Title: Taylor plusieurs variables
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{ R}^{3}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[(x,y,z) \mapsto xy +yz + zx\]

1. La fonction \(f\) admet des dérivées partielles en tout point \((x,y,z)\) et on a : \[\forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y,z) + \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y,z) + \dfrac{\partial f}{\partial z} (x,y,z) = ax + by +cz\]

où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des réels.

Entrer la valeur du réel \[a\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[b\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[c\] dans la case suivante : [...]
A: 2; 2; 2
Feedback: Soit \(D_{ƒ}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\), on remarque que \(D_{f} = \mathbb{R}^{3}\). On a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y,z) & = & y + z \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y,z) & = & x + z \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{ \partial z} (x,y,z) & = & y + x \\ \end{eqnarray*}\] D’où : \[ \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y,z) +\dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y,z) + \dfrac{\partial f}{\partial z} (x,y,z) = 2x + 2y + 2z\]

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{ R}^{3}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[(x,y,z) \mapsto \left \{ \begin{array}{ccc} \rule[-4 pt]{0pt}{26pt} \dfrac {xyz }{ x^{2} + y^{4} + y^{4}} & \mbox{si} & (x,y,z) \neq (0,0,0) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{26pt} 0 & \mbox{si} & (x,y,z) = (0;0,0) \\ \end{array} \right .\]

La fonction \(f\) admet des dérivées partielles en \((0,0;0)\) et on a :

\[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial x} (0,0,0) & = & a \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (0,0,0) & = & b \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{ \partial z} (0,0,0) & = & c \\ \end{eqnarray*}\]

où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des réels.

Entrer la valeur du réel \[a\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[b\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[c\] dans la case suivante : [...]
A: 0; 0; 0
Feedback: Soit \(D_{ƒ}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\), on remarque que \(D_{f} = \mathbb{R}^{3}\). On a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \lim_{ h \to 0} { \dfrac{f(0+h,0,0) - f(0,0,0)}{h} }& = & \lim_{ h \to 0} { 0} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 0 \\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que \(\dfrac{\partial f}{\partial x} (0,0,0)\) existe et on a : \(\dfrac{\partial f}{\partial x} (0,0,0) = 0\). De même on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \lim_{ h \to 0} { \dfrac{f(0,0 + h,0) - f(0,0,0)}{h} }& = & \lim_{ h \to 0} { 0} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 0 \\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que \(\dfrac{\partial f}{\partial y} (0,0,0)\) existe et on a : \(\dfrac{\partial f}{\partial y} (0,0,0) = 0\). Enfin il vient : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \lim_{ h \to 0} { \dfrac{f(0,0,0 + h) - f(0,0,0)}{h} }& = & \lim_{ h \to 0} { 0} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 0 \\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que \(\dfrac{\partial f}{\partial z} (0,0,0)\) existe et on a : \(\dfrac{\partial f}{\partial z} (0,0,0) = 0\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{ R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[(x,y) \mapsto \left \{ \begin{array}{ccc} \rule[-4 pt]{0pt}{26pt} \dfrac { \sin x^{2} - \sin y^{2} }{ x^{2} + y^{2} } & \mbox{si} & (x,y) \neq (0,0) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{26pt} 0 & \mbox{si} & (x,y) = (0;0) \\ \end{array} \right .\]

La fonction \(f\) admet des dérivées partielles en \((0,0)\) et on a :

\[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial x} (0,0) & = & a \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (0,0) & = & b \\ \end{eqnarray*}\]

où \(a\) et \(b\) sont des réels.

Entrer la valeur du réel \[a\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[b\] dans la case suivante : [...]
A: 1; -1
Feedback: Soit \(D_{ƒ}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\), on remarque que \(D_{f} = \mathbb{R}^{2}\). On a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \lim_{ h \to 0} { \dfrac{f(0+h,0) - f(0,0)}{h} }& = & \lim_{ h \to 0} { \dfrac{ \sin h^{2}}{h^{2} }}\\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 1 \qquad \mbox{car} \quad \lim_{h \to 0}{ h^{2} } = 0 \quad \mbox{ et } \quad \lim_{ u \to 0}{ \dfrac{ \sin u}{ u} } = 1 \\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que \(\dfrac{\partial f}{\partial x} (0,0)\) existe et on a : \(\dfrac{\partial f}{\partial x} (0,0) = 1\). On a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \lim_{ h \to 0} { \dfrac{f(0,0 + h ) - f(0,0)}{h} }& = & \lim_{ h \to 0} { \dfrac{- \sin h^{2}}{h^{2} }}\\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & -1 \qquad \mbox{car} \quad \lim_{h \to 0}{ h^{2} } = 0 \quad \mbox{ et } \quad \lim_{ u \to 0}{ \dfrac{ \sin u}{ u} } = 1 \\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que \(\dfrac{\partial f}{\partial y} (0,0)\) existe et on a : \(\dfrac{\partial f}{\partial y} (0,0) = -1\).

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{ R}^{3}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[(x,y,z) \mapsto e^{ \left ( x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} \right ) } \]

1. La fonction \(f\) admet des dérivées partielles en tout point \((x,y,z)\) de \(\mathbb{R}^{3}\) et on a : \[\forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y,z) + \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y,z) + \dfrac{\partial f}{\partial z} (x,y,z) = \left ( ax+ by +cz \right ) \, f(x,y,z)\]

où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des réels.

