Title: tableau de variation
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par \[x\mapsto e^{- x ^{2} }\]

La fonction \[f\] est dérivable sur \[\mathbb{R}\] et on a le tableau de variations suivant :

\[\begin{array}{|l| l l l l l|} \hline \quad x& -\infty & &n & & +\infty \\ \hline f^{\prime }\left( x\right) & & sv(1) & p & sv(2)& \\ \hline \end{array}\] où \[n\] et \[p\] sont des entiers relatifs et sv() désigne le sens de variation sur l’ensemble considéré.

Si la fonction \[f\] est strictement croissante sur l’ensemble considéré on entrera la lettre “c” et si elle est strictement décroissante on entrera la lettre “d”.

1. Entrer la valeur de l’entier relatif \[n\] dans la case suivante : Entrer la valeur de l’entier relatif \[p\] dans la case suivante : Entrer la valeur de \[sv(1)\] dans la case suivante : Entrer la valeur de \[sv(2)\] dans la case suivante : [...]
2. [...]
3. [...]
4. [...]
A: 0; 1; c / c; d / d
Feedback: La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme composée de fonctions dérivables et on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R} \quad f'(x) &= & -2xe^{-x^{2}} \end{eqnarray*}\] On en déduit le tableau de variations suivant : \[ \begin{array}{|l| l l l l l|} \hline \quad x& -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline f^{\prime }\left( x\right) & & + \quad &0 &\quad - & \\ \hline & & &1 & & \\ \quad f & &\nearrow & & \; \searrow & \\ \rule[-10 pt]{0pt}{16 pt} & \quad 0 & & & & 0 \\ \hline \end{array}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par \[x\mapsto x - \mbox{Arctan} \ x\]

La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on a le tableau de variations suivant :

\[ \begin{array}{|l| l l l l l|} \hline \quad x& -\infty & &0 & & +\infty \\ \hline f^{\prime }\left( x\right) & & sv(1) & n & sv(2)& \\ \hline \end{array}\]

où \(n\) est un entier relatif et sv() désigne le sens de variation sur l’ensemble considéré.

Si la fonction \(f\) est strictement croissante sur l’ensemble considéré on entrera la lettre “c” et si elle est strictement décroissante on entrera la lettre “d”.

1. Entrer la valeur de l’entier relatif \[n\] dans la case suivante : Entrer la valeur de \[sv(1)\] dans la case suivante : Entrer la valeur de \[sv(2)\] dans la case suivante : [...]
2. [...]
3. [...]
A: 0; c / c; c / c
Feedback: La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme somme de fonctions dérivables et on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R} \quad f'(x) &= & 1 -\frac{1}{1 + x^{2}} \\ & = &\frac{1 + x^{2} -1}{1 + x^{2}} \\ & = &\frac{ x^{2} }{1 + x^{2}} \end{eqnarray*}\] On en déduit le tableau de variations suivant : \[\begin{array} {|l| l l l l l|} \hline \quad x& -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline f^{\prime } & & + \quad &0 &\quad + & \\ \hline & & & & & + \infty \\ \ & &\ & & \; \nearrow & \\ \quad f& \quad & &0 & & \\ \quad & &\nearrow & & & \\ & \quad - \infty & & & & \\ \hline \end{array}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par \[x\mapsto \sqrt{x} \, e^{1- x}\]

1. On note \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), entrer la numéro qui correspond à la bonne réponse.

1. \(D_{f}= \mathbb{R}\)
2. \(D_{f}= \mathbb{R}^{*}\)
3. \(D_{f}= \mathbb{R}_{+}^{*}\)
4. \(D_{f}= \mathbb{R}_{+}\)

Entrer la lettre choisie dans la case suivante : [...]

1. On a $ { {x 0} f(x) = a}$ et $ { {x +} f(x) = b}$ où \(a\) et \(b\) sont deux entiers relatifs.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[a\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[b\] dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(f\) est dérivable en \(0\).

Si la propriété précédente est vraie, entrer la lettre “v” sinon entrer la lettre “f” : [...]

1. La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) et on a le tableau de variations suivant :

\[\begin{array}{|l| l l l l l|} \hline \quad x& 0 & &\dfrac{1}{n} & & +\infty \\ \hline f^{\prime }\left( x\right) & & sv(1) & \alpha & sv(2)& \\ \hline \end{array}\]

où \(\alpha = \sqrt{ \frac{1}{n}} e^{\frac{1}{n}}\) et \(n\) est un entier relatif et sv() désigne le sens de variation sur l’ensemble considéré.

Si la fonction \(f\) est strictement croissante sur l’ensemble considéré on entrera la lettre “c” et si elle est strictement décroissante on entrera la lettre “d”.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[n\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(1)\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(2)\] dans la case suivante : [...]
A: 4 / 4; 0; 0; f / f; 2; c / c; d / d
Feedback: Soit \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), on a \(D_{f} = \left \{ x \in \mathbb{R}, \quad x \geq 0 \right \}\). On en déduit que : \(D_{f}= \mathbb{R}_{+}\). On a : \[\begin{eqnarray*} { \lim_{x \to 0} f(x) }&= & { \lim_{x \to 0} { \sqrt{x} \, e^{1-x} } }\\ & = & 0 \end{eqnarray*}\] et \[\begin{eqnarray*} { \lim_{x \to +\infty} f(x) }&= & { \lim_{x \to + \infty} { \sqrt{x} \, e^{1-x} } }\\ & = & { \lim_{x \to + \infty} {\frac {e\sqrt{x} }{e^{x} } }}\\ & = & 0 \end{eqnarray*}\] d’après le théorème des puissances comparées. Par ailleurs on a : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} {\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}} &= & { \lim_{x \to 0} {\dfrac{ \sqrt{x} \, e^{1- x}-0}{x-0}} }\\ &= & { \lim_{x \to 0} {\dfrac{ \sqrt{x} \, e^{1- x}}{x} } }\\ &= & { \lim_{x \to 0} {\dfrac{ e^{1- x} } { \sqrt{x}} }}\\ & = & +\infty \end{eqnarray*}\] On en déduit que la fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(0\). La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) comme produit de fonctions dérivables et on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}{+}^{*} \quad f'(x) &= & \frac{1}{2\sqrt{x}}e^{1-x} + \sqrt{x}\,\left ( - e^{1-x} \right) \\ & = & \frac{e^{1-x} - 2x e^{1-x} }{2\sqrt x} \\ & = &\frac{(1 - 2x) e^{1-x} }{2\sqrt x} \\ \end{eqnarray*}\] Le signe de \(f'(x)\) étant déterminé par celui de \(1-2x\) on en déduit le tableau de variations suivant : \[\begin{array}{|l| l l l l l|} \hline \quad x& 0 & &\frac{1}{2} & \qquad \qquad \qquad & +\infty \\ \hline f^{\prime } & & + \quad &0 & \qquad - & \\ \hline & & &\sqrt{ \frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}} & & \\ f & &\nearrow & & \qquad \; \searrow & \\ & \quad 0 & & & & 0 \\ \hline \end{array}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par \[x\mapsto\frac{1}{x\ln x}\]

1. On note \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), entrer la lettre qui correspond à la bonne réponse : [...]

1. \(D_{f}= \mathbb{R}\)
2. \(D_{f}= \mathbb{R}^{*}\)
3. \(D_{f}= \mathbb{R}_{+}^{*}\)
4. \(D_{f}= \mathbb{R}_{+}^{*} \setminus \{ 1 \}\)

1. On a ; \(\D { \lim_{x \to 0} f(x) = a}\) et \(\D { \lim_{x \to +\infty} f(x) = b}\) où \(a\) er \(b\) sont soit des entiers relatifs soit égaux à \(-\infty\) ou à \(+\infty\).

Entrer la valeur de l’entier relatif \[a\] ou “-inf” si \(a = - \infty\) ou “+inf” si \(a = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[b\] ou “-inf” si \(b = - \infty\) ou “+inf” si \(b = + \infty\) dans la case suivante : [...]

1. On a ; \(\D { \lim_{{x \to 1} \atop { x \mbox{<}1} } f(x) = a}\) et \(\D { \lim_{{x \to 1} \atop { x \mbox{>}1} } f(x) = b}\) où \(a\) er \(b\) sont soit des entiers relatifs soit égaux à \(-\infty\) ou à \(+\infty\).

Entrer la valeur de l’entier relatif \[a\] ou “-inf” si \(a = - \infty\) ou “+inf” si \(a = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[b\] ou “-inf” si \(b = - \infty\) ou “+inf” si \(b = + \infty\) dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(f\) est dérivable sur \(D_{f}\) et on a le tableau de variations suivant :

\[\begin{array}{|c| ccc r r||l l cc|} \hline x & a & & e^{b} & & c & c & & & d \\ \hline f & & sv(1) & & sv(2) & & & & sv(3) & \\ \hline \end{array}\] où \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) sont soit des entiers relatifs soit égaux à \(-\infty\) ou à \(+\infty\) et sv() désigne le sens de variation sur l’ensemble considéré.

