Title: Rappels Intégrales indéfinies
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Continuité, Dérivation, Intégration

Références de rappels de cours

Cas unilatéral droit.

           Soit \(a\) un réel et \(b\) un réel tel que  \(b >a\) ou \(b = + \infty\), on note \(I = [a,b[\).

           Soit \(f\) une fonction numérique continue sur \(I\), on dit que \(f\) admet une intégrale généralisée sur \(I\) (ou que l'intégrale \(\int_{a}^{b} \, f(t) \, dt\) converge) si
           la fonction \(F\) définie sur \(I\) par :
           \[ \forall x \in I, \quad F(x) = \int_{a}^{x} \, f(t) \, dt\]
           admet une limite finie lorsque \(x\) tend vers \(b\) (donc par valeurs inférieures si \(b\) est un réel).

           On note alors :

               \begin{eqnarray*}
                     \lim_{x\to b}  { \; \int_{a}^{ x} \, f(t) \, dt  } & = &  \int_{a}^{b} \, f(t) \, dt
                      \end{eqnarray*}

Cas unilatéral gauche.

Soit \(a\) un réel et \(b\) un réel tel que  \(b >a\) ou \(a = - \infty\), on note \(I = ]a,b]\).

Soit \(f\) une fonction numérique continue sur \(I\), on dit que \(f\) admet une intégrale généralisée sur \(I\) (ou que l'intégrale \(\int_{a}^{b} \, f(t) \, dt\) converge) si la fonction \(F\) définie sur \(I\) par :
           \[ \forall x \in I, \quad F(x) = \int_{x}^{b}  \, f(t) \, dt\]
           admet une limite finie lorsque \(x\) tend vers \(a\) (donc par valeurs supérieures si \(a\) est un réel).

           On note alors :

               \begin{eqnarray*}
                     \lim_{x\to a}  { \; \int_{x}^{b} \, f(t) \, dt  } & = &  \int_{a}^{b} \, f(t) \, dt
               \end{eqnarray*}

 Cas bilatéral.

           Soit \(a\) un réel et \(b\) un réel tel que  \(b >a\) ou \(a = - \infty\) ou \(b = + \infty\), on note \(I = ]a,b[\).

 Soit \(f\) une fonction numérique continue sur \(I\), on dit que \(f\) admet une intégrale généralisée sur \(I\) (ou que l'intégrale \(\int_{a}^{b} \, f(t) \, dt\) converge) si il existe un réel \(c\)  appartenant à \(I\) tel que les deux intégrales \(\int_{a}^{ c} \, f(t) \, dt \) et  \( \int_{c}^{b } \, f(t) \, dt\) convergent.
On pose alors :
           \[\int_{a}^{ b} \, f(t) \, dt  = \int_{a}^{ c} \, f(t) \, dt  + \int_{c}^{b } \, f(t) \, dt\]

Remarque  : Si il existe un réel \(c\) vérifiant les conditions précédentes alors pour tout réel \(c'\) de \(I\) on a :

- les deux intégrales : \(\int_{a}^{ c'} \, f(t) \, dt \)  et  \ (\qquad \int_{c'}^{b } \, f(t) \, dt\) convergent.
- \[\int_{a}^{ b} \, f(t) \, dt  = \int_{a}^{ c'} \, f(t) \, dt  + \int_{c'}^{b } \, f(t)  \, dt \]

Ex 1 - Question 1

On considère  l'intégrale suivante : \({I = \int_{0}^{1} \, \ln t \, dt}\).

Soit la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \(t  \mapsto \ ln t\).

Cette fonction \(f\) est-elle continue sur\([0,1]\) ?

Ex 1 - Réponse à la question 1

La fonction \(f\) définie  de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \(t  \mapsto \ln t\) a pour ensemble de définition \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) donc elle n'est pas définie en \(0\) donc la fonction \(f\) n'est pas continue sur \([0,1]\).

Ex 1 - Question 2

On a :

\[\forall x \in ]0,1], \ \int_{x}^{1} \, \ln t \, dt  = ax \ln x + bx + c.\]

où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des entiers relatifs. Déterminez \(a\), \(b\) et \(c\).

