Title: Extremums de fonctions a plusieurs variables
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: On considère la fonction \(f\) de \(\mathbb{ R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par \[(x,y) \mapsto x^{3} -3x \left ( 1 + y^{2} \right) \]

1. La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) et admet exactement deux points critiques sur \(\mathbb{R}^{2}\) à savoir \(A = (\alpha, \beta )\) et \(A' = (\alpha', \beta' )\)

où \(\alpha\), \(\beta\), \(\alpha'\) et \(\beta'\) sont des entiers relatifs tels que \(\alpha' >\alpha\).

Entrer la valeur de l’entier relatif \[\alpha\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[\beta\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[\alpha'\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[\beta'\] dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(f\) admet un extremum local sur \(\mathbb{R}^{2}\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: -1; 0; 1; 0; F / f
Feedback: La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) comme fonction polynomiale et on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y) & = & 3 \left ( x^{2} - y^{2} -1 \right ) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) & = & -6xy \\ \end{eqnarray*}\] Le point \(C = (a,b)\) est un point critique de \(f\) si et seulement si \(\nabla f _{C} = 0\). Or on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \nabla f _{C} = 0 & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} \dfrac{\partial f}{\partial x} (a,b) & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial x} (a,b) & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \rule[-4 pt]{0pt}{50pt} & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-10 pt]{0pt}{15pt} 3 \left ( a^{2} - b^{2} -1 \right ) & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{15pt} -6ab & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \rule[-4 pt]{0pt}{50pt} & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrrrrrrr} \rule[-10pt]{0pt}{20pt} 3 \left ( - b^{2} -1 \right ) & = & 0 & \qquad \mbox{ et } \qquad &a& =&0& \qquad \mbox{ (cas impossible)} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} \mbox{ou} \qquad \quad \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} 3 \left ( a^{2} -1 \right ) & = & 0 &\qquad \mbox{ et } \qquad& b &=& 0 \\ \end{array} \right. \\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrrrrrr} \rule[-10pt]{0pt}{20pt} a & = & -1 & \qquad \mbox{ et } \qquad &b& =&0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} \mbox{ou} & & & \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} a & = & 1 &\qquad \mbox{ et } \qquad& b &=& 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{eqnarray*}\] Bilan : La fonction \(f\) admet les points \(A = (-1,0)\) et \(A' =(1,0)\) comme seuls points critiques sur \(\mathbb{R}^{2}\). On a aussi : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (x,y) & = & 6x \\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} (x,y) & = & -6x \\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y } (x,y) & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x } (x,y) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & -6y\\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que pour le point critique \(A = (-1,0)\) il vient : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} r & = &\dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (-1,0) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & -6 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} t & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} (-1,0) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 6 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} s & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y} (-1,0) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y} (-1,0) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 0 \\ \end{eqnarray*}\] D’après ce qui précède, en utilisant les notations de Monge, on obtient : \(rt-s^{2} = -36\) Donc on est dans le cas où \(0 > rt-s^{2}\), on peut en déduire que la fonction \(f\) n’admet pas d’extremum local sur \(\mathbb{R}^{2}\) en \(A\). De même pour le point critique \(A'(1,0)\) on obtient avec des calculs analogues : \(r=6\), \(s= 0\) et \(t = -6\), donc on est aussi dans le cas où \(0 > rt-s^{2}\), donc \(f\) n’admet pas non plus d’extremum local sur \(\mathbb{R}^{2}\) en \(A'\). \ CONCLUSION : La fonction \(f\) n’admet aucun extremum local sur \(\mathbb{R}^{2}\).

Q: On considère la fonction \(f\) de \(\mathbb{ R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par \[(x,y) \mapsto x^{2} - x + 1 + \sin y \]

1. La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) et admet une infinité de points critiques sur \(\mathbb{R}^{2}\) à savoir \(A_{k} = (\alpha, \beta_{k} )\)

où \(k\) décrit \(\mathbb{Z}\) et où \(\alpha = \dfrac{n}{p}\) et \(\beta_{k} = \left ( \dfrac{n + pk}{2} \right ) \pi\) avec \(n\) et \(p\) des entiers naturels tels que la fraction \(\dfrac{n}{p}\) soit irréductible.

Entrer la valeur de l’entier naturel \[n\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier naturel \[p\] dans la case suivante : [...]

1. Il existe un unique point où la fonction \(f\) n’admet pas d’extremum local sur \(\mathbb{R}^{2}\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
2. Il existe une infinité de points où la fonction \(f\) admet un minimum global sur \(\mathbb{R}^{2}\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: 1; 2; F / f; V / v
Feedback: La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) comme produit et somme de fonctions de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\). On a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y) & = & 2x - 1 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) & = & \cos y \\ \end{eqnarray*}\] Le point \(C = (a,b)\) est un point critique de \(f\) si et seulement si \(\nabla f _{C} = 0\). Or on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \nabla f _{C} = 0 & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} \dfrac{\partial f}{\partial x} (a,b) & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial x} (a,b) & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \rule[-4 pt]{0pt}{50pt} & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-10 pt]{0pt}{15pt} 2a - 1 & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{15pt} \cos b & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \rule[-4 pt]{0pt}{50pt} & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-10 pt]{0pt}{30pt} a & = & \dfrac{1}{2} \qquad \qquad \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} b & \equiv & \dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi] \\ \end{array} \right. \\ \end{eqnarray*}\] Bilan : les points critiques de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) sont les points \(A_{k} = \left ( \dfrac{1}{2}, \dfrac{\pi}{2}+ k \pi \right )\) où \(k\) décrit \(\mathbb{Z}\). On a aussi : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (x,y) & = & 2 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} (x,y) & = & - \sin x \\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y } (x,y) & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x } (x,y) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 0 \\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que pour le point critique \(A_{k} = \left ( \dfrac{1}{2}, \dfrac{\pi}{2}+ k \pi \right )\), il vient : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} r & = &\dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (A_{k}) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 2 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} t & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} (A_{k}) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & - \sin \left ( \dfrac{\pi}{2} + k \pi \right) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & - (-1)^{k} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} s & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y} (A_{k}) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y} (A_{k}) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 0 \\ \end{eqnarray*}\] D’après ce qui précède, en utilisant les notations de Monge, on obtient : \(rt-s^{2} =2(-1)^{k+1}\) Donc si \(k\) est un entier pair on est dans le cas où \(0 > rt-s^{2}\), donc \(f\) n’admet pas d’extremum local sur \(\mathbb{R}^{2}\) en \(A_{k}\). De même si \(k\) est un entier impair on est dans le cas où \(rt-s^{2} >0\), comme de plus \(r>0\), la fonction \(f\) admet un minimum local sur \(\mathbb{}R^{2}\) en \(A_{k}\). Par ailleurs pour \(k\) impair, on a aussi : \(f(A_{k}) = \left ( \dfrac{1}{2} \right )^{2} - \dfrac{1}{2} +1 + \sin \left ( \dfrac{\pi}{2}+ k \pi \right)\) c’est à dire \(f(A_{k} ) = \dfrac{3}{4} -1\). De plus on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad f (x,y) & = & \left (x - \dfrac{1}{2} \right )^{2} - \left ( \dfrac{1}{2} \right )^{2} + 1 + \sin y \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \left (x - \dfrac{1}{2} \right )^{2} +\dfrac{3}{4} + \sin y \\ \end{eqnarray*}\] d’où puisque \(\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2}, \quad \left (x - \dfrac{1}{2} \right )^{2} +\dfrac{3}{4} \geq \dfrac{3}{4} \quad \mbox{ et } \sin y \geq -1\) on obtient enfin, pour \(k\) impair : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad f (x,y) & \geq & \dfrac{3}{4} -1 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & \geq & f(A_{k}) \\ \end{eqnarray*}\] Conclusion : Si \(k\) est un entier pair la fonction \(f\) n’admet pas d’extremum local sur \(\mathbb{R}^{2}\) en \(A_{k}\). Si $ k$ est un entier impair la fonction \(f\) admet un minimum global sur \(\mathbb{}R^{2}\) en \(A_{k}\).

