Title: Rappels - Développement limités usuels
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Continuité, Dérivation, Intégration

Développements limités usuels

Les formules de Taylor permettent d'avoir des approximations d'une fonction au voisinage d'un point. Nous allons utiliser ces approximations pour calculer certaines limites.

Une approximation de fonction par un polynôme  est appelé développement limité. Les développements limités usuels sont donnés par défaut au voisinage de $$0$$.

Définition

Soit une fonction f, un polynôme P de degré $$n\ge 1$$, si d'après la formule de Taylor-Young on peut montrer que :
$$f(x)=P(x)+o(x^n)$$
où $$o(x^n)$$ désigne le terme correspondant au reste $$f(x)-P(x)$$ qui est tel que $$\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)-P(x)}{x^n}=0$$
alors $$P +o(x^n)$$ est un DL en $$0$$ de $$f$$ à l'ordre $$n$$.

Fonctions usuelles

Voici les développements limités usuels jusqu'à l'ordre 2 :

Fonctions exponentielles et trigonométriques :
$$\exp(x)=1+x +\frac12 x^2$$
$$\cos x=1-\dfrac {x^2}2 +o(x^2)\,.$$
$$\sin x=x+o(x^2)\,.$$
$$\tan x=x+o(x^2)\,.$$
Remarquons que pour la fonction cosinus il n'y a pas de terme d'ordre 1 et pour les fonctions sinus et tangente, il n'y a pas de termes d'ordre 2.

Fonction puissance, pour $$\alpha $$ réel
$$(1+x)^\alpha=1+\alpha x +\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 +o(x^2).$$
En particulier, pour $$\alpha=-1$$ :
$$\dfrac 1{1+x}=1-x+x^2+o(x^2).$$
$$\dfrac 1{1-x}=1+x+x^2+o(x^2) .$$

Logarithme
$$log(1+x)=-x-\frac12 x^2+o(x^2).$$
$$log(1-x)=x-\frac12 x^2+o(x^2).$$

Exercice 1 -Question 1

Soit $$f(x)$$ la fonction définie sur $$\mathbb R$$ par  $$f(x)=\dfrac{\cos x-1}{x}$$.

Calculer la limite de $$f$$ en 0.

Exercice 1 - Réponse à la question 1

La limite est indéterminée car numérateur et dénominateur tendent vers 0.

On essaie alors de faire un développement limité de cos(x) en 0 à l'ordre 2 :

$$\cos(x)=1-\frac12 x^2+o(x^2)\,.$$

On effectue alors le calcul :

$$\frac{\cos(x)-1}{x}=\frac{1-\frac12 x^2+o(x^2)-1}{x}=-\frac12 x +o(x)\,.$$

La limite n'est plus indéterminée et on montre alors que :

$$\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{\cos(x)-1}{x}=0\,.$$

Exercice 1 - Question 2

Soit $$f(x)$$ la fonction définie sur $$\mathbb R$$ par  $$f(x)=\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}$$.

Calculer la limite de $$f$$ en 0.

Exercice 1 - Réponse à la question 2

La limite est aussi indéterminée pour les mêmes raisons que précédemment (numérateur et dénominateur tendant vers 0).

On fait le développement limité en 0 à l'ordre 1 de

$$\sqrt{1+x}=(1+x)^{1/2}=1+\frac12 x +o(x).$$

Ainsi $$\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1+\frac12 x +o(x)-1}{x}=\frac12  +o(1)\,.$$

Donc $$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac12\,.$$

Exercice 2 - Question 1

Donner le DL en $$0$$ à l'ordre 1 de f(x)=\log(1+x).

Exercice 2 - Réponse à la question 1

Le DL de $$\log(1+x)$$ est $$\log(1+x)=x+o(x)$$.

Exercice 2- Question 2

Soit $$a$$ un réel et $$n$$ un entier.

À partir du résultat précédent, étudier la limite de

$$\left(1+\dfrac a n \right)^n$$,

quand $$n$$ tend vers l'infini.

