Title: equation separable ou homogene
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: Résoudre l’équation différentielle sur \(\mathbb R^+\) :

\(x^2y'+xy-y^2-x^2=0\)
- \(y(x)=x\) est solution.
- La forme générale des solutions est \(y(x)=x-\dfrac x{(e^x+C)}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=Cx-\dfrac x{\ln(x)}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=x-\dfrac x{(\ln(x)+C)}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=x-\dfrac 1{(x\ln(x)+C)}\)
A: \(y(x)=x\) est solution.; La forme générale des solutions est \(y(x)=x-\dfrac x{(\ln(x)+C)}\)
Feedback: La forme standard est \(y'=f(x,y)=\dfrac{y^2}{x^2}-\dfrac{y}{x}+1\). On a \(f(ax,ax)=f(x,y)\) donc l’équation est homogène. On pose \(z(x)=\dfrac {y(x)}x\). On a \(y(x) =xz(x)\) donc \(y'(x)=xz'(x)+z(x)\). L’équation en \(z\) s’écrit \(xz'+z=z^2-z+1\), soit \(xz'=(z-1)^2\). La fonction constante \(z(x)=1\) est solution, ce qui correspond à la solution \(y(x)=x\). L’équation est à variables séparables. Pour \(z(x)\neq 1\), sa forme différentielle est : \(\dfrac {dz}{(z-1)^2}=\frac {dx}{x}.\) On intègre de part et d’autre : \(-\dfrac {1}{z-1}=\ln(x)+C.\) Donc \(z=1-\dfrac 1{\ln(x)+C}\). La solution générale est \(y(x)=x-\dfrac x{(\ln(x)+C)}.\)

Q: Résoudre l’équation différentielle sur \(\mathbb R\) :

\(y'=\dfrac {x-y}{x+y}\)
- \(y(x)=x\) est solution.
- La forme générale des solutions est \(y(x)=x-\dfrac x{(e^x+C)}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=Cx-\dfrac x{\ln(x)}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=x-\dfrac x{(\ln(x)+C)}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=x-\dfrac 1{(x\ln(x)+C)}\)
A: \(y(x)=x\) est solution.; La forme générale des solutions est \(y(x)=x-\dfrac x{(\ln(x)+C)}\)
Feedback: La forme standard est \(y'=f(x,y)=\dfrac{y^2}{x^2}-\dfrac{y}{x}+1\). On a \(f(ax,ax)=f(x,y)\) donc l’équation est homogène. On pose \(z(x)=\dfrac {y(x)}x\). On a \(y(x) =xz(x)\) donc \(y'(x)=xz'(x)+z(x)\). L’équation en \(z\) s’écrit \(xz'+z=\dfrac {1-z}{1+z}\), soit \(xz'=\dfrac {1-2z-z^2}{1+z}\). Le polynôme \(1-2z-z^2\) a pour racines \(z_1=-1+\sqrt 2\) et \(z_2=-1-\sqrt 2\), donc les fonctions constantes \(z(x)=-1+\sqrt 2\) et \(z(x)=-1-\sqrt 2\) sont solution, ce qui correspond aux solutions \(y_1(x)=(-1+\sqrt 2)x\) et \(y_2(x)=(-1-\sqrt 2)x\). Cette équation est à variables séparables. Pour \(z(x)\neq z_1\) et \(z(x)\neq z_2\), sa forme différentielle est : \(\dfrac {(1+z)dz}{1-2z-z^2}=\frac {dx}{x}.\) On intègre de part et d’autre : -\(\dfrac {\ln(1-2z-z^2)}{2}=\ln(x)+C.\) Donc \(z=1-\dfrac 1{\ln(x)+C}\). La solution générale est \(y(x)=x-\dfrac x{(\ln(x)+C)}.\)

Q: On considère l’équation différentielle sur \({\mathbb R+}\) :

