Cours n°2 : Ecart normal

La démonstration de ce résultat et du sens physique à lui donner peut être faite dans le cas général de la façon suivante :

Considérons un système optique stigmatique (c'est-à-dire qu'il n'introduit pas d'aberrations), qui conjugue un point A et un point A' quelconques. Dans le cadre de l'optique paraxiale, une surface d'onde issue de A est sphérique, et une surface d'onde dans l'espace image centrée sur A' est sphérique également. Ces deux surfaces (S₀, S'₀) sont les surfaces de référence choisies ici. Le rayon (1) considéré est perpendiculaire au point I à S₀, et perpendiculaire au point I'₀ à S'₀.

Supposons à présent que la surface d'onde réelle incidente sur le système issue du point A soit aberrante : elle a été générée par un système aberrant quelconque, en amont du système considéré ici. Cette surface réelle Σ_R n'est pas sphérique. Le rayon (2) qui passe par le même point I sur S₀ est perpendiculaire à Σ_R en J, puisque les rayons sont perpendiculaires aux surfaces d'onde (théorème de Malus).

→ par définition, l'écart normal aberrant (nΔ) est le chemin optique (IJ), mesuré le long du rayon réel (2) .

La surface d'onde Σ'_R transformée par le système optique reste aberrante, et est donc également non-sphérique.  Suivant la trajectoire du rayon (2) lancé au travers du système, il intercepte la surface de référence S'₀ au point I', et la surface aberrante Σ'_R au point J' : l'écart normal aberrant (n'Δ') est le chemin optique (I'J') mesuré le long de ce rayon réel.

→ par définition des surfaces d'onde, les chemins optiques (II'₀) et (JJ') sont égaux.

En d'autres termes, la surface d'onde Σ'_R est tracée après un temps ∆t égal au temps mis par la lumière pour aller de I en I'₀. Les surfaces d'onde S'₀ et Σ'_R représentent les "photographies" des surfaces d'onde incidentes, respectivement S₀ et Σ_R, au même instant.

Le chemin optique (IJ') se décompose alors sous la forme : $(JJ') = (JI) + (II') + (I'J')$ soit  $(JJ') =-(n\Delta) + (II') + (n'\Delta')$.

Or le point I', sur S'₀, est proche du point I'₀. Toutefois la trajectoire (II'₀) n'est pas réellement suivie par la lumière. Alors, d'après le principe de Fermat, $(II'_0) \simeq (II')$ puisque la trajectoire réelle (II') est extrémale. Cette égalité est une approximation, valable au 2^ème ordre en $\delta I' = I'I'_0$.

On en déduit donc que $(JJ') \simeq -(n\Delta) + (II'_0) + (n'\Delta')$, d'où $(JJ') \simeq  (II')$ et $(n\Delta) = (n'\Delta')$ dans le cadre de validité du principe de Fermat.

Une conséquence du théorème de Gouy est que les chemins optiques aberrants se somment le long du rayon réel : $(n\Delta)_{total} = \sum{(n\Delta)_i}$

C'est une relation importante, qui permet de comprendre comment il sera possible de compenser les aberrations d'un système optique, en choisissant des composants optiques ayant des aberrations de signes opposés.

→ cf. exemples du cours

L'écart normal - plus précisément, le chemin optique aberrant $n'\Delta'(u,\varphi)$ - peut se déterminer numériquement en effectuant la différence entre :

• le chemin optique L_P évalué en paraxial entre les points objets et images
• le chemin optique $L(u,\varphi)$ évalue le long d'un rayon réel.

Les relations de Nijboer expriment le lien entre les aberrations transverses (dy', dx') et l'écart normal aberrant ∆. Elles reposent sur  le fait que les rayons optiques sont perpendiculaires à la surface d'onde (théorème de Malus). Ainsi, l'impact des rayons dans le plan-image considéré est-il directement lié aux dérivées partielles de l'écart normal aberrant par rapport à ses coordonnées dans la pupille.

Dans le système de coordonnées polaires $(\alpha, \varphi)$ définissant le point d'impact du rayon dans la pupille, les relations de Nijboer s'écrivent :

Considérons un dispositif optique travaillant pour une ouverture numérique ON = $sin \alpha'_m$ = 0,15 à λ = 780 nm. Pour un point-objet au bord du champ, l'écart normal aberrant évalué par rapport au point-image paraxial est donné par :

$\Delta (u,\varphi) = 2 \lambda \times u^4 + 2 \lambda \times u^3 cos \varphi$

où $u = \frac{\alpha'}{\alpha'_m}$ est la hauteur normalisée du rayon dans la pupille.

Dans l'expression de Δ, le premier terme correspond à de l'aberration sphérique du 3^ème ordre, le second à de la coma du 3^ème ordre.

L'application des relations de Nijboer à cette expression conduit aux termes d'aberrations transverses suivante, qui donnent l'écart entre l'impact réel des rayons (en fonction de leurs coordonnées $(u,\varphi)$ dans la pupille) et la position de l'image paraxiale dans le plan transverse à l'axe optique :

NB : les relations de Nijboer font explicitement apparaître la dérivée partielle de Δ par rapport à l'ouverture numérique α' ($\frac{\partial \Delta}{\partial \alpha'}$), et non par rapport à l'ouverture numérique normalisée u

Le tracé de ces coordonnées dans deux plans perpendiculaires (plan tangentiel : $\varphi = 0 - \pi$ et plan sagittal : $\varphi = \pi/2 - 3\pi/2$) permet de quantifier l'importance de la tache image géométrique, c'est-à-dire l'étalement des points d'impact des rayons dans le plan image paraxial choisi.

On peut également tracer la répartition des points à partir de ces équations (= "spot-diagramme"), considérant une répartition homogène de rayons dans la pupille :

La tache-image présente donc un étalement très important, avec un plan de symétrie $\varphi = 0 - \pi$  qui est également celui de l'écart normal. Le dispositif étudié est très éloigné de la limite de diffraction, puisque la tache d'Airy a un diamètre $= \frac{1,22 \lambda }{sin \alpha'_m}$ = 6 µm.