Title: Serie entiere
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto \dfrac{12(x-\sin x)}{x^3}\).

Quelle est la limite de \(f\) en \(0\) ?
A: 2
Feedback: Le développement en série entière de \(\sin x\) est \(\sum_{k=0}^\infty \dfrac {(-1)^kx^{2k+1} }{(2k+1)!}\) donc son développement limité en \(0\) à l’ordre 3 est \(0\) est \(\sin x=x-\dfrac {x^3}6+o(x^3)\). Donc \(x-\sin x=\dfrac {x^3}6+o(x^3)\) et \(f(x)=2+o(1)\).

Q: La fonction \(\sinh x=\dfrac {e^x-e^{-x}}2\) est développable en série entière avec \(R=+\infty\).

\(\sinh x=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k\).

Calculer ce développement à partir de celui de l’exponentielle.
- Pour \(k\) entier, \(a_{2k}=0\).
- Pour \(k\) entier, \(a_{2k+1}=\dfrac {1 }{(2k+1)!}\).
- Pour \(k\) entier, \(a_{2k}=\dfrac {1 }{(2k)!}\).
- Pour \(k\) entier, \(a_{2k}=\dfrac {1 }{2k!}\).
- Pour \(k\) entier, \(a_{2k+1}=\dfrac {1 }{2k+1}\).
- Pour \(k\) entier, \(a_{2k+1}=0\).
A: Pour \(k\) entier, \(a_{2k}=0\).; Pour \(k\) entier, \(a_{2k+1}=\dfrac {1 }{(2k+1)!}\).
Feedback: On a \(\sinh x=\dfrac {e^{x}-e^{-x}}2\). Le développement en série entière de \(e^x\) est \(\sum_{k=0}^\infty \dfrac {x^k }{k!}\). Le développement en série entière de \(e^{-x}\) est \(\sum_{k=0}^\infty \dfrac {(-1)^kx^k }{k!}\). On soustrait les deux développements et on divise par 2. Seuls les termes d’indices impairs sont conservés : Le développement en série entière de \(\sinh x\) est \(\sum_{k=0}^\infty \dfrac {x^{2k+1 }{(2k+1)!}\).

Q: Combien de termes faut-il conserver dans le développement de \(\cos\) pour calculer \(\cos(1/2)\) avec une précision de \(10^{-3}\) ? [...]

Ecrire le développement sous la forme \(\dfrac p q\) avec \(p\) et \(q\) entier sans facteur commun.

Donner la valeur de \(p\) : [...]

Donner la valeur de \(q\) : [...]
A: 3; 337; 384
Feedback: Le développement en série entière de \(\cos x\) est \(\sum_{k=0}^\infty \dfrac {(-1)^kx^{2k} }{(2k)!}\). La série est de signe alterné donc l’erreur est plus petite que le premier terme non pris en compte. Si on garde deux termes, le terme suivant est de valeur absolue \(\dfrac 1 {2^4\times 24}=2,6.10^{-3}\). Si on prend trois termes, le terme suivant est de valeur absolue \(\dfrac 1 {2^6\times 720}=2,1.10^{-4}\). On prend donc trois termes : \(1-\dfrac 1 {2^2\times 2}+\dfrac 1 {2^4\times 24}= \dfrac{337}{384}\). On peut comparer \(\cos (1/2)= 0,87758\) et \(\dfrac{337}{384}=0,87760\).

Q: Combien de termes faut-il conserver dans le développement de \(\sin\) pour calculer \(\sin(1/3)\) avec une précision de \(10^{-4}\) ? [...]

Ecrire le développement sous la forme \(\dfrac p q\) avec \(p\) et \(q\) entier sans facteur commun.

Donner la valeur de \(p\) : [...]

Donner la valeur de \(q\) : [...]
A: 3; 9541; 29160
Feedback: Le développement en série entière de \(\sin x\) est \(\sum_{k=0}^\infty \dfrac {(-1)^kx^{2k+1} }{(2k+1)!}\). La série est de signe alterné donc l’erreur est plus petite que le premier terme non pris en compte. Si on garde deux termes, le terme suivant est de valeur absolue \(\dfrac 1 {2^5\times 120}=2,6.10^{-4}\). Si on prend trois termes, le terme suivant est de valeur absolue \(\dfrac 1 {2^7\times 5040}=1,6.10^{-6}\). On prend donc trois termes : \(\dfrac 13-\dfrac 1 {3^3\times 6}+\dfrac 1 {3^5\times 120}= \dfrac{9541}{29160}\). On peut comparer \(\sin (1/3)= 0,32719469\) et \(\dfrac{9541}{29160}=0,32719478\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto e^{x^2}\). La fonction \(f\) est développable en série entière avec \(R=+\infty\).

\(f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k\).