\(2xy'+(x^2+1)y=0\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=C {e^{-\dfrac{x^2}4}}\sqrt x\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=C\sqrt x\dfrac {e^{+\dfrac{x^2}4}}{2}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=C\dfrac {e^{-\dfrac{x^2}2}}{\sqrt x}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=C\dfrac {e^{-\dfrac{x^2}4}}{\sqrt x}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=C\dfrac {e^{-{x^2}}}{\sqrt x}\)
A: La forme générale des solutions est \(y(x)=C\dfrac {e^{-\dfrac{x^2}4}}{\sqrt x}\)
Feedback: La forme différentielle de l’équation est \(2xdy+(x^2+1)ydx=0\) \(M(x,y)=2x\) et \(N(x,y)=(x^2+1)y\). Ces deux fonctions sont produits d’une fonction de \(x\) et d’une fonction de \(y\). Donc l’équation est à variables séparables et on peut séparer l’intégration par rapport à \(x\) de celle par rapport à \(y\). On remarque que \(y=0\) est une solution particulière. Si \(y\neq 0\), on écrit : \(\dfrac {dy}y=-\dfrac{x^2+1}{2x}dx=-(\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2x})dx\) On a Si \(y>0\), \(\ln(y)=-\dfrac{x^2}4-\dfrac{\ln(x)}{2}+c\) Si \(y<0\), \(\ln(-y)=-\dfrac{x^2}4-\dfrac{\ln(x)}{2}+c\) Donc la solution générale de l’équation est \(y(x)=C\dfrac {e^{-\dfrac{x^2}4}}{\sqrt x}\).

Q: On considère l’équation différentielle sur \({\mathbb R^+}\) :

\(xy'+(x^2+1)y=x^2+1\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=1-C {e^{-\dfrac{x^2}4}}\sqrt x\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=1+C\dfrac {e^{-\dfrac{x^2}4}}{x}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=1+C\dfrac {e^{-\dfrac{x^2}2}}{\sqrt x}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=1+C\dfrac {e^{-\dfrac{x^2}2}}{x^2}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=1+C\dfrac {e^{-\dfrac{x^2}2}}{x}\)
A: La forme générale des solutions est \(y(x)=1+C\dfrac {e^{-\dfrac{x^2}2}}{x}\)
Feedback: La forme différentielle de l’équation est \(xdy+(y-1)(x^2+1)dx=0\) \(M(x,y)=x\) et \(N(x,y)=(x^2+1)y\). Ces deux fonctions sont produits d’une fonction de \(x\) et d’une fonction de \(y\). Donc l’équation est à variables séparables et on peut séparer l’intégration par rapport à \(x\) de celle par rapport à \(y\). On remarque que \(y=1\) est une solution particulière. Si \(y\neq 1\), on écrit : \(\dfrac {dy}{y-1}=-\dfrac{x^2+1}{2x}dx=-(\x-\dfrac{1}{x})dx\) On a Si \(y>1\), \(\ln(y-1)=-\dfrac{x^2}2-\ln(x)+c\) Si \(y<1\), \(\ln(1-y)=-\dfrac{x^2}2-\ln(x)+c\). Donc la solution générale de l’équation est \(y(x)=1+C\dfrac {e^{-\dfrac{x^2}2}}{x}\).

Q: On considère l’équation différentielle sur \({\mathbb R^+}\) :

\(y'+x^2y^2=0\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=\dfrac {x^3+C}3\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=-\dfrac 3{x^3+C}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=\dfrac 3{x^3+C}\)
- \(y=0\) est solution
- La forme générale des solutions est \(y(x)=\dfrac C{x^3+1}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=\dfrac {3x}#{x^3+C}\)
A: La forme générale des solutions est \(y(x)=\dfrac 3{x^3+C}\); \(y=0\) est solution
Feedback: La forme différentielle de l’équation est \(dy+x^2y^2dx=0\) \(M(x,y)=1\) et \(N(x,y)=x^2y^2\). Ces deux fonctions sont produits d’une fonction de \(x\) et d’une fonction de \(y\). Donc l’équation est à variables séparables et on peut séparer l’intégration par rapport à \(x\) de celle par rapport à \(y\). On remarque que \(y=0\) est une solution particulière. Si \(y\neq 0\), on écrit : \(\dfrac {dy}{y^2}=-x^2dx\) On a \(\dfrac{-1}y=-\dfrac{x^3}3+c\) Donc la solution générale de l’équation est \(y(x)=\dfrac 3{x^3+C}\).

