Title: Exercice 2 - Résolution matricielle
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Equations différentielles et Transformée de Laplace

Résolution d'un système différentiel linéaire homogène à coefficients constants, avec sa condition initiale, en dimension 3. Cas d'un espace propre de dimension $$>1$$.

Question 1

On considère le système différentiel linéaire homogène à coefficients constants suivant :

$$\left\{\begin{array}{l}x'=5x-y-2z\\y'=x+3y-2z\\z'=x-y+2z\end{array}\right.$$

de conditions initiales $$x(0)=2$$, $$y(0)=2$$, $$z(0)=1$$.

Mettre le système sous forme matricielle.

Réponse 1

On met le système sous la forme $$X'(t)=AX(t)$$ avec :

$$X(t)=\left(\begin{array}{c}x(t)\\y(t)\\z(t)\end{array}\right)$$

$$X'(t)=\left(\begin{array}{c}x'(t)\\y'(t)\\z'(t)\end{array}\right)$$

$$A=\left(\begin{array}{c}5&-1&-2\\1&3&-2\\1&-1&2\end{array}\right)$$

sous la condition initiale $$X(0)=X_0$$ avec $$X_0=\left(\begin{array}{c}2\\2\\1\end{array}\right)$$.

Question 2

On suppose que la matrice $$A$$ est diagonalisable de valeurs propres réelles. Exprimer (sans la calculer) la solution $$X(t)$$ du système différentiel.

Réponse 2

Dans le cas où la matrice $$A$$ est diagonalisable de valeurs propres réelles $$\lambda_1$$, $$\lambda_2$$ et $$\lambda_2$$ (quitte à ce que certaines valeurs propres soient identiques) et de vecteurs propres associés mis sous forme de matrices vecteurs colonne $$V_1$$, $$V_2$$ et $$V_3$$, la solution du système différentiel s'écrit :

$$X(t)=ae^{\lambda_1 t}V_1+be^{\lambda_2 t}V_2+ce^{\lambda_3 t}V_3$$,

où $$a$$, $$b$$ et $$c$$ sont des constantes déterminées à l'aide des conditions initiales.

Question 3

Diagonaliser $$A$$.

Réponse 3

Le polynôme caractéristique de $$A$$, $$|A-\lambda I_3|$$, se factorise en $$(2-\lambda)(4-\lambda)^2$$. On note $$\lambda_1=2$$ et $$\lambda_2=4$$ les valeurs propres de $$A$$, la seconde valeur propre étant d'ordre 2.

A noter que l'on ne sait pas à ce niveau si $$A$$ est diagonalisable, il faut pour cela déterminer la dimension des espaces propres, et vérifier que la somme de leurs dimension est égale à la dimension de $$A$$, c'est à dire 3.

L'espace propre associé à $$\lambda_1=2$$ est défini par l'ensemble des $$x$$, $$y$$ et $$z$$ tels que $$A\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)$$. Le système précédent se réduit en $$x=y=z$$, donc l'espace propre associé à $$\lambda_1$$ est $$\text{Vect}(V_1)$$ pour $$V_1=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$$. Cet espace propre est de dimension 1.

L'espace propre associé à $$\lambda_2=4$$ est défini par l'ensemble des $$x$$, $$y$$ et $$z$$ tels que $$A\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=4\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)$$. Le système précédent se réduit en $$x-y-2z=0$$. On reconnait ici l'équation d'un plan, cet espace propre est bien de dimension 2, que l'on note $$\text{Vect}(V_2,V_3)$$. Il existe une infinité de paires de vecteurs propres $$V_2$$ et $$V_3$$ qui définissent cet espace, il suffit de choisir une famille libre de vecteurs dont les coordonnées satisfont l'équation $$x-y-2z=0$$. On choisit $$V_2=\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)$$ et $$V_3=\left(\begin{array}{c}2\\0\\1\end{array}\right)$$.

A noter que la somme des dimensions des espaces propres $$A$$ est bien égale à 3, $$A$$ est donc diagonalisable.

Question 4

Donner les expressions de $$x(t)$$, $$y(t)$$ et $$z(t)$$ solutions du système différentiel sans condition initiale.

Réponse 4

On note $$\lambda_3=4$$. La solution est $$X(t)=ae^{\lambda_1 t}V_1+be^{\lambda_2 t}V_2+ce^{\lambda_3 t}V_3$$, soit, en utilisant les résultats de la question précédente, on trouve la solution sous forme scalaire :

$$\left\{\begin{array}{l}x(t)=ae^{2t}+be^{4t}+2ce^{4t}\\y(t)=ae^{2t}+be^{4t}\\z(t)=ae^{2t}+ce^{4t}\end{array}\right.$$

Question 5

Donner les expressions de $$x(t)$$, $$y(t)$$ et $$z(t)$$ solutions du système différentiel en appliquant la condition initiale.

Réponse 5

La condition initiale $$X(0)=X_0$$ devient :

$$\left\{\begin{array}{l}x(0)=ae^{2\times 0}+be^{4\times 0}+2ce^{4\times 0}=2\\y(0)=ae^{2\times 0}+be^{4\times 0}=2\\z(0)=ae^{2\times 0}+ce^{4\times 0}=1\end{array}\right.$$

c'est à dire

$$\left\{\begin{array}{l}a+b+2c=2\\a+b=2\\a+c=1\end{array}\right.$$

qui a pour solution $$a=1$$, $$b=1$$, $$c=0$$. La solution du système différentiel linéaire homogène à coefficients constants de cet exercice est donc :

$$\left\{\begin{array}{l}x(t)=e^{2t}+e^{4t}\\y(t)=e^{2t}+e^{4t}\\z(t)=e^{2t}\end{array}\right.$$