Title: Equation lineaire
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: On considère l’équation différentielle sur $R} :

\(e^xy'-xy=0\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=Ce^{-(x+1)e^x}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=Ce^{(x+1)e^{-x}}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=Ce^{-(x+1)e^{-x}}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=e^{-(x+1)e^x}+C\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=e^{-(x+1)e^{-x}}+C\)
A: La forme générale des solutions est \(y(x)=Ce^{(x+1)e^{-x}}\)
Feedback: La forme standard est \(y'=f(x,y)=xe^{-x}y\). On a \(f(x)=a(x)y+b(x)\) avec \(a(x)=xe^{-x}\) et \(b(x)=0\). On calcule \(A\) primitive de \(a\). \[\begin{eqnarray}A(x)=\int_{0}^xte^{-t}dt=\left[-te^{-t}\right]_0^x+\int_{0}^xe^{-t}dt\\ =\left[-te^{-t}\right]_0^x-\left[e^{-t}\right]_0^x\\ =-xe^{-x}-(e^{-x}-1) \end{eqnarray}\] La solution générale est \(y(x)=e^{A(x)+c}=Ce^{-(x+1)e^{-x}}.\)

Q: On considère l’équation différentielle sur $R} :

\(y'+2xy=2xe^{-x^2}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=Cx^2e^{-x^2}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=(C+x^2)e^{-x^2}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=2Cxe^{-x^2}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=2xe^{-x^2}+C\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=Ce^{-e^{-x^2}}\)
A: La forme générale des solutions est \(y(x)=(C+x^2)e^{-x^2}\)
Feedback: La forme standard est \(y'=f(x,y)=-2x\times y+2xe^{-x^2}\). On a \(f(x)=a(x)y+b(x)\) avec \(a(x)=-2x\) et \(b(x)=2xe^{-x^2}\). On calcule \(A\) primitive de \(a\). On a \(A(x)=-x^2\) La solution générale de l’équation sans second membre est \(y(x)=e^{A(x)+c}=Ce^{-x^2}.\) Une solution particulière de l’équation avec second membre est \(y_p(x)=e^{-x^2}\int_0^x2te^{-t^2}e^{t^2}dt={x^2}e^{-x^2}\). Donc la solution générale de l’équation est \(y(x)=(C+x^2)e^{-x^2}.\)

Q: On considère l’équation différentielle sur $R} :

\(y'+2y=x^2\)
- La forme générale des solutions est $y(x)=C12x^2e{-2x}
- La forme générale des solutions est \(y(x)=Ce^{-2x}+\dfrac 12x^2-\dfrac 12x+\dfrac 14\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=Ce^{-2x}+\dfrac 12x+\dfrac 14\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=C\dfrac 12x^2e^{-2x}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=Ce^{-2x}-\dfrac 12x^2+\dfrac 12x-\dfrac 14\)
A: La forme générale des solutions est \(y(x)=Ce^{-2x}+\dfrac 12x^2-\dfrac 12x+\dfrac 14\)
Feedback: La forme standard est \(y'=f(x,y)=-2\times y+x^2\). On a \(f(x)=a(x)y+b(x)\) avec \(a(x)=-2\) et \(b(x)=x^2\). On calcule \(A\), primitive de \(a\). On a \(A(x)=-2x\). La solution générale de l’équation sans second membre est \(y(x)=Ce^{-2x}.\) Comme \(b\) est un polynôme du second degré, on cherche une solution particulière de l’équation avec second membre de la forme est \(y_p(x)=ax^2+bx+c\). On a \(y'_p(x)=2ax+b\) et \(y'_p(x)+2y_p(x)=2ax+b+2ax^2+2bx+2c\). \(y_p\) est solution de l’équation si \(y'_p(x)+2y_p(x)=2ax^2+2(a+b)x+b+2c=x^2\), c’est à dire pour \(a=\dfrac 12\), \(b=-\dfrac 12\) et \(c=\dfrac 14\). La solution est \(y_p(x)=\dfrac 12x^2+-\dfrac 12x+\dfrac 14\). La solution générale de l’équation est \(y(x)=Ce^{-2x}+\dfrac 12x^2-\dfrac 12x+\dfrac 14\).