Entrer la valeur du réel \[a\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[b\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[c\] dans la case suivante : [...]
A: 2; 4; 6
Feedback: Soit \(D_{ƒ}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\), on remarque que \(D_{f} = \mathbb{R}^{3}\). On a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y,z) & = & 2x \, e^{ \left ( x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} \right ) } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y,z) & = & 4y \, e^{ \left ( x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} \right ) } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{ \partial z} (x,y,z) & = & 6z \, e^{ \left ( x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} \right ) } \\ \end{eqnarray*}\] D’où : \[\forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y,z) +\dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y,z) + \dfrac{\partial f}{\partial z} (x,y,z) = (2x + 4y + 6z) \, f(x,y,z) \]

Q: On considère la fonction \(\varphi\) définie de \(\mathbb{ R}^{3}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[(x,y,z) \mapsto x^{2} +y^{2} + z^{2}\]

1. La fonction \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{3}\) et si on note $ H_{(x,y,z)} $ la hessienne de \(\varphi\) au point \((x,y,z)\) on a : \[\forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad H_{(x,y,z)} = \left( \begin{array}{rrr} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\\ \end{array} \right) \]

où \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\), \(g\), \(h\) et \(i\) sont des réels.

Entrer la valeur du réel \[a\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[b\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[c\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[d\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[e\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[f\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[g\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[h\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[i\] dans la case suivante : [...]
A: 2; 0; 0; 0; 2; 0; 0; 0; 2
Feedback: Soit \(D_{\varphi}\) l’ensemble de définition de la fonction \(\varphi\), on remarque que \(D_{\varphi} = \mathbb{R}^{3}\) Par ailleurs la fonction \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{3}\) comme fonction polynomiale. On a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial \varphi}{\partial x} (x,y,z) & = & 2x \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} (x,y,z) & = & 2y \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial \varphi}{ \partial z} (x,y,z) & = & 2z \\ \end{eqnarray*}\] D’où : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} \varphi }{\partial x^{2}} (x,y,z) & = & 2 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} \varphi }{\partial y^{2}} (x,y,z) & = & 2 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} \varphi }{\partial z^{2}} (x,y,z) & = & 2 \\ \end{eqnarray*}\] et \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} \varphi }{\partial x \partial y } (x,y,z) & = & \dfrac{\partial^{2} \varphi }{\partial y \partial x } (x,y,z) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} \varphi }{\partial x \partial z } (x,y,z) & = & \dfrac{\partial^{2} \varphi }{\partial z \partial x } (x,y,z) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} \varphi }{\partial y \partial z } (x,y,z) & = & \dfrac{\partial^{2} \varphi }{\partial z \partial y } (x,y,z) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 0 \\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que : \[\forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad H_{(x,y,z)} = \left( \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\\ \end{array} \right) \]

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{ R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[(x,y) \mapsto \ln \left ( e^{x} + e^{y} \right )\]

La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) et si on note $ H_{(x,y)} $ la hessienne de \(f\) au point \((x,y)\) on a : \[\forall \alpha \in \mathbb{R} \qquad \qquad H_{(\alpha, \alpha)} = \left( \begin{array}{rr} a & -a \\ -a & a \\ \end{array} \right) \]

avec \(a = \dfrac{n}{p}\) où \(n\) et \(p\) sont deux entiers naturels tels que la fraction \(\dfrac{n}{p}\) soit irréductible.

Entrer la valeur de l’entier naturel \[n\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier naturel \[p\] dans la case suivante : [...]
A: 1; 4
Feedback: Soit \(D_{ƒ}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\), on remarque que \(D_{f} = \mathbb{R}^{2}\) car \(\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2}, \quad e^{x} + e^{y} > 0\). Par ailleurs la fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) et on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y) & = & \dfrac{e^{x} } {e^{x} + e^{y}} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) & = & \dfrac{e^{y} } {e^{x} + e^{y}} \\ \end{eqnarray*}\] D’où : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (x,y) & = & \dfrac{e^{x}\left (e^{x} + e^{y} \right) -e^{x}e^{x} } { \left ( e^{x} + e^{y} \right )^{2} } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \ & = & \dfrac{e^{x} e^{y} } { \left ( e^{x} + e^{y} \right )^{2} } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} (x,y) & = & \dfrac{e^{y}\left (e^{x} + e^{y} \right) -e^{y}e^{y} } { \left ( e^{x} + e^{y} \right )^{2} } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \ & = & \dfrac{e^{x} e^{y} } { \left ( e^{x} + e^{y} \right )^{2} } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y } (x,y) & = & -e^{y} \dfrac{e^{x} } { \left ( e^{x} + e^{y} \right )^{2} } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \ & = & -\dfrac{e^{x} e^{y} } { \left ( e^{x} + e^{y} \right )^{2} } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x } (x,y) & = & -e^{x} \dfrac{e^{y} } { \left ( e^{x} + e^{y} \right )^{2} } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \ & = & -\dfrac{e^{x} e^{y} } { \left ( e^{x} + e^{y} \right )^{2} } \\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall \alpha \in \mathbb{R} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} ( \alpha, \alpha) & = & \dfrac{e^ { \alpha } e^{ \alpha} } { \left ( e^{ \alpha} + e^{ \alpha} \right )^{2} } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \dfrac{ \left ( e^ { \alpha } \right )^{2} } { 4 \left ( e^{ \alpha} \right )^{2} } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \dfrac{1 } {4} \\ \end{eqnarray*}\] De même on obtient : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall \alpha \in \mathbb{R} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} ( \alpha, \alpha) & = & \dfrac{1 } {4} \\ \end{eqnarray*}\] \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall \alpha \in \mathbb{R} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y} ( \alpha, \alpha) & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x} ( \alpha, \alpha) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & - \dfrac{1 } {4} \\ \end{eqnarray*}\] \[\forall \alpha \in \mathbb{R} \qquad \qquad H_{(\alpha, \alpha)} = \left( \begin{array}{rr} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} \dfrac{1}{4} & - \dfrac{1}{4} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} - \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} \\ \end{array} \right) \]

