Title: Décomposition en éléments simples d'une fraction
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: Soit \(F\) la fraction suivante \(F = \frac{1}{(X-3)(X+4)}\) La décomposition en élement simple de \(F\) est de la forme \(F=\frac{\lambda}{X-3}+\frac{\mu}{X+4}\)

1. Compléter la valeur de \(\lambda=1/...\) : [...]
2. Compléter la valeur de \(\mu=1/...\) : [...]
A: 7; -7
Feedback: On trouve \(F=\frac{\lambda(X+b)+\mu(X-3)}{(X-3)(X+4)}\). En identifiant on obtient \(\lambda+\mu=0\) et \(\lambda*b-\mu*a=1\)

Q: Soit \(F\) la fraction suivante \(F = \frac{1}{(X-2)(X+5)}\) La décomposition en élement simple de \(F\) est de la forme \(F=\frac{\lambda}{X-2}+\frac{\mu}{X+5}\)

1. Compléter la valeur de \(\lambda=1/...\) : [...]
2. Compléter la valeur de \(\mu=1/...\) : [...]
A: 7; -7
Feedback: On trouve \(F=\frac{\lambda(X+b)+\mu(X-2)}{(X-2)(X+5)}\). En identifiant on obtient \(\lambda+\mu=0\) et \(\lambda*b-\mu*a=1\)

Q: Soit la fraction suivante : \(F = \frac{1}{(X+1)(X+2)}\)

Quelle est la partie polaire associée au pôle 1 ?
- \(\frac{1}{3(X+1)}\)
- \(-\frac{1}{3(X+1)}\)
- \(\frac{1}{-1(X+1)}\)
- -\(\frac{1}{-1(X+1)}\)
A: \(-\frac{1}{3(X+1)}\)
Feedback: La décomposition en élement simple de \(F\) est de la forme \(F=\frac{\lambda}{X+1}+\frac{\mu}{X+2}\), d'où \(F=\frac{\lambda(X+b)+\mu(X+1)}{(X+1)(X+2)}\)

Q: Soit la fraction suivante : \(F = \frac{1}{(X+5)(X+4)}\)

Quelle est la partie polaire associée au pôle 5 ?
- \(\frac{1}{9(X+5)}\)
- \(-\frac{1}{9(X+5)}\)
- \(\frac{1}{1(X+5)}\)
- -\(\frac{1}{1(X+5)}\)
A: \(-\frac{1}{9(X+5)}\)
Feedback: La décomposition en élement simple de \(F\) est de la forme \(F=\frac{\lambda}{X+5}+\frac{\mu}{X+4}\), d'où \(F=\frac{\lambda(X+b)+\mu(X+5)}{(X+5)(X+4)}\)

Q: Soit la fraction suivante : \(F=\frac{2X}{X^2+X+1}\)

Sous quelle forme est la décomposition en éléments simples de \(F\) dans \(\mathbb{R}\) ?
- \(F\) est défà sous forme d'élément simple
- \(F=\frac{\lambda}{X+1}+\frac{\mu}{X-1}\)
- \(F=\frac{\lambda}{2X+1}+\frac{\mu}{2X-1}\)
- \(F=\frac{\lambda}{X^2+\sqrt{2}}+\frac{\mu}{X-\sqrt{2}}\)
- \(F=\frac{\lambda}{X^2+\sqrt{2}/2}+\frac{\mu}{X-\sqrt{2}/2}\)
A: \(F\) est défà sous forme d'élément simple
Feedback: Le dénominateur de \(F\) n'admet pas de racine réelle.

Q: Soit la fraction suivante : \(F=\frac{X^2}{1+X^2}\)

Sous quelle forme est la décomposition en éléments simples de \(F\) dans \(\mathbb{R}\) ?
- \(F\) est défà sous forme d'élément simple
- \(F=\gamma+\frac{\lambda}{X^2+1}\)
- \(F=\gamma+\frac{\lambda}{X+1}+\frac{\mu}{X-1}\)
- \(F=\frac{\lambda}{X+1}+\frac{\mu}{X-1}\)
A: \(F=\gamma+\frac{\lambda}{X^2+1}\)
Feedback: Le dénominateur de \(F\) n'admet pas de racine réelle.

Q: Soit la fraction suivante : \(F=\frac{X^2}{1-X^2}\)

Sous quelle forme est la décomposition en éléments simples de \(F\) dans \(\mathbb{R}\) ?
- \(F\) est défà sous forme d'élément simple
- \(F=\gamma+\frac{\lambda}{X^2+1}\)
- \(F=\gamma+\frac{\lambda}{X+1}+\frac{\mu}{X-1}\)
- \(F=\frac{\lambda}{X+1}+\frac{\mu}{X-1}\)
A: \(F=\gamma+\frac{\lambda}{X+1}+\frac{\mu}{X-1}\)
Feedback: Le dénominateur de \(F\) admet \(1\) et \(-1\) comme racines réelles d'ordre \(1\). On effectue d'abord la division euclidienne pour obtenir la partie entière

Q: Soit la fraction suivante : \(F=\frac{X^2}{(X-1)^2}\)

