APM_3AO01_TA - Optimisation Quadratique (S2-1A - 2024-25)

L'objectif de ce cours est de donner un aperçu à la fois théorique et pratique d'un domaine des mathématiques dont les applications sont multiples et variées: mécanique, économie, finance, industrie, ... Il s'agit d'une introduction à la théorie de l'optimisation différentiable nonlinéaire - et en particulier, l'optimisation quadratique. Le premier chapitre introduit des notions mathématiques fondamentales à maîtriser avant de s’intéresser à la résolution à proprement parler de tout problème d’optimisation : la description et modélisation d'un problème d'optimisation, la notion de solution locale/globale, rappel du calcul différentiel et éléments basiques de l'analyse convexe. Dans le chapitre suivant, nous analyserons les questions d'existence et d’unicité; d'un minimum. Ensuite, se posera la question de caractérisation du minimum dans le cadre sans contraintes et avec contraintes. Cette caractérisation se fera par des conditions d'optimalité (Inéquation d'Euler) qu'on d’écrira d'abord dans un cadre assez général lorsque l'ensemble des contraintes est convexe. Ces conditions seront précisées dans le cas de contraintes d'égalités ou inégalités linéaires. Une autre partie du cours sera dédiée aux algorithmes d'optimisation quadratique (gradient à pas optimal, gradient à pas fixe, gradient conjugué;, gradient projeté;, algorithme d'Uzawa).