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◄Cours MP (lundi 10h30-12h30)
►TD MP A1

  • Vous trouverez dans cette section l'avancement du cours.

    Cours du jeudi 7 septembre.
    Les pages 1 à 9 du support de cours ont été traitées.
    • Théorème de construction de l'ensemble R à partir de deux sous-ensembles remarquables.
    • Définition d'ensemble.
    • Définition de la réunion de deux ensembles.
    • Définition de l'intersection de deux ensembles.
    • Définition d'assertions équivalentes.
    • Définition de la négation d'une assertion.
    • Définitions du quantificateur universel et du quantificateur existentiel.
    • Échange de quantificateurs, négation de phrases quantifiées.
    • Définitions de la différence de deux ensembles et du complémentaire d'un ensemble.
    • Corollaire du théorème.
    • Définition du connecteur "et".
    • Définition du connecteur "ou".
    • Règles de De Morgan.
    • Définition du connecteur "implique".
    • Remarque sur la négation d'une implication.
    • Démonstration des trois premières assertions du corollaire. Méthode pour démontrer une implication.
    • Question flash sur une identité remarquable.
    Cours du mercredi 13 septembre.
    Les pages 10 à 16 ont été traitées.
    • Démonstration de la dernière assertion du corollaire. Méthode pour démontrer une équivalence à l'aide de deux implications.
    • Définition de la relation plus petit ou égal et définition de la relation strictement plus petit.
    • Proposition sur les propriétés de la relation plus petit ou égal.
    • Démonstration de la réflexivité et de l'antisymétrie. Méthode pour démontrer une implication.
    • Proposition : lien entre la relation strictement plus petit et les opérations sur l'ensemble des nombres réels (addition et multiplication).
    • Démonstration de la seconde assertion. Méthode pour démontrer une équivalence en effectuant un raisonnement par équivalence.
    • Proposition : addition de deux inégalités.
    • Démonstration de cette proposition. Mise en évidence que pour démontrer la proposition, il faut démontrer une implication.
    • Remarque : on ne peut pas soustraire deux inégalités.
    • Définitions de majorant, minorant, plus grand élément, plus petit élément d'un ensemble. Définitions de partie majorée, minorée, bornée.
    • Remarque sur l'unicité et l'existence du plus grand élément et du plus petit élément.
    • Définition de la valeur absolue d'un nombre réel à l'aide d'un maximum.
    • Remarque sur le lien entre cette définition et celle vue au lycée. Interprétation graphique.
    • Proposition : propriétés de la valeur absolue.
    • Démonstration de l'équivalence entre x=0 et |x|=0 et démonstration de l'inégalité triangulaire 1.
    • Définition de la distance entre deux nombres réels.
    • Proposition : lien entre une inégalité avec une valeur absolue et une inégalité sans valeur absolue.
    • Définition de la borne supérieure d'un ensemble.
    • Remarque sur la caractérisation de la borne supérieure permettant de traiter les exemples.
    • Définition de la borne inférieure.
    • Proposition : existence d'une borne supérieure lorsqu'un ensemble admet un plus grand élément.
    • Remarque sur l'implication réciproque et sur l'existence d'une borne inférieure.
    • Propriété de la borne supérieure.
    • Question flash sur la simplification de fractions.
    Cours du mercredi 20 septembre.
    La fin du chapitre 1 a été traitée. Les pages 1 à 6 du chapitre 2 ont été traitées.
    • Définition de la droite réelle achevée.
    • Extension de la relation "inférieur ou égal" et des opérations + et x à la droite réelle achevée.
    • Proposition sur l'existence d'un maximum et d'un minimum pour une partie de la droite réelle achevée.
    • Remarque sur le lien entre la borne inférieure et la borne supérieure d'une partie de la droite réelle achevée et cas particulier de l'ensemble vide.
    • Définitions des intervalles.
    • Proposition permettant de caractériser les intervalles.
    • Théorème sur la construction de l'ensemble des nombres complexes.
    • Définitions de la partie réelle d'un nombre complexe, de la partie imaginaire d'un nombre complexe, de la forme algébrique d'un nombre complexe.
    • Remarque sur les techniques de calculs sur les nombres complexes.
    • Lien entre l'ensemble des nombres complexes et le plan RxR.
    • Définitions d'affixe et d'image.
    • Définition du conjugué d'un nombre complexe.
    • Interprétation géométrique du conjugué.