Si la fonction \(f\) est strictement croissante sur l’ensemble considéré on entrera la lettre “c” et si elle est strictement décroissante on entrera la lettre “d”.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[a\] ou “-inf” si \(a = - \infty\) ou “+inf” si \(a = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[b\] ou “-inf” si \(b = - \infty\) ou “+inf” si \(b = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[c\] ou “-inf” si \(c = - \infty\) ou “+inf” si \(c = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[d\] ou “-inf” si \(d = - \infty\) ou “+inf” si \(d = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(1)\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(2)\] dans la case suivante : ##ANSWER11#

Entrer la valeur de \[sv(3)\] dans la case suivante : [...]

1. [...]
A: d / d; -inf / -inf; 0; -inf / -inf; +inf / +inf; 0; -1; 1; +inf / +inf; c / c; d / d; d / d
Feedback: Soit \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), on a \(D_{f} = \left \{ x \in \mathbb{R}, \quad x \mbox{ > } 0\) et \(\ln x \neq 0 \right \}\). On en déduit que : \(D_{f}= \mathbb{R}_{+}^{*} \setminus \{ 1 \}\). \[\begin{eqnarray*} { \lim_{x \to 0} f(x) }&= & { \lim_{x \to 0} {\frac{1}{x\ln x} } }\\ & = & - \infty\end{eqnarray*}\] car \(\lim_{x \to 0} x \ln x = 0\) et $0>x x $ si \(x \in ]0,1[\) et \[\begin{eqnarray*} { \lim_{x \to +\infty} f(x) }&= & { \lim_{x \to + \infty} {\frac{1}{x\ln x} } }\\ & = & 0 \end{eqnarray*}\] car \(\lim_{x \to + \infty} x \ln x = +\infty}\). Par ailleurs on a aussi : \[\begin{eqnarray*} { \lim_{ {x \to 1} \atop { 1>x } } f(x) }&= & { \lim_{{x \to 1} \atop {1> x }} {\frac{1}{x\ln x} } } \\ & = & - \infty \end{eqnarray*}\] car \[\begin{eqnarray*} { \lim_{{x \to 1} \atop { 1>x}} x \ln x = 0}\end{eqnarray*}\] et \(0 > x \ln x\) si \(x \in ]0,1[\) et \[\begin{eqnarray*} \lim_{ {x \to 1} \atop { x >1 } } f(x) &= & { \lim_{{x \to 1} \atop { x> 1}} {\frac{1}{x\ln x} } } \\ & = & + \infty \end{eqnarray*}\] car \(\lim_{{x \to 1} \atop { x > 1}} x \ln x = 0}\) et $x x > 0 $ si $ x ]1,+[ $ La fonction \(f\) est dérivable sur \(D_{f}\) comme inverse d’un produit de fonctions dérivables et on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in D_{f} \quad f'(x) &= & -frac{1.\ln x + x .frac{1}{x}}{ \left ( x \ln x \right )^{2}} \\ & = & -frac{1 + \ln x}{ \left ( x \ln x \right )^{2}} \\ \end{eqnarray*}\] Le signe de \(f'(x)\) étant déterminé par celui de \(-(1+\ln x)\) on en déduit le tableau de variations suivant : \[\begin{array}{|c| ccc r r||l l cc|} \hline x & 0 & & e^{-1} & & 1 & 1 & & & + \infty \\ \hline f^{\prime }\left( x\right) & & + & 0 & - & & & &- & \\ \hline & & & - e & & & + \infty & & & \\ f & &\nearrow & & \searrow & & & &\searrow & \\ & -\infty & & & & -\infty & & & & 0 \\ \hline \end{array}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par \[x\mapsto x +frac{1}{x}\]

1. On note \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), entrer la lettre qui correspond à la bonne réponse.

1. \(D_{f}= \mathbb{R}\)
2. \(D_{f}= \mathbb{R}^{*}\)
3. \(D_{f}= \mathbb{R}_{+}^{*}\)
4. \(D_{f}= \mathbb{R}_{+}^{*} \setminus \{ 1 \}\)

Entrer la lettre choisie dans la case suivante : [...]

1. On a : \(\D { \lim_{x \to 0^{+} } f(x) = a}\) et \(\D { \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = b}\) où \(a\) er \(b\) sont soit des entiers relatifs soit égaux à \(-\infty\) ou à \(+\infty\).

Entrer la valeur de l’entier relatif \[a\] ou “-inf” si \(a = - \infty\) ou “+inf” si \(a = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[b\] ou “-inf” si \(b = - \infty\) ou “+inf” si \(b = + \infty\) dans la case suivante : [...]

1. On a : \(\D { \lim_{x \to -\infty} f(x) = a}\) et \(\D { \lim_{x \to +\infty} f(x) = b}\) où \(a\) er \(b\) sont soit des entiers relatifs soit égaux à \(-\infty\) ou à \(+\infty\).

answer3

Entrer la valeur de l’entier relatif \[a\] ou “-inf” si \(a = - \infty\) ou “+inf” si \(a = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[b\] ou “-inf” si \(b = - \infty\) ou “+inf” si \(b = + \infty\) dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(f\) est dérivable sur \(D_{f}\) et on a le tableau de variations suivant :

\[\begin{array}{|c| ccc r r||l lc cc|} \hline x & a & & b & & c & c & & d & & e \\ \hline f & & sv(1) & f & sv(2) & & & sv(3) & g &sv(4) & \\ \hline \end{array}\]

où \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\) et \(g\) sont soit des entiers relatifs soit égaux à \(-\infty\) ou à \(+\infty\) et \(sv()\) désigne le sens de variation sur l’ensemble considéré.

Si la fonction \(f\) est strictement croissante sur l’ensemble considéré on entrera la lettre “c” et si elle est strictement décroissante on entrera la lettre “d”.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[a\] ou “-inf” si \(a = - \infty\) ou “+inf” si \(a = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[b\] ou “-inf” si \(b = - \infty\) ou “+inf” si \(b = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[c\] ou “-inf” si \(c = - \infty\) ou “+inf” si \(c = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[d\] ou “-inf” si \(d = - \infty\) ou “+inf” si \(d = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[e\] ou “-inf” si \(e = - \infty\) ou “+inf” si \(e = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[f\] ou “-inf” si \(f = - \infty\) ou “+inf” si \(f = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[g\] ou “-inf” si \(g = - \infty\) ou “+inf” si \(g = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(1)\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(2)\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(3)\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(4)\] dans la case suivante : [...]
A: b / b; -inf / -inf; +inf / +inf; -inf / -inf; +inf / +inf; -inf / -inf; -1; 0; 1; +inf / +inf; -2; 2; c / c; d / d; d / d; c / c
Feedback: Soit \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), on a \(D_{f} = \left \{ x \in \mathbb{R}, \quad x \neq 0 \right \}\). On en déduit que : \(D_{f}= \mathbb{R}^{*}\). On a : \[\begin{eqnarray*} { \lim_{x \to 0^{-}} f(x) }&= & { \lim_{x \to 0^{-}} {x +\frac{1}{x } }}\\ & = & - \infty \end{eqnarray*}\] car \(\lim_{x \to 0^{-}}frac{1}{x} = -\infty\). et \[\begin{eqnarray*} { \lim_{x \to 0^{+}} f(x) }&= & { \lim_{x \to 0^{+}} {x +frac{1}{x } }}\\ & = & + \infty \end{eqnarray*}\] car \(\lim_{x \to 0^{+}}\frac{1}{x} = +\infty\). Par ailleurs on a aussi : \[\begin{eqnarray*} { \lim_{ {x \to - \infty} } f(x) }&= & { \lim_{x \to -\infty} x +frac{1}{x} } \\ & = & -\infty \end{eqnarray*}\] et \[\begin{eqnarray*} { \lim_{ {x \to + \infty} } f(x) }&= & { \lim_{x \to +\infty} x +frac{1}{x} } \\ & = & +\infty \end{eqnarray*}\] La fonction \(f\) est dérivable sur \(D_{f}\) comme somme de fonctions dérivables et on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in D_{f} \quad f'(x) &= & 1 - \frac{1}{x^{2}} \\ & = & \frac{ x^{2} - 1 }{ x^{2}} \\ \end{eqnarray*}\] Le signe de \(f'(x)\) étant déterminé par celui de $ x^{2} - 1$ on en déduit le tableau de variations suivant : \[\begin{array}{|c| ccc r r||l lc cc|} \hline x & -\infty & & -1 & & 0 & 0 & & 1 & & + \infty \\ \hline f^{\prime }\left( x\right) & & + & 0 & - & & & - & 0 &+ & \\ \hline & & & - 2 & & & + \infty & & & & + \infty \\ f & &\nearrow & & \searrow & & & \searrow & &\nearrow & \\ & -\infty & & & & -\infty & & & 2 & & \\ \hline \end{array}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par \[x\mapsto \mbox{Arctan} \left(frac{x - 1}{x + 1} \right)\]

1. On note \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), entrer la lettre qui correspond à la bonne réponse : [...]