Calculer ce développement à partir de celui de l’exponentielle.
- Pour \(k\) entier, \(a_{2k}=0\).
- Pour \(k\) entier, \(a_{2k+1}=\dfrac {1 }{(k+1/2)!}\).
- Pour \(k\) entier, \(a_{2k}=\dfrac {1 }{(k/2)!}\).
- Pour \(k\) entier, \(a_{2k}=\dfrac {1 }{k!}\).
- Pour \(k\) entier, \(a_{2k+1}=\dfrac {1 }{2k+1}\).
- Pour \(k\) entier, \(a_{2k+1}=0\).
A: Pour \(k\) entier, \(a_{2k}=\dfrac {1 }{(k/2)!}\).; Pour \(k\) entier, \(a_{2k+1}=0\).
Feedback: Le développement en série entière de \(e^x\) est $_{k=0}^. Par composition avec \(x^2\), le développement en série entière de \(e^{x^2}\) est $_{k=0}^. Seuls les termes d’indices pairs sont non nuls mais la factorielle est \(k!\) et plus \((2k)!\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(]-1,+\infty[\) dans \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto \log(1-x^2)\). La fonction \(f\) est développable en série entière avec \(R=1\).

\(f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k\).

Calculer ce développement à partir de celui du logarithme.
- \(a_0=0\).
- Pour \(k\) entier, \(a_{2k}=0\).
- Pour \(k\) entier, \(a_{2k+1}=\dfrac {1 }{(k+1/2)!}\).
- Pour \(k\) entier, \(a_{2k}=\dfrac {1 }{(k/2)!}\).
- Pour \(k\) entier, \(a_{2k}=\dfrac {1 }{k!}\).
- Pour \(k>0\) entier, \(a_{2k}=-\dfrac {1 }{k}\).
- Pour \(k\) entier, \(a_{2k+1}=0\).
A: \(a_0=0\).; Pour \(k>0\) entier, \(a_{2k}=-\dfrac {1 }{k}\).; Pour \(k\) entier, \(a_{2k+1}=0\).
Feedback: Le développement en série entière de \(\log(1-x)\) est $-_{k=1}^. Par composition avec \(x^2\), le développement en série entière de \(\log(1-x^2)\) est $_{k=1}^. Seuls les termes d’indices pairs sont non nuls mais le dénominateur est \(k\) et non \(2k\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(]-1,+\infty[\) dans \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto \dfrac{e^x-1-x}{\log(1+x)-x}\).

Quelle est la limite de \(f\) en \(0\) ?
A: 1
Feedback: Le développement en série entière de \(e^x\) est \(\sum_{k=0}^\infty \dfrac {x^k }{k!}\) donc son développement limité en \(0\) à l’ordre 2 est \(e^x=1+x+\dfrac {x^2}2+o(x^2)\). Le développement en série entière de \(\log(1+x)\) est \(\sum_{k=1}^\infty \dfrac {(-1)^{k+1}x^k }{k!}\) donc son développement limité en \(0\) à l’ordre 2 est \(\log(1+x)=x-\dfrac {x^2}2+o(x^2)\). Donc \(e^x-1-x=\dfrac {x^2}2+o(x^2)\), \(\log(1+x)=x-\dfrac {x^2}2+o(x^2)\) et \(f(x)=1+o(1)\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto \dfrac{\cos x-1}{e^x-1-x}\).

Quelle est la limite de \(f\) en \(0\) ?
A: -1
Feedback: Le développement en série entière de \(\cos x\) est \(\sum_{k=0}^\infty \dfrac {(-1)^kx^{2k} }{(2k)!}\) donc son développement limité en \(0\) à l’ordre 2 est \(\cos x=1-\dfrac {x^2}2+o(x^2)\). Le développement en série entière de \(e^x\) est \(\sum_{k=0}^\infty \dfrac {x^k }{k!}\) donc son développement limité en \(0\) à l’ordre 2 est \(e^x=1+x+\dfrac {x^2}2+o(x^2)\). Donc \(\cos x-1=-\dfrac {x^2}2+o(x^2)\), \(e^x-1-x=\dfrac {x^2}2+o(x^2)\) et \(f(x)=-1+o(1)\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto \dfrac{x^3}{\arctan x-x}\).

Quelle est la limite de \(f\) en \(0\) ?
A: -3
Feedback: Le développement en série entière de \(\arctan x\) est \(\sum_{k=0}^\infty \dfrac {(-1)^{k}x^{2k+1} }{(2k+1)!}\) donc son développement limité en \(0\) à l’ordre 3 est \(\arctan x=x-\dfrac {x^3}3+o(x^3)\). Donc \(\arctan x-x=-\dfrac {x^3}3+o(x^3)\) et \(f(x)=-3+o(1)\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(]-1,+\infty[\) dans \(\mathbb{R}\) par \(x^2 \mapsto \dfrac{x}{1+\dfrac x2-\sqrt{1+x} }\).