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{ R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[(x,y) \mapsto \left \{ \begin{array}{ccc} \rule[-4 pt]{0pt}{26pt} \dfrac { xy^{3} }{ x^{2} + y^{2} } & \mbox{si} & (x,y) \neq (0,0) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{26pt} 0 & \mbox{si} & (x,y) = (0;0) \\ \end{array} \right .\]

1. La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2} \setminus \{ (0,0) \}\) (V pour vrai F pour faux) : [...]
2. La fonction \(f\) admet des dérivées partielles \(\dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y}\) et \(\dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x}\) en \((0,0)\) et on a :

\[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y}(0,0) & = & a \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x}(0,0) & = & b \\ \end{eqnarray*}\]

où \(a\) et \(b\) sont des réels.

Entrer la valeur du réel \[a\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[b\] dans la case suivante : [...]
A: V / v; 0; 1
Feedback: Soit \(D_{ƒ}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\), on remarque que \(D_{f} = \mathbb{R}^{2}\) car \(x^{2} + y^{2} =0 \Longleftrightarrow. (x,y) =(0,0)\). La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2} \setminus \{ (0,0) \}\) comme quotient de deux fonctions polynômes. On a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \setminus \{ (0,0) \} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y) & = & y^{3} \left ( \dfrac{ 1 . \left ( x^{2} + y^{2} \right ) - x (2x) }{ \left ( x^{2} + y^{2} \right ) ^{2} } \right ) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \dfrac{ y^{3} \left ( y^{2} - x^{2} \right ) }{ \left ( x^{2} + y^{2} \right ) ^{2} } \\ \end{eqnarray*}\] \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \setminus \{ (0,0) \} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) & = & x \left ( \dfrac{ 3y^{2} \left ( x^{2} + y^{2} \right ) - y^{3} (2y) }{ \left ( x^{2} + y^{2} \right ) ^{2} } \right ) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \dfrac{ xy^{2} \left ( 3x^{2} + y^{2} \right ) }{ \left ( x^{2} + y^{2} \right ) ^{2} } \\ \end{eqnarray*}\] Par ailleurs on a aussi : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \lim_{ h \to 0} { \dfrac{f(0+h,0) - f(0,0)}{h} }& = & \lim_{ h \to 0} { 0 }\\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 0 \\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que \(\dfrac{\partial f}{\partial x} (0,0)\) existe et on a : \(\dfrac{\partial f}{\partial x} (0,0) = 0\). et de plus \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \lim_{ h \to 0} { \dfrac{f(0,0 + h ) - f(0,0)}{h} }& = & \lim_{ h \to 0} { 0 }\\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 0 \\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que \(\dfrac{\partial f}{\partial y} (0,0)\) existe et on a : \(\dfrac{\partial f}{\partial y} (0,0) = 0\). Pour finir on a ; \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \lim_{ h \to 0} { \dfrac{ \rule[-10 pt]{0pt}{10pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (0+h,0) - \dfrac{\partial f}{\partial y} (0,0)}{h} }& = & \lim_{ h \to 0} { \dfrac{ 0-0 } {h} }\\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \lim_{ h \to 0} { 0 }\\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 0 \\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que \(\dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y}(0,0)\) existe et on a : \(\dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y}(0,0) = 0\) et de même : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \lim_{ h \to 0} { \dfrac{ \rule[-10 pt]{0pt}{10pt} \dfrac{\partial f}{\partial x} (0,0 + h ) - \dfrac{\partial f}{\partial x} (0,0)}{h} }& = & \lim_{ h \to 0} { \dfrac{ 1 } {h} \left ( \dfrac{ h^{3} h^{2}}{\left ( h^{2} \right ) ^{2}} - 0 \right ) } \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \lim_{ h \to 0} { 1 }\\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 1 \\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que \(\dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x}(0,0)\) existe et on a : \(\dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x}(0,0) = 1\)

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{ R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[(x,y) \mapsto \sin x + (y-1)^{2} \]

La fonction \(f\) admet un développement limité d’ordre 2 au point \(A = (0,2)\) donné par :

\[\mbox{pour } (h,k) \mbox{ voisin de } (0,0), \qquad f(h,2 + k) = a + bh + ck + dk^{2} + \left ( h^{2} + k^{2} \right ) \,\varepsilon(h,k)\]

avec \(\displaystyle{ \lim_{(h,k) \to (0,0)} { \varepsilon(h,k) } } = 0\) et où \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) sont des réels.

Entrer la valeur du réel \[a\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[b\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[c\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[d\] dans la case suivante : [...]
A: 1; 1; 2; 1

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{ R}^{3}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[(x,y,z) \mapsto x^{2} + y^{2} +z^{2} - 2xyz \]

La fonction \(f\) admet un développement limité d’ordre 2 au point \(A = (0,1,0)\) donné par :

\[\mbox{pour } (h,k,l) \mbox{ voisin de } (0,0,0), \qquad f(h,1 + k,l) = a + bh + ck + \alpha h^{2} + \beta k(2) + \gamma l^{2} + \delta hl + \left ( h^{2} + k^{2} + l^{2} \right ) \,\varepsilon(h,k,l)\]

avec \(\displaystyle{ \lim_{(h,k,l ) \to (0,0,0)} { \varepsilon(h,k,l ) } } = 0\) et où \(a\), \(b\), \(c\), \(\alpha\), \(\beta\) ,\(\gamma\) et \(\delta\) sont des réels.

