Title: Résolution des équations différentielles du 1er ordre
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

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Q: Quelles sont les formes générales des solutions de l'équation différentielle suivante?

(e)^(x)y - x y = 0
- (e)^(-(x + 1)(e)^(x))+ c où c est une constante. (Réponse fausse. Cette équation peut s'écrire: ((y)^(`))/(y)= x(e)^(- x) Une primitive de ((y)^(`))/(y) est : ln(y) Par intégration par partie, l'ensemble des primitives de x(e)^(- x)sont de la forme: -(x + 1)(e)^(- x)+ c ` où(c)^(`)est une constante Donc : y = c(e)^(-(x + 1)(e)^(- x))où c est une constante strictement positive.)
- (e)^(-(x + 1)(e)^(- x))+ c où c est une constante. (Réponse fausse. Cette équation peut s'écrire: ((y)^(`))/(y)= x(e)^(- x) Une primitive de ((y)^(`))/(y) est : ln(y) Par intégration par partie, l'ensemble des primitives de x(e)^(- x)sont de la forme: -(x + 1)(e)^(- x)+ c ` où(c)^(`)est une constante Donc : y = c(e)^(-(x + 1)(e)^(- x))où c est une constante strictement positive.)
- c(e)^(-(x + 1)(e)^(- x))où c est une constante strictement positive. (Réponse correcte. En effet cette équation peut s'écrire: ((y)^(`))/(y)= x(e)^(- x) Une primitive de ((y)^(`))/(y) est : ln(y) Par intégration par partie, l'ensemble des primitives de x(e)^(- x)sont de la forme: -(x + 1)(e)^(- x)+ c ` où(c)^(`)est une constante Donc : y = c(e)^(-(x + 1)(e)^(- x))où c est une constante strictement positive.)
A: c(e)^(-(x + 1)(e)^(- x))où c est une constante strictement positive.

Q: Quelles sont, pour x ∈ [ 1 ; + ∞ [, les formes générales des solutions de l'équation différentielle suivante?

(x)^(2)+(y)^(2)- x y(y)^(`)= 0
- y = x√(ln((x)^(2))+ c)où c est une constante positive ou nulle (Réponse correcte. Cette équation peut s'écrire: (y)^(`)=((x)^(2)+(y)^(2))/(x y)= f(x ; y)avec f(λ x ; λ y)= f(x ; y) Donc, c'est une équation différentielle homogène. La résolution de cette équation se fera par changement de variable: y = z x où z est une fonction de x. Ce qui conduit à la résolution de l'équation différentielle suivante: x(z)^(`)+ z = f(1 ; z)=(1 +(z)^(2))/(z) C'est une équation à variables séparables qui peut s'écrire: z d z =(1)/(x)d x Une primitive de z est ((z)/(2))^(2) Les primitives de (1)/(x) sont de la forme ln(x)+ c où c est une constante. Donc : (z)^(2)= ln((x)^(2))+ c où c est une constante positive où nulle. Donc : z =√(ln((x)^(2))+ c) où c est une constante positive où nulle. Donc : y = x√(ln((x)^(2))+ c) où c est une constante positive où nulle.)
- y = c x√(ln((x)^(2)))où c est une constante positive ou nulle. (Réponse fausse. Cette équation peut s'écrire: (y)^(`)=((x)^(2)+(y)^(2))/(x y)= f(x ; y)avec f(λ x ; λ y)= f(x ; y) Donc, c'est une équation différentielle homogène. La résolution de cette équation se fera par changement de variable: y = z x où z est une fonction de x. Ce qui conduit à la résolution de l'équation différentielle suivante: x(z)^(`)+ z = f(1 ; z)=(1 +(z)^(2))/(z) C'est une équation à variables séparables qui peut s'écrire: z d z =(1)/(x)d x Une primitive de z est ((z)/(2))^(2) Les primitives de (1)/(x) sont de la forme ln(x)+ c où c est une constante. Donc : (z)^(2)= ln((x)^(2))+ c où c est une constante positive où nulle. Donc : z =√(ln((x)^(2))+ c) où c est une constante positive où nulle. Donc : y = x√(ln((x)^(2))+ c) où c est une constante positive où nulle.)
- y = x√(ln(((x + c))^(2)))où c est une constante positive ou nulle. (Réponse fausse. Cette équation peut s'écrire: (y)^(`)=((x)^(2)+(y)^(2))/(x y)= f(x ; y)avec f(λ x ; λ y)= f(x ; y) Donc, c'est une équation différentielle homogène. La résolution de cette équation se fera par changement de variable: y = z x où z est une fonction de x. Ce qui conduit à la résolution de l'équation différentielle suivante: x(z)^(`)+ z = f(1 ; z)=(1 +(z)^(2))/(z) C'est une équation à variables séparables qui peut s'écrire: z d z =(1)/(x)d x Une primitive de z est ((z)/(2))^(2) Les primitives de (1)/(x) sont de la forme ln(x)+ c où c est une constante. Donc : (z)^(2)= ln((x)^(2))+ c où c est une constante positive où nulle. Donc : z =√(ln((x)^(2))+ c) où c est une constante positive où nulle. Donc : y = x√(ln((x)^(2))+ c) où c est une constante positive où nulle.)
A: y = x√(ln((x)^(2))+ c)où c est une constante positive ou nulle