Q: On considère la fonction \(f\) de \(\left ( \mathbb{R}_{+}^{*} \right )^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par \[(x,y) \mapsto x^{2} + y^{2} + \dfrac{1}{x + y } \]

1. La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(D_{f}\) et admet exactement un point critique sur \(D_{f}\) à savoir \(A = (\alpha, \beta )\).

avec \(\alpha = \dfrac{n}{p}\) et \(\beta = \dfrac{q}{r}\) où \(n\), \(p\), \(q\) et \(r\) sont des entiers naturels tels que les fractions \(\dfrac{n}{p}\) et \(\dfrac{q}{r}\) soient irréductibles.

Entrer la valeur de l’entier naturel \[n\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier naturel \[p\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier naturel \[q\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier naturel \[r\] dans la case suivante : [...]

1. Il existe un unique point où la fonction \(f\) n’admet pas d’extremum local sur \(\left ( \mathbb{R}_{+}^{*} \right )^{2}\) (V pour vrai, F pour faux) : [...].
A: 1; 2; 1; 2; F / f
Feedback: Soit \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), on constate que : \(\forall (x,y) \in \left ( \mathbb{R}_{+}^{*} \right )^{2}, \quad x + y \neq 0\). On en déduit que ; \(D_{f} = \left ( \mathbb{R}_{+}^{*} \right )^{2}\). La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(D_{f}\) comme somme et quotient de fonctions de classe \(\mathcal{C}^{2}\). On a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \left ( \mathbb{R}_{+}^{*} \right )^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y) & = & 2x - \dfrac{1}{(x + y )^{2}} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{40pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) & = & 2y - \dfrac{1}{(x + y )^{2}} \\ \end{eqnarray*}\] Le point \(C = (a,b)\) est un point critique de \(f\) si et seulement si \(\nabla f _{C} = 0\). Or on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \nabla f _{C} = 0 & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} \dfrac{\partial f}{\partial x} (a,b) & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial x} (a,b) & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \rule[-4 pt]{0pt}{50pt} & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-10 pt]{0pt}{15pt} 2a - \dfrac{1}{(a + b )^{2}} & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{15pt} 2b - \dfrac{1}{(a + b )^{2}} & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \rule[-4 pt]{0pt}{50pt} & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-10 pt]{0pt}{15pt} 2a & = & \dfrac{1}{(a + b )^{2}} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{15pt} 2b & = & \dfrac{1}{(a + b )^{2}} \\ \end{array} \right. \quad (S)\\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que si un couple \((a,b)\) de \(\left ( \mathbb{R}_{+}^{*} \right )^{2}\) vérifie les conditions du système \((S)\) précédent alors on a : \(2a = 2b\) et \(2a = \dfrac{1}{4a^{2}}\), d’où \(a^{3} = \dfrac{1}{8}\). On obtient alors : \(a = \sqrt[3] {\dfrac{1}{8}}\) c’est à dire \(a = \dfrac{1}{2}\) et donc on a aussi \(b = \dfrac{1}{2}\) Donc si le point \(C = (a,b )\) est un point critique de \(f\) sur \(D_{f}\) .alors nécessairement on a : ; $(a,b) = ( , ) $. Réciproquement on vérifie sans problème que le couple \(\left ( \dfrac{1}{2} , \dfrac{1}{2} \right )\) est solution du système \((S)\). CONCLUSION La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(D_{f}\) et admet exactement un point critique sur \(D_{f}\) à savoir \(A = \left ( \dfrac{1}{2} , \dfrac{1}{2} \right )\). Par ailleurs on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \left ( \mathbb{R}_{+}^{*} \right )^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (x,y) & = & 2 + \dfrac{2}{ (x + y )^{3}} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{50pt} \forall (x,y) \in \left ( \mathbb{R}_{+}^ {*} \right )^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} (x,y) & = & 2 + \dfrac{2}{ (x + y )^{3}} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{50pt} \forall (x,y) \in \left ( \mathbb{R}_{+}^{*} \right )^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y } (x,y) & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x } (x,y) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \dfrac{2}{ (x + y )^{3}} \\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} \left ( \dfrac{1}{2} , \dfrac{1}{2} \right ) & = & 4 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & r \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} \left ( \dfrac{1}{2} , \dfrac{1}{2} \right ) & = & 4 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & t \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y} \left ( \dfrac{1}{2} , \dfrac{1}{2} \right )& = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x} \left ( \dfrac{1}{2} , \dfrac{1}{2} \right ) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 2 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & =& s \\ \end{eqnarray*}\] D’après ce qui précède, en utilisant les notations de Monge, on obtient : \(rt-s^{2} = 12\) Donc on est dans le cas où $rt-s^{2} > 0 $, comme \(r > 0\) on peut en déduire que la fonction \(f\) admet un minimum local sur \(D_{f}\).

Q: On considère la fonction \(f\) de \(\left ( \mathbb{R}_{+}^{*} \right )^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \[(x,y) \mapsto \dfrac{ x^{2} + y^{2} }{2} + \dfrac{1}{x y } \]

1. La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(D_{f}\) et admet exactement un point critique sur \(D_{f}\) à savoir \(A = (a,b)\) avec \(a\) et \(b\) entiers naturels.