1. \(D_{f}= \mathbb{R}\)
2. \(D_{f}= \mathbb{R}^{*}\)
3. \(D_{f}= \mathbb{R}_{+}^{*}\)
4. \(D_{f}= \mathbb{R}_{+}^{*} \setminus \{ 1 \}\)
5. \(D_{f}= \mathbb{R} \setminus \{-1 , 1 \}\)
6. \(D_{f}= \mathbb{R} \setminus \{-1 \}\)

1. On a : \(\D { \lim_{x \to -1^{-}} f(x) =frac{\pi}{a}}\) et \(\D { \lim_{x \to -1^{+}} f(x) =frac{\pi}{b}}\) où \(a\) et \(b\) sont soit des entiers relatifs.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[a\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[b\] dans la case suivante : [...]

1. On a : \(\D { \lim_{x \to -\infty} f(x) =frac{\pi}{a}}\) et \(\D { \lim_{x \to +\infty} f(x) =frac{\pi}{b}}\) où \(a\) er \(b\) sont soit des entiers relatifs.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[a\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[b\] dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(f\) est dérivable sur \(D_{f}\) et on a le tableau de variations suivant :

\[\begin{array}{|c| c r r||l l cc|} \hline x & a & & b & b & & & c \\ \hline f & & sv(1) & & & sv(2) & & \\ \hline \end{array}\]

où \(a\), \(b\) et \(c\) sont soit des entiers relatifs soit égaux à \(-\infty\) ou à \(+\infty\) et \(sv()\) désigne le sens de variation sur l’ensemble considéré.

Si la fonction \(f\) est strictement croissante sur l’ensemble considéré on entrera la lettre “c” et si elle est strictement décroissante on entrera la lettre “d”.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[a\] ou “-inf” si \(a = - \infty\) ou “+inf” si \(a = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[b\] ou “-inf” si \(b = - \infty\) ou “+inf” si \(b = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[c\] ou “-inf” si \(c = - \infty\) ou “+inf” si \(c = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(1)\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(2)\] dans la case suivante : [...]
A: f / f; 2; -2; 4; 4; -inf / -inf; -1; +inf / +inf; c / c; c / c
Feedback: Soit \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), on a \(D_{f} = \left \{ x \in \mathbb{R}, \quad x + 1 \neq 0 \right \}\). On en déduit que : \(D_{f}= \mathbb{R} \setminus \{-1\}\). Comme on a : $ { {x -1^{-}} { ( ) } = +}$ et $ { {x +} { ,x} =frac{}{2} }$ par composition on obtient : \[\begin{eqnarray*} { \lim_{x \to -1^{-}} f(x) }&= & { \lim_{x \to -1^{-}} { \mbox{Arctan} \left(\frac{x - 1}{x + 1} \right) }}\\ & = & \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}\] De même on a : \({ \lim_{x \to -1^{+}} { \left(\frac{x - 1}{x + 1} \right) } = -\infty }\) et \(\D { \lim_{x \to -\infty} { \mbox{Arctan} \,x} = -\dfrac{\pi}{2} }\) par composition on obtient : \[\begin{eqnarray*} { \lim_{x \to -1^{+}} f(x) }&= & { \lim_{x \to -1^{+}} { \mbox{Arctan} \left(\frac{x - 1}{x + 1} \right) }}\\ & = & -\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}\] Par ailleurs on a aussi \({ \lim_{x \to -\infty} { \left(frac{x - 1}{x + 1} \right) } = 1 }\) et $ { _{x 1} { ,x} = , 1 }$ par composition on obtient : \[\begin{eqnarray*} { \lim_{x \to -\infty} f(x) }&= & { \lim_{x \to - \infty} { \mbox{Arctan} \left(\frac{x - 1}{x + 1} \right) }}\\ & = & \mbox{Arctan} \, 1 \\ & = &\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}\] De même on a : \({ \lim_{x \to +\infty} { \left(\frac{x - 1}{x + 1} \right) } = 1 }\) et $ { _{x 1} { ,x} = , 1 }$ par composition on obtient : \[\begin{eqnarray*} { \lim_{x \to +\infty} f(x) }&= & { \lim_{x \to + \infty} { \mbox{Arctan} \left(\frac{x - 1}{x + 1} \right) }}\\ & = & \mbox{Arctan} \, 1 \\ & = &\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}\] La fonction \(f\) est dérivable sur \(D_{f}\) comme composée de fonctions dérivables et on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in D_{f} \quad f'(x) &= & \left(frac{x - 1}{x + 1} \right) ' . \mbox{Arctan}' \left(\frac{x - 1}{x + 1} \right) \\ & = & \frac{ 1 . (x + 1) - (x-1).1}{ (x +1)^{2}} .\frac{1}{ 1 + \left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)^{2} } \\ & = & \frac{ 2}{ (x +1)^{2}} .\frac{1}{ 1 + \left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)^{2} } \end{eqnarray*}\] On obtient enfin : \(\forall x \in D_{f}, \quad 0 < f'x)\), on en déduit le tableau de variations suivant : \[\begin{array}{|c| c r r||l l cc|} \hline x & - \infty & & - 1 & - 1 & & & + \infty \\ \hline f^{\prime }\left( x\right) & & + & & & &- & \\ \hline & & & \frac{\pi}{2} & & & & \frac{\pi}{4} \\ f & & \nearrow & & & &\nearrow & \\ & \frac{\pi}{4} & & & -\frac{\pi}{2} & & & \\ \hline \end{array}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb {R}_{+}^{*}\] par \[x\mapsto x^{x}\]

1. On note \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), entrer la lettre qui correspond à la bonne réponse : [...]

1. \(D_{f}= \mathbb{R}\)
2. \(D_{f}= \mathbb{R}^{*}\)
3. \(D_{f}= \mathbb{R}_{+}^{*}\)
4. \(D_{f}= \mathbb{R}_{+}\)

1. On a ; \(\D { \lim_{x \to 0} f(x) = a}\) et \(\D { \lim_{x \to +\infty} f(x) = b}\) où \(a\) er \(b\) sont soit des entiers relatifs soit égaux à \(-\infty\) ou à \(+\infty\).

answer2

Entrer la valeur de l’entier relatif \[a\] ou “-inf” si \(a = - \infty\) ou “+inf” si \(a = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[b\] ou “-inf” si \(b = - \infty\) ou “+inf” si \(b = + \infty\) dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(f\) admet-elle un prolongement par continuité en \(0\), noté $ $, qui est dérivable en \(0\) ?

Entrer la lettre “v” pour vrai sinon entrer la lettre “f” : [...]

1. La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) et on a le tableau de variations suivant :

\[\begin{array}{|l| l l l l l|} \hline \quad x& a & & e^{b} & \qquad \qquad \qquad &c \\ \hline f^{\prime }\left( x\right) & &sv(1) \quad & \alpha & \qquad sv(2) & \\ \hline \end{array}\]

où \(a\), \(b\) et \(c\) sont soit des entiers relatifs soit égaux à \(-\infty\) ou à \(+\infty\) et où \(\alpha = \frac{1}{e^{e^{n}}}\) et \(n\) est un entier relatif et sv() désigne le sens de variation sur l’ensemble considéré.

Si la fonction \(f\) est strictement croissante sur l’ensemble considéré on entrera la lettre “c” et si elle est strictement décroissante on entrera la lettre “d”.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[a\] ou “-inf” si \(a = - \infty\) ou “+inf” si \(a = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[b\] ou “-inf” si \(b = - \infty\) ou “+inf” si \(b = + \infty\) dans la case suivante : ##ANSWER0##

Entrer la valeur de l’entier relatif \[c\] ou “-inf” si \(c = - \infty\) ou “+inf” si \(c = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[n\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(1)\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(2)\] dans la case suivante : [...]