Q: Quelles sont, pour x ∈(ℝ)^(* +), les formes générales des solutions de l'équation différentielle suivante?

x(y)^(`)= y(ln(y)- ln(x))
- y = x(e)^((c x + 1)) où c est une constante strictement positive. (Réponse correcte. Cette équation peut s'écrire: (y)^(`)=(y(ln(y)- ln(x)))/(x)= f(x ; y)avec f(λ x ; λ y)= f(x ; y) Donc, c'est une équation différentielle homogène. La résolution de cette équation se fera par changement de variable: y = z x où z est une fonction de x. Ce qui conduit à la résolution de l'équation différentielle suivante: x(z)^(`)+ z = f(1 ; z)= z ln(z) C'est une équation à variables séparables qui peut s'écrire: ((1)/(z ln(z)- 1))d z =(1)/(x)d x Une primitive de (1)/(z ln(z)- 1) est ln(ln(z)- 1) Les primitives de (1)/(x) sont de la forme ln(x)+ k où k est une constante. Donc : ln(ln(z)- 1)= ln(x)+ k où k est une constante. Donc : ln(z)- 1 = c x où c est une constante strictement positive. Donc : z =(e)^((c x + 1))où c est une constante strictement positive. Donc : y = x(e)^((c x + 1)) où c est une constante strictement positive.)
- y = x(e)^((x + 1))+ c où c est une constante. (Réponse fausse. Cette équation peut s'écrire: (y)^(`)=(y(ln(y)- ln(x)))/(x)= f(x ; y)avec f(λ x ; λ y)= f(x ; y) Donc, c'est une équation différentielle homogène. La résolution de cette équation se fera par changement de variable: y = z x où z est une fonction de x. Ce qui conduit à la résolution de l'équation différentielle suivante: x(z)^(`)+ z = f(1 ; z)= z ln(z) C'est une équation à variables séparables qui peut s'écrire: ((1)/(z ln(z)- 1))d z =(1)/(x)d x Une primitive de (1)/(z ln(z)- 1) est ln(ln(z)- 1) Les primitives de (1)/(x) sont de la forme ln(x)+ k où k est une constante. Donc : ln(ln(z)- 1)= ln(x)+ k où k est une constante. Donc : ln(z)- 1 = c x où c est une constante strictement positive. Donc : z =(e)^((c x + 1))où c est une constante strictement positive. Donc : y = x(e)^((c x + 1)) où c est une constante strictement positive.)
- y = c x(e)^((x + 1)) où c est une constante. (Réponse fausse. Cette équation peut s'écrire: (y)^(`)=(y(ln(y)- ln(x)))/(x)= f(x ; y)avec f(λ x ; λ y)= f(x ; y) Donc, c'est une équation différentielle homogène. La résolution de cette équation se fera par changement de variable: y = z x où z est une fonction de x. Ce qui conduit à la résolution de l'équation différentielle suivante: x(z)^(`)+ z = f(1 ; z)= z ln(z) C'est une équation à variables séparables qui peut s'écrire: ((1)/(z ln(z)- 1))d z =(1)/(x)d x Une primitive de (1)/(z ln(z)- 1) est ln(ln(z)- 1) Les primitives de (1)/(x) sont de la forme ln(x)+ k où k est une constante. Donc : ln(ln(z)- 1)= ln(x)+ k où k est une constante. Donc : ln(z)- 1 = c x où c est une constante strictement positive. Donc : z =(e)^((c x + 1))où c est une constante strictement positive. Donc : y = x(e)^((c x + 1)) où c est une constante strictement positive.)
A: y = x(e)^((c x + 1)) où c est une constante strictement positive.

Q: Quelles sont, pour x ∈ ℝ, les formes générales des solutions de l'équation différentielle suivante?