Entrer la valeur du réel \[a\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[b\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[c\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[\alpha\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[\beta\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[\gamma\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[\delta\] dans la case suivante : [...]
A: 1; 0; 1; 1; 1; 1; -2
Feedback: Soit \(D_{ƒ}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\), on remarque que \(D_{f} = \mathbb{R}^{3}\). La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{3}\) comme polynôme. On a : \(f(0,1,0) = 1\) De plus : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{40pt} \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y,z) & = & 2x - 2yz \\ \rule[-4 pt]{0pt}{40pt} \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y,z) & = & 2y - 2xz \\ \rule[-4 pt]{0pt}{40pt} \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial z} (x,y,z) & = & 2z - 2xy \\ \end{eqnarray*}\] on en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial x} (0,1,0) & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{40pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (0,1,0) & = & 2 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{40pt} \dfrac{\partial f}{\partial z} (0,1,0) & = & 0 \\ \end{eqnarray*}\] On a aussi : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (x,y,z) & = & 2 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{40pt} \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} (x,y,z) & = & 2 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{40pt} \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial z^{2}} (x,y,z) & = & 2 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{40pt} \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y } (x,y,z) & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x } (x,y,z) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & -2z\\ \rule[-4 pt]{0pt}{40pt} \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial z } (x,y,z) & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial z \partial x } (x,y,z) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & -2y\\ \rule[-4 pt]{0pt}{40pt} \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial z } (x,y,z) & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial z \partial y } (x,y,z) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & -2x\\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (0,1,0) & = & 2 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{40pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} (0,1,0) & = & 2 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{40pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial z^{2}} (0,1,0) & = & 2 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{40pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y } (0,1,0) & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x } (0,1,0) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 0\\ \rule[-4 pt]{0pt}{40pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial z } (0,1,0) & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial z \partial x } (0,1,0) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & -2\\ \rule[-4 pt]{0pt}{40pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial z } (0,1,0) & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial z \partial y } (0,1,0) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 0\\ \end{eqnarray*}\] On rappelle que le développement limité de \(f\) à l’ordre 2 au point \(A = (0,1,0)\) est donné par : \[\mbox{pour } H \mbox{voisin de } (0,0,0), \qquad f( A + H) = f(A) + \langle \nabla f_{A}, H \rangle + \dfrac{1}{2} \, H \, H_{A} \, ^{t}H + \|H \|^{2} \varepsilon(H)\] où \(\displaystyle{ \lim_{(h,k,l) \to (0,0,0)} { \varepsilon(h,k ,l) } } = 0\), \(\nabla f_{A}\) désigne le gradient de la fonction \(f\) au point \(A\), \(H_{A}\) est la hessienne de \(f\) en \(A\) et on note \(H = (h,k,l)\) et $ |H |= $. D’après ce qui précède on a : \[f(0,1,0) = 1 \qquad \nabla f_{A} = ( 0,2,0) \qquad H_{(0,1,0)} = \left( \begin{array}{rrr} 2 & 0& -2 \\ 0 & 2 &0 \\ -2&0&2 \\ \end{array} \right) \] d’où \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} \langle \nabla f_{A}, H \rangle & = & \langle (0,2,0) , (h,k,l) \rangle \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & 2k \\ \end{eqnarray*}\] et \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} H \, H_{A} \, ^{t}H & = & (h,k,l) \left( \begin{array}{rrr} 2 & 0& -2 \\ 0 & 2 &0 \\ -2&0&2 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} h \\ k \\ l \\ \end{array} \right) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & (2h-2l,2k,-2h + 2 l) \left( \begin{array}{r} h \\ k \\ l \\ \end{array} \right) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & 2h^{2} -2lh + 2k^{2} - 2hl + 2l^{2} \end{eqnarray*}\] On obtient enfin le développement limité à l’ordre 2 de \(f\) au point \(A = (0,1,0)\) \[\mbox{pour } (h,k,l) \mbox{ voisin de } (0,0,0), \qquad f(h,1 + k,l) = 1 + 2k + \dfrac{1}{2} \left ( 2h^{2} + 2k^{2} + 2l^{2} -4 hl \right ) + \left ( h^{2} + k^{2} + l^{2} \right ) \,\varepsilon(h,k,l)\] avec \(\displaystyle{ \lim_{(h,k,l) \to (0,0,0)} { \varepsilon(h,k,l) } } = 0\)

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{ R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[(x,y) \mapsto x \ln y - y \ln x \]

1. On note \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), déterminer la lettre qui correspond à la bonne réponse.

1. \(D_{f}= \mathbb{R}^{2}\)
2. \(D_{f}= \left ( \mathbb{R}_{+} \right )^{2}\)
3. $D_{f}= _{+} ^{*} $
4. \(D_{f}= ]- \infty,0 ] \times ]0, + \infty[\)
5. \(D_{f}= ]0 , + \infty[ \times ]0, + \infty[\)

Entrer la lettre choisie dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(D_{f}\) et admet un développement limité d’ordre 2 au point \(A = (1,1)\) donné par :

\[\mbox{pour } (h,k) \mbox{ voisin de } (0,0), \qquad f(h,2 + k) = a + bh + ck + \dfrac{1}{2} \left ( \alpha h^{2} + \beta k^{2} + \gamma hk \right ) + \left ( h^{2} + k^{2} \right ) \,\varepsilon(h,k)\]

avec \(\displaystyle{ \lim_{(h,k) \to (0,0)} { \varepsilon(h,k) } } = 0\) et où \(a\), \(b\), \(c\) \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) sont des réels.

