Title: Résolution matricielle
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

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Q: Le système :

$$\left\{\begin{array}{l}x'(t)=5x(t)-y(t)-2z(t)\\y'(t)=x(t)+3y(t)-2z(t)\\z'(t)=x(t)-2+y(t)\end{array}\right.$$

est un système différentiel linéaire homogène à coefficients constants.
- Vrai
- Faux
A: Faux

Q: Le système :

$$\left\{\begin{array}{l}x(t)'=5x(t)-y(t)-2z(t)\\y'(t)=x(t)+ty(t)-2z(t)\\z'(t)=x(t)-2y(t)+z(t)\end{array}\right.$$

est un système différentiel linéaire homogène à coefficients constants.
- Vrai
- Faux
A: Faux

Q: Le système :

$$\left\{\begin{array}{l}x(t)'=5x(t)-y(t)-2z(t)\\y'(t)=x(t)y(t)-2z(t)\\z'(t)=x(t)-2y(t)+z(t)\end{array}\right.$$

est un système différentiel linéaire homogène à coefficients constants.
- Vrai
- Faux
A: Faux

Q: On considère le système :

$$\left\{\begin{array}{l}x'(t)=2x(t)-y(t)\\y'(t)=y(t)-x(t)\end{array}\right.$$

Ce système peut s'écrire sous forme matricielle $$X'(t)=AX(t)$$ avec :

$$X(t)=\left(\begin{array}{c}x(t)\\y(t)\end{array}\right)$$

$$X'(t)=\left(\begin{array}{c}x'(t)\\y'(t)\end{array}\right)$$

$$A=\left(\begin{array}{c}2&-1\\1&-1\end{array}\right)$$
- Vrai
- Faux
A: Faux

Q: On considère un système différentiel linéaire homogène à coefficients constants en dimension $$n$$ mis sous forme matricielle $$X'(t)=AX(t)$$ et de condition initiale $$X(0)=X_0$$. On suppose que la matrice $$A$$ est diagonalisable, on note $$(V_1,\dots,V_n)$$ une base de vecteurs propres de $$A$$ de valeurs propres associées $$\lambda_1,\dots,\lambda_n$$.

Dans ce cas, il existe des coefficients $$a_1,\dots,a_n$$ uniques tels que la solution du système s'écrive $$X(t)=\sum_{i=1}^na_ie^{\lambda_i t}V_i$$.
- Vrai
- Faux
A: Vrai

Q: On considère un système différentiel linéaire homogène à coefficients constants en dimension $$n$$ mis sous forme matricielle $$X'(t)=AX(t)$$. On suppose que la matrice $$A$$ est diagonalisable, on note $$(V_1,\dots,V_n)$$ une base de vecteurs propres de $A$ de valeurs propres associées $$\lambda_1,\dots,\lambda_n$$.

Dans ce cas, il existe des coefficients $$a_1,\dots,a_n$$ uniques tels que la solution du système s'écrit $$X(t)=\sum_{i=1}^na_ie^{\lambda_i t}V_i$$.
- Vrai
- Faux
A: Faux

Q: On considère le système :

$$\left\{\begin{array}{l}x'(t)=2x(t)-y(t)\\y'(t)=-x(t)+2y(t)\end{array}\right.$$
- $$x(t)$$ et $$y(t)$$ peuvent s'écrire sous la forme d'une combinaison linéaire de $$e^{t}$$ et $$e^{3t}$$
- $$x(t)$$ et $$y(t)$$ peuvent s'écrire sous la forme d'une combinaison linéaire de $$e^{t}$$ et $$e^{-3t}$$
- $$x(t)$$ et $$y(t)$$ peuvent s'écrire sous la forme d'une combinaison linéaire de $$e^{-t}$$ et $$e^{3t}$$
- $$x(t)$$ et $$y(t)$$ peuvent s'écrire sous la forme d'une combinaison linéaire de $$e^{-t}$$ et $$e^{-3t}$$
- le système n'a pas de solution
- aucune des autres propositions n'est correcte
A: $$x(t)$$ et $$y(t)$$ peuvent s'écrire sous la forme d'une combinaison linéaire de $$e^{t}$$ et $$e^{3t}$$

Q: On considère le système :

$$\left\{\begin{array}{l}x'(t)=3x(t)+y(t)\\y'(t)=x(t)+3y(t)\end{array}\right.$$

La matrice $$A=\left(\begin{array}{c}3&1\\1&3\end{array}\right)$$ a pour valeurs propres 2 et 4.

La solution du système se met sous la forme :
- $$\left\{\begin{array}{l}x(t)=ae^{4t}-be^{2t}\\y(t)=ae^{4t}+be^{2t}\end{array}\right.$$
- $$\left\{\begin{array}{l}x(t)=ae^{4t}+be^{2t}\\y(t)=ae^{4t}+be^{2t}\end{array}\right.$$
- $$\left\{\begin{array}{l}x(t)=ae^{4t}\\y(t)=-ae^{4t}+be^{2t}\end{array}\right.$$
- $$\left\{\begin{array}{l}x(t)=ae^{4t}-be^{2t}\\y(t)=be^{2t}\end{array}\right.$$
- aucune des autres propositions n'est correcte
A: $$\left\{\begin{array}{l}x(t)=ae^{4t}-be^{2t}\\y(t)=ae^{4t}+be^{2t}\end{array}\right.$$

Q: On considère un système différentiel linéaire homogène à coefficients constants dont la solution est sous la forme :

$$\left\{\begin{array}{l}x(t)=ae^{5t}-be^{3t}\\y(t)=ae^{5t}+2be^{3t}\end{array}\right.$$

Les conditions initiales sont $$x(0)=1$$ et $$y(0)=2$$. Déterminer $$a$$ et $$b$$.
- $$a=4/3$$ et $$b=1/3$$
- $$a=3/4$$ et $$b=2/3$$
- $$a=1/2$$ et $$b=5/3$$
- $$a=5/3$$ et $$b=3/4$$
- $$a=2/3$$ et $$b=3/5$$
- aucune des autres propositions n'est correcte
- $$a=4/3$$ et $$b=2/3$$
- $$a=3/4$$ et $$b=1/3$$
- $$a=1/2$$ et $$b=3/4$$
- $$a=5/3$$ et $$b=5/3$$
- $$a=2/3$$ et $$b=5/2$$
A: $$a=4/3$$ et $$b=1/3$$

Q: On considère un système différentiel linéaire homogène à coefficients constants en dimension $$n$$ mis sous forme matricielle $$X'(t)=AX(t)$$ et de condition initiale $$X'(0)=X_0$$. On suppose que la matrice $$A$$ est diagonalisable.

Il existe une unique valeur des coefficients $$\lambda_1,\dots,\lambda_n$$, des vecteurs $$V_1,\dots,V_n$$ et des coefficients $$a_1,\dots,a_n$$ tels que la solution du système s'écrive $$X(t)=\sum_{i=1}^na_ie^{\lambda_i t}V_i$$.
- Vrai
- Faux
A: Faux