Title: Integration par partie
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem)

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{0}^{1} \,te^{2t} \, dt\), sous la forme \(\frac{1}{a} \, \left(e^{b} +1\right)\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 4; 2
Feedback: On effectue une intégration par parties en posant : \[ u(t) = t \qquad \mbox{et} \qquad v'(t) = e^{2t}.\] \[ \begin{eqnarray*} I & = & \left[ t \, \dfrac{1}{2} \,e^{2t}\right]_{0} ^{1} - \int_{0}^{1} \, 1\times \dfrac{1}{2} e^{2t} \, dt.\\ &= &\dfrac{1}{2} \,e^{2} - \dfrac{1}{2} \, \left[ \dfrac{1}{2} \,e^{2t}\right]_{0} ^{1} \\ & = & \dfrac{1}{4} \, \left(e^{2} +1\right). \end{eqnarray*} \] 1. \(a=4\) 2. \(b=2\)

Q: Calculer l’intégrale suivante : \({I = \int_{0}^{1} \,t^{3}e^{t^{2}} \, dt}\), sous la forme \(\frac{a}{b}\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels, la fraction\(\frac{a}{b}\) étant irréductible.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 1; 2
Feedback: On effectue une intégration par parties en posant : \[u(t) = t^{2} \mbox{et} v'(t) = te^{t^{2}}.\] \[ \begin{eqnarray*} I & = & \left[ t^{2} \, \frac{1}{2} \,e^{t^{2}}\right]_{0} ^{1} - \int_{0}^{1} \,2t \times \frac{1}{2} e^{t^{2}} \, dt.\\ &= &\frac{1}{2} \,e - \, \left[ \frac{1}{2} \,e^{t^{2}}\right]_{0} ^{1} \\ & = & \frac{1}{2}. \end{eqnarray*} \] 1. \(a=1\) 2. \(b=2\)

Q: Calculer la valeur de l’intégrale \({I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \,t\sin{3t} \, dt}\) sous la forme \(-\frac{a}{b}\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels, la fraction\(\frac{a}{b}\) étant irréductible.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 1; 9
Feedback: On effectue une intégration par parties en posant : \[u(t) = t \mbox{et} v'(t) =\sin(3t).\] \[ \begin{eqnarray*} I & = & \left[ -t \,\frac{1}{3} \, \cos{3t}\right]_{0} ^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \, 1\times -\frac{1}{3} \cos(3t) \, dt.\\ &= & 0+ \frac{1}{3} \, \left[ \frac{1}{3} \,\sin(3t)\right]_{0} ^{\frac{\pi}{2}} \\ & = & \frac{1}{9} \,\sin \left( \frac{3\pi}{2} \right). \end{eqnarray*} \] 1. \(a=1\) 2. \(b=9\)

Q: Calculer la valeur de l’intégrale\({I = \int_{1}^{e} \,t \ln t \, dt}\) sous la forme\(\frac{1}{a} \, \left(e^{b} +1\right)\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 4; 2
Feedback: On effectue une intégration par parties en posant : \[u(t) = \ln t \mbox{et} v'(t) = t.\] \[ \begin{eqnarray*} I & = & \left[ \frac{t^{2}}{2} \ln t \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \, \frac{1}{t} \times \frac{t^{2}}{2} \, dt\\ &= & \frac{e^{2}}{2} - \int_{1}^{e} \, \frac{t}{2} \, dt \\ & = & \frac{e^{2}}{2} -\left[ \frac{t^{2}}{4} \right]_{1}^{e} \\ & = & \frac{1}{4} \, \left(e^{2} +1\right). \end{eqnarray*} \] 1. \(a=4\) 2. \(b=2\)

Q: Calculer l’intégrale suivante :\({I = \int_{0}^{\pi} \,t\cos^{2}t \, dt - \int_{0}^{\pi} \,t\sin^{2}t \, dt}\).
- \(I = 0\).
- \(I = 1\).
- \(I =\frac{1}{2}\).
A: \(I = 0\).
Feedback: \[ \begin{eqnarray*} I & = & { \int_{0}^{\pi} \, \left( t\cos^{2}t - t\sin^{2}t \right ) \, dt}\\ &= & {\int_{0}^{\pi} \,t \left (\cos^{2}t - \sin^{2}t \right) \, dt}\\ & = & { \int_{0}^{\pi} \,t\cos 2t \, dt}. \end{eqnarray*} \] On effectue une intégration par parties en posant : \[u(t) = t \mbox{et} v'(t) = \cos 2t.\] \[ \begin{eqnarray*} I & = & \left[ t \,\frac{1}{2} \, \sin{2t}\right]_{0} ^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \, 1\times \frac{1}{2} \sin2t \, dt.\\ &= & 0-\frac{1}{2} \, \left[ -\frac{1}{2} \,\cos2t \right]_{0} ^{\pi} \\ & = & \frac{1}{4} \left( \cos 2\pi - \cos 0 \right) \\ & = & 0. \end{eqnarray*} \]