Entrer la valeur de l’entier naturel \[a\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier naturel \[b\] dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(f\) n’admet pas d’extremum local sur \(\left ( \mathbb{R}_{+}^{*} \right )^{2}\) (V pour vrai, F pour faux) : [...].
A: 1; 1; F / f
Feedback: Soit \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), on constate que : \(\forall (x,y) \in \left ( \mathbb{R}_{+}^{*} \right )^{2}, \quad x y \neq 0\). On en déduit que ; \(D_{f} = \left ( \mathbb{R}_{+}^{*} \right )^{2}\). La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(D_{f}\) comme somme et quotient de fonctions de classe \(\mathcal{C}^{2}\). On a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \left ( \mathbb{R}_{+}^{*} \right )^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y) & = & x - \dfrac{1}{yx^{2}} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{40pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) & = & y - \dfrac{1}{x y ^{2}} \\ \end{eqnarray*}\] Le point \(C = (a,b)\) est un point critique de \(f\) si et seulement si \(\nabla f _{C} = 0\). Or on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \nabla f _{C} = 0 & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} \dfrac{\partial f}{\partial x} (a,b) & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial x} (a,b) & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \rule[-4 pt]{0pt}{50pt} & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-10 pt]{0pt}{15pt} a - \dfrac{1}{ba^{2}} & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{15pt} b - \dfrac{1}{ab^{2}} & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \rule[-4 pt]{0pt}{50pt} & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-10 pt]{0pt}{15pt} \dfrac{1}{ba^{2}} & = & a \\ \rule[-4 pt]{0pt}{15pt} \dfrac{1}{ab^{2}} & = & b \\ \end{array} \right. \quad \\ \rule[-4 pt]{0pt}{50pt} & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-10 pt]{0pt}{15pt} \dfrac{1}{ba^{3}} & = & 1 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{15pt} \dfrac{1}{ab^{3}} & = & 1 \\ \end{array} \right. \quad (S)\\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que si un couple \((a,b)\) de \(\left ( \mathbb{R}_{+}^{*} \right )^{2}\) vérifie les conditions du système \((S)\) précédent alors on a : \[ \dfrac{1}{ba^{3}} = \dfrac{1}{ab^{3}} \] d’où \(ab^{3} = ba^{3}\) et comme \(a \neq 0\) et \(b \neq 0\) on en déduit alors que \(a^{2} = b^{2}\). Enfin puisque \(a > 0\) et \(b > 0\) il vient \(a = b\). \ On obtient alors : \(\dfrac{1}{a^{4}} =1\) d’où $a = $ c’est à dire \(a =1\) et donc on a aussi \(b =1\) Donc si le point \(C = (a,b )\) est un point critique de \(f\) sur \(D_{f}\) .alors nécessairement on a : ; $(a,b) = (1,1) $. Réciproquement on vérifie sans problème que le couple \((1,1)\) est solution du système \((S)\). \ CONCLUSION La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\left ( \mathbb{R}_{+}^{*} \right )^{2}\) et admet exactement un point critique sur \(\left ( \mathbb{R}_{+}^{*} \right )^{2}\) à savoir $A = (1,1) $. Par ailleurs on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \left ( \mathbb{R}_{+}^{*} \right )^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (x,y) & = & 1 + \dfrac{2}{ y x^{3}} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{50pt} \forall (x,y) \in \left ( \mathbb{R}_{+}^ {*} \right )^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} (x,y) & = & 1 + \dfrac{2}{ xy ^{3}} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{50pt} \forall (x,y) \in \left ( \mathbb{R}_{+}^{*} \right )^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y } (x,y) & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x } (x,y) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \dfrac{1}{ (x y )^{2}} \\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} \left ( \dfrac{1}{2} , \dfrac{1}{2} \right ) & = & 3 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & r \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} \left ( \dfrac{1}{2} , \dfrac{1}{2} \right ) & = & 3 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & t \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y} \left ( \dfrac{1}{2} , \dfrac{1}{2} \right )& = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x} \left ( \dfrac{1}{2} , \dfrac{1}{2} \right ) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = &1 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & =& s \\ \end{eqnarray*}\] D’après ce qui précède, en utilisant les notations de Monge, on obtient : \(rt-s^{2} = 8\). Donc on est dans le cas où \(rt-s^{2} > 0\), comme \(r > 0\) on peut en déduire que la fonction \(f\) admet un minimum local sur \(\left (\mathbb{R}_{+}^{*} \right )^{2}\).

Q: On considère la fonction \(\varphi\) de \(\mathbb{ R}^{3}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par \[(x,y,z,t) \mapsto x^{4} + y^{4} + z^{4} + t^{4} \]

1. La fonction \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{4}\) et admet un unique point critique sur \(\mathbb{R}^{4}\) au point \(A = (a,b,c,d)\) où \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) sont des réels

Entrer la valeur du réel \[a\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[b\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[c\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[d\] dans la case suivante : [...]

1. Soit \(H_{A}\) la hessienne de la fonction \(\varphi\) au point critique \(A\) on a : \[H_{A}= \alpha I_{4}\]

où \(\alpha\) est un réel et \(I_{4}\) désigne la matrice identité d’ordre 4.

Entrer la valeur du réel \[\alpha\] dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(\varphi\) admet un minimum absolu sur \(\mathbb{R}^{4}\) en un unique point (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: 0; 0; 0; 0; 0; V / v
Feedback: Soit \(D_{\varphi}\) l’ensemble de définition de la fonction \(\varphi\), on remarque que \(D_{\varphi} = \mathbb{R}^{4}\) Par ailleurs la fonction \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{4}\) comme fonction polynomiale.. On a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^{4} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial \varphi}{\partial x} (x,y,z,t) & = & 4x^{3} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} (x,y,z,t) & = & 4y^{3} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial \varphi}{ \partial z} (x,y,z,t) & = & 4z^{3} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial \varphi}{ \partial t} (x,y,z,t ) & = & 4t^{3} \\ \end{eqnarray*}\] Le point \(A = (a,b,c,d)\) est un point critique de \(\varphi\) si et seulement si \(\nabla \varphi _{A} = 0\). Or on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \nabla \varphi _{A} = 0 & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} \dfrac{\partial \varphi}{\partial x} (a,b,c,d) & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} (a,b,c,d) & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial \varphi}{ \partial z} (a,b,c,d) & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial \varphi}{ \partial t} (a,b,c,d) & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \rule[-4 pt]{0pt}{15pt} \quad & & \\ \rule[-4 pt]{0pt}{10pt} & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-10 pt]{0pt}{25pt} 4a^{3} & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{25pt} 4b^{3} & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{25pt} 4c^{3} & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} 4d^{3} & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que : \[\nabla \varphi _{A} = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad (a,b,c,d) = (0,0,0,0)\] On en déduit donc que le point \(A = (0,0,0,0)\) est l’unique point critique de la fonction \(\varphi\) sur \(\mathbb{R}^{4}\). Par ailleurs on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^{4} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} \varphi }{\partial x^{2}} (x,y,z,t) & = 12x^{2} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^{4} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} \varphi }{\partial y^{2}} (x,y,z,t) & = & 12y^{2} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^{4} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} \varphi }{\partial z^{2}} (x,y,z,t) & = & 12z^{2} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^{4} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} \varphi }{\partial t^{2}} (x,y,z,t) & = & 12t^{2} \\ \end{eqnarray*}\] On remarque aussi que toutes les dérivées partielles d’ordre 2 faisant intervenir deux variables distinctes sont égales à la fonction nulle ; par exemple on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^{4} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} \varphi }{\partial x \partial y} (x,y,z,t) & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^{4} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} \varphi }{\partial x \partial z} (x,y,z,t) & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^{4} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} \varphi }{\partial x \partial t} (x,y,z,t) & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^{4} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} \varphi }{\partial y \partial z} (x,y,z,t) & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} etc ... & & \\ \end{eqnarray*}\] Soit \(H_{A}\) est la hessienne de \(\varphi\) en \(A\) on a . \[H_{A} = \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &0 &0 &0 \\ 0&0&0&0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)\] On a donc : \(H_{A} = 0. I_{4}\). Comme la hessienne \(H_{A}\) est nulle on ne peut donc rien en conclure sur la nature du point critique \(A\). Par ailleurs on a : \(\varphi(0,0,0,0) = 0\) et \(\forall (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^{4} x^{4} + y^{4} + z^{4} + t^{4} \geq 0\). On en déduit que : \(\forall (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^{4}, \quad \varphi(x,y,z,t) \geq \varphi(A)\) Conclusion. La fonction \(\varphi\) admet un minimum absolu sur \(\mathbb{R}^{4}\) uniquement au point \(A = (0,0,0,0)\).