Entrer la valeur du réel \[a\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[b\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[c\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[\alpha\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[\beta\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[\gamma\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur du réel \[\delta\] dans la case suivante : ##ANSWER7##
A: 0; 0; -1; 1; 1; -1; 0
Feedback: Soit \(D_{ƒ}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\), on a : \(D_{f} = \left \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2}, \quad x > 0 \; \mbox{ et } \; y > 0 \right \}\). D’où : \(D_{f}= ]0 , + \infty[ \times ]0, + \infty[\) La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(D_{f}\) comme somme et produit de fonctions de classe \(\mathcal{C}^{2}\). On a : \(f(1,1) = 0\) De plus : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \left ( \mathbb{R}_{+}^{*} \right )^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y) & = &\ln y - \dfrac{y}{x} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{40pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) & = & \dfrac{x}{y} - \ln x \\ \end{eqnarray*}\] on en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial x} (1,1) & = & -1 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{40pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (1,1) & = & 1 \\ \end{eqnarray*}\] On a aussi : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \left ( \mathbb{R}_{+}^{*} \right )^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (x,y) & = & \dfrac{y}{x^{2}} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in \left ( \mathbb{R}_{+}^ {*} \right )^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} (x,y) & = & - \dfrac{x}{y^{2}} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in \left ( \mathbb{R}_{+} {*} \right )^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y } (x,y) & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x } (x,y) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{x} \\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (1,1) & = & 1 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} ( 1,1) & = & -1 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y} ( 1,1) & = & 0 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x} ( 1,1) & = & 0 \\ \end{eqnarray*}\] On rappelle que le développement limité de \(f\) à l’ordre 2 au point \(A = (1,1)\) est donné par : \[\mbox{pour } H \mbox{ voisin de } (0,0), \qquad f( A + H) = f(A) + \langle \nabla f_{A}, H \rangle + \dfrac{1}{2} \, H \, H_{A} \, ^{t}H + \|H \|^{2} \varepsilon(H)\] où \(\displaystyle{ \lim_{(h,k) \to (0,0)} { \varepsilon(h,k) } } = 0\), \(\nabla f_{A}\) désigne le gradient de la fonction \(f\) au point \(A\), \(H_{A}\) est la hessienne de \(f\) en \(A\) et on note \(H = (h,k)\) et $ |H |= $. D’après ce qui précède on a : \[f(1,1) = 0 \qquad \nabla f_{A} = ( -1,1) \qquad H_{(0,1)} = \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 &-1 \\ \end{array} \right) \] d’où \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} \langle \nabla f_{A}, H \rangle & = & \langle (-1,1) , (h,k) \rangle \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & - h+ k \\ \end{eqnarray*}\] et \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} H \, H_{A} \, ^{t}H & = & (h,k) \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} h \\ k \\ \end{array} \right) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & (h,-k) \left( \begin{array}{r} h \\ k \\ \end{array} \right) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} & = & h^{2} - k^{2} \end{eqnarray*}\] On obtient enfin le développement limité à l’ordre 2 de \(f\) au point \(A = (1,1)\) \[\mbox{pour } (h,k) \mbox{ voisin de } (0,0), \qquad f( 1 +h,1 + k) = 0 - h + k + \dfrac{1}{2}( h^{2} - k^{2}) + \left ( h^{2} + k^{2} \right ) \,\varepsilon(h,k)\] avec \(\displaystyle{ \lim_{(h,k) \to (0,0)} { \varepsilon(h,k) } } = 0\)

Q: Soit \(n\) un entier naturel non nul, on considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{ R}^{n}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[X \mapsto \dfrac{1}{\|X \|}\]

où pour \(X = (x_{1},x_{2},...,x_{n})\) élément de \(\mathbb{ R}^{n}\) on note $ |X |= $.

1. On note \(D_{f}\) l’ensemble définition de la fonction \(f\), déterminer la lettre qui correspond à la bonne réponse.

1. \(D_{f}= \mathbb{R}^{n}\)
2. \(D_{f}= \left ( \mathbb{R}_{+} \right )^{n}\)
3. \(D_{f}= \left ( \mathbb{R}_{+}^{*} \right )^{n}\)
4. $D_{f}= ^{n} { (0,0,…,0) } $
5. \(D_{f}= \left ( \mathbb{R}_{-} \right )^{n}\)

Entrer la lettre choisie dans la case suivante : [...]

1. La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(D_{f}\) et admet comme développement limité d’ordre 1 au point \(A = (a_{1},a_{2},...,a_{n} )\) de \(D_{f}\) :

\[\mbox{soit } H \mbox{ voisin de } (0,0,...,0), \qquad f(A + H) = \dfrac{1}{ \|A \|^{a} } + b\dfrac{ \langle A, H \rangle}{ \|A \|^{c}} + \|H \|^{d} \varepsilon ( H)\]