Quelle est la limite de \(f\) en \(0\) ?
A: 8
Feedback: Le développement en série entière de \((1+x)^a\) est \(1+ax+\sum_{k=2}^\infty \dfrac {a(a-1)\cdot(a-k+1)x^{k} }{k!}\) donc pour \(a = 1/2\) le développement limité en \(0\) à l’ordre \(2\) est \(\sqrt{1+x}=1+\dfrac {x}2-\dfrac {x^2}8+o(x)\). Donc \(1+\dfrac x2-\sqrt{1+x}=\dfrac {x^2}8+o(x)\) et \(f(x)=8+o(1)\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(]-1,+\infty[\) dans \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto \dfrac{3x^2}{1-\dfrac {3x}2-(1-x)^{3/2} }\).

Quelle est la limite de \(f\) en \(0\) ?
A: -8
Feedback: Le développement en série entière de \((1-x)^a\) est \(1-ax+\sum_{k=2}^\infty \dfrac {a(a-1)\cdot(a-k+1)(-x)^{k} }{k!}\) donc pour \(a = 3/2\) le développement limité en \(0\) à l’ordre 1 est \((1-x)^{3/2}=1-\dfrac {3x}2+\dfrac {3x}8+o(x)\). Donc \(1-\dfrac {3x}2-(1-x)^{3/2}=-\dfrac {3x^2}8+o(x)\) et \(f(x)=-8+o(1)\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(]-1,+\infty[\) dans \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto \dfrac{\cos x-1}{1-\sqrt{1+x} }\).

Quelle est la limite de \(f\) en \(0\) ?
A: -4
Feedback: Le développement en série entière de \(\cos x\) est \(\sum_{k=0}^\infty \dfrac {(-1)^kx^{2k} }{(2k)!}\) donc son développement limité en \(0\) à l’ordre 2 est \(\cos x=1-\dfrac {x^2}2+o(x^2)\). Le développement en série entière de \((1+x)^a\) est \(1-ax+\sum_{k=2}^\infty \dfrac {a(a-1)\cdot(a-k+1)^{k}x^{k} }{k!}\) donc pour \(a = 1/2\) le développement limité en \(0\) à l’ordre 2 est \(\sqrt{1+x}=1+\dfrac {x}2-\dfrac {x^2}8+o(x)\). Donc \(\cos x-1=-\dfrac {x^2}2+o(x^2)\), \(1+\dfrac {x}2-\sqrt{1+x}=\dfrac {x^2}8+o(x)\) et \(f(x)=-4+o(1)\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(]-1,+\infty[\) dans \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto \dfrac{3x^2}{1-(1+x^2)^{3/2} }\).

Quelle est la limite de \(f\) en \(0\) ?
A: -2
Feedback: Le développement en série entière de \((1+x)^a\) est \(1+ax+\sum_{k=2}^\infty \dfrac {a(a-1)\cdot(a-k+1)^{k}x^{k} }{k!}\). En composant avec \(x^2\), on obtient \((1+x^2)^a=1+ax^2+\sum_{k=2}^\infty \dfrac {a(a-1)\cdot(a-k+1)^{k}x^{2k} }{k!}\). Donc pour \(a = 3/2\) le développement limité en \(0\) à l’ordre 2 est \((1+x^2)^{3/2}=1+\dfrac {3x^2}2+o(x^2)\). \(1-(1+x^2)^{3/2}=-\dfrac {3x^2}2+o(x^2)\) et \(f(x)=-2+o(1)\).

Q: La fonction \(\cosh x=\dfrac {e^x+e^{-x}}2\) est développable en série entière avec \(R=+\infty\).

\(\cosh x=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k\).

Calculer ce développement à partir de celui de l’exponentielle.
- Pour \(k\) entier, \(a_{2k}=0\).
- Pour \(k\) entier, \(a_{2k+1}=\dfrac {1 }{(2k+1)!}\).
- Pour \(k\) entier, \(a_{2k}=\dfrac {1 }{(2k)!}\).
- Pour \(k\) entier, \(a_{2k}=\dfrac {1 }{2k!}\).
- Pour \(k\) entier, \(a_{2k+1}=\dfrac {1 }{2k+1}\).
- Pour \(k\) entier, \(a_{2k+1}=0\).
A: Pour \(k\) entier, \(a_{2k}=\dfrac {1 }{(2k)!}\).; Pour \(k\) entier, \(a_{2k+1}=0\).
Feedback: On a \(\cosh x=\dfrac {e^{x}+e^{-x}}2\). Le développement en série entière de \(e^x\) est $_{k=0}^. Le développement en série entière de \(e^{-x}\) est $_{k=0}^. On somme les deux développements et on divise par 2. Seuls les termes d’indices pairs sont conservés : Le développement en série entière de \(\cosh x\) est $_{k=0}^\dfrac {x^{2k }{(2k)!}.