Q: On considère l’équation différentielle sur \({\mathbb R^+}\) :

\(yy'-(x+1)(y^2+3)=0\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=3+Ce^{-x^2-2x}}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=C\sqrt{3+e^{-x^2-2x}}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=C\sqrt{-3-e^{-x^2+2x}}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=C\sqrt{-3+e^{+x^2+2x}}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=C\sqrt{-3+e^{-x^2-2x}}\)
A: La forme générale des solutions est \(y(x)=C\sqrt{-3+e^{+x^2+2x}}\)
Feedback: La forme différentielle de l’équation est \(ydy-(x+1)(y^2+3)dx=0\) \(M(x,y)=y\) et \(N(x,y)=-(x+1)(y^2+3)\). Ces deux fonctions sont produits d’une fonction de \(x\) et d’une fonction de \(y\). Donc l’équation est à variables séparables et on peut séparer l’intégration par rapport à \(x\) de celle par rapport à \(y\). \(\dfrac {ydy}{y^2+3}=(x+1)dx\) On a \(\dfrac{1}2\ln(y^2+3)=\dfrac{x^2}2+x+c\) soit \(\ln(y^2+3)=x^2+2x+2c\) Donc la solution générale de l’équation est \(y(x)=C\sqrt{-3+e^{x^2+2x}}\).

Q: On considère l’équation différentielle sur \({\mathbb R^+}\) :

\(yy'-\sqrt {y^2+1}=0\)
- \(y(x)=\sqrt{-1+(x+c)^2}\) avec \(c>1\) est solution sur ${R^+}
- La forme générale des solutions est \(y(x)=C\sqrt{-1+x^2}\)
- \(y(x)=-\sqrt{-1+(x+c)^2}\) avec \(c>1\) est solution sur ${R^+}
- La forme générale des solutions est \(y(x)=C\sqrt{1+x^2}\)$
- La forme générale des solutions est \(y(x)=C\sqrt{1-x^2}\)
A: \(y(x)=\sqrt{-1+(x+c)^2}\) avec \(c>1\) est solution sur ${R^+}; \(y(x)=-\sqrt{-1+(x+c)^2}\) avec \(c>1\) est solution sur ${R^+}
Feedback: La forme différentielle de l’équation est \(ydy-\sqrt {y^2+1}dx=0\) \(M(x,y)=y\) et \(N(x,y)=-\sqrt {y^2+1}\). Ces deux fonctions sont produits d’une fonction de \(x\) et d’une fonction de \(y\). Donc l’équation est à variables séparables et on peut séparer l’intégration par rapport à \(x\) de celle par rapport à \(y\). \(\dfrac {ydy}{\sqrt {y^2+1}}=dx\) On a \(\sqrt {y^2+1}=x+c\) avec \(x\geq -c\). soit \(y=\sqrt{-1+(x+c)^2}\) ou \(y=-\sqrt{-1+(x+c)^2}\), pour \(x\geq 1-c\). Si \(c\geq 1\) la fonction est définie sur \({\mathbb R^+}\).

Q: On considère l’équation différentielle sur \({\mathbb R^+}\) :

\(y^2y'+x(y^3-1)=0\)
- La forme générale des solutions est \(y=C\left(1+e^{\dfrac {x^2}2}\right)\)
- La forme générale des solutions est \(y=1+Ce^{x^2}\)
- La forme générale des solutions est \(y=1+Ce^{\dfrac {x}2}\)
- La forme générale des solutions est \(y=1-Ce^{\dfrac {x^2}2}\)
- La forme générale des solutions est \(y=1+Ce^{\dfrac {x^2}2}\)
A: La forme générale des solutions est \(y=1+Ce^{\dfrac {x^2}2}\)
Feedback: La forme différentielle de l’équation est \(ydy-\sqrt {y^2+1}dx=0\) \(M(x,y)=y^2\) et \(N(x,y)=x(y^3-1)\). Ces deux fonctions sont produits d’une fonction de \(x\) et d’une fonction de \(y\). Donc l’équation est à variables séparables et on peut séparer l’intégration par rapport à \(x\) de celle par rapport à \(y\). \(\dfrac {y^2dy}{y^3-1}=xdx\) On a \(\ln {y^3-1}=\dfrac {x^2}2+c\), soit \(y=1+Ce^{\dfrac {x^2}2}\).