Title: Rappels Limite à l'infini
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Continuité, Dérivation, Intégration

Limite à l'infini d'une fonction

Si le domaine de définition d'une fonction $$f$$ a pour bord $$-\infty$$ ou $$+\infty$$, alors on peut définir respectivement $$\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)$$ ou $$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)$$.

Cela correspond à la valeur dont s'approche la fonction pour $$x$$ prenant des valeurs de plus en plus petites ($$-\infty$$) ou de plus en plus grandes ($$+\infty$$).

Cette limite peut être un réel fini, $$-\infty$$, $$+\infty$$ ou indéfinie.

Voir aussi ce lien sur wikipedia.

Limite d'un polynôme et de son inverse

Calculer la limite de $$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x^3$$ puis la limite de $$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} 1/x^3$$.

- +inf
Feedback: Plus la valeur de $$x$$ augmente plus $$x^3$$ augmente sans être borné supérieurement donc $$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x^3=+\infty$$. Et ainsi $$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} 1/x^3=0$$.

Termes dominants dans un polynôme.

Lorsque l'on cherche la limite d'un polynôme en $$+\infty$$ ou $$-\infty$$, on doit identifier le terme dominant c'est à dire le terme de plus haut degré. La limite du polynôme sera égale à la limite du terme du terme de plus haut degré.

Par exemple, $$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} -x^3 + 2 x^2-7=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} -x^3 = +\infty$$.

Si l'on a à chercher la limite d'une fraction rationnelle (quotient de deux polynômes), il faut identifier les termes dominants du numérateur et du dénominateur, faire le rapport et ensuite calculer la limite. Par exemple,

$$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{ -x^3 + 2 x^2-7}{2x-2}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{ -x^3}{2x}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac12  -x^2 =-\infty$$.

Il faut noter que certaines fonctions n'ont pas de limites en $$\pm\infty$$ comme les fonctions cosinus ou sinus.

Exercice (fraction rationnelle)

Calculer la limite : $$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{ -2x^3 + 2 x^2-7}{x^3+2x^2-2}$$.

Solution

Nous avons affaire à une fraction rationnelle, il suffit donc d'identifier les termes dominants du numérateur et du dénominateur :

$$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{ -2x^3 + 2 x^2-7}{x^3+2x^2-2}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{ -2x^3 }{x^3}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} -2 =-2$$.