Q: On considère la fonction \(f\) de \(\mathbb{ R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par \[(x,y) \mapsto x^{2}(1 + y )^{3} + y^{2}\]

1. La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) et admet exactement un point critique sur \(\mathbb{R}^{2}\) à savoir \(A = (\alpha, \beta )\) où \(\alpha\) et \(\beta\) des entiers relatifs.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[\alpha\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[\beta\] dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(f\) admet un unique minimum local sur \(\mathbb{R}^{2}\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
2. La fonction \(f\) admet un minimum global sur \(\mathbb{R}^{2}\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: 0; 0; V / v; F / f
Feedback: La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) comme fonction polynomiale. \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y) & = & 2x(1 + y)^{3} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) & = & 3x^{2}(1 + y)^{2} + 2y \\ \end{eqnarray*}\] Le point \(C = (a,b)\) est un point critique de \(f\) si et seulement si \(\nabla f _{C} = 0\). Or on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \nabla f _{C} = 0 & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} \dfrac{\partial f}{\partial x} (a,b) & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial x} (a,b) & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \rule[-4 pt]{0pt}{50pt} & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-10 pt]{0pt}{15pt} 2a(1 + b)^{3} & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{15pt} 3a^{2}(1 + b)^{2} + 2b & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \rule[-4 pt]{0pt}{50pt} & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-10 pt]{0pt}{15pt} 2a(1 + b)^{3} & = & 0 \qquad (1) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{15pt} 3a^{2}(1 + b)^{2} + 2b & = & 0 \qquad (2) \\ \end{array} \right. \\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que si un couple \((a,b)\) de \(\mathbb{R}^{2}\) vérifie les conditions du système \((S)\) précédent alors, d’après \((1)\), on a : \[ 2a = 0 \qquad \mbox{ ou } \qquad (1 + b)^{2} = 0 \] Or si \((1 + b )^{2} = 0\) on a $1 + b = 0 $ et d’après la condition \((2)\) on en déduit que \(b = 0\) ce qui est incompatible avec la relation \(1 + b = 0\). Par ailleurs si \(2a = 0\) on a $a = 0 $ et d’après la condition \((2)\) on en déduit que \(2b = 0\) d’où \(b = 0\). Donc si le point \(C = (a,b )\) est un point critique de \(f\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) .alors nécessairement on a : ; $(a,b) = (0,0) $. Réciproquement on vérifie sans problème que le couple \((0,0)\) est solution du système \((S)\). Bilan : La fonction \(f\) admet les points \(A = (0,0)\) comme seul point critique sur \(\mathbb{R}^{2}\). On a aussi : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (x,y) & = & 2(1 + y )^{2} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} (x,y) & = & 6x^{2}(1 + y) + 2 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y } (x,y) & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x } (x,y) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 6x(1 +y)^{2} \\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que pour le point critique \(A = (0,0)\) il vient : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} r & = &\dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} 0,0) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 2 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} t & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} (0,0) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 2 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} s & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y} (0,0) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y} (0,0) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 0 \\ \end{eqnarray*}\] D’après ce qui précède, en utilisant les notations de Monge, on obtient : \(rt-s^{2} = 4\) Donc on est dans le cas où \(rt-s^{2} > 0\), comme de plus \(r>0\) on peut en déduire que la fonction \(f\) admet un minimum local sur \(\mathbb{R}^{2}\) uniquement en \(A\). Si la fonction \(f\) admet un minimum global sur \(\mathbb{R}^{2}\) en un point ce point est nécessairement un point critique de \(f\) sur \(\mathbb{R}^{2}\), donc si \(f\) admet un minimum global sur \(\mathbb{R}^{2}\) alors sa valeur vaut \(f(0,0)\) c’est à dire \(0\). Donc si \(f\) admet un minimum global sur \(\mathbb{R}^{2}\) alors on doit avoir ; \[\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2}, f(x,y) \geq 0\]. Comme \(0 > f(1,-11)\) on peut en déduire que la fonction \(f\) n’admet pas de minimum global sur \(\mathbb{R}^{2}\).

Q: On considère la fonction \(f\) de \(\mathbb{ R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par \[(x,y,z) \mapsto x^{3} + y^{3}\]

1. La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) et admet exactement un point critique sur \(\mathbb{R}^{2}\) à savoir \(A = (\alpha, \beta )\)

où \(\alpha\) et \(\beta\) des entiers relatifs.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[\alpha\] dans la case suivante [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[\beta\] dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(f\) admet un unique minimum local sur \(\mathbb{R}^{2}\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: 0; 0; F / f
Feedback: La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) comme fonction polynomiale. \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y) & = & 3x^{2} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) & = & 3y^{2} \\ \end{eqnarray*}\] Le point \(C = (a,b)\) est un point critique de \(f\) si et seulement si \(\nabla f _{C} = 0\). Or on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \nabla f _{C} = 0 & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} \dfrac{\partial f}{\partial x} (a,b) & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial x} (a,b) & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \rule[-4 pt]{0pt}{50pt} & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-10 pt]{0pt}{15pt} 3a^{2} & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{15pt} 3b^{2} & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{eqnarray*}\] Bilan : La fonction \(f\) admet le point \(A = (0,0)\) comme seul point critique sur \(\mathbb{R}^{2}\). On a aussi : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (x,y) & = & 6x \\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} (x,y) & = & 6y\\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y } (x,y) & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x } (x,y) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 0 \\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que pour le point critique \(A = (0,0)\) il vient : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} r & = &\dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} 0,0) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} t & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} (0,0) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} s & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y} (0,0) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y} (0,0) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 0 \\ \end{eqnarray*}\] D’après ce qui précède, en utilisant les notations de Monge, on obtient : \(rt-s^{2} = 0\) Comme on est dans le cas où \(rt-s^{2} = 0\), donc on ne peut rien en déduire sur l’existence d’un extremum de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) au point \(A\). Par ailleurs on remarque que : Comme de plus \(\varphi(A_{1}) > 0\) et \(0 > \varphi(A_{2})\) on peut en déduire qu’il est impossible de trouver une boule \(B\) de centre \(A\) et de rayon \(r\) telle que \(\forall M \in B, \varphi (M) \geq \varphi (A)\) ou telle que \(\forall M \in B, \varphi (M) \leq \varphi (A)\) donc \(f\) n’admet pas de minimum relatif ni de maximum relatif au point \(A\).