où \(\displaystyle{ \lim_{H \to (0,0,...0)} { \varepsilon (H) } } = 0\) et \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) sont des entiers relatifs.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[a\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[b\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[c\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[d\] dans la case suivante : ##ANSWER5##
A: 2; -2; 4; 1
Feedback: Soit \(D_{ƒ}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\), on remarque que \(D_{f} = \left \{ X \in \mathbb{R}^{n} / \quad \|X \| \neq 0 \right \}\). Comme on a : \(\forall \, X\in \mathbb{R}^{n} \quad \|X\|= 0 \Longleftrightarrow X = (0,0,...,0)\) on a : \[D_{f}= \mathbb{R}^{n} \setminus \{ (0,0,...,0) \}\] Par ailleurs la fonction \(f\) définie par : \[ \forall \, (x_{1},x_{2},...,x_{n} ) \in \mathbb{R}^{n} , \quad f \left ( (x_{1},x_{2},...,x_{n} ) \right ) = \dfrac{1}{\displaystyle { \sum_{i=1}^{n} \, x_{i}^{2}} }\] est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(D_{f}\) comme inverse d’une fonction polynomiale. On a pour tout entier naturel \(i\) tel que \(1 \leq i \leq n\) : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall \, (x_{1},x_{2},...,x_{n} ) \in \mathbb{R}^{n} \setminus \{ (0,0,...,0) \} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} (x_{1},x_{2},...,x_{n} ) & = & - \dfrac{2x_{i}}{ \left ( x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ... + x_{n}^{2} \right )^{4} }\\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} &=& - \dfrac{2x_{i}}{ \| X \|^{4} }\\ \end{eqnarray*}\] On rappelle que le développement limité de \(f\) à l’ordre 1 au point \(A = (a_{1},a_{2},...,a_{n} )\) de \(D_{f}\) est donné par : \[\mbox{soit } H \mbox{ voisin de } (0,0,...,0), \qquad f( A + H) = f(A) + \langle \nabla f_{A}, H \rangle + \|H \|\varepsilon(H)\] où \(\displaystyle{ \lim_{H \to (0,0,...0)} { \varepsilon (H) } } = 0\), \(\nabla f_{A}\) désigne le gradient de la fonction \(f\) au point \(A\), et on note \(H =(h_{1},h_{2},...,h_{n})\) et $ |H |= $. D’après ce qui précède on a : \[f(A) = \dfrac{1}{ \|A \|^{2}} \qquad \mbox{ et } \qquad \nabla f_{A} = \dfrac{-2}{ \|A \|^{4}} A \] d’où ; \[\mbox{soit } H \mbox{ voisin de } (0,0,...,0), \qquad f(A + H) = \dfrac{1}{ \|A \|^{2} } + (-2)\dfrac{ \langle A, H \rangle}{ \|A \|^{4}} + \|H \|^{1} \varepsilon ( H)\] où \(\displaystyle{ \lim_{H \to (0,0,...0)} { \varepsilon (H) } } = 0\),

Q: Il existe une fonction \(f\) définie de \(\mathbb{ R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) telle que :

\[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y) & = & -y \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) & = & x \\ \end{eqnarray*}\]

Si la propriété précédente est vraie tapez V sinon tapez F dans la case suivante : ##ANSWER1##
A: F
Feedback: On raisonne par l’absurde. Supposons qu’il existe une fonction \(f\) définie de \(\mathbb{ R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) telle que : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y) & = & -y \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) & = & x \\ \end{eqnarray*}\] La fonction \(f\) étant de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) d’après le théorème de Schwarz on aurait : \[ \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y}(x,y) = \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x}(x,y) \] Or par hypothèse on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x}(x,y) & = & -1 \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y}(x,y) & = & 1 \\ \end{eqnarray*}\] Puisque : \[\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y}(x,y) \neq \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x}(x,y) \] on en déduit donc qu’une telle fonction n’existe pas.

Q: On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{ R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[(x,y) \mapsto 2x^{2}y + 3y^{2} -x^{3}y^{4}\]

La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) et si on note $ H_{(x,y)} $ la hessienne de \(f\) au point \((x,y)\) on a : \[\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad H_{(x,y)} = \left( \begin{array}{rr} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} ny + pxy^{t} & \qquad nx + qx^{r}y^{s} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} nx + qx^{r}y^{s} &nx + qx^{s}y^{r} \\ \end{array} \right) \]

où \(n\), \(p\), \(q\), \(r\), \(s\) et \(t\) sont des entiers relatifs.

answer

- Entrer la valeur de l’entier relatif \[n\] dans la case suivante :
- Entrer la valeur de l’entier relatif \[p\] dans la case suivante :
- Entrer la valeur de l’entier relatif \[q\] dans la case suivante :
- Entrer la valeur de l’entier relatif \[r\] dans la case suivante :
- Entrer la valeur de l’entier relatif \[s\] dans la case suivante :
- Entrer la valeur de l’entier relatif \[t\] dans la case suivante :

1. [...]
2. [...]
3. [...]
4. [...]
5. [...]
6. [...]
A: 4; -6; -12; 2; 3; 4
Feedback: La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) comme fonction polynomiale et on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y) & = & 4xy -3x^{2}y^{4} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) & = & 2x^{2} + 6y - 4x^{3}y^{3} \\ \end{eqnarray*}\] D’où : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (x,y) & = & 4y -6xy^{4} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} (x,y) & = & 6 - 12x^{3}y^{2} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y } (x,y) & = & \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y \partial x } (x,y) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \ & = & 4x - 12x^{2}y^{3} \\ \end{eqnarray*}\] \[\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad H_{(x,y)} = \left( \begin{array}{rr} \rule[-4 pt]{0pt}{20pt} 4y -6xy^{4} & \qquad 4x - 12x^{2}y^{3} \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} 4x - 12x^{2}y^{3} & 4x - 12x^{3}y^{2} \\ \end{array} \right) \]

Q: Soit \(\varphi\) une application de classe \(\mathcal{C}^{2}\) de \(\mathbb{ R}_{+}^{*}\) dans \(\mathbb{R}\), on considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{ R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[(x,y) \mapsto \varphi \left ( \sqrt { x^{2} + y^{2} } \right ) \]

