Title: Exercice 1 - Sommes, produits
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Nombres et Géométrie

Question 1

Soit $$S$$ la double somme définie par :

$$S=\sum_{i=1}^{n} \left( \sum_{j=0}^{i}(2i+j+1)\right)$$

Dans ce type de somme on commence par effectuer la somme à l'intérieur des parenthèses. Dans cette somme qui est l'indice ?

- i
- j
- n

Correction question 1

Il s'agit ici d'une somme sur l'indice $$j$$. Les indices $$n$$ et $$i$$ sont, dans le calcul de cette somme, des constantes.

Question 2

On rappelle que

$$S=\sum_{i=1}^{n} \left( \sum_{j=0}^{i}(2i+j+1)\right)$$

Calculer la somme intérieure (il ne doit rester qu'une seule somme).

Correction Question 2

On calcule la somme intérieure de $$S=\sum_{i=1}^{n} \left( \sum_{j=0}^{i}(2i+j+1)\right)$$ par rapport à l'indice muet $$j$$ :

$$S=\sum_{i=1}^{n} \left( (2i+1)\sum_{j=0}^{i}1+\sum_{j=0}^{i}j\right)=\sum_{i=1}^{n} \left( (2i+1)\times i+\frac{i(i+1)}{2}\right)$$

On obtient finalement :

$$S=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{5}{2}i^2+\frac{3}{2}i\right)$$

Question 3

On a $$S=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{5}{2}i^2+\frac{3}{2}i\right)$$.

Calculez $$S$$

Correction question 3

$$S=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{5}{2}i^2+\frac{3}{2}i\right)$$ donc par linéarité :

$$S=\frac{5}{2}\sum_{i=1}^{n}i^2+\frac{3}{2}\sum_{i=1}^{n}i$$.

Soit :

$$S=\frac{5}{2}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{3}{2}\frac{n(n+1)}{2}$$.

En simplifiant :

$$S=\frac{n(n+1)(10n+14)}{12}$$