0$$ de la fonction $$f$$ s 'écrit ainsi pour tout $$h$$ non nul :

$$(2+x)\exp(x) =  f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+o(x^2)$$

Comme $$f'(x)=(3+x)\exp(x)$$, $$f''(x)=(4+x)\exp(x)$$  on obtient finalement :

$$(2+x)\exp(x) =  2+\dfrac 3x+\dfrac{4}{2}x^2+o(x^2)$$

Formule de Taylor-Lagrange

Soit $$f$$ une fonction $$\mathcal{C}^{n}$$ sur un intervalle $$I$$ ouvert. On suppose de plus que $$f^{(n)}$$ est dérivable sur l'intervalle. Soit $$x_0$$ un point de cet intervalle.  Alors pour tout $$x\in I$$ différent de $$x_0$$ il existe un réel $$\theta\in]0,1[$$ tel que :
$$f(x)=f(x_0)+\sum_{k=1}^n \dfrac{(x-x_0)^k}{k!}f^{(k)}(x_0)+\dfrac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(x_0+\theta(x_0-x))$$

En particulier dans le cas où $$x_0=0$$ cette formule s'écrit :

$$f(h)=f(0)+\sum_{k=1}^n \dfrac{h^k}{k!}f^{(k)}(0)+\dfrac{h^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\theta h)$$

Remarque : On ne connait pas $$\theta$$, mais si la dérivée d'ordre $$n+1$$ est bornée par une constante $$M$$, on obtient l'inégalité de Taylor Lagrange :
$$\vert  f(x_0)-\sum_{k=0}^n \dfrac{(x_0-x)^k}{k!}f^{(k)}(x_0))\vert \geq M\dfrac{\vert x_0-x \vert^{n+1}}{(n+1)!}$$

On en déduit :

$$f(x)=f(x_0)+\sum_{k=1}^n \dfrac{(x-x_0)^k}{k!}f^{(k)}(x_0)+O((x-x_0)^{n+1})$$

On voit que le terme de reste est plus précis : l'ordre du terme est au plus $$(x-x_0)^{n+1}$$ alors que dans la formule de Taylor Young, on sait juste qu'il est plus négligeable devant $$(x-x_0)^{n}$$. Il existe une troisième formule qui permet d'écrire le reste comme une intégrale calculable à partir de la dérivée d'ordre $$n+1$$, mais elle n'apporte rien de plus pour l'approximation de fonction.

Exemple : La formule de Taylor Lagrange à l'ordre $$3$$ au voisinage de $$0$$ de la fonction $$f : x\mapsto (2+x)\exp(x)$$  s'écrit ainsi pour tout $$x$$ non nul :

$$(2+x)\exp(x) =  f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\dfrac{f^{(3)}(\theta x)}{3!}x^3$$

avec un $$\theta\in]0,1[$$.

Comme $$f'(x)=(3+x)\exp(x)$$, $$f''(x)=(4+x)\exp(x)$$ et $$f^{(3)}(x)=(5+x)\exp(x)$$ on obtient finalement :

$$(2+x)\exp(x) =  2+3x+\dfrac{4}{2}x^2+\dfrac{(5+\theta x)\exp(\theta x)}{6}x^3$$

avec un $$\theta\in]0,1[$$.

Exercice 1

Soit $$f$$ la fonction définie sur $$]-1,+\infty[$$ par  $$f(x)=(8+x^2)\log(1+x)$$.

Calculer les dérivées d'ordre $$1$$ et $$2$$ de $$f$$ et en déduire la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre $$2$$ de $$f$$ au voisinage de $$0$$.

Correction Exercice 1

Rappel : $$f(x)=(8+x^2)\log(1+x)$$.

$$f$$ est $$\mathcal{C}^{2}$$ sur $$]-1,+\infty[$$.

Calculons ses dérivées :

$$f'(x)=2x\log(1+x)+\frac{8+x^2}{1+x}$$.

$$f''(x)=2\log(1+x)+\frac{2x}{1+x}+\frac{2x(1+x)-(8+x^2)}{(1+x)^2}=2\log(1+x)+\frac{3x^2+4x-8}{(1+x)^2}$$

Ainsi :

$$f(0)=0$$

$$f'(0)=8$$

donc la formule de Taylor-Lagrange de $$f$$ au voisinage de $$0$$ s'écrit :

$$f(h)=\frac{8}{2}h+(2\log(1+\theta h)+\frac{3(\theta h)^2+4\theta h-8}{(1+\theta h)^2})\times \frac{h^2}{6}$$

avec $$\theta\in]0,1[$$

Exercice 2

Soit $$f$$ la fonction définie sur $$\mathbb{R}$$ par  $$f(x)=(3+x)\cos(x)$$.

Calculer les dérivées d'ordre $$1$$, $$2$$ et $$3$$ de $$f$$ et en déduire la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre $$3$$ de $$f$$ au voisinage de $$\pi$$.

Correction Exercice 2

Rappel : $$f(x)=(3+x)\cos(x)$$.

$$f$$ est $$\mathcal{C}^{3}$$ sur $$\mathbb{R}$$.

Calculons ses dérivées :

$$f'(x)=3\cos(x)-(3+x)\sin(x)$$.

$$f''(x)=-3\sin(x)-\sin(x)-(3+x)\cos(x)=-4\sin(x)-(3+x)\cos(x)$$

$$f^{(3)}(x)=-4\cos(x)-\cos(x)+(3+x)\sin(x)=(3+x)\sin(x)-5\cos(x)$$

Ainsi :

$$f(\pi)=-(3+\pi)$$

$$f'(\pi)=3$$

$$f''(\pi)=3+\pi$$

donc la formule de Taylor-Lagrange de $$f$$ au voisinage de $$\pi$$ s'écrit :

$$f(\pi+h)=-(3+\pi)+\frac{3}{2}h+\frac{3+\pi}{6}h^2+(3+\pi+\theta h)\sin(\pi+\theta h)-5\cos(\pi+\theta h)\times \frac{h^3}{24}$$

avec $$\theta\in]0,1[$$