(y)^(`)+ 2 x y = 2 x(e)^(-(x)^(2))
- y =(x)^(2)(e)^(-(x)^(2))+ K où K est une constante. (Réponse fausse. Cette équation peut s'écrire: (y)^(`)= - 2 x y + 2 x(e)^(-(x)^(2))= f(x ; y)avec f(x ; y)= a(x)y + b(x). C'est donc une équation différentielle du 1^er ordre linéaire. Équation sans second membre: (y)^(`)= - 2 x y Solution de l'équation sans second membre : y = C(e)^(-(x)^(2)) Méthode de variation de la constante : y = C(x)(e)^(-(x)^(2)) (y)^(`)=(C)^(`)(x)(e)^(-(x)^(2))- 2 x C(x)(e)^(-(x)^(2))= - 2 x C(x)(e)^(-(x)^(2))+ 2 x Donc: (C)^(`)(x)(e)^(-(x)^(2))= 2 x(e)^(-(x)^(2))C(x)=(x)^(2)+ K où K est une constante. D'où la solution de l'équation différentielle : y =((x)^(2)+ K)(e)^(-(x)^(2)) où K est une constante.)
- y = K(x)^(2)(e)^(-(x)^(2)) où K est une constante. (Réponse fausse. Cette équation peut s'écrire: (y)^(`)= - 2 x y + 2 x(e)^(-(x)^(2))= f(x ; y)avec f(x ; y)= a(x)y + b(x). C'est donc une équation différentielle du 1^er ordre linéaire. Équation sans second membre: (y)^(`)= - 2 x y Solution de l'équation sans second membre : y = C(e)^(-(x)^(2)) Méthode de variation de la constante : y = C(x)(e)^(-(x)^(2)) (y)^(`)=(C)^(`)(x)(e)^(-(x)^(2))- 2 x C(x)(e)^(-(x)^(2))= - 2 x C(x)(e)^(-(x)^(2))+ 2 x Donc: (C)^(`)(x)(e)^(-(x)^(2))= 2 x(e)^(-(x)^(2))C(x)=(x)^(2)+ K où K est une constante. D'où la solution de l'équation différentielle : y =((x)^(2)+ K)(e)^(-(x)^(2)) où K est une constante.)
- y =((x)^(2)+ K)(e)^(-(x)^(2)) où K est une constante strictement. (Réponse correcte. Cette équation peut s'écrire: (y)^(`)= - 2 x y + 2 x(e)^(-(x)^(2))= f(x ; y)avec f(x ; y)= a(x)y + b(x). C'est donc une équation différentielle du 1^er ordre linéaire. Équation sans second membre: (y)^(`)= - 2 x y Solution de l'équation sans second membre : y = C(e)^(-(x)^(2)) Méthode de variation de la constante : y = C(x)(e)^(-(x)^(2)) (y)^(`)=(C)^(`)(x)(e)^(-(x)^(2))- 2 x C(x)(e)^(-(x)^(2))= - 2 x C(x)(e)^(-(x)^(2))+ 2 x Donc: (C)^(`)(x)(e)^(-(x)^(2))= 2 x(e)^(-(x)^(2))C(x)=(x)^(2)+ K où K est une constante. D'où la solution de l'équation différentielle : y =((x)^(2)+ K)(e)^(-(x)^(2)) où K est une constante.)
A: y =((x)^(2)+ K)(e)^(-(x)^(2)) où K est une constante strictement.

Q: Quelles sont, pour x ∈ ℝ, les formes générales des solutions de l'équation différentielle suivante?