    • Proposition : lien entre la partie réelle d'un nombre complexe et son conjugué, lien entre la partie imaginaire d'un nombre complexe et son conjugué, conjugué du conjugué, caractérisation de l'appartenance à l'ensemble des nombres réels avec le conjugué, caractérisation de l'appartenance à l'ensemble des imaginaires purs avec le conjugué.
    • Démonstration des trois premières assertions de cette proposition. Méthode de démonstration d'une équivalence.
    • Proposition : lien entre les opérations sur l'ensemble des nombres complexes et le conjugué.
    • Démonstration de la première assertion de cette proposition.
    • Proposition : le produit d'un nombre complexe par son conjugué est un réel positif.
    • Démonstration de cette proposition.
    • Définition du module d'un nombre complexe.
    • Interprétation géométrique du module.
    • Proposition : caractérisation des nombres complexes de module nul, module du conjugué d'un nombre complexe, inégalité entre la partie réelle d'un nombre complexe et son module, inégalité entre la partie imaginaire d'un nombre complexe et son module.
    • Démonstration de cette proposition. Méthode de démonstration d'une équivalence.
    • Question flash sur la résolution d'équations du second degré sur R.
    Le prochain cours commencera par la proposition 2.6.

    Cours du mercredi 27 septembre.
    Les pages 7 à 11 ont été traitées.
    • Proposition : opérations sur l'ensemble des nombres complexes et module.
    • Interprétation géométrique de l'inégalité triangulaire 1.
    • Démonstration de la première assertion et de la troisième assertion de la proposition.
    • Définition de l'ensemble des nombres complexes de module 1.
    • Proposition : stabilité par multiplication et par inverse de l'ensemble des nombres complexes de module 1.
    • Interprétation géométrique de l'ensemble des nombres complexes de module 1.
    • Définition de la notation e^(i theta).
    • Proposition permettant de caractériser l'écriture des nombres complexes de module 1.
    • Démonstration de cette proposition. Méthode pour démontrer l'égalité de deux ensembles à l'aide de deux inclusions.
    • Proposition : propriétés de la notation e^(i theta).
    • Démonstration de la première assertion et de la quatrième assertion. Méthode de démonstration d'une équivalence.
    • Proposition : formules d'Euler.
    • Démonstration de la formule pour le cosinus.
    • Proposition : formule de de Moivre.
    • Démonstration de la proposition.
    • Évaluation 1.
    Cours du mercredi 4 octobre.
    Les pages 11 à 18 ont été traitées.
    • Définition d'un argument d'un nombre complexe.
    • Interprétation géométrique de l'argument.
    • Proposition sur l'ensemble des arguments d'un nombre complexe.
    • Définition d'une forme trigonométrique d'un nombre complexe.
    • Proposition : arguments et opérations sur les nombres complexes.
    • Définition d'une racine carrée d'un nombre complexe.
    • Proposition : existence de racines carrées pour les nombres complexes et formule donnant les racines carrées lorsque le nombre complexe est donné sous forme trigonométrique.
    • Remarque sur la détermination des racines carrées d'un nombre complexe donné sous forme algébrique.
    • Proposition : résolution d'une équation du second degré à coefficients complexes.
    • Démonstration de cette proposition.
    • Définition d'une racine n-ième d'un nombre complexe.
    • Proposition sur les racines n-ièmes de l'unité.
    • Démonstration de cette proposition. Méthode pour démontrer que deux ensembles sont égaux à l'aide de deux inclusions.
    • Proposition sur les racines n-ièmes d'un nombre complexe donné sous forme trigonométrique.
    • Question flash sur la détermination de limites de suites.
    Cours du mercredi 11 octobre.
    Les pages 1 à 6 du chapitre 3 ont été traitées.
    • Définition de suite numérique à valeurs réelles.
    • Définitions de suite majorée, suite minorée, suite bornée.
    • Définitions de suite croissante, suite décroissante, suite monotone.
    • Définition de suite stationnaire.
    • Définition de suite convergeant vers un réel l. Interprétation graphique de la définition.
    • Définitions de suite convergente et de suite divergente.
    • Proposition : unicité de la limite réelle.
    • Démonstration de cette proposition.
    • Proposition : suite convergente implique suite bornée.
    • Démonstration de cette proposition.
    • Proposition : le produit d'une suite bornée par une suite convergeant vers 0, converge vers 0 et lien entre la convergence d'une suite et la convergence de sa valeur absolue.