La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) et on a :

\[\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \setminus \{ (0,0) \} \qquad \dfrac{\partial^{2}f } {\partial x^{2}}(x,y) +\dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}}(x,y) = \left ( \dfrac{n}{ r^{p}} \right ) \varphi ' (r) + \varphi '' \left ( r^{q} \right ) \\ \]

où on a posé $ r = $ et où \(n\), \(p\) et \(q\) sont des entiers relatifs.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[n\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[p\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[q\] dans la case suivante : [...]
A: 1; 1; 1
Feedback: On a \(f = \varphi \circ u\) où \(u\) est la fonction définie de \(\mathbb{R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \[(x,y) \mapsto \sqrt { x^{2}+ y^{2} }\] La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2} \setminus \{ (0,0) \}\) comme composée de fonctions de classe \(\mathcal{C}^{2}\) et on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \setminus \{ (0,0) \} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y) & = & \dfrac{\partial \varphi \circ u}{\partial x} (x,y) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \dfrac{2x}{ 2 \sqrt { x^{2} + y^{2} } } \, \varphi ' \left ( \sqrt{ x^{2} + y^{2} } \right ) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \setminus \{ (0,0) \} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) & = & \dfrac{\partial \varphi \circ u}{\partial y} (x,y) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \dfrac{2y}{ 2 \sqrt { x^{2} + y^{2} } } \, \varphi ' \left ( \sqrt{ x^{2} + y^{2} } \right ) \\ \end{eqnarray*}\] D’où : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \setminus \{ (0,0) \} \quad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (x,y) & = & \frac{1 .\sqrt{ x^{2} + y^{2}} - x \dfrac{2x}{2 \sqrt{ x^{2} + y^{2}} } }{ \left ( \sqrt{ x^{2} + y^{2}} \right )^{2} } \, \varphi ' \left ( \sqrt {x^{2} + y^{2} } \right ) + \left ( \dfrac{2x}{ 2 \sqrt { x^{2} + y^{2} } } \right )^{2} \varphi '' \left ( \sqrt { x^{2} + y^{2} } \right ) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} & = & \left ( \dfrac{1}{\sqrt{ x^{2} + y^{2}}} - x^{2} \dfrac{1} { \left ( \sqrt{ x^{2} + y^{2}} \right )^{3} } \right ) \, \varphi ' \left ( \sqrt {x^{2} + y^{2} } \right ) + \left ( \dfrac{2x}{ 2 \sqrt { x^{2} + y^{2} } } \right )^{2} \varphi '' \left ( \sqrt { x^{2} + y^{2} } \right ) \\ \end{eqnarray*}\] \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \setminus \{ (0,0) \} \quad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} (x,y) & = & \frac{1 .\sqrt{ x^{2} + y^{2}} - y \dfrac{2y}{2 \sqrt{ x^{2} + y^{2}} } }{ \left ( \sqrt{ x^{2} + y^{2}} \right )^{2} } \, \varphi ' \left ( \sqrt {x^{2} + y^{2} } \right ) + \left ( \dfrac{2y}{ 2 \sqrt { x^{2} + y^{2} } } \right )^{2} \varphi '' \left ( \sqrt { x^{2} + y^{2} } \right ) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} & = & \left ( \dfrac{1}{\sqrt{ x^{2} + y^{2}}} - y^{2} \dfrac{1} { \left ( \sqrt{ x^{2} + y^{2}} \right )^{3} } \right ) \, \varphi ' \left ( \sqrt {x^{2} + y^{2} } \right ) + \left ( \dfrac{2y}{ 2 \sqrt { x^{2} + y^{2} } } \right )^{2} \varphi '' \left ( \sqrt { x^{2} + y^{2} } \right ) \\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que : \[\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \setminus \{ (0,0) \} \qquad \dfrac{\partial^{2}f } {\partial x^{2}}(x,y) +\dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}}(x,y) = \left ( \dfrac{2}{ \sqrt { x^{2} + y^{2} }} - \dfrac{x^{2} + y^{2}}{ \left ( \sqrt { x^{2} + y^{2} } \right )^{3} } \right ) \varphi ' \left ( \sqrt { x^{2} + y^{2} } \right ) + \dfrac { x^{2} + y^{2} } { x^{2} + y^{2}} \, \varphi '' \left ( \sqrt {x^{2} + y^{2} }\right ) \\ \] On obtient enfin : \[\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \setminus \{ (0,0) \} \qquad \dfrac{\partial^{2}f } {\partial x^{2}}(x,y) +\dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}}(x,y) = \left ( \dfrac{1}{ \sqrt { x^{2} + y^{2} }} \right ) \varphi ' \left ( \sqrt { x^{2} + y^{2} } \right ) + \varphi '' \left ( \sqrt {x^{2} + y^{2} }\right ) \\ \]

Q: Il existe une fonction \(f\) définie de \(\mathbb{ R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*}\) telle que :

\[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y) & = & 2x + \dfrac{1}{y} \; \qquad (1) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) & = & 2y - \dfrac{x}{y^{2}} \qquad (2) \\ \end{eqnarray*}\]

Si la propriété précédente est vraie, tapez V sinon tapez F dans la case suivante : ##ANSWER1##
A: V
Feedback: Supposons qu’il existe une fonction \(f\) définie de \(\mathbb{ R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*}\) telle que : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y) & = & 2x + \dfrac{1}{y} \; \qquad (1) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) & = & 2y - \dfrac{x}{y^{2}} \qquad (2) \\ \end{eqnarray*}\] En intégrant l’égalité \((1)\) on obtient l’existence d’une application \(\varphi\) de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{*}\) telle que : \[\forall (x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*} \qquad f(x,y) = x^{2} + \dfrac{x}{y} + \varphi(y)\] En dérivant par rapport à \(y\) il vient : \[\forall (x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*} \qquad \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) = - \dfrac{x}{y^{2}} + \varphi '(y)\] En utilisant la condition \((2)\) on obtient : \[\forall (x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*} \qquad - \dfrac{x}{y^{2}} + \varphi '(y) = 2y - \dfrac{x}{y^{2}} \] On en déduit que ; \[\forall (x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*} \qquad \varphi '(y) = 2y\] D’où en définitif si \(f\) existe alors on a : \[\forall (x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*} \qquad f(x,y) = x^{2} + \dfrac{x}{y} + y^{2} + k\] où \(k\) est une constante réelle. Réciproquement on démontre facilement que pour tout réel \(k\) la fonction définie de \(\mathbb{ R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) par ; \[(x,y) \mapsto x^{2} + \dfrac{x}{y} + y^{2} + k\] est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*}\) et vérifie bien les conditions \((1)\) et \((2)\).