Q: On considère la fonction \(\varphi\) de \(\mathbb{ R}^{3}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par \[(x,y,z) \mapsto yze^{x} + xze^{y} + xye^{z}\]

1. La fonction \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{3}\) et il existe un unique réel \(a\), non nul, tel que le point \(A= (a,a,a)\) soit un point critique de \(\varphi\).

Entrer la valeur du réel \[a\] dans la case suivante : [...]

1. Si \(h\) est voisin de \(0\) on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \varphi (- 2 + h,-2 +h, -2 + h) & = &\varphi (-2 , -2 , -2) + ne^{q} h^{2} + o \left ( h^{2} \right ) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \varphi (- 2 + h,-2 , -2 ) & = & \varphi (-2 , -2 , -2) + pe^{q} h^{2} + o \left ( h^{2} \right ) \\ \end{eqnarray*}\]

où \(n\), \(p\) et \(q\) sont des entiers relatifs.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[n\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[p\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[q\] dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(\varphi\) admet au point \(A\) un extremum relatif (V pour vrai, F pour faux) : [...].

Si la propriété précédente est vraie tapez la lettre “V” sinon tapez la lettre “F” dans la case suivante :
A: -2; -3; 2; -2; F / f
Feedback: Soit \(D_{\varphi}\) l’ensemble de définition de la fonction \(\varphi\), on remarque que \(D_{\varphi} = \mathbb{R}^{3}\). Par ailleurs la fonction \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{3}\) comme somme de produit de fonctions de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{3}\). On a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial \varphi}{\partial x} (x,y,z) & = & yze^{x} + ze^{y} + ye^{z} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} (x,y,z) & = & ze^{x} + xze^{y} + xe^{z} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial \varphi}{ \partial z} (x,y,z) & = & ye^{x} + xe^{y} + xye^{z} \\ \end{eqnarray*}\] Le point \(A = (a,a,a)\) est un point critique de \(\varphi\) si et seulement si \(\nabla \varphi _{A} = 0\). Donc, d’après ce qui précède, le point \(A = (a,a,a)\) est un point critique de \(\varphi\) si et seulement si \(\left ( a^{2} + 2a \right )e^{a} = 0\). Or on a ; \[\left ( a^{2} + 2a \right )e^{a} = a ( a + 2)e^{a}\] Bilan : Le seul réel, non nul, \(a\) tel que le point \(A = (a,a,a)\) soit un point critique de \(\varphi\) est égal à \(-2\). Pour \(h\) voisin de \(0\) on a les développements limités à l’ordre 2 suivants : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \varphi (- 2 + h,-2 +h, -2 + h) & = & 3(-2 + h)^{2} e^{-2 ≠ h }\\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 3e^{-2} \left ( 4 - 4h + h^{2} \right ) \left ( 1+ h + \dfrac{1}{2} h^{2} + o \left ( h^{2} \right ) \right ) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 3e^{-2} \left ( 4 - h^{2} + o \left ( h^{2} \right ) \right ) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 12e^{-2} -3e^{-2} h^{2} + o \left ( h^{2} \right ) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \varphi (-2 , -2 , -2) -3e^{-2} h^{2} + o \left ( h^{2} \right ) \\ \end{eqnarray*}\] \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \varphi (- 2 + h,-2 , -2 ) & = & 4 e^{-2 ≠ h } + 2 (-2)(-2+ h)e^{-2}\\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = &4e^{-2} \left ( 1+ h + \dfrac{1}{2} h^{2} + o \left ( h^{2} \right ) \right ) -4(-2 +h)e^{-2} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 12e^{-2} +2e^{-2} h^{2} + o \left ( h^{2} \right ) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \varphi (-2 , -2, -2 ) + 2e^{-2} h^{2} + o \left ( h^{2} \right ) \\ \end{eqnarray*}\] D’après ce qui précède on obtient : \[ \varphi( 2 + h,-2 +h, -2 + h) - \varphi (-2, -2 , -2 ) = -3e^{-2} h^{2} + o \left ( h^{2} \right )\] Il existe donc un réel \(\alpha\) tel que : \[ \forall h \in ]- \alpha, \alpha[ \setminus \{ 0 \}, \qquad 0 > \varphi( 2 + h,-2 +h, -2 + h) - \varphi (-2, -2 , -2 )\] On en déduit que pour tout réel \(r\), \(r > 0\), la boule \(B\) de centre \(A\) et de rayon \(r\) contient des points \(M\) tels que \(\varphi(A) > \varphi(M)\). De même on a : \[ \varphi(- 2 + h,-2, -2 ) - \varphi (-2, -2 , -2 ) = 2e^{-2} h^{2} + o \left ( h^{2} \right )\] Il existe donc un réel \(\beta\) tel que : \[ \forall h \in ]- \beta, \beta[ \setminus \{ 0 \}, \qquad \varphi(- 2 + h,-2 , -2 ) - \varphi (-2, -2 , -2 ) > 0\] On en déduit que pour tout réel \(r\), \(r > 0\), la boule \(B\) de centre \(A\) et de rayon \(r\) contient des points \(M\) tels que \(\varphi(M) > \varphi(A)\). On peut en conclure qu’il est impossible de trouver une boule \(B\) de centre \(A\) et de rayon \(r\) telle que \(\forall M \in B, \quad \varphi (M) \geq \varphi (A)\) ou telle que \(\forall M \in B, \quad \varphi (M) \leq \varphi (A)\) donc \(\varphi\) n’admet pas de minimum relatif ni de maximum relatif au point \(A\).

Q: On considère la fonction \(f\) de \(\mathbb{ R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par \[(x,y) \mapsto x \left ( (\ln x )^{2} + y^{2} \right) \]

1. On note \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), déterminer la lettre qui correspond à la bonne réponse : [...]

1. \(D_{f}= \mathbb{R}^{2}\)
2. \(D_{f}= \left ( \mathbb{R}_{+} \right )^{2}\)
3. \(D_{f}= \mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R}\)
4. \(D_{f}= ]- \infty,0 ] \times ]0, + \infty[\)
5. \(D_{f}= ]0 , + \infty[ \times ]0, + \infty[\)

1. La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(D_{f}\) et admet exactement deux points critiques sur \(D_{f}\) à savoir \(A = (\alpha, \beta )\) et \(A' = (e^{ \alpha'}, \beta' )\)

où \(\alpha\), \(\beta\), \(\alpha'\) et \(\beta'\) sont des entiers relatifs tels que \(\alpha >\alpha'\).

