Title: Exercice 2 - Applications linéaires
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Algèbre linéaire

Composition de fonctions et noyaux pour des applications linéaires $$\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}^n$$ avec $$p\neq n$$.

Question 1

On considère l'application $$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^4$$ définie par :

$$f(x,y)=(x+4y,x,y,x-3y)$$

et l'applications $$f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^2$$ définie par :

$$g(x,y,z,t)=(x+y+z,x+2z+t)$$

Montrer que $$f$$ et $$g$$ sont linéaires.

Réponse 1

L'application $$f$$ renvoie un vecteur de $$\mathbb{R}^4$$ pour lequel chaque composante est une combinaison linéaire des variables $$x$$ et $$y$$, c'est à dire qui s'écrivent sous la forme $$ax+by$$. L'application $$f$$ donc bien linéaire.

De même, $$g$$ renvoie un vecteur de $$\mathbb{R}^2$$ pour lequel chaque composante est une combinaison linéaire des variables $$x$$, $$y$$, $$z$$ et $$t$$, c'est à dire qui s'écrivent sous la forme $$ax+by+cz+dt$$. L'application $$g$$ donc aussi linéaire.

Question 2

Préciser avec justification les dimensions des matrices caractéristiques de $$f$$ et $$g$$, toutes deux dans les bases canoniques de $$\mathbb{R}^2$$ et de $$\mathbb{R}^4$$.

Réponse 2

On appelle $$A$$ et $$B$$ les matrices caractéristiques de $$f$$ et $$g$$ respectivement, toutes deux dans les bases canoniques de $$\mathbb{R}^2$$ et de $$\mathbb{R}^4$$. Le nombre de colonnes des matrices correspond à la dimension de l'espace de départ et le nombre de lignes à la dimension de l'espace d'arrivée. $$A$$ est donc une matrice à 4 lignes et 2 colonnes et $$B$$ est une matrice à 2 lignes et 4 colonnes.

Question 3

Donner les matrices caractéristiques de $$f$$ et $$g$$, toutes deux dans les bases canoniques de $$\mathbb{R}^2$$ et de $$\mathbb{R}^4$$.

Réponse 3

Les éléments composant la matrice $$A$$ sont (dans l'ordre) les coefficients devant les $$x$$ et $$y$$ dans l'expression de $$f$$, chaque ligne correspondant à une coordonnée de $$f(x,y)$$, chaque colonne correspondant à une variable ($$x$$ puis $$y$$). La matrice caractéristique de $$f$$ dans les bases canoniques de $$\mathbb{R}^2$$ et de $$\mathbb{R}^4$$ est donc :

$$A=\left(\begin{array}{cc}1&4\\1&0\\0&1\\1&-3\end{array}\right)$$

De même, les éléments composant la matrice $$B$$ sont (dans l'ordre) les coefficients devant les $$x$$, $$y$$, $$z$$ et $$t$$ dans l'expression de $$g$$, chaque ligne correspondant à une coordonnée de $$g(x,y,z,t)$$, chaque colonne correspondant à une variable ($$x$$, $$y$$, $$z$$ puis $$t$$). La matrice caractéristique de $$g$$ dans les bases canoniques de $$\mathbb{R}^2$$ et de $$\mathbb{R}^4$$ est donc :

$$B=\left(\begin{array}{cccc}1&1&1&0\\1&0&2&1\end{array}\right)$$

Question 4

Quelles sont les dimensions des matrices caractéristiques de $$f\circ g$$ et de $$g\circ f$$ ?

Réponse 4

Le nombre de colonnes d'une matrice caractéristique correspond à la dimension de l'espace de départ et le nombre de lignes à celle de l'espace d'arrivée. Comme $$f\circ g:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4$$, la matrice caractéristique de $$f\circ g$$ est carrée de taille 4. Comme $$g\circ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$$, la matrice caractéristique de $$g\circ f$$ est carrée de taille 2.

Question 5

Donner la matrice caractéristique de $$g\circ f$$.

Réponse 5

La matrice caractéristique de $$g\circ f$$ est :

$$BA=\left(\begin{array}{cc}2&5\\2&3\end{array}\right)$$

Question 6

Donner l'expression de $$g\circ f$$.

Réponse 6

L'application $$g\circ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$$ est linéaire, elle associe donc à $$(x,y)$$ un couple de la forme $$(ax+by,cx+dz)$$. Les coefficients $$a$$ et $$b$$ correspondent (dans l'ordre) aux élément sur la première ligne de $$BA$$, les coefficients $$c$$ et $$d$$ correspondent (dans l'ordre) aux élément sur la seconde ligne de $$BA$$. On a donc

$$g\circ f(x,y)=(2x+5y,2x+3y)$$.

Question 7

Calculer le noyau de $$f$$.

Réponse 7

On cherche $$(x,y)$$ tel que $$f(x,y)=(0,0,0,0)$$. On obtient le système :

$$\left\{\begin{array}{l}x+4y=0\\x=0\\y=0\\x-3y=0\end{array}\right.$$

ce qui nous donne $$x=y=0$$. On a donc $$\text{Ker}(f)={(0,0)}$$.

Question 8

Calculer le noyau de $$g$$.

Réponse 8

On cherche $$(x,y,z,t)$$ tel que $$g(x,y,z,t)=(0,0)$$. On obtient le système :

$$\left\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\x+2z+t=0\end{array}\right.$$

qui est équivalent à

$$\left\{\begin{array}{l}z=-x-y\\t=x+2y\end{array}\right.$$

Les éléments du noyau s'écrivent donc sous la forme $$(x,y,-x-y,x+2y)=x(1,0,-1,1)+y(0,1,-1,2)$$, c'est à dire $$\text{Ker}(g)=\text{Vect}((1,0,-1,1),(0,1,-1,2))$$.