1. [...]
A: c / c; 0; +inf / +inf; f / f; 0; +inf / +inf; -1; d / d; c / c; -1
Feedback: On a : \(\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \quad x^{x} = e^{x\ln x}\) donc si \(D_{f}\) est l’ensemble définition de la fonction \(f\), il vient \(D_{f} = \left \{ x \in \mathbb{R}, \quad x > 0 \right \}\). On en déduit que : \(D_{f}= \mathbb{R}_{+}^{*}\). On a alors : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} f(x) & = & \lim_{x\to 0} e^{x\ln x } \\ & = & 1. \end{eqnarray*}\] On en déduit que la fonction \(f\) admet un prolongement par continuité en \(0\), notée \(\check{f}\), en posant . De plus on a : \(\D{ \lim_{x \to 0} {x\ln x } = 0 }\) et \(\D{ \lim_{u \to 0} {\dfrac{e^{u} -1}{u }}} = 1\) d’où $ $ Comme \(\D{ \lim_{x \to 0} {\ln x } = - \infty }\) on en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} {\dfrac{\check{f}(x)-\check{f}(0)}{x- 0} } &= &{ \lim_{x \to 0} {\dfrac{e^{x\ln x} -1}{x-0 }} }\\ &= & { \lim_{x \to 0} {\dfrac{e^{x\ln x} -1}{x.\ln x}} . \ln x }\\ \rule[-4 pt]{0pt}{30 pt} & = & - \infty. \end{eqnarray*}\] La fonction \(f\) admet un prolongement par continuité en \(0\) qui n’est pas dérivable en \(0\) Par ailleurs la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}^{+}\) comme composée de fonctions dérivables et on a ; \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*} \quad f'(x) &= & \left ( 1.\ln x + x .\dfrac{1}{x} \right) . e^{x\ln x} \\ & = & \left ( \ln x + 1 \right) . e^{x\ln x} \\ & = & \left ( \ln x + 1 \right) . x^{x} \end{eqnarray*}\] Le signe de \(f'(x)\) étant déterminé par celui de $ x +1$ on en déduit le tableau de variations suivant : \[ \begin{array}{|l| l l l l l|} \hline \quad x& 0 & & e^{-1} & \qquad \qquad \qquad & +\infty \\ \hline f^{\prime }\left( x\right) & &- \quad &0 & \qquad + & \\ \hline &1 & & & & + \infty \\ \quad f & &\searrow & & \qquad \; \nearrow & \\ \rule[-10 pt]{0pt}{16 pt} & \quad & & e^{-e^{-1}} & & \\ \hline \end{array}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par \[x\mapsto frac{x^{4} - 6x^{2} + 2}{ x^{3}-x }\]

1. On note \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), entrer la lettre qui correspond à la bonne réponse : [...]

1. \(D_{f}= \mathbb{R}\)
2. \(D_{f}= \mathbb{R}^{*} \setminus \{-1 , 1 \}\)
3. \(D_{f}= \mathbb{R}^{*}\)
4. \(D_{f}= \mathbb{R}^{*} \setminus \{ 1 \}\)
5. \(D_{f}= \mathbb{R} \setminus \{-1 , 1 \}\)

1. On a : \(\D { \lim_{x \to -\infty} f(x) = a}\) et \(\D { \lim_{x \to +\infty} f(x) = b}\) où \(a\) er \(b\) sont soit des entiers relatifs soit égaux à \(-\infty\) ou à \(+\infty\).

Entrer la valeur de l’entier relatif \[a\] ou “-inf” si \(a = - \infty\) ou “+inf” si \(a = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[b\] ou “-inf” si \(b = - \infty\) ou “+inf” si \(b = + \infty\) dans la case suivante : [...]

1. Soit \(a\), \(b\) et \(c\) les trois bornes finies de l’ensemble de définition de \(f\) avec \(c > b > a\).

On a ; \(\D { \lim_{x \to a^{-}} f(x) = L}\) et \(\D { \lim_{x \to a^{+}} f(x) = l}\) où \(L\) et \(l\) sont soit des entiers relatifs soit égaux à \(-\infty\) ou à \(+\infty\).

Entrer la valeur de l’entier relatif \[L\] ou “-inf” si \(L = - \infty\) ou “+inf” si \(L = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[l\] ou “-inf” si \(l = - \infty\) ou “+inf” si \(l = + \infty\) dans la case suivante : [...]

On a : \(\D { \lim_{x \to b{-}} f(x) = L}\) et \(\D { \lim_{x \to b^{+}} f(x) = l}\) où \(L\) er \(l\) sont soit des entiers relatifs soit égaux à \(-\infty\) ou à \(+\infty\).

Entrer la valeur de l’entier relatif \[L\] ou “-inf” si \(L = - \infty\) ou “+inf” si \(L = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[l\] ou “-inf” si \(l = - \infty\) ou “+inf” si \(l = + \infty\) dans la case suivante : [...]

On a ; \(\D { \lim_{x \to c^{-}} f(x) = L}\) et \(\D { \lim_{x \to c^{+}} f(x) = l}\) où \(L\) er \(l\) sont soit des entiers relatifs soit égaux à \(-\infty\) ou à \(+\infty\).

Entrer la valeur de l’entier relatif \[L\] ou “-inf” si \(L = - \infty\) ou “+inf” si \(L = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[l\] ou “-inf” si \(l = - \infty\) ou “+inf” si \(l = + \infty\) dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(f\) est dérivable sur \(D_{f}\) et on a le tableau de variations suivant :

\[ \begin{array}{|c| c r r||l l r || l c r || l cc|} \hline x & - \infty & & a & a & & b & b & & c & c & & + \infty \\ \hline f & & sv(1) & & & sv(2) & & & sv(3) & & & sv(4) & \\ \hline \end{array}\]

où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des entiers relatifs et \(sv()\) désigne le sens de variation sur l’ensemble considéré.

Si la fonction \(f\) est strictement croissante sur l’ensemble considéré on entrera la lettre “c” et si elle est strictement décroissante on entrera la lettre “d”.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[a\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[b\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[c\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(1)\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(2)\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(3)\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(4)\] dans la case suivante : [...]
A: b / b; -inf / -inf; +inf / +inf; -inf / -inf; +inf / +inf; -inf / -inf; +inf / +inf; -inf / -inf; +inf / +inf; -1; 0; 1; c / c; c / c; c / c; c / c
Feedback: Soit \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\), on a : \[\begin{eqnarray*} D_{f} &= & \left \{ x \in \mathbb{R} \; / \quad x^{3}-x \neq 0 \right \} \\ & = & \mathbb{R} \setminus \left \{-1,0,1 \right\} \end{eqnarray*}\] On a \[\begin{eqnarray*} { \lim_{ {x \to - \infty} } f(x) }&= & { \lim_{x \to -\infty} frac{x^{4} - 6x^{2} + 2}{ x^{3}-x } } \\ & = & { \lim_{x \to -\infty} frac{x^{4}} {x^{3} } } \\ & = & { \lim_{x \to -\infty} x } \\ & = & -\infty \end{eqnarray*}\] et de même \[\begin{eqnarray*} { \lim_{ {x \to + \infty} } f(x) }&= & { \lim_{x \to +\infty} frac{x^{4} - 6x^{2} + 2}{ x^{3}-x } } \\ & = & { \lim_{x \to +\infty} frac{x^{4}} {x^{3} } } \\ & = & { \lim_{x \to +\infty} x } \\ & = & +\infty \end{eqnarray*}\] Par ailleurs on a : \[\begin{eqnarray*} { \lim_{x \to -1^{-}} f(x) }&= & { \lim_{x \to -1^{-}} { frac{x^{4} - 6x^{2} + 2}{ x^{3}-x } }}\\ & = & + \infty \end{eqnarray*}\] car $ _{x -1^{-}} {x^{4}-6x{2} + 2 } = -3 $ et \({ \lim_{x \to -1^{-}} {x^{3}-x} = 0 }\) avec $0 > x^{3} - x x ] - , -1[ $ et \[\begin{eqnarray*} { \lim_{x \to -1^{+}} f(x) }&= & { \lim_{x \to -1^{+}} { frac{x^{4} - 6x^{2} + 2}{ x^{3}-x } }}\\ & = & - \infty \end{eqnarray*}\] car \({ \lim_{x \to -1^{+}} {x^{4}-6x^{2} + 2 } = -3 }\)et \({ \lim_{x \to -1^{+}} {x^{3}-x} = 0 }\) et \(x^{3} - x > 0 \mbox{ si } x \in ] - 1 ,0[\) De même on a aussi : \[\begin{eqnarray*} { \lim_{x \to 0^{-}} f(x) }&= & { \lim_{x \to 0^{-}} { frac{x^{4} - 6x^{2} + 2}{ x^{3}-x } }}\\ & = & - \infty\end{eqnarray*}\] car \({ \lim_{x \to 0^{-}} {x^{4}-6x^{2} + 2 } = 2 }\) et \({ \lim_{x \to 0^{-}} {x^{3}-x} = 0 }\) avec \(x^{3} - x > 0 \mbox{ si } x \in ] -1, 0[\) et \[\begin{eqnarray*} { \lim_{x \to 0^{+}} f(x) }&= & { \lim_{x \to 0^{+}} { frac{x^{4} - 6x^{2} + 2}{ x^{3}-x } }}\\ & = & + \infty\end{eqnarray*}\] car \({ \lim_{x \to 0^{+}} {x^{4}-6x^{2} + 2 } = 2 }\) et \({ \lim_{x \to 0^{+}} {x^{3}-x} = 0 }\) avec \(0 > x^{3} - x \mbox{ si } x \in ] 0 ,1[\) Et pour finir on a : \[\begin{eqnarray*} { \lim_{x \to 1^{-}} f(x) }&= & { \lim_{x \to 1^{-}} { frac{x^{4} - 6x^{2} + 2}{ x^{3}-x } }}\\ & = & + \infty \end{eqnarray*}\] car \({ \lim_{x \to 1^{-}} {x^{4}-6x^{2} + 2 } = -3 }\) et \({ \lim_{x \to 1^{-}} {x^{3}-x} = 0 }\) avec \(0 > x^{3} - x \mbox{ si } x \in ] 0 , 1[\) et \[\begin{eqnarray*} { \lim_{x \to 1^{+}} f(x) }&= & { \lim_{x \to 1^{+}} { frac{x^{4} - 6x^{2} + 2}{ x^{3}-x } }}\\ & = & - \infty\end{eqnarray*}\] car \({ \lim_{x \to 1^{+}} {x^{4}-6x^{2} + 2 } = -3 }\) et \({ \lim_{x \to 1^{+}} {x^{3}-x} = 0 }\) avec \(x^{3} - x > 0 \mbox{ si } x \in ] 1 , +\infty [\) La fonction \(f\) est dérivable sur \(D_{f}\) comme fonction fraction rationnelle et on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in D_{f} \quad f'(x) &= &frac{ \left( 4x^{3}-12x \right).\left ( x^ {3} -x \right) - \left ( x^ {4} - 6x^{2} +2 \right) . \left(3x^{2} -1 \right)} {\left ( x^{3} -x \right)^{2}}\\ & = & frac{ 4x^{6} -4x^{4} -12x^{4} + 12x^{2} -3x^{6} + x^{4} +18x^{4} - 6x^{2} -6x^{2} + 2 } {\left ( x^{3} -x \right)^{2}}\\ & = & frac{ x^{6} + 3 x^{4} +2 } {\left ( x^{3} -x \right)^{2}} \end{eqnarray*}\] On obtient enfin : \(\forall x \in D_{f}, \quad 0 < f'(x)\), on en déduit le tableau de variations suivant : \[ \begin{array}{|c| c r r||l l r || l c r || l cc|} \hline x & - \infty & & - 1 & - 1 & &0 & 0 & &1 & 1 & & + \infty \\ \hline f^{\prime }\left( x\right) & &+ & & & + & & & + & & & + & \\ \hline & & &+ \infty & & &+ \infty & & & + \infty & & & + \infty \\ f & & \nearrow & & & \nearrow & & & \nearrow & & &\nearrow & \\ & -\infty & & & - \infty & & & - \infty & & &- \infty & & \\ \hline \end{array}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par \(x\mapsto \left ( x^{2} - 1 \right) e^{-\frac{4}{3} x}\)