Q: Calculer l’intégrale suivante :\({I = \int_{0}^{1} \, \ln \left( 1+ t^{2} \right) \, dt}\).
- \(I = \ln(2) +1 + \frac{\pi}{2}\).
- \(I = \ln(2) -2 + \frac{\pi}{2}\).
- \(I = \ln(2) +1\).
A: \(I = \ln(2) -2 + \frac{\pi}{2}\).
Feedback: On effectue une intégration par parties en posant : \[u(t) = \ln \left( 1+ t^{2} \right) \mbox{et} v'(t) =1.\] \[ \begin{eqnarray*} I & = & {\left[ t \, \ln \left( 1+ t^{2} \right) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \, \frac{2t}{1 +t^{2}} \times t \, dt}\\ &= & {\ln 2 - 2\int_{0}^{1} \, \frac{t^{2} +1 -1}{1 + t^{2}} \, dt }\\ &= & {\ln 2 - 2\int_{0}^{1} \, \left( 1 - \frac{1}{1 + t^{2}} \right) \, dt } \\ & = & {\ln 2 - 2\left[ t - \mbox{Arctan} \,t \right]_{0}^{1} }\\ & = &\ln 2 -2 + \frac{\pi}{2}. \end{eqnarray*} \]

Q: Calculer l’intégrale suivante : \({I = \int_{2}^{3} \, \frac{ \ln x}{\sqrt{x}} \, dx}\).
- \(I = 2\left( \sqrt{3} \ln3 - \sqrt{2}\ln 2 \right) - 4\left( \sqrt{3} - \sqrt{2} \right)\).
- \(I = 2\left( \sqrt{3} \ln3 - \sqrt{2}\ln 2 \right) -\left( \sqrt{3} - \sqrt{2} \right)\).
- \(I = \left( \sqrt{3} \ln3 - \sqrt{2}\ln 2 \right) - 4\left( \sqrt{3} - \sqrt{2} \right)\).
A: \(I = 2\left( \sqrt{3} \ln3 - \sqrt{2}\ln 2 \right) - 4\left( \sqrt{3} - \sqrt{2} \right)\).
Feedback: On effectue une intégration par parties en posant : \[u(x) = \ln x \mbox{et} v'(x) =\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}.\] \[ \begin{eqnarray*} I & = & \left[ 2\sqrt{x}\ln x \right]_{2}^{3} - \int_{2}^{3} \, \frac{1}{x} \times \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \, dx\\ &= & \left[ 2\sqrt{x}\ln x \right]_{2}^{3} - 2\int_{2}^{3} \, x^{-\frac{1}{2}} \, dx\\ & = & \left[ 2\sqrt{x}\ln x \right]_{2}^{3} -2\left[ \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right]_{2}^{3} \\ & = & 2\left( \sqrt{3} \ln3 - \sqrt{2}\ln 2 \right) - 4\left( \sqrt{3} - \sqrt{2} \right). \end{eqnarray*} \]

Q: Calculer l’intégrale suivante : \({I = \int_{2}^{3} \,\frac{x}{e^{x}} \, dx}\).
- \(I = 3e^{-2} - 4 e^{-3}\).
- \(I = e^{2} - e^{-1}\).
- \(I = e^{3} + 1\).
A: \(I = 3e^{-2} - 4 e^{-3}\).
Feedback: \(I = \int_{2}^{3} \,x \, e^{-x} \, dx\) et on effectue une intégration par parties en posant : \[u(x) = x \mbox{et} v'(x) = e^{-x}.\] \[ \begin{eqnarray*} I & = & \left[ x \, \left( -e^{-x} \right)\right]_{2} ^{3} - \int_{2}^{3} \, 1\times \left( -e^{-x} \right) \, dx\\ &= &\left[ x \, \left( -e^{-x} \right)\right]_{2} ^{3} + \left [-e^{-x} \right]_{2} ^{3}\\ & = & 3e^{-2} - 4 e^{-3}. \end{eqnarray*} \]