Q: On considère l’équation différentielle sur \(\mathbb R\) :

(x^2+1)y’+2xy+1=0$
- La forme générale des solutions est $y(x)=(C+x)(x^2+1)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=Ce^{-2x}+\dfrac 12x^2-\dfrac 12x+\dfrac 14\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=C\dfrac x{x^2+1}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=(C+x)\dfrac 1{x^2+1}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=Ce^{-2x}\dfrac 1{x^2+1}\)
A: La forme générale des solutions est \(y(x)=(C+x)\dfrac 1{x^2+1}\)
Feedback: La forme standard est \(y'=f(x,y)=-2\dfrac x{x^2+1}\times y-\dfrac 1{x^2+1}\). On a \(f(x)=a(x)y+b(x)\) avec \(a(x)=-2\dfrac x{x^2+1}\) et \(b(x)=-\dfrac 1{x^2+1}\). On calcule \(A\), primitive de \(a\). On a \(A(x)=\int_1^x-2\dfrac t{t^2+1}dt=-\ln(x^2+1)+\ln 2\). La solution générale de l’équation sans second membre est \(y(x)=C\dfrac 1{x^2+1}.\) Une solution particulière de l’équation avec second membre est \(y_p(x)=\dfrac 1{x^2+1}\int_0^x\left(-\dfrac 1{t^2+1}\right)(t^2+1)dt=\dfrac x{x^2+1}\). La solution est \(y_p(x)=\dfrac x{x^2+1}\). La solution générale de l’équation est \(y(x)=(C+x)\dfrac 1{x^2+1}\).

Q: On considère l’équation différentielle sur \(\mathbb R\) :

\(y'-3y=e^x\)
- La forme générale des solutions est $y(x)=C12x^2e{3x}
- La forme générale des solutions est \(y(x)=y(x)=\left(C+\dfrac 12x\right)e^{3x}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=\left(C+\dfrac 12x\right)e^{-3x}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=Ce^{3x}-\dfrac 12e^{2x}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=Ce^{3x}-\dfrac 12e^x\)
A: La forme générale des solutions est \(y(x)=Ce^{3x}-\dfrac 12e^x\)
Feedback: La forme standard est \(y'=f(x,y)=3\times y+e^x\). On a \(f(x)=a(x)y+b(x)\) avec \(a(x)=3\) et \(b(x)=e^x\). On calcule \(A\), primitive de \(a\). On a \(A(x)=3x\). La solution générale de l’équation sans second membre est \(y(x)=Ce^{3x}.\) Comme \(b\) est une polynôme du second degré, on cherche une solution particulière de l’équation avec second membre de la même forme \(y_p(x)=ae^x\). On a \(y'_p(x)=ae^x\) et \(y'_p(x)-3y_p(x)=(a-3a)e^x=-2ae^x\). \(y_p\) est solution de l’équation si \(y'_p(x)+2y_p(x)=-2ae^x=e^x\), c’est à dire pour \(a=-\dfrac 12\). La solution est \(y_p(x)=-\dfrac 12e^x\). La solution générale de l’équation est \(y(x)=Ce^{23}-\dfrac 12e^x\).

Q: On considère l’équation différentielle sur $R} :

\(y'+4y=x\)
- La forme générale des solutions est $y(x)=Cx^2e{-4x}
- La forme générale des solutions est\(y(x)=Ce^{-4x}+\dfrac 14x-1\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=Ce^{-4x}+\dfrac 12x+\dfrac 14\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=C\dfrac 12x^2e^{-4x}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=Ce^{4x}-\dfrac 12x^2+\dfrac 12x-\dfrac 14\)
A: La forme générale des solutions est\(y(x)=Ce^{-4x}+\dfrac 14x-1\)
Feedback: La forme standard est \(y'=f(x,y)=-4\times y+x\). On a \(f(x)=a(x)y+b(x)\) avec \(a(x)=-4\) et \(b(x)=x\). On calcule \(A\), primitive de \(a\). On a \(A(x)=-4x\) La solution générale de l’équation sans second membre est \(y(x)=Ce^{-4x}.\) Comme \(b\) est un polynôme du premier degré, on cherche une solution particulière de l’équation avec second membre de la forme est \(y_p(x)=ax+b\). On a \(y'_p(x)=a\) et \(y'_p(x)+4y_p(x)=a+4ax+4b\). \(y_p\) est solution de l’équation si \(y'_p(x)+4y_p(x)=4ax+a+4b=x\), c’est à dire pour \(a= \dfrac 14\), \(b=-1\). La solution est \(y_p(x)=\dfrac 14x-1\). La solution générale de l’équation est \(y(x)=Ce^{-4x}+\dfrac 14x-1\).

Q: On considère l’équation différentielle sur \(\mathbb R\) :

\(y'-y=e^x\)

Une solution particulière est de la forme \((ax+b)e^x\).

Donner la valeur de \(a\) : [...]

Donner la valeur de \(b\) : [...]
A: 1; 0
Feedback: On cherche une solution particulière de l’équation \(y_p(x)=(ax+b)e^x\). On a \(y'_p(x)=(a+ax+b)e^x\) et \(y'_p(x)-y_p(x)=(a+ax+b-ax-b)e^x\). \(y_p\) est solution de l’équation si \(y'_p(x)-y_p(x)=ae^x=e^x\), c’est à dire pour \(a=1\) et \(b=0\). La solution est \(y_p(x)=xe^x\). Remarque : on devrait chercher a priori une solution avec un polynôme de degré \(0\) comme dans le second membre soit \(y_p(x)=be^x\). Ici on est obligé de monter au degré 1, parce que le second membre \(e^x\) est particulier; ce second membre est solution de l’équation sans second membre \(y'-y=0\). Il y a un effet de couplage entre l’équation différentielle sans second membre et la fonction choisie au second membre.