1. On note \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), entrer la lettre qui correspond à la bonne réponse : [...]

1. \(D_{f}= \mathbb{R}\)
2. \(D_{f}= \mathbb{R}^{*}\)
3. \(D_{f}= \mathbb{R}_{+}^{*}\)
4. \(D_{f}= \mathbb{R} \setminus \{ -1 , 1 \}\)

1. On a ; \(\D { \lim_{x \to -\infty} f(x) = a}\) et \(\D { \lim_{x \to +\infty} f(x) = b}\) où \(a\) er \(b\) sont soit des entiers relatifs soit égaux à \(-\infty\) ou à \(+\infty\).

Entrer la valeur de l’entier relatif \[a\] ou “-inf” si \(a = - \infty\) ou “+inf” si \(a = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[b\] ou “-inf” si \(b = - \infty\) ou “+inf” si \(b = + \infty\) dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(f\) est dérivable sur \(D_{f}\) et on a le tableau de variations suivant :

\[ \begin{array}{|c| ccc r rl l cc|} \hline x &a & &frac{1}{b} & & & c & & & d \\ \hline f & & sv(1) & & sv(2) & & & & sv(3) & \\ \hline \end{array}\]

où \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) sont soit des entiers relatifs soit égaux à \(-\infty\) ou à \(+\infty\). et \(sv()\) désigne le sens de variation sur l’ensemble considéré.

Si la fonction \(f\) est strictement croissante sur l’ensemble considéré on entrera la lettre “c” et si elle est strictement décroissante on entrera la lettre “d”.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[a\] ou “-inf” si \(a = - \infty\) ou “+inf” si \(a = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[b\] ou “-inf” si \(b = - \infty\) ou “+inf” si \(b = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[c\] ou “-inf” si \(c = - \infty\) ou “+inf” si \(c = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[d\] ou “-inf” si \(d = - \infty\) ou “+inf” si \(d = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(1)\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(2)\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(3)\] dans la case suivante : [...]
A: a / a; +inf / +inf; 0; -inf / -inf; -2; 2; +inf / +inf; d / d; c / c; d / d
Feedback: La fonction \(f\) est définie pour tout réel d’où : \(D_{f}= \mathbb{R}\). On a aussi : \[\begin{eqnarray*} { \lim_{x \to - \infty} f(x) }&= & { \lim_{x \to - \infty} { \left ( x^{2} - 1 \right) e^{-\frac{4}{3} x} } }\\ & = & + \infty \end{eqnarray*}\] car \({ \lim_{x \to - \infty} {x^{2} -1 } = +\infty }\) et \({ \lim_{x \to - \infty} {e^{- \frac{4}{3}x }} = + \infty }\) et \[\begin{eqnarray*} { \lim_{x \to + \infty} f(x) }&= & { \lim_{x \to + \infty} { \left ( x^{2} - 1 \right) e^{-\frac{4}{3} x} } }\\ & = & { \lim_{x \to + \infty} { \left ( x^{2} e^{-\frac{4}{3} x} - e^{-\frac{4}{3} x} \right ) } }\\ & = & 0 \end{eqnarray*}\] car \({ \lim_{x \to + \infty} x^{2}{e^{- \frac{4}{3}x }} = 0 }\) et \({ \lim_{x \to + \infty} {e^{- \frac{4}{3}x }} = 0 }\) La fonction \(f\) est dérivable sur \(D_{f}\) comme produit de fonctions dérivables et on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in D_{f} \quad f'(x) &= & 2x .e^{-\frac{4}{3} x} + \left ( x^{2} -1 \right )\left ( - \frac{4}{3} .e^{-\frac{4}{3} x} \right ) \\ & = & \left ( 2x -frac{4}{3} \left ( x^{2} -1 \right ) \right ) .e^{-\frac{4}{3} x} \\ & = & frac{2}{3} \left ( -2x^{2} +3x +2 \right ) .e^{-\frac{4}{3} x} \end{eqnarray*}\] Le signe de \(f'(x)\) étant déterminé par celui du trinôme \(-2x^{2} +3x +2\) dont le discriminant est égal à \(25\) et qui admet \(2\) et \(-\dfrac{1}{2}\) comme racines ; on en déduit le tableau de variations suivant : \[\begin{array}{|c| ccccc cc cc|} \hline x &- \infty & & & -\dfrac{1}{2} & & & 2 & & + \infty \\ \hline f^{\prime }\left( x\right) & & &- & 0 & &+ & 0 &- & \\ \hline & + \infty & & & & & & 3e^{-\frac{8}{3}} & & \\ f & & &\searrow & & & \nearrow & &\searrow & \\ & & & & -\dfrac{1}{4} e^{\frac{2}{3}} & & & & & 0 \\ \hline \end{array}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par \[x\mapsto frac{e^{x} + e^{-x} }{ e^{x} - e^{-x}}\]

1. On note \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), entrer la lettre qui correspond à la bonne réponse : [...]

1. \(D_{f}= \mathbb{R}\)
2. \(D_{f}= \mathbb{R}^{*} \setminus \{-1 , 1 \}\)
3. \(D_{f}= \mathbb{R}^{*}\)
4. \(D_{f}= \mathbb{R}^{*} \setminus \{ 1 \}\)
5. \(D_{f}= \mathbb{R} \setminus \{-1 , 1 \}\)

1. On a : \(\D { \lim_{x \to -\infty} f(x) = a}\) et \(\D { \lim_{x \to +\infty} f(x) = b}\) où \(a\) er \(b\) sont soit des entiers relatifs soit égaux à \(-\infty\) ou à \(+\infty\).

Entrer la valeur de l’entier relatif \[a\] ou “-inf” si \(a = - \infty\) ou “+inf” si \(a = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[b\] ou “-inf” si \(b = - \infty\) ou “+inf” si \(b = + \infty\) dans la case suivante : [...]

1. Soit \(a\), \(b\) et \(c\) les trois bornes finies de l’ensemble de définition de \(f\) avec \(c > b > a\).

On a ; \(\D { \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = L}\) et \(\D { \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = l}\) où \(L\) er \(l\) sont soit des entiers relatifs soit égaux à \(-\infty\) ou à \(+\infty\).