Entrer la valeur de l’entier relatif \[\alpha\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[\beta\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[\alpha'\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[\beta'\] dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(f\) admet un unique extremum global sur \(D_{f}\) (V pour vrai, F pour faux) : [...].
A: c / c; 1; 0; -2; 0; V / v
Feedback: Soit \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\), on a : \[D_{f} = \left \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} / \quad x > 0 \right \}\] On en déduit que ; \(D_{f}= \mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R}\) La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(D_{f}\) comme produit et somme de fonctions de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(D_{f}\). \ On a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in D_{f} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y) & = & (\ln x)^{2} + y^{2} + 2 \ln x \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) & = & 2xy \\ \end{eqnarray*}\] Le point \(C = (a,b)\) est un point critique de \(f\) si et seulement si \(\nabla f _{C} = 0\). Or on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \nabla f _{C} = 0 & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} \dfrac{\partial f}{\partial x} (a,b) & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial x} (a,b) & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \rule[-4 pt]{0pt}{50pt} & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-10 pt]{0pt}{15pt} (\ln a)^{2} + b^{2} + 2 \ln a & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{15pt} 2ab & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \rule[-4 pt]{0pt}{50pt} & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrrrrrrr} \rule[-10pt]{0pt}{20pt} (\ln a)^{2} + b^{2} + 2 \ln a & = & 0 & \mbox{et} &a& =&0& \left ( \mbox{ mais } a>0 \right ) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} \mbox{ou} \qquad \quad \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} (\ln a)^{2} + b^{2} + 2 \ln a & = & 0 &\qquad \mbox{ et } \qquad& b &=& 0 \\ \end{array} \right. \\ \rule[-4 pt]{0pt}{50pt} & \Longleftrightarrow & \left. \begin{array}{rrrrrrrr} \quad \ln a ( \ln a + 2) & = & 0 & \mbox{ et } & b &=& 0 \\ \end{array} \right. \\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrrrrrr} \rule[-10pt]{0pt}{20pt} a & = &1 & \mbox{ et } &b& =&0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} \mbox{ou} & & & \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} a & = & e^{-2} & \mbox{ et } & b &=& 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{eqnarray*}\] Bilan : La fonction \(f\) admet les points \(A = (1,0)\) et \(A' =(e^{-2},0)\) comme seuls points critiques sur \(\mathbb{R}^{2}\). On a aussi : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in D_{f} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (x,y) & = & \dfrac{2}{x} ( 1 + \ln x ) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in D_{f} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} (x,y) & = & 2x \\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in D_{f} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y } (x,y) & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x } (x,y) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 2y\\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que pour le point critique \(A = (1,0)\) il vient : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} r & = &\dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (1,0) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 2 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} t & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} (1,0) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 2 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} s & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y} (1,0) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y} (1,0) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 0 \\ \end{eqnarray*}\] D’après ce qui précède, en utilisant les notations de Monge, on obtient : \(rt-s^{2} = 4\). Donc on est dans le cas où \(rt-s^{2} > 0\), comme de plus on a \(r > 0\) on peut en déduire que la fonction \(f\) admet minimum local sur \(D_{f}\) en \(A\). De même pour le point critique \(A'(e^{-2},0)\) on obtient avec des calculs analogues : \(r=-2e^{2}\); \(s= 0\) et \(t = e^{-2}\), donc on est dans le cas où \(0 > rt-s^{2}\), donc \(f\) n’admet pas d’extremum local sur \(D_{f}\) en \(A'\). CONCLUSION La fonction \(f\) admet un unique extremum local sur \(D_{f}\) au point \(A = ( 1,0)\), de plus la fonction \(f\) admet un minimum local en \(A_(1,0)\) qui est en fait un minimum global sur \(D_{f}\) car on a : \[\forall (x,y) \in D_{f}, \quad f(x,y) \geq 0\] c’est à dire : \[\forall (x,y) \in D_{f}, \quad f(x,y) \geq f(1,0)\]

Q: On considère la fonction \(\varphi\) de \(\mathbb{ R}^{3}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par \[(x,y,z) \mapsto x + y + z + x^{3} + y^{3} + z^{3}\]

1. La fonction \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{3}\) et admet un unique extremum relatif sur \(\mathbb{R}^{3}\) (V pour vrai, F pour faux) :
A: F
Feedback: La fonction \(\varphi\) est définie et de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{3}\) comme fonction polynomiale. On a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial \varphi}{\partial x} (x,y,z) & = & 3x^{2} + 1 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} (x,y,z) & = & 3y^{2} + 1 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial \varphi}{ \partial z} (x,y,z) & = & 3z^{2} + 1 \\ \end{eqnarray*}\] Le point \(C = (a,b,c)\) est un point critique de \(\varphi\) si et seulement si \(\nabla \varphi _{C} = 0\). Or on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \nabla \varphi _{C} = 0 & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} \dfrac{\partial \varphi}{\partial x} (a,b,c) & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial \varphi}{\partial x} (a,b,c) & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial \varphi}{ \partial z} (a,b,c) & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \rule[-4 pt]{0pt}{50pt} & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-4 pt]{0pt}{25pt} 3a^{2} + 1 & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{25pt} 3b^{2} + 1 & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{25pt} 3c^{2} + 1 & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{eqnarray*}\] Puisque \(\forall x \in \mathbb{R}, \quad 3x^{2} + 1 \neq 0\) on en déduit qu’il n’existe aucun point crique pour \(\varphi\) sur \(\mathbb{R}^{3}\). Conclusion. La fonction \(\varphi\) n’admet pas d’extremum relatif sur \(\mathbb{R}^{3}\).

Q: On considère la fonction \(\varphi\) de \(\mathbb{ R}^{4}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par \[(x,y,z,t) \mapsto e^{- x^{2} -y^{2} -z^{2} -t^{2} }\]

1. La fonction \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{4}\) et admet un unique point critique sur \(\mathbb{R}^{4}\) au point \(A = (a,b,c,d)\). où \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) sont des réels