Exercice 2- Réponse à la question 2

Appliquons le logarithme à l'expression dont on cherche la limite :
$$\log\left(\left(1+\frac an\right)^n\right)=n\cdot \log\left(1+\frac an\right)$$.
D'après la question précédente, on peut utiliser le développement limité du logarithme car $$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac an=0$$ donc
$$\log\left(\left(1+\frac an\right)^n\right)=n\cdot(\frac a n+o(\frac 1n))=a+o(1)$$.
La limite en $$n\rightarrow +\infty$$ est alors $$a$$ donc en repassant à l'exponentielle, on montre que
$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\frac an\right)^n =\exp(a)$$.

Opérations élémentaires sur les DL

Compositions élémentaires :

Afin de réaliser certains développements limités, on peut à un changement de variable près se ramener à une forme usuelle. Si nous voulons faire un développement limité de $$f(x)$$ qui ne correspond pas directement à une forme usuelle mais que $$f(x)=g(y)$$ avec $$y=a\cdot x$$ ou $$y=x^{n}$$ ($$n\in \mathbb{N}^*$$) et que l'on reconnaît pour $$g$$ une expression pour laquelle nous disposons d'un DL usuel, nous appliquons le DL de $$g$$ en $$0$$ (car $$x\rightarrow \Leftrightarrow y\rightarrow 0$$) et nous remplaçons $$y$$ par son expression en $$x$$.

Pour les cas où $$y=x^n$$, le développons limité sera pas au même ordre que le DL utilisé pour $$g$$. Par exemple, pour un DL à l'ordre $$1$$ de $$g$$, le $$o(y)$$ donnera un $$o(x^n)$$.

DL en une valeur autre que 0 :

Nous pouvons souhaiter réaliser un DL en une valeur différente de $$0$$ auquel cas, on peut essayer de s'appuyer sur les DL usuels en faisant un changement de variable. Par exemple, si nous souhaitons obtenir un DL de $$f(x)$$ en $$a\not=0$$, on peut poser $$y=x-a$$ et vérifier si $$f(y+a)$$ correspond à un DL usuel en $$0$$. Si c'est le cas, on utilise ce DL usuel puis on fait le changement de variable inverse en revenant à une expression en $$x$$. Le terme de reste sera de la forme $$o((x-a)^n)$$.

Exercice 3 - Question 1

Donner le développement limité de $$f(x)=\frac{1}{2+x}$$ à l'ordre 1 en 0.

Exercice 3- Réponse à la question 1

On essaye de se ramener à un développement limité usuel :

$$\frac{1}{2+x}=\frac12 . \frac{1}{1+x/2}$$.

On notant $$y=x/2$$ on reconnaît un DL usuel qu'on utilise :

$$\frac 1{1+y}=1+y+o(y).$$

En revenant à $$x$$, on a

$$\frac{1}{2+x}=\frac12 \dot (1+x/2)+o(x)$$ (il est équivalent d'avoir $$o(x)$$ ou $$o(x/2)$$).

En finissant les calculs, on obtient

$$\frac{1}{2+x}=\frac12+\frac14 x+o(x)$$.

Exercice 3 - Question 2

Quelle est la limite en 0 de $$\frac{\sin(x^2)}{x}$$ ?

Exercice 3- Réponse à la question 2

On commence par utiliser le développement limité de $$\sin(y)$$ en 0 à l'ordre 1 :
$$\sin(y)=y+o(y)$$.

En remplaçant $$y=x^2$$ :
$$\sin(x^2)=x^2+o(x^2)$$ et ainsi
$$\frac{\sin(x^2)}{x}=x+o(x)$$.
Par conséquent, la limite est 0 pour $$x\rightarrow 0$$.

Exercice 3 - Question 3

Déterminer la limite $$\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{\log(x)}{x-1}$$.

Exercice 3- Réponse à la question 3

Afin de se ramener à un DL usuel on pose $$y=x-1$$ ce qui est équivalent à $$x=y+1$$, ainsi $$y\rightarrow 0$$ lorsque $$x\rightarrow 1$$.

En utilisant le développement limité usuel du logarithme, on obtient :

$$\frac{\log(x)}{x-1}=\frac{\log(1+y)}{y}=\frac{y+o(y)}{y}=1+o(1)$$.

On a alors  $$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\log(x)}{x-1}=1$$.