Entrer la valeur de l’entier relatif \[L\] ou “-inf” si \(L = - \infty\) ou “+inf” si \(L = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[l\] ou “-inf” si \(l = - \infty\) ou “+inf” si \(l = + \infty\) dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(f\) est dérivable sur \(D_{f}\) et on a le tableau de variations suivant :

\[ \begin{array}{|c| c cc r || l ccc| } \hline \quad x& -\infty & && a &a & & & +\infty \\ \hline f& & sv(1)&&b&c&& sv(2) & \\ \hline \end{array}\]

où \(a\), \(b\) et \(c\) sont soit des entiers relatifs soit égaux à \(-\infty\) ou à \(+\infty\) et sv() désigne le sens de variation sur l’ensemble considéré.

Si la fonction \(f\) est strictement croissante sur l’ensemble considéré on entrera la lettre “c” et si elle est strictement décroissante on entrera la lettre “d”.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[a\] ou “-inf” si \(a = - \infty\) ou “+inf” si \(a = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[b\] ou “-inf” si \(b = - \infty\) ou “+inf” si \(b = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[c\] ou “-inf” si \(c = - \infty\) ou “+inf” si \(c = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(1)\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(2)\] dans la case suivante : [...]
A: c / c; -1; 1; -inf / -inf; +inf / +inf; 0; -inf / -inf; +inf / +inf; d / d; d / d
Feedback: Soit \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\), on a : \[\begin{eqnarray*} D_{f} &= & \left \{ x \in \mathbb{R} \; / \quad e^{x}- e^{-x} \neq 0 \right \} \\ \end{eqnarray*}\] Or : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}, \quad e^{x} -e^{-x} =0 &\Longleftrightarrow& e^{x} = e^{-x} \\ &\Longleftrightarrow& x = -x \\ &\Longleftrightarrow& 2x =0 \\ &\Longleftrightarrow& x = 0 \end{eqnarray*}\]$$ d’où \(D_{f} = \mathbb{R}^{*}\). Par ailleurs on a aussi : \[\begin{eqnarray*} { \lim_{ {x \to - \infty} } f(x) }&= & { \lim_{x \to -\infty} frac{e^{x} + e^{-x} }{ e^{x} - e^{-x} } } \\ } & = & { \lim_{x \to -\infty} frac{e^{-x}(e^{2x} +1) }{ e^{-x} (e^{2x} -1 ) } } \\ & = & { \lim_{x \to -\infty} frac{e^{2x} + 1 }{ e^{2x} - 1} } \\ & = & - 1 \qquad \left ( \mbox{car } { \lim_{x \to -\infty } {e^{2x} }= 0 } \right ) \end{eqnarray*}\]$$ et de même \[\begin{eqnarray*} { \lim_{ {x \to + \infty} } f(x) }&= & { \lim_{x \to +\infty} frac{e^{x} + e^{-x} }{ e^{x} - e^{-x} } } \\ } & = & { \lim_{x \to +\infty} frac{e^{x}( 1 + e^{-2x} ) }{ e^{x} ( 1 - e^{ -2x} ) } } \\ & = & { \lim_{x \to +\infty} frac{ 1 + e^{-2x} }{ 1 - e^{-2x} } } \\ & = & 1 \qquad \left ( \mbox{car } { \lim_{x \to +\infty } {e^ {- 2x} }= 0 } \right ) \end{eqnarray*}\] Enfin on a : \[\begin{eqnarray*} { \lim_{x \to 0^{-}} f(x) }&= & { \lim_{x \to 0^{-}} { frac{e^{x} + e^{-x} }{ e^{x} - e^{-x} } }} \\ & = & - \infty \end{eqnarray*}\] car\({ \lim_{x \to 0^{-}} { e^{x} + e^{-x} } = 2 }\) et \({ \lim_{x \to 0^{-}} { e^{x} - e^{-x} } = 0 }\) avec \(0 > e^{x} - e^{-x} \mbox{ si } x \in ] - \infty, 0[\) et \[\begin{eqnarray*} { \lim_{x \to 0^{+}} f(x) }&= & { \lim_{x \to 0^{+} } { frac{e^{x} + e^{-x} }{ e^{x} - e^{-x} } }} \\ & = & + \infty\end{eqnarray*}\] car \({ \lim_{x \to 0^{+}} { e^{x} + e^{-x} } = 2 }\) et \({ \lim_{x \to 0^{+}} { e^{x} - e^{-x} } = 0 }\) avec \(e^{x} - e^{-x} >0 \mbox{ si } x \in ]0 , +\infty[\). La fonction \(f\) est dérivable sur \(D_{f}\) comme quotient de fonctions dérivables et on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in D_{f} \quad f'(x) &= &frac{ \left( e^{x} - e^{-x} \right).\left ( e^ {x} -e^{-x} \right) - \left ( e^{x} + e^{-x} \right) . \left(e^{x} -(-e^{-x} ) \right)} {\left ( e^{x} -e^{-x} \right)^{2}}\\ & = & frac{ \left( e^{x} - e^{-x} \right)^{2} - \left ( e^{x} + e^{-x} \right)^{2} } {\left ( e^{x} -e^{-x} \right)^{2}}\\ & = & frac {-4 } {\left ( e^{x} -e^{-x} \right)^{2}}\\ \end{eqnarray*}\] On obtient enfin : \(\forall x \in D_{f}, \quad 0 < f'(x)\), on en déduit le tableau de variations suivant : \[ \begin{array}{|c| c c r || l cc| } \hline x& -\infty & & 0 &0 & & +\infty \\ \hline f'(x)& & -&&&- & \\ \hline &-1 & &&+ \infty& & \\ f& & \searrow && & \searrow & \\ & & &- \infty && &1 \\ \hline \end{array}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb {R}\] par \[x\mapsto (x - 2)\sqrt{-x^{2} - x +6}\]

1. On note \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), entrer la lettre qui correspond à la bonne réponse : [...]

1. \(D_{f}= \mathbb{R}\)
2. \(D_{f}= [-3,2]\)
3. \(D_{f}= \mathbb{R} \setminus \{-3,2 \}\)
4. \(D_{f}= ]-3,2[\)
5. \(D_{f}= [0,2]\)

1. On note \(a\) et \(b\) les bornes de l’ensemble de définition \(D_{f}\) de la fonction \(f\), avec \(b > a\) et où \(a\) er \(b\) sont soit des entiers relatifs soit égaux à \(-\infty\) ou à \(+\infty\).

Entrer la valeur de l’entier relatif \[a\] ou “-inf” si \(a = - \infty\) ou “+inf” si \(a = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[b\] ou “-inf” si \(b = - \infty\) ou “+inf” si \(b = + \infty\) dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(f\) est dérivable en \(a\).

Si la propriété précédente est vraie entrer la lettre “v” sinon entrer la lettre “f” : [...]

1. La fonction \(f\) est dérivable en \(b\).

Si la propriété précédente est vraie entrer la lettre “v” sinon entrer la lettre “f” : [...]

1. La fonction \(f\) est dérivable sur ]a,b] et on a le tableau de variations suivant :

\[ \begin{array}{ | c| c l l l l | } \hline x& A & &frac{n}{p} & \qquad \qquad \qquad & B \\ \hline f & C &sv(1) \quad &D & \qquad sv(2) & E \\ \hline \end{array}\]

où \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) et \(E\) sont soit des entiers relatifs soit égaux à \(-\infty\) ou à \(+\infty\) et \(n\) et \(p\) sont des entiers relatifs tels que la fraction \(\dfrac{n}{p}\) soit irréductible et où sv() désigne le sens de variation sur l’ensemble considéré.