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{0}^{3} \, x \, \sqrt{1 + x} \, dx\).
- \(I = \frac{116}{15}.\)
- \(I = \frac{16}{15}.\)
- \(I = \frac{256}{15}.\)
A: \(I = \frac{116}{15}.\)
Feedback: On effectue une intégration par parties en posant : \[u(x) = x \mbox{et} v'(x) =\sqrt{x + 1} = (x+1)^{\frac{1}{2}}.\] \[ \begin{eqnarray*} I & = & \left[ x \,\frac{(x+1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{3} - { \int_{0}^{3} \,1 \times frac{(x+1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} } \, dx\\ &= & frac{2}{3} \times 3 \times 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \int_{0}^{3} \,{(x+1)^{\frac{3}{2}}} \, dx\\ & = & 16 -frac{2}{3} \left[ \frac{(x+1)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} \right]_{0}^{3} \\ & = & \ 16 - \dfrac{4}{15} \times 31\\ & =& \dfrac{116}{15}. \end{eqnarray*} \]

Q: Calculer l’intégrale suivante : \({I = \int_{0}^{1} \, t \, \mbox{Arctan} \,t \, dt}\), sous la forme \(\frac{1}{a} \, \left(\pi - b \right)\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel\(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel\(b\) dans la case suivante : [...]
A: 4; 2
Feedback: On effectue une intégration par parties en posant : \[u(t) = \mbox{Arctan} \,t \mbox{et} v'(t) =t\] \[ \begin{eqnarray*} I & = & {\left[ \frac{t^{2}}{2}\, \mbox{Arctan} \,t \right]_{0}^{1} -\int_{0}^{1} \,\frac{t^{2}}{2} \times \frac{1}{1 +t^{2}} \, dt}\\ &= & {\frac{\pi}{8} - \frac{1}{2}\int_{0}^{1} \, \frac{t^{2} +1 -1}{1 + t^{2}} \, dt }\\ &= & {\frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \, \left( 1 - \frac{1}{1 + t^{2}} \right) \, dt } \\ & = & {\frac{\pi}{8} - \frac{1}{2}\left[ t - \mbox{Arctan} \,t \right]_{0}^{1} }\\ & = & \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \\ & = & \frac{\pi-2}{4}. \end{eqnarray*} \] 1. \(a=4\) 2. \(b=2\)

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{0}^{1} \,te^{2t} \, dt\), sous la forme \(\frac{1}{a} \, \left(e^{b} +1\right)\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 4; 2
Feedback: On effectue une intégration par parties en posant : \(u(t) = t\) et \(v'(t) = e^{2t}.\) \[ \begin{eqnarray*} I & = & \left[ t \, \dfrac{1}{2} \,e^{2t}\right]_{0} ^{1} - \int_{0}^{1} \, 1\times \dfrac{1}{2} e^{2t} \, dt.\\ &= &\dfrac{1}{2} \,e^{2} - \dfrac{1}{2} \, \left[ \dfrac{1}{2} \,e^{2t}\right]_{0} ^{1} \\ & = & \dfrac{1}{4} \, \left(e^{2} +1\right). \end{eqnarray*} \] 1. \(a=4\) 2. \(b=2\)

Q: Calculer l’intégrale suivante : \({I = \int_{0}^{1} \,t^{3}e^{t^{2}} \, dt}\), sous la forme \(\frac{a}{b}\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels, la fraction\(\frac{a}{b}\) étant irréductible.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 1; 2
Feedback: On effectue une intégration par parties en posant : \[u(t) = t^{2}$ et $v'(t) = te^{t^{2}}.\] \[ \begin{eqnarray*} I & = & \left[ t^{2} \, \frac{1}{2} \,e^{t^{2}}\right]_{0} ^{1} - \int_{0}^{1} \,2t \times \frac{1}{2} e^{t^{2}} \, dt.\\ &= &\frac{1}{2} \,e - \, \left[ \frac{1}{2} \,e^{t^{2}}\right]_{0} ^{1} \\ & = & \frac{1}{2}. \end{eqnarray*} \] 1. \(a=1\) 2. \(b=2\)

Q: Calculer la valeur de l’intégrale \({I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \,t\sin{3t} \, dt}\) sous la forme \(-\frac{a}{b}\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels, la fraction\(\frac{a}{b}\) étant irréductible.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 1; 9
Feedback: On effectue une intégration par parties en posant : \(u(t) = t\) et \(v'(t) =\sin(3t).\) \[ \begin{eqnarray*} I & = & \left[ -t \,\frac{1}{3} \, \cos{3t}\right]_{0} ^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \, 1\times -\frac{1}{3} \cos(3t) \, dt.\\ &= & 0+ \frac{1}{3} \, \left[ \frac{1}{3} \,\sin(3t)\right]_{0} ^{\frac{\pi}{2}} \\ & = & \frac{1}{9} \,\sin \left( \frac{3\pi}{2} \right). \end{eqnarray*} \] 1. \(a=1\) 2. \(b=9\)