Sous quelle forme est la décomposition en éléments simples de \(F\) dans \(\mathbb{R}\) ?
- \(F\) est défà sous forme d'élément simple
- \(F=\gamma+\frac{\lambda}{X^2+1}\)
- \(F=\gamma+\frac{\lambda}{X+1}+\frac{\mu}{X-1}\)
- \(F=\frac{\lambda}{X+1}+\frac{\mu}{X-1}\)
- \(F=\frac{\lambda}{(X-1)^2}+\frac{\mu}{X-1}\)
- \(F=\gamma+\frac{\lambda}{(X-1)^2}+\frac{\mu}{X-1}\)
- \(F=\frac{\lambda}{(X-1)^2}+\frac{\mu}{X-1}+\frac{\lambda}{(X+1)^2}+\frac{\mu}{X+1}\)
- \(F=\gamma+\frac{\lambda}{(X-1)^2}+\frac{\mu}{X-1}+\frac{\lambda}{(X+1)^2}+\frac{\mu}{X+1}\)
A: \(F=\gamma+\frac{\lambda}{(X-1)^2}+\frac{\mu}{X-1}\)
Feedback: Le dénominateur de \(F\) admet \(1\) comme racine double. On effectue d'abord la division euclidienne pour obtenir la partie entière

Q: Soit la fraction suivante : \(F = \frac{X}{X^2-3X+1}\)

Quelle est la forme de la décomposition en éléments simples de \(F\) ?
- \(\frac{lambda}{X-1}+\frac{\mu}{X-2}\)
- \(X+\frac{lambda}{X-1}+\frac{\mu}{X-2}\)
- \(\frac{lambda X}{X-1}+\frac{\mu X}{X-2}\)
- \(\frac{lambda X +\gamma }{X-1}+\frac{\mu X +\delta}{X-2}\)
A: \(\frac{lambda}{X-1}+\frac{\mu}{X-2}\)
Feedback: Les pôles de \(F\) sont \(1\) et \(2\), tous les deux simples.

Q: Soit la fraction suivante : \(F = \frac{X^4}{X^2-3X+1}\)

Quelle est la forme de la décomposition en éléments simples de \(F\) ?
- \(\frac{lambda}{X-1}+\frac{\mu}{X-2}\)
- \(P(X)+\frac{lambda}{X-1}+\frac{\mu}{X-2}\)
- \(\frac{P(X)}{X-1}+\frac{P(X)}{X-2}\)
- \(P(X)+\frac{Q(X)}{X-1}+\frac{R(X)}{X-2}\)
A: \(P(X)+\frac{lambda}{X-1}+\frac{\mu}{X-2}\)
Feedback: Les pôles de \(F\) sont \(1\) et \(2\), tous les deux simples. Il faut d'abord faire la division euclidienne pour obtenir la partie entière de \(F\). On obtient \(X^4=(X^2-3X-11)*(X^2-3X+1)\)

Q: Soit la fraction suivante : \(F = \frac{X^4-X+2}{(X-1)^2(X+1)}\) .

Quelle est la décomposition en éléments simples de \(F\) dans \(\mathbb{R}(X)\) ?
- \(X+1+\frac{1}{(X-1)^2}+\frac{1}{X-1}+\frac{1}{X+1}\)
- \(X^2+1+\frac{1}{(X-1)^2}+\frac{1}{X-1}+\frac{1}{X+1}\)
- \(X+1-\frac{1}{(X-1)^2}+\frac{1}{X-1}+\frac{1}{X+1}\)
- \(X^2+1-\frac{1}{(X-1)^2}+\frac{1}{X-1}+\frac{1}{X+1}\)
- \(X+1-\frac{1}{(X-1)^2}-\frac{1}{X-1}+\frac{1}{X+1}\)
- \(X^2+1+\frac{1}{(X-1)^2}+\frac{1}{X-1}+\frac{1}{X+1}\)
- \(X+1+\frac{1}{(X-1)^2}+\frac{1}{X-1}-\frac{1}{X+1}\)
- \(X^2+1+\frac{1}{(X-1)^2}+\frac{1}{X-1}-\frac{1}{X+1}\)
A: \(X+1+\frac{1}{(X-1)^2}+\frac{1}{X-1}+\frac{1}{X+1}\)
Feedback: Les pôles de \(F\) sont \(1\) et \(-1\), d'ordre respectif \(2\) et \(1\)

Q: Soit la fraction suivante : \(F = \frac{1}{X(X^2+1)^2}\) .

Quelle est la forme de la décomposition en éléments simples de \(F\) dans \(\mathbb{C}(X)\) ?
- \(F\) est déjà sous forme d'élément simple
- \(F=\frac{\lambda}{X}+\frac{\mu}{X-i}+\frac{\gamma}{X+i}\)
- \(F=\frac{\lambda}{X}+\frac{\mu}{(X-i)^2}+\frac{\gamma}{(X+i)^2}\)
- \(F=\frac{\lambda}{X}+\frac{\mu}{(X-i)^2}+\frac{\gamma}{(X+i)^2}+\frac{\mu}{X-i}+\frac{\gamma}{X+i}\)
A: \(F=\frac{\lambda}{X}+\frac{\mu}{(X-i)^2}+\frac{\gamma}{(X+i)^2}+\frac{\mu}{X-i}+\frac{\gamma}{X+i}\)
Feedback: Les pôles de \(F\) sont \(0\), \(i\) et \(-i\), d'ordre \(1\), \(2\) et \(2\).