Si la fonction \(f\) est strictement croissante sur l’ensemble considéré on entrera la lettre “c” et si elle est strictement décroissante on entrera la lettre “d”.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[A\] ou “-inf” si \(A = - \infty\) ou “+inf” si \(A = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[B\] ou “-inf” si \(B = - \infty\) ou “+inf” si \(B = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[C\] ou “-inf” si \(C = - \infty\) ou “+inf” si \(C = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[D\] ou “-inf” si \(D = - \infty\) ou “+inf” si \(D = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[E\] ou “-inf” si \(E = - \infty\) ou “+inf” si \(E = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[n\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[p\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(1)\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(2)\] dans la case suivante : [...]
A: b / b; -3; 2; f / f; v / v; -3; 2; 0; -8; 0; -7; 4; d / d; c / c
Feedback: Soit \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\), on a : \[\begin{eqnarray*} D_{f} &= & \left \{ x \in \mathbb{R} \; / \quad -x^{2} -x + 6 \geq 0 \right \} \\ \end{eqnarray*}\] Le trinôme \(-x^{2} - x + 6\), dont le discriminant est égal à \(25\), admet \(-3\) et \(2\) comme racines ; on en déduit que : \[D_{f} = [-3,2]\] On a : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -3} {\dfrac{f(x)-f(-3)}{x- (-3)} } &= &{ \lim_{x \to -1} {\dfrac{(x-2) \sqrt{-x^{2} -x + 6}-0}{x+ 3}} } \\ &= & { \lim_{x \to -3} {\dfrac{(x-2) \left (\sqrt{-x^{2} -x + 6 } \right )^{2}}{(x+ 3) \sqrt{- x^{2} - x +6 } }} }\\ &= & { \lim_{x \to -3} {\dfrac{(x-2) \left (-x^{2} -x + 6 \right )}{(x+ 3) \sqrt{- x^{2} - x +6 } }} }\\ &= & { \lim_{x \to -3} {\dfrac{(x-2)(-(x+3)(x-2) }{(x+ 3) \sqrt{- x^{2} - x +6 } }} }\\ &= & { \lim_{x \to -3} {\dfrac{ -(x-2)^{2} }{\sqrt{- x^{2} - x +6 } }} }\\ & = & - \infty. \end{eqnarray*}\] Donc \(f\) n’est pas dérivable en \(-3\). Par ailleurs on a : \[\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} {\dfrac{f(x)-f(2)}{x- 2} } &= &{ \lim_{x \to 2} {frac { (x-2) \sqrt {-x^{2} -x + 6 } }{x-2}} } \\ &= &{ \lim_{x \to 2} {\sqrt { -x^{2} -x +6 }} }\\ & = & 0 \end{eqnarray*}\] Donc \(f\) est dérivable en \(2\) et \(f'(2) = 0\). La fonction \(f\) est dérivable sur \(]-3,2[\) comme composées et produit de fonctions dérivables et on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in ]-3,2[ \quad f'(x) &= & 1 . \sqrt{ -x^{2} -x + 6 } + (x-2) .\dfrac{ -2x -1} { 2 \sqrt{ -x^{2} - x + 6 } } \\ & = & frac { 2. \left ( \sqrt { -x^{2} -x + 6 } \right ) ^{2} + (x-2) ( -2x -1 )} { 2 .\sqrt{ -x^{2} - x + 6 } } \\ & = & frac { 2. \left ( { -x^{2} -x + 6 } \right ) - 2x^{2} - x + 4x + 2 } { 2 .\sqrt{ -x^{2} - x + 6 } } \\ & = & frac { -4 x^{2} + x +14} { 2 .\sqrt{ -x^{2} - x + 6 } } \\ \end{eqnarray*}\] Le signe de \(f'(x)\) étant déterminé par celui du trinôme \(-4x^{2} + x + 14\) dont le discriminant est égal à \(225\) et qui admet \(2\) et \(\dfrac{-7}{4}\) comme racines ; on en déduit le tableau de variations suivant : \[\begin{array}{|l| l l l l l|} \hline \quad x& -3 & &frac{-7}{4} & \qquad \qquad \qquad & 2 \\ \hline f^{\prime }\left( x\right) & &- \quad &0 & \qquad + & 0 \\ \hline &0 & & & & 0\\ \quad f & &\searrow & & \qquad \; \nearrow & \\ & \quad & & -8 & & \\ \hline \end{array}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par \[x\mapsto \mbox{Arcsin} \,x - x\]

1. On note \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), entrer la lettre qui correspond à la bonne réponse : [...]

1. \(D_{f}= \mathbb{R}\)
2. \(D_{f}= [-1,1]\)
3. \(D_{f}= \mathbb{R} \setminus \{-1,1 \}\)
4. \(D_{f}= ]-1,1[\)
5. \(D_{f} = \left [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right ]\)

1. On note \(a\) et \(b\) les bornes de l’ensemble de définition \(D_{f}\) de la fonction \(f\), avec \(b > a\) et où \(a\) er \(b\) sont soit des entiers relatifs soit égaux à \(-\infty\) ou à \(+\infty\).

Entrer la valeur de l’entier relatif \[a\] ou “-inf” si \(a = - \infty\) ou “+inf” si \(a = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[b\] ou “-inf” si \(b = - \infty\) ou “+inf” si \(b = + \infty\) dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(f\) est dérivable en \(a\).

Si la propriété précédente est vraie entrer la lettre “v” sinon entrer la lettre “f” : [...]

1. La fonction \(f\) est dérivable en \(b\).

Si la propriété précédente est vraie entrer la lettre “v” sinon entrer la lettre “f” : [...]

1. La fonction \(f\) est dérivable sur ]a,b] et on a le tableau de variations suivant :

\[ \begin{array}{ | c| c l l l l | } \hline x&a & \qquad \qquad \qquad & 0 & \qquad \qquad \qquad &\quad b \\ \hline f &frac{c - \pi}{d} &\qquad sv(1) \quad &e & \qquad sv(2) &frac{f + \pi}{g}\\ \hline \end{array}\]

où \(c\), \(d\), \(e\), \(f\) et \(g\) sont des entiers relatifs et où sv() désigne le sens de variation sur l’ensemble considéré.

Si la fonction \(f\) est strictement croissante sur l’ensemble considéré on entrera la lettre “c” et si elle est strictement

décroissante on entrera la lettre “d”.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[c\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[d\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[e\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[f\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[g\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(1)\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(2)\] dans la case suivante : [...]
A: b / b; -1; 1; f / f; f / f; 2; 2; 0; -2; 2; c / c; c / c
Feedback: L’ ensemble de définition de la fonction \(f\) est identique à celui de la fonction Arcsin, donc on a : \[\begin{eqnarray*} D_{f} &= & [-1,1] \\ \end{eqnarray*}\] On a : \(\forall x \in [-1,1], \qquad \mbox{Arcsin} \,x = f(x) + x\). Donc si la fonction \(f\) était dérivable en \(-1\) on en déduirait que la fonction Arcsin serait dérivable en \(-1\) comme somme de deux fonctions dérivables en \(-1\), ce qui est absurde. Donc la fonction f n’est pas dérivable en \(-1\). De même la fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(1\). La fonction \(f\) est dérivable sur \(]-1,1[\) comme somme de fonctions dérivables et on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in ]-1,1[ \quad f'(x) &= & frac{ 1} { \sqrt{ 1 -x^{2} } } - 1\\ & = & frac{ 1 - \sqrt{1 - x^{2}} } { \sqrt{ 1 -x^{2} } }\\ \end{eqnarray*}\] On a par ailleurs : \(\forall x \in ]-1,1[ \qquad 1 & \geq & 1 - x^{2} \quad \geq \quad 0\) d’où \(\sqrt{1} \geq \sqrt{1 - x^{2}}\) et enfin \(1 - \sqrt{1 - x^{2}} \geq 0\). On a de plus : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in ]-1,1[ \qquad f'(x) & = & 0 \\ \Longleftrightarrow \; \qquad 1- \sqrt{1 - x^{2}} & =& 0\\ \Longleftrightarrow \qquad \qquad \sqrt{1 - x^{2}} & = & 1 \\ \Longleftrightarrow \; \qquad \left ( \sqrt{1 - x^{2}} \right )^{2} & = & 1^{2} \\ \Longleftrightarrow \; \; \; \qquad \qquad 1 - x^{2} & = & 1 \\ \Longleftrightarrow \; \; \qquad \qquad \qquad x^{2} & = & 0 \\ \Longleftrightarrow \; \qquad \quad \qquad \qquad x& = & 0 \\ \end{eqnarray*}\]$$ On en déduit le tableau de variations suivant : \[ \begin{array} {|c |cccc c|} \hline x& -1& & 0 & & 1 \\ \hline f^{\prime }\left( x\right) & & + \quad &0 &\quad + & \\ \hline & & & & & \frac{\pi}{2} -1 \\ \ & &\ & & \; \nearrow & \\ \quad f& \quad & &0 & & \\ \quad & &\nearrow & & & \\ & \quad -\frac{\pi}{2} + 1 & & & & \\ \hline \end{array} \]

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par \[x\mapsto \sin x + \sin ^{2} x\]

1. Déterminer un entier naturel \(n\) tel que \(n\pi\) soit la période de la fonction \(f\) : [...]
2. La fonction \(f\) est dérivable sur \([0, 2\pi ]\) et on a le tableau de variations suivant :

\[ \begin{array}{|c| cc ccccc cc cc cc|} \hline x & 0 & &frac{\pi}{2} & && & frac{a\pi}{b} & & frac{c\pi}{d} & &frac{e\pi}{f} &&2\pi \\ \hline f & & sv(1) & & &sv(2) & & & sv(3) & &sv(4) & & sv(5)& \\ \hline \end{array}\]

où \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) et \(f\) sont entiers relatifs et \(sv()\) désigne le sens de variation sur l’ensemble considéré.