Q: Calculer la valeur de l’intégrale \({I = \int_{1}^{e} \,t \ln t \, dt}\) sous la forme \(\frac{1}{a} \, \left(e^{b} +1\right)\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel \(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel \(b\) dans la case suivante : [...]
A: 4; 2
Feedback: On effectue une intégration par parties en posant : \(u(t) = \ln t\) et \(v'(t) = t.\) \[ \begin{eqnarray*} I & = & \left[ \frac{t^{2}}{2} \ln t \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \, \frac{1}{t} \times \frac{t^{2}}{2} \, dt\\ &= & \frac{e^{2}}{2} - \int_{1}^{e} \, \frac{t}{2} \, dt \\ & = & \frac{e^{2}}{2} -\left[ \frac{t^{2}}{4} \right]_{1}^{e} \\ & = & \frac{1}{4} \, \left(e^{2} +1\right). \end{eqnarray*} \] 1. \(a=4\) 2. \(b=2\)

Q: Calculer l’intégrale suivante :\({I = \int_{0}^{\pi} \,t\cos^{2}t \, dt - \int_{0}^{\pi} \,t\sin^{2}t \, dt}\).
- \(I = 0\).
- \(I = 1\).
- \(I =\frac{1}{2}\).
A: \(I = 0\).
Feedback: \[ \begin{eqnarray*} I & = & { \int_{0}^{\pi} \, \left( t\cos^{2}t - t\sin^{2}t \right ) \, dt}\\ &= & {\int_{0}^{\pi} \,t \left (\cos^{2}t - \sin^{2}t \right) \, dt}\\ & = & { \int_{0}^{\pi} \,t\cos 2t \, dt}. \end{eqnarray*} \] On effectue une intégration par parties en posant : \[u(t) = t$ et $v'(t) = \cos 2t.\] \[ \begin{eqnarray*} I & = & \left[ t \,\frac{1}{2} \, \sin{2t}\right]_{0} ^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \, 1\times \frac{1}{2} \sin2t \, dt.\\ &= & 0-\frac{1}{2} \, \left[ -\frac{1}{2} \,\cos2t \right]_{0} ^{\pi} \\ & = & \frac{1}{4} \left( \cos 2\pi - \cos 0 \right) \\ & = & 0. \end{eqnarray*} \]

Q: Calculer l’intégrale suivante :\({I = \int_{0}^{1} \, \ln \left( 1+ t^{2} \right) \, dt}\).
- \(I = \ln(2) +1 + \frac{\pi}{2}\).
- \(I = \ln(2) -2 + \frac{\pi}{2}\).
- \(I = \ln(2) +1\).
A: \(I = \ln(2) -2 + \frac{\pi}{2}\).
Feedback: On effectue une intégration par parties en posant : \[u(t) = \ln \left( 1+ t^{2} \right)$ et $v'(t) =1.\] \[ \begin{eqnarray*} I & = & {\left[ t \, \ln \left( 1+ t^{2} \right) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \, \frac{2t}{1 +t^{2}} \times t \, dt}\\ &= & {\ln 2 - 2\int_{0}^{1} \, \frac{t^{2} +1 -1}{1 + t^{2}} \, dt }\\ &= & {\ln 2 - 2\int_{0}^{1} \, \left( 1 - \frac{1}{1 + t^{2}} \right) \, dt } \\ & = & {\ln 2 - 2\left[ t - \mbox{Arctan} \,t \right]_{0}^{1} }\\ & = &\ln 2 -2 + \frac{\pi}{2}. \end{eqnarray*} \]

