Title: Rappels- Equations différentielles du 1er ordre
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Equations différentielles et Transformée de Laplace

Introduction et Définitions

Pour un rappel de la définition et des formes canoniques d'une équation différentielle, ainsi que des types d'équation du premier ordre : document de cours

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Exercice 1 -Question 1

On considère l'équation différentielle

(E) : \[y'y+(y+1)x=0\]

Ecrire \((E)\) sous sa forme standard.

Exercice 1- Réponse à la question 1

L'écriture normale consiste à séparer la dérivée \(y'\) dans le premier membre de l'équation ; cette dérivée est exprimée comme en fonction de tous les autres éléments de l'équation.

 \[\begin{eqnarray}(E) :\ y'y+(y+1)x=0\ &\Leftrightarrow & \ y'y=-(y+1)x\\\ &\Leftrightarrow & \ y'=-\dfrac{(y+1)x}y\end{eqnarray}\]

La forme standard de \((E)\) est  :    \(y'=-\dfrac{(y+1)x}y\).

Exercice 1- Question 2

On considère l'équation différentielle

\[(E) : \ y'y+(y+1)x=0\]

Écrire \((E)\) sous sa forme différentielle.

Exercice 1 - Réponse à la question 2

On remplace \(y'\) par  \(\dfrac {dy}{dx}\) et on multiplie formellement par \(dx\) l'équation différentielle

\[(E)\ \ : y'y+(y+1)x=0\ \Leftrightarrow\ \dfrac {dy}{dx}y+(y+1)x=0\ \Leftrightarrow\ y{dy}+(y+1)x{dx}=0\]

La forme différentielle de l'équation différentielle \((E)\) est :   \(y{dy}+(y+1)x{dx}=0\).

Exercice 2 - Question 1

On considère l'équation différentielle :

\[ (E) :\ (x^2+1)yy'-2(x+1)(y+1)\ =\ 0\]

Cette équation est-elle à variables séparables ?

Exercice 2 - Réponse à la question 1

On met l'équation sous sa forme normale \(M(x,y)\ dy\ +\ N(x,y)\ dx =0\)

\[ (E) \ (x^2+1)yy'-2(x+1)(y+1)\ =\ 0\ \Leftrightarrow\  (x^2+1)y\ dy\ -\ 2(x+1)(y+1)\ dx=0\]

\(M(x,y)=(x^2+1)\times y\ \) est le produit d'une fonction de \(x\) et d'une fonction de \(y\).
\(N(x,y)=-2(x+1)\times (y+1)\ \) est le produit d'une fonction de \(x\) et d'une fonction de \(y\).

Donc \((E)\) est une équation différentielle à variables séparables.

Exercice 2 - Question 2

On considère l'équation différentielle :

\[ (E) : \ yy'-2x+\dfrac {x^2}y\ =\ 0\]

Cette équation est-elle homogène ?

Exercice 2 - Réponse à la question 2

On met (E) sous la forme standard \(y'=f(x,y)\) :

\[ (E) :\ yy'-2x+\dfrac{x^2}y\ =\ 0\Longleftrightarrow\ yy\ =\ 2\dfrac x y-\dfrac{x^2}{y^2}\]

Donc \(f(x,y)= 2\dfrac x y-\dfrac{x^2}{y^2}\). Pour \(a\) réel, on calcule :

\[f(ax,ay)= 2\dfrac {ax}{ ay}-\dfrac{(ax)^2}{(ay)^2}=2\dfrac x y-\dfrac{x^2}{y^2}=f(x,y)\]

Donc l'équation différentielle \((E)\) est homogène.

Exercice 2 - Question 3

On considère l'équation différentielle :

\[ (E) : \ y'-2x\ =\  {yx^2}\ \]

Cette équation est-elle linéaire ?

Exercice 2 - Réponse à la question 3

On met \((E)\) sous la forme standard :

\[ (E) : \ y'\ =\ 2x-yx^2\ \]

On a \(f(x,y)\ =\ -x^2\times y +2x\ =\ a(x)\times y +b(x)\).  Donc l'équation différentielle  \((E)\) est linéaire.