Title: Système d'équations linéaires
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: Un système est homogène lorsque au moins l’un des coefficients du second membre est nul.
- Vrai.
- Faux.
A: Faux.
Feedback: Un système est homogène lorsque TOUS les coefficients du second membre sont nuls.

Q: Soit le système ( { \[\begin{array}{lcc} x-y & = & -1 \\ x+y & = & 1 \\ y & = & 2 \end{array}\]

.). Combien y a t’il de solutions ?
- Zéro solution.
- Une solution.
- une infinité de solutions.
A: Zéro solution.
Feedback: Le système n’a pas de solutions.

Q: Soit le système ( { \[\begin{array}{lcc} x-y & = & -1 \\ x+y & = & 1 \\ y & = & 1 \end{array}\]

.). Combien y a t’il de solutions ?
- Zéro solution.
- Une solution.
- une infinité de solutions.
A: Une solution.
Feedback: Le système admet une solution unique : la solution de ses deux premières équations vérifie la troisième.

Q: Soit le système ( { \[\begin{array}{lcc} x-y & = & -1 \\ 2x-2y & = & -2 \\ -x+y & = & 1 \end{array}\]

.). Combien y a t’il de solutions ?
- Zéro solution.
- Une solution.
- une infinité de solutions.
A: une infinité de solutions.
Feedback: Le système admet une infinité de solutions car ses tros équations sont équivalentes.

Q: On rappelle qu’une équation linéaire à 3 inconnues \(x,y,z\) est l’équation d’un plan dans l’espace. On considère le systme suivant : ( { \[\begin{array}{lcc} x+y+z & = & 1 \\ -x-y-z & = & -1 \end{array}\]

.). Sélectionnez la réponse correcte.
- Les deux équations du système représentent le même plan.
- Les équations du système correspondent à deux plans parallèles.
- La solution du système correspond à l’équation d’une droite affine.
A: Les deux équations du système représentent le même plan.
Feedback: Les deux équations du système représentent le même plan. L’ensemble des solutions du système est ce plan.

Q: On rappelle qu’une équation linéaire à 3 inconnues \(x,y,z\) est l’équation d’un plan dans l’espace. On considère le systme suivant : ( { \[\begin{array}{lcc} x+y+z & = & 1 \\ -x-y-z & = & 1 \end{array}\]

.). Sélectionnez la réponse correcte.
- Les deux équations du système représentent le même plan.
- Les équations du système correspondent à deux plans parallèles.
- La solution du système correspond à l’équation d’une droite affine.
A: Les équations du système correspondent à deux plans parallèles.
Feedback: Les équations du système correspondent à deux plans parallèles. Le systèm n’admet aucune solution.

Q: On rappelle qu’une équation linéaire à 3 inconnues \(x,y,z\) est l’équation d’un plan dans l’espace. On considère le systme suivant : ( { \[\begin{array}{lcc} x+y+z & = & 1 \\ x-y+z & = & -1 \end{array}\]

.). Sélectionnez la réponse correcte.
- Les deux équations du système représentent le même plan.
- Les équations du système correspondent à deux plans parallèles.
- La solution du système correspond à lune droite affine.
A: La solution du système correspond à lune droite affine.
Feedback: La solution du système correspond à une droite affine.

Q: Quels sont les coordonnées du point d’intersection des deux droites d’équations : ( { \[\begin{array}{lcc} 4x-3y & = & 84 \\ 5x+7y & = & 19 \end{array}\]

.) ?

1. Entrer l’abscisse dans la case suivante : [...]
2. Entrer l’ordonnée dans la case suivante : [...]
A: 15; -8
Feedback: On applique le pivot de Gauss : ( L_2 L_2- L_1 ) : ( { \[\begin{array}{lcc} 4x-3y & = & 84 \\ \frac{43}{4}y & = & -86 \end{array}\] .). Donc \(y=-8\) et \(x=15\). 1. \(x=15\) 2. \(y=-8\)

Q: Quels sont les coordonnées du point d’intersection des deux droites d’équations : ( { \[\begin{array}{lcc} x-y & = & 2 \\ -2x+3y & = & 5 \end{array}\]

.) ?

1. Entrer l’abscisse dans la case suivante : [...]
2. Entrer l’ordonnée dans la case suivante : [...]
A: 11; 9
Feedback: On applique le pivot de Gauss : ( L_2 L_2 + L_1 ) : ( { \[\begin{array}{lcc} x-y & = & 2 \\ y & = & 9 \end{array}\] .). Donc \(y=9\) et \(x=11\). 1. \(x=11\) 2. \(y=9\)

Q: Soit le système linéaire : ( { \[\begin{array}{lcc} x-\alpha y & = & 1 \\ \alpha x -y & = & 1 \end{array}\]

.). Déterminez la valeur de \(\alpha\) de telle sorte que ce système possède une infinité de solutions.

1. Entrer la valeur de \(\alpha\) : [...]
A: 1
Feedback: On applique le pivot de Gauss : ( L_2 L_2 -L_1 ) : ( { \[\begin{array}{lcc} x - \alphha y & = & 1 \\ (\alpha^2-1)y & = & -(\alpha-1) \end{array}\] .). Donc si \(\alpha=1\), le système possède une infinité de solutions. 1. \(\alpha=1\).

Q: Soit le système linéaire : ( { \[\begin{array}{lcc} x-\alpha y & = & 1 \\ \alpha x -y & = & 1 \end{array}\]

.). Déterminez la valeur de \(\alpha\) de telle sorte que ce système ne possède aucune solution.

1. Entrer la valeur de \(\alpha\) : [...]
A: -1
Feedback: On applique le pivot de Gauss : ( L_2 L_2 -L_1 ) : ( { \[\begin{array}{lcc} x - \alphha y & = & 1 \\ (\alpha^2-1)y & = & -(\alpha-1) \end{array}\] .). Donc si \(\alpha=-1\), le système ne possède aucune solution. 1. \(\alpha=-1\).

Q: Soit le système linéaire : ( { \[\begin{array}{lcc} x-\alpha y & = & 1 \\ \alpha x -y & = & 1 \end{array}\]

.). On suppose que \(\alpha \not in \{ -1 ; 1 \}\). Le système admet-il une solution unique qui est : \(x=\frac{1}{\alpha+1}\) et \(y=-\frac{1}{\alpha+1}\) ?
- Vrai.
- Faux.
A: Vrai.
Feedback: On applique le pivot de Gauss : ( L_2 L_2 -L_1 ) : ( { \[\begin{array}{lcc} x - \alphha y & = & 1 \\ (\alpha^2-1)y & = & -(\alpha-1) \end{array}\] .). Donc si \(\alpha \not in \{-1;1\}\), la solution est \(x=\frac{1}{\alpha+1}\) et \(y=-\frac{1}{\alpha+1}\).