Q: Soit \(\varphi\) une application de classe \(\mathcal{C}^{2}\) de \(\mathbb{ R}\) dans \(\mathbb{R}\), on considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{ R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) par \[(x,y) \mapsto \varphi \left ( x^{2} + y^{2} \right ) \]

La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) et si on a :

\[\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2}, \quad \dfrac{\partial^{2}f } {\partial x^{2}}(x,y) +\dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}}(x,y) = n \varphi ' \left ( r^{q} \right ) + p \left ( r^{r} \right ) \varphi '' \left ( r^{s} \right )\]

où on a posé $ r = $ et où \(n\), \(p\), \(q\), \(r\) et \(s\) sont des entiers relatifs.

Entrer la valeur de l’entier relatif \[n\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[p\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[q\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[r\] dans la case suivante : [...]

Entrer la valeur de l’entier relatif \[s\] dans la case suivante : [...]

1. [...]
A: 4; -6; -12; 2; 3; 4
Feedback: On a \(f = \varphi \circ u\) où \(u\) est la fonction définie de \(\mathbb{R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \[(x,y) \mapsto x^{2}+ y^{2}\] La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) comme composée de fonctions de classe \(\mathcal{C}^{2}\) et on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y) & = & \dfrac{\partial \varphi \circ u}{\partial x} (x,y) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 2x \varphi ' \left ( x^{2} + y^{2} \right ) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) & = & \dfrac{\partial \varphi \circ u}{\partial y} (x,y) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & 2y \varphi ' \left ( x^{2} + y^{2} \right ) \\ \end{eqnarray*}\] D’où : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial x^{2}} (x,y) & = & 2 \varphi ' \left ( x^{2} + y^{2} \right ) + (2x)^{2} \varphi '' \left ( x^{2} + y^{2} \right ) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{60pt} \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}} (x,y) & = & 2 \varphi ' \left ( x^{2} + y^{2} \right ) + (2y)^{2} \varphi '' \left ( x^{2} + y^{2} \right ) \\ \end{eqnarray*}\] On en déduit que : \[\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \qquad \dfrac{\partial^{2}f } {\partial x^{2}}(x,y) +\dfrac{\partial^{2} f }{\partial y^{2}}(x,y) = 4 \varphi ' \left ( x^{2} + y^{2} \right ) + 4 \left ( x^{2} + y^{2} \right ) \varphi '' \left ( x^{2} + y^{2} \right ) \\ \]

Q: On considère une application \(f\) définie de \(\mathbb{ R}^{3}\) dans \(\mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}^{3}\).

On note \(F\) la fonction définie de \(\mathbb{ R}^{3}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \[(x,y,z) \mapsto f(x-y,y-z,z-x).\]

Alors la fonction \(F\) admet des dérivées partielles en tout point \((x,y,z)\) de \(\mathbb{R}^{3}\) et on a : \[\forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \dfrac{\partial F}{\partial x} (x,y,z) + \dfrac{\partial F}{\partial y} (x,y,z) + \dfrac{\partial F}{\partial z} (x,y,z) = a\]

où \(a\) st un réel.

Donner la valeur du réel \[a\] :
A: 0
Feedback: On constate que : \(F = f \circ u\) où \(u\) est la fonction définie de \(\mathbb{ R}^{3}\) dans \(\mathbb{R}^{3}\) par : \[(x,y,z) \mapsto \left ( u_{1}(x,y,z), u_{2}(x,y,z), u_{3}(x,y,z) \right )\] avec : \(u_{1}\) la fonction définie de \(\mathbb{ R}^{3}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \[(x,y,z) \mapsto x-y.\] \(u_{2}\) la fonction définie de \(\mathbb{ R}^{3}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \[(x,y,z) \mapsto y-z\] \(u_{3}\) la fonction définie de \(\mathbb{ R}^{3}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \[(x,y,z) \mapsto z-x\] Soit \(D_{F}\) l’ensemble de définition de la fonction \(F\), on remarque que puisque, par hypothèse, \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}^{3}\) on a : \(D_{f} = \mathbb{R}^{3}\). Par ailleurs on a : \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial F}{\partial x} (x,y,z) & = & \dfrac{\partial } {\partial x} (f \circ u ) (x,y,z) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \dfrac{\partial f}{\partial x } (x,y,z)-\dfrac{\partial f}{\partial z} (x,y,z) \\ \end{eqnarray*}\] et \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial F}{\partial x} (x,y,z) & = & \dfrac{\partial } {\partial y} (f \circ u ) (x,y,z) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \dfrac{\partial f}{\partial y } (x,y,z)-\dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y,z) \\ \end{eqnarray*}\] et \[\begin{eqnarray*} \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \qquad \dfrac{\partial F}{\partial x} (x,y,z) & = & \dfrac{\partial } {\partial z} (f \circ u ) (x,y,z) \\ \rule[-4 pt]{0pt}{30pt} & = & \dfrac{\partial f}{\partial z } (x,y,z)-\dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y,z) \\ \end{eqnarray*}\] D’où : \[\forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \qquad \qquad \dfrac{\partial F}{\partial x} (x,y,z) +\dfrac{\partial F}{\partial y} (x,y,z) + \dfrac{\partial F}{\partial z} (x,y,z) = 0 \]