Entrer la valeur du réel \[a\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[b\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[c\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[d\] dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(\varphi\) admet un maximum absolu sur \(\mathbb{R}^{4}\) en un unique point (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: 0; 0; 0; 0; V / v
Feedback: Soit \(D_{\varphi}\) l’ensemble de définition de la fonction \(\varphi\), on remarque que \(D_{\varphi} = \mathbb{R}^{4}\) Par ailleurs la fonction \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{4}\) comme somme et composée de fonctions de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{4}\). On a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^{4} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial \varphi}{\partial x} (x,y,z,t) & = & -2x \, e^{- x^{2} -y^{2} -z^{2} -t^{2} } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} (x,y,z,t) & = & -2y \, e^{- x^{2} -y^{2} -z^{2} -t^{2} } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial \varphi}{ \partial z} (x,y,z,t) & = & -2z \, e^{- x^{2} -y^{2} -z^{2} -t^{2} } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial \varphi}{ \partial t} (x,y,z,t ) & = & -2t \, e^{- x^{2} -y^{2} -z^{2} -t^{2} } \\ \end{eqnarray*}\] Le point \(A = (a,b,c,d)\) est un point critique de \(\varphi\) si et seulement si \(\nabla \varphi _{A} = 0\). Or on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \nabla \varphi _{A} = 0 & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} \dfrac{\partial \varphi}{\partial x} (a,b,c,d) & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} (a,b,c,d) & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial \varphi}{ \partial z} (a,b,c,d) & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial \varphi}{ \partial t} (a,b,c,d) & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \rule[-4 pt]{0pt}{15pt} \quad & & \\ \rule[-4 pt]{0pt}{10pt} & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-10 pt]{0pt}{25pt} -2a \, e^{- a^{2} -b^{2} -c^{2} -d^{2} } & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{25pt} -2b \, e^{- a^{2} -b^{2} -c^{2} -d^{2} } & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{25pt} -2c \, e^{- a^{2} -b^{2} -c^{2} -d^{2} } & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} -2d \, e^{- a^{2} -b^{2} -c^{2} -d^{2} } & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{eqnarray*}\] Puisque \(\forall (a,b,c,d) \in \mathbb{R}^{4}, e^{- a^{2} -b^{2} -c^{2} -d^{2} } \neq 0\) on en déduit que : \[\nabla \varphi _{A} = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad (a,b,c,d) = (0,0,0,0)\] On en déduit donc que le point \(A = (0,0,0,0)\) est l’unique point critique de la fonction \(\varphi\) sur \(\mathbb{R}^{4}\). Par ailleurs on a : \(\varphi(0,0,0,0) = 1\) et \(\forall (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^{4} \quad - x^{2} -y^{2} -z^{2} -t^{2} \leq 0\). On en déduit que : \(\forall (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^{4}, \quad e^{ - x^{2} -y^{2} - z^{2} - t^{2} } \leq 1\) c’est à dire \(\forall (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^{4}, \quad \varphi(x,y,z,t) \leq \varphi(A)\). Conclusion. La fonction \(\varphi\) admet un maximum absolu sur \(\mathbb{R}^{4}\) uniquement au point \(A = (0,0,0,0)\).

Q: On considère la fonction \(\varphi\) de \(\mathbb{ R}^{3}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par \[(x,y,z) \mapsto ( x + y + z )^{2}\]

1. La fonction \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{3}\) et admet au moins un extremum absolu sur \(\mathbb{R}^{3}\) (V pour vrai, F pour faux) :
A: F
Feedback: La fonction \(\varphi\) est définie et de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{3}\) comme fonction polynomiale. On a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial \varphi}{\partial x} (x,y,z) & = & 2(x+ y + z) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} (x,y,z) & = & 2(x+ y + z) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial \varphi}{ \partial z} (x,y,z) & = & 2(x+ y + z) \\ \end{eqnarray*}\] Le point \(C = (a,b,c)\) est un point critique de \(\varphi\) si et seulement si \(\nabla \varphi _{C} = 0\). Or on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \nabla \varphi _{C} = 0 & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} \dfrac{\partial \varphi}{\partial x} (a,b,c) & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial \varphi}{\partial x} (a,b,c) & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial \varphi}{ \partial z} (a,b,c) & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & \Longleftrightarrow & \left. \begin{array}{rrrrrrrr} \quad 2 ( a + b + c ) = 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que la fonction \(\varphi\) admet une infinité de points critiques à savoir l’ensemble des points \(A = (a,b,c)\) tels que \(a + b + c = 0\). Par ailleurs pour tout point critique \(A = (a,b,c)\) on a \(\varphi (A) = 0\) car \(a + b + c = 0\). On constate de plus que : \(\forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3}, \varphi (x,y,z) \geq 0\), donc la fonction \(\varphi\) admet un maximum absolu sur \(\mathbb{R}^{3}\) en chacun de ses points critiques. Conclusion. La fonction \(\varphi\) possède une infinité de points de \(\mathbb{R}^{3}\) où elle admet un maximum absolu.

Q: On considère la fonction \(f\) de \(\mathbb{ R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par \[(x,y) \mapsto x^{3} + 3xy^{4} + 11x + y^{3} \]

1. La fonction \(f\) admet un unique minimum local sur \(D_{f}\) (V pour vrai, F pour faux) :
A: F
Feedback: La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) comm fonction polynomiale. On a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in D_{f} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y) & = & 3x^{2} + 3y^{4} +11 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) & = & 12xy^{3} + 3y^{2} \\ \end{eqnarray*}\] Le point \(C = (a,b)\) est un point critique de \(f\) si et seulement si \(\nabla f _{C} = 0\). Or on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \nabla f _{C} = 0 & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} \dfrac{\partial f}{\partial x} (a,b) & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial x} (a,b) & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \rule[-4 pt]{0pt}{50pt} & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-10 pt]{0pt}{15pt} 3a^{2} + 3b^{4} + 11 & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{15pt} 12ab^{3} + 3b^{2} & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{eqnarray*}\] On constate que : \(\forall (a,b) \in \mathbb{R}^{2}, \quad 3a^{2} + 3b^{4} + 11 >0\) donc : \(\forall (a,b) \in \mathbb{R}^{2}, \quad 3a^{2} + 3b^{4} + 11 \neq 0\) Bilan : La fonction \(f\) n’admet aucun point critique sur \(\mathbb{R}^{2}\), donc la fonction \(f\) n’admet aucun minimum local sur \(\mathbb{R}^{2}\).

Q: On considère la fonction \(f\) de \(\mathbb{ R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par \[(x,y) \mapsto x^{2} + xy + y^{2} + 2(x-y) \]

1. La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) et admet exactement un point critique sur \(\mathbb{R}^{2}\) à savoir \(A = (\alpha, \beta )\).

où \(\alpha\) et \(\beta\) sont des entiers relatifs.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[\alpha\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[\beta\] dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(f\) admet un unique minimum local sur \(\mathbb{R}^{2}\) (V pour vrai, F pour faux) : [...].
A: -2; 2; V / v
Feedback: La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) comme fonction polynomiale. On a ; \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in D_{f} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y) & = & 2x + y +2 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) & = & x + 2y - 2 \\ \end{eqnarray*}\] Le point \(C = (a,b)\) est un point critique de \(f\) si et seulement si \(\nabla f _{C} = 0\). Or on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \nabla f _{C} = 0 & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} \dfrac{\partial f}{\partial x} (a,b) & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial x} (a,b) & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \rule[-4 pt]{0pt}{50pt} & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-10 pt]{0pt}{15pt} 2a + b + 2 & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{15pt} a + 2b - 1 & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \rule[-4 pt]{0pt}{50pt} & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-10 pt]{0pt}{15pt} 2a + b + 2 & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{15pt} a + 2b - 2 & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{eqnarray*}\] Bilan : La fonction \(f\) admet le point \(A = (-2,2 )\) comme seul point critique sur \(\mathbb{R}^{2}\). On a aussi : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in D_{f} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (x,y) & = & 2 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in D_{f} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} (x,y) & = & 2 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in D_{f} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y } (x,y) & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x } (x,y) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 1\\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que pour le point critique \(A = (-2,2)\) il vient : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} r & = &\dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (-2,2) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 2 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} t & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} (-2,2) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 2 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} s & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y} (-2,2) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y} (-2,2) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 1 \\ \end{eqnarray*}\] D’après ce qui précède, en utilisant les notations de Monge, on obtient : \(rt-s^{2} = 3\) Donc on est dans le cas où \(rt-s^{2} > 0\), comme de plus on a \(r > 0\) on peut en déduire que la fonction \(f\) admet minimum local sur \(\mathbb{R}^{2}\) en \(A\).

