Complexes - Module et argument


Module, argument et écriture exponentielle :  En bref et en vidéo de la Khan Academy


C- Module et argument

Définition 4. Soit (a;b) \in \mathbb{R}^2 et z = a + ib. Le module de z, noté \mid z \mid, est défini par : \mid z \mid=\sqrt{a^2 + b^2} .

Si z est l’affixe d’un vecteur \vec{AB}, son module est la longueur du segment [AB].

Propriétés. Si z, z_1, z_2 sont des complexes et n un entier positif :
  • \mid z_1 z_2 \mid=\mid z_1    \mid \mid z_2 \mid,
  • \mid \frac{z_1}{z_2} \mid=\frac{\mid z_1    \mid}{\mid z_2 \mid},
  • \mid z^n\mid=\mid z\mid^n.

Définition 5. Un argument d'un nombre complexe z non nul est l'angle entre l'axe des abscisses et le vecteur dont il est l'affixe. Il existe un unique \theta dans [0,2\pi[ tel que \theta soit l'argument de z. Tous les réels de la forme \theta+2k\pi avec k un entier relatif sont alors des arguments de z.
Ecriture exponentielle d'un complexe
Propriétés. Si z, z_1, z_2 sont des complexes et n un entier positif :
  • arg(-z)=arg(z)+\pi \; modulo \; 2\pi,
  • arg(\overline{z}=arg(z) \; modulo \; 2\pi.