(y)^(`)+ 2 y =(x)^(2)
- y =((x)^(2))/(2)-(x)/(2)+(1)/(4)+ K(e)^(- 2 x) où K est une constante. (Réponse correcte. Cette équation peut s'écrire: (y)^(`)= - 2 y +(x)^(2)= f(x ; y)avec f(x ; y)= a(x)y + b(x). C'est donc une équation différentielle du 1^er ordre linéaire. Équation sans second membre: (y)^(`)= - 2 y Solution de l'équation sans second membre : y = C(e)^(- 2 x) Méthode de variation de la constante : y = C(x)(e)^(- 2 x) (y)^(`)=(C)^(`)(x)(e)^(- 2 x)- 2 C(x)(e)^(- 2 x)= - 2 C(x)(e)^(- 2 x)+(x)^(2) Donc: (C)^(`)(x)=(x)^(2)(e)^(2 x) Recherche de primitives de (x)^(2)(e)^(2 x) (∫)_(0)^(x)(u)^(2)(e)^(2 u)d u =((x)^(2))/(2)(e)^(2 x)-(∫)_(0)^(x)u(e)^(2 u)d u =((x)^(2))/(2)(e)^(2 x)-(x)/(2)(e)^(2 x)+(1)/(2)(∫)_(0)^(x)(e)^(2 u)d u =((x)^(2))/(2)(e)^(2 x)-(x)/(2)(e)^(2 x)+(1)/(4)(e)^(2 x)-(1)/(4) Donc C(x)=((x)^(2))/(2)(e)^(2 x)-(x)/(2)(e)^(2 x)+(1)/(4)(e)^(2 x)+ K où K est une constante. D'où la solution de l'équation différentielle : y =((x)^(2))/(2)-(x)/(2)+(1)/(4)+ K(e)^(- 2 x) où K est une constante.)
- y =((x)^(2))/(2)-(x)/(2)+(1)/(4)+(e)^(- 2 x + K) où K est une constante. (Réponse fausse. Cette équation peut s'écrire: (y)^(`)= - 2 y +(x)^(2)= f(x ; y)avec f(x ; y)= a(x)y + b(x). C'est donc une équation différentielle du 1^er ordre linéaire. Équation sans second membre: (y)^(`)= - 2 y Solution de l'équation sans second membre : y = C(e)^(- 2 x) Méthode de variation de la constante : y = C(x)(e)^(- 2 x) (y)^(`)=(C)^(`)(x)(e)^(- 2 x)- 2 C(x)(e)^(- 2 x)= - 2 C(x)(e)^(- 2 x)+(x)^(2) Donc: (C)^(`)(x)=(x)^(2)(e)^(2 x) Recherche de primitives de (x)^(2)(e)^(2 x) (∫)_(0)^(x)(u)^(2)(e)^(2 u)d u =((x)^(2))/(2)(e)^(2 x)-(∫)_(0)^(x)u(e)^(2 u)d u =((x)^(2))/(2)(e)^(2 x)-(x)/(2)(e)^(2 x)+(1)/(2)(∫)_(0)^(x)(e)^(2 u)d u =((x)^(2))/(2)(e)^(2 x)-(x)/(2)(e)^(2 x)+(1)/(4)(e)^(2 x)-(1)/(4) Donc C(x)=((x)^(2))/(2)(e)^(2 x)-(x)/(2)(e)^(2 x)+(1)/(4)(e)^(2 x)+ K où K est une constante. D'où la solution de l'équation différentielle : y =((x)^(2))/(2)-(x)/(2)+(1)/(4)+ K(e)^(- 2 x) où K est une constante.)
- y = K(((x)^(2))/(2)-(x)/(2)+(1)/(4)+(e)^(- 2 x)) où K est une constante. (Réponse fausse. Cette équation peut s'écrire: (y)^(`)= - 2 y +(x)^(2)= f(x ; y)avec f(x ; y)= a(x)y + b(x). C'est donc une équation différentielle du 1^er ordre linéaire. Équation sans second membre: (y)^(`)= - 2 y Solution de l'équation sans second membre : y = C(e)^(- 2 x) Méthode de variation de la constante : y = C(x)(e)^(- 2 x) (y)^(`)=(C)^(`)(x)(e)^(- 2 x)- 2 C(x)(e)^(- 2 x)= - 2 C(x)(e)^(- 2 x)+(x)^(2) Donc: (C)^(`)(x)=(x)^(2)(e)^(2 x) Recherche de primitives de (x)^(2)(e)^(2 x) (∫)_(0)^(x)(u)^(2)(e)^(2 u)d u =((x)^(2))/(2)(e)^(2 x)-(∫)_(0)^(x)u(e)^(2 u)d u =((x)^(2))/(2)(e)^(2 x)-(x)/(2)(e)^(2 x)+(1)/(2)(∫)_(0)^(x)(e)^(2 u)d u =((x)^(2))/(2)(e)^(2 x)-(x)/(2)(e)^(2 x)+(1)/(4)(e)^(2 x)-(1)/(4) Donc C(x)=((x)^(2))/(2)(e)^(2 x)-(x)/(2)(e)^(2 x)+(1)/(4)(e)^(2 x)+ K où K est une constante. D'où la solution de l'équation différentielle : y =((x)^(2))/(2)-(x)/(2)+(1)/(4)+ K(e)^(- 2 x) où K est une constante.)
A: y =((x)^(2))/(2)-(x)/(2)+(1)/(4)+ K(e)^(- 2 x) où K est une constante.