    • Démonstration de la première assertion de cette proposition.
    • Question flash sur le théorème de convergence monotone.
    Cours du mercredi 18 octobre.
    Les pages 6 à la moitié de la page 15 ont été traitées.
    • Proposition : si la valeur absolue d'une suite est majorée à partir d'un certain par une suite convergeant vers 0, alors cette suite converge vers 0.
    • Définitions de suite tendant vers l'infini. Interprétation graphique de la définition.
    • Proposition : unicité de la limite.
    • Proposition : opérations sur les limites de suites (somme, produit par un nombre réel et produit).
    • Démonstration de la proposition dans le cas de limites réelles pour la somme.
    • Proposition : limite de l'inverse d'une suite convergeant vers un réel non nul.
    • Proposition : limite de l'inverse d'une suite tendant vers l'infini.
    • Proposition : limite de l'inverse d'une suite de signe strictement positif à partir d'un certain rang et convergeant vers 0.
    • Proposition : comparaison des limites réelles de deux suites.
    • Démonstration de cette proposition.
    • Théorème des gendarmes.
    • Version infini du théorème des gendarmes.
    • Démonstration de cette proposition dans le cas de + l'infini.
    • Proposition sur l'existence de limites (théorème de convergence monotone).
    • Définition de suite à valeurs complexes.
    • Définition de suite bornée pour une suite à valeurs complexes.
    • Proposition : caractérisation des suites à valeurs complexes bornées.
    • Évaluation 2.
    Cours du mercredi 8 novembre.
    La fin du chapitre 3 a été traitée ainsi que la partie I du chapitre 4.
    • Définitions de suite arithmétique et de suite géométrique.
    • Rappels sur l'expression du terme général de ces suites et sur la somme des termes de ces suites.
    • Proposition : convergence de la suite (q^n) avec q un nombre complexe.
    • Définition de suite arithmético-géométrique.
    • Remarque sur la méthode pour étudier ces suites.
    • Définition de suite récurrente linéaire d'ordre deux.
    • Proposition permettant d'exprimer le terme général d'une suite récurrente d'ordre deux en fonction de n.
    • Proposition : caractérisation séquentielle de la borne supérieure.
    • Définitions de fonction, ensemble de définition, image, antécédent.
    • Notation d'une fonction.
    • Définition du graphe d'une fonction.
    • Définition de la restriction d'une fonction.
    • Définition de prolongement d'une fonction.
    • Définitions d'image directe, d'ensemble d'arrivée et d'image réciproque.
    • Définitions de la somme, du produit, du quotient et de la composée de deux fonctions.
    • Définition de la relation "inférieure ou égale" sur les fonctions.
    • Définitions de fonction majorée, fonction minorée, fonction bornée.
    • Définitions de fonction croissante, fonction décroissante, fonction monotone, fonction strictement croissante, fonction strictement décroissante, fonction strictement monotone.
    • Définitions de fonction paire, fonction impaire.
    • Définitions de fonction périodique et de la période d'une fonction.
    • Question flash sur les limites de fonctions.
    Cours du mercredi 15 novembre.
    Les pages 11 à la moitié de la page 19 du support de cours ont été traitées.
    • Définition de f(x) tend vers un réel l quand x tend vers un réel x0.
    • Définitions de f(x) tend vers l'infini quand x tend vers un réel x0.
    • Définitions de f(x) tend vers un réel l quand x tend vers l'infini, de f(x) tend vers l'infini quand x tend vers l'infini.
    • Proposition : unicité de la limite.
    • Démonstration de cette proposition.
    • Proposition : une fonction qui admet une limite réelle en un point est bornée au voisinage de ce point.
    • Démonstration de cette proposition.
    • Proposition : opérations sur les limites de fonctions (somme, produit, quotient, composée).
    • Proposition : comparaison de limites (théorème des gendarmes).
    • Proposition : caractérisation séquentielle de la limite.
    • Démonstration de cette proposition en utilisant deux implications et un raisonnement par contraposée.
    • Définitions de limite à gauche et de limite à droite.
    • Proposition sur l'existence de limites en fonction de l'existence des limites à gauche et à droite.
    • Question flash sur la continuité de fonctions.
    Cours du mercredi 22 novembre.
    Les pages 19 à la moitié de la page 31 ont été traitées.
    • Définition d'asymptote verticale.
    • Définition d'asymptote horizontale.