Si la fonction \(f\) est strictement croissante sur l’ensemble considéré on entrera la lettre “c” et si elle est strictement décroissante on entrera la lettre “d”.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[a\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[b\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[c\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[d\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[e\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[f\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(1)\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(2)\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(3)\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(4)\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(5)\] dans la case suivante : [...]
A: 2; 7; 6; 3; 2; 11; 6; c / c; d / d; c / c; d / d; c / c
Feedback: La fonction \(f\) est définie pour tout réel d’où : \(D_{f}= \mathbb{R}\). On a : \[\forall x \in \mathbb{R}, \quad \mbox{ si } \quad x \in \mathbb{R} \quad \mbox{ alors } \quad x + \pi \in \mathbb{R} \quad \mbox{ et } \quad x- \pi \in \mathbb{R}.\] De plus : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x + 2 \pi) &= & \sin (x + 2 \pi) + \sin ^{2} (x + 2 \pi) \\ & = & \sin x + \sin ^{2} x \\ & = & f(x) \end{eqnarray*}\] On en déduit donc que la fonction \(f\) est périodique de période \(2\pi\). La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) donc sur \([0,2\pi]\) comme somme et produit de fonctions dérivables et on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in [0,2\pi ] \quad f'(x) &= & \cos x + 2 \cos x \sin x \\ & = & \cos x (1 +2 \sin x) \end{eqnarray*}\] Par ailleurs on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in [0,2\pi ] \quad f'(x) =0 & \Longleftrightarrow & \cos x = 0 \quad \mbox{ ou } \quad 1+2 \sin x =0 \\ & \Longleftrightarrow & x \in \left \{frac {\pi}{2},frac{\pi}{2} \right \} \quad \mbox{ ou } \quad x \in \left \{frac {7\pi}{6},frac{11\pi}{6} \right \} \end{eqnarray*}\] On obtient le tableau de signe suivant : \[ \begin{array}{|c| cc ccccc cc cc cc|} \hline x & 0 & &frac{\pi}{2} & && & frac{7\pi}{6} & & frac{3\pi}{2} & &frac{11pi}{6} &&2\pi \\ \hline \cos x & &+ & 0 & &- & & &- & 0 & +& & +& \\ \hline 1 + 2 \sin x & & + & & & + & & 0 & - & & - & 0& +& \\ \hline f'(x) & & + & 0 & & - & & 0 & + & 0& - & 0& +& \\ \hline \end{array}\] Enfin on en déduit le tableau de variation : \[ \begin{array}{|c| cc ccccc cc cc cc|} \hline x & 0 & &\frac{\pi}{2} & && & \frac{7\pi}{6} & & \frac{3\pi}{2} & &\frac{11pi}{6} &&2\pi \\ \hline f'(x) & & + & 0 & & & & 0 & + & 0& - & 0& +& \\ \hline & & & 2 & & & & & & 0 & & & &0 \\ f & &\nearrow & & & \searrow & & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ &0 & & & & & & -\dfrac{1}{4} & & & & -\dfrac{1}{4}& & \\ \hline \end{array}\]

Q: On considère la fonction \[f\] définie sur \[\mathbb R\] par \[x\mapsto x^{4} -14x^{2} + 24x + 1\].

1. On a ; \(\D { \lim_{x \to -\infty} f(x) = a}\) et \(\D { \lim_{x \to +\infty} f(x) = b}\) où \(a\) er \(b\) sont soit des entiers relatifs soit égaux à \(-\infty\) ou à \(+\infty\).

Entrer la valeur de l’entier relatif \[a\] ou “-inf” si \(a = - \infty\) ou “+inf” si \(a = + \infty\) dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[b\] ou “-inf” si \(b = - \infty\) ou “+inf” si \(b = + \infty\) dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on a le tableau de variations suivant :

\[ \begin{array}{|c| cc ccccc cc|} \hline x & -\infty & \qquad &a & \qquad &1 & \qquad & b & \qquad & + \infty \\ \hline f'(x) & & sv(1) & c & sv(2) &d & sv(3) & e & sv(4) & \\ \hline \end{array}\]

où \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), et \(e\) sont entiers relatifs et \(sv()\) désigne le sens de variation sur l’ensemble considéré.

Si la fonction \(f\) est strictement croissante sur l’ensemble considéré on entrera la lettre “c” et si elle est strictement décroissante on entrera la lettre “d”.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[a\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[b\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[c\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[d\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[e\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(1)\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(2)\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(3)\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de \[sv(4)\] dans la case suivante : [...]
A: +inf / +inf; +inf / +inf; -3; 2; -116; 12; 9; d / d; c / c; d / d; c / c
Feedback: La fonction \(f\) est définie pour tout réel d’où : \(D_{f}= \mathbb{R}\). On a : \[\begin{eqnarray*} { \lim_{ {x \to - \infty} } f(x) }&= & { \lim_{x \to -\infty} {x^{4} - 14x^{2} + 24x +1} }\\ & = & { \lim_{x \to -\infty} { x^{4} } } \\ & = & +\infty \end{eqnarray*}\] et de même \[\begin{eqnarray*} { \lim_{ {x \to + \infty} } f(x) }&= & { \lim_{x \to +\infty} {x^{4} - 14x^{2} + 24x +1} }\\ & = & { \lim_{x \to +\infty} { x^{4} } } \\ & = & +\infty \end{eqnarray*}\] La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme polynôme et on a : \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R} \quad f'(x) &= & 4x^{3} -28x +24 \\ & = & 4 \left ( x^{3} - 7x + 6 \right ) \\ \end{eqnarray*}\] Par ailleurs on a : \(f '(1) = 0\) c’est à dire que \(1\) est racine du polynôme \(x^{3} - 7x + 6\). On en déduit à l’aide d’une division euclidienne ou avec la méthode des coefficients indéterminés que : \[\forall x \in \mathbb{R}, \quad f'(x) = 4 (x-1) \left ( x^{2}+ x - 6 \right ).\] Le trinôme \(x^{2} + x - 6\) a pour discriminant \(25\), il admet donc deux racines \(-3\) et \(2\). On obtient le tableau de signe suivant : \[ \begin{array}{|c| cc ccccc cc|} \hline x & - \infty & \qquad & -3 & \qquad &1& \qquad & 2 & \qquad & + \infty \\ \hline x - 1 & &- & & - & 0 & + & & + & \\ \hline x^{2} + x -6 & & + & 0 & - & & - & 0 & + & \\ \hline f'(x) & & - &0 & + &0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{array}\] Enfin on en déduit le tableau de variation : \[ \begin{array}{|c| cc ccccc cc|} \hline x & -\infty & \qquad &-3 & \qquad &1 & \qquad & 2 & \qquad & + \infty \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline & +\infty & & & & 12 & & & & +\infty \\ f & &\searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & -116 & & & & 9 & & \\ \hline \end{array}\]

Q: Montrer qu’il existe deux entiers relatifs \(a\) et \(b\), que l’on déterminera, tels que : \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*} , \quad \mbox{Arctan}\, x + \mbox{Arctan}\left (frac{1}{x} \right ) =frac{\pi}{a}\]

et

\[\forall x \in \mathbb{R}_{-}^{*} , \quad \mbox{Arctan}\, x + \mbox{Arctan}\left (frac{1}{x} \right ) =frac{\pi}{b}\]

1. Entrer la valeur de l’entier relatif \[a\] dans la case suivante : Entrer la valeur de l’entier relatif \[b\] dans la case suivante : [...]
2. [...]
A: 2; -2
Feedback: On considère la fonction \[\varphi\] définie sur \[\mathbb{R}\] par \[x \mapsto \mbox{Arctan}\, x + \mbox{Arctan}\left (frac{1}{x} \right )\] La fonction \(\varphi\) est définie sur \(\mathbb{R}^{*}\). La fonction \(\varphi\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^{*}\). comme somme et composée de fonctions dérivables et on a ; \[\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}^{*} \quad \varphi '(x) &= & \mbox{Arctan}'\, x + \left (frac{1}{x} \right ) '. \mbox{Arctan}'\left (frac{1}{x} \right )\\ & = & frac{1}{1 + x^{2}} -\dfrac{1}{x^{2}} .frac{1}{1 + \left (frac{1}{x} \right )^{2}} \\ & = & frac{1}{1 + x^{2}} -\dfrac{1}{x^{2}} .frac{1}{frac{1 + x^{2} }{x^{2}} }\\ & = & 0 \end{eqnarray*}\] On en déduit que la fonction \(\varphi\) est constante sur tout intervalle contenu dans \(\mathbb{R}^{*}\) en particulier sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) et \(\mathbb{R}_{-}^{*}\). Il existe donc deux réels \(c_{1}\) et \(c_{2}\) tels que : \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*} , \quad \mbox{Arctan}\, x + \mbox{Arctan}\left (frac{1}{x} \right ) = c_{1} \qquad \qquad (1) \] et \[\forall x \in \mathbb{R}_{-}^{*} , \quad \mbox{Arctan}\, x + \mbox{Arctan} \left (frac{1}{x} \right ) = c_{2} \qquad \qquad (2) \] En particulier en prenant \(x = 1\) dans la relation \((1)\) on obtient : \(\mbox{Arctan}\, 1 + \mbox{Arctan}\left (frac{1}{1} \right ) = c_{1}\) D’où il vient : \(c_{1} =frac{\pi}{2}\) car $ (1) =frac{}{4}$ De même en prenant \(x = -1\) dans la relation \((2)\) on obtient : : \(c_{2} = -frac{\pi}{2}\)