Q: Quelles sont, pour x ∈ ℝ, les formes générales des solutions de l'équation différentielle suivante?

((x)^(2)+ 1)(y)^(`)+ 2 x y + 1 = 0
- y =(- x + K)/((x)^(2)+ 1) où K est une constante. (Réponse correcte. Cette équation peut s'écrire: (y)^(`)=(- 2 x)/((x)^(2)+ 1)y -(1)/((x)^(2)+ 1)= f(x ; y)avec f(x ; y)= a(x)y + b(x). C'est donc une équation différentielle du 1^er ordre linéaire. Équation sans second membre: (y)^(`)=(- 2 x)/((x)^(2)+ 1)y((y)^(`))/(y)=(- 2 x)/((x)^(2)+ 1) Forme des primitives de (- 2 x)/((x)^(2)+ 1) : ln((1)/((x)^(2)+ 1))+ K Solution de l'équation sans second membre : y = C(1)/((x)^(2)+ 1) Méthode de variation de la constante : y = C(x)(1)/((x)^(2)+ 1) (y)^(`)=(C)^(`)(x)(1)/((x)^(2)+ 1)- C(x)(2 x)/((((x)^(2)+ 1))^(2))= - C(x)(2 x)/((((x)^(2)+ 1))^(2))-(1)/((x)^(2)+ 1) donc : (C)^(`)(x)(1)/((x)^(2)+ 1)= -(1)/((x)^(2)+ 1) C(x)= - x + K où K est une constante. D'où la solution de l'équation différentielle : y =(- x + K)/((x)^(2)+ 1) où K est une constante.)
- y =(- x)/((x)^(2)+ 1)+ K où K est une constante. (Réponse fausse. Cette équation peut s'écrire: (y)^(`)=(- 2 x)/((x)^(2)+ 1)y -(1)/((x)^(2)+ 1)= f(x ; y)avec f(x ; y)= a(x)y + b(x). C'est donc une équation différentielle du 1^er ordre linéaire. Équation sans second membre: (y)^(`)=(- 2 x)/((x)^(2)+ 1)y((y)^(`))/(y)=(- 2 x)/((x)^(2)+ 1) Forme des primitives de (- 2 x)/((x)^(2)+ 1) : ln((1)/((x)^(2)+ 1))+ K Solution de l'équation sans second membre : y = C(1)/((x)^(2)+ 1) Méthode de variation de la constante : y = C(x)(1)/((x)^(2)+ 1) (y)^(`)=(C)^(`)(x)(1)/((x)^(2)+ 1)- C(x)(2 x)/((((x)^(2)+ 1))^(2))= - C(x)(2 x)/((((x)^(2)+ 1))^(2))-(1)/((x)^(2)+ 1) donc : (C)^(`)(x)(1)/((x)^(2)+ 1)= -(1)/((x)^(2)+ 1) C(x)= - x + K où K est une constante. D'où la solution de l'équation différentielle : y =(- x + K)/((x)^(2)+ 1) où K est une constante.)
- y =(- K x)/((x)^(2)+ 1) où K est une constante. (Réponse fausse. Cette équation peut s'écrire: (y)^(`)=(- 2 x)/((x)^(2)+ 1)y -(1)/((x)^(2)+ 1)= f(x ; y)avec f(x ; y)= a(x)y + b(x). C'est donc une équation différentielle du 1^er ordre linéaire. Équation sans second membre: (y)^(`)=(- 2 x)/((x)^(2)+ 1)y((y)^(`))/(y)=(- 2 x)/((x)^(2)+ 1) Forme des primitives de (- 2 x)/((x)^(2)+ 1) : ln((1)/((x)^(2)+ 1))+ K Solution de l'équation sans second membre : y = C(1)/((x)^(2)+ 1) Méthode de variation de la constante : y = C(x)(1)/((x)^(2)+ 1) (y)^(`)=(C)^(`)(x)(1)/((x)^(2)+ 1)- C(x)(2 x)/((((x)^(2)+ 1))^(2))= - C(x)(2 x)/((((x)^(2)+ 1))^(2))-(1)/((x)^(2)+ 1) donc : (C)^(`)(x)(1)/((x)^(2)+ 1)= -(1)/((x)^(2)+ 1) C(x)= - x + K où K est une constante. D'où la solution de l'équation différentielle : y =(- x + K)/((x)^(2)+ 1) où K est une constante.)
A: y =(- x + K)/((x)^(2)+ 1) où K est une constante.