    • Définition d'asymptote oblique et méthode pour déterminer l'équation de l'asymptote oblique.
    • Définitions de fonction continue en un point et de fonction continue sur un intervalle.
    • Proposition : une fonction continue en un point a et qui ne s'annule pas en a, ne s'annule pas sur un intervalle autour de a. Démonstration de cette proposition.
    • Proposition : opérations sur les fonctions continues (somme, produit, inverse).
    • Proposition : composée de fonctions continues.
    • Définitions de fonction prolongeable par continuité en un point et du prolongement par continuité d'une fonction.
    • Proposition : caractérisation séquentielle de la continuité.
    • Théorème des valeurs intermédiaires. Démonstration de ce théorème au niveau L1.
    • Corollaires du théorème des valeurs intermédiaires.
    • Définitions de la dérivabilité d'une fonction en un point et du nombre dérivée en un point.
    • Interprétation géométrique du taux d'accroissement et du nombre dérivé en un point.
    • Évaluation 3.
    Cours du mercredi 29 novembre.
    La fin du chapitre 4 a été traitée.
    • Proposition sur le lien entre la dérivabilité en un point et la tangente en ce point.
    • Proposition : une fonction dérivable en un point est continue en ce point. Démonstration non faite.
    • Remarque sur la réciproque de cette proposition avec l'exemple de la fonction valeur absolue.
    • Définitions de fonction dérivable sur un intervalle et de fonction dérivée.
    • Domaine de dérivabilité et dérivées des fonctions usuelles.
    • Définition de fonction k-fois dérivable.
    • Définitions de fonction de classe C^k et de classe C^infini.
    • Proposition : opérations sur les fonctions dérivables (somme, produit, inverse, quotient). Démonstration non faite.
    • Proposition : composition de fonctions dérivables. Démonstration non faite.
    • Formule de Leibniz.
    • Définitions de maximum local, de minimum local et d'extremum local.
    • Proposition : si f admet un extremum local en x0 qui n'est pas une borne de l'ensemble de définition de f alors f'(x0) = 0. Démonstration non faite.
    • Remarque sur la réciproque de cette proposition avec la fonction cube.
    • Théorème de Rolle. Démonstration non faite.
    • Théorème des accroissements finis.
    • Inégalité des accroissements finis.
    • Proposition : lien entre les variations d'une fonction et le signe de sa dérivée.
    • Question flash sur les propriétés des fonctions exponentielles et logarithmes.
    Cours du mercredi 6 décembre.
    Les chapitres 5 et 6 ont été traités.
    • Fonction valeur absolue.
    • Fonction racine carrée.
    • Proposition : lien entre la fonction racine carrée et la fonction valeur absolue.
    • Définitions des fonctions polynomiales et du degré d'une fonction polynomiale.
    • Définitions des fonctions rationnelles, du degré, des racines et des pôles d'une fonction rationnelle.
    • Définition des fonctions homographiques.
    • Définition de la fonction logarithme népérien.
    • Proposition sur les propriétés de la fonction ln.
    • Définition de la fonction exponentielle.
    • Proposition sur les propriétés de exp.
    • Remarques sur les fonctions logarithmes en base a et exponentielles en base a.
    • Définition de la fonction puissance avec une puissance réelle.
    • Proposition sur les propriétés des puissances réelles. Démonstration de l'une de ces propriétés.
    • Proposition sur les propriétés des fonctions puissances. Démonstration de la dérivabilité et de l'expression de la dérivée.
    • Proposition : croissances comparées.
    • Définitions des fonctions circulaires.
    • Proposition sur les propriétés de ces fonctions.
    • Valeurs remarquables.
    • Définitions des fonctions hyperboliques.
    • Proposition sur les propriétés de ces fonctions.
    • Définition de la fonction indicatrice.
    • Proposition sur les propriétés des fonctions indicatrices.
    • Définition de fonction injective.
    • Définition de fonction surjective.
    • Définition de fonction bijective.
    • Proposition sur la composée de telles fonctions.
    • Définition de l'exponentielle d'un nombre complexe.
    • Proposition sur les propriétés de l'exponentielle complexe.
    • Proposition sur la fonction exponentielle complexe.
    • Le dernier exemple n'a pas été traité.
    • Question flash sur la détermination d'un majorant, d'un minorant, du maximum, du minimum, de la borne supérieure et de la borne inférieure d'un ensemble.

◄Cours MP (lundi 10h30-12h30)
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