Title: Rappels Lois continues
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Probabilités et Statistiques

Introduction et définitions

Définition d'une loi de probabilité sur $$\mathbb R$$

On définit une application $$P$$ qui associe un nombre entre 0 et 1 à tous les intervalles de $$\mathbb R$$. Cette application est une loi de probabilité si et seulement si
- $$P({\mathbb R})=1$$.
- $$P(\bar A) = 1-P(A)$$ ou $$\bar A$$ est l'ensemble complémentaire de $$A$$.
- Si pour $$I$$ sous-ensemble de $$ \mathbb N$$, $$(A_i)_{i\in I}$$ est une suite finie ou infinie de sous ensembles disjoints deux à deux alors $$P(\cup_{i\in I} A_i)=\sum_{i\in I}P(A_i)$$.

Les deux dernières propriétés permettent d'étendre le calcul de probabilité à tous les sous-ensembles qui sont obtenus par des unions infinies ou intersection infinies répétées d'intervalles. Mais $$P$$ n'est pas définie sur tous les sous-ensembles de $$\mathbb R$$.

Fonction de répartition

On peut  déterminer la loi de $$X$$ en donnant  seulement la probabilité de tous les intervalles $$]-\infty,x]$$. On définit une fonction de $$X$$ par

$$F(x) =P(]-\infty,x])$$.

Cette fonction est appelée fonction de répartition de $$X$$. Elle est croissante. Elle tend vers 0 en $$-\infty$$, vers 1 en $$+\infty$$.

Loi de probabilité continue

Une loi de probabilité est continue si et seulement sa fonction de répartition $$F$$ est la primitive d'une fonction réelle $$f$$. Cette fonction $$f$$ est appelée densité de probabilité. Son intégrale sur $$\mathbb R$$ doit être égale à 1.

Remarque : pour une loi de probabilité continue, $$F$$ est continue est dérivable. La probabilité $$P({x})$$ d'un réel $$x$$ est toujours nulle. La probabilité d'un intervalle fermé ou ouvert est $$P([a,b])=P(]a,b[)=\int_a^bf(x)dx$$.

Exemple : on considère la fonction $$f$$ qui vaut 1 sur l'intervalle $$[0,1]$$ et 0 ailleurs. La loi de probabilité correspondante est appelée loi uniforme sur $$[0,1]$$.

Variable aléatoire continue

La notion de variable aléatoire continue est plus complexe à définir car les probabilités ne sont plus définies pour tous les sous-ensemble. Il s'agit comme précédemment d'une application d'un ensemble $$\Omega$$ muni d'une probabilité $$P$$ vers $$\mathbb R$$ qui permet de définir une probabilité $$P'$$ sur $$\mathbb R$$ en faisant correspondre la probabilité d'un intervalle avec la probabilité de l'ensemble dont il est image.

Nous considérerons uniquement le cas où $$\Omega=\mathbb R$$, $$P$$ est une loi de probabilité simple comme la loi uniforme sur $$[0,1]$$ et $$f$$ est une fonction continue

Espérance

Pour une variable aléatoire continue $$X$$, l'espérance est la moyenne de la fonction x pondérée par la densité de probabilité :
$$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$$.
L'espérance est le résultat moyen attendu dans le tirage aléatoire.

Propriétés
L'espérance d'une somme de variables est la somme des espérances des variables. L'espérance du produit d'un variable par un réel est le produit du réel par l'espérance de la variable.

Variance

On peut également calculer des espérance pour des fonctions appliquées au valeurs de $$X$$ comme le carré. On fait alors la moyenne pondérée des carrés des valeurs :
$$E(X^2)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)dx$$
La variance est égale à
$$var(X)=E(X^2)-(E(X))^2$$
Elle a aussi une autre expression :
$$var(X)=E(X-E(X))^2$$

C'est donc la moyenne pondérée des carrés des écarts à la moyenne. Elle permet d'évaluer si le résultat du tirage est concentré ou dispersé autour de l 'espérance.

Exercice 1 -Question 1

On considère la loi de probabilité $$P$$ uniforme sur $$[0,1]$$.

Calculez la probabilité de l'intervalle $$[-2,-1]$$.

Exercice 1- Réponse à la question 1

La fonction de densité $$f$$ est nulle en dehors de $$[0,1]$$.

Donc $$P([-2,-1])=\int_{-2}^{-1}f(x)dx=0.$$

Exercice 1- Question 2

On considère la loi uniforme sur $$[0,1]$$.

Calculer la probabilité de l'intervalle $$[0,1/2]$$.

Exercice 1 - Réponse à la question 2

La fonction de densité $$f$$ est nulle en dehors de $$[0,1]$$.

Donc $$P([0,1/2])=\int_{0}^{1/2}1dx=1/2.$$

Exercice 1 - Question 3

Calculer l'espérance de la loi uniforme sur $$[0,1]$$.

Exercice 1 - Réponse à la question 3

On calcule l'espérance par intégration.

$$E(X)=\int_0^1xdx=\left[\dfrac 12x^2\right]_0^1=\dfrac 12.$$

Exercice 1 - Question 4

Calculez la variance de la loi uniforme sur $$[0,1]$$.

Exercice 1 - Réponse à la question 4

On calcule l'espérance du carré par intégration de la fonction $$x^2$$.

$$E(X^2)=\int_0^1x^2dx=\left[\dfrac13x^3\right]_0^1=\dfrac 13.$$

$$Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\dfrac 13-\dfrac 14=\dfrac 1{12}.$$

On peut aussi calculer par l'espérance des carrés des écarts  :

$$Var(X)=E(X-E(X))^2=\int_0^1\left(x-\dfrac 12\right)^2dx=\left[\dfrac13\left(x-\dfrac 12\right)^3\right]_0^1=\dfrac 1{24}+\dfrac 1{24}=\dfrac 1{12}.$$

Exercice 2 - Question 1

On considère la fonction $$f(x)=x/2$$ sur $$[0,2]$$.

Montrer que $$f$$ est la densité d'une loi de probabilité.

Exercice 2 - Réponse à la question 1

La fonction $$f$$ est une densité de probabilité si son intégrale vaut 1. Or

$$\int_0^2\dfrac x2dx=\left[\dfrac 14x^2\right]_0^2=1$$

Exercice 2 - Question 2

On considère une variable aléatoire $$X$$ de densité $$f(x)=x/2$$ sur $$[0,2]$$.

Calculer l'espérance de $$X$$.

Exercice 2 - Réponse à la question 2

L'espérance de $$X$$ se calcule en intégrant $$xf(x)$$ :

$$E(X)=\int_0^2x\dfrac x2dx=\left[\dfrac 16x^3\right]_0^2=\dfrac {4}3$$

Exercice 2 - Question 3

On considère une variable aléatoire $$X$$ de densité $$f(x)=x/2$$ sur $$[0,2]$$.

Calculer la variance de $$X$$.

Exercice 2 - Réponse à la question 3

Pour calculer la variance, on calcule l'espérance du carré en intégrant $$x^2f(x)$$ :

$$E(X^2)=\int_0^2x^2\dfrac x2dx=\left[\dfrac 18x^4\right]_0^2=2.$$

Donc $$\Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=2-\dfrac{16}9=\dfrac 29$$.