Q: On considère la fonction \(f\) de \(\mathbb{ R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par \[(x,y) \mapsto x \ln y - y \ln x \]

1. On note \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), déterminer la lettre qui correspond à la bonne réponse : [...]

1. \(D_{f}= \mathbb{R}^{2}\)
2. \(D_{f}= \left ( \mathbb{R}_{+} \right )^{2}\)
3. \(D_{f}= \mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R}^{*}\)
4. \(D_{f}= ]- \infty,0 ] \times ]0, + \infty[\)
5. \(D_{f}= ]0 , + \infty[ \times ]0, + \infty[\)

1. L’équation \(x - \ln x - \dfrac{1}{x} = 0\) admet le réel \(a\) comme unique solution sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\).

Entrer la valeur du réel \[a\] dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(D_{f}\) et admet exactement un point critique sur \(D_{f}\) à savoir \(A = (\alpha, \beta )\) où \(\alpha\) et \(\beta\) sont des réels.

Indication : on pourra utiliser le résultat de la question précédente.

Entrer le réel \[\alpha\] dans la case suivante : [...]

Entrer le réel \[\beta\] dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(f\) admet un unique minimum local sur \(D_{f}\) (V pour vrai, F pour faux) : [...]
A: e / e; 1; e / e; e / e; F / f
Feedback: Soit \(D_{ƒ}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\), on a : \(D_{f} = \left \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2}, \quad x > 0 \; \mbox{ et } \; y > 0 \right \}\). D’où : \(D_{f}= ]0 , + \infty[ \times ]0, + \infty[\) La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(D_{f}\) comme somme et produit de fonctions de classe \(\mathcal{C}^{2}\). On a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \left ( \mathbb{R}_{+}^{*} \right )^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y) & = &\ln y - \dfrac{y}{x} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{40pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) & = & \dfrac{x}{y} - \ln x \\ \end{eqnarray*}\] Le point \(C = (a,b)\) est un point critique de \(f\) si et seulement si \(\nabla f _{C} = 0\). Or on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \nabla f _{C} = 0 & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} \dfrac{\partial f}{\partial x} (a,b) & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial x} (a,b) & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \rule[-4 pt]{0pt}{50pt} & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-10 pt]{0pt}{15pt} \ln b - \dfrac{b}{a} & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{15pt} \dfrac{a}{b} - \ln a & = & 0 \\ \end{array} \right. \\ \rule[-4 pt]{0pt}{50pt} & \Longleftrightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr} \rule[-10 pt]{0pt}{15pt} \ln b & = & \dfrac{b}{a} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{15pt} \dfrac{a}{b} & = & \ln a \\ \end{array} \right. \quad (S)\\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que si un couple \((a,b)\) de \(]0 , + \infty[ \times ]0, + \infty[\) est solution su système \()S)\) précédent alors on a : \ \(\ln b > 0\) et \(\ln a >0\) car \(a > 0\) et \(b >0\). Par ailleurs on a aussi \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{b}{a} & = & \ln b \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \mbox{ d'où } \qquad \qquad \quad \, a & = & \dfrac{b}{\ln b} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \mbox{ soit } \qquad \qquad \ln a & = & \ln \left ( \dfrac{b}{\ln b} \right ) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \mbox{ donc } \qquad \qquad \ln a & = & \ln b - \ln ( \ln b ) \\ \end{eqnarray*}\] Comme de plus \(\ln a = \dfrac{a}{b}\) et \(\ln b = \dfrac{b}{a}\) on en déduit que \(\ln a = \dfrac{1}{\ln b}\). Bilan : Si le point \(C = (a,b )\) est un point critique de \(f\) sur \(D_{f}\) .alors nécessairement on a : \[ \ln b > 0 \quad \mbox{ et } \quad \ln b - \ln ( \ln b ) = \dfrac{1}{\ln b}\], c’est à dire que \(\ln b\) est un réel strictement positif solution de l’équation \(x - \ln x - \dfrac{1}{x} = 0\) On considère alors la fonction \(g\) de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \[x \mapsto x - \ln x - \dfrac{1}{x} \] La fonction \(g\) admet comme ensemble de définition \(\mathbb{R}^{*}_{*}\) et est dérivable sur \(\mathbb{R}^{*}_{*}\) comme somme de fonctions dérivables. On a ; \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*} \qquad \qquad \qquad g'(x) & = & 1 - \dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{x^{2}} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{25pt} & = & \dfrac {x^{2} - x + 1}{x^{2}}\\ \end{eqnarray*}\] Le trinôme \(x^{2} - x + 1\) admet comme discriminant \(-3\) donc on a : \(\forall x \in \mathbb{R}, \quad x^{2} - x +1 > 0\). On en déduit alors que \(\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \quad g'(x) > 0\) donc que la fonction \(g\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) Comme \(g(1) = 0\) on peut en conclure que l’équation \(x - \ln x - \dfrac{1}{x} = 0\) admet \(1\) comme unique solution sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\). Donc si le point \(C = (a,b )\) est un point critique de \(f\) sur \(D_{f}\) .alors nécessairement on a : ; \(\ln b = 1\) et donc \(\ln a = 1\) c’est à dire $ a= e$ et \(b=e\). Réciproquement on vérifie sans problème que le couple \((e,e)\) est solution du système \((S)\). CONCLUSION La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(D_{f}\) et admet exactement un point critique sur \(D_{f}\) à savoir \(A = (e,e)\). Par ailleurs on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \left ( \mathbb{R}_{+}^{*} \right )^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (x,y) & = & \dfrac{y}{x^{2}} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in \left ( \mathbb{R}_{+}^ {*} \right )^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} (x,y) & = & - \dfrac{x}{y^{2}} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in \left ( \mathbb{R}_{+}^{*} \right )^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y } (x,y) & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x } (x,y) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{x} \\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (e,e) & = & \dfrac{1}{e} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & r \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} (e,e) & = & - \dfrac{1}{e} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & t \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y} (e,e) & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x} ( e,e) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & =& s \\ \end{eqnarray*}\] D’après ce qui précède, en utilisant les notations de Monge, on obtient : \(rt-s^{2} = -\dfrac{1}{e^{2}}\) Donc on est dans le cas où $ 0 > rt-s^{2} $, on peut en déduire que la fonction \(f\) n’ admet pas d’extremum local sur \(D_{f}\).