Q: Calculer l’intégrale suivante : \({I = \int_{2}^{3} \, \frac{ \ln x}{\sqrt{x}} \, dx}\).
- \(I = 2\left( \sqrt{3} \ln3 - \sqrt{2}\ln 2 \right) - 4\left( \sqrt{3} - \sqrt{2} \right)\).
- \(I = 2\left( \sqrt{3} \ln3 - \sqrt{2}\ln 2 \right) -\left( \sqrt{3} - \sqrt{2} \right)\).
- \(I = \left( \sqrt{3} \ln3 - \sqrt{2}\ln 2 \right) - 4\left( \sqrt{3} - \sqrt{2} \right)\).
A: \(I = 2\left( \sqrt{3} \ln3 - \sqrt{2}\ln 2 \right) - 4\left( \sqrt{3} - \sqrt{2} \right)\).
Feedback: On effectue une intégration par parties en posant : \[u(x) = \ln x$ et $v'(x) =\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}.\] \[ \begin{eqnarray*} I & = & \left[ 2\sqrt{x}\ln x \right]_{2}^{3} - \int_{2}^{3} \, \frac{1}{x} \times \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \, dx\\ &= & \left[ 2\sqrt{x}\ln x \right]_{2}^{3} - 2\int_{2}^{3} \, x^{-\frac{1}{2}} \, dx\\ & = & \left[ 2\sqrt{x}\ln x \right]_{2}^{3} -2\left[ \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right]_{2}^{3} \\ & = & 2\left( \sqrt{3} \ln3 - \sqrt{2}\ln 2 \right) - 4\left( \sqrt{3} - \sqrt{2} \right). \end{eqnarray*} \]

Q: Calculer l’intégrale suivante : \({I = \int_{2}^{3} \,\frac{x}{e^{x}} \, dx}\).
- \(I = 3e^{-2} - 4 e^{-3}\).
- \(I = e^{2} - e^{-1}\).
- \(I = e^{3} + 1\).
A: \(I = 3e^{-2} - 4 e^{-3}\).
Feedback: \(I = \int_{2}^{3} \,x \, e^{-x} \, dx\) et on effectue une intégration par parties en posant : \[u(x) = x$ et $v'(x) = e^{-x}.\] \[ \begin{eqnarray*} I & = & \left[ x \, \left( -e^{-x} \right)\right]_{2} ^{3} - \int_{2}^{3} \, 1\times \left( -e^{-x} \right) \, dx\\ &= &\left[ x \, \left( -e^{-x} \right)\right]_{2} ^{3} + \left [-e^{-x} \right]_{2} ^{3}\\ & = & 3e^{-2} - 4 e^{-3}. \end{eqnarray*} \]

Q: Calculer l’intégrale suivante : \(I = \int_{0}^{3} \, x \, \sqrt{1 + x} \, dx\).
- \(I = \frac{116}{15}.\)
- \(I = \frac{16}{15}.\)
- \(I = \frac{256}{15}.\)
A: \(I = \frac{116}{15}.\)
Feedback: On effectue une intégration par parties en posant : \[u(x) = x$ et $v'(x) =\sqrt{x + 1} = (x+1)^{\frac{1}{2}}.\] \[ \begin{eqnarray*} I & = & \left[ x \,\frac{(x+1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{3} - { \int_{0}^{3} \,1 \times frac{(x+1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} } \, dx\\ &= & \frac{2}{3} \times 3 \times 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \int_{0}^{3} \,{(x+1)^{\frac{3}{2}}} \, dx\\ & = & 16 -\frac{2}{3} \left[ \frac{(x+1)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} \right]_{0}^{3} \\ & = & \ 16 - \dfrac{4}{15} \times 31\\ & =& \dfrac{116}{15}. \end{eqnarray*} \]

Q: Calculer l’intégrale suivante : \({I = \int_{0}^{1} \, t \, \mbox{Arctan} \,t \, dt}\), sous la forme \(\frac{1}{a} \, \left(\pi - b \right)\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels.

1. Entrer la valeur de l’entier naturel\(a\) dans la case suivante : [...]
2. Entrer la valeur de l’entier naturel\(b\) dans la case suivante : [...]
A: 4; 2
Feedback: On effectue une intégration par parties en posant : \[u(t) = \mbox{Arctan} \,t$ et $v'(t) =t\] \[ \begin{eqnarray*} I & = & {\left[ \frac{t^{2}}{2}\, \mbox{Arctan} \,t \right]_{0}^{1} -\int_{0}^{1} \,\frac{t^{2}}{2} \times \frac{1}{1 +t^{2}} \, dt}\\ &= & {\frac{\pi}{8} - \frac{1}{2}\int_{0}^{1} \, \frac{t^{2} +1 -1}{1 + t^{2}} \, dt }\\ &= & {\frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \, \left( 1 - \frac{1}{1 + t^{2}} \right) \, dt } \\ & = & {\frac{\pi}{8} - \frac{1}{2}\left[ t - \mbox{Arctan} \,t \right]_{0}^{1} }\\ & = & \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \\ & = & \frac{\pi-2}{4}. \end{eqnarray*} \] 1. \(a=4\) 2. \(b=2\)