Title: Exercice 1 - Déterminants
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Algèbre linéaire

Question 1

On considère la matrice carrée de taille 3 :

$$A=\left(\begin{array}{3} 1&3&2\\ 0&-1&-3\\ -4&4&-2 \end{array}\right)$$. Exprimer les sous-matrices carrées de taille 2 suivantes :

- $$A_1$$ est la sous matrice pour laquelle on a enlevé la première ligne et la première colonne de $$A$$,
- $$A_2$$ est la sous matrice pour laquelle on a enlevé la deuxième ligne et la première colonne de $$A$$,
- $$A_3$$ est la sous matrice pour laquelle on a enlevé la troisième ligne et la première colonne de $$A$$.

Réponse 1

On a :

$$A_1=\left(\begin{array}{2} -1&-3\\ 4&-2\end{array}\right)$$,

$$A_2=\left(\begin{array}{2} 3&2\\ 4&-2\end{array}\right)$$,

$$A_3=\left(\begin{array}{2} 3&2\\ -1&-3\end{array}\right)$$.

Question 2

Calculer les déterminants de $$A_1$$, $$A_2$$ et $$A_3$$.

Réponse 2

$$|A_1|=(-1)\times (-2)-(-3)\times 4=14$$, $$|A_2|=3\times (-2)-2\times 4=-14$$, et  $$|A_3|=3\times (-3)-2\times (-1)=-7$$.

Question 3

On souhaite calculer le déterminant de $$A$$. Quelle ligne ou quelle colonne de $$A$$ faut-il considérer dans le développement pour exploiter les résultats précédents ?

Réponse 3

On calcule le déterminant de $$A$$ en développant par rapport à la première colonne.

Question 4

Calculer  $$|A|$$.

Réponse 4

En développant par rapport à la première colonne, en utilisant la formule du calcul du déterminant d'une matrice de taille quelconque, on trouve :
$$|A|=(+1)\times 1\times |A_1|+(-1)\times 0\times |A_2|+(+1)\times (-4)\times |A_3|=42$$.