Exercices : Polynômes de Zernike (Cours CSO 4)

Quel est le nom et l’ordre de l’aberration associée au polynôme de Zernike $Z_7^3 (u, \varphi)$ ?

a.        De quels monômes de Seidel $Z_2^0(u,\varphi)$ est-il combinaison linéaire ?

b.       Calculez les coefficients de cette combinaison linéaire en utilisant les relations d’orthogonalité des polynômes de Zernike.

c.        Retrouvez directement ces coefficients à partir de la définition des fonctions radiales $R_n^m(u)$ de Zernike.

La figure ci-dessous résume les résultats de l’analyse du front d’onde émergent d’une lentille déformable à la longueur d’onde $\lambda = 800$nm.

La spécification du fabricant pour la lentille est $\sigma_{\Delta}$ pour une mise au point au meilleur foyer.

1. L’analyse a-t-elle été faite au meilleur foyer ?
2. Les résultats de l’analyse sont-ils compatibles avec la spécification du fabricant ?
3. Déduire de l’analyse l’amplitude de l’écart normal d’aberration sphérique du 3e ordre, en bord de pupille, pour une mise au point paraxiale.
   
   

1. $Z_7^3(u,\varphi)$  est un trèfle à 3 feuilles du 9^ème ordre.
2. a) $Z_2^0(u)$ est combinaison linéaire de $u^2$ (defocus de Seidel) et de $1$ (piston)
   
   b) En écrivant que $Z_2^0(u)=\gamma_2 u^2 + \gamma_0$, et en reportant dans les relations d'orthonormalité $(Z_2^0,Z_0^0)=0$ et $(Z_2^0,Z_2^0)=1$, on obtient  : $\gamma_2=-2\gamma_0=2\sqrt{3}$, d'où $Z_2^0(u)=\sqrt{3}(2u^2-1)$.
   c) La définition des fonctions radiales de Zernike conduit à : $R_2^0(u)=2u^2-1$, et ensuite on calcule $Z_2^0(u)=\sqrt{3}R_2^0(u)$.
    
   
3. a) L'analyse n'a pas été faite au meilleur foyer. Si c'était le cas, le coefficient selon $Z_3$ serait nul (defocus de Zernike).