Ex 1 - Réponse à la question 2

On a :
         \(\begin{eqnarray*}
              \forall x \in ]x,1],  \     \int_{x}^{ 1} \, \ln \, dt   & = &   \left [ t\ln t - t    \right]^{1}_ {x} \\
                                                 & = &  1\ln 1 - 1  -( x \ln x - x) \\
                                             & = & -1+ x - x \ln x
                  \end{eqnarray*} \)

Ex 1 - Question 3

En utilisant la question précédente, calculez \(I\).

Ex 1 - Réponse à la question 3

Comme  \({ \lim_{x\to 0 } {  x \ln x }  = 0 }\)   et  \({ \lim_{x\to 0 } {  x}  = 0 }\), on en déduit que :

              \begin{eqnarray*}
                     \lim_{x\to 0}  { \; \int_{x}^{1}  \,  \ln t  \, dt  } & = & -1
                      \end{eqnarray*}

 Donc  l'intégrale \(I\) converge et \( I = -1\) .

Ex 2 - Question 1

On considère  l'intégrale suivante : \({I = \int_{- \infty}^{+ \infty} \, \dfrac{t}{1 + t^{2}} \, dt}\).

 Soit la fonction\(f\)définie sur\(\mathbb{R}\)par \(t  \mapsto \dfrac{t}{1 + t^{2}}\).

Quelle est la parité de la fonction\(f\) ?

Ex2 - Réponse à la question 1

On constate que la fonction\(f\)définie  de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \(t  \mapsto \dfrac{t}{1+t^{2}}\) admet \(\mathbb{R}\) comme ensemble de définition \(D{f}\) et est continue sur \(]- \infty,+\infty [\).

 On a  : \(\forall x \in D_{f}, \  -x \in D_{f}\) et :
 \begin{eqnarray*}
                          \forall t \in D_{f}  \qquad      f(-t) &=  &  \dfrac{-t}{1 + (-t)^{2} }  \\
                          & = &- \dfrac{t}{1 + t^{2} }  \\
     & = & -f(t)
                  \end{eqnarray*}
 La fonction \(f\) est donc impaire.

Ex2 - Question 2

On a \(\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \quad  \int_{-x}^{x} \, \dfrac{t}{1 + t^{2}} \, dt = L\), d'où on déduit que :

\[\lim_{  x \to + \infty} { \int_{-x}^{x} \, \dfrac{t}{1 + t^{2}} \, dt} = L'\]

Déterminez le réel \(L\) et le réel \(L'\).

Ex2 - Réponse à la question 2

La fonction \(f\) est  impaire, on peut déduire que :

\(\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \quad  \int_{-x}^{x} \, \dfrac{t}{1 + t^{2}} \, dt = 0\)

 d'où

 \(\lim_{ x \to + \infty} { \int_{-x}^{x} \, \dfrac{t}{1 + t^{2}} \, dt} = 0\) .

Ex2 - Question 3

Laquelle de ces propriétés est vraie :

1. \(I = 1\).
2. \(I  = \ln 4\).
3. \(I  = 0\).
4. L'intégrale \(I\) diverge.

Ex 2 - Réponse à la question 3

On a :
\begin{eqnarray*}
  \forall x \in [0, + \infty [,  \qquad       \int_{0}^{ x} \, \dfrac{t}{1+t^{2}} \, dt   & = & \left[   \ln \left ( \left |1 + t^{2} \right | \right )     \right ]^{x}_ {0} \\
            & = &   \ln \left ( \left |1 + x^{2} \right | \right )  -    \ln \left ( \left |1 + 0^{2} \right | \right )  \\
           & = &   \ln \left ( 1 + x^{2}  \right ) - \ln 1 \\
           & = &   \ln \left ( 1 + x^{2}  \right )
\end{eqnarray*}
  De plus comme \( { \lim_{x\to + \infty } { \ln \left ( 1 + x^{2}  \right )  }  =  +\infty }\) on en déduit que :
  \begin{eqnarray*} \lim_{x\to + \infty}  { \; \int_{0}^{ x} \, \dfrac{t}{ 1 + t^{2}} \, dt  } & = &  +\infty  \end{eqnarray*}
Donc l'intégrale \({I = \int_{0}^{+ \infty} \, \dfrac{t}{1 + t^{2}} \, dt}\) diverge  et par conséquent l'intégrale \({I = \int_{- \infty}^{+ \infty} \, \dfrac{t}{1 + t^{2}} \, dt}\) diverge.