Title: Ressource - Système d'équations linéaires
Course: Prérequis de mathématiques (Mathuselem) > Section: Nombres et Géométrie

Système d'équations linéaires

Système d'équations linéaires :  En lien avec le cours Unisciel et en vidéo d'Exo7Math sous la forme de 3 parties

Partie 1 - introduction avec la méthode de substitution

Partie 2 - théorie

Partie 3 - méthode du pivot de Gauss

Cours d'après les sources Unisciel

Un support écrit pour résoudre un système d'équations linéaires.

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Le même cours directement sous la forme de leçon

Système d'équations linéaires - Exercice 1 - Question 1

Résoudre par substitution le système suivant : \( \left\{ \begin{array}{lcc} 2x+y & = & 1 \\ 3x+7y & = & -2 \end{array} \right.\).

La solution du système est-elle le couple \( (\frac{9}{11} ; \frac{7}{11}) \) ?

- Vrai
Feedback: La première équation s’écrit aussi \(y = 1-2x\). On remplace maintenant \(y\) dans la deuxième équation : \(3x+7y = -2 \; \Rightarrow \; 3x+7(1-2x) = -2 \; \Rightarrow \; 11x = 9 \; \Rightarrow \; x =\frac{9}{11} \). On en déduit \( y=1-2x \; = \; 1-2 \frac{9}{11} \; = \; - \frac{7}{11} \).
- Faux
Feedback: La première équation s’écrit aussi \(y = 1-2x\). On remplace maintenant \(y\) dans la deuxième équation : \(3x+7y = -2 \; \Rightarrow \; 3x+7(1-2x) = -2 \; \Rightarrow \; 11x = 9 \; \Rightarrow \; x =\frac{9}{11} \). On en déduit \( y=1-2x \; = \; 1-2 \frac{9}{11} \; = \; - \frac{7}{11} \).

Système d'équations linéaires - Exercice 1 - Question 2

On considère le même système  : \( \left\{ \begin{array}{lcc} 2x+y & = & 1 \\ 3x+7y & = & -2 \end{array} \right.\).

Sa résolution par le pivot Gauss revient à conserver la première ligne \( L_1 \) et à remplacer la seconde ligne par \( 2L_2 - 3L_1 \)  ?

- Vrai
Feedback: Sa résolution par le pivot Gauss revient à conserver la première ligne \( L_1 \) et à remplacer la seconde ligne par \( 2L_2 - 3L_1 \) pour éliminer \( x \).
- Faux
Feedback: Sa résolution par le pivot Gauss revient à conserver la première ligne \( L_1 \) et à remplacer la seconde ligne par \( 2L_2 - 3L_1 \) pour éliminer \( x \).

Système d'équations linéaires - Exercice 2

Résoudre le système suivant : \( \left\{ \begin{array}{lcc} x+y-2z & = & 5 \\ x-y -z & = & 1 \\ x + z & = & 3 \end{array} \right.\).

- Bravo ! On applique le pivot de Gauss : \( L_2 \gets L_2- L_1 \) et \( L_3 \gets L_3- L_1 \) \( \left\{ \begin{array}{lcc} x+y-2z & = & 5 \\ -2y -3z & = & -4 \\ z & = & 0 \end{array} \right.\). \( L_3 \gets 2 L_3- L_2 \) \( \left\{ \begin{array}{lcc} x & = & 3 \\ y & = & 2 \\ z & = & 0 \end{array} \right.\).
- Recalculez ! On applique le pivot de Gauss : \( L_2 \gets L_2- L_1 \) et \( L_3 \gets L_3- L_1 \) \( \left\{ \begin{array}{lcc} x+y-2z & = & 5 \\ -2y -3z & = & -4 \\ z & = & 0 \end{array} \right.\). \( L_3 \gets 2 L_3- L_2 \) \( \left\{ \begin{array}{lcc} x & = & 3 \\ y & = & 2 \\ z & = & 0 \end{array} \right.\).
- x
Feedback: 3.
- y
Feedback: 2.
- z
Feedback: 0.