Q: On considère l’équation différentielle sur \(\mathbb R\) :

\(y'-3y=xe^x\)

Une solution particulière est de la forme \((ax+b)e^x\).

Donner la valeur de \(a\) : [...]

Donner la valeur de \(b\) : [...]
A: -0.5; -1
Feedback: On cherche une solution particulière de l’équation \(y_p(x)=(ax+b)e^x\). On a \(y'_p(x)=(a+ax+b)e^x\) et \(y'_p(x)-3y_p(x)=(a+ax+b-3ax-3b)e^x\). \(y_p\) est solution de l’équation si \(y'_p(x)-y_p(x)=(-2ax+a-2b)e^x=e^x\), c’est à dire pour \(a=-\dfrac 1 2\) et \(b=-1\). La solution est \(y_p(x)=-\left(\dfrac 1 2x+1\right)e^x\).

Q: On considère l’équation différentielle sur \(\mathbb R\) :

\(y'-2y=(x^2+1)e^x\)

Une solution particulière est de la forme \((ax^2+bx+c)e^x\).

Donner la valeur de \(a\) : [...]

Donner la valeur de \(b\) : [...]

Donner la valeur de \(c\) : [...]

1. [...]
A: -1; -2; -2; -3
Feedback: On cherche une solution particulière de l’équation \(y_p(x)=(ax^2+bx+c)e^x\). On a \(y'_p(x)=(2ax+b+ax^2+bx+c)e^x\) et \(y'_p(x)-2y_p(x)=(2ax+b+ax^2+bx+c-2(ax^2+bx+c))e^x\). \(y_p\) est solution de l’équation si \(y'_p(x)-y_p(x)=(-ax^2+(2a-b)x+b-c)e^x=(x^2+1)e^x\), c’est à dire pour $a=- 1 $, \(b=-2\) et \(c=-3\). La solution est \(y_p(x)=-\left(-x^2-2x-3)e^x\).

Q: On considère l’équation différentielle sur \(\mathbb R\) :

\(y'-2y=xe^{2x}\)

Une solution particulière est de la forme \((ax^2+bx)e^x\).

Donner la valeur de \(a\) : [...]

Donner la valeur de \(b\) : [...]
A: 0; -2
Feedback: On cherche une solution particulière de l’équation \(y_p(x)=(ax^2+bx+c)e^{2x}\). On a \(y'_p(x)=(2ax+b+2(ax^2+bx)e^{2x}\) et \(y'_p(x)-2y_p(x)=(2ax+b+2(ax^2+bx)-2(ax^2+bx))e^{2x}\). \(y_p\) est solution de l’équation si \(y'_p(x)-y_p(x)=(2ax+b)e^{2x}=xe^{2x}\), c’est à dire pour $a=12 $ et \(b=0\). La solution est \(y_p(x)=\dfrac 12 x^2e^{2x}\).

Q: Utiliser le changement de fonction \(z=\ln(y)\) pour résoudre l’équation différentielle sur \(\mathbb R^+\) :

\(xy'=y(\ln(y)-\ln(x))\)
- \(y(x)=x\) est solution.
- La forme générale des solutions est \(y(x)=xe^{x+c}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=e^{cx+1}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=Cxe^{x+1}\)
- La forme générale des solutions est \(y(x)=xe^{cx-1}\)
A: La forme générale des solutions est \(y(x)=e^{cx+1}\)
Feedback: On a \(z'=\dfrac {y'}y\) donc l’équation en \(z\) s’écrit \(xz'=z-\ln(x)\) soit \(z'-\dfrac z x=-\dfrac{\ln(x)}x\). Cette équation est linéaire. Sa solution générale sans second membre est \(z=cx\). La solution particulière de l’équation avec second membre est \(z_p(x)=x\int_1^x-\dfrac{\ln(t)}{t^2}dt\) Intégrant par partie avec u=(t)$ et \(v'=-\dfrac{1}{t^2}\) : \(\int_0^x-\ln(t)dt=[\dfrac{\ln(t)}{t}]_1^x+\int_1^x\dfrac{1}{t^2}dt=\dfrac{\ln(x)}{x}+\dfrac{1}{x}-1\). Dinc \(z_p(x)=-x+\ln(x)+1\) La solution générale est \(z=cx+1+\ln(x)\), donc